Autor: Mario A. Jordán

Fundamentos de Control Realimentado

NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR,2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la

Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Clase 9 - Versión 1 - 2015

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Contenido

Propiedades Básicas de los Sistemas de Control

Rechazo a las perturbaciones

Propiedades comparativas de los SC a Lazo Abierto y Cerrado

Sensitividad a cambios de parámetros y de ganancia

Sensitividad de la respuesta temporal

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Formas de Hr :

Sistema de Control a Lazo Abierto

e-sd

YHr Dol GR´

Controlador Planta

PerturbaciónConformador(prefiltro)

tr ’ (t)

r(t)

tr ’ (t)

r(t)

t-d

r(t+d)

r ’ (t+d) t-d

r(t+d)

r ’ (t+d)

Si la planta tiene un retardo puro

Existen 2 componentes de salida para 2 entradas diferentes

Y2(s) = G´(s) W(s) para R(s)=0

Y1(s) = Hr(s) Dol(s) G(s) R(s) para W(s)=0

Se aplica el Principio de Superposición para R y W:

Y (s) = Hr(s) Dol(s) G(s) R(s) + G´(s) W(s)

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Sistema de Control a Lazo Cerrado

Y1(s)

R(s)Gcl(s) = = para W(s)=V(s)=0

1+Dc(s) G(s) Hy(s)

Hr(s) Dc(s) G(s)

Para la perturbación W y el ruido V se deben identificar las FT´s:G’(s) y Hy’(s), las cuales explican la causalidad de la perturbación

Para ello se aplicará el Principio de Superposición

Hr Dc G

Hy

Controlador Planta

PerturbaciónConformador(prefiltro)

Sensor

Ruido

Entradade referencia

3 Entradas y 1 Salida superpuesta

4

Disturbios5

Los disturbios engloban tanto a las perturbaciones como a los ruidos.

1) Ejemplo de Perturbación de baja frecuencia: Reactor químico con una perturbación en la concentración del producto c(t) :

Compresor

Reactivo 1

t

c(t)c(t)

Concentracióndel producto

Válvula 2Válvula 1

Rayo

Reactivo 2Reactor

p

p1 p2

Disturbios6

Ejemplo 2) Ruido persistente de alta frecuencia

Sistema de amortiguación con elementos defectuosos

Sistema deamortiguación Movimiento

(velocidad, aceleración)

Camino pedregoso

y(t)

x(t)

t

y(t)

vibración

perfil del suelo

Fricción en el cilindro de un amortiguador

Y1(s)

R(s)Gcl(s) = = para W(s)=0

1+Dc(s) G(s)

Dc(s) G(s)

Y2(s)

W(s)Gw(s) = = para R(s)=0

1+Dc(s) G(s)

G(s)

Y(s) = Gcl(s) R(s) + Gw(s) W(s)

Sistema de control con realimentación unitaria

Controlador Planta

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Rechazo a las Perturbaciones

Control a lazo abierto de velocidad de un motor DC

Torque de carga(perturbación)

rpm de referencia rpm del

motor

La performance depende de la calibración !

Notar que la perturbación se traslada a la salida produciendo error !

W (s) = Hr(s) Dol(s) Wref(s) + Tl(s)A

ts+1

B

ts+1

Controlador Prefiltro

No existe una forma de atenuar TI con el controlador

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Control a lazo cerrado de la velocidad de un motor DC

W (s) = Wref(s) +A/(ts+1)

1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)

Hr(s) Dcl(s)Tl(s)

B/(ts+1)

1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)

Rechazo a las perturbaciones

Torque de carga

rpm de referencia

rpm del motor

La influencia de la perturbación en la salida puede ser atenuada !

La performance AHORA depende de la realimentación !

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Control a LAZO CERRADO de velocidad de un motor DC

COMPARACIÓN

W (s) = Wref(s) +A/(ts+1)

1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)

Hr(s) Dcl(s)Tl(s)

B/(ts+1)

1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)

Control a LAZO ABIERTO de velocidad de un motor DC

W (s) = Hr(s) Dol(s) Wref(s) + Tl(s)A

ts+1

B

ts+1

La ganancia controlador Dcl, puede aumentarse para atenuar la

incidencia de la perturbación Tl en la salida W (s) !

No existen grados de libertad para atenuar la perturbación !

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Rechazo a las perturbaciones en estado estacionario

Si Tl es un escalón, Tl(s)=a/s , su influencia sobre la salida en lazo cerrado se aprecia en el estado estacionario de la siguiente forma:

B/(ts+1)

1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1)

a

slims0

s = a1+Hy(0) Dcl(0) A

BWw() =

Con respecto al SLA, en el SLC aparece el factor:1+Hy(0) Dcl(0) A

1

Al denominador : Hy(0) Dcl(0) A se denomina: GANANCIA DE LAZO

ABIERTO en estado estacionario

Eligiendo la GANANCIA DE LAZO ABIERTO tal que: Hy(0) Dcl(0) A>>B,

se logra disminuir el efecto de la perturbación. La ganancia del

controlador es la variable de diseño en el rechazo a la perturbación

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Definición 1: Se denomina SENSITIVIDAD de GANANCIA de un

Sistema de Control al TENOR de incidencia en su GANANCIA provocada

por una VARIACIÓN de los PARÁMETROS en la Planta.

Efecto de Variación de Parámetros en los SC

Definición 2: Se denomina SENSITIVIDAD de SALIDA de un Sistema

de Control al TENOR de incidencia en su SALIDA provocada por una

VARIACIÓN de los PARÁMETROS en la Planta.

Dicho TENOR de incidencia se describe a través de una Función

denominada Sensitividad. Es distinta para los casos de SC en LA y LC

La Sensitividad expresa dicha variación de Ganancia o Salida en

forma normalizada, es decir porcentual del parámetro.

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Sistema de Control a lazo abierto – Ejemplo Motor DC

Sea la ganancia Kol del controlador y Tol =(Kol A) la ganancia del sistema de LA. Una variación causada por el cambio del parámetro A de la planta produce:

La variación normalizada del parámetro A es:

Función de Sensitividad de Ganancia en el SC de Lazo Abierto

La función de Sensitividad de la Ganancia en LA se define a través de:

dA

A

A

ol

S = 1

Sensitividad de Ganancia

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Sistema de Control a lazo cerrado – Ejemplo Motor DC

Sea la ganancia de lazo cerrado:

La variación de Tcl es:

cl

cl cl

cl

Normalización

Función de Sensitividad

A

clS

Función de Sensitividad de Ganancia de LC:

Tcl = Tcl

A A

A

cll

S =clS

Función de Sensitividad de Ganancia enel SC de Lazo Cerrado

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Control a LAZO CERRADO de velocidad de un motor DC

Resumen: Sensitividad de Ganancia

Control a LAZO ABIERTO de velocidad de un motor DC

A

ol

S=

A

cl

S=

A

ol

S = 1

A

cl

S =

CONCLUSIÓN: Si >> 1 la Sensitividad de Ganancia del Sistema de LC disminuye significativamente y es mucho menorque la Sensitividad de Ganancia del Sistema de LA

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Sensitividad de Salida

Definición: dada la salida y del sistema se define

Sensitividad de Salida respecto a un parámetro como:

o en una forma logarítmica:

Usualmente es un coeficiente de la planta como por ejemplo, la ubicación de un polo o cero, o la ganancia.

16

Sensitividad de Salida ante cambios paramétricos

Analicemos las FT’s de los sistema a LA y a LC

W (s) = Dol(s) Wref(s)A

ts+1A lazo abierto

A lazo cerrado

Si t es el parámetro de influencia, luego las Sensitividades son:

W (s) = Wref(s)Dcl(s)

Ats+1

Ats+1

1 + Dcl(s)

y

= y t -sts+1

y

= y t -sts+1+DclA

Para Lazo Abierto

Para Lazo Cerrado

17

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Tiempo (seg)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sensitividad de Salida ante cambios

Paramétricos (ejemplo )

yol

Planta: A=2, =0.8

SC LA: Dol=0.5

SC LC: Dcl=10,

Variación param.: =-20%

yol

yol +yol

yol +yol

ycl +ycl

ycl

ZOOM

ycl +ycl

ycl

Sólo afecta el transitorio!

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CONCLUSIÓNAumentando la ganancia del controlador Dcl es posible:

2) Aumentando la ganancia del controlador Dcl es posible reducir las constantes de tiempo del sistema lo cual implica AUMENTAR la RAPIDEZ de la planta controlada en lazo cerrado

Lazo cerrado

Lazo abierto

3) Aumentando la ganancia del controlador Dcl en forma desmesurada, el SC puede entrar en un estado de inestabilidad.

1) REDUCIR LA SENSITIVIDAD de variaciones de las constantes de tiempo comparativamente con el caso de lazo abierto

y

= y t -sts+1

y

= y t -sts+1+DclA

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