03 principio de los trabajos virtuales

3Principio de los trabajos virtuales

Cálculo plástico de estructuras

Guillermo Rus Carlborg

Enunciado Demostración Uso


Índice

Enunciado Demostración Uso para determinar esfuerzos y deformadas



Conocimientos previos

Plasticidad unidimensional: Tensión + Esfuerzo + Deformación + Desplazamiento Equilibrio + Comportamiento + Compatibilidad

Rótula plástica Momento plástico

Resistencia de materiales – Vigas Cálculo de pórticos (e.g. matricial):

Sabemos calcular: Momentos y axiles + Deformada Dados: Geometría + Condiciones de apoyo + Cargas



Enunciado

Si un cuerpo sometido a un estado de equilibrio se asocia a otro estado de deformaciones, el trabajo virtual producto de ambos es nulo, pues se compensa la componente producida por las

acciones y desplazamientos externos, con la componente debida a los esfuerzos y deformaciones internos.



EnunciadoParticularización a pórtico plástico Estructuras de nudos rígidos en mecanismo:

deformaciones elásticas despreciables

Estados: desplazamientos y deformaciones fuerzas y esfuerzos

PTV:

Enunciado: Si compatible y en equilibrio → PTV



Demostración

Para un punto material Para una barra Para una estructura = n nudos + b barras Para un pórtico plástico = estructura en

mecanismo, donde prevalece la deformación en las rótulas sobre la elástica



DemostraciónPara un punto material Punto i

Estado de fuerzas y esfuerzos

Estado de desplazamientos



DemostraciónPara un punto material Trabajo virtual:

Equilibrio:

Enunciado del PTV:



DemostraciónPara una barra Barra i-j

Estado de fuerzas/esf. Estado de deform./despl.



DemostraciónPara una barra Estado de deform./despl. → compatible:



DemostraciónPara una barra Estado de fuerzas/esf. → equilibrio:

El comportamiento longitudinal está desacoplado del transversal:

→ calculamos (1) PTV longitudinal; (2) PTV transversal

Equilibrio longitudinal:

Equilibrio Transversal:



DemostraciónPara una barra PTV longitudinal:

Equilibrio:

T.V. en una sección:

T.V. en toda la barra:

Integración por partes:



DemostraciónPara una barra PTV transversal:

Equilibrio:

T.V. en toda la barra:

Integración por partes:



DemostraciónPara una barra PTV longitudinal + PTV transversal:



DemostraciónPara una estructura Estructura = suma de b barras Combinamos los resultados previos para:

Denotamos las fuerzas del conjunto de barras ik que confluyen al nudo



DemostraciónPara una estructura Barra k=ij:

Equilibrio nudo-barra:

Compatibilidad nudo-barra:

Se obtiene:



DemostraciónPara un pórtico plástico Pórtico plástico = estructura en mecanismo

Deformación elástica << deformación en las rótulas Suponiendo px=0=py



Práctica 2determinación de deformadas

Δ θ2



Práctica 3determinación de esfuerzos

P Mp

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