DERIVADAS

Anival Torre

ANIVAL TORRE

1

Recta tangente y derivada

Ecuación de la recta tangente¿Cómo encuentro la pendiente?Derivada de orden superiorFormato de derivadasAplicación de la derivadaAplicación de la 1º derivadaAplicación de la 2º derivada Uso de la derivada

2

ANIVAL TORRE

Integrales

Integrales definidosTeorema fundamental del cálculoDescomposición de fracciones parcialesIntegrales definidas

3

ANIVAL TORRE

Recta tangente y derivada

a x h

La tangente es la recta que toca o corta en un solo punto a la gráfica de la función.

• Recta secante: cualquier recta que pasa por dos

puntos de una recta.

Por un punto de la curva

pasan infinitas secantes.

Recta normal: es la perpendicular a la recta tangente

Pendiente de la recta tg: derivada de

la función

Para definir la pendiente de la recta tangente

(pendiente de la gráfica) en el punto se emplea el

concepto de límite.

x

y

4

ANIVAL TORRE

ax

bym

Pendiente: inclinación de una recta tg

El límite de la pendiente de una recta secante se define como la pendiente de una recta tangente

La pendiente se halla al derivar la

función.

bmxyLT

yxfm

5

ANIVAL TORRE

Nos sirve para hallar la

constante : b

a b x

y 6

ANIVAL TORRE

Ecuación de la recta tangente

HllanoLmiii

eDecrecientOLmii

CrecienteALmi

mxf

T

T

T

0

0

0

Aquí cambia la pendiente de la derivada.

7

ANIVAL TORRE

Tipos de limites

0min adordenoax

xfx

by

lim

cmxy

x

xf

xm

lim

Limite vertical

Limite horizontal

Limite oblicuo

mxxfx

b

lim

8

ANIVAL TORRE

h

xfhxf

hxf

dx

xdfxf

h

xfhxf

hxf

h

afhaf

haf

h

afhaf

h

ahx

hax

ax

afxf

ax

ax

afxf

axM T

0

lim

0

lim

0

lim

0

lim

0)(

lim

lim

2222

22

3

3

33

3

23

3

2

0

lim

3

0

lim

0

lim

3

:

xxxx

h

xxhxx

h

h

xx

h

hxhxf

ppfxxf

h

xfhxf

hxf

xxf

xx

ejm

9

ANIVAL TORRE

Formato de derivadas

x

xx

x

ee

aaa

xx

xctgxx

xtgxx

xxctg

xxtg

xsencox

xxsen

xnx

xx

xx

nn

)13

1)12

0#)11

)10

ln.)9

2

1)8

.csccsc)7

.secsec)6

csc)5

sec)4

)3

cos)2

)1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

)23

.)22

)21

1ln)20

1

1csc)19

1

1sec)18

1

1)17

1

1)16

1

1arccos)15

1

1)14

g

gfgf

g

f

gfgfgf

gfgf

xx

xxxarc

xxarc

xxarcctg

xxarctg

xx

xxarcsen

10

ANIVAL TORRE

( )[ ]xnarcsen 32ln

721

hospitalcong

f

g

flim

Derivadas

xsen ln

10110

1010

xx

x

Tiene que ser lineal.

5

3 4 6

1

2 3 4

11

ANIVAL TORRE

xn

x

nb

n

x

bb

ln1

ln

1log

0ln

01ln

4

55

52

5

52

11

ln1

1

ln3

ln

xxxx

xarcsen

xarcsen

12

ANIVAL TORRE

xxarcsenx

x

x

xarcsen

xxarcsen

xarcsenxxarcsenx

xxarcsen

x

xxarcsen

x

112

1

ln

ln

2

2

2

Ejercicio:

13

ANIVAL TORRE

Como encuentro la pendiente?

112

31 2

xxy

xy

yxfm

bmxyLT

La encontramos derivando la función.14

ANIVAL TORRE

Ejemplo: en el pto de abscisa se esta evaluando la pendiente, porque por ahí pasa pendiente.

yxmxy

xyLb

b

bxyL

m

xy

v

xy

T

T

,6

666

126

6

6

12

3,1

31 2

15

ANIVAL TORRE

xe

yey

yexey

yxyyee

yxyye

yxyyxe

yxe

xyxe

xyxe

yHallar

yx

yx

yxyx

yxyx

yx

yx

yx

yx

yx

1

1

1.

11.

1.

1

:

yxy

yy

yyxyy

yyyxyy

yyxyxy

xyxy

xyxy

xyxy

yHallar

23

1

123

123

1.2

0

3

3

:

2

3

32

32

33

23

23

23

16

ANIVAL TORRE

Ejercicio:

xx

xn ln1

ln

ln.)

.1

1)

2

aaii

arctgi

Pasos:1)Variable2)Logaritmo a ambos lados3)Desarrollo4)Derivarlas (ln y)5)y’ /y

17

ANIVAL TORRE

zz

f

xx

e

xsen

dx

cx

b

xx

a

x

f

f

e

e

d

d

c

c

b

b

a

a

z

z

fedcbaz

fe

dcbaz

sol

xx

xarctgxxtgxsenz

23222

59

33

592

313

2

111

25

2

19

21seccos

2

159

ln2

1ln7lnln5ln9lnlnln

7

...

:

21.1cos7

231 18

ANIVAL TORRE

Derivada de orden superior

62cos8

62432cos2

22)4

241012

104'''55)3

124)2

4)1

222

33333

2

324

234

34

x

xxsenxx

xxsenxxsen

x

xxxx

xxx

xx

xxsen

sen

2cos2

.cos

xx eex !101010

!nx

nn

Propiedad: n e N

FACTORIAL

19

ANIVAL TORRE

1!11

nn

n

hxnhx

1

11

11

2019

2019

16151

19!126

9

261

19

2619

19

7)

123!1

1!123!1

1

2

3

1

1

2

2

1)

3!193

1)

!191

)

!15)

nn

nn

nnn

nnnn

nnn

xn

xx

x

x

xe

xxn

xnxn

xxxxd

xx

c

xx

b

xxa

Propiedad:

Ejemplos:

20

ANIVAL TORRE

La derivada existe, porque por este pto

pasa una recta tg

En este intervalo la

función es +

0 xf

xf xf

(+) (-)

xf

xf

0 xf

En este intervalo la func. es -

21

ANIVAL TORRE

En los extremos y esquinas y esquinas

pasan infinitas tg.

a b

c

d e f

g

h i

En los extremos y picos no existe la

derivada

Extremos relativo son los ptos. donde la función

alcanza un máximo o un mínimo

22

ANIVAL TORRE

PC. ={a, b, c, d, e, f, g, h, i}

Extremo= {a, i}

Esquina={d}

Max={b, f, h}

Min={c, e, g}

{h} Max. Absoluto

{b, f} Max. Relativo

{c} Min. Absoluto

{e ,g} Min. Relativo Ext. Relativo

Intervalos de crecimiento: Intervalos de decrecimiento:

<a, b>

<e, f>

<c,d>

<g,h>

<b, c>

<d, e>

<f, g>

<h, i>

23

ANIVAL TORRE

Ejm:

1,3..

013

1

3

0963

00

963

293

2

2

3

CP

xxxf

x

x

xx

f

xxxf

xxxxf

-1 3

++-

intervalo Signo (f ’) crecimiento

,3

3,1

1, +

-

+

C

D

C

Max. (-1, 7)

Min. (3, -25)

24

ANIVAL TORRE

Pasos a tener en cuenta en la tabla

A la función fraccionaria aplicar el caso general.

Trabajar por intervalo dando cualquier valor.

En la gráfica se empieza colocando los signos por la derecha, pero si la función es negativa se empezara con el signo negativo.

Se repite el signo cuando el exponente tiene multiplicidad par.

25

ANIVAL TORRE

Uso de la derivada

Se utiliza para maximizar y minimizar funciones.

otro de los fines consiste en trazar la grafica en las funciones.

26

ANIVAL TORRE

Aplicación de la derivada

Optimizar func.

Grafica func. 1) Aplicación de la primera derivada.

2) Asíntotas.

3) Aplicación de la segunda derivada.

4) Intersecciones con los ejes.

1) Aplic. 1 Derv.

Ptos. Críticos

xf

xf 0

a) Intervalo de crecimiento(+ crece; - decrec.)

b) Signo () el que toma la derivada

c) Crecimiento

d) Extremos relativos. (ptos. Donde la func. alcanza max y min)

27

ANIVAL TORRE

3) Aplic. 2 deriv.

2) Asíntota

Asíntota horizontal

Asíntota vertical

Asíntotas oblicua

bmxy

adordenoax

xfx

by

0min

lim

mxxfx

b

lim

x

xf

xc

lim

Posibles puntos de inflexión

xf

xf 0 Ptos de concavidad

Signo (f ´´ )

Concavidad (concavo - convexo)

Ptos. De inflexion.

4) ptos. De intersección X = 0 , y = 0

28

ANIVAL TORRE

Ejercicios: aplicación de la 1 derivada

1,2,1..

1

21

1

441

1

43

1

42131

1

21213:

1

2

3

2

3

2

4

23

4

32

4

322

2

3

CP

x

xxxf

x

xxxxf

x

xxxf

x

xxxxxf

x

xxxxxfSol

x

xxf

,2

2,1

1,1

1,

+

-

+

+

C

D

C

C

Intv. Cerc. signo Crecmt.

> Max. (-1,-3/4)

>> M

in. ( 1, )

Extm. relativo

29

ANIVAL TORRE

Asíntotas

2

6lim:

12

3lim

1

2lim

lim

..)

2

2

3

x

xhóspital

x

x

xy

x

x

x

xby

HorizontalAa

2:..

21

22

1

12lim

1

2lim

lim

1

1

2lim

:.)

1

:.)

2

33

2

23

2

3

2

3

xyOA

xx

xxx

x

xxx

x

xx

x

x

mxxfx

c

m

xx

x

xm

cmxy

OblicuaAc

ax

VerticalAb30

ANIVAL TORRE

1,2...01

62

1

213132

1

213112221

1

132112122

4

4

6

2

6

2232

IPPx

xxf

x

xxxxxxf

x

xxxxxxxxf

x

xxxxxxxxf

Aplicación de la 2 derivada31

ANIVAL TORRE

21

+- -

Interv. Conc. Signo ( f ´´) concavidad Ptos. Infelx.

-

-

+

-

-

+(2,6)

32

ANIVAL TORRE

-1-2

-2

-3/4

2

3

6

1 3 2

4

2C

O

N

C

A

V

o

Grafico: unir inf.

33

ANIVAL TORRE

Secciones Próximas

3 5 6 7 9 10 12

4

6

7

10

12

15

-6

Tiene 11 seccione

s

Esas secciones son

: extremos, intersecciones con el eje “x” y al grafica.

Trigo

Espárrago

34

ANIVAL TORRE

En la grafica anterior se muestra el nivel de ingreso por la exportación de espárrago y trigo (tonelada, millones de dólares).

Exprese matemáticamente ambos modelos:

1210,302

3

109,355

96,10

65,7616

53,2

53

2

13

30,4

xx

xx

x

xx

xx

xx

xt

Ej.

(9, 10) (10,15)

M=5/1=5

Y= 5x+b

10= 5(9)+b

10 = 45+b

-35 = b

Y= 5x-35

35

ANIVAL TORRE

Gracias

36

ANIVAL TORRE