Equilibrio bidimensional y tridimensional

de un cuerpo rígido.

• Desarrollar las ecuaciones de equilibrio para un cuerpo rígido.

• Presentar el concepto de diagrama de cuerpo libre para un cuerpo rígido.

• Mostrar cómo resolver problemas de equilibrio de cuerpos rígidos

mediante las ecuaciones de equilibrio.

Condiciones para el equilibrio de un cuerpo rígido

• Para que un cuerpo rígido se encuentre en equilibrio es necesario que

no se mueva ni que rote.

𝐹𝑅 = Σ𝐹

𝑀𝑅𝑂 = ΣM

Equilibrio en dos dimensiones

• El cuerpo rígido se encuentra sujeto a un sistema de fuerzas

coplanares, es decir, el sistema de fuerzas se encuentra en, o puede ser

proyectado a un solo plano.

Diagrama de cuerpo libre

• Bosquejo sobre el que se muestran todas las fuerzas y los momentos de

par que ejerce el entorno sobre el cuerpo, de manera que cuando se

apliquen las ecuaciones de equilibrio se puedan tener en cuenta estos

efectos.

Reacciones en los soportes

• Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección dada,

entonces se desarrolla una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección.

• Si se evita una rotación, se ejerce un momento de par sobre el cuerpo.

Reacciones equivalentes a una fuerza con recta soporte

conocida.

Rodillos Balancines Superficie

lisa

Reacciones equivalentes a una fuerza con recta soporte

conocida.

Cable

Eslabón

Reacciones equivalentes a una fuerza con recta soporte

conocida.

Deslizadera

Pasador en ranura

lisa

Reacciones equivalentes a una fuerza de dirección y sentido

desconocidos

Articulación

Superficie rugosa

Reacciones equivalentes a una fuerza y a un par

Empotramiento

Fuerzas internas

• Las fuerzas internas que actúan entre partículas adyacentes en un

cuerpo siempre se presentan en parejas colineales que tienen la misma

magnitud pero que actúan en direcciones opuestas por lo que no

crearán un efecto externo sobre el cuerpo.

Peso y centro de gravedad

• Cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, cada una de

sus partículas tiene un peso específico y se puede reducir a una sola

fuerza resultante que actúa a través de un punto específico.

Modelos Idealizados

• Cuando se realiza un análisis de fuerzas de cualquier objeto, se debe

considerar un modelo analítico correspondiente o modelo idealizado

que dé resultados que se aproximen lo más posible a la situación real

para obtener resultados seguros.

Procedimiento para el análisis

• Trace el contorno: Imagine el cuerpo aislado o recortado libre de sus

restricciones y conexiones, y bosqueje su contorno.

Procedimiento para el análisis

• Muestre todas las fuerzas y momentos de par: Identifique todas las

fuerzas internas y externas conocidas y desconocidas y los momentos

de par que actúan sobre el cuerpo. Las que generalmente se encuentran

se pueden deber a:

– Cargas aplicadas

– Reacciones en los soportes o puntos de contacto con otros cuerpos.

– El peso del cuerpo

Procedimiento para el análisis

• Identifique cada carga y las dimensiones dadas: Las fuerzas y los

momentos de par que se conocen deben marcarse con sus propias

magnitudes y direcciones. Se usan letras para representar las

magnitudes y los ángulos de dirección de las fuerzas que se

desconocen. Establezca un sistema coordenado rectangular de tal

manera que se puedan identificar las incógnitas. Indique las

dimensiones del cuerpo necesarias para calcular los momentos de las

fuerzas.

• Ejemplo 01: Trace el diagrama de cuerpo libre del cilindro de papel de

50 kg que tiene su centro de masa en G y descansa sobre la horquilla

lisa del transportador de papel. Explique la importancia de cada fuerza

que actúa sobre el diagrama.

35 mm

30°

30°

490.5 N

• Ejemplo 02: Trace el diagrama de cuerpo libre de la caja de volteo D

del camión, la cual tiene un pero de 5,000 lb y centro de gravedad en

G. La caja está soportada por un pasador en A y un cilindro hidráulico

BC conectado mediante un pasador. Explique la importancia de cada

fuerza en el diagrama.

5,000 lb

20°

30° 𝑅𝐴𝑋

𝑅𝐴𝑌

3 m

1 m

1.5 m

• Ejemplo 03: Trace el diagrama de cuerpo libre de la viga que soporta

la carga de 80 kg y que está apoyada mediante un pasador en A y por

medio de un cable que pasa alrededor de la polea en D. Explique la

importancia de cada fuerza en el diagrama.

3

4 5

784.8 N

2 m 2 m 1.5 m

𝑅𝐴𝑋

𝑅𝐴𝑌

𝑅 𝑅

Dudas?

Tarea:

• Estudiar los ejemplos resueltos en el libro

de texto, páginas 207 a 210.

• Resolver ejercicios del libro de texto,

páginas 211 a 213.

Elementos de dos y tres fuerzas

• Elementos de dos fuerzas: Elemento que tiene fuerzas aplicadas en

solo dos puntos sobre el elemento

Elementos de dos y tres fuerzas

• Elementos de tres fuerzas: Elemento que está sometido a solo tres

fuerzas. El equilibrio se puede satisfacer solo si las tres fuerzas forman

un sistema de fuerzas concurrentes o paralelas.

Procedimiento para el análisis

• Trace el diagrama de cuerpo libre.

• Aplique la ecuación de equilibrio de momentos, Σ𝑀𝑂 = 0, con respecto a un

punto que se encuentre en la intersección de la línea de acción de dos fuerzas

desconocidas.

• Al aplicar las ecuaciones de equilibrio mediante fuerzas, Σ𝐹𝑥 = 0, Σ𝐹𝑦 = 0,

oriente los ejes 𝑥 y 𝑦 a lo largo de las líneas que proporcionen la

descomposición más simple de las fuerzas en sus componentes 𝑥 y 𝑦.

• Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da como resultado un escalar

negativo para una magnitud de fuerza o de momento de par, esto indica que el

sentido es contrario al que se supuso en el diagrama de cuerpo libre.

• Ejemplo 04: Determine las componentes horizontal y vertical de la

reacción en los soportes. Desprecie el grosor de la viga.

• Ejemplo 05: Determine las componentes horizontal y vertical de la

reacción en el pasador A y la reacción sobre la viga en C.

• Ejemplo 06: En la parte superior de la siguiente figura se muestra un

diagrama esquelético de una mano sosteniendo una carga. Si la carga y

el antebrazo tienen masas de 2 kg y 1.2 kg, respectivamente, y sus

centros de masa se localizan en 𝐺1 y 𝐺2, determine la fuerza

desarrollada en el bíceps 𝐶𝐷 y las componentes horizontal y vertical de

la reacción en el codo 𝐵. El antebrazo que sostiene al sistema puede

modelarse como el sistema estructural que se muestra en la parte

inferior de la figura.

• Ejemplo 07: El transformador eléctrico de 300 lb con centro de

gravedad en G se sostiene mediante un pasador en A y una plataforma

lisa en B. Determine las componentes horizontal y vertical de la

reacción en el pasador A y la reacción de la plataforma B sobre el

transformador.

• Ejemplo 08: Cuando se aplican los frenos de un avión, la rueda frontal

ejerce dos fuerzas sobre el extremo del tren de aterrizaje como se

muestra en la figura. Determine las componentes horizontal y vertical

de la reacción en el pasador C y la fuerza en el tirante AB.

• Ejemplo 09: El tablón de madera que descansa entre dos edificios se

flexiona ligeramente cuando sostiene a una persona de 50 kg. Esta

flexión causa una distribución triangular de carga en sus extremos, con

intensidades máximas de 𝑤𝐴 y 𝑤𝐵, cada una medida en N/m, cuando la

persona está parada a 3 m de uno de los extremos como se muestra en

la figura. Pase por alto la masa de la plancha.

Equilibrio en tres dimensiones

• El primer paso para el estudio del equilibrio tridimensional es el

bosquejo del diagrama de cuerpo libre. Para lo que es necesario

analizar los tipos de reacción que pueden presentarse en los soportes.

• En seguida se establecen las condiciones de equilibrio, en este caso:

Ecuaciones escalares de equilibrio

Σ𝐹𝑥 = 0

Σ𝐹𝑦 = 0

Σ𝐹𝑧 = 0

Σ𝑀𝑥 = 0

Σ𝑀𝑦 = 0

Σ𝑀𝑧 = 0

Ecuaciones vectoriales de equilibrio

Σ𝐹 = 0

Σ𝑀𝑂 = 0

Reacciones en los soportes y

uniones tridimensionales

Bola Superficie lisa

Fuerza con recta

soporte conocida

Cable

Impide la traslación

en una dirección

Reacciones en los soportes y

uniones tridimensionales

Rodillo sobre superficie

rugosa

Rueda sobre carril

yF

zF

Impide la traslación

en dos direcciones

Reacciones en los soportes y

uniones tridimensionales

Superficie rugosa Rótula

yF

zFxF

Impide la traslación

en tres direcciones

Reacciones en los soportes y

uniones tridimensionales

Empotramiento

Impide la traslación en tres direcciones

además de impedir el giro en las tres

direcciones

Reacciones en los soportes y

uniones tridimensionales

Junta Universal

Bisagras y cojinetes (carga radial)

Reacciones en los soportes y

uniones tridimensionales

Pasador Bisagras y cojinetes

Restricciones y determinación

estática

• Restricciones redundantes: Un cuerpo tiene más soportes de los

necesarios para mantenerlo en equilibrio. Se dice que el cuerpo es

Estáticamente indeterminado.

Restricciones y determinación

estática

• Restricciones impropias: Las líneas de acción de las fuerzas reactivas

son concurrentes.

Restricciones y determinación

estática

• Restricciones impropias: Las líneas de acción de las fuerzas reactivas

intersecan un eje común.

Restricciones y determinación

estática

• Restricciones impropias: Las líneas de acción de las fuerzas reactivas

son paralelas.

• Ejemplo 10: La placa uniforme tiene un peso de 500 lb. Determine la

tensión en cada uno de los cables de soporte.

• Ejemplo 11: Debido a una distribución desigual del combustible en los

tanques de las alas, los centros de gravedad para el fuselaje del avión A

y las alas B y C se localizan como se muestra en la figura. Si estos

componentes tienen pesos 𝑊𝐴 = 45 000 𝑙𝑏, 𝑊𝐵 = 8 000 𝑙𝑏 y

𝑊𝐶 = 6 000 𝑙𝑏, determine las reacciones normales de las ruedas D, E

y F sobre el suelo.

• Ejemplo 12: Si la carga tiene un peso de 100 𝑙𝑏, determine las

componentes 𝑥, 𝑦, 𝑧 de la reacción en la junta de rótula esférica A y la

tensión en cada uno de los cables.