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Teorema fundamental

del cálculo y las aplicaciones de la integral definida

El estudiante:

• Aplicará el teorema fun-damental del cálculo, me-diante la resolución deproblemas de áreas, áreasentredosgráficasensitua-cionesdeaplicacióndelasciencias naturales y socia-les;apartirdelconocimien-todelaspropiedadesdelaintegraldefinida;mostran-dounaactitudanalítica,re-flexivaycolaborativa.

INTRODUCCIÓN

Enlapresenteunidaddeterminamoseláreabajolacurvadeunafunciónme-diantelasreglastrapecialydeSimpson,derivadodeesto,resaltamoslaimpor-tanciadelaintegraldefinidaenelcálculodedichasáreasatravésdelaaplicacióndelteoremafundamentaldelcálculo.Además,conéstecalculamoslalongituddearco,eláreadelasuperficiedeunsólidoyelvolumendelmismoymostramossusaplicacionesenlosdiferentescampos,comoson:naturales,sociales,econó-micos,administrativos,etcétera.

113TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y LAS APLICACIONES DE LA INTEGRALE DEFINIDA

Nombredelalumno:

Grupo: Númerodelista: Aciertos:

Efectúaentucuadernolossiguientesejerciciosysubrayalaopciónquemuestraelresultadocorrecto:

1. Elvalorde x dxx1 31

8+∫ =

a) 23 b) 36 c) 26 d) 13

2. Elvalorde1 sen t dt20

2π

∫ =

a) 4 b) 6 c) d) 0

3. ¿Quéexpresiónresultadeintegrar e sen x dxx2 3∫ ?

a) e sen x x cx2

63 3− +( )cos

b) e x x cx2 2 3 2 3sen − +( )cos

c) 2 3 3 3 32e x x cx sen − +( )cos

d) 1 e x x cx2

132 3 3 3sen − +( )cos

4. ¿Quéexpresiónresultadeintegrar cos3 x dx∫ ?

a)13

23

2cos xsen x sen x c+ +

b) cos2 x x sen x csen + +

c) 3 2cos x x csen +

d)23

13

2cos x x sen x csen + +

4. ¿Cuáleseláreadelafigura?

a) 48.535 b) 43.375

c) 68.75 d) 38.75

114 UNIDAD III

3.1 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Y SUS APLICACIONES Seguramente,enalgunaocasiónsehapresentadounapersonacontigo,tehadichosunombrey,despuésdeunacharla,noteacuerdascómosellama;oquizáhassaludadoaalguienenrepe-tidasocasiones,loidentificasfácilmente,peronoteacuerdascómosellamaycuandolograssa-berlosetegrabaconfacilidad.

Puesbien,sitrasladamosesteejemploalcálculo,específicamentealtemadeintegraldefinida,puedesrecordarque,comovimos,lasuperficielimitadapor:lacurvay=f(x),elejedelasabs-cisasylasrectasx=ayx=bpuededeterminarseporellímitedesumasdeRiemannqueseexpresacomo:

A f x xx k k

k

n=

→ =( ) ⋅∑lim *

∆∆

0 1

queasuvezdefinelaintegraldefinida,teniendo:

A f x dx f x xab

x k kk

n= ∫ ( ) = ( ) ⋅

→ =∑ lim *

∆∆

0 1

Sinembargo,parafacilitarestecálculorecurristeaotraformadeevaluarlaintegraldefinida:

ab

abf x dx F x F b F a∫ = =( ) ( ) ( )( ) −

Puesbien,estaformaquehasvisto,determinado,evaluadoyaplicadosellamaTeorema funda-mental del cálculoyseenunciadelasiguienteforma:

Seaf(x)unafunciónintegrable.

SupongamosqueexistealgunafunciónF(x)continuatalqueF‘(x)=f(x)paratodox∈[a,b],entonces

ab

abf x dx F x F b F a∫ ( ) = = ( ) ( )( )[ ] −

Siutilizamosesteteoremapodemosdeterminardirectamenteeláreabajolacurvadeunafun-ción,dondelainterpretacióndesuresultadoquedasujetaalanaturalezadelasmagnitudesquerepresentanlosejescoordenados;estasaplicacionesseestudiaránmásadelante.

Ahorasemuestrandosreglas:reglatrapecialyregladeSimpson, lascualessonútilesparade-terminarunvaloraproximadodelaintegraldefinida:

ab f x dx∫ ( )

principalmentecuandolaintegraciónnopuedeefectuarsedeformainmediata.


Integración aproximada: regla trapecial y regla de Simpson

Comovimos,elvalorexactodelaintegraldefinida ab f x dx∫ ( ) eslamedidadelasuperficieli-

mitadaporlacurvay=f(x),elejedelasabscisasylasrectasx=ayx=b.Unvaloraproxi-madodetaláreaseobtuvosumandorectángulos,segúnlassumasdeRiemann.Delamismaforma,tambiénpuedeencontrarseunaaproximacióndelamismaáreasumandotrapecios(re-glatrapecial)yunaaproximaciónaúnmejorsumandoáreasbajoarcosdeparábolas(regladeSimpson).

Veamos:

Valoraproximadodeláreabajolacurvasumandotrapecios.

Observalasiguientefigura.

EláreadelaregiónsombreadaApuedeaproximarsesumandolasáreasdentrapeciosmarca-dossobreelintervalo,comosemuestraacontinuación.

Apartirdeestafigura,laregladelostrapeciosparaevaluarA, seespecificadelasiguientemanera:

1. Sedivideelintervalo[a,b]ennsubintervalosiguales[xk–1,xk]dondek=1,2,3,…,nyx0=a,xn=b.Luego:

116 UNIDAD III

a x x x x x x bn n= < < < < < =−0 1 2 3 1...

dondeeslaamplituddecadasubintervalo.

2. Paracadaunadelasabscisasobtenidasdeestadivisión,selevantasucorrespondienteor-denadasegúnlacurva.Seanéstas:

y0=f(x0),y1=f(x1),y2=f(x2),...,yn=f(xn)

3. Lostrapeciosseformanalunirlasextremidadesdeestasordenadasconsecutivasconseg-mentosderecta(cuerdas).

4. Sesumanlostrapeciosasíobtenidos,considerandoqueeláreadeuntrapeciosedeterminacomo:

AB b h

B b h=+( ) = +( )2

12

Así,lasáreasdelostrapecios(verfiguraanterior)son:

12 0 1y y x+( ) =∆ áreadelprimertrapecio.

12 1 2y y x+( ) =∆ áreadelsegundotrapecio.

.

.

.12 1y y xn n− +( ) =∆ áreadelenésimotrapecio.

Ylasumadeéstoses:

12

12

12

12

12

12

0 1 1 2 1

0 1

y y x y y x y y x

y x y x

n n+( ) + +( ) + + +( ) =

+ +

−∆ ∆ ∆

∆ ∆

...

yy x y x y x y x y x y x

y x y

n n n1 2 2 1 1

0 1

12

12

12

12

12

12

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆

+ + + + + + =

+

− −...

∆∆ ∆ ∆ ∆x y x y x y xn n+ + + +−2 112

...

Por lo tanto, tenemos la siguiente fórmula que permite encontrar una aproximación de

ab f x dx∫ ( ) apartirdeláreabajolacurvasumandotrapecios.

Fórmuladelostrapecios:

A f x dx y y y y y xab

n n= ∫ ≈ + + + + +( )

−

12

120 1 2 1

... ∆


Lossiguientesejemplosmuestrancómoencontrarunaaproximacióndelaintegraldefinidaporlafórmuladelostrapecios.

Hallarunvaloraproximadodelaintegraldefinidaqueseindicaaplicandolafórmuladelostra-pecios.Mostrarlagráficaconeláreasombreada.

1. x dx2

1

12

∫ (tomandon=11)

SoluciónTenemos∆x b a

n= = =− − 12 1

111

Además,eláreaencuestiónestábajolacurvay=x2,entonceslasabscisasyordenadasaconsiderarson:

xk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12yk 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

Luego,porfórmula:

x dx2

1

12 12

4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 12

1 144∫ ≈ + + + + + + + + + + +( ) ( )

11

577 5

( )

≈ .

2. 4 3

0

2+∫ x dx (tomandon=4)


n= − = − = = 2 0

412

0 5.

Además,eláreaencuestiónestábajolacurva y x= +4 3 ,entonceslasabscisasyorde-nadasaconsiderarson:

xk 0 0.5 1 1.5 2yk 2 2.031 2.236 2.716 3.464

Luego,porfórmula:

4 302 1

22 2 031 2 236 2 716 1

23 4 64 0 5

4

+∫ ≈ ( ) + + + + ( )

( )

≈

x dx . . . . . .

.8858

118 UNIDAD III

Hallaunvaloraproximadodelaintegraldefinidaqueseindicaaplicandolafórmuladelostrapecios.Muestralagráficaconeláreasombreada.

1.dxx1

2

∫ (tomandon=2)

2.dxx3

10

∫ (tomandon=7)

3. x x dx25 2

0

5+∫ (tomandon=10)

4. 16 2

0


5.x

xdx

2

22

4

103 +∫ (tomandon=4)

Valor aproximadodel área bajo la curva sumando áreas bajo arcos de parábolas (regla deSimpson).

Eláreabajolacurvay=f(x)puedeaproximarsesumandolasáreasdenfranjaslimitadasporparábolassobreunintervalo.Lasiguientefiguramuestraunadeestasfranjas.

El procedimiento que se sigue para determinar una aproximación de la integral definidaf x dx

a

b ( )∫ conlaregladeSimpsondifiererespectoalquesesigueconlaregladelostrapeciosenlaque,enlugardeunirlasextremidadesdelasordenadassucesivasy0=f(x0),y1=f(x1),y2=f(x2),...,yn=f(xn)consegmentosderecta,éstasseunen,lograndounamayoraproximación,porarcosdeparábolascomosigue:

1. Sedivideelintervalo[a,b]enunnúmeroparndesubintervalosiguales,siendo∆x b an

= − laamplituddecadasubintervalo.

2. Paracadaunadelasabscisasobtenidasdeestadivisiónselevantasucorrespondienteorde-nadasegúnlacurva.Seanéstas:


y f x y f x y f x y f xn n0 0 1 1 2 2= = = =( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

dondesedistinguenlospuntos:

P x y P x y P x y P x yn n n0 0 0 1 1 1 2 2 2, , , , , , ..., ,( ) ( ) ( ) ( )3. PorcadatresdeestospuntossucesivosP0,P1,P2; P2, P3,P4;P4,P5,P6;etc.setrazanarcosdeparábolasconejesverticales,comoseobservaenlafiguraanterior.

4. Sesumanlasáreasdelasfranjasasíobtenidas,dadoqueeláreadecadaunadeellasseob-tienecomo:

Eláreabajounaparáboladeejeparaleloalejedelasy,quepasaporlospuntosP0,P1,P2conordenadasrespectivasy0,y1,y2ydistanciaentrelasabscisasdeP0yP2iguala2∆xcomolomuestralafigura,es:

A x y y y= + +( )13

40 1 2∆

Así,lasumadelasfranjaslimitadasporlasparábolas(verfiguraanterior)son:

13

40 1 2∆x y y y+ + =( ) áreadelaprimerafranjalimitadaporunaparábola,

13

42 3 4∆x y y y+ + =( ) áreadelasegundafranjalimitadaporunaparábola,...

13

42 1∆x y y yn n n− −+ +( ) =áreadelaenésimafranjalimitadaporunaparábola

Ylasumadeestasfranjases:

13

4 13

4 13

4

13

0 1 2 2 3 4 2 1∆ ∆ ∆x y y y x y y y x y y yn n n+ +( ) + + +( ) + + + +( ) =− −...

∆∆x y y y y y y y y yn n n0 1 2 2 3 4 2 14 4 4+ + + + + + + + +( )− −...

Por tanto, tenemos la siguiente fórmula que permite encontrar una aproximación de

ab f x dx∫ ( ) ,apartirdeláreabajolacurvasumandofranjaslimitadasporparábolas.

FórmuladeSimpson:

A f x dx x y y y y y y y yn n na

b= ( ) ≈ + + + + + + + +( )− −∫

13

4 2 4 2 2 40 1 2 3 4 2 1∆ ...

LossiguientesejemplosmuestrancómoencontrarunaaproximacióndelaintegraldefinidaporlafórmuladeSimpson.

...

120 UNIDAD III

HallarunvaloraproximadodelaintegraldefinidaqueseindicaaplicandolafórmulaSimpson.

1. x dx3

0

10

∫ (tomandon=10)


n= − = − = 10 0

101

Además,eláreaencuestiónestábajolacurvay=x3,entonceslasabscisasyordenadasacon-siderarson:

xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yk 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000

Luego,porfórmula:

2.dx

x4 30

4

+∫ (tomandon=4)


n= − = − = 10 0

101

Además,eláreaencuestiónestábajolacurva yx

=+1

4 3,entonceslasabscisasyordenadas

aconsiderarson:

xk 0 1 2 3 4

yk

12

1

5

1

2 3

1

31

1

2 17

Luego,porfórmula:

dxx4

13

1 12

45

13

431

12 17

133 706

1 235

3

40

+∫ ≈ ( ) + + + +

≈ ( )≈

.

.

x dx3100

13

1 0 4 1 2 8 4 27 2 64 4 125 2 216 4 343∫ ≈ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ++ ( ) + ( ) +( )

≈ ( )≈

2 512 4 729 1000

137500

2500


HallaunvaloraproximadodelaintegraldefinidaqueseindicaaplicandolafórmuladeSimpson.

1.x

xdx

4 23

6

+∫ (tomandon=6)

2.x

xdx

5 32

4

+∫ (tomandon=4)

3. x x dx25 2

0

4−∫ (tomandon=4)

4. 16 2

4


5.x

xdx

3

32

5

1+∫ (tomandon=6)

Área y área entre dos gráficas

Yaconocesvariosprocedimientosparaevaluaraproximadamentelaintegraldefinida:

f x dxa

b ( )∫apartirdeaproximareláreaentrelacurvay=f(x),elejedelasxylasrectasx=ayx=b,és-tosson,porlímitedesumasdeRiemann,fórmuladetrapeciosyfórmuladeSimpson.Asítambién,hasaplicadoelteoremafundamentaldelcálculoparaevaluarintegralesdefinidas,obteniendoconésteunresultadoexacto.Sinembargo,aúnnohasdeterminadoespecíficamentelasáreascontanimportanteteorema,aplicaciónquesehareservadoparaabordarlaenestemo-mento.

Parahallarelárealimitadaporlacurvadeunafuncióncontinuay=f(x)enunintervalo[a,b],elejedelasabscisasylasrectasx=ayx=baplicandoelteoremafundamentaldelcálculo,debeconsiderarsesilasfuncionesson:nonegativas f x( ) ≥( )0 ,nopositivas f x( )( )≤ 0 ,obien,to-manvalorestantopositivoscomonegativosycero.Además,cadavezqueseafactible,debere-presentarsegráficamenteeláreacorrespondienteantesdeaplicarelteoremafundamentaldelcálculo.Observalosejemplos:

Hallarlasáreasqueseindicanaplicandoelteoremafundamentaldelcál-culo.Hacerpreviamentelarepresentacióngráfica.

Enlosejemplosdel1al3,setienef(x)≥0,esdecir,elárealimitadaporlacurvaestáporencimadelejex.

122 UNIDAD III

1. Hallarelárealimitadaporlaparáboladeecuacióny=x2,elejexylasrectasx=1yx=3.

SoluciónRepresentamosestaáreaporlaintegraldefinidacorrespondiente,lacual,paraestecasoes:

A x dx= ∫ 2

1

3

EncontramosunaantiderivadaF(x):(integracióninmediata)

F x x dx x( ) = =∫ 23

3Luego,aplicamoselteoremafundamentaldelcálculoparaevaluarlaintegraldefinida...listo,he-mosencontradoeláreadeseada.

A x dx x= =

= ( )

− ( )

∫ 2

1

3 3

1

3 3 3

333

13

= − = =9 13

263

8 6 2. u

2. Hallarelárealimitadaporlacurvay=x4–2x3+5,elejexylasrectasx=–1yx=2.

SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente:

A x x dx= − +( )−∫

4 3

1

22 5

EncontramosunaantiderivadaF(x)(integracióninmediata):

F x x x dx x x x( ) = − +( ) = − +∫ 4 35 4

2 55 2

5

Ahoraevaluamoslaintegraldefinidaaplicandoelteoremafundamen-taldelcálculo:

A x x dx x x x= − +( ) = − +

= ( ) − ( ) + ( )

−−

∫ 4 3

1

2 5 4

1

2

5 4

2 55 2

5

25

22

5 2

−−( ) −

−( ) + −( )

= + = =

15

12

5 1

425

5710

14110

14 1

5 4

2. u


3.Hallarelárealimitadaporlacurvay=ln(x+3),elejexylasrectasx=–2yx=0.

SoluciónRepresentamoseláreaporla integraldefinidacorrespondiente, lacual,paraestecasoes:

A x dx= +( )−∫ ln 32

0

EncontramosunaantiderivadaF(x),(integraciónporpartes)

F x x dx x x x( ) = +( ) = +( ) +( ) −∫ ln ln3 3 3

Ahoraevaluamoslaintegraldefinidaaplicandoelteoremafundamentaldelcálculo:

A x dx x x x= +( ) = +( ) +( ) −

= ( ) +( ) ( ) +( ) −

−−∫ ln ln

ln

3 3 3

0 3 0 3 0

2

0

2

0

− −( ) +( ) −( ) +( ) = [ ]− +[ ] = − =

2 3 2 3

3 3 1 2 3 3 2 1 296 2

ln

ln ln ln . u

Evaluamosestaintegraldefinidaaplicandoelteoremafundamentaldelcálculo,deestamanrahemosencontradoeláreadeseada.

A x dx x= =

= ( )

− ( )

= − =

∫ 2

2

3 3

1

3 3 3

333

13

9 13

263

== 8 6 2. u

Enlosejemplos4y5setienef(x)≤0,esdecir,elárealimitadaporlacurvaestápordebajodelejex.

4. Hallarelárealimitadaporlaparáboladeecuacióny=–x2,elejexylasrectasx=–2yx=2.

SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente,lacual,paraestecasoes:

A x dx= − −−∫

2

2

2

124 UNIDAD III


F dx xx x( ) = = −−∫ 2

3

3Luego,aplicamoselteoremafundamentaldelcálculoparaevaluarlaintegraldefinida,asíhe-mosencontradoeláreadeseada.

A x dx x= − − = − − = − − − −−∫

( )

−( )

−

2 3

2

2

2

2

32 3

32 3

3

= − − − = − − = =( ) ( )83

83

163

163 5 3 2. u

5. Hallarelárealimitadaporlacurvay=x4-3x3+x–3yelejex.

SoluciónRepresentamoseláreaporlaintegraldefinidacorrespondiente:Loslímitesdeintegraciónsonlassoluciones(ceros,raíces)delaecuaciónx4–3x3+x–3=0,quesonx=–1yx=3.Así,

A x x x dx= − + −− ( )−∫ 4 33 3

1

3


F x x x x dx x x x x( ) ( )= − + − = − + −∫ 4 35 4 2

3 35

34 2

3

Ahoraevaluamoslaintegraldefinidaaplicandoelteoremafundamentaldelcálculo:

A x x x dx x x xx= − − + − = − − + −

= −

( )

( ) −

−∫ −

4 3 5 4 2

1

33 3 5

34 3

1

3

2

3 5

53 33 4

43 2

23 3

1 5

53 1 4

41 2

23 1( ) +( ) − ( )

−( ) −−( ) +

−( ) − −( )

−

= − − − = − − = =33320 20

965

965

19 251 2. u

Enlosejemplos6y7,lasfuncionestomanvalorestantopositivoscomonegativos,esdecir,elárealimitadaporlacurvatieneregionesporencimaypordebajodelejex.

Enestecaso,esnecesariocalcularlasáreasdecadaunadelasregionesyluegosumarlas.


6. Hallarelárealimitadaporlacurvay=cosx,elejexylasrectasx=0yx=2.


A x dx x dx x dx= − +∫ ∫ ∫cos cos cos/

/

/

/0

2

2

3 2

3 2

2π

π

π

π

π


F dx xx x( ) = =∫ cos senComolasdosregionespositivassonigualesenvalorabsolutoalaregiónnegativa,bastaráevaluarunaregiónpositivaymultiplicarlaporcuatro,aplicandoelteoremafundamentaldelcálculo.

A x dx x= = = −∫

4 4 4 20

2

02

0cos/ /π π πsen sen sen

= − ={ }4 1 0 4 2u

7. Hallarelárealimitadaporlacurvay=x3–6x2+8xyelejex.


A dx dxx x x x x x= −− +( ) − +( )∫ ∫3 6 2 8 3 6 2 80

2

2

4

126 UNIDAD III

EncontramosunaantiderivadaF(x),(integracióninmediata)

F x x x x dx x x x( ) = − +( ) = − +∫ 3 24

3 26 84

2 4

Comolaregiónpositivaesigualenvalorabsolutoalaregiónnegativa,bastaráevaluarlaregiónpositivaymultiplicarlapordos,aplicandoelteoremafundamentaldelcálculo.

A x x x dx x x x= − +( ) = − +

= ( ) − ( ) + ( )

∫2 6 8 24

2 4

224

2 2 4 2

3 2

0

2 43 2

0

2

43 22

43 2

2

04

2 0 4 0

2 4 8

− ( ) − ( ) + ( )

= ( ) = u

Representarlasregionesdelplanolimitadasporlascurvasdadasyhallardichasáreasaplicandoelteore-mafundamentaldelcálculo.

1. y=x2,elejexylasrectasx=2yx=4



4. y=4x,elejexylasrectasx=–2yx=0

5. y=–x2+x+2,elejexylasrectasx=–1yx=2

6. y x= +12 cos ,elejexylasrectasx=0yx = 43

π

7. y=ln(x+5),elejexylasrectasx=–4yx=5

8. y=xex,elejexylasrectasx=0yx=1

9. y=tanx,elejexylasrectasx = − π4 yx = π

4

10.y=lnx,elejexylasrectasx=0yx=e

11. y xx

= −−

3 242 ,elejexylasrectasx=–1yx =

23

12. yx

=−1

8 3,elejexylasrectasx=–2yx=0


Hastaelmomentoconoceselprocedimientoparahallareláreadeunaregiónlimitadaporlacurvay=f(x)porarribaydebajodelejex.

Ahora,hallaremoseláreadelaregiónlimitadaporlacurvax=g(y),elejeyylasrectasy=cyy=ddeterminadaaladerechadelejey,aplicandonuevamenteelteoremafun-damentaldelcálculo.Dichaáreaserádeterminadadeformasimilaraloantesvisto,que-dandoexpresadalaintegraldefinidaparaestecasocomo:

A g y dyc

d= ( )∫

Hallarelárealimitadaporlaparáboladeecuaciónx=4–y2,elejeyylasrectasy=–1yy=2,aplicandoelTeoremaFundamentaldelCálculo.Hacerpreviamentelarepresentacióngráfica.

SoluciónRepresentamos esta áreapor la integral definida correspondiente, la cual, para estecasoes:

A dyy= −( )−∫ 4 2

1

2

EncontramosunaantiderivadaG(y)(integracióninmediata):

G dy y yy y( ) = = −−( )∫ 4 2 4 3

3

Luego,aplicamoselteoremafundamentaldelcálculoparaevaluarlaintegraldefinida.Nueva-mente,asíencontramoseláreadeseada.

A x dx y y= −( ) = −

= ( ) − ( )

− −( ) −−

−−

∫ 4 2 43

4 223

4 11

1

2 3

1

2

3 (( )

= + = =

3

2

3

163

113

273

9 u

Representarlasregionesdelplanolimitadasporlascurvasdadasyhallardichasáreasaplicandoelteore-mafundamentaldelcálculo.

1. x=8+2y–y2,elejeyylasrectasy=–1yy=3

2. x=1+y2,elejeyylasrectasy=–3yy=3

128 UNIDAD III

3. x=y3+1,elejeyylasrectasy=0yy=2

4. x=3–y2,elejey

5. x=6y2–y4,elejeyylasrectasy=–2yy=2

6. x y= +2 4,elejeyylasrectasy=–2yy=4

Áreadelcírculoporintegración.

Enequiposdetrabajodecuatrointegrantesrealicenlosiguiente:

1. Grafiquen en el plano, el círculo cuya ecua-cióndesucircunferenciaesx2+y2–25=0.

2. Determinen una integral definida adecuadaqueloslleveaprecisareláreadedichocírculo(elijanhallarprimerolamitadolacuartapartedelcírculoyapartirdeellodetermineneláreatotal.

Área del círculo hallada por integración:

3. Tambiéncalculeneláreadelcírculomediantesufórmulageométrica(elijanlafórmulaapar-tirdelradioodiámetro).

Áreadelcírculo,halladaapartirdesufórmulageométrica:

4. Verifiquenqueelresultadodelpaso3y4eselmismo.

5. Comentenenplenarialoqueaprendieronconestaactividad.

Otraáreaquedeterminaremosesladeunaregiónlimitadaporlascurvasdedosfunciones,endosposiblescasos:cuandonosecortanlascurvas,endondelaregiónselimitaporlasdosgrá-ficasylasrectas,ycuandosecortanlascurvas,endondedebendeterminarsepreviamentelasinterseccionesdetalescurvas.Primerograficaremoseláreacorrespondienteydespuésaplica-remoselteoremafundamentaldelcálculo.

Laintegraldefinidacorrespondientealáreaquesevaadeterminarseobtienedelasiguientemanera:

AActividad


SiAeselárealimitadaporarribaporlagráficadelafuncióncontinuaf(x),pordebajoporlafuncióncontinuag(x),dondef(x)≥g(x)en[a,b]yporlasrectasx=ayx=b,comosemuestraenlafigura,entonces:

A=Áreabajof(x)–Áreabajog(x)

A f x g x dxa

b= −( ) ( ) ∫

SiAeseláreaencerradapordosfuncionescontinuasf(x)yg(x)quesecortanenlosextre-mosde[a,b],comosemuestraenlafigura, debendeterminarsepreviamentelasinterseccionesdetalescurvascuyas,abscisassonloslímitesdelaintegraldefinidaqueigualmentequedade-terminadapor:

A f x g x dxa

b= −( ) ( ) ∫

SiAeseláreaencerradapordosfuncionescontinuasf(x)yg(x)quesecortanen[a,b],comosemuestraenlafigura, entoncessesumanlasáreasdelossubintervalosdeterminadosporlasabscisasdelospuntosdeintersección.

A f x g x dx f x g x dxa

c

c

b= − + −( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫

130 UNIDAD III

Observalosejemplos:

Hallarlasáreasqueseindicanaplicandoelteoremafundamentaldelcálculo.Hacerpreviamen-telarepresentacióngráfica.

1. Hallareláreadelaregiónlimitadaporlasgráficasf(x)=2x+1yg(x)=x2–4ylasrectasx=1yx=2.


A x x dx

x x dx

= + − −

= − + +

( ) ( )

( )∫∫

2 1 4

2 5

2

2

1

2

1

2


F x x dx x x xx( ) ( )= − + + = − + +∫ 23 22 5 3 5

Aplicandoelteoremafundamentaldelcálculoalaintegraldefinidatenemos:

A x x dx x x x= − + +( ) = − + +

= − ( ) + ( ) + ( )

∫ 2

1

2 32

1

2

32

2 53

5

23

2 5 2

− − ( ) + ( ) + ( )

= − = =

13

1 5 1

343

173

173

5 66

32

2. u


2. Hallareláreadelaregiónencerradaporlasgráficasf(x)=2x–1yg(x)=x2–4

SoluciónDeterminamoslasinterseccionesdelasfunciones:

Resolviendoelsistema:2 1 0

4 02

x

x

− =

− =

Tenemos:

x x

x xx x

2

2

4 2 1

2 3 0

1 3 0

− = −

− − =+( ) −( ) =

Dedondex=–1yx=3

Luego,elárearepresentadaporlaintegraldefinidaes:

A x x dx

x x dx

= − − −

= − + +

( ) ( )

( )−

−

∫∫

2 1 4

2 3

2

2

1

3

1

3


F x x dx x x xx( ) ( )= − + + = − + +∫ 23 22 3 3 3


A x x dx x x x= − + + = − +

= − + +

( ) +

( ) ( ) ( )

−∫ 22

3 2

2 3

3 3

1

3 3

32 3

1

33 3

−( ) −( ) −( )

− − + +

= + = =

11 1

5

3 23 3

9 3323 10.666 2u

3. Encontrareláreadelaregiónencerradaentrelasgráficasdelasfunciones:

f(x)=x3–3x+3yg(x)=x+3

SoluciónDeterminamoslasinterseccionesdelasfunciones:

132 UNIDAD III

Resolviendoelsistema:

x xx

3 3 3 03 0

− + =+ =

Tenemos:

x x x

x x

x x

3

3

2

3 3 3

4 0

4 0

− + = +

− =

−( ) =

Dedondex=0,x=2yx=–2

Luego,elárearepresentadaporlaintegraldefinidaes:

A x x x dx x x x dx

x x

= − +( ) − +( ) + − +( ) − +( )

= −

−∫ ∫3

2

0 3

0

2

3

3 3 3 3 3 3

4(( ) + −( )−∫ ∫2

0

0

2 3 4dx x x dx


F x x x dx x x( ) = −( ) = −∫ 3 44

24

2


A x x dx x x dx

x x x x

= − + −

= − − −

( ) −( ) ( )

−∫ ∫

−

3 3

2

2

02

4 4

2 2

2

0

0

2

4

4

4

4

( ) − ( )

−( ) − −( )

= −

0

2

0 4

42 0 2

2 4

42 2 2

( ) − ( )

( ) − ( )

− −

=

2 4

42 2 2

0 4

42 0 2

4 ++ =4 8 2u

I. Representarlasregionesdelplanosegúnseindicayhallardichasáreasaplicandoelteoremafunda-mentaldelcálculo.

1. Limitadaporf(x)=x2+2,g(x)=1–xylasrectasx=0yx=1

2. Limitadaporf(x)=–x2,g(x)=1ylasrectasx=1yx=3

3. Limitadaporf(x)=x+2,g(x)=x2–4ylasrectasx=–1yx=2

4. Limitadaporf(x)=–x2+3,g(x)=–x+3ylasrectasx=0yx=2


5. Limitadaporf(x)=x2+1, g x x( ) =13

3ylasrectasx=–1yx=2

6. Limitadaporf(x)=ex, g x x( ) = 1 ylasrectasx=1yx=2

7. Limitadaporf(x)=senx,g(x)=cosxylasrectasx=0yx =π4

8. Encerradaentref(x)=–x2+6x+5yyg(x)=x2+5

9. Encerradaentref(x)=6x–x2yg(x)=x2–2x

10.Encerradaentref(x)=x4–4x2yg(x)=x2

II. Encuentraeláreadelaregiónsombreada.

1. 2.

3. 4.

134 UNIDAD III

3.2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Laaplicaciónesencialdelaintegraldefinidaesencontrareláreadeunaregiónenelplano;deésta se derivan otras aplicaciones más, comoson: la longitud de arco, el volumen del sóli-doderevoluciónyeláreadeunasuperficiederevolución,mismasqueestudiaremosaconti-nuación.

Dada una función f (x) derivable en [a, b]. LalongitudLdelacurvadef(x)consideradades-de a f a, ( )( )hastalallamadalongitud de arco, estádadaporlafórmula:

Fórmuladelalongituddearco:

L f x dxa

b= + ( )( )∫ 1 2'

Prestaatenciónalejemplo:

Hallarlalongituddearcodelacurvaf(x)=x3/2desdex=0hastax=4.Hacerlarepresentacióngráfica.

SoluciónCalculamosf'(x):

f x x x'( ) = =32

32

12

Aplicandolafórmuladelongituddearco,tenemos:

L x dx dxx= + = +

∫ ∫ 1 3

2 1 94

2

0

4

0

4

EncontramosunaantiderivadaF(x)(integraciónporsustitución):

F x x dx x

x

( ) = +

⋅ = ⋅ +

= +

∫49

1 94

94

4923

1 94

827

1 94

12

32

32

Aplicandoelteoremafundamentaldelcálculoalaintegraldefinida:


L x dx x= + = +

= + ( )

∫ 1 94

827

1 94

827

1 944

0

432

0

4

3

2232

32

827

1 94

0

827

10 827

1

− + ( )

= ( )

− (( )

= −( ) = ( ) =

32

827

10 10 1 827

30 62 9 073. . u

Hallalalongituddelarcoqueseindicadelassiguientescurvasytrazasugráficacorrespondiente.

1. f(x)=2x2/3desdex=0hastax=8

2. f xx

x( ) =

+4 32

desdex=1hastax=3

3. f x x( ) = −2desde(2,0)hasta(11,3)

4. f(x)=x2–lnxdesde(1,1)hasta(3,8)

5. f(x)=2cosx+xdesdex=1hastax=2

¿Hasvistocómosehaceunjarróndebarrousandoeltorno?

Puesbien,eltornoempleadoconsistedeunejeverticalcolocadoaunplatoho-rizontal,enelcualelalfareroponelamasadearcillayhaciéndologirarmoldealapiezadeseada.

Lafabricacióndeestapiezadeartesaníaejemplificaunsólidoderevolución.

Veamos:

Unsólido de revoluciónseobtienealgirarunaregiónplanaalrededordeunarectaquenosecortaconlaregión,demodoquecadapuntodeéstadescribeunacir-cunferenciaaldarunavueltacompleta(aquíenlugardeusarrectánguloscomoenáreacon-sideramosdiscosdeespesorh).La rectasobre lacualocurre la rotaciónsedenomina eje de revolución.

Loscilindros,conosyesferassonloscuerposderevoluciónmásconocidos,ylasregionesge-neradorasdeéstossonrectángulos,triángulosysemicírculosrespectivamente.

136 UNIDAD III

Elvolumende estos cuerpos sehadeterminadomedianteprocedimientospropiosde lageometríaplana.Ahoraveremosunaformageneraldecalcularéstosyotroscuerposdere-volución.

Sif(x)esunafuncióncontinuatalquef(x)≥0en[a,b]yconsideramoslaregiónbajolagráfi-cadef,porencimadelejex,yentrelasrectasx=ayx=blahacemosgirarentornodelejexseformaunsólidoderevolución,cuyovolumensedeterminaporlafórmula:

Fórmuladeldiscoparadeterminarelvolumendelsólidoderevolución:

V f x dxa

b= ( )( )∫ π 2

Sig(y)esunafuncióncontinua,seconsideralaregiónbajolagráficadeg,aladerechadelejey,yentrelasrectasy=cyy=dsehacegirarentornodelejey,formándoseunsólidoderevolucióncuyovolumensedeterminaenesteotrocasoporlafórmula:

Fórmuladeldiscoparadeterminarelvolumendelsólidoderevo-lución:

V g y dyc

d= ( )( )∫ π

2

Elcálculodelvolumendeunsólidoderevolucióngeneradoporlasregioneslimitadasdedosfuncionessedeterminarestandolossólidosderevolucióngeneradosporcadaunadedichasregiones.


Fórmulasconocidasdevolumenporintegración.

Enequiposdetrabajodecuatrointegrantesdeterminenelvolumensegúnsepide,aplicandolafórmu-laanterior.

1. Hallenporintegrales,lafórmuladelvolumendeuncilindrocircularrecto.ConsiderarquesegeneraporelrectánguloOABC,comosemuestraenlafigura:

2. Hallenporintegrales,lafórmuladelvolumendeunconorecto.SedebeconsiderarquesegeneraporuntriángulorectánguloOAB,comosemuestraenlafigura:

3. Hallenporintegrales,lafórmuladelvolumendelaesferaderadior.Hayqueconsiderarquesege-neraporunsemicírculo,comosemuestraenlafigura:

4.Comparensussolucionesenplenaria.

AActividad

138 UNIDAD III

TambiénpuedehallarselasuperficieSderevolución;esdecir,lasuperficieexternadelsólidoderevolucióndadaslasfuncionesentérminosdex f x( )( )oentérminosde y g y( )( )me-diantelasfórmulas:

Fórmuladeunasuperficiederevolución:

S f x f x dxa

b= ( ) + ( )( )∫ 2 1

2π '

y

S g y f y dyc

d= ( ) + ( )( )∫ 2 1

2π '

Elsiguienteejemplomuestracómodeterminarvolumenyáreadeunsólidoderevolución.

Hallarelvolumenyáreadel sólidode revolucióngene-

radoporlaregiónlimitadaporlacurva y f x x= ( ) = 13

3,desdex=0hastax=3alrededordelejex.

SoluciónParaencontrarelvolumen:

Determinamos la integraldefinida, la cual apartirde lafórmulasetiene,

V f x dx x dx x dxa

b= = =( )( ) ( )∫ ∫ ∫ π π π2

2

0

3 6

0

313 9

3

Aplicandoelteoremafundamentaldelcálculotenemos:

V x dx x= =

= ( )

− ( )

∫ π π π

9 9 7 937

07

6

0

3 7

0

3 7 7

=

= =π π921877

2437

109 058 3. u

Parahallareláreaexteriordelsólido:

Determinamoslaintegraldefinida,lacualconlafórmulaysabiendoquef(x)=x2setiene:

S f x f x dx x x dx

x x d

a

b= ( ) + ( )( ) = + ( )

= +

∫ ∫

∫

2 1 2 13

1

23

1

2 3 2 2

0

3

3 4

0

3

π π

π

'

xx


Integrandoporsustitución:

x x dxx3 44

32

11

6+ =

+( )∫

Yaplicandoelteoremafundamentaldelcálculotenemos:

S x x dxx

x= + =+( )

= +( )

∫23

1 23

1 4

6 913 4

0

3

32

0

3

432π π π

= + ( )( ) − + ( )( )

= −( ) =

0

3

432 4

32

91 3 1 0

982 82 1 258 846π π . u

I. Hallaporintegraciónelvolumendelsólidoderevolucióngeneradohaciendogiraralrededordelejexlaregiónlimitada,segúnseindica.Construirlagráfica.

1. y=x3,elejex,x=0yx=2

2. y=6–x,elejex,x=0yx=2

3. y=senx,elejex,x=0yx=

4. y=cos2x,elejex,x =π4yx =

34π

5. y=e–x,elejex,x=0yx=5

II. Hallaporintegraciónelvolumendelsólidoderevolucióngeneradohaciendogiraralrededordelejeylaregiónlimitada,segúnseindica.Construirlagráfica.

6. y=x3,elejex,x=0yx=2

7. y x= 8 ,elejex,x=0yx=2

8. y x= −4 ,elejex,x=0yx=4

9. x y= −3 ,elejey,y=0yx=3

10.y=ex,elejex,x=0yx=2

11.Seperforaunhoyode1cmderadioenunaesferasólidade3cmderadio,sielejedelhoyoeseldiá-metrodelaesfera,hallarelvolumenrestantedelaesfera.

140 UNIDAD III

12.Elconodelanarizdeuncoheteparaboloideobtenidomediantelarotacióndelacurvaes y x= yelejex,x=0yx=5alrededordelejex. Calculaelvolumendelanarizdelcohete.

III.Hallalalongituddearcodelacurvaqueseindica.

13. y x= −( )ln 1 3 desdex=0hastax =12

14.y=4x–x2porencimadelejex

15.y=senxdesdex=0hastax=

16.Hallaeláreadelasuperficiequesegeneracuandoelarcodelaparábolay=x2desdex=2hastax=2giraalrededordelejey.

17.Hallarelárealateraldelconotruncadoqueseobtienecuandoelsegmentodelarecta2y=x–4des-dex=0hastax=5giraalrededordelejex.

Aplicaciones de la integral definida en situaciones propias de las ciencias naturales y sociales

Conloscontenidosquesehanestudiadopuedessolucionarsituacionesprácticasycientíficasquerequieranuncálculoapartirdelaintegraldefinida.

¿Cuándoaplicolaintegraldefinida?

Enequiposdetrabajodecuatrointegrantesdeterminenlasoluciónalossiguientesproblemas.

1. Unapelotadefutbolamericanotiene16pulgadasdelargoyunasecciónplanaquecontieneunacos-tura;esunaelipsecuyodiámetromenoresde8pulgadas.Hallarsuvolumenylacantidaddecueroqueforrasuexterior.

2. Hallarlacantidaddematerialqueserequiereparafabricarunafigurasólidacomosemuestraenlafigu-

ra,sabiendoque f x sen x( ) ( )= − +13

1 2.Sisepintacompletamente,¿cuántapinturasenecesitará?

AActividad


3. Silafiguradelproblemaanteriorrepresentaunjarrón,¿cuálessucapacidad?Sieljarrónestáfabri-cadodebronce,previainvestigacióndelpreciodeestemetal,calculenelcostodelacantidaddeco-breempleado.

4. LavelocidaddeunapartículaenmovimientoesV ( t ) =2 t 2– 5 t enm/s.Encuentralafunciónquedescribesudesplazamientoyladistanciarecorridaenelintervalodetiempo[1,4].

5. UnaciertapoblaciónanimalcrecearazóndeP'(t)=200+50talaño(testámedidaenaños).¿Cuán-tocrecerálapoblaciónentreelcuartoyelnovenoaños?

6. Investiguenpreviamente,deformaindividualunproblemaresueltoenelcualseapliquelaintegraldefinida,conjúntenlosporequipoyanalicensusolución.Formenconellosunproblemariogrupaldemaneraqueseentregueacadaalumno.

7. Elijanalazarunalumnoqueexpongalasolucióndealgunodeestosproblemas.

142 UNIDAD III

I. Escribeenlalínealoquesepide.

1. Elteoremafundamentaldelcálculo:

2. Lafórmulaparadeterminarlalongituddeunarcoenunacurvadada:

3. Lafórmulaparadeterminarelvolumendeunsólidoderevolución:

4. Lafórmulaparadeterminareláreadeunsólidoderevolución:

5. Lalongituddelintervalo[1,5]:

6. Lalongituddecadasubintervaloresultantededividirelintervalo[1,5]en5partesiguales:

II.Efectúaentucuadernolossiguientesejerciciosysubrayalaopciónquemuestraelresulta-docorrecto.Elaborasucorrespondientegráfica.

1. ¿Cuáleselárealimitadaporlahipérbola yx

= 9 ,elejedelasxylasrectasx=3yx=6?

a) ln3u2 b) ln6u2 c) 6ln3u2 d) 9ln2u2

2. ¿Cuáleslasuperficielimitadaporlascurvasy2=4xy2x–y–4=0?

a) 9u2 b) 8u2 c) 12u2 d) 16u2


3. ¿Cuáleselvolumendelsólidoquesegenerahaciendogiraralrededordelejexlaregiónli-mitadaporlacurva2y2=x3,elejexylarecta=2?

a) 1/4u3 b) 4u3 c) 2u3 d) u3

4. ¿Cuáleselvolumendelsólidoquesegenerahaciendogiraralrededordelejeylaregiónli-mitadaporlacurvay=x3,elejexylarectax=2?

a) 65u3 b) (64/5)u3 c) (65/4)u3 d) 45u3

5. ¿Cuáleslalongituddelarcodelaparábola y x= 16

2desde(0,0)hasta(4,8/3).

a) 4.98u b) 4.89u c) 5.19u d) 3.14u

6. ¿Cuáleseláreadelsólidoquesegenerahaciendogiraralrededordelejeylaregiónlimitadaporlacurvay=x2desdey=0hastay=2?

a) 4u2 b) 3.5u2 c) (13/3)u2 d) (15/4)u2

AyresFrank,Jr.yElliotMendenlson(2001).Cálculo.Schaum.México,McGraw-HillInteramericana.

Garanville,WilliamAnthony(1981).Cálculo diferencial e integral.4ªed.México,Limusa.

Salazar Vázquez, Pedro y Jesús Lozada Hernández Jesús (1997).Matemáticas VI. México, sec.

Stewart,J.(2001).Cálculo, conceptos y contextos.México,ThomsonLearning.

Swokowski,EarlW.yYeffreyA.Cole(1997).Cálculo con geometría analítica.México,Ibe-roamericana.

Zill,DenissG.(1987).Cálculo con geometría analítica,México,Iberoamericana.

Prepárate para la prueba ENLACE y el examen de ingreso a la universidad

Contestaexclusivamentelahojaderespuestasqueseanexaalfinaldeestaprueba,seleccionan-dolaopcióncorrectadecadareactivo.

1. Eselresultadodelaoperación −

+ −

23

32

54

32es:

a) 4/5 b) –4/5 c) 7/4 d) –7/4 e) –5/4

2. Eselresultadodelaoperación −

+ −

+ −( )53

95

65

32

36 2 3 72 3

2 2 es:

a) 125/243 b) 5/9 c) 243 d) 216/5 e) 368/729

3. ¿Cuállistamuestralosnúmeros58,23y45ordenadosdemayoramenor?

a)23,45,58 b)

58,23,45 c)

45,23,58 d)

23,58,45 e)

58,45,

33

4. ¿Quéresultadoseobtienealconvertir30°30’15”aradianes?

a) 0.5324rad b) 0.5288rad c) 1736.14rad d) 0.2448rad e) 0.0543rad

5. Laraízcúbicade125es:

a) –5 b) –25 c) 62.5 d) 5 e) 12.5

6. Simplificalaexpresión 625.

a) 25 b) 252 c) 25 d) 312.5 e) 5 125

7. ¿Cuálexpresiónescorrecta,sia>b,cona,bycnúmerosreales?

a) a<b b) a>b+c c) a+c>b+c d) a>bc e) ac<b+c

8. Lasumadelostresángulosexterioresdecualquiertriánguloes:

a) 360º b) 90º c) 180º d) 45º e) 270º

9. 82/3esiguala:

a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32

10.Laexpresión(2xy+4x–6y)0esequivalentea:

a) 0 b) 1 c) Infinito d) Nodefinido e) xy

11.Eláreadelcírculocuyoradioes1/3mayorqueelotrocuyodiámetroes30cmes:

a) 400cm2 b) 40cm2 c) 1600cm2 d) 100cm2 e) 45cm2

12.Ladiagonaldeunrectángulodebase4cmmide5cm¿Cuálessualtura?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13.Laexpresión(–512)1/3esiguala:

a) 8 b) –8 c) 12 d) –12 e) 170.6

14.Lamediaaritméticadelascalificacionesdeunalumnoes8.4,silasumadelascalificacionesdetodassusmateriasesde67.2.¿Cuántasmateriascursóelalumno?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

15.Tresamigosfueronaladulcería.Miguelgastó$27ycompróuncarameloydospaletas.Luisgastó$41ycompróuncarameloydoschocolates¿CuántogastóHugosicompróuncara-melounapaletayunchocolate?

a) $15 b) $32 c) $34 d) $16 e) $36

16.Uncorredorclasificadodaaotrounaventajade15m.Silavelocidaddelprimeroesde8m/syladelsegundoesde7m/s.¿Aquedistanciadesulugardearranqueelsegundoco-rredorseráalcanzadoporelprimero.

a) 75m b) 120m c) 45m d) 105m e) 15m

17.Unamáquinaelaboraciertonúmerodepiezasplásticasenrelaciónlinealaltiempoquefun-cione.Sien1horaproduce4piezasyen3horas10piezas,¿cuántaspiezassefabricanen2horas?

a) 6piezas b) 7piezas c) 2piezas d) 5piezas e) 4piezas

18.Eltotaldeempleadosdebaseyeventualesenunaempresaes120,dedonde40soneven-tuales.¿Aquéporcentajedeltotalequivalenteelnúmerodeempleadosdebase?

a) 66.06% b) 66.66% c) 66% d) 33.33% e) 33%

19.Jorgetieneunterrenoenformacuadradaconunáreade289m2,quequiereemplearcomocorral.¿Cuántosmetrosdealambredepúatienequecomprarparapodercercarloscuatrolados?

a) 68m b) 72.25m c) 52m d) 76m e) 17m

20.Unatiendaderopaofreceel40%dedescuentoenlascamisas.SiRicardoaprovechalaofer-tacomprandounacamisaen$180.00,¿cuántoseahorroRicardoencomparaciónalprecioqueteníalacamisaantesdeldescuento?

a) 108 b) 120 c) 450 d) 220 e) 300

21.LaseñoraClaraledejaunanotaasuhijaPaolaparaquevayaalminisuperacomprarlone-cesarioparalacena.Enlanotasetienelasiguientetabla:

Producto Cantidadrequerida Costo

Tortilladeharina 2bolsas(10pzas.) $12.00c/uQuesodehebra $60.00kg

Jamón $50.00kgPandulce 12pzas. $4.50c/u

SiseledejaaPaola,unbilletede$200.00pararealizarlascompras.¿Cuántorecibirádecam-bioalrealizarlascompras?

a) $67.00 b) $73.50 c) $79.50 d) $91.50 e) $98.00

22.Unamáquinaelaboraembasesdeplásticopararefrescoenrelaciónlinealaltiempoquefun-cione.Sien1minproduce10embasesyen5minproduce50embases.¿Cuántosembasessefabricanen1horas?

a) 30embases b) 60embases c) 200embases d) 600embases e) 300embases

23.Gabrielaasisteauncongresopor6díasalpuertodeCancún,paralocualhacesuequipajecon3faldas,4blusasy2sacoscombinablesentresíyapropiadosalclimaquesepronosti-ca.Sideseacambiarsecadadíaigualnúmerodevecessinrepetirlacombinación,siendoestade3piezascadavez.¿Cuántasvecespodrácambiarsealdía?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 12

24.Karengasta al comprar10dulces y5 chiclesdeunmismo tipo respectivamente$60.00¿Cuántocuestandeestos,2dulcesy1chicle?

a) $5.00 b) $6.00 c) $10.00 d) $12.00 e) $15.00

25.Unallavellenacompletamentedeaguauncontenedoren40minutos,otrallenaelmismoen60minutos;sinohaypérdidadelíquidoenelproceso.Otrallave,conectadaparaeldes-agüe,vacíaelaguadelcontenedorllenoen2hrs.¿Cuántotardaríaelcontenedorvacíoenllenarsesiambasllavesyeldesagüeestánabiertasalmismotiempo?

a) 10minutos b) 20minutos c) 30minutos d) 45minutos e) 60minutos

26.Unincendioocurreenunapapeleríaubicadaa2kmalestey5kmalsurdelaestacióndebomberos.Elradiodeafectacióndelaexplosiónesde1km.Laecuaciónquedescribeelperímetrodeafectacióndelaexplosiónes:

a) x y x y2 2 4 10 28 0+ − + + = b) x y x y2 2 2 5 28 0+ − − + = c) x y x y2 2 2 5 30 0+ + + + = d) x y x y2 2 4 10 28 0+ + − + = e) x y x y2 2 4 10 30 0+ + − + =

27.¿Cuáleselradiodelacircunferenciadescritaporlaecuación3x2+3y2–3=0?

a) –3 b) 3 c) 0 d) 2 e) 1

28.¿Quéelementodacontinuidadalaserie: ?

a) b) c) d) e)

29.¿Cuáleslaopciónquepresentaelconjuntodecuerposgeométricosqueconformanlafigura?

a)

b)

c)

d)

e)

30.Karimeestáarmandounrompecabezasenformahexagonal.Sillevaarmadalaparteblan-

caqueequivalea1518,¿cuáldelasfigurasrepresentalacantidadquellevaarmada

a)

b)

c)

d)

e)

31.¿Quénúmeroeselquesigueenestasucesión:1,3,6,10,15,

a) 21 b) 24 c) 40 d) 18 e) 36

32.¿Quénúmeroeselquesigueenestasucesión:2,5,10,17,28,41,…

a) 49 b) 55 c) 58 d) 56 e) 60

33.Lafactorizacióndeltrinomio21x2+8x–45es:

a) (3x+5)(7x+9) b) (3x–5)(7x–9) c) (3x+5)(7x–9) d) (3x+15)(7x–3) e) (3x–15)(7x+3)

34.¿Cómoserepresentaalgebraicamente“ladiferenciadecubos?

a) (a–b)3 b) b3–a3 c) 3(a–b) d) (a3–b3)3 e) a3–b3

35.¿Quéexpresiónresultaaldesarrollar(x+2)(x2–2x+4)?

a) x3–6 b) x3+6 c) x3–8 d) x3+8 e) x3–4x+8

36.¿Cuáleselresultadodesimplificar2 9 55

2x xx− −

−?

a) 2x+1 b) 2x–1 c) –2x+1 d) –2x–1 e) x+5

37.Almultiplicar(2x+3y)(2x–3y)seobtiene:

a) 4x2+6y2 b) 4x2–6y2 c) 4x2–12xy–9y2

d) 4x2+9y2

e) 4x2–9y2

38.Alfactorizarx3–27seobtiene:

a) (x–3)(x2–3x+9) b) (x+3)(x2–3x+9) c) (x+1)(x2+27) d) (x+1)(x2–27) e) (x–3)(x2+3x+9)

39.¿Quévaloresdexsatisfacenladesigualdad5x+3>8x–6:

a) x<3 b) x>3 c) x<–3 d) x>–3 e) x>–1

40.Lagráficadef(x)=x2es:

a)

b)

c)

d)

e)

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Nombre: Apellidopaterno Apellidomaterno Nombre(s)

teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la ... · pdf fileel estudiante:...

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