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Variables Aleatorias Continuas Guía de estudio
1. Definiciones básicas 2. Distribución uniforme 3. Distribución normal 4. Distribución exponencial 5. Ejercicios
Holger Benalcázar Paladines
noviembre - 2008
1. Definiciones básicas
Una variable aleatoria continua (vac) toma sus valores en un intervalo real, por lo que el número de posibles valores de una vac es infinito.
Ejemplos:
− Si X representa la estatura en metros de una persona adulta, X es una vac. El intervalo real donde caen sus valores podría ser [0.4; 3.0]. Además, es posible que X tome un valor del intervalo con tantos decimales como se desee, basta con aumentar la precisión del instrumento de medida.
− Si Y representa el incremento porcentual de las ventas para el próximo año respecto al actual, Y es una
vac. Si el intervalo donde Y toma sus valores fuese [-20.5; 30], estaríamos diciendo que las ventas en el próximo año podrían alcanzar cualquier valor entre el 79.5% y el 130% de las ventas de este año.
La distribución de probabilidad de una vac X que toma valores sobre un intervalo real [a,b], está caracterizada por una función real f(x), denominada función de densidad, que cumple con:
1- Si x se encuentra en el intervalo [a,b], entonces f(x) ≥0; caso contrario, f(x)=0. 2- El área bajo la curva de f(x) entre los valores a y b, vale siempre 1 (ver el gráfico siguiente). Esto es
equivalente a decir que, la integral de f(x) entre a y b, siempre toma el valor de 1, así: f x dxa
b
( ) =∫ 1
a b
Área = 1
f(x)
eje x
La probabilidad de que la vac X tome valores en el intervalo [c,d], está dada por el área bajo la curva de f(x)
entre estos dos puntos. Utilizando integrales, se tiene que: P c X d f x dxc
d
( ) (≤ ≤ = ∫ )
a b
f(x)
eje x c d
A diferencia de una va discreta, la probabilidad de que una va continua X tome exactamente un valor es siempre cero. Esto se explica de manera intuitiva de dos maneras. Acudiendo al gráfico anterior, la probabilidad de que X tome exactamente el valor d, P(X=d), es igual al área bajo la función f(x) sobre el punto d, pero esta área corresponde al área de una línea, que como se sabe tiene área 0. La otra manera, es notar que los valores posibles que puede tomar X son infinitos, ya que en el intervalo [a,b] existen infinitos puntos; como queremos calcular la probabilidad de que X tome uno solo de esos valores, por el razonamiento de casos
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favorables sobre casos posibles y abusando de la notación, P(X=d) = 1/∞ = 0. Entonces, para una vac X las probabilidades siguientes son iguales y es indistinto utilizar cualquiera de ellas:
P(c ≤ X ≤ d) = P(c ≤ X < d) = P(c < X ≤ d) = P(c < X< d)
Ejemplo: Acudiendo al siguiente gráfico, revisemos algunos cálculos de probabilidades:
eje x a b
f(x)
e g f
P(-∞ < X < e) = P( X < e) = P( e < X < a) = 0 P(e < X < g) = P(a < X < g) = 1- P( g < X < b) P(-∞ < X < b) = P( X < b) = P( X < f) = P( X < +∞ ) = 1 P( a < X < b) = P( e< X < f ) = P(-∞ < X < +∞ ) = 1 P(b < X < f) = P( X > f ) = P( f < X <+∞ ) = 0
La función de distribución o de acumulación de la va continua X se define por F(w)= P(X ≤ w), esto es, la función de distribución evaluada en el valor w es igual a la probabilidad de que la vac X tome valores menores o iguales a w.
a eje x
F(w)=1
F(w)=0
b
Luego, se tiene que: − Si w < a, la función de distribución es igual a cero, F(w)= P(X ≤ w) =0, ya que la vac recién empieza a
tomar valores a partir de a.
− Si w pertenece al intervalo [a,b], la función de distribución es igual a F(w)= P(X ≤ w) = , el
área bajo la curva de la función de densidad f(x) comprendida entre los puntos a y w.
∫w
a
duuf )(
− Si w > b, la función de distribución es igual a uno, F(w)= P(X ≤ w) =1, ya que la vac siempre tomará
valores menores al valor w.
Por ser la función de distribución una probabilidad sus valores estarán en el intervalo [0,1], valiendo 0 hasta antes del punto a, luego de lo cual, empezará a crecer hasta alcanzar el valor máximo de 1 sobre el punto b, valor que se mantendrá para los puntos mayores a b, como se indica en el gráfico anterior.
La probabilidad de que la vac X tome valores en el intervalo [c,d], puede expresarse fácilmente con la función de distribución, de la siguiente forma:
P( c ≤ X ≤ d ) = F(d) – F(c)
Otra propiedad de la función de distribución es que en los puntos donde sea posible calcular su derivada, esta coincide con la función de densidad, esto es, F’(x)= f(x).
El cálculo del valor esperado y la varianza de una vac X, se realiza mediante:
μ= E(X) = σxf x dxa
b
( )∫ 2= Var(X)= ( ) ( )x f xa
b
−∫ μ 2 dx
Observándose que para una va continua, la integral reemplaza a la suma y la función de densidad a la función de probabilidad del cálculo respectivo en el caso de una va discreta. De todas formas, el valor esperado tiene la misma interpretación, el promedio que se obtendría al repetir muchas veces el experimento; y la varianza, sigue midiendo la dispersión de los valores de la vac X respecto a su valor esperado.
Las propiedades del valor esperado y la varianza son las mismas que en el caso discreto, con la necesaria adecuación para el caso continuo. Entonces, si X y Y son vad, la esperanza y la varianza cumplen con las siguientes propiedades:
1- Si Z es la vad construída mediante Z=g(X), donde g(X) es una función real de la vac X, entonces:
E(Z)= E[g(X)] = ∫)(
)(
)()(bg
ag
dxxfxg
En especial: • E(aX + b)= a E(X) + b, donde a y b son constantes • E(X - μ)= 0, donde μ es el valor esperado de X
2- El valor esperado de la combinación lineal de dos variables aleatorias es la combinación lineal de los valores esperados; entonces, si a y b son constantes, se tiene que E(aX + bY)= a E(X) + bE(Y)
3- La varianza de X también puede calcularse por: σ2 = Var(X)= E (X2 ) - μ2
4- Si a y b son constantes, Var( aX+b ) = a2 Var(X)
5- Para cualquier vac X con valor esperado μ y desviación típica σ, se cumple la desigualdad de Chebyshev:
P(μ -k σ ≤ X ≤ μ +k σ ) ≥ (1-1/k2)
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2. Distribución Uniforme
Si X es una vac distribuida uniformemente sobre el intervalo [a,b], su función de densidad es: f(x)= 1/ (b-a) a ≤ x ≤ b
Para esta vac, la función de distribución tiene una forma simple: F(w) = 0, para cualquier w menor que a F(w) = (w-a)/(b-a), para cualquier w que se encuentre en el intervalo [a,b]
F(w) = 1, para cualquier w mayor que b
El valor esperado y la varianza de esta vac son, μ=(a+b)/2 y σ2= (b-a)2/12, respectivamente. Esta distribución es muy utilizada para simular valores de otras distribuciones.
Ejemplo: El precio de apertura de cierta acción se distribuye uniformemente sobre el intervalo [35,44].
¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, el precio de apertura sea de menos de 40?
→ Si X es la vac que representa el precio de apertura, entonces buscamos: P(X < 40) = F(40) = 0.556 ←
¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera, el precio de apertura esté entre 40 y 42?
→ P(40 < X < 42) = F(42) – F(40) = 0.778 – 0.556 = 0.222 ←
Ejemplo: La vac X se distribuye uniformemente sobre el intervalo [0,2]. Encontremos algunos resultados para una nueva vac construida mediante Y=g(X) = 5 + 2X.
El valor esperado de Y se encuentra aplicando las propiedades del mismo, de la siguiente manera:
E(Y)= E(5+2X) = 5 + 2*E(X) = 5+ 2* 1 = 7
Para calcular probabilidades, utilicemos la notación de FX (x) para la función de distribución de la vac X y la notación FY (y) para la función de distribución de la vac Y.
FY (8.5)= P(Y ≤ 8.5) = P( 5+2X ≤ 8.5) = P(2X ≤ 8.5-5 ) = P( X ≤ 1.75) = FX (1.75) = 0.875 En general, para cualquier valor y:
FY (y)= P(Y ≤ y) = P( 5+2X ≤ y) = P(2X ≤ y-5 ) = P(X ≤ (y-5 )/2 ) = FX ( (y-5 )/2 )
Resultado que junto a otras propiedades ya revisadas, nos permitirán hacer cálculos, tales como:
P(7.5 ≤ Y ≤ 8.5) = FY (8.5) - FY (7.5)= FX ( (8.5-5 )/2 ) - FX ( (7.5-5 )/2 ) = FX (1.75) - FX (1.25) = 0.25
P(3.5 ≤ Y ≤ 8.5) = FY (8.5) - FY (3.5)= FX ( (8.5-5 )/2 ) - FX ( (3.5-5 )/2 ) = FX (1.75) - FX (-0.75) = 0.875
P(Y ≥ 6.4 ) = 1- P( Y < 6.4) = 1 - FY (6.4) = 1 - FX ( (6.4-5 )/2 ) = 1 - FX (0.7) = 1 – 0.35 = 0.65
P(Y ≥ 10 ) = 1- P( Y < 10) = 1 - FY (10) = 1 - FX ( (10-5 )/2 ) = 1 - FX (2.5) = 1 – 1 = 0
3. Distribución normal
Una vac X con una distribución normal puede tomar cualquier valor real. La función de densidad tiene la forma de una campana y requiere de dos parámetros μ (un valor real) y σ2 (un valor real positivo) para su definición:
f x ex
( ) =−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟1
2
12
2
σ π
μσ -∞ < x < +∞
Los símbolos e y π representan números irracionales con valores aproximados son 2.7183 y 3.1416, respectivamente.
El valor esperado de una vac X normal es μ, y su varianza σ2. Para resumir que tenemos una vac X con distribución normal de valor esperado μ y varianza σ2, utilizaremos la notación, X→ N(μ, σ2).
La distribución normal es una de las distribuciones más importantes en el desarrollo teórico de las técnicas estadísticas, aunque esto no implica que todos los datos que obtenemos en el mundo real tengan una distribución normal. En lo posterior, veremos como comprobar si datos reales provienen o no de una distribución normal.
Ejemplo: La resistencia a la rotura (en newtones) de una tela sintética se denota mediante R, y se distribuye de acuerdo a la distribución N(800,144). El comprador de la tela exige que tenga una resistencia de al menos 772 newtones. ¿Cuál es la probabilidad de que la tela cumpla con esta especificación?
→ La tela cumple con la especificación si la resistencia R es mayor o igual a 772 newtons, entonces:
P(R ≥ 772) =1 - F(772) =1 – 0.0098 = 0.9902
Luego, el 99% de la producción cumplirá la especificación ←
Ejemplo: El tiempo requerido para reparar una máquina de carga de un proceso de empaque de alimentos es de T minutos. Diferentes estudios han mostrado que la aproximación N(120,16) es bastante buena. Si el proceso se detiene más de 125 minutos, todo el equipo deberá limpiarse, con la pérdida del alimento que se esté procesando.
¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se detenga por más de 125 minutos? → P(T > 125) =1 - F( 125 ) =1 – 0.894 = 0.106 ←
El costo total de la pérdida del alimento y de la limpieza asociada con el tiempo prolongado de para es de $10.000, mientras que el costo de reparación es de $5.000. ¿Cuál es el costo esperado si se detiene la máquina de empaque? → Si el tiempo de reparación es menor a 125 minutos, el costo de reparación es $5.000, lo que sucede con
una probabilidad de 0.894; mientras que si el tiempo de reparación sobrepasa los 125 minutos, el costo será
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de $15000, debido a que habría que reparar y limpiar la máquina, lo que sucede con una probabilidad de 0.106. Luego, si se representa el costo por C, su valor esperado es:
E(C) = $5000*0.894 + $15000*0.106 = $6060 ←
Si la gerencia puede reducir la media del tiempo de reparación a 110 minutos aumentando el personal de mantenimiento, el nuevo costo de reparación será de $10.000. Suponiendo que la frecuencia de descomposturas permanece sin cambios, ¿es conveniente aumentar el personal de mantenimiento?
→ Si V es el nuevo costo, su valor esperado es: E(V) = $10000.88, que es mayor al costo esperado
anterior, por lo que no conviene aumentar el personal de mantenimiento. ←
Si Z es una vac normal, con valor esperado μ = 0 y varianza igual a σ2 =1, se dice que Z tiene una distribución normal estándar.
Para cualquier vac X, tal que, X→ N(μ, σ2), se cumple lo siguiente:
• La vac Y= (X-μ), construida restando a los valores de X el valor esperado μ, tiene también una
distribución normal con valor esperado 0 y varianza σ2. Esto es, Y→ N(μ, σ2). Se dice entonces que, la vac Y, es la vac X centrada.
• La vac Z= Y/σ = (X-μ)/σ tiene una distribución normal estándar. Se suele decir que Z es la vac Y
reducida, o que Z es la vac X centrada y reducida.
Ejemplo: Supongamos que X→ N(-3, 4),entonces tenemos:
La vac Y= (X-μ) = (X+3), igual a la vac X centrada, tiene una distribución N(0, 4). La vac Z= (X-μ)/σ = (X + 3)/2 = Y/2, igual a la vac X centrada y reducida, tiene una distribución normal
estándar N(0,1). Cualquier probabilidad se la puede calcular utilizando la distribución de X, o de Y, o de Z, como en este
caso:
• P(X < 0.5 ) = P( X- μ < 0.5– (-3) ) = P( Y < 3.5 ) = P( Y/σ < 3.5/2 ) = P(Z <1.75) = 0.9599 • Con lo que también se tiene, FX (0.5) = FY (3.5) = FZ (1.75)
En general, tendremos las siguientes relaciones entre las funciones de distribución de las vac X, Y y Z:
FX (x) = FY (x - μ), o también, FY (y) = FX (y + μ)
FX (x) = FZ ( (x - μ)/σ ), o también, FZ (z) = FX (μ + zσ )
FY (y) = FZ ( y/σ), o también, FZ (z) = FY (zσ) La distribución normal se utiliza para aproximar los valores de una distribución binomial. Si deseamos aproximar las probabilidades de una vad W que cuenta el número de éxitos en n pruebas binomiales, donde la probabilidad de éxito en cada prueba es p, consideramos la vac normal X con valor esperado μ=np y varianza σ2=npq, y utilizamos:
FW (w) = P(W ≤ w ) = P( X ≤ (w + 0.5) ) = FX (w+0.5)
P( w1 ≤ W ≤ w2 ) = FW (w2) - FW (w1 - 1) = FX (w2 +0.5) - FX (w1 - 0.5)
La cantidad de 0.5 que se suma o resta, según el caso, es una corrección necesaria pues estamos aproximando una va discreta por una va continua. En general, la aproximación resulta adecuada cuando np>5 para p ≤0.5 o cuando nq>5 para p>0.5, y se la empleaba anteriormente para evitar los cálculos tediosos de los coeficientes binomiales, dificultad que ha desaparecido con el advenimiento de las computadoras; nosotros la revisamos por su interés teórico.
Ejemplo: Si la vad X sigue una distribución binomial con n=50 y p=0.2, entonces:
P(3≤ X <10)= P(3≤ X ≤ 9) = FX ( 9) – FX (2) = 0.444 – 0.001 = 0.443
Encontremos ahora la aproximación de este valor mediante una vac normal V con valor esperado np=10 y varianza npq= 8:
P(3≤ X ≤ 9) = FX ( 9) – FX (2) ≈ FV ( 9.5) – FV (2.5) = 0.430 – 0.004 = 0.426 Si X1, X2, ..., Xn son n vac normales e independientes, donde cada vac Xk tiene valor esperado μk y varianza
, para k=1,2,..,n, entonces la vac Y que es igual a la suma de las vac Xσ k2
k (Y= X1+X2+...+Xn), tiene también
una distribución normal con un valor esperado μ igual a la suma de los valores esperados μk (μ= μ1 +μ2 +..+μn) y una varianza σ2 igual a la suma de las varianzas σ ( ). Una observación, para aplicar este resultado hay que estar seguro de que las vac X
k2 σ σ σ σ2
12
22= + + +... n
2
k son independientes entre sí.
Ejemplo: Un autobús viaja entre dos ciudades, pasando por 3 ciudades intermedias en la ruta. Los tiempos que tarda en ir de una ciudad a otra son independientes y distribuidos normalmente. La media y la desviación típica de los tiempos de viaje son los siguientes:
Ciudades 1-2 2-3 3-4 4-5 Media 2 3 2 4 Desviación típica 0.5 0.5 0.25 1.0
Encontremos la probabilidad de que el autobús concluya su recorrido entre las ciudades 1 y 5, en menos de 12 horas. Si X1 es el tiempo que ocupa el autobús en trasladarse entre las ciudades 1 y 2; X2 , entre las ciudades 2 y 3; X3 , entre las ciudades 3 y 4; y X4 , entre las ciudades 4 y 5; la va T= X1 + X2 + X3 + X4 , medirá el tiempo que tarda el autobús en ir de la ciudad 1 a la ciudad 5. Como sabemos, la va T esta distribuida normalmente con E( T )= μ1 + μ2 + μ3 + μ4 = 11, y una varianza igual a = 1.5625. Luego, P( T<12 )= 0.788. 2
423
22
21
2 σσσσσ +++=
4. Distribución exponencial
La distribución exponencial está caracterizada por:
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Función de densidad: f(x)= λ e -λ x x ≥0
Función de distribución: F(w)= 1 - e -λ w w ≥0
Donde el parámetro λ es una constante real positiva. El valor esperado y la varianza son μ=1/λ y σ2= 1/λ2, respectivamente.
La distribución exponencial está estrechamente relacionada con la distribución de Poisson. Si el número de ocurrencias por unidad de medida tiene una distribución de Poisson de parámetro λ, entonces las unidades de medida entre ocurrencias tiene una distribución exponencial de parámetro λ; por ejemplo, si el número de arribos a una estación de servicio por hora tiene una distribución de Poisson, entonces el tiempo en horas entre arribos tiene una distribución exponencial.
Ejemplo: Un componente electrónico tiene una vida útil representada por una densidad exponencial. Se sabe, que en promedio, pasan 10 5 horas antes de que los componentes fallen. Entonces tenemos:
− Si T representa la vida útil de un componente, su valor esperado es E( T ) = 10 5 = 1/ λ; de donde se
obtiene que λ= 10 –5.
− La probabilidad de que un componente falle antes de que transcurra la vida útil media, es:
P( T < 10 5 ) = 0.6321
Luego, el 63.21% de estos componentes fallarán antes de que transcurra la vida útil promedio. 5. Ejercicios
1- Sea X una vac con función de densidad definida por f(x)= 8x, si x se encuentra en el intervalo [0; 0.5], y f(x)= 0, para cualquier otro x.
a- Grafique la función de densidad f(x) b- Calcule las probabilidades siguientes: P(X<0.15); P(X>0.35); P(0.12 ≤ X ≤ 0.28); P(0.08 ≤ X ≤ 0.68) [0.09] [0.51] [0.256] [0.974] c- Obtenga la función de distribución F(x). [ F(x) = 4 w2 si 0 ≤ x ≤ 0.5 ]
2- Considere la función de densidad de la vac X, f(x)= kx si 0 ≤ x ≤ 2, y f(x)= 0, para cualquier otro x.
a- Obtenga el valor de k para el cual f(x) es una función de densidad. [k = 0.5] b- Obtenga μ, σ2 y σ, de la vac X. [ μ =4/3 ] c- Obtenga la función de distribución F(x).
3- Considere la función de densidad de la vac X, definida por:
f(x)= kx 0 ≤x<2 = k(4-x) 2 ≤x<4 = 0 de otra manera
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a- Obtenga el valor de k para el cual f(x) es una función de densidad. b- Obtenga μ, σ2 y σ, de la vac X. c- Obtenga la función de distribución F(x).
4- Un agente de bienes raíces cobra honorarios fijos de $50 más una comisión del 6% sobre el beneficio obtenido por el propietario. Si este beneficio se distribuye uniformemente entre $0 y $2000, obténgase la función de distribución de los honorarios totales del agente. [F(h)= (h-50)/120 si 50 ≤ h ≤ 170]
5- La compañía A tiene señalado un tren en dirección norte cada 30 minutos en cierta estación. Sea X la va que cuenta el tiempo en minutos que un hombre, que entró en la estación en un tiempo aleatorio, debe esperar el próximo tren. Supóngase que X tiene una distribución uniforme en [0,30].
a- Para k=0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, calcular la probabilidad de que un viajero tenga que esperar por lo
menos k minutos para el próximo tren. b- La compañía competidora Z está autorizada para anunciar un tren cada 30 minutos en la misma
dirección. La llegada de los trenes de distinta compañía deben diferir por lo menos en 5 minutos. Suponiendo que los viajeros entran en la estación en tiempos aleatorios y siempre toman el primer tren que llega, demostrar que Z puede combinar su horario de manera que recoja hasta 5 veces el número de viajeros que su competidora.
6- La vida útil de cierto tipo de lavadora automática tiene una distribución aproximadamente normal con media y desviación estándar de 3.1 y 1.2 años, respectivamente. Si este tipo de lavadora tiene garantía de un año, ¿qué fracción de la cantidad vendida originalmente necesitará ser reemplazada?
7- A partir de las 21:00 horas un caldero trabaja 3 horas y se apaga durante una hora para evitar el
sobrecalentamiento. Si selecciona al azar un momento entre las 21:00 y 5:00 horas, cuál es la probabilidad de que el caldero esté apagado en ese instante?
8- Suponga que tiene que establecer una restricción para el máximo número de personas que pueden subir a un ascensor. Un estudio del uso de los elevadores indica que si 8 personas ocupan el ascensor, la distribución de probabilidad del peso total de las 8 personas tiene una media igual a 1200 libras y una varianza igual a 9800 (libras)2. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de 8 personas exceda de 1300 libras? (Suponga que la distribución es aproximadamente normal).
9- Una manera para obtener predicciones económicas es utilizar un enfoque de consenso. Se obtiene una predicción de cada uno de un gran número de analistas; el promedio de estos pronósticos es la predicción de consenso. Supóngase que las predicciones individuales acerca de la tasa nominal de interés para enero del 2000 de todos los analistas económicos, tienen una distribución aproximadamente normal, con una media del 65% y una desviación típica de 5.4%. Se selecciona al azar un solo analista de este grupo.
a- ¿Cuál es la probabilidad de que la predicción de la tasa nominal de este analista sea mayor al 70%? b- ¿Cuál es la probabilidad de que la predicción de la tasa nominal de interés sea menor al 50%?
10- Las ventas diarias de un restaurante tienen una distribución de probabilidad aproximadamente normal, con un promedio de 530 um por día y una desviación típica de 120 um.
a- ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas excedan de 700 um en un día cualquiera? b- El restaurante necesita ventas diarias de por lo menos 300 um para cubrir los gastos. ¿Cuál es la
probabilidad de que, en un día dado, el establecimiento no cubra los gastos?
11- Supóngase que un diseñador puede tomar una decisión entre dos procesos de manufactura para la
fabricación de cierto componente. Empleando el proceso A cuesta $10.000 por unidad fabricar el componente. Empleando el proceso B cuesta $15.000 por unidad fabricar el componente. Los componentes tienen una densidad exponencial de tiempo transcurrido hasta la falla, con tasa de falla de 1/200 fallas por hora para el proceso A y de 1/300 fallas por hora para el proceso B. Debido a una cláusula de garantía, si un componente dura menos de 400 horas, el fabricante debe pagar una pena de $20.000. ¿Qué proceso debe elegirse?
12- Un sistema está conformado por 3 componentes independientes colocados en serie. La duración del tiempo de trabajo sin fallo está distribuida exponencialmente con media de 0.1 horas para el primer componente, 0.2 horas para el segundo componentes y 0.3 horas para el tercero. Cuál es la probabilidad de que el sistema falle antes de las 10 horas? [0.9975]
13- La frecuencia promedio por hora de buses en una carretera es de 5 buses por hora. Suponga que el tiempo que transcurre entre la aparición de cada bus sigue una distribución exponencial.
a- Cuál es el tiempo promedio transcurrido entre bus y bus?
b- Si a las 10:00 pasó un bus, cuál es la probabilidad de que haya que esperar más de 7 minutos por el
siguiente bus?
c- Si en este momento tenemos las 10:04, transcurridos 4 minutos desde el bus anterior, y no ha pasado el siguiente bus, cuál es la probabilidad de que haya que esperar más halla de las 10:11 por el siguiente bus?
14- La empresa IDEMSA realizó un estudio sobre el número de horas que los quiteños sintonizan el canal de televisión TVR. En los resultados entregados indica que un 15% de los quiteños ve más de 4 horas diarias dicho canal. El gerente de TVR duda sobre los resultados y contrata a una segunda empresa de estudios de mercado, la cual determina que el número de horas diarias que los quiteños ven TVR tiene una distribución normal N(2, 0.64). Bajo el supuesto de que la segunda empresa es altamente profesional, tiene razón el gerente de TVR al dudar de los resultados presentados por IDEMSA?