El siguiente material se encuentra en etapa de corrección y no deberáser considerado una versión final.Alejandro D. Zylberberg <alejandro@probabilidad.com.ar>Versión Actualizada al: 4 de mayo de 2004

Media o Esperanza o Valor EsperadoDada una variable aleatoria, nos puede interesar tener una idea de qué valorpodríamos esperar que asuma si se hace el experimento al cual está asociada.Por ejemplo, nos puede interesar calcular el consumo medio por hora de unamáquina, la cantidad de clientes que podemos esperar tener en un determinado día,o la cantidad media de líquido que la embotelladora envasa en las botellas.Para ese fin utilizamos la media o esperanza matemática.Dada X una variable aleatoria, si su esperanza E(X) existe, vale:

∑+∞

∞−

= )()( xPxXE X

si X es discreta

∫+∞

∞−

= dxxfxXE X )()(

si X es continuaComo E(X) está definida a partir de una sumatoria o integral, resulta ser unoperador lineal, con lo cual se puede demostrar fácilmente que:

ℜ∈+=+=+ baconbXaEbEaXEbaXE ,)()()()(

de donde también se observa que la esperanza de una constante es la propiaconstante.En el caso general, en vez de interesarnos calcular la esperanza de X, nos puedeinteresar calcular la esperanza de una función ϕ(X). Si Y = ϕ(X), vale:

∑+∞

∞−

= )()()( xPxYE Xϕ si X es discreta

∫+∞

∞−

= dxxfxYE X )()()( ϕ

si X es continua

Comentarios

1) Podemos pensar en la media como el valor que obtendríamos si tomáramosinfinitas muestras de una variable aleatoria e hiciéramos el promedio de sus valores.2) La media no tiene necesariamente que ser un valor posible.

Ejemplos

1) Sea X discreta distribuida según

∀===

=

xotro

x

x

x

xPX

0

33/1

23/1

13/1

)(

23

6

3

1

3

1)()(

6

1

3

1

===== ∑∑∑==

+∞

∞− xx

X xxxPxXE

Como era de esperar, si X podía ser al azar 1, 2 ó 3, la media es 2.

2) Veamos ahora el ejemplo del dado:

∀======

=

xotro

x

x

x

x

x

x

xPX

0

661

561

461

361

261

161

)(

5.36

21

6

1

6

1)()(

6

1

6

1

===== ∑∑∑==

+∞

∞− xx

X xxxPxXE

Este ejemplo nos muestra que la media no tiene por qué necesariamente ser un valorposible. Es solamente el valor ESPERADO matemáticamente de la distribución.Como se dijo antes, podemos imaginarlo como el valor que obtendríamos sitomáramos infinitas muestras de la variable aleatoria e hiciéramos el promedio desus valores.

3) Sea X discreta distribuida según

∀===

=

xotro

x

x

x

xPX

0

46/1

33/1

12/1

)(

1667.26

14

3

13

2

11

)()()(4

1

=++=

=== ∑∑=

+∞

∞− x

XX xPxxPxXE

Este ejemplo nos muestra que la media de una distribución tampoco esnecesariamente el valor más probable.

4) Sean X e Y distribuidas según:

∀====

=

xotro

x

x

x

x

xPX

0

62,0

53,0

43,0

32,0

)(

∀====

=

xotro

x

x

x

x

yPY

0

72,0

63,0

33,0

22,0

)(

5,42,0.73,0.63,0.32,0.2)()(

5,42,0.63,0.53,0.42,0.3)()(

=+++==

=+++==

∑

∑∞+

∞−

+∞

∞−

yPyYE

xPxXE

Y

X

Vemos que si la distribución es simétrica, la esperanza "no se entera" de si losvalores con probabilidad no nula están más cercanos o más espaciados.

5) La media de las distribuciones continuas es análoga a la de las distribucionesdiscretas, y en general cumple las mismas propiedades.• No necesariamente coincide con el valor más probable

• No necesariamente es un valor posible• Si la distribución es simétrica, no se entera de si los valores con probabilidad nonula están más cercanos o más espaciados.A modo de ejemplo tomemos:

2

12)()(

00

02)(

0

2

2

===

≤>

=

∫∫∞+

−∞+

∞−

−

dxexdxxfxXE

x

xexf

xX

x

X

6) La media puede no existir.

Tomemos por ejemplo la función de densidad: )1(

1)(

2xxfX +

=π

∀ x ∈ ℜEn ningún momento es negativa y su integral da 1, con lo cual es efectivamente unafunción de densidad.Calculemos la media de esta distribución:

?|2

)1ln(

)1()()(

2

2=∞−∞=+=

+== ∞+

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

∫∫ ππx

dxx

xdxxfxXE X

Vemos que esta integral no existe, por lo tanto la esperanza de esta distribución noexiste.

Moda o modo o valor más probable

Es otra característica que podemos calcular de una distribución. La moda de unadistribución es el valor más probable. Es decir, si X es una variable aleatoria

discreta, Mo(X) es el x (o los x) tales que PX(x) es máxima. Si X es continua, es el olos x tales que fX(x) es máxima.

En el ejemplo nº 3 de la media, la moda es 1.En el ejemplo nº 5 de la media, la moda es 0.

• La moda de una distribución no necesariamente es única.En el ejemplo nº 2 de la media, los 6 valores posibles son la moda.

• A diferencia de la media, la moda es necesariamente un valor posible.

• Como caso particular, la media y la moda pueden coincidir, por ejemplo en:

∀===

=

xotro

x

x

x

xPX

0

33,0

24,0

13,0

)(

donde E(X) = Mo(X) = 2

Mediana

Definimos la mediana de una distribución continua de X como M tal que P(X < M)= P(X > M) = 0,5. Es decir, es el valor que se encuentra en el medio,probabilísticamente hablando.Tomando una de las dos formas, hallamos M resolviendo:

5,0)( =∫∞−

M

X dxxf

o bien 5,0)( =∫

+∞

M

X dxxf

según convenga.

• A diferencia de la media, la mediana siempre existe, y además es menos sensible alas distribuciones que están espaciadas hacia uno de sus lados (como el ejemplo nº5 de la media).• La mediana no necesariamente es única (como en cualquier análogo continuo delejemplo nº 4 de la media, en el cual habría 2 medianas).

Ejemplo:

Hallar la mediana de

≤>

=−

00

02)(

2

x

xexf

x

X

35,02

)2ln(

2

)5,0ln(5,01|25,0)( 2

02

0

2 ==−==>=−=−==>= −−−

∞−

∫∫ Meedxedxxf MMxM

xM

X

Problemas típicos

1) Halle la media y la moda de X, donde X está distribuida según:

∀===−=

=

xotro

x

x

x

x

xPX

0

32,0

23,0

11,0

14,0

)(

Resolución:

9,02,0.33,0.21,0.14,0).1()()( =+++−== ∑+∞

∞−

xPxXE X

Mo(X) = valor más probable = -1

2) La longitud de las varillas fabricadas por una máquina es la variablealeatoria X distribuida según:

∀

≤≤≤≤

=

xotro

x

xx

xfX

0

313

110

)(

2

¿Cuál es la longitud media de las varillas?

Resolución:"La longitud media de las varillas" se refiere a "La media de la longitud de lasvarillas", es decir, la media de X.

583,13

1)()(

3

1

1

0

2 =+== ∫∫∫+∞

∞−

dxxdxxxdxxfxXE X

3) Con la misma X del ejercicio anterior, encuentre la esperanza de:a) Y = 3X-5b) Z = X2+2X

Resolución:

a) bXaEbEaXEbaXE +=+=+ )()()()(

5)(3)53( −=− XEXE

Y habíamos calculado que E(X) = 1.583, con lo cual:E(Y) = -0,25

b) Tenemos 2 formas de resolverlo, usando ∫

+∞

∞−

= dxxfxhXhE X )()())((

Una forma consiste en tomar h(x) = x2 + 2x y hacer:

256,63

1)2()2()()())((

3

1

21

0

22 =+++== ∫∫∫+∞

∞−

dxxxdxxxxdxxfxhXhE X

Pero hay otra forma de hacerlo con menos cuentas. Aprovechando la linealidad deloperador esperanza, hacemos:

)(.2)()2( 22 xExExxE +=+

con lo cual podemos calcular la esperanza de x2 en vez de la de x2 + 2xTomamos h(x) = x2

089,33

1)()()(

3

1

21

0

222 =+== ∫∫∫+∞

∞−

dxxdxxxdxxfxhxE X

Y luego E(Z) = 3,089 + 2.1,583 = 6,256