1-1

Capítulo tresDescripción de los datos: medidas de ubicación

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

UNOCalcular la media aritmética, mediana, moda, media ponderada y media geométrica.

DOS Explicar las características, utilización, ventajas y desventajas de cada medida de ubicación.

TRESIdentificar la posición de la media aritmética, la mediana, y la moda, tanto para distribuciones simétricas como asimétricas o sesgadas.

Media de la poblaciónMedia de la población Para datos no agrupados, la Para datos no agrupados, la media de la media de la

población población es la suma de todos los valores en ella es la suma de todos los valores en ella dividida entre el total de valores en la población:dividida entre el total de valores en la población:

donde donde µµ representa la media de la población.representa la media de la población. NN es el es el número total de elementos en la número total de elementos en la

población.población. XX representa cualquier valor en particular. representa cualquier valor en particular. indica la operación de sumar.indica la operación de sumar.

X N/

3-2

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Parámetro:Parámetro: una característica de una una característica de una población.población.

La familia Calderón posee cuatro carros. Los La familia Calderón posee cuatro carros. Los datos son las millas recorridas por cada uno:datos son las millas recorridas por cada uno:56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre 56 000, 23 000, 42 000 y 73 000. Encuentre el promedio de millas de los cuatro carros.el promedio de millas de los cuatro carros.

Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 Esto es (56 000 + 23 000 + 42 000 + 73 000)/4 = 48 500000)/4 = 48 500

3-3

Media de una muestraMedia de una muestra Para datos no agrupados, la media de Para datos no agrupados, la media de

una muestra es la suma de todos los una muestra es la suma de todos los valores divididos entre el número total valores divididos entre el número total de los mismos:de los mismos:

donde donde XX denota la media muestral denota la media muestral nn es el número total de valores en la es el número total de valores en la

muestra.muestra.

X X n /

3-4

EJEMPLO 2EJEMPLO 2 Dato estadístico:Dato estadístico: una característica de una una característica de una

muestra.muestra. Una muestra de cinco ejecutivos recibió la Una muestra de cinco ejecutivos recibió la

siguiente cantidad en bonos el año pasado: siguiente cantidad en bonos el año pasado: $14 000, $15 000, $17 000, $16 000 y $14 000, $15 000, $17 000, $16 000 y

$15 000. Encuentre el promedio en bonos para $15 000. Encuentre el promedio en bonos para los cinco ejecutivos.los cinco ejecutivos.

Como estos valores representan la muestra de Como estos valores representan la muestra de 5 ejecutivos, la media de la muestra es 5 ejecutivos, la media de la muestra es

(14 000 + 15 000 + 17 000 + 16 000 + (14 000 + 15 000 + 17 000 + 16 000 +

15 000) / 5 = $15 40015 000) / 5 = $15 400..

3-5

Propiedades de la media Propiedades de la media aritméticaaritmética

Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de Todo conjunto de datos de nivel de intervalo y de nivel de razón tiene un valor medio.nivel de razón tiene un valor medio.

Al evaluar la media se incluyen todos los valores.Al evaluar la media se incluyen todos los valores. Un conjunto de valores sólo tiene una media.Un conjunto de valores sólo tiene una media. La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la La cantidad de datos a evaluar rara vez afecta la

media.media. La media es la única medida de ubicación donde La media es la única medida de ubicación donde

la suma de las desviaciones de cada valor con la suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media, siempre es cero.respecto a la media, siempre es cero.

3-6

EJEMPLO 3EJEMPLO 3

Considere el conjunto de valores: 3, Considere el conjunto de valores: 3, 8 y 4. La media es 5. Para ilustrar 8 y 4. La media es 5. Para ilustrar la quinta propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) la quinta propiedad, (3 - 5) + (8 - 5) + (4 - 5) = - 2 + 3 - 1 = 0. En otras + (4 - 5) = - 2 + 3 - 1 = 0. En otras palabras, palabras,

( )X X 0

3-7

MedianaMediana Mediana:Mediana: es el punto medio de los valores es el punto medio de los valores

después de ordenarlos de menor a mayor, después de ordenarlos de menor a mayor, o de mayor a menor. La misma cantidad o de mayor a menor. La misma cantidad de valores se encuentra por arriba de la de valores se encuentra por arriba de la mediana que por debajo de ella.mediana que por debajo de ella.

NotaNota:: para un conjunto con un número par para un conjunto con un número par de números, la mediana será el promedio de números, la mediana será el promedio aritmético de los dos números medios.aritmético de los dos números medios.

3-10

EJEMPLO 4EJEMPLO 4 Calcule la mediana para los siguientes datos.Calcule la mediana para los siguientes datos. La edad de una muestra de cinco estudiantes La edad de una muestra de cinco estudiantes

es: 21, 25, 19, 20 y 22.es: 21, 25, 19, 20 y 22. Al ordenar los datos de manera ascendente Al ordenar los datos de manera ascendente

quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21.quedan: 19, 20, 21, 22, 25. La mediana es 21. La altura, en pulgadas, de cuatro jugadores La altura, en pulgadas, de cuatro jugadores

de básquetbol es 76, 73, 80 y 75.de básquetbol es 76, 73, 80 y 75. Al ordenar los datos de manera ascendente Al ordenar los datos de manera ascendente

quedan: 73, 75, 76, 80. La mediana es 75.5.quedan: 73, 75, 76, 80. La mediana es 75.5.

3-11

Propiedades de la medianaPropiedades de la mediana La mediana es única para cada conjunto de datos.La mediana es única para cada conjunto de datos. No se ve afectada por valores muy grandes o muy No se ve afectada por valores muy grandes o muy

pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de pequeños, y por lo tanto es una medida valiosa de tendencia central cuando ocurren.tendencia central cuando ocurren.

Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de Puede obtenerse para datos de nivel de razón, de intervalo y ordinal.intervalo y ordinal.

Puede calcularse para una distribución de Puede calcularse para una distribución de frecuencias con una clase de extremo abierto, si la frecuencias con una clase de extremo abierto, si la mediana no se encuentra en una de estas clases.mediana no se encuentra en una de estas clases.

3-12

ModaModa

La La modamoda es el valor de la observación es el valor de la observación que aparece con másque aparece con más frecuencia. frecuencia.

EJEMPLO 5EJEMPLO 5:: las calificaciones de un las calificaciones de un examen de diez estudiantes son: 81, examen de diez estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87. Como la calificación 81 es la que más Como la calificación 81 es la que más ocurre, la calificación modal es 81.ocurre, la calificación modal es 81.

3-13

Media de datos agrupadosMedia de datos agrupados La media de una muestra de datos La media de una muestra de datos

organizados en una distribución de organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula:siguiente fórmula:

XXf

f

Xf

n

3-18

EJEMPLO 9EJEMPLO 9

Una muestra de diez cines en una Una muestra de diez cines en una gran área metropolitana dio el gran área metropolitana dio el número total de películas exhibidas número total de películas exhibidas la semana anterior. Calcule la media la semana anterior. Calcule la media de las películas proyectadas.de las películas proyectadas.

XXf

f

Xf

n

3-19

EJEMPLO 9 EJEMPLO 9 continuacióncontinuaciónPelículasexhibidas

frecuenciaf

punto mediode clase X

(f)(X)

1-2 1 1.5 1.5

3-4 2 3.5 7.0

5-6 3 5.5 16.5

7-8 1 7.5 7.5

9-10 3 9.5 28.5

Total 10 61

61/10 = 6.1 películas

3-20

Mediana de datos Mediana de datos agrupadosagrupados La mediana de una muestra de datos La mediana de una muestra de datos

organizados en una distribución de frecuencias organizados en una distribución de frecuencias se calcula mediante la siguiente fórmula: se calcula mediante la siguiente fórmula:

Mediana = Mediana = LL + [( + [(nn/2 - /2 - FAFA)/)/ff] (] (ii)) donde donde LL es el límite inferior de la clase que es el límite inferior de la clase que

contiene a la mediana, contiene a la mediana, FAFA es la frecuencia es la frecuencia acumulada que precede a la clase de la acumulada que precede a la clase de la mediana, mediana, ff es la frecuencia de clase de la es la frecuencia de clase de la mediana e mediana e ii es el intervalo de clase de la es el intervalo de clase de la mediana.mediana.

3-21

Cálculo de la clase de la Cálculo de la clase de la medianamediana

Para determinar la clase de la mediana de Para determinar la clase de la mediana de datos agrupados:datos agrupados:

Elabore una distribución de frecuencias Elabore una distribución de frecuencias acumulada. acumulada.

Divida el número total de datos entre 2.Divida el número total de datos entre 2. Determine qué clase contiene este valor. Determine qué clase contiene este valor.

Por ejemplo, si Por ejemplo, si nn=50, 50/2 = 25, después =50, 50/2 = 25, después determine qué clase contiene el 25° valor determine qué clase contiene el 25° valor (la clase de la mediana).(la clase de la mediana).

3-22

EJEMPLOEJEMPLO 10 10

La clase de la mediana es 5 - 6, ya La clase de la mediana es 5 - 6, ya que contiene el 5° valor (que contiene el 5° valor (nn/2 = 5)/2 = 5)

Películasexhibidas

Frecuencia Frecuenciaacumulada

1-2 1 1

3-4 2 3

5-6 3 6

7-8 1 7

9-10 3 10

3-23

EJEMPLO 10 EJEMPLO 10 continuacióncontinuación

De la tabla, De la tabla, L L = 5, = 5, n n = 10, = 10, f f = 3, = 3, i i = 2, = 2, FA FA = 6.= 6.

Así, mediana = 5 + [((10/2) -6)/3]Así, mediana = 5 + [((10/2) -6)/3](2) = 4.33(2) = 4.33

3-24

Moda de datos agrupadosModa de datos agrupados

La moda de los datos agrupados se La moda de los datos agrupados se aproxima por el punto medio de la clase aproxima por el punto medio de la clase que contiene la frecuencia de clase que contiene la frecuencia de clase mayor.mayor.

Las modas en el Las modas en el EJEMPLO 10 EJEMPLO 10 son 5.5 y son 5.5 y 9.5. Cuando dos valores ocurren una 9.5. Cuando dos valores ocurren una gran cantidad de veces, la distribución gran cantidad de veces, la distribución se llama se llama bimodalbimodal, como, como e en el ejemplo n el ejemplo 10.10.

3-25

Media ponderadaMedia ponderada

La La media ponderadamedia ponderada de un conjunto de un conjunto de números de números XX11, , XX22, ..., , ..., XXnn,, con las con las ponderaciones correspondientes wponderaciones correspondientes w11, , ww22, ...,w, ...,wnn, se calcula con la fórmula:, se calcula con la fórmula:

wXwXw

wwwXwXwXwXw nnn

/)*(

).../()...( 212211

3-8

EJEMPLO 6EJEMPLO 6 Durante un periodo de una hora en una Durante un periodo de una hora en una

tarde calurosa de un sábado, el cantinero tarde calurosa de un sábado, el cantinero José sirvió cincuenta bebidas. Calcule la José sirvió cincuenta bebidas. Calcule la media ponderada de los precios de las media ponderada de los precios de las bebidas. (bebidas. (Precio ($), cantidad vendidaPrecio ($), cantidad vendida): ): (.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15).(.50,5), (.75,15), (.90,15), (1.10,15).

La media ponderada es: $(.50 x 5 + .75 x La media ponderada es: $(.50 x 5 + .75 x 15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + .90 x 15 + 1.10 x 15) / (5 + 15 + 15 + 15) = $43.75/50 = $0.87515 + 15) = $43.75/50 = $0.875

3-9

Media geométricaMedia geométrica La La mediamedia geométrica geométrica (MG) de un conjunto de (MG) de un conjunto de n n

números positivos se define como la raíz números positivos se define como la raíz n-n-ésima del producto de los ésima del producto de los nn valores. Su fórmula valores. Su fórmula es:es:

La media geométrica se usa para encontrar el La media geométrica se usa para encontrar el promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento.crecimiento.

n nXXXXMG ))...()()(( 321

3-14

EJEMPLO 7EJEMPLO 7 Las tasas de interés de tres bonos son Las tasas de interés de tres bonos son

5%, 7% y 4%.5%, 7% y 4%. La media geométrica es La media geométrica es

= 5.192.= 5.192. La media aritmética es La media aritmética es (6 + 3 + 2)/3 = (6 + 3 + 2)/3 =

5.333.5.333. La MG da una cifra de ganancia más La MG da una cifra de ganancia más

conservadora porque no tiene una conservadora porque no tiene una ponderación alta para la tasa de 7%.ponderación alta para la tasa de 7%.

3 )4)(5)(7(MG

3-15

Media geométrica Media geométrica continuacióncontinuación

3-16

Otra aplicación de la media Otra aplicación de la media geométrica es determinar el geométrica es determinar el porcentaje promedio del incremento porcentaje promedio del incremento en ventas, producción u otros en ventas, producción u otros negocios o series económicas de un negocios o series económicas de un periodo a otro. La fórmula para este periodo a otro. La fórmula para este tipo de problema es:tipo de problema es: 1periodo) del inicio alvalor periodo)/( del final alvalor ( nMG

EJEMPLO 8EJEMPLO 8

El número total de mujeres inscritas en El número total de mujeres inscritas en colegios americanos aumentó de 755 000 colegios americanos aumentó de 755 000 en 1986 a 835 000 en 1995.en 1986 a 835 000 en 1995.

Aquí Aquí nn = 10. = 10.

Es decir, la media geométrica de la tasa Es decir, la media geométrica de la tasa de crecimiento es 6.58%.de crecimiento es 6.58%.

3-17

10835000

1 0.0658735000

MG

Distribución simétricaDistribución simétrica

sesgo cero sesgo cero moda = moda = mediana = mediamediana = media

3-26

Distribución con asimetría Distribución con asimetría positivapositiva

sesgo a la derecha:sesgo a la derecha: media y mediana se media y mediana se

encuentran a laencuentran a la

derecha de la moda.derecha de la moda.

moda < mediana < mediamoda < mediana < media

3-27

Distribución con asimetría Distribución con asimetría negativanegativa

sesgo a la izquierdasesgo a la izquierda:: media y mediana media y mediana

están a la izquierda de la moda.están a la izquierda de la moda.

media < mediana < modamedia < mediana < moda

3-28

NOTANOTA

Si se conocen dos promedios de una Si se conocen dos promedios de una distribución de frecuencias con sesgo distribución de frecuencias con sesgo moderado, el tercero se puedemoderado, el tercero se puede aproximaraproximar..

moda = media - 3(media - mediana)moda = media - 3(media - mediana) media = [3(mediana) - moda]/2media = [3(mediana) - moda]/2 mediana = [2(media) + moda]/3mediana = [2(media) + moda]/3

3-29