02 diferenciabilidad y continuidad
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Derivabilidad y continuidad.
Teorema: Si f es una función derivable en a entonces f es continua en a.
Igualmente: Si f es dicontinua en a f no es diferenciable en a.
Esto no significa que si una función es continuas en todo , esta sea derivable en todo ,
veremos un ejemplo después de la siguiente definición.
Def: Derivadas Laterales en un punto :
Derivadas laterales por la derecha: Si f está definida en a, la derivada por la derecha de a se
define como: ( )
( ) ( )
( ) ( )
si existe.
Derivadas laterales por la izquierda: Si f está definida en a, la derivada por la derecha de a
se define como: ( )
( ) ( )
( ) ( )
, si existe.
Def: Una función definida en un intervalo abierto que contiene a es diferenciable en
ssi ( ) y
( ) existen y son iguales.
Como decía anteriormente hay funciones continuas en todos los reales que no son
diferenciables en algún punto.
Por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 pero no es diferenciable en
cero.
Veamos:
| | {
Su gráfica es conocida y sabemos que es una función continua en , y específicamente en
Calculemos las derivadas laterales en
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
} ( ) no existe
Podemos resumir que una función no es diferenciable en x=a cuando ocurre cualquiera de
las siguientes situaciones:
1. La función es discontinua en el punto.
2. La función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una
recta tangente que pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto
en 0).
3. La función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical que
pasa por el punto.
Ejercicios resueltos:
Leithold desde pag 109 – 115, propuestos 116 en adelante.
Stewart, Cálculo en una Variable Trascendentes y Tempranas 4ta edición.
Pag 168- 170, propuestos 171- 177
Calculo diferencial e integral Canals, Espinoza, Meda, Perez, Ulín
(http://canek.uam.mx/?secc=2) Pag 264-266, 286, 287
Links de ejercicios resueltos y propuestos.
http://ed21.webcindario.com/CalculoDiferencial/Diferenciabilidad_y_continuidad.h
tm
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-
linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node5.html