09 fisica 2 batx 385-416 - amazon web...

Título de la unidadmáximo3 líneas

Bloc 3

Física moderna

09

Imatge colorejada obtinguda per difracció d’electrons en una mostra de titani amb un 3 % de níquel. Els electrons i la resta de partícules materials mostren, en determinades condicions, propietats ondu -latò ries. Aquesta és una de les prediccions de la mecànica quàntica que, juntament amb la teoria de la relativitat, és la base de la física moderna.

09_Fisica 2_batx_385-416.indd 38509_Fisica 2_batx_385-416.indd 385 20/2/07 12:15:0120/2/07 12:15:01

386

9.1 Els fonaments de la física moderna

A la unitat anterior hem vist que la llum no és sinó un tipus particular de radiació, el conjunt de les quals forma el que coneixem amb el nom d’espectre electromagnètic. A fi nal del se-gle XIX, quan els científi cs estudiaven en profunditat els fenòmens relacionats amb la propa-gació de la radiació electromagnètica i la seva interacció amb la matèria, es van descobrir nous fets experimentals que no tenien explicació dins de la teoria de Maxwell. Recordem que aquesta teoria preveia la propagació de la radiació electromagnètica mitjançant ones.

Aquests nous descobriments donaven a entendre que, en determinades circumstàncies, la radiació electromagnètica era absorbida o emesa per la matèria com si estigués formada per partícules i no per ones. Ara sabem que la radiació electromagnètica presenta, en realitat, els dos caràcters, ondulatori i corpuscular, alhora, de manera que es propaga mitjançant ones i mostra les propietats típiques del moviment ondulatori, com ja hem vist. Però sota determi-nades condicions, la radiació mostra el seu caràcter corpuscular, sobretot quan interactua amb la matèria.

Alguns fenòmens que mostren aquest últim fet, i que estudiarem tot seguit, són l’emissió i absorció de la radiació electromagnètica per un cos negre, l’efecte fotoelèctric i l’efecte Compton. Uns anys després que es fessin palesos aquests descobriments, els científi cs es van adonar que totes les partícules, com per exemple els electrons, i no només la radiació elec-tromagnètica, presenten aquest caràcter dual ona-corpuscle.

El fenomen de la dualitat ona-corpuscle, juntament amb una nova teoria, la de la relativitat, proposada també en aquesta època i que estudiarem al fi nal de la unitat, i els avenços en l’estudi de la radioactivitat, estudiada el curs passat, van donar lloc a una revolució científi -ca que va fer trontollar la física clàssica i va ser la base d’una nova física que ens ha permès assolir un grau més en el coneixement de la naturalesa.

Radiació de cos negre

Si anem augmentant la temperatura d’un cos sòlid, arriba un moment en què aquest cos co-mença a emetre llum. Pensem, per exemple, què és el que passa en el fi lament d’una làmpada d’incandescència quan ens il.lumina: l’energia elèctrica fa augmentar la temperatura del fi la-ment, que comença a emetre energia calorífi ca i energia lluminosa, d’acord amb l’anomenat efecte Joule. Diem que el fi lament emet radiació tèrmica i radiació visible, que consisteixen, com sabem, en ones electromagnètiques.

En realitat, qualsevol cos que estigui a una temperatura determinada emet radiació electro-magnètica, amb un espectre característic que depèn d’aquesta temperatura. Si augmentem la temperatura del cos, s’amplia el seu espectre d’emissió, i el cos emet radiació que conté freqüències cada vegada més grans o, el que és el mateix, longituds d’ona cada vegada més petites.

D’altra banda, un cos absorbeix part de la radiació que hi incideix i en refl ecteix la resta; així, per exemple, un cos que veiem de color verd absorbeix totes les longituds d’ona corres-ponents a la resta de colors, i refl ecteix la longitud corresponent al color verd. A fi nal del segle passat, una vegada descobertes les ones electromagnè tiques, els físics es van interes-sar per l’estudi de l’emissió i de l’absorció de radiació, i van imaginar un cos ideal, anome nat cos negre, que absorbeix tota la radiació que rep.

En la pràctica, podem suposar que, si fem una petita obertura en un cos buit que té les pa-rets interiors recobertes de pols negra (fi g. 9.1), l’obertura es comporta com un cos negre, ja que tota la radiació que hi penetra es va refl ectint en la paret interior, i en cada refl exió és absorbida una part important de la radiació incident; com que la probabilitat que torni a sortir per l’obertura és molt baixa, la radiació acaba sent absorbida pràcticament del tot, i així es verifi ca la condició de cos negre.Fig. 9.1. Simulació d’un cos negre.

9. Física moderna9.1 Els fonaments de la física moderna


387

És interessant veure com varia l’espectre d’emissió d’un cos negre com el que hem descrit quan augmenta la seva temperatura. A temperatures inferiors a 600 °C, la radiació no és vi-sible, ja que el seu espectre conté longituds d’ona més grans que les de la llum visible. A 600 °C, l’obertura emet una dèbil llum vermella, que indica que el seu espectre d’emissió comença a incloure longituds d’ona que corresponen a la franja inferior de l’espectre visible, és a dir, al color vermell; aquesta llum es torna més blanca a mesura que s’incrementa la tem-peratura, ja que es van afegint les altres longituds d’ona de l’espectre visible.

Si estudiem l’espectre de la radiació que emet un cos negre a diferents temperatures i repre-sentem l’espectre d’energia irradiada E en funció de la longitud d’ona l, obtenim les corbes experimentals corresponents a la radiació de cos negre (fi g. 9.2). Els científi cs de fi nal del segle XIX, però, es van trobar amb la sorpresa que, quan intentaven aconseguir teòricament aquestes corbes aplicant els principis de la teoria electromagnètica, les gràfi ques que obte-nien no concordaven amb les anteriors, ja que suposaven que l’energia irradiada era molt més gran que la que s’observa en realitat per a longituds d’ona curtes.

��

�

��

��

��

��

��

Fig. 9.2. Radiació de cos negre: corbes experimentals.

Recordem que quan vam estudiar les ones estacionàries també va aparèi-xer una quantització de determinades magnituds. Cada harmònic correspon a un estat quàntic n de l’ona deter-minat, sense que sigui possible que hi hagi un estat intermedi entre, posem per cas, el primer i el segon harmònic. Així, les possibles freqüències de l’ona estacionària produïda en una corda de longitud L vénen donades per l’ex-pressió:

f 5 n f1, on n 5 1, 2, 3... vf1 5 —— 2 L

9. Física moderna 9.1 Els fonaments de la física moderna

Quàntum és una paraula llatina que vol dir «quant», i el seu plural és quanta.

Recordem que la llum vermella és la radiació visible que té una longitud d’ona més gran, i que la llum blanca és una barreja de totes les radiacions de llum visible, des de la vermella fins a la violeta.

L’espectre d’emissió, per tant, havia de contenir majoritàriament radiació amb longituds d’ona curtes, com per exemple, radiació ultraviolada. Aquesta predicció teòrica es va anomenar, per aquest motiu, catàstrofe de l’ultraviolat, ja que no es corresponia amb el que s’observava experimentalment i demostrava, per tant, que fallava algun aspecte de la teoria.

El físic alemany Max Planck va aconseguir deduir teòricament les corbes anteriors l’any 1900, però va haver de fer un supòsit nou en les lleis de la física de l’època: l’energia que irradia un cos en forma d’ona electromagnètica no és emesa de manera contínua, sinó a salts, com en paquets d’energia. Planck va anomenar quàntum a cada una d’aquestes unitats discretes d’ener-gia, unitat que havia de tenir una energia E donada per l’expressió:

E 5 h f

on f és la freqüència corresponent a la radiació emesa o absorbida, i h una constant que s’anomena constant de Planck, de valor 6,62 ? 10234 J?s. La hipòtesi dels quanta implica que l’energia E associada a una radiació de freqüència determinada f 5 f1 ha de ser un múl-tiple del valor fonamental E1 5 h f1; és a dir, En 5 n En, on n 5 1, 2 ...

Per aquest motiu, diem que l’energia transmesa per una ona electromagnètica està quantitza-da. La hipòtesi de Planck representa un cert retorn al model corpuscular de la llum, ja que si la llum és irradiada de manera discreta en forma de quanta d’energia, podem considerar que cadascun d’aquests quanta és una partícula, i que la llum està formada per un conjunt d’aquests corpuscles. Aquesta idea és la que va adoptar Einstein uns anys més tard per expli-car aquest fenomen i d’altres; així, va revelar que l’expressió anterior és rigorosament certa i va fer que la constant de Planck h fos considerada, a partir d’aleshores, una constant fona-mental de la física.


388

9.2 L’efecte fotoelèctric

Hertz va ser el primer científi c que va demostrar experimentalment l’existència de les ones electromagnètiques, però també és conegut per un altre descobriment que contradiu els postulats de la física clàssica. En la mateixa època en què va fer l’experiment que vam comentar en la unitat anterior, Hertz va observar les descàrregues que es produïen entre dos elèctrodes metàl.lics connectats a una diferència de potencial V.

Activitats

1> Un cos que veiem de color blau quan l’il.luminem amb llum blanca, quines longituds d’ona de l’espec-tre visible absorbeix i quines emet?

2> La càrrega elèctrica és una magnitud que està quan-titzada en els mateixos «paquets», tots del mateix valor (pensem en els electrons, o en els protons).

Passa el mateix amb l’energia irradiada per un cos en forma d’ona electromagnètica?

3> Experimentalment, les corbes d’energia emesa per un cos negre tenen l’aspecte mostrat a la fi gura 9.2. Si augmenta la temperatura del cos negre, com es desplaça el màxim de la corba d’energia emesa?

Calculeu l’energia corresponent a un quàntum de llum blava, de longitud d’ona 4 750 Å.

Resolució

Prèviament, expressem la longitud d’ona en unitats del SI, i calculem la freqüència f:

l 5 4,75 ? 1027 m

c 3 ? 108

f 5 —— � f 5 —————— 5 6,32 ? 1014 Hz l 4,75 ? 1027

Per calcular l’energia del quàntum de llum, apliquem l’ex-pressió de Planck:

E 5 h f

E 5 6,62 ? 10234 ? 6,32 ? 1014 5 4,18 ? 10219 J

Aquestes energies se solen expressar en eV; si recordem que 1 eV equival a 1,6 ? 10219 J, obtenim:

1 eVE 5 4,18 ? 10219 J ? —————— 5 2,61 eV

1,6 ? 10219 J

Exemple 1

Fig. 9.3. Tub de descàrrega.

�

��

��

��

��

��

� ��

9. Física moderna9.2 L’efecte fotoelèctric


389

En el dispositiu experimental de la fi gura 9.3, els elèctrodes són dues plaques situades a l’interior d’un tub hermètic de vidre o de quars en el qual s’ha fet el buit; la descàrrega elèc-trica es produeix quan el potencial V és sufi cientment gran per arrencar electrons del càtode i accelerar-los fi ns a l’ànode, tancant el circuit. Quan això passa, l’amperímetre mesura el pas d’un corrent elèctric a través del circuit.

Hertz va observar un fet curiós: si s’il.luminava el càtode amb radiació ultraviolada, l’amperí-metre indicava el pas d’un corrent elèctric d’intensitat I, encara que el po tencial no fos tan alt per produir una descàrrega (fi g. 9.4). Aquest fenomen es va anomenar efecte fotoelèc-tric. Va ser extensament estudiat durant els anys següents i es va comprovar que, quan els elèctrodes es construïen amb determinats metalls, l’emissió d’electrons pel càtode també es donava amb llum visible.

Per explicar l’efecte fotoelèctric, recordem primer que en un metall hi ha electrons que es poden moure lliurement a l’interior de la xarxa cristal.lina; aquests electrons no poden, en principi, escapar-se del metall, excepte si se’ls subministra energia.

Com que una ona electromagnètica transporta energia, els electrons situats a la superfí-cie del metall poden absorbir part d’aquesta energia i escapar-ne. En el mun tatge anterior (fi g. 9.4), la superfície metàl.lica que s’il.lumina és el càtode (placa negativa), de manera que la radiació electromagnètica incident allibera del metall fotoelectrons que són accelerats pel potencial V.

Un estudi detallat de l’efecte fotoelèctric revela algunes conclusions que poden ser sorpre-nents des del punt de vista de la física clàssica; els resultats als quals s’arriba experimental-ment s’exposen tot seguit.

j Quan s’augmenta la intensitat de la radiació que incideix sobre el càtode, augmenta el nombre de fotoelectrons que són alliberats, de manera que la intensitat elèctrica I del circuit augmenta proporcionalment a la intensitat de radiació.

j L’emissió fotoelectrònica és gairebé instantània, encara que la intensitat de radiació sigui molt petita.

j L’emissió fotoelectrònica per a un metall determinat només té lloc si la freqüència de la radiació incident és més gran d’un cert valor, anomenat freqüència llindar f0, característic del metall. Si la freqüència de la radiació és superior a f0, es produeix l’efecte fotoelèctric, encara que la intensitat de la radiació incident sigui molt petita.

j Per a una intensitat de radiació determi nada, si anem augmentant el valor del potencial V, la intensitat de corrent I creix fi ns que arriba a un valor de saturació Is; si es continua incrementant V, no augmenta el valor de I.

Per a cada intensitat de radiació, hi ha una intensitat de saturació diferent, de manera que I augmenta proporcionalment respecte de V (fi g. 9.5).

L’efecte fotoelèctric té lloc amb llum ordinària quan els elèctrodes estan construïts amb Zn, K, Na i d’altres.

��

!

��

��

"

!

Fig. 9.4. Efecte fotoelèctric: quan s’il.lumina el càtode, l’amperímetre detecta el pas de corrent.

��

�

��

��

��

��

Fig. 9.5.

9. Física moderna 9.2 L’efecte fotoelèctric


390

j Com observem en la fi gura 9.5, quan el potencial V es fa negatiu, l’emissió foto electrònica decreix bruscament, fi ns que s’arriba a un potencial V0 a partir del qual no s’observa l’efec-te fotoelèctric (fi g. 9.6a); per aquest motiu, aquest potencial, que s’anomena potencial de frenada, és independent de la intensitat de la radiació, si bé depèn de la seva freqüèn-cia (fi g. 9.6b).

��

��

"

!

��

��

��

La sorpresa dels científi cs de fi nal del segle XIX va ser que la majoria dels resultats experimen-tals que acabem d’exposar no fossin compatibles amb la teoria electromagnètica de Maxwell. Aquesta teoria preveia que l’energia de la radiació era absorbida pels electrons de manera contínua, a mesura que arribava al metall transportada per l’ona electromagnètica, i que la radiació electromagnètica transportava una energia que era proporcional a la seva freqüència, de manera que una radiació de freqüència petita transportava una quantitat d’energia més baixa que una radiació de freqüència més gran.

Comparem aquestes prediccions amb els fets experimentals que acabem d’exposar:

j Si tenim en compte que la radiació electromagnètica transporta energia, és d’esperar que un augment en la intensitat de la radiació incident comporti un augment de la intensitat elèctrica. Aquest fet experimental no es contradiu amb les lleis de Maxwell, i, així, quan la intensitat de la radiació és gran, els electrons absorbeixen ràpidament una quantitat d’energia sufi cient per escapar del metall, i podem dir que l’emissió fotoelèctrica és gaire-bé instantània.

j Quan la intensitat de la radiació és molt petita, però, deduïm que els electrons haurien d’esperar un interval de temps més o menys gran fi ns que haguessin absorbit prou energia per escapar-se del metall, en contra del fet experimental que mostra una emissió instan-tània també per a intensitats petites.

j Fent un raonament similar a l’anterior, hauríem d’observar com, també a freqüències peti-tes, i després d’un interval de temps determinat, els electrons podrien escapar del metall després d’haver absorbit l’energia sufi cient per fer-ho. Per tant, no té explicació el fet que l’efecte fotoelèctric no es produeixi a freqüències més petites que f0.

j El fet que si s’inverteix el potencial s’anul.la el corrent elèctric es pot justifi car dient que ara els electrons són repel.lits per l’altra placa, de manera que, si aconsegueixen absorbir l’energia necessària per escapar, el potencial V els fa tornar a la placa irradiada. No té sentit, però, que hi hagi un potencial fi x V0 sota el qual no s’observi l’efecte; en principi, si s’espera un interval de temps sufi cient, alguns electrons podrien escapar una vegada haguessin absorbit l’energia necessària per fer-ho encara que el potencial fos molt ne-gatiu.

Fig. 9.6. a) Invertint el valor del potencial V, l’emissió fotoelectrònica disminueix bruscament. b) El po-tencial de frenada V0 varia linealment amb la freqüència de la radiació.



391

j El potencial de frenada ens dóna la idea, per tant, que hi ha una energia cinètica màxima Ecmàx amb què poden sortir els electrons de la placa irradiada, que es veu compensada per l’energia potencial eV0 quan s’anul.la el corrent elèctric:

1Ec 5 Ep � — m v2

màx 5 e V0 2

Així doncs, veiem com moltes prediccions teòriques, tant del fenomen que acabem de co-mentar com de l’anterior, es contradiuen amb els fets experimentals. Es demostra, així, que algun aspecte de la teoria de Maxwell era erroni, encara que en conjunt sigui vàlida, ja que permet deduir l’existència de les ones electromagnètiques i està d’acord amb molts fets experimentals observats primer per Hertz i després per altres científi cs.

Però els mateixos fets experimentals mostren com certes conclusions d’aquesta teoria no s’aguanten, sobretot quan s’estudia la interacció de la radiació electromagnètica amb la ma-tèria. Les ones de Maxwell no són com les havien imaginat ell i d’altres, i, així, fenòmens com l’efecte fotoelèctric tenen una interpretació fàcil si acceptem com a vàlida, de nou, la idea que l’energia de la radiació electromagnètica és absorbida en forma de quanta, és a dir, en forma discontínua.

Aquesta nova hipòtesi, juntament amb altres que veurem més endavant, va fer que totes les lleis de la física, no només les de l’electromagnetisme, sinó també les de la mecànica, s’ha-guessin de formular de nou. La contribució més important a aquesta tasca la va fer Albert Einstein, que va resoldre brillantment totes les contradiccions que presentava la teoria amb els fets observats, i va ser el principal artífex d’una nova física.

Explicació d’Einstein de l’efecte fotoelèctric. El fotó

Einstein va ser el primer científi c que s’adonà que les evidències experimentals a què s’havia arribat es podien prendre com a hipòtesis de partida. El gran mèrit d’Einstein és que, a partir d’aquestes premisses bàsiques, va deduir d’una manera molt senzilla una sèrie de conseqüèn-cies que explicaven els fenòmens observats fi ns llavors, com, per exemple, l’efecte foto-elèctric.

Einstein va fer pública la seva explicació de l’efecte fotoelèctric l’any 1905. En el seu treball va reprendre la idea de Planck dels quanta d’energia i afi rmava que tant la llum com qualsevol altre tipus de radiació electromagnètica consisteix en un feix de partícules, que va anomenar fotons, que es transmeten a través de l’espai buit en forma d’ones electromagnètiques, i que es mouen sempre a la mateixa velocitat c; quan la radiació interactua amb la matèria es mostra el seu aspecte corpuscular, i la radiació és absorbida o emesa en forma de fotons. Així doncs, els fotons són els paquets d’energia, o quanta, que ja havia postulat Planck uns anys abans.

Si admetem que els fotons tenen una energia E donada per l’expressió de Planck E 5 h f, podem interpretar fàcilment l’efecte fotoelèctric si apliquem el principi de conservació de l’energia i si considerem que els electrons de l’elèctrode metàl.lic poden absorbir un fotó de la radiació incident, adquirir la seva energia i escapar del metall.

Una part de l’energia del fotó absorbit es fa servir per superar l’energia mínima necessària perquè l’electró s’alliberi de la xarxa cristal.lina del metall; aquesta energia s’anomena treball d’extracció W0. La resta d’energia es transfereix en forma d’energia cinètica Ec comunicada a l’electró. Per tant, podem establir:

1E 5 Ec 1 W0 � h f 5 — m v 2

màx 1 W0 2

Va ser per l’explicació de l’efecte foto-elèctric, i no pas per altres treballs tant o més importants, que Einstein va rebre el premi Nobel el 1923.

Els fotons mostren el seu caràcter on-dulatori quan es propaguen per l’es-pai. Així, en la transmissió poden pa-tir fenòmens com les interferències, la difracció, etc. Per contra, mostren el seu aspecte corpuscular quan interac-tuen amb la matèria i són absorbits o emesos per aquesta. Per exemple, xo-quen amb els electrons tal com ho fa-ria una altra partícula material.



392

Així, s’explica fàcilment el fet que l’efecte fotoelèctric no tingui lloc per a radiacions de fre-qüència més petita que la freqüència llindar; en aquest cas, un fotó no proporciona l’energia E 5 h f sufi cient perquè se superi el treball d’extracció d’un electró, a causa del valor petit de f : h f , W0.

Per contra, existeix una freqüència f0 per a la qual l’energia del fotó iguala el treball d’extrac-ció, i que produeix l’efecte fotoelèctric; aquesta freqüència és la freqüència llindar:

W0 5 h f0

Per a freqüències més grans que la freqüència llindar, l’energia excedent es comunica en for-ma d’energia cinètica de l’electró, i podem establir:

1h f 5 — m v2

màx 1 h f0 2

El potencial de frenada V0 també s’interpreta ara fàcilment si considerem que, per a una ra-diació de freqüència fi xa f, és impossible que un fotó comuniqui a un electró una energia cinètica addicional que li permeti superar la barrera d’energia potencial eV0. Si recordem que

1eV0 5 — m v2

màx 2veiem que:

h h f0h f 5 e V0 1 h f0 � e V0 5 h f 2 h f0 � V0 5 — f 2 ——

e e

Aquesta última expressió ens demostra que el potencial de frenada V0 és directament propor cional a la freqüència f de la radiació incident, completament d’acord amb els fets experimentals (fi g. 9.7).

L’efecte fotoelèctric té una aplicació pràcti-ca en les cèl.lules fotoelèctriques: s’aplica per detectar llum, i poder governar un circuit elèctric com, per exemple, el d’un relé.

Per acabar, val a dir que, com demostrarem més endavant, la quantitat de moviment d’un fotó és:

E h f hp 5 — 5 —— 5 —

c c l

Podem considerar el fotó com una partícula de massa en repòs nul.la; això no vol dir que els fotons no tin-guin massa, sinó simplement que és impossible que els fotons estiguin en repòs i que es mouen sempre a la velocitat de la llum c.

��

��

�#��$$

��

��

$$�$$�

�

Fig. 9.7. El potencial de frenada i la freqüència de la radiació incident mantenen una relació lineal en l’efecte fotoelèctric.

S’il.lumina el càtode d’una cèl.lula fotoelèctrica amb llum verda, de longitud d’ona 5 670 Å. L’emissió fotoelectrònica té lloc a partir d’una freqüència dels fotons incidents de 4,75 ?1014 Hz. Calculeu:

a) L’energia dels fotons incidents i la seva quantitat de moviment.

b) El treball d’extracció.

c) L’energia cinètica dels electrons emesos i el potencial de frenada.

Exemple 2



393

Resolució

a) Primer expressem la longitud d’ona dels fotons incidents en unitats del SI, i calculem la freqüència:

l 5 5,67 ?1027 m

c 3 ?108

f 5 — � f 5 —————— 5 5,29 ?1014 Hz l 5,67 ?1027

A continuació, calculem l’energia i la quantitat de moviment del fotons incidents amb les expressions corresponents:

E 5 h f � E 5 6,62 ? 10234 ? 5,29 ? 1014 5 3,5 ? 10219 J 5 2,19 eV

E 3,5 ? 10219

p 5 — � p 5 ————— 5 1,17 ? 10227 N?s c 3 ? 108

b) El treball d’extracció W0 es pot calcular amb l’expressió:

W0 5 h f0 � W0 5 6,62 ?10234 ? 4,75 ?1014 5 3,14 ?10219 J

c) L’energia cinètica Ec dels electrons és la diferència entre l’energia h f proporcionada pels fotons i el treball d’extracció W0 5 h f0: 1

Ec 5 — m v2màx

5 h f 2 h f0 � Ec 5 3,5 ?10219 2 3,14 ?10219 5 3,60 ?10220 J 2

El potencial de frenada V0 es pot calcular aïllant-lo en l’expressió e V0 5 Ec:

Ec 3,60 ?10220

V0 5 —— � V0 5 —————— 5 0,23 V e 1,6 ?10219

4> [Curs 05-06] Calculeu el valor de la longitud d’ona d’un fotó d’energia 3 keV.

Dades: h 5 6,62 ? 10234 J?s; c 5 3 ? 108 m/s; 1 eV 5 1,609 ? 10219 J

R: 413 pm

5> [Curs 03-04] Calculeu l’energia i la longitud d’ona d’un fotó de 1 015 Hz de freqüència.

Dades: h 5 6,625 ? 10234 J?s; c 5 3 ? 108 m/s

R: 6,72 ? 10231 J; 2,95 ? 105 m

6> Calculeu l’energia cinètica màxima dels electrons emesos per una superfície metàl.lica quan hi inci-deixen fotons de longitud d’ona l 5 2 ? 1027 m.

L’energia mínima per alliberar els electrons (treball d’extracció) és W0 5 6,72 ? 10219 J.

Dades: h 5 6,62 ? 10234 J?s; c 5 3 ? 108 m/s

R: 2 eV

7> Un metall emet electrons quan se l’il.lumina amb llum verda, però no quan se l’il.lumina amb llum groga. Trieu la resposta correcta i justifi queu la vostra elecció.

A) Hi haurà efecte fotoelèctric quan s’il.lumini amb llum blava?

a) Sí b) No

B) Hi haurà efecte fotoelèctric quan s’il.lumini amb llum vermella?

a) Sí b) No

Activitats



394

9.3 L’efecte Compton

La teoria fotònica d’Einstein representa un cert retorn al model corpuscular de la llum, sense que es pugui deixar de banda, però, el seu caràcter ondulatori; de fet, aquest nou model és una teoria híbrida entre el model ondulatori i el corpuscular. Aquest nou model va quedar reforçat l’any 1923, quan el científi c nord-americà A. H. Compton va descobrir el feno men que porta el seu nom.

Mentre estudiava l’absorció de raigs X per materials que contenen carboni, Compton va obser-var com la radiació incident era difosa pels electrons del material, de manera que la radiació difosa tenia una freqüència més baixa que la radiació incident i s’alliberaven electrons del material. Aquest fenomen es pot interpretar fàcilment si pensem que la radiació electromag-nètica consisteix en un feix de partícules, o fotons, que xoquen elàsticament amb els elec-trons del material (fi g. 9.8).

Si considerem que els fotons de la radiació incident tenen prou energia, com passa amb els raigs X, els electrons lligats als àtoms poden ser arrencats amb facilitat i es poden considerar partícules lliures en repòs. Durant el xoc elàstic que es verifi ca entre el fotó i l’electró, l’elec-tró absorbeix part de l’energia E 5 h f del fotó incident, de manera que el fotó difós surt amb una energia E9 5 h f9 més petita que la del fotó incident, i l’electró adquireix una energia 1cinètica determinada Ec 5 — me ve

2. Per tant, si apliquem el principi de conservació de l’ener- 2gia, aleshores: 1

h f 5 h f9 1 — me ve2

2

També podem aplicar el principi de conservació de la quantitat de moviment. Com veurem a l’apartat següent, la quantitat de moviment d’un fotó de freqüència f ve donada per l’ex-pressió: E h f

p 5 — 5 —— c c

mentre que la quantitat de moviment de l’electró és �pe 5 me

�ve. Per tant:

�p 5

�p9 1

�pe

h f h f9 h f91—— , 02 5 1—— cos u , —— sin u2 1 (me ve cos f , 2me ve sin f) c c c

�

�

��

��

��

�

�

��

�

��

$$� ��

Fig. 9.8. Efecte Compton.

9. Física moderna9.3 L’efecte Compton


395

Si combinem aquesta última equació amb l’expressió anterior per a l’energia, obtenim, en una primera aproximació:

1 1 h c c h— 2 — 5 ———— (1 2 cos u) � — 2 — 5 ——— (1 2 cos u)

f9 f me c2 f9 f me c

hCom que h, me i c són constants, podem veure que el terme ——— també és una constant, me cconeguda amb el nom de longitud d’ona Compton dels electrons, que es representa per lC. Si substituïm els valors d’aquestes constants, es pot comprovar que lC val 2,4262 ? 10212 m. cSi recordem que — correspon a la longitud d’ona del fotó, arribem fi nalment a: f

l9 2 l 5 lC (1 2 cos u)

Aquesta última expressió, demostrada experimentalment per Compton, reforça el concepte de fotó i mostra la validesa de les idees d’Einstein sobre la radiació electromagnètica.

Un fotó d’energia 3 ?103 eV xoca amb l’electró més extern d’un àtom de carboni. L’electró es pot considerar en repòs i lliure, ja que l’energia necessària per arrencar-lo és molt petita comparada amb l’energia del fotó incident. Si el fotó és difós en una direcció que forma un angle de 50° amb la direcció del fotó incident, calculeu:

a) La variació de longitud d’ona del fotó.

b) La variació d’energia i la variació de freqüència del fotó.

c) L’energia cinètica de l’electró després del xoc i la seva velocitat, en mòdul.

Resolució

a) Prèviament, expressem l’energia del fotó incident en unitats del SI i calculem la longitud d’ona corresponent:

1,6 ?10219 JE 5 3 ?103 eV ? —————— 5 4,8 ?10216 J

1 eV

c c 6,62 ?10234 ? 3 ?108

E 5 h f 5 h — � l 5 h — � l 5 —————————— 5 4,1375 ?10210 m l E 4,8 ?10216

Podem calcular la variació de longitud d’ona Dl amb l’expressió:

Dl 5 l9 2 l 5 lC (1 2 cos u)

Dl 5 2,4262 ?10212 ? (1 2 cos 50°) 5 8,6667 ?10213 m

b) Per calcular la variació d’energia determinem primer la longitud d’ona del fotó difós amb l’expressió anterior:

Dl 5 l9 2 l � l9 5 l 1 Dl � l9 5 4,1375 ?10210 1 8,6667 ?10213 5 4,1462 ?10210 m

Tenint en compte que la variació d’energia és l’energia del fotó difós menys l’energia del fotó incident, trobem que:

c c 1 1DE 5 E9 2 E 5 h — 2 h — 5 h c 1— 2 —2l9 l l9 l

1 1DE 5 6,62 ?10234? 3 ?108? 1——————— 2 ———————2 5 21,0072 ?10218 J

4,1462 ?10210 4,1375 ?10210

Exemple 3

9. Física moderna 9.3 L’efecte Compton


396

9.4 Dualitat ona-corpuscle.Introducció a la mecànica quàntica

Ja hem vist que la hipòtesi d’Einstein del fotó representa un retorn al model corpuscular de la llum, sense que ara es puguin deixar de banda, però, les seves característiques ondulatò-ries, i, així, es va convertir en la base d’un nou model. Aquesta idea, o hipòtesi de la dualitat ona-corpuscle de la llum i de qualsevol radiació electromagnètica, va ser generalitzada poste-riorment amb l’argument que, així com passa amb els fotons, qualsevol altra partícula ele-mental, com per exemple els electrons, té aquest caràcter dual, que els fa mostrar aspectes ondulatoris en determinades circumstàncies i aspectes corpusculars en d’altres.

Hipòtesi de De Broglie

L’any 1923, el físic francès Louis de Broglie va estendre a totes les partícules la doble carac-terística ona-corpuscle de la llum, i va postular que no només els fotons sinó totes les altres

Per calcular la variació de la freqüència, determinem primer l’energia E9 del fotó difós:

D E 5 E9 2 E � E9 5 E 1 DE � E9 5 4,8 ?10216 2 1,0072 ?10218 5 4,7899 ?10216 J

Per tant:

E9 E E9 2 E 4,7899 ?10216 2 4,8 ?10216

D f 5 f9 2 f 5 — 2 — 5 ———— � D f 5 —————————————— 5 21,5257?1015 Hzh h h 6,62 ?10234

El signes negatius indiquen que el fotó difós té una energia i una freqüència més petites que les del fotó incident.

c) Tenint en compte el principi de conservació de l’energia, es pot demostrar que l’energia cinètica de l’electró Ece coinci-deix amb la disminució d’energia que ha experimentat el fotó DE:

Ece 5 2DE 51,0072 ?10218 J

Per tant, podem trobar la velocitat de l’electró si l’aïllem de l’expressió de l’energia cinètica:

1 2 Ece 2 ?1,0072 ?10218

Ece 5 — m ve2 � ve 5 ——— � ve 5 ————————— 5 1,49 ?106 m/s

2 m 9,11 ?10231Îãã Îããããã

Activitats

8> S’utilitzen fotons de longitud d’ona 1,25 Å per pro-duir una interacció Compton.

Si els electrons emesos per difusió surten amb una velocitat mitjana de 5 ? 106 m/s, formant un angle de 60°, quina és la freqüència del fotó produït en la interacció?

R: 2,38 ? 1018 Hz

9> Un fotó emet per efecte Compton un altre fotó di-fós en una direcció que forma un angle de 30° amb la del fotó incident. Determineu l’energia cinèti-ca de l’electró difós si la relació entre les freqüèn-cies del fotó incident i del fotó difós és de 0,8.

R: 3,05 ? 1014 J

10> Quina diferència fonamental hi ha entre l’efecte foto-elèctric i l’efecte Compton?

Einstein va defugir sempre la idea implícita en la hipòtesi de De Broglie i la va considerar falsa; segons ell, només la radiació electromagnètica tenia un caràcter dual ona-corpuscle.

9. Física moderna9.4 Dualitat ona-corpuscle. Introducció a la mecànica quàntica


397

partícules elementals tenen alhora característiques típicament corpusculars al costat d’altres típicament ondulatòries.

Per mostrar aquest fet, De Broglie va indicar que la longitud d’ona l corresponent a l’ona associada a una partícula de massa m que es mou a una velocitat v és:

h hl 5 —— 5 —

mv p

on h és la constant de Planck, i p la quantitat de moviment de la partícula.

El comportament ondulatori dels electrons es va demostrar empíricament l’any 1927, quan científi cs britànics i americans van aconseguir difractar un feix d’electrons mitjançant un cristall. Posteriorment es va aconseguir difractar un feix de neutrons, així com també ions d’hidrogen i d’heli. Ara bé, si intentem posar en evidència el caràcter ondulatori per a cossos macroscòpics, obtindrem resultats nuls a causa del petit valor de la constant de Planck h.

Encara que aquesta idea pugui semblar contradictòria, hem de pensar que les partícules ele-mentals com el fotó, l’electró, el protó, etc., tenen unes dimensions microscòpiques, i, en aquestes condicions, no hi podem aplicar els models de la natura que fem servir a escala macroscò pica. La dualitat ona-corpuscle de la matèria i la radiació va donar lloc a una nova mecànica, anomenada mecànica quàntica, en la qual les partícules són considerades «pa-quets» d’ones. Aquesta nova teoria física, també denominada mecànica ondulatòria, va ser desenvolupada pels científi cs Erwin Schrödinger i Werner Heisenberg durant els anys imme-diatament posteriors al 1926.

Una aplicació de la doble naturalesa ona-corpuscle és el microscopi electrònic (fi g. 9.9), en el qual es fan servir feixos d’electrons en lloc dels feixos de llum que s’utilitzen en un micros-copi òptic. En el microscopi electrònic, els electrons són accelerats pel camp elèctric propor-cionat per una diferència de potencial.

La imatge es forma de manera anàloga a la d’un microscopi òptic, però s’utilitzen lents mag-nètiques en lloc de lents òptiques. La lent magnètica consisteix en una bo bina per la qual passa un cert corrent i, quan un electró travessa la bobina, canvia la direcció del seu movi-ment a causa de la força magnètica efectuada per la bobina sobre l’electró, el qual es foca-litza en un punt determinat.

L’expressió donada per De Broglie per a la longitud d’ona d’una partícula ens permet deduir quina és la quantitat de moviment dels fotons:

h h h ? f El 5 — � p 5 — 5 —— � p 5 —

p l c c

Recordem que el nucli d’un àtom té unes dimensions aproximades de 10215 m.

Fig. 9.9. Microscopi electrònic.

Com a curiositat, val a dir que J. J. Thomson va rebre el 1906 el premi No-bel per la demostració empírica de l’existència dels electrons com a partí-cules. El seu fill George va rebre, 30 anys més tard, el 1937, el mateix premi per la demostració empírica del com-portament ondulatori dels electrons.

Calculeu la longitud d’ona associada a un electró que s’ha accelerat des del repòs a través d’una diferència de poten-cial de 1 000 V.

Resolució

Aplicant el principi de conservació de l’energia, es pot comprovar que l’electró guanya una energia cinètica igual a l’energia potencial elèctrica proporcionada; per tant, la seva velocitat després de ser accelerat és:

1 2 e DVEc 5 Ep � — m v2 5 e DV � v 5 ————

2 m

2 ?1,6 ?10219 ?103

v 5 —————————— 5 1,87 ?107 m/s 9,11 ?10231

Per tant, la seva longitud d’ona és:

h 6,62 ?10234

l 5 —— � l 5 —————————— 5 3,88 ?10211 m mv 9,11 ?10231 ?1,87 ?107

Exemple 4

Îããããã

9. Física moderna 9.4 Dualitat ona-corpuscle. Introducció a la mecànica quàntica

Îãã


398

Principi d’incertesa

La mecànica quàntica considera que cada partícula té associada una funció d’ona c que de-pèn tant de la posició

�r com del temps t, c (

�r, t), de manera que l’amplitud d’aquesta funció

ona representa la probabilitat de trobar la partícula en una regió de l’espai determinada; apareix, així, una certa deslocalització de la posició de la partícula, de manera que aquesta no es pot determinar de manera exacta, i no pot ser descrita en termes de la seva trajectòria, tal com feia la mecànica clàssica. Se substitueixen les trajectòries perfectament defi nides de la mecànica clàssica per les funcions d’ona de la mecànica quàntica, les quals determinen regions de l’espai on és probable trobar la partícula.

És en aquest sentit que se sol dir que la física moderna trenca el determinisme de la física clàssica. Recordem, de nou, que les dimensions que cal considerar quan s’estudia el moviment d’una partícula són tan petites, que no podem explicar els fenòmens implicats aquí amb models basats en la nostra visió del món macroscòpic.

El fet que en la mecànica quàntica no es pugui determinar de manera exacta la posició d’una partícula té conseqüències importants sobre la concepció del món microscòpic; en efecte, aquesta idea va donar lloc a un nou principi fonamental, conegut amb el nom de principi d’incertesa, formulat per Heisenberg l’any 1927.

El principi d’incertesa estableix que és impossible mesurar simultàniament i amb total exactitud la posició i la quantitat de moviment d’una partícula, de manera que la incertesa en la posició Dx i la incertesa en la quantitat de movi-ment D p verifi quen que:

hDx Dp $ ——

2 p

on h és la constant de Planck.

Aquest principi ens indica que si intentem mesurar la posició d’una partícula amb una exac-titud molt gran, de manera que la seva incertesa Dx sigui pràcticament nul.la, aleshores la incertesa en la quantitat de moviment serà molt gran, per tal que satisfaci l’expressió ante-rior, i, per tant, la quantitat de moviment queda indeter minada, i no podem saber-ne el valor exacte. Aquest fet s’evidencia en l’exemple següent.

El principi d’incertesa és igualment vàlid per a qualsevol parell de magnituds que siguin con-jugades, com la posició i la quantitat de moviment. Així, si en l’expressió anterior multipli-

D pquem i dividim pel terme ——, es pot demostrar que l’energia i el temps, que també són 2 m

magnituds conjugades, verifi quen el principi d’incertesa:

hDE Dt $ ——

2 p

El principi d’incertesa no és sinó una conseqüència del fet que és impossible observar un sistema atòmic o subatòmic sense destorbar-lo. Penseu en el que fem quan estudiem algun fenomen macroscòpic: l’hem d’il.luminar per observar-lo. Però si, per exemple, volem obser-var una partícula elemental, com un electró, quan la il.luminem estem llançant fotons contra seu, que hi xocaran i n’alteraran la posició i la velocitat. Així, deduïm que el mateix procés d’observació altera el sistema que s’observa.

L’ona associada a una partícula re-presenta la probabilitat que aquesta sigui trobada en una regió de l’espai determinada, de manera que aques-ta probabilitat es calcula a partir del quadrat de l’amplitud de l’ona en la regió considerada.

9. Física moderna9.4 Dualitat ona-corpuscle. Introducció a la mecànica quàntica


399

L’exemple anterior mostra que el principi d’incertesa i, per tant, la mecànica quàntica, només s’ha de tenir en compte quan considerem cossos de dimensions molt petites, com és el cas de les partícules elementals, els àtoms i les molècules. Quan sobrepassem els ordres de magni-tud implicats en aquests cossos, el principi d’incertesa queda emmascarat i podem aplicar la mecànica clàssica i considerar que el moviment dels cossos es pot determinar de manera pràcticament exacta, amb trajectòries perfectament defi nides.

Per contra, considerant de nou l’àtom, la mecànica quàntica ens indica que no podem parlar d’òrbites perfectament defi nides pels electrons que es mouen al voltant del nucli atòmic, ja que les seves posicions i velocitats estan indeterminades tal com indica el principi d’incerte-sa. En aquest cas, hem de parlar d’ones de probabilitat, és a dir, regions al voltant del nucli on és probable trobar els electrons. Per a un electró determinat, aquesta regió de probabili-tat confi gura el que es coneix amb el nom d’orbital i es diu que l’electró està en un estat quàntic concret.

Suposeu que hem mesurat la posició d’una partícula, de manera que la incertesa en la posició és molt petita i és igual a 10215 m (distància que és aproximadament el radi del nucli atòmic). Calculeu la mínima incertesa en la velo-citat en els casos següents:

a) La partícula és una cèl.lula de massa 1028 kg.

b) La partícula és un electró de massa 9,11?10231 kg.

Resolució

a) Si apliquem el principi d’incertesa, trobem que:

h h hDx Dp 5 —— � Dx m Dv 5 —— � Dv 5 ———— 2 p 2 p 2 m Dx p

6,62 ?10234

Dv 5 ——————————— 5 1,05 ?10211 m/s 2 ?1028 ?10215 ? p

En aquest cas, podem considerar que la velocitat es pot conèixer amb una exactitud prou gran, ja que el valor en la seva incertesa és molt petit.

b) Si apliquem l’expressió que hem deduït en l’apartat an-terior, veiem que:

hDv 5 ——————

2 m Dx p

6,62 ?10234

Dv 5 —————————————— 52 ? 9,11 ?10231 ?10215 ? p

5 1,16 ?1011 m/s

En aquest cas, podem considerar que el valor de la velo-citat no es pot conèixer de cap manera, ja que el valor de la seva incertesa és molt gran.

Exemple 5

Si el valor de la constant de Planck no fos tan petit, el principi d’incertesa es faria palès també per a cossos de di-mensions més grans que els àtoms i les molècules.

11> [Curs 04-05] Entre dos punts A i B s’estableix una diferència de potencial VA 2 VB 5 120 V. Un electró està situat al punt B, inicialment en repòs. Deter-mineu:

a) La velocitat amb què arriba al punt A.

b) La longitud d’ona de De Broglie de l’electró, cor-responent a la velocitat anterior.

Dades: h 5 6,62 ? 10234 J?s; qe 5 21,6 ? 10219 C, me 5 9,11 ? 10231 kg

R: a) 6,5 ? 106 m/s; b) 1,1 ? 10210 m

12> En un microscopi electrònic s’aplica una diferència de potencial de 20 kV per tal d’accelerar els electrons.

Quina longitud d’ona assoleix el feix d’electrons?

R: 8,67 ? 10212 m

13> Un àtom d’hidrogen en repòs assoleix un estat exci-tat quan absorbeix un fotó d’energia 10,6 eV. Deter-mineu: a) la longitud d’ona del fotó incident i la zona de l’espectre a la qual pertany; b) La velocitat amb què retrocedeix l’àtom excitat; c) La longitud d’ona de De Broglie de l’àtom excitat.

R: a) 1,17 ? 1027 m; b) 3,38 m/s; c) 1,17 ? 1027 m

14> Per a un electró a l’interior d’una caixa cúbica d’ares-ta a, quina és la mínima incertesa per a la seva velo-citat? Aquest electró pot estar exactament en repòs a l’interior de la caixa?

Activitats

9. Física moderna 9.4 Dualitat ona-corpuscle. Introducció a la mecànica quàntica


400

9.5 Introducció a la teoria de la relativitat

La mecànica quàntica es va desenvolupar a partir del descobriment de la dualitat ona-corpus-cle de la matèria i la radiació, i constitueix una de les teories principals de la física moderna. Un altre pilar de la nova física és la teoria de la relativitat, que també va ser proposada pel geni creador d’Einstein.

Per entendre aquesta teoria ens hem de tornar a remuntar a les acaballes del segle XIX. Du-rant aquesta època, abans que es descobrissin fenòmens com el de la radiació de cos negre, l’efecte fotoelèctric i d’altres, la física clàssica o newtoniana semblava haver arribat al seu cim. Els científi cs de l’epoca pensaven que els fenòmens naturals es podien explicar a partir dels seus postulats, els quals es basaven en les lleis de la mecànica de Newton i en les lleis de l’electromagnetisme de Maxwell; l’òptica es deduïa d’aquestes últimes, ja que la llum és una ona electromagnètica.

La mecànica havia demostrat fi ns llavors la seva inefi càcia en la recerca d’un sistema de refe-rència en repòs absolut; però, tot i que no oferia cap explicació convincent, la predicció de l’èter a la qual semblava que donaven peu les lleis de Maxwell feia creure que s’estava en condicions de detectar aquest sistema de referència absolut per procediments electro-magnètics o òptics, sistema que havia de ser el mateix èter. Així ho confi rmava el valor de c, que es deduïa de les lleis de Maxwell, i era considerat el valor de la velocitat de la llum res-pecte de l’èter.

Per tant, durant aquesta època els físics buscaven aferrissadament un mètode que els perme-tés mesurar la velocitat de la Terra respecte de l’èter, i que confi rmes d’una manera absoluta. Malgrat tot, com veurem a continuació, tots els intents que hi ha hagut per mesurar aquesta velocitat han tingut un resultat nul, la qual cosa demostra que el concepte d’èter no té cap sentit, tal com va provar un experiment a fi nal del segle XIX. Aquest experiment es va repetir diverses vegades durant el segle XX i va donar sempre un resultat nul.

El fracàs de la idea de l’èter va suposar, en certa manera, el fracàs de la física clàssica, ja que va fer veure que la hipòtesi del sistema de referència en repòs absolut era un concepte sense cap signifi cat real. L’abandonament de la idea de l’èter, juntament amb els fets experimentals que van donar peu a la mecànica quàntica, va posar en evi dència la necesitat de replantejar tota la física. Com ja hem comentat, a principis del segle XX s’originà una nova revolució científi ca que va fer canviar els coneixements que fi ns aleshores es tenien de la natura.

L’experiment de Michelson-Morley

Durant l’any 1881 va tenir lloc un experiment crucial que va permetre refutar la idea de l’èter i que es va convertir en un dels fonaments de la física moderna.

El mateix Maxwell s’havia interrogat, dos anys abans, sobre la possibilitat de mesurar la ve-locitat de la Terra respecte de l’èter mitjançant l’observació dels eclipsis dels satèl.lits del planeta Júpiter, i així ho va fer saber a col.legues nord-americans.

Un d’ells, el físic A. Michelson, es va interessar pel tema, però va proposar que es mesurés aquesta velocitat amb procediments que no impliquessin observacions astro nòmiques, sinó únicament terrestres, i al cap de dos anys va donar a conèixer els seus resultats.

Per entendre l’experiment de Michelson, hem de tenir en compte que, si suposem un èter en repòs absolut i una Terra que es mou respecte d’aquest d’èter, la velocitat de la llum que mesura un observador terrestre s’hauria de veure incrementada o disminuïda per la velocitat absoluta de la Terra relativa a l’èter, sempre que es consideri la llum com una ona la veloci -tat de la qual no depèn de la velocitat de la font, com passa en la resta d’ones.

Fins al segle XVII, la concepció de l’Univers predominant era el model geocèntric, segons el qual se supo-sava que la Terra era el centre de l’Univers, i que, per tant, podia ser considerada com l’únic sistema de referència en repòs absolut. Galileu i Newton van mostrar la falsedat d’aquesta idea; però el segon encara s’aferrava a la idea d’un sistema en repòs absolut. Fins al segle XX, els físics pensaven que aquest sistema de referència privilegiat podia ser l’èter.

Recordem que la velocitat de fase d’una ona mecànica és independent de la velocitat de la font i només de-pèn de les característiques del medi, però que no passa el mateix quan és l’observador qui es mou, i que aquest pot mesurar una velocitat de fase diferent.

9. Física moderna9.5 Introducció a la teoria de la relativitat


401

El dispositiu experimental de Michelson, conegut amb el nom d’interferòmetre de Michel-son, consta d’una font de llum F, un sistema de làmines de vidre semitrans parents i de mi-ralls i un telescopi T (fi g. 9.10).

��

��

��

�

�

�

��

��

��

��

L’interferòmetre funciona de la manera següent (fi g. 9.11): un raig de llum procedent de F incideix sobre una làmina semitransparent L i se separa en dos, un raig que travessa la làmina i un altre que s’hi refl ecteix; aquests dos raigs es refl ecteixen en dos miralls M1 i M2, invertei-xen el seu recorregut i arriben una altra vegada a la làmina L. Una altra vegada té lloc la se-paració de cada raig en dos, de manera que dos raigs arriben al telescopi T, i interfereixen donant una sèrie de franges clares i fosques alternades.

Suposem que un dels braços de l’interferòmetre, per exemple el braç FLM1, és paral.lel a la velocitat v de la Terra respecte de l’èter; és d’esperar que, si aquesta velocitat fa variar la velocitat de la llum, els dos raigs recorrin els seus respectius camins en un temps que dependrà de v. En efecte, per al braç FLM1, la velocitat de la llum i la velocitat de la Terra són paral.leles, mentre que aquestes velocitats són perpendiculars per al braç TLM2; per tant, la velocitat de la llum relativa a l’interferòmetre hauria de ser c 1 v i c 2 v per al primer braç,

i Îããc2 ã1ããv2ã per al segon. Aquests valors infl uiran en la diferència entre els temps d’arribada dels dos raigs a T i defi niran una posició determinada de les franges d’interferència.

Si ara girem l’interferòmetre 90°, la situació queda invertida, i, en principi, és d’es perar una diferència de temps entre els camins recorreguts diferent de la del cas anterior, ja que les velocitats de la llum relatives a cada braç canvien respecte del cas anterior; per tant, cal esperar una posició de les franges d’interferència també diferent o, dit d’una altra manera, s’hauria d’observar un corriment de les franges. Per sorpresa del mateix Michelson, una vega-da fetes diverses observacions, les franges no experimentaven cap corriment quan se situava l’interferòmetre en diverses orientacions.

Aquest resultat nul de l’experiment indicava que els supòsits en els quals es basava eren er-ronis i que, en paraules de Michelson, «la interpretació d’aquests resultats és que no hi ha corriment de les bandes d’interferència i, per tant, el resultat de la hipòtesi de l’existència d’un èter estacionari demostra que aquesta hipòtesi és incor recta».

L’any 1887, Michelson va tornar a efectuar el seu experiment, aquesta vegada en col.labora-ció amb E. Morley, utilitzant un interferòmetre més precís; un altre cop va obtenir uns resul-tats negatius, ja que no va observar cap corriment de les franges. Aquesta evidència experi-mental ens permet deduir que la llum recorre els dos braços de l’aparell sempre amb la mateixa velocitat c, sense que es pugui aplicar la llei d’addició de velocitats establerta per les transformacions de Galileu.

Així doncs, aquest experiment té dues conseqüències molt importants; la primera és que els científi cs havien estat buscant una cosa que no existia, l’èter, i que els supòsits en els quals es basava la física clàssica no eren aplicables a un fenomen com la llum, ja que les transfor-macions de Galileu de la velocitat no es verifi quen en el cas de la llum. La segona és que

Fig. 9.11. Funcionament de l’interferòmetre de Michelson-Morley.

Fig. 9.10. Interferòmetre de Michelson-Morley: el sistema de miralls i làmines es-tan muntats sobre una plataforma de mar-bre que sura en un gran recipient ple de mercuri, i així s’eliminen les possibles vi-bracions.

Recordem que les velocitats d’un cos mesurades en dos sistemes de referèn-cia inercials S, S9 estan lligades per les transformacions de Galileu; si �v és la velocitat del sistema S9 respecte a S, �c és la velocitat del cos en el primer sistema, i �c9 és la velocitat del cos en el segon sistema, aquestes transfor-macions estableixen que:

�c9 5 �c 2 �v

En el cas del dispositiu de Michelson-Morley, c és la velocitat de la llum res-pecte de l’èter, c9 la velocitat de la llum respecte de la Terra, i v la veloci-tat de la Terra respecte de l’èter. Per al raig que es mou de la làmina L al mirall M1, la llum es mou en la mateixa direc-ció i en el mateix sentit que v, i l’ex-pressió anterior ens dóna, en mòdul:

c9 5 c 2 v

Quan aquest raig es reflecteix, inver-teix el seu recorregut, i aquestes velo-citats tenen ara sentits contraris, i ens dóna:

c9 5 c 1 v

Finalment, els raigs que es propaguen pel braç TLM2 ho fan amb una veloci-tat perpendicular a v, i obtenim, en mòdul:

c9 5 Îããc2 1ããv2ã

9. Física moderna 9.5 Introducció a la teoria de la relativitat


402

prova experimentalment que el valor de la velocitat de la llum és una constant universal i que, per tant, no depèn de la velocitat de l’observador que mesura el seu valor. Com veurem a continuació, Einstein va prendre aquestes dues idees com la base d’una nova teoria física.

Els postulats de la teoria de la relativitat restringida

A part de la seva explicació de l’efecte fotoelèctric, la contribució més important d’Einstein a la ciència és que va ser el creador d’unes noves concepcions físiques, que queden recollides en la teoria de la relativitat.

Aquesta teoria té dos camps d’aplicació: la teoria de la relativitat restringida, quan estudiem fenòmens en els quals el moviment és uniforme, i la teoria de la relativitat general, aplicable a sistemes de referència accelerats.

Einstein va deduir la teoria de la relativitat restringida prenent com a punt de partida les conclusions de l’experiment de Michelson-Morley; com que, si ho recordem, aquest havia donat uns resultats negatius, quedava demostrat que no era possible detectar en cap situació el moviment respecte de l’èter. Per tant, davant d’aquesta impossibilitat, Einstein va con-cloure que l’èter no existia, i va afi rmar que la idea d’un èter com a sistema de referència en repòs absolut havia fracassat.

D’aquesta manera, es fa evident que no pot existir cap sistema de referència inercial que es-tigui privilegiat sobre els altres. En efecte, hem de concloure que tots els sistemes han de ser igualment equivalents, de manera que no només les lleis de la mecànica, sinó també les lleis de l’electromagnetisme, no permeten distingir-ne un d’un altre i han de ser les mateixes en tots. Aquesta idea va ser presa per Einstein com el primer dels dos postulats bàsics de la teoria de la relativitat restringida:

Primer postulat o principi d’equivalència: les lleis de la física es verifi quen de manera idèntica en tots els sistemes inercials, sense que sigui possible deduir a través seu cap distinció entre un sistema inercial o un altre.

Una altra conclusió important es pot extreure també de l’experiment de Michelson-Morley quan dirigim l’interferòmetre cap a la llum d’una estrella fi xa. Les estrelles fi xes són un con-junt d’estrelles tan llunyanes que el seu moviment respecte del sis tema solar és pràcticament inapreciable. Sabem que la Terra es mou al voltant del Sol i, per tant, podem considerar que la Terra està en moviment respecte de les estrelles fi xes; així, si en un instant determinat la Terra es mou apropant-se a l’estrella amb velocitat v, sis mesos més tard la Terra es mou allunyant-se de l’estrella amb velocitat 2v (fi g. 9.12).

��

��

�

��

��

Fig. 9.12.

Els científics de final del segle XIX van intentar donar explicacions més o menys enginyoses del resultat nul de l’experiment de Michelson-Mor-ley. Així, alguns van plantejar que la Terra arrossegava en el seu movi-ment l’èter circumdant, de manera que la llum era al seu torn arrosse-gada per l’èter i la velocitat era la mateixa en ambdós braços de l’inter-feròmetre. Aquesta idea va ser aban-donada quan es va fer evident que l’èter no existia.

Durant el segle XX s’han efectuat di-versos experiments similars al de Michelson-Morley, i tots han donat resultats nuls.



403

Si situem l’interferòmetre en una posició adequada, es pot aconseguir que un braç sigui pa-ral.lel a la velocitat de la llum de l’estrella i l’altre perpendicular, i s’hauria d’esperar un cor-riment de les franges quan es gira l’aparell; l’experiment dóna, en qualsevol cas, un resultat negatiu, i la velocitat de la llum que prové de l’estrella no es veu afectada pel moviment de la Terra al voltant del Sol, i es mesura sempre el mateix valor c sigui quin sigui el moviment de l’observador terrestre.

Aquest principi substitueix, així, un concepte de l’absolut per un altre; no existeix cap sistema de referència absolut, però el que hem de considerar absolut és el valor de la velocitat de la llum, ja que tots els observadors mesuren el mateix valor c, sigui quin sigui el seu moviment. Einstein va prendre aquesta constatació com el segon postulat de la teoria de la relativitat restringida:

Segon postulat: la velocitat de la llum és una constant universal, invariant per a tots els observadors inercials.

Cal remarcar que aquest valor és precisament això, una constant, i que el seu valor és el mateix en qualsevol situació, encara que la llum es transmeti a través d’un medi transparent; recordem que, en aquest cas, havíem vist com la velocitat és més petita que en el buit. En realitat, la velocitat de la llum continua sent c, però el que passa és que els fotons que for-men la llum interactuen amb els àtoms que formen el medi, i poden ser absorbits i poste-riorment reemesos per alguns d’aquests àtoms, per la qual cosa pateixen un retard; aquest fet no és més que una conseqüència dels fenòmens de dispersió que tenen lloc quan la llum es propaga a través d’un medi.

Tot i que els fotons es mouen sempre amb velocitat c, la dispersió efectuada pel medi sobre els fotons origina, en conjunt, una transmissió endarrerida de l’ona a través del medi, i fa l’efecte que la velocitat de la llum en el medi és més petita que la velocitat de la llum en el buit.

Aquest fet és insignifi cant en el cas de l’aire, però es fa apreciable quan la llum es transmet per l’aigua i per medis transparents com el vidre, molt més densos que l’aire. En tots aquests medis, la transmissió de l’ona, en conjunt, es fa a una velocitat mitjana més petita que c.

Conseqüències del segon postulat. La dilatació temporal

Els fotons es mouen sempre a la velocitat de la llum c. Això vol dir que qualsevol observador sempre mesura el mateix valor c per a la velocitat de la llum, sigui quina sigui la seva velo-citat respecte d’altres observadors, exceptuant el cas que acabem de comentar, en què la llum pateix un retard a causa de la dispersió quan es transmet en un medi més o menys dens.

Aquest fet sobta des del punt de vista de la física clàssica. En efecte, d’acord amb les lleis de Newton, si un observador O solidari a un sistema inercial S mesura una velocitat

�c per a la

llum, un altre observador inercial O9 que es mogui a una velocitat �v respecte de O hauria de

mesurar una velocitat �c 9 5

�c 2

�v ; recordem que això és el que estableix la llei de transfor-

macions de les velocitats de la mecànica clàssica, que es resumeix en les anomenades trans-formacions de Galileu.

El fet que c tingui, però, un valor constant independentment de l’observador indica que aquestes lleis no poden ser correctes i que s’han de substituir per unes altres. Per tant, la física clàssica deixa de tenir validesa en el mateix moment en què afi rmem el postulat de la invariància de la velocitat de la llum, i, com va demostrar Einstein, això té unes conse-qüències molt importants sobre les concepcions de l’espai i del temps.

Segons Newton, el temps és absolut, és a dir, és el mateix per a qualsevol observador; però si s’admet com a vàlid el postulat de la constància de c, es dedueix que el temps va íntima-

Alguns científics, com H. Lorentz a final del segle XIX, van intentar expli-car els resultats nuls de l’experiment de Michelson-Morley encara segons els supòsits de la mecànica clàssica. Juntament amb G. Fitzgerald, Lorentz va suposar que les longituds que es mesuraven en la mateixa direcció que la de la velocitat de la Terra s’escurça-ven, i, així, el braç que coincidia amb aquesta direcció era més curt vist des del sistema de referència solidari amb l’èter; aquesta diferent longitud l del braç havia de ser:

v2l 5 l0 1 2 —— c2

on l0 és la longitud del braç mesurada en el sistema de referència solidari amb la superfície de la Terra, és a dir, el sistema de referència definit per l’interferòmetre.

Més tard, es va comprovar que la con-tracció de la longitud, anomenada contracció de Lorentz, tenia una certa realitat física; però per Lorentz no deixava de ser un simple artifici ma-temàtic sense cap base física, ja que les lleis de la física clàssica, que no s’havien qüestionat encara, eren hos-tils a aquesta idea.

Îããã



404

ment lligat a cada observador, i que els successos que tenen una durada determinada en un sistema poden tenir una durada diferent quan s’observen des d’un altre sistema en moviment respecte del primer.

Es demostra, així, que el temps és relatiu i depèn del sistema de referència.

Per entendre aquesta constatació, considerem la situació següent, proposada pel mateix Einstein. Suposeu que construïm un rellotge de llum amb una font lluminosa F, situada a la base d’un cilindre molt llarg de longitud l, i un mirall M situat a la cara superior. La font emet un pols de llum en un instant determinat, de manera que la unitat de temps del rellotge tT ve fi xada per l’interval de temps que tarda el senyal lluminós a fer el camí d’anada fi ns al mirall superior, refl ectir-s’hi i recórrer el camí de tornada fi ns a la base (fi g. 9.13); anomenem temps propi aquest interval de temps tT. La longitud total recorreguda pel raig és 2 l i, per tant, el temps propi és: 2 l

tT 5 t1 1 t2 5 2 t1 5 —— c

Així ho mesura un observador A, solidari amb el sistema de referència S defi nit pel cilindre.

Considerem ara que el rellotge, que defi neix el sistema de referència S, es mou respecte d’un altre sistema inercial S9 amb una velocitat v, de manera que, en l’instant inicial t0, ambdós sistemes coincideixen; si en aquest instant t0, el rellotge emet un pols lluminós, el succés representat per l’emissió del pols i l’arribada d’aquest al punt de partida és observat de la manera següent (fi g. 9.14):

�

�

��$$��

� �

��

�$$��$$��

��

�$$� ��

Fig. 9.13. Rellotge de llum; la unitat de temps tT és el temps que tarda el raig de llum per anar fins a M, reflectir-s’hi i tornar al punt de partida.

Fig. 9.14.

Per a un observador B, solidari amb el sistema S9, el raig de llum ha de recórrer una distància més gran, però la velocitat de la llum ha de ser la mateixa que per a A, d’acord amb el 2n pos-tulat de la relativitat restringida. Això implica que la velocitat v del sistema de referència no pot infl uir, de cap manera, en la velocitat del raig de llum, en contra del que indiquen les transformacions de Galileu. Per tant, l’observa-dor B veurà el succés amb una durada tT9 dife-rent de tT; en efecte, el raig de llum recorre, per a B, una distància s9T donada per s9T 5 2 s91 (fi g. 9.15).

��%��

��

��

�

��

�&��

��

Fig. 9.15.


� �

��

��

��

� ��

� ��

��

�

��

��

�

��

��

�


405

En el temps t19 que triga el pols de llum a arribar al mirall, el cilindre s’ha mogut fi ns a la posició x19 5 v t19; per tant, el camí recorregut pel raig (fi g. 9.15) és:

s19 5 Îããl 2 ã1ããx192ã 5 Îããl 2 1ããã(v t19ã)2ã

Tenint en compte que la velocitat de la llum té el mateix valor c per als dos observadors, el temps t19 és:

s19 Îããl 2 1ããã(v t19ã)2ãt19 5 —— 5 ———————— � c2 t

192 5 l2 1 v2 t

192 � t

192 (c2 2 v2) 5 l2

c c

l — l c t1

t19 5 —————— 5 ————————— � t19 5 ————————

Îããc2 2ããv2ã v2 v2

1 2 —— 1 2 —— c2 c2

lon hem tingut en compte que t1 5 —. Si recordem que tT 5 2 t1 i tT9 5 2 t19, arribem al cresultat fi nal següent:

2 t1 tTtT9 5 2 t19 5 ———————— � tT9 5 ————————

v2 v2

1 2 — 1 2 — c2 c2

Aquesta última expressió demostra que el succés té una durada diferent segons si s’observa en el sistema S o en el sistema S9; l’observador B mesura un interval de temps tT9 més gran que l’observador A, i, per tant, conclou que els successos que observa en el sistema S transcorren més lentament del que seria d’esperar si S estigués en repòs. Diem que l’interval de temps que dura un determinat succés no és el mateix en diferents sistemes de referència en movi-ment relatiu, i que hi ha una dilatació quan es mesura en un sistema de referència en mo-viment respecte del mateix succés. Així, els rellotges en moviment s’alenteixen.

Îãã Îãã

Îãã Îãã

El fenomen de la dilatació temporal s’ha demostrat experimentalment es-tudiant la vida mitjana d’algunes par-tícules elementals, com els mesons; aquestes partícules triguen més a desintegrar-se quan es formen a par-tir dels raigs còsmics i viatgen a grans velocitats que quan són generades al laboratori, on es mouen a velocitats més petites.

Aquest fenomen també s’ha eviden-ciat empíricament comparant rellotges molt precisos que han viatjat en vols trans atlàntics, amb d’altres d’iguals que han restat en repòs: els primers s’endarrereixen.

Segur que alguna vegada heu sentit a parlar de l’anomenada paradoxa dels bessons, o, si més no, s’ha plantejat una situa-ció semblant en algunes pel.lícules de ciència fi cció. Imaginem un cas hipotètic en què un astronauta que té un germà bessó marxés cap a l’espai exterior en una nau espacial i l’altre germà es quedés a la Terra, de manera que el primer tornés després de cinc anys justos a l’espai. Quants anys tindria el germà que s’ha quedat a la Terra, si l’astronauta hagués viatjat a una velocitat mitjana de 0,95 c?

Resolució

Suposem que l’astronauta, juntament amb la seva nau, formen el sistema de referència S; la durada de l’esdeveniment en S ha estat t 5 5 anys. El germà bessó que s’ha quedat a la Terra forma juntament amb aquesta el sistema de referència S9, i la durada de l’esdeveniment per a ell ha estat de:

t 5t9 5 ———————— � t9 5 ——————————— 5 16 anys

v2 (0,95 c)2

1 2 ——— 1 2 ————— c2 c2

Per tant, mentre que per al germà que ha restat a la Terra han passat setze anys, per a l’astronauta només han passat cinc anys, i així es fa patent l’efecte de la dilatació temporal. Cal fer notar que aquest fenomen només es fa evident quan la velocitat implicada és propera a c, com en aquest exemple hipotètic.

Exemple 6

ÎãããÎãã



406

Les transformacions d’Einstein-Lorentz. La contracció de la longitud

Es podria pensar que el fenomen de la dilatació temporal que acabem de comentar es deu a la forma de mesurar el temps en aquest experiment mental. Ara analitzarem de quina manera es mesura el temps en una situació qualsevol. En el cas d’un rellotge de paret, és el perío de d’un pèndol el que ens marca la unitat de temps; en el cas d’un rellotge digital, és l’os cil.la ció d’un cristall de quars el que indica aquest temps. Podem veure que, en qualsevol situació, la mesu-ra del temps ve fi xada pel període d’oscil.lació indicat per algun esdeveniment, com és el cas, per exemple, del moviment d’un pèndol, de l’oscil.lació d’un cristall de quars o, fi ns i tot, del moviment d’anada i tornada del pols lluminós en el rellotge d’Einstein.

Fins i tot podríem utilitzar la durada de la nostra vida com a unitat de temps, i, en qualsevol situació, observar com els rellotges es retarden en els sistemes que es mouen respecte de nosaltres, i els successos que observar s’alenteixen; de tota manera, aquesta llei fonamental, conseqüència del postulat d’invariància de la velocitat de la llum, passa pràcticament desa-percebuda en la majoria de situacions de la nostra vida quotidiana, ja que les velocitats v implicades són molt petites comparades amb c.

Per tant, la diferència entre els temps mesurats en diversos sistemes és pràcticament inapre-ciable quan aquests sistemes es mouen a una velocitat molt més petita que c; el temps hi transcorre de manera pràcticament idèntica i podem fer servir les transformacions de Galileu en aquestes situacions, excepte en el cas de la llum.

Per contra, quan la velocitat de l’observador té un valor proper a c, l’efecte de dilatació tem-poral es fa patent i aleshores hem d’aplicar unes altres transformacions per passar d’un siste-ma a un altre, conegudes com a transformacions d’Einstein-Lorentz:

En les transformacions d’Einstein-Lorentz hem suposat que la velocitat v del sistema S9 respecte del sistema S és paral.lela a l’eix X, i, per tant, les coordenades Y, Z no es veuen afecta-des.

Fem notar que aquestes expressions es redueixen a les proposades per les transformacions de Galileu, sempre que es consideri v molt més petita que c ; en aquest cas, el terme

v2 x 1 2 — és pràcticament la unitat, mentre que el terme — és pràcticament nul. c2 c

Per tant, obtenim les lleis de transformació de Galileu.

Una conseqüència d’aquestes transformacions és l’efecte de la dilatació temporal, que ja s’ha comentat. Un altre fenomen que se’n deriva és la contracció que experimenta la longitud d’un objecte quan es mesura en un sistema de refe-rència en moviment respecte d’aquest objecte.

Amb les transformacions d’Einstein-Lorentz es pot demostrar que aquesta contracció només té lloc en la direcció del moviment. Conside-rem per exemple una vareta que es mou a una determinada velocitat respecte d’un sistema de referència en repòs S, de manera que la seva longitud coincideix amb la direcció del moviment (fi g. 9.16).

x 2 vtx9 5 ————————

v2

1 2 —— c2

y9 5 y

z9 5 z

Îãã x ?v t 2 ———— c2

t9 5 ———————

v2

1 2 —— c2Îãã

Îãã

Recordeu que les lleis de transfor-mació de Galileu per a la posició es-tableixen que:

x9 5 x 2 v t

y9 5 y

z9 5 z

t9 5 t �

��

�

��

Fig. 9.16.



407

Suposem que la longitud de la vareta, respecte del sistema de referència S9 que li és solidari, és l0; aquesta longitud s’anomena longitud pròpia. Si ara mesurem la lon gitud de la vareta respecte del sistema en repòs S, trobem un valor per a l donat per l’expressió següent, obtin-guda aplicant la transformació de Lorentz per a la coor denada x:

v2

l 5 l0 1 2 —— c2Îãã

Per una vareta de 2 m de longitud pròpia que es mogués en la direcció de l’eix X cap a la dreta, amb una velocitat de 0,75 c respecte d’un observador S, quina és la longitud que mesuraria l’observador?

Resolució

Si apliquem l’expressió anterior i substituïm les dades, veiem que:

v2 (0,75 c)2

l 5 l0 1 2 —— � l 5 2 1 2 ————— 5 1,32 m c2 c2

Exemple 7

Îãã Îããã

Equivalència massa-energia

Una altra conseqüència important de la teoria de la relativitat és que la massa d’un cos no és la mateixa quan s’observa des de diferents sistemes de referència en moviment relatiu, en contra de la idea que proposava la física clàssica segons la qual la massa era invariant. Eins-tein demostra que la massa d’un cos augmenta quan aquest es mou a una velocitat determi-nada v d’acord amb l’expressió següent:

m0m 5 ———————

v2

1 2 —— c2

on m0 és la massa del cos quan està en repòs respecte de l’observador i m és la massa del cos quan es mou a una velocitat v respecte de l’observador. Aquest fet és fàcil d’entendre si ad-metem que en comunicar energia a un cos, la seva massa s’incrementa; així, si anem incre-mentant la velocitat del cos, també augmenta la seva energia cinètica i, conseqüentment, la seva massa.

Per tant, podem considerar que aquestes dues magnituds, l’energia i la massa, són intercan-viables; dit d’una altra manera, podem considerar que la massa d’un cos és una altra forma en què es pot presentar l’energia. Així, un cos de massa m conté una quantitat neta d’energia E donada per l’expressió:

E 5 mc2

Aquestes dues expressions han estat demostrades experimentalment en moltes ocasions, i han de ser considerades com a principis bàsics de la natura; però la primera només s’eviden-cia quan les velocitats tenen valors propers al de la velocitat de la llum. Les partícules ele-mentals com l’electró, per exemple, poden ser accelerades fi ns a velocitats molt altes que mai no poden sobrepassar la velocitat de la llum, en con cordança amb l’expressió de la variació de la massa.

D’altra banda, s’ha comprovat la validesa de l’equivalència entre la massa i l’energia estu-diant els xocs entre partícules elementals accelerades, ja que en aquests xocs la des aparició

Îãã



408

d’una certa quantitat de massa m comporta l’aparició d’una quantitat d’energia equivalent E en forma de fotons donada per l’expressió anterior. Això és el que també passa quan es for-ma un determinat nucli a partir dels nucleons que el formen, tal com vam estudiar en la unitat de radioactivitat. Recordem que, en aquest cas, la diferència entre la massa d’un nu-cli determinat i la suma de les masses dels seus protons i neutrons quan estan aïllats, o de-fecte de massa, es transforma en una quantitat equivalent d’energia donada per l’expressió anterior.

En un ciclotró s’accelera un electró fi ns a una velocitat de 0,9 c. Sabent que la massa en repòs de l’electró és de 9,11 ?10231 kg, calculeu:

a) La massa de l’electró a aquesta velocitat.

b) L’energia total de l’electró.

c) La dotació energètica de la massa en repòs de l’electró i la seva energia cinètica.

Resolució

a) Determinem la massa de l’electró aplicant l’expressió corresponent:

m0 9,11?10231

m 5 ———————— � m 5 ——————————— 5 2,09 ?10230 kg v2 (0,9 c)2

1 2 —— 1 2 ————— c2 c2

b) Per calcular l’energia de l’electró apliquem l’expressió corresponent:

E 5 mc2 � E 5 2,09 ?10230 ? (3 ?108)2 5 1,88 ?10213 J

c) La dotació energètica corresponent a la seva massa en repòs és:

E0 5 m0c2 � E0 5 9,11 ?10231 ? (3 ?108)2 5 8,20 ?10214 J

L’energia cinètica de l’electró és la diferència entre l’energia total de l’electró i l’energia corresponent a la seva massa en repòs. Per tant:

Ec 5 E 2 E0 5 mc2 2 m0c2 � Ec 5 1,88 ?10213 2 8,20 ?10214 5 1,06 ?10213 J

Exemple 8

Îãã Îãããã


Activitats

15> Si poguéssim observar el rellotge d’una nau espacial que viatgés a una velocitat de 0,6 c, tindríem la im-pressió que s’alenteix. Quan triga el rellotge de la nau a marcar un segon vist des del nostre sistema de referència?

R: 1,25 s

16> Quina és la massa d’un protó que és accelerat en un sincrotró fi ns a assolir una energia de 25 MeV, si la seva massa en repòs és d’1,7 ?10227 kg?

R: 1,74 ?10227 kg


Tecnologia làser: la nova cirurgia

Les peculiars característiques de la llum produïda per una font làser, la diferencien força de les fonts de llum conven-cionals. La direccionalitat (focalització d’un feix estret en una direcció particular), la potència (aplicació de molta energia en un període de temps curt) i la monocromatitzitat (emissió amb una longitud d’ona determinada) han fet de la tecnologia làser una eina molt útil en medicina, especialment en el camp de la cirurgia.

En particular, l’energia tèrmica subministrada pel làser permet l’evaporació de l’aigua dels teixits i per tant en provoca la destrucció selectiva: el làser pot tallar, obrir obstruccions o eliminar substàncies no desitjades. Un efecte tèrmic secundari molt benefi ciós és la coagulació dels vasos sanguinis propers al tall; fet que permet, per exemple, tallar un tros de fetge, cosa que no es podia fer amb la cirurgia tradicional a causa del perill d’hemorràgies.

La taula 9.1 mostra les longituds d’ona de les línies d’emissió de tres làsers molt utilitzats en cirurgia i la fi gura 9.17, les corbes d’absorció de la llum per part de l’aigua i la hemoglobina en funció de la longitud d’ona utilitzada (les línies verticals corresponen als làsers de la taula 9.1).

Física quotidiana

Qüestions

1> Sabem que la destrucció de teixits es produeix per la dessecació de l’aigua que contenen. D’acord amb la fi gura 9.16, quin es el làser més apropiat per fer aquesta funció?

2> La absorció del làser per la hemoglobina i l’aigua té com a efecte inevitable una escassa penetració del làser en els teixits. Seguint aquest raonament: quin dels tres làsers utilitzaríem per combatre una hemorràgia interna?

3> Suposem que hem d’aplicar làser per ajudar a coagular una ferida superfi cial. Després d’analitzar la fi gura 9.16, quin làser utilitzaríem?

Làser Medi actiu Longitud d’ona

Ar gas 0,488 nm

0,514 nm

CO2 gas 10,6 nm

Nd: YAG sòlid 1,063 nm��

��

'�

��(� �(� �() �( � � � ��

"*��+�

��

,��#��*��

"�#-�

"� ./�

0�12"3

Fig. 9.17. Cirurgia amb làser d’argó aplicada a una in-tervenció d’otosclerosi.

Taula 9.1.

409

9. Física modernaFísica quotidiana


410

9. Física modernaAvaluació del bloc 3

410

9. Física modernaActivitats fi nals

Activitats finals

1> En què consisteix l’efecte fotoelèctric? Quines apli-cacions pràctiques té?

2> En alguns metalls l’efecte fotoelèctric només té lloc amb llum ultraviolada, mentre que en d’altres té lloc amb llum visible. A què és degut aquest fet?

3> [Curs 02-03]

a) Expliqueu breument en què consisteix l’efecte fotoelèctric.

b) Suposeu que en irradiar un metall amb llum bla-va es produeix l’efecte fotoelèctric. Discutiu si també es produirà quan irradiem el metall amb llum groga, sabent que la llum groga té una fre-qüència més baixa que la llum blava. Justifi queu la resposta.

4> En un experiment sobre l’efecte fotoelèctric s’ha il.luminat una placa feta d’un cert metall, de fre-qüència llindar f0, amb llum ultraviolada de deter-minada intensitat, i s’ha mesurat l’energia cinètica màxima dels electrons emesos. Trieu la resposta correcta.

A) Només es produeix l’efecte fotoelèctric si la freqüència de la radiació incident és, respecte de f0:

a) Més gran.

b) Més petita.

c) Sempre hi ha efecte fotoelèctric.

B) Si es duplica la intensitat de la radiació ultravio-lada incident, l’energia cinètica màxima:

a) Augmenta.

b) Disminueix.

c) No varia.

C) Si es duplica la freqüència de la radiació inci-dent, l’energia cinètica màxima:

a) Augmenta.

b) Disminueix.

c) No varia.

D) Si es duplica la longitud d’ona de la radiació in-cident, l’energia cinètica màxima:

a) Augmenta.

b) Disminueix.

c) No varia.

5> Què és el treball d’extracció d’un metall? Com el podem mesurar? Expliqueu-lo amb cert detall.

6> A la fi gura 9.7 observem que la representació gràfi -ca del potencial de frenada en funció de la freqüèn-cia de la radiació incident és una recta.

a) Què representa el pendent d’aquesta recta. Quin és el seu valor?

b) Quin és el punt de tall amb l’eix d’abcisses, i què representa aquest punt?

c) Quin és el punt de tall amb l’eix d’ordenades, i què representa aquest punt?

7> Per què en l’efecte fotoelèctric el corrent elèctric no és nul encara que ho sigui el potencial aplicat als elèctrodes?

8> Suposem que una superfície metàl.lica emet fotoelec-trons quan s’il.lumina amb llum groga, però que no ho fa quan s’il.lumina amb llum taronja. Hi haurà efecte fotoelèctric en il.luminar la superfície amb llum ver-da? I amb llum vermella?

9> [Curs 02-03] Quina o quines de les magnituds se-güents varien quan un fotó passa d’un medi a un altre: la freqüència, la longitud d’ona, la velocitat, l’energia? Justifi queu les respostes.

10> Es pot dur a terme un experiment com el de l’efecte Compton amb llum visible? Per què? Raoneu la res-posta.

11> Els electrons que han estat difosos per efecte Compton surten en una direcció perpendicular a la de la radiació incident i amb una energia cinètica que és la quarta part de la dels fotons incidents. Quina és la freqüència dels fotons incidents? I la dels fotons difosos?

12> [Curs 99-00] Expliqueu breument un fenomen rela-cionat amb la llum que pugui ser explicat satisfac-

Qüestions


411


411

9. Física moderna Activitats fi nals

Problemes

1> El radar d’un aeroport funciona a una freqüència central de 10 500 GHz. Si la potència mitjana del ra-dar és de 15 kW, quants fotons emet en un minut? Quina quantitat de moviment té cada fotó?

R: 1,29 ?1026; 2,32?10229 N ?S

2> Es defi neix el potencial d’ionització d’un element com l’energia que ha d’absorbir l’electró de l’últim nivell d’un àtom de l’element per escapar-ne. Calculeu qui-na ha de ser la freqüència i la longitud d’ona dels fotons que poden ionitzar els elements següents:

a) Rubidi, de potencial d’ionització 4,18 eV.

b) Fluor, de potencial d’ionització 17,42 eV.

c) Carboni, de potencial d’ionització 11,26 eV.

R: a) 1,01?1015 Hz, 2,97 ?1027 m; b) 4,21 ?1015 Hz, 7,12 ?1028 m; c) 2,72 ?1015 Hz, 1,10 ?1027 m

3> Les característiques d’un làser comercial d’infrarojos ens indiquen que pot donar una potència màxima del feix làser de 250 mW amb una longitud d’ona de 1 060 nm. Determineu la quantitat de moviment i l’energia de cada fotó del feix, i el nombre de fotons que dóna en mitja hora.

R: 6,25 ?10228 N/m, 1,17 eV, 2,4 ?1021

4> La superfície d’un metall sotmès a una temperatura alta emet radiació electromagnètica de diverses fre-qüències, la màxima de les quals és de 7,5·1014 Hz. Trieu la resposta correcta.

A) A quina franja de l’espectre pertany aquesta ra-diació?

a) Visible, color blau.

b) Ultraviolat.

c) Microones.

B) Quina és la longitud d’ona d’aquesta radiació?

a) l 5 2 ?107 m

b) l 5 4 ?107 m

c) l 5 8 ?107 m

C) Quina potència emet si suposem que desprèn 2 ?1020 fotons cada hora tots amb la mateixa freqüència?

a) P 5 27,58 mW

b) P 5 27,58 W

c) P 5 27,58 mW

tòriament amb la teoria corpuscular de la llum però no segons la teoria ondulatòria.

13> Quin signifi cat té la frase «els fotons són partícules de massa en repòs nul.la»?

14> Segons el model atòmic de Böhr, els electrons en un àtom ocupen òrbites discretes. És correcta aquesta afi rmació? D’acord amb la física quàntica, té sentit el concepte d’òrbita per als electrons lligat a un àtom? Expliqueu-lo detalladament.

15> S’acceleren un electró i un protó fi ns que assoleixen la mateixa energia cinètica. Quina és la relació entre les seves longituds d’ona? Trieu la resposta correcta.

a) 43 b) 23 c) 53

16> Les partícules a són nuclis d’heli i, per tant, consis-teixen en una partícula formada per dos protons i

dos electrons; suposeu que una d’aquestes partícules s’accelera, juntament amb un protó, a través de la mateixa diferència de potencial. Quina és la relació entre les seves longituds d’ona?

17> Escriviu el principi d’incertesa per a les magnituds conjugades x, p, i demostreu, multiplicant i dividint D ppel terme ——, que les magnituds conjugades E, t 2 mtambé el verifi quen.

18> En quin sentit diem que la física moderna no és me-canicista, mentre que la física clàssica sí que ho és? En quin sentit diem que la física clàssica és determi-nista, mentre que la física moderna no ho és?

19> Per què segons la teoria de la relativitat el temps no és absolut, sinó que depèn del sistema de referèn-cia? Quines conseqüències té aquest fet?


412


412


D) La quantitat de moviment d’un fotó d’aquesta freqüència és:

a) p 5 1,66 ? 10227 N?s

b) p 5 2,34 ? 10227 N?s

c) p 5 5,89 ? 10227 N?s

E) Quants fotons emet en 15 minuts si la potència emesa disminueix a la tercera part?

a) 0,75 ? 1019 b) 1,25 ? 1019 c) 2,50 ? 1019

5> L’efecte fotoelèctric amb llum groga, l 5 5 900 Å, deixa de tenir lloc quan la tensió del generador val 21,5 V. Calculeu:

a) L’energia cinètica màxima dels fotoelectrons.

b) La freqüència llindar.

c) El treball d’extracció.

R: a) 1,5 eV; b) 1,46 ?1014 Hz; c) 0,6 eV

6> En un tub de descàrrega cal aplicar una tensió inver-sa de 3,5 V per anul.lar el corrent elèctric quan s’il.lu-mina amb llum blava de longitud d’ona 470 nm. De-termineu la màxima longitud d’ona a la qual deixa d’haver-hi emissió de fotoelectrons.

R: 8,81 mm

7> El treball d’extracció per al sodi és de 2,5 eV. Calcu-leu la freqüència llindar i la longitud d’ona correspo-nent.

R: 6,04 ?1014 Hz; 4,97 ?1027 m

8> En una cèl.lula fotoelèctrica il.luminem el càtode amb llum verda, de longitud d’ona 5 500 Å, i s’origi-na un corrent elèctric. Calculeu el treball d’extracció de l’electró i la seva velocitat màxima, sabent que el corrent es deté quan el potencial invers és de 0,95 V, i que la massa de l’electró és de 9,11 ?10231 kg.

R: 2,09 ?10219 J; 5,78 ?105 m/s

9> S’il.lumina una làmina de plata, de freqüència llindar 1,14 ?1015 Hz, amb llum ultraviolada de longitud d’ona 190 nm. Trieu la resposta correcta:

A) La màxima longitud d’ona perquè es produeixi efecte fotoelèctric a la plata és:

a) 156 nm.

b) 263 nm.

c) 326 nm.

B) El treball d’extracció val:

a) 6,53 eV.

b) 4,72 eV.

c) 1,82 eV.

C) La velocitat màxima amb què surten els electrons emesos és:

a) 6,53 eV

b) 4,72 eV

c) 1,82 eV

D) El potencial invers de frenada val:

a) 6,53 V.

b) 4,72 V.

c) 1,82 V.

10> El feix d’un làser de 5 mW s’utilitza per produir efec-te fotoelèctric en un elèctrode de potassi, metall que té una energia d’extracció de 2 eV. Si el làser emet ra diació amb una longitud d’ona de 5 970 Å, calculeu:

a) El nombre de fotons que emet el làser en un se-gon.

b) La velocitat màxima dels fotoelectrons.

R: a) 1,52 ?1016; b) 1,67 ?105 m/s

11> La superfície d’un metall ha estat il.luminada amb llum de longituds d’ona diferents, i s’han mesurat els potencials de frenada corresponents. Els resultats obtinguts han estat els següents:

l (?1027 m) 3,71 4,21 4,80 5,16 5,54

V0 (V) 1,43 1,03 0,66 0,49 0,34


413


413

9. Física moderna Activitats fi nals

Representeu gràfi cament els potencials de frenada en front de les freqüències i calculeu:

a) La freqüència llindar.

b) L’energia mínima necessària per arrencar un electró.

c) El quocient h/e.

R: a) 4,65 ?1014 Hz; b) 1,924 eV; c) 4,08 ?10215

12> L’efecte Compton s’observa quan fem incidir un feix de raigs X de longitud d’ona 2,5 ?10210 m. Si la ra -dia ció incident es difon amb un angle de 45°, deter-mineu:

a) La longitud d’ona i l’energia dels fotons difosos.

b) L’energia cinètica dels electrons que han xocat amb un fotó.

R: a) 4,95 ?103 eV; 2,51 ?10210 m; b) 19,8 eV

13> La radiació X que incideix sobre una mostra que con-té carboni es difon per efecte Compton, de manera que surt en una direcció perpendicular a la direcció de la radiació incident. Si l’energia dels fotons inci-dents és de 2,4 ?103 eV, calculeu:

a) L’energia i la longitud d’ona de la radiació difosa.

b) La velocitat dels electrons.

R: a) 5,20 ?10210 m; 3,82 ?10216 J b) 1,98 ?106 m/s

14> Calculeu la longitud d’ona associada als següents cossos en moviment. Atenent als resultats que s’ob-tenen, quina conclusió podem extreure’n?

a) Un automòbil de 300 kg de massa que va a una velocitat de 120 km/h.

b) La bala d’un fusell, de 15 g de massa, quan surt d’aquest a una velocitat de 250 m/s.

c) Un electró que es mou a una velocitat de 0,5 c.

R: a) 6,38 ?10238 m; b) 1,76 ?10234 m;c) 4,84 ?10212 m

15> Podem considerar que la velocitat mitjana dels elec-trons que es mouen per dintre d’un conductor metàl-lic val aproximadament 1024 m/s, encara que aquest valor depengui de la intensitat de corrent i del tipus

de conductor. Quina longitud d’ona tenen els elec-trons a aquesta velocitat?

R: 7,27 m

16> En un experiment de difracció amb electrons es bom-bardeja amb aquestes partícules una mostra d’una substància pura. Si la distància mitjana entre els àtoms de la xarxa cristal.lina de la substància és de 150 pm, amb quina diferència de potencial cal acce-lerar els electrons per tal que la seva longitud d’ona tingui unes dimensions comparables a la separació entre àtoms?

R: 67 V

17> Un protó i un petit cos esfèric de massa 5 g i càrrega 250 nC són accelerats a través de la mateixa diferèn-cia de potencial de 500 V. Determineu la longitud d’ona aquests dos cossos i justifiqueu en quin cas es fa patent el comportament ondulatori.

R: 1,28 ?10212 m; 5,92 ?10231 m

18> Es mesura una longitud d’ona per a una partícula a de 0,55 pm. Trieu la resposta correcta.

A) L’energia cinètica de la partícula és:

a) 68 eV

b) 6,8 eV

c) 0,68 keV

B) La velocitat de la partícula val:

a) 1,80 ?105 m/s

b) 1,80 ?103 m/s

c) 1,80 m/s

C) La tensió que l’ha accelerat és:

a) 189 V

b) 45 V

c) 338 V

19> Els fotons d’una de les radiacions electromagnèti-ques emeses pels àtoms d’hidrogen quan es desexci-ten, tenen una energia de 12,73 eV. Determineu:

a) La quantitat de moviment i la longitud d’ona d’un d’aquests fotons emesos. Pertanyen a la franja del visible?


414


414


b) La quantitat de moviment i la velocitat amb què retrocedeix un àtom excitat en repòs que emet un d’aquests fotons.

c) La longitud d’ona De de Broglie de l’àtom desex-citat.

R: a) 6,79 ?10227 N/s; 9,75 ?1028 m; b) 6,79 ?10227 N/s; 4,07 m/s; c) 9,74 ?1028 m

20> Hem mesurat l’interval d’incertesa de la velocitat d’una bala de fusell i d’un electró, i en ambdós casos hem obtingut el mateix valor de 5 ?1023 m/s. Quin és l’in-terval d’incertesa de la posició en ambdós casos tenint en compte que la massa de la bala és de 12 g, mentre que la massa de l’electró és de 9,11?10231 kg? Ate-nent als valors obtinguts, quina conclusió podem ex-treure’n?

R: 1,76 ?10230 m; 2,3 ?1022 m

21> Un electró és a l’interior d’una esfera buida de radi 2 cm. Si no es coneix la seva posició exacta:

a) Quina és la mínima incertesa en la seva velocitat?

b) Quina és la mínima incertesa en la seva energia si la incertesa en l’interval de temps és de 3 ms?

c) Quines conclusions extraiem dels resultats ante-riors?

R: a) 5,78 ?1023 m/s; b) 3,51?10232 J

22> S’accelera un feix d’electrons a través d’una diferèn-cia de potencial de 5 000 V. Quan es mesura la veloci-tat, es troba que la incertesa que s’ha comès en la mesura és del 0,02%. Quina és la mínima incertesa en la posició? Si s’accelerés un feix de protons a tra-vés de la mateixa diferència de potencial i la incerte-sa en la velocitat tingués el mateix percentatge, quina seria ara la mínima incertesa en la posició?

R: 1,38 ?1027 m; 3,22 ?1029 m

23> Els mesons pi (o pions) són partícules elementals originades en alguns processos nuclears i es desinte-gren ràpidament en altres partícules. Una d’aquestes partícules triga 2 ?1028 s a desintegrar-se quan s’ob-servades d’un sistema en el qual la partícula està en repòs. Quan triga a desintegrar-se quan s’observa des d’un sistema en el qual el mesó viatja a una veloci- 3 clocitat de ——? 5

R: 2,5 ?1028 s

24> Un astronauta marxa a l’espai l’endemà del dia de l’aniversari del seu fi ll, que ha fet dos anys. Després de tres anys de viatge per l’espai, mesurats respecte del sistema de referència de l’astronauta, torna a la Terra el dia que el seu fi ll fa deu anys. A quina velo-citat mitjana ha estat viatjant l’astronauta?

R: 0,927 c

25> Una nau espacial, de longitud pròpia 25 m, passa ràpidament per sobre d’una estació espacial en òrbi-ta al voltant de la Terra. Si considerem l’estació en repòs i la nau passa a una velocitat de 0,45 c respec-te d’aquesta, quina longitud mesura un astronauta que està dins de l’estació?

R: 22,32 m

26> Un protó en repòs es desintegra amb un antiprotó i donen lloc a dos fotons idèntics. Determineu les energies dels fotons i les seves freqüències i longi-tuds d’ona tenint en compte que tota la massa de les partícules inicials es converteix en energia.

Dada: la massa del protó és igual que la de l’antipro-tó, de valor 1,67?10227 kg.

R: 1,503 ?10210 J; 2,2704 ?1023 Hz; 1,3214 ?10215 m


415


415

9. Física moderna Pràctica

Pràctica

��-��*��4�

��

Fig. 9.18.

Estudi de la difracció amb un làser

Objectiu

Observar fenòmens de difracció i d’interferència amb el feix de llum produït per un làser.

Material

j Làser d’heli-neó j Placa amb una escletxa

j Suport j Xarxa de difracció

j Fil molt prim j Pantalla

Fonament

Un làser és un dispositiu que proporciona una font de llum amb l’energia lluminosa concentrada en un feix molt estret i que és diferent, per tant, de qualsevol altra font de llum.

Quan una bombeta elèctrica s’encén emet llum en totes direccions, amb totes les longituds d’ona possibles de la franja de l’espectre visible i de manera incoherent, és a dir, proporcionant ones electromagnètiques que vibren segons totes les fases possibles.

Podem interpretar aquest fet si considerem que el corrent elèctric que circula pel fi lament de la bombeta excita els seus àtoms, de manera que els electrons se situen en dife-rents nivells quàntics d’energia superior, i a continuació baixen aleatòriament fi ns als possibles nivells energètics inferiors emetent un fotó; cada àtom emet, per tant, fotons amb moltes energies possibles, que no estan en fase, i que surten en diferents direccions.

El làser, per contra, és una font de llum coherent; això vol dir que els fotons emesos es propaguen com a ones electro-

magnètiques que estan en fase. Aquesta emissió, a més, té lloc pràcticament en una única direcció, i dóna lloc a un feix de llum que no divergeix i que conté una única línia de l’espectre; es tracta, per tant, d’una font de llum monocro-màtica. Totes aquestes característiques permeten estudiar de manera simple les propietats ondulatòries de la llum, com ara la difracció i les interferències.

En aquesta experiència, estudiarem el fenomen de la difrac-ció que es presenta quan el feix de llum làser troba en el seu camí certs obstacles, com un fi lament molt prim, una escletxa i una xarxa de difracció (fi g. 9.18).

Un cas interessant és el que presenta la xarxa de difracció, que consisteix en una successió de línies gravades sobre una làmina transparent; la xarxa es comporta, per tant, com un conjunt d’escletxes molt primes i molt juntes.

Procediment

1. Situeu el làser a una distància d’entre 2 m i 4 m de la pantalla.

2. Situeu en el suport una làmina opaca en la qual s’hagi practicat una petita escletxa.

3. Col.loqueu el suport amb l’escletxa entre el làser i la pantalla, de manera que quedin tots tres alineats, amb l’escletxa situada a una distància de 90 cm del làser (fi g. 9.18).

4. Enfosquiu el laboratori i engegueu el làser; feu passar el seu feix per l’escletxa.

5. Substituïu l’escletxa per un fi lament molt prim, com, per exemple, un fi lferro molt prim o un cabell.

6. Dirigiu el feix del làser cap al fi lament i cap a la pan-talla.

7. Substituïu el fi lament per una xarxa de difracció i diri-giu-hi el làser.

Anàlisi de resultats

1. Dibuixeu el que s’observa sobre la pantalla quan es diri-geix el feix del làser cap a l’escletxa.

2. Dibuixeu el que s’observa sobre la pantalla quan es diri-geix el feix del làser cap al fi lament.

3. Dibuixeu el que s’observa sobre la pantalla quan es diri-geix el feix del làser cap a la xarxa de difracció.


416

9. Física modernaAvaluació del bloc 3

Avaluació del bloc 3

Q1> [Curs 04-05] Un raig de llum groga es propaga per un vidre i incideix a la superfície que separa el vi-dre de l’aire amb un angle de 30,0° respecte a la direcció normal a la superfície. L’índex de refracció del vidre per a la llum groga és 1,60 i l’índex de refracció de l’aire és 1.

1. L’angle que forma el raig refractat respecte a la direcció normal a la superfície de separació d’ambdós medis val:

a) 60,0°. b) 18,2°. c) 53,1°.

2. L’angle d’incidència màxim perquè el raig de llum groga passi a l’aire val:

a) 45,0°.

b) 38,7°.

c) En aquest cas no pot haver-hi refl exió total. Passen a l’aire tots els raigs incidents amb independència de l’angle amb què incideixen.

3. En passar del vidre a l’aire, la velocitat de pro-pagació de la llum groga:

a) Augmenta. b) Disminueix. c) No canvia.

4. En passar del vidre a l’aire, l’energia dels fotons de llum groga:


5. En passar del vidre a l’aire, la longitud d’ona dels fotons de llum groga:


Q2> [Curs 03-04] En l’esquema inferior, dibuixeu la imat-ge de la fl etxa produïda per la lent fent la marxa de raigs corresponent. F i F9 són els focus de la lent.

Repetiu el dibuix per al cas que la fl etxa se situï entre el focus i la lent, com en l’esquema inferior.

Q3> [Curs 04-05] Se sap que la sensibilitat més gran de l’ull humà correspon a la llum de longitud d’ona l 5 5,5 ? 1027 m. Determineu l’energia i la quantitat de moviment dels fotons d’aquesta longitud d’ona.

Dades: h 5 6,62 ? 10234 J?s, c 5 3 ? 108 m/s.

Q4> [Curs 04-05] Un metall emet electrons per efecte fotoelèctric quan s’irradia amb llum blava, però no n’emet quan s’irradia amb llum ataronjada. Deter-mineu si emetrà electrons quan s’irradiï:

a) Amb llum vermella.

b) Amb llum ultraviolada.

Raoneu la resposta.

P1> [Curs 04-05] En una cubeta d’ones es generen ones transversals planes de 10 cm d’amplitud. El genera-dor fa 10 oscil.lacions cada 5 s. La vora de la cubeta es troba a 60 cm de distància, i les ones tarden 1 s a arribar-hi. Determineu:

a) L’equació de les ones generades en la superfície de la cubeta (en unitats del SI).

Les ones fan oscil.lar un tap de suro de 5 g que es troba a la cubeta, amb un moviment vibratori har-mònic. Calculeu:

b) L’energia cinètica del suro quan la seva elonga-ció és de 5 cm.

c) L’energia mecànica total del suro.

P2> [Curs 04-05] Una ona harmònica transversal es pro-paga per un medi material homogeni segons l’equa-ció y (x, t) 5 0,3 cos p (1,5 t 2 3 x), expressada en unitats del SI. Determineu:

a) La velocitat de propagació de l’ona, la longitud d’ona i el període.

b) L’amplitud de l’oscil.lació d’una partícula del medi i la seva velocitat màxima en el moviment d’os-cil.lació.

c) L’acceleració, en el moviment d’oscil.lació, d’una partícula del medi que es troba en la posició x 5 0,25 m en l’instant t 5 1 s.

� ��

� ��


09 fisica 2 batx 385-416 - amazon web...

Documents