Optimizacin de un Simulador de Estructuras Aporticadas usando

UCSparseLib

R. Espinoza (1), J. Flrez-Lpez (1), G. Larrazbal(2)

(1) Facultad de Ingeniera, Centro de Investigacin en Matemticas Aplicadas (CIMA), Universidad de Los Andes, Av. Alberto Carnevalli, Ncleo La Hechicera, Mrida-Venezuela.

Email: richardg@ula.ve, iflorez@ula.ve .

(2) Facultad de Ciencias y Tecnologa (FACYT), Centro Multidisiplinario de Visualizacin y Cmputo Cientfico (CeMViCC), Universidad de Carabobo, Av. Montes de Oca, No. 120-267, Edificio FACYT,

Valencia-Venezuela. Email: glarraza@uc.edu.ve .

Resumen: En este trabajo se presenta una optimizacin del programa procesador, utilizado por la herramienta Portal de prticos (http://portaldeporticos.ula.ve). Este es un programa de elementos finitos escrito en FORTRAN-90, basado en la Teora del Dao Concentrado para simulacin de prticos planos. Este programa permite el anlisis y la simulacin numrica de estructuras de concreto armado, que son sometidas a sismos u otro tipo de solicitaciones. Se acopl la biblioteca UCSparseLib (University of Carabobo Sparse Library) con la finalidad de disminuir el tiempo de la simulacin. Los resultados experimentales muestran una reduccin del tiempo de simulacin de ms del 80% para los casos de pruebas.

Palabras claves: Simulacin numrica, Elementos finitos, Resolucin de sistemas lineales de ecuaciones.

Abstract: An optimization for the program procesador is presented in this paper. This is a finite element program used by the Portal of Damage (http://portaldeporticos.ula.ve) and written in FORTRAN-90, based in concepts of Lumped Damage Mechanics to the simulation of planar frames. This program

allows the analysis and numerical simulation of reinforced concrete framed structures under earthquakes or other exceptional overloads. The UCSparceLib library (University of Carabobo Sparse Library) was included with the purpose of reducing the time of the simulation. The experimental results show a reduction of 80 % in the simulation time for the examples presented. Keywords: Numerical simulation, finite element method, Resolution of linear systems.

1 INTRODUCCIN Aunque la resistencia de materiales y los mtodos clsicos de anlisis han facilitado la solucin de buena parte de los problemas de clculo en ingeniera estructural, hay algunos casos que resultan inabordables por los citados mtodos. Para solucionar estas situaciones se vienen desarrollando, desde hace aos, mtodos basados en formulaciones continuas de los problemas, utilizando programas de clculo por el Mtodo de los Elementos Finitos.

En los ltimos aos, el uso de programas computacionales en los procesos de anlisis y diseo en ingeniera se ha extendido ampliamente. Particularmente en ingeniera estructural, los programas de anlisis cubren un campo de aplicaciones que van desde las estructuras aporticadas, con muros, hasta la

inclusin de los pisos o coberturas laminares que pueden ser modelados con elementos finitos apropiados. En la actualidad se cuenta con programas de uso general, para diversos tipos de estructuras: edificios, puentes, losas, estructuras analizables con estados planos de esfuerzo o deformacin, etc. tales como SAP en sus diferentes versiones, ABAQUS, GTSTRULD, ETABS, etc. Sin embargo, la demanda mayor sigue siendo la de edificios, y por esta razn tambin hay programas diseados exclusivamente para su uso en estas estructuras. Estos programas, aparte de la evidente desventaja de su estrecho campo de aplicacin, tienen las ventajas siguientes:

Facilidad en el ingreso de datos, enfocado en

trabajar con trminos propios de los edificios, pues el modelo se hace a partir de pisos, vanos, ejes de columnas, muros, en lugar de nudos y elementos genricos.

En forma consistente con los datos, los

resultados son presentados en forma rpidamente entendible para el ingeniero, de acuerdo con cada elemento de la estructura.

A nivel interno de programacin, los

mtodos de solucin de las ecuaciones involucradas se concentran en aquellas ms apropiadas, segn las caractersticas numricas de un problema que viene a ser tpico. El portal de prticos [2]

(http://portaldeporticos.ula.ve) es una de estas herramientas va web para el anlisis y la simu-lacin de estructuras aporticadas, este portal es un programa de elementos finitos basado en la Teora del Dao Concentrado, esta teora combina: La Mecnica de la fractura, Mecnica del Dao y el concepto de Rtula Plstica. La teora de dao concentrado es usada para modelar la conducta de prticos de concreto armado [8, 9, 10, 11]. El programa usado en el

portal de prticos (procesador), es un programa secuencial escrito en FORTRAN-90.

El ncleo computacional que consume mayor cantidad de tiempo de CPU en un paquete de simulacin numrica en ingeniera es el mdulo que resuelve los sistemas lineales de ecuaciones. El tiempo que consume este mdulo es, en el mejor de los casos, 70% del tiempo total de una simulacin. En nuestro caso particular, al hacer un anlisis de la forma de la matriz y el tiempo de CPU utilizado en resolver el sistema de ecuaciones lineales, que se genera al aplicar el mtodo de los elementos finitos, se nota que la estructura de la matriz de coeficientes tiene una gran cantidad de entradas nulas, lo que indica que puede ser considerada una matriz tipo sparse y mediante el gprof (herramienta de LINUX para depurar programas) se obtiene que la solucin de los sistemas de ecuaciones representa aproximadamente el 80 % del tiempo total de la simulacin. El mdulo original del programa desarrollado usa como mtodo de solucin una eliminacin gaussiana con pivoteo total.

En virtud de estas consideraciones se estudi e implement en el programa procesador la biblioteca UCSparseLib (University of Carabobo Sparse Library) [7], cuya estructura de datos usada para al almacenamiento y manipulacin de matrices dispersas est basada en el formato compacto de almacenamiento CRS (Compressed Row Storage) [1, 3, 5] la cual ha demostrado ser eficiente en las aplicaciones donde ha sido utilizada.

2 MODELO DE DAO CONCENTRADO PARA PRTICOS DE CONCRETO ARMADO Las Deformaciones Generalizadas y los Esfuerzos Generalizados de un prtico plano estn dadas por ( )= ,, jit y

),,( nmm jit =M respectivamente, donde i ,

j son las rotaciones en los extremos i y j del

miembro, es la deformacin axial, as como im , jm son los momentos flectores y n es la

fuerza axial (ver figura 1b, 1c). Los principales fenmenos que ocurren en un prtico de concreto armado son: la cedencia del refuerzo y el agrietamiento del concreto, para estudiar estos fenmenos en [8] se adopta el modelo que considera que todos los fenmenos inelsticos se concentran en las rtulas plsticas o inelsticas de un miembro formado por el ensamblaje de una viga-columna elstica y dos rotulas en los extremos (ver figura 1d).

La teora de prticos elasto-plsticos se obtiene introduciendo una variable interna que denota las deformaciones plsticas generalizadas ( )0,,)( pjpitp = donde pi y

pj son las rotaciones plsticas de las rtulas

en los extremos i y j y la mecnica del dao concentrado por la introduccin de parmetros internos ( )ji ddD ,= llamados dao, que estn relacionados con las rtulas plsticas (figura 1d), di y dj son variables que miden la intensidad de las micro-grietas y pueden tomar valores entre 0 y 1, es decir, 10 id y

10 jd . Con estas consideraciones el modelo de

dao concentrado usado para simular prticos de concreto armado puede describirse usando el conjunto de ecuaciones que se describen en [8, 9, 10, 11] con lo cual se tiene que: a) Ley de estado.

( )[ ]MDFp = }{ (1)

donde [ ])(DF es la matriz de flexibilidad de un elemento de concreto armado agrietado y est dada por:

[ ]( )

=

03

0220

21

012

011

00

01

01

)(

Fd

FF

Fd

F

DFj

i

(2)

b) Leyes de evolucin del dao.

b.1) Energa de Deformacin

( )[ ]MMM

DF

W

t

pt

21

* }{21

===

(3)

b.2) Tasa de Disipacin de energa

=

=

==

2

022

2

2

011

2

**

)1(2,

)1(2

,),(G

j

j

i

i

jiji

t

dFm

dFm

dW

dWGG

(4)

Donde iG y jG representan las tasas de disipacin de energa para las rtulas i y j respectivamente. b.3) Funcin de resistencia al

agrietamiento

i

icri d

dqGdR +=

1)1log()( (5)

donde Gcr y q son parmetros que dependen de las propiedades del material.

Figura 1: a) Grados de libertad del nodo; b) Esfuerzos y deformaciones generalizadas; c) Fuerza axial y momento flector; d) Variable de dao en c/u de las rtulas

b.4) El criterio de Griffth para la rtula i es:

==>

(a) (b)

Figura 2: Ejemplo de numeracin de un prtico de 24 nodos y 35 elementos

{ } { }{ }{ } { } { }rkrkrkrk

UU

rk

UUU

UULUL

rk

11

1

y

0)}({

++

+=

+=

=

+

(11)

para ello se determinarn )}({ rkUL y

{ } { }rkUUUL

=

que son llamadas matrices

globales.

Sin embargo, para encontrar estas matrices, ser necesario resolver los m problemas locales que consisten en determinar las matrices locales

{ }{ } { }rkUU

rk U

MyUM=

)( (12)

para cada elemento de la estructura y as poder ensamblar las matrices globales

[ ] { } [ ]{ } { } = ==

m

b UU

tm

b

rk

trk

UMByUMB

11)( (13)

y por consiguiente resolver el sistema

{ }{ } { }{ } 0)( 1 =+ += rkUUrk UULUL rk (14)

Este es un sistema de ecuaciones lineales de la forma Ax=b cuya matriz de coeficientes tiene dimensiones 3nx3n, puesto que se estudian 3 desplazamientos por nodo (ver figura 1a) y n representa el nmero de nodos de la estructura.

El programa procesador utilizado en http://portaldeporticos.ula.ve utiliza este anlisis, y el modelo de la teora del dao concentrado, y el mtodo de elementos finitos, en un programa secuencial desarrollado en FORTRAN-90 y ste tiene implementado un mtodo directo para resolver el sistema de ecuaciones lineales generados a travs de la discretizacin utilizada.

4 OPTIMIZACIN DEL CDIGO En esta primera etapa se us la herramienta gprof (Herramienta de LINUX que muestra un anlisis del tiempo de CPU que consume cada subrutina) y con los resultados mostrados por gprof, se identificaron las zonas del cdigo que consumen mayor cantidad de tiempo.

En la tabla 1 se muestra una salida tpica de gprof, en la cual queda en evidencia que la subrutina rfssedpglobal (encargada de

resolver el sistema global de ecuaciones lineales) es la que consume el mayor tiempo en la simulacin y en segundo lugar la rutina rfssedp encargada de resolver los m sistemas locales de ecuaciones lineales en cada instante de tiempo, siendo m el nmero de elementos del prtico.

Basados en la informacin dada por gprof se analizaron matrices de muestra en la simulacin para medir el tiempo que tarda en resolverse el sistema Ax=b en una iteracin, si se usa una u otra subrutina, es decir, UCSparseLib y la utilizada en procesador la que llamaremos normal.

Los resultados obtenidos de este anlisis muestran que la rutina que est implementada (normal) tarda 4.0seg. en resolver el sistema aproximadamente, mientras que UCSparseLib tarda aproximadamente 0,01 seg.

En cuanto a la forma de la matriz, en la Figura 3, se muestra sta para un prtico de 30 pisos y cuyo tamao es de 372x372 con un total de elementos no nulos de 1960 lo que representa aproximadamente un 2% de entradas no nulas del total y puede ser considerada una matriz tipo sparse.

Puesto que estos resultados son favorables para el uso de la biblioteca UCSparseLib se decidi implementar sta al programa procesador.

4.1 ACOPLAMIENTO DE UCSparseLib AL PROGRAMA PROCESADOR

Para acoplar la biblioteca UCSparseLib al programa procesador fue necesario resolver dos problemas, a saber:

1. El formato de almacenamiento que usa UCSparseLib, se basa en un formato compacto similar al CRS (Compressed Row Storage) mientras que el formato usado en el procesador es un formato completo, es decir se almacena toda la matriz incluyendo los ceros.

2. El otro problema es el hecho que UCSparseLib est escrita en ANSI C y por tanto se cre un mdulo para poder enlazar sta con el programa procesador que est escrito en FORTRAN-90.

Para resolver estos inconvenientes, se estudi el formato de almacenamiento CRS (Compressed Row Storage).

Tabla 1: Salida del gprof para un prtico de treinta pisos

Flat profile: Each sample counts as 0.01 seconds. % cumulative self self total time seconds seconds calls Ks/call Ks/call name 73.19 5205.42 5205.42 21288 0.00 0.00 rfssedpglobal_ 8.17 5786.31 580.89 1 0.58 6.39 MAIN__ 5.55 6181.30 394.99 for_cpstr 2.68 6371.83 190.53 19412062 0.00 0.00 rfssedp_ 1.53 6480.95 109.12 cvtas_a_to_t 1.13 6561.63 80.68 293369500 0.00 0.00 cal_dano_ 0.82 6620.27 58.63 388110574 0.00 0.00 datosdefinidos_mp_truncar_ 0.63 6665.40 45.13 146684750 0.00 0.00 cal_f_ 0.51 6701.69 36.28 4470548 0.00 0.00 pro_3mat_ 0.43 6731.99 30.30 22170040 0.00 0.00 pro_2mat_ 0.36 6757.77 25.78 pow.J 0.36 6783.12 25.35 rs_get_field 0.35 6807.73 24.61 10470966 0.00 0.00 cal_hiper_ 0.30 6829.34 21.60 for_read_seq_lis_xmit 0.29 6850.12 20.79 for_read_seq_fmt_xmit 0.28 6869.77 19.65 293369500 0.00 0.00 cal_plast_ 0.27 6889.23 19.45 cvt_text_to_ieee_t 0.23 6905.70 16.48 4470548 0.00 0.00 cal_tang_ 0.20 6919.59 13.88 72988576 0.00 0.00 interpolacion_

Figura 3: Forma de la matriz de coeficientes en

el sistema Ax=b

Este formato consiste en almacenar la matriz A de n filas por n columnas, en tres vectores (AN,JA,IA), donde AN es el vector de las entradas no nulas de A, JA es el vector que almacena el ndice de la columna en la que se encuentra cada elemento no nulo e IA es el vector que indica el ndice en AN del elemento que comienza cada nueva fila (ver Figura 4).

Figura 4: Formato CRS para una matriz 4x4

con 10 elementos no-nulos.

Este formato se implement en el programa procesador mediante la creacin de una subrutina en FORTRAN-90 llamada formatoCRS y que toma como entrada una matriz A, la dimensin de esta y construye los vectores AN, AJ e IA del formato CRS, as como tambin cuenta la cantidad de entradas no nulas (nz) de la matriz A.

Para poder acoplar UCSparseLib con el programa procesador se cre un mdulo en la biblioteca UCSparseLib, llamado portico.c que hace posible esta integracin.

5 RESULTADOS NUMRICOS

La rutina desarrollada se integro al programa procesador y se verific su aplicabilidad usando algunos prticos de concreto armado diseados segn las normas venezolanas, cada uno de estos ejemplos se introduce al programa procesador mediante un archivo con extensin .inp en el cual se describen las caractersticas del concreto, del refuerzo, las dimensiones de las vigas y columnas, la numeracin de nodos y elementos, etc. La descripcin ms relevante de estos ejemplos desde el punto de vista de este trabajo se muestran en la tabla 2.

El nmero de pisos y el nmero de tramos nos da el nmero de nodos de la estructura por ejemplo, un prtico de 5 pisos y 3 tramos tiene 24 nodos (ver figura 2) y el nmero de nodos nos da el tamao de la matriz. Otro dato relevante es el sismo, el llamado elcents.amp es el registro de un sismo ocurrido en la ciudad de California, los otros son sismos sintticos generados con los espectros de respuestas. Por ltimo tenemos la duracin de cada uno de los sismos.

Cuando se corrieron estos ejemplos en el procesador, la solucin en cuanto a los resultados del anlisis usando una rutina u otra no difieren significativamente. Por consiguiente se compararon otros parmetros de la simulacin: el tiempo total de CPU (T. Total), el nmero de llamadas realizadas a la subrutina que resuelve el sistema global de ecuaciones Ax=b (No. de LL), el tiempo total en resolver el sistema Ax=b (T. de Ax=b) y el porcentaje de tiempo de CPU gastado en resolver el sistema (% Ax=b) para cada uno de los ejemplos descritos en la tabla 2, los resultados obtenidos usando la subrutina original se muestran en la tabla 3.

En esta tabla se observa cmo el porcentaje del tiempo empleado en resolver el sistema Ax=b aumenta a medida que aumenta el tamao de la matriz.

=

10009087605403201

A( )91067854231=AN( )1412332341=JA

( )119641=IA

Tabla 2: Descripcin de los prticos usados como ejemplos. Nombre del No. De No. de No. de Tamao de Nombre del D. Sismo

No. Archivo Pisos tramos Nodos la Matriz Sismo (seg) 1 Portico2 7 5 48 144x144 elcentns.amp 29 2 PorticoAyF 7 2 24 72x72 elcentns.amp 29 3 A2111 8 3 36 108x108 z3s2gb2.amp 29 4 Por_10 10 3 44 132x132 z2s2ga.amp 29 5 Por_12 12 3 52 156x156 z7s2gb2.amp 29 6 Por12_ultimo 12 3 52 156x156 z7s2gb2.amp 29 7 A4111 16 3 68 204x204 z7s2gb2.amp 29 8 A4311 16 3 68 204x204 z3s2gb2.amp 29 9 Por_30z3 30 3 124 372x372 z3s2gb2.amp 29

10 Por_30cen 30 3 124 372x372 elcentns.amp 58

Tabla 3: Resultados obtenidos usando la rutina normal No. Nombre T de Ax=b No de LL. T. Total % Ax=b 1 Portico2 1,55 13901 9,07 17,07 2 PorticoAyF 0,17 12951 3,71 4,57 3 A2111 0,58 12486 6,44 9,01 4 Por_10 No se consigui convergencia 5 Por_12 3,66 24449 17,57 20,84 6 Por12_ultimo 3,66 24449 17,73 20,65 7 A4111 8,78 24063 24,48 35,87 8 A4311 5,03 13642 14,05 35,80 9 Por_30z3 72,28 13637 85,48 84,56

10 Por_30cen 147,99 28253 173,10 85,49

Tabla 4: Resultados obtenidos usando UCSparseLib No. Nombre T de Ax=b No de LL. T. Total % Ax=b 1 Portico2 0,11 13602 7,91 1,06 2 PorticoAyF 0,04 12528 3,70 1,04 3 A2111 0,07 12705 6,40 1,13 4 Por_10 0,14 13918 9,86 1,43 5 Por_12 0,19 24563 15,40 1,21 6 Por12_ultimo 0,19 24563 15,35 1,21 7 A4111 0,25 24230 17,23 1,42 8 A4311 0,14 13531 9,69 1,49 9 Por_30z3 0,26 13678 16,49 1,59

10 Por_30cen 0,51 28219 28,76 1,77

Los resultados usando UCSparseLib se

muestran en la tabla 4. Al comparar estos resultados, con los

mostrados en la tabla 3 se aprecia cmo el porcentaje de tiempo usado en resolver el sistema de ecuaciones Ax=b no presenta ese

aumento en relacin con el tamao de la matriz, tambin hay que resaltar el hecho que en el ejemplo 4 (Por_10) usando UCSparseLib se consigue convergencia.

En la figura 5, se hace una comparacin del tiempo total de CPU utilizado en cada uno de

los ejemplos y se observa cmo este tiempo disminuye considerablemente al hacer uso de la

biblioteca UCSparseLib.

0,00

60,00

120,00

180,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prticos

tiem

po (m

in)

Normal

UCSparseLib

Figura 5: Comparacin en el Tiempo de CPU utilizado

En la figura 6 se compara el nmero de veces que se llama a la rutina que resuelve el sistema de ecuaciones Ax=b y se evidencia que este nmero no cambia considerablemente de modo que queda claro que no es all donde se optimiza el tiempo al usar UCSparseLib sino en la forma como esta biblioteca resuelve el sistema.

0

10000

20000

30000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prticos

Normal

UCSparseLib

Figura 6: Comparacin en el nmero de

llamadas

En la figura 7 se puede apreciar que antes de usar UCSparseLib el porcentaje del tiempo en la resolucin del sistema Ax=b, en algunos de los ejemplos, est cerca de 90% del tiempo total de la simulacin, mientras que al usar

UCSparseLib en los mismos ejemplos este porcentaje no alcanza el 2% (ver figura 8).

Normal

17,07

4,579,01

0,00

20,84 20,65

35,87 35,80

84,56 85,49

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prticos

% ti

empo

Figura 7: Porcentaje del tiempo de CPU

utilizado en resolver el sistema Ax=b

UCSparseLib

1,58

1,04 1,09

1,401,22 1,21

1,40 1,39

1,631,72

0,000,200,400,600,801,001,201,401,601,802,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Prticos

% d

e Ti

empo

Figura 8: Porcentaje del tiempo de CPU

utilizado en resolver el sistema Ax=b

6 CONCLUSIN Y TRABAJO FUTURO En las grficas y tablas mostradas se puede apreciar que el uso de la biblioteca UCSparseLib trae como principal ventaja la optimizacin del tiempo de la simulacin, que en algunos casos logra una disminucin de hasta el 80% del tiempo antes de la implementacin, esto hace que el uso del portal http://portaldeporticos.ula.ve para realizar el anlisis y las simulaciones de estructuras aporticadas usando la teora del dao concentrado sea ms accesible a los usuarios de dicho portal. Otro resultado interesante es el

hecho de que para algunos ejemplos al usar UCSparseLib estos consiguen convergencia.

Una vez terminada esta primera etapa, se plantea como continuacin de sta optimizar el tiempo que consume la rutina rfssedp. Puesto que los sistemas de ecuaciones que resuelve esta rutina son 3x3, no se piensa en implementar UCSparseLib sino aprovechar la computacin paralela para atacar este problema haciendo una divisin del prtico.

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