OCTAVO AÑO

Diagonal de un polígonoUna diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos

Número de diagonales de un polígono

Diagonal del cuadrado

Calcular la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.

Diagonal del rectángulo

NOVENO AÑO

Resta de un monomio con otro monomio:

Bien, esto es muy sencillo, pues es lo mismo que el caso b) pero abreviado a solo dos monomios:

En este segundo ejemplo, no podemos operar de modo ninguno, pues las partes de las variables que acompañan a los coeficientes de los monomios son distintas, en este caso dejaríamos la expresión planteada de la misma forma que se nos ha presentado, formando un polinomio.

Como todas las operaciones, la resta de monomios tiene unas propiedades que ha de cumplir para poder obtener un resultado:

a) No es una operación interna: Ya que su resultado no tiene por qué ser un monomio, como vimos en el ejemplo, a veces se da el caso de que obtenemos un polinomio al restar dos monomios entre si.

b) No es conmutativa: Ya que, el signo puede variarlo todo. Veámoslo en el siguiente ejemplo:

Al cambiar el elemento de posición se produce un cambio en el signo del coeficiente, lo que provoca un resultado distinto. En resumen, hay que fijarse bien a la hora de poner el minuendo y el sustraendo.

**Pista**: Minuendo es la parte que va a ser restada y sustraendo la que se resta, o se “sustrae” , en nuestro ejemplo de arriba sería 4x el minuendo y 3x el sustraendo.

DECIMO AÑO

OPERACIONES CON POLINOMIOS: RESTA / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)

A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)- 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)______________________________

La resta se puede tranformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:

9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8+ -5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)______________________________ 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2

Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta ("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto". Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en la suma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.

PRIMERO BGU

Utilizaremos la descomposición en factores por ser un método común, pero cuando se dispone de una calculadora es preferible usar la Fórmula Cuadrática. En ambos casos es necesario tener la ecuación igualada a cero.

EJEMPLO A: Resolver x2 – 7x – 30 = 0

Solución: Al descomponer en factores resulta (x – 10)(x + 3) = 0.

Ahora bien, sabemos que si a . b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.

Por lo tanto, x – 10 = 0 ó x + 3 = 0 ⇒ x = 10, x = –3.

Luego, el conjunto solución es {–3, 10}.

Solución: Al multiplicar por el MCD (que es 6x) obtenemos: x2 – 3x = 18(x – 5).

Al igualar acero, obtenemos x2 – 21x + 90 = 0.

Descomponemos en factores: (x – 15)(x – 6) = 0 ⇒ x = 15, x = 6.

Luego, el conjunto solución es {6, 15}.

SEGUNDO BGU

Suma y resta de matrices Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 × 2 y otra de 3 × 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas. Ejemplo:

TERCERO BGU

Interés compuestoA lo mejor quieres leer primero la Introducción al interés

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:

Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%:

AñoPréstamo

inicialInterés Préstamo final

0 (Ahora) $1,000.00 ($1,000.00 × 10% = ) $100.00 $1,100.00

1 $1,100.00 ($1,100.00 × 10% = ) $110.00 $1,210.00

2 $1,210.00 ($1,210.00 × 10% = ) $121.00 $1,331.00

3 $1,331.00 ($1,331.00 × 10% = ) $133.10 $1,464.10

4 $1,464.10 ($1,464.10 × 10% = ) $146.41 $1,610.51

5 $1,610.51

Como ves, es fácil calcular si vas paso a paso.

1. Calcula el interés (= "préstamo inicial" × tasa de interés)2. Suma el interés al "préstamo inicial" para calcular el "préstamo final" del año

3. El "préstamo final" del año es el "préstamo inicial" del año siguiente

Una tarea simple, con muchos cálculos. Pero hay maneras más rápidas, siendo listos con las matemáticas.

Hagamos una fórmula

Vamos a hacer una fórmula para lo de arriba... empezamos mirando el primer año:

$1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00

Lo podemos reescribir así:

Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10

Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10, lee Porcentajes para saber más.

Así que ahora es todo en un paso:

1. Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de interés) para calcular el "préstamo final"

(¡Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés en decimal! 0.10, no 10%)

Con un simple cálculo vemos que el resultado es el mismo:

$1,000 + ($1,000 x 10%) = $1,000 + $100 = $1,100

es lo mismo que: $1,000 × 1.10 = $1,100

Ahora viene la magia...

... ¡la misma fórmula vale todos los años!

· Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210· Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331· etc...

Así es como funciona:

De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces:

$1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,610.51

Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así:

La fórmula

Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:

(¿Ves que es lo mismo? Antes teníamos PV = $1,000, r = 0.10, n = 5, y FV = $1,610.51)

Esta es la fórmula básica para el interés compuesto.

Apréndetela, es muy útil.

Ejemplos

¿Qué tal unos ejemplos...?

¿Y si el préstamo fuera de 15 años? ... sólo tienes que cambiar el valor de "n":

... ¿y si el préstamo fuera de 5 años, pero la tasa de interés fuera sólo del 6%? Queda así:

¿Has visto cómo hemos puesto el 6% en su sitio?

... ¿ y si fuera de 20 años al 8%? ... ¡esa la calculas tú!

Calcular "al revés" para encontrar el valor presente

Digamos que tu objetivo es tener $2,000 dentro de 5 años. Te dan un 10% en el banco, así que ¿cuánto tienes que poner al principio?

Es decir, conoces el valor futuro, y quieres conocer el valor presente.

Sabemos que si multiplicamos un valor presente (PV) por (1+r)n nos da el valor futuro (FV), así que podemos volver atrás dividiendo:

Así que la fórmula es:

PV = FV / (1+r)n

Y podemos calcular la respuesta del problema:

PV = $2,000 / (1+0.10)5 = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84

O sea, $1,241.84 crecerán hasta $2,000 si los invertimos al 10% durante 5 años.

Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 dentro de 10 años al 8% de interés?

PV = $10,000 / (1+0.08)10 = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93

Así que $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años dan $10,000

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual deberían decirlo!

Ejemplo: tomas prestados $1,000 durante 12 meses y dicen "1% al mes", ¿cuánto tienes que devolver?

Sólo tienes que usar la fórmula del valor futuro con "n" el número de meses:

FV = PV × (1+r)n = $1,000 × (1.01)12 = $1,000 × 1.12683 = $1,126.83 a devolver

También se puede tener interés anual pero varias veces en el mismo año, lo que se llama Composición periódica.

Por ejemplo, 6% de interés "compuesto mensualmente" no quiere decir 6% cada mes, sino 0.5% al mes (6% entre 12 meses), y se calcularía así:

FV = PV × (1+r/n)n = $1,000 × (1 + 6%/12)12 = $1,000 × (1.005)12 = $1,000 × 1.06168... = $1,061.68 a devolver

Esto es lo mismo que un 6.168% durante un año ($1,000 se han convertido en $1,061.68).

¡Así que ten cuidado con los significados!

TAE

Como es fácil confundirse cuando lees un anuncio (¡a veces lo hacen a propósito!), se suele usar el "TAE".

TAE quiere decir "Tasa Anual Equivalente" ... te dice lo que vas a sacar en realidad cada año (incluyendo el compuesto, costes, etc.)

En este anuncio parece que es 6.25%, pero en realidad es 6.335%

Aquí hay más ejemplos:

Ejemplo 1: "1% al mes" en realidad es TAE 12.683% (si no hay costes).

Y:

Ejemplo 2: "6% de interés compuesto mensualmente" en realidad es TAE 6.168% (si no hay costes).

Si estás buscando hacer negocios, pregunta por el TAE.

¡Un respiro!

Hasta ahora hemos usado (1+r)n para ir de un valor presente (PV) a un valor futuro (FV) y al revés, además hemos visto algunos de los trucos que te puedes encontrar en un préstamo.

Ahora tómate un descanso antes de seguir con los dos temas siguientes:

• Cómo calcular la tasa de interés si conoces el PV, el FV y el número de periodos• Cómo calcular el número de periodos si conocemos el PV, el FV y la tasa de interés

Calcular la tasa de interés

Puedes calcular la tasa de interés si sabes el valor presente, el valor futuro y cuántos periodos son.

Ejemplo: tienes $1,000, y quieres tener $2,000 en 5 años, ¿qué tasa de interés te hace falta?

La fórmula es:

r = ( FV / PV )1/n - 1

Nota: el pequeño "1/n" es un exponente fraccionario, primero calcula 1/n y luego úsalo como exponente en la calculadora.

Por ejemplo 20.2 lo calcularíamos así: 2, "x^y", 0, ., 2, =

Ahora "metemos" los valores para tener el resultado:

r = ( $2,000 / $1,000 )1/5 - 1 = ( 2 )0.2 - 1 = 1.1487 - 1 = 0.1487

Y 0.1487 en porcentaje es 14.87%,

Así que te haría falta una tasa de interés del 14.87% para que $1,000 se convirtieran en $2,000 en 5 años.

Otro ejemplo: ¿Qué tasa de interés te hace falta para que tus $1,000 se conviertan en $5,000 en 20 años?

r = ( $5,000 / $1,000 )1/20 - 1 = ( 5 )0.05 - 1 = 1.0838 - 1 = 0.0838

Y 0.0838 en porcentaje es 8.38%. Así que un 8.38% convertirá tus $1,000 en $5,000 en 20 años.