08 ajuste de_una_recta_por_minimos_cuadrados

Técnicas experimentales de Física General 1/7

Ajuste de una recta por mínimos cuadrados

• Los datos y su interpretación

• Los parámetros que mejor ajustan.

• Estimación de la incertidumbre de los

parámetros.

• Coeficiente de correlación lineal.

• Presentación de los resultados. Ejemplo.


Los datos y su interpretación

Razones teóricas: y m nx= + N pares de medidas ( , );( , ); ; ( , )x y x y x yN N1 1 2 2

Antes de tomar las medidas:

El intervalo elegido para la variable independiente, ¿abarca todo el rango de interés?

¿Están los puntos uniformemente distribuidos en este intervalo?

Ordenación y representación gráfica de los datos

xi yi 1 1.5 2 2.0 3 4.0 5 4.6 6 4.7 8 8.5 9 8.8

10 9.9 0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12x(unidades)

y(unidades)

¿Se comportan los pares de medidas visualmente según una línea recta?

¿Hay algún punto que presente un comportamiento anómalo?


Los parámetros que mejor ajustan

¿Cuál es la recta que mejor se ajusta a las N medidas?

2 2

1

( , ) ( )N

i ii

n m my nxχ=

= − −∑

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

X(

y

( y i -mx i -n)

xy x y

xx x x

xx y x xy

xx x x

m

n

NS S SNS S S

S S S SNS S S

−=

−

−=

−

¿Qué valores de m y n hacen mínimo 2χ ?

( ) ( )

( )

22

1 12

1

0 0 2 2

0 0 2

N N

i i i i i i ii i

N

i ii

y mx n x y x mx nxm

y mx nn

χ

χ= =

=

∂= → = − − − = − − −

∂

∂= → = − − −

∂

∑ ∑

∑

Definiendo

S x S y S x S x yx ii

N

y ii

N

xx ii

N

xy ii

N

i= = = == = = =∑ ∑ ∑ ∑

1 1

2

1 1


Estimación de la incertidumbre de los parámetros

¿Cuál es el mejor estimador de las incertidumbres de m y de n?

Suponemos que:

• Solo los valores yi tienen error: δyi • Los errores en y son todos iguales: δyi = δy = σy y se

estima a partir de la varianza de los datos:

( )2

),(2

1 22

1

2

−=−−

−= ∑

= Nmnnmxy

N

N

iiiy

χσ

Aplicando propagación de errores:

2

1

2 ∑=

∂∂

=N

jy

jm y

m σσ ;

2

1

2 ∑=

∂∂

=N

jy

jn y

n σσ

y operando se obtiene:

2

2

22

( , )2

( , )2

xxn

xx x x

mxx x x

S n mNS S S N

N n mNS S S N

χσ

χσ

=− −

=− −


Coeficiente de correlación lineal

¿Cómo podemos saber cuán bueno es el comportamiento lineal de los N pares de datos medidos?

Los errores en las medidas iyσ son conocidos:

• ¿La recta pasa por casi todos las barras de error de los puntos?

• Test de 2χ . Los errores en las medidas iyσ son desconocidos:

• A partir de la dispersión de los datos. • Coeficiente de correlación lineal: r • Mide el grado de correlación lineal entre x e y. • 1r ≤

1r = Correlación total. 0r = No hay correlación.

rNS S S

NS S S NS S SS yxy x y

xx x x yy y yyy i

i

N

=−

− −=

=∑ siendo 2

1


Presentación de los resultados Ejemplo

Tabla de datos y cálculos

i xi yi xi yi xi2 yi

2 (n+mxi -yi)2 1 1 1.5 1.5 1.0 2.25 0.0422 2 2.0 4.0 4.0 4.00 0.0523 3 4.0 12.0 9.0 16.00 0.6994 5 4.6 23.0 25.0 21.16 0.1875 6 4.7 28.2 36.0 22.09 1.6066 8 8.5 68.0 64.0 72.25 0.4407 9 8.8 79.2 81.0 77.44 0.0008 10 9.9 99.0 100.0 98.01 0.037

N=8 Sx=44 Sy=44 Sxy=314.9 Sxx=320 Syy=313.2 χ2=3.066

PARÁMETROS DEL AJUSTE :

2

2

( , )= =2

0.935 0.081

0.

( , ) 3 2

6 0.512

xy x y

xx x x xx x x

xx y x xy xx

xx x x xx x x

NS S S N n mm (m)NS S S NS S S N

S S S S S n mn (n)=NS S S NS S S N

χε

χε

−= =

− − −

−= = =

− − −

0.978xy x y

xx x x yy y y

NS S Sr

NS S S NS S S−

= =− −


Ajuste de datos a una recta

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0

x(unidades)

y(un

idad

es)

( ) ( )0.94 0.08 0.4 0.5y x± ±= +

08 ajuste de_una_recta_por_minimos_cuadrados

Science