01.sesiÓn1ok.doc

Estadística Inferencial-Sesión 1Cusco 2015

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

I. VARIABLES ALEATORIAS

Debe notarse que los resultados de un experimento aleatorio no necesariamente son numéricos, frecuentemente

estos resultados son “matematizados” asignándoles números. Por ejemplo, como parte de un estudio

experimental un ingeniero químico selecciona aleatoriamente un producto producido por una nueva máquina

computarizada y puede clasificar a cada uno de los productos como defectuoso o no defectuoso. El conjunto de

posibles resultados, el espacio muestral, es . Se define una

función, digamos X, tal que . Tales funciones definidas en el espacio muestral, son

llamadas variables aleatorias. Las variables aleatorias se representan por letras mayúsculas y sus valores

observados por letras minúsculas. El conjunto de los posibles valores de la variable aleatoria X recibe el nombre

de rango de X.

Definición 1.1 Dado un experimento aleatorio con un espacio maestral S. Una función que asigna a cada

elemento s en S uno y sólo un número real es llamada una variable aleatoria. El rango o soporte de valores de X es

el conjunto de números reales .

Ejemplo 1.1 En una operación de moldeado de plástico, cada pieza se clasifica según cumpla las especificaciones

de color. El espacio muestral es: .

Se define la variable aleatoria X, tal que

Ejemplo 1.2 Se define la variable aleatoria X: Tiempo de vida (en horas) de un componente de una

fotocopiadora.

Ejemplo 1.3 Durante un proceso de producción, se mide la longitud de una pieza maquinada (se refiere a la

formación de una pieza por medio de taladrado y de perforaciones de una pieza básica). Se define la variable

aleatoria X: Longitud de la pieza maquinada.

Ejemplo 1.4 Puede considerarse como una variable aleatoria al volumen de petróleo que es vertido al mar por

empresas de harina de pescado, el cual es registrado anualmente.

1


Las variables aleatorias pueden ser clasificadas como discretas o continuas. Se dice que es discreta si tiene un

rango finito o infinito numerable:

X: E→N de modo que f: N→[0,1].

Es continua si puede tomar cualquier valor en algún intervalo del conjunto de los números reales y la probabilidad

que tome un valor específico es cero.

A continuación se describirá el comportamiento de la variable aleatoria en términos de probabilidades.

1.2 Variable aleatoria discreta y su distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, X, es el conjunto de pares ; donde:

, representa a un valor observado de la variable aleatoria X y,

la correspondiente probabilidad.

La probabilidad representa la fracción de veces que puede esperarse que x ocurra y cumple con las

siguientes propiedades:

(i) para toda x.

(ii) , donde la sumatoria se toma sobre todos los valores de x con probabilidad diferente de cero.

Para todos los valores reales de x que no son posibles de ocurrir, = 0. Este hecho debe ser interpretado

correctamente aunque no esté especificado correctamente.

Ejemplo 1.2.1 Una máquina que realiza la operación de llenado de las bolsas de detergentes de 280 grs. cumple

con esta especificación en un 85% de los casos. De un lote se seleccionan tres bolsas al azar y el experimento

consiste en observar si cada una de las bolsas cumple con el peso especificado. Se define la variable aleatoria:

X: Número de bolsas que cumplen la especificación (peso exacto).

La variable X es discreta y su rango de valores es respectivamente. Para obtener las probabilidades

relacionadas a esta variable se construirá su distribución de probabilidad. Dado que el llenado de una bolsa no

tiene efecto sobre las demás bolsas, la probabilidad de que una bolsa cumpla con la especificación es de 0.85 y

que no cumpla es de 0.15 respectivamente, durante todo el proceso. A continuación se muestra un diagrama de

árbol y a partir de las diferentes trayectorias se obtendrán las probabilidades de cada uno de los posibles valores de

X.

2


Para determinar las probabilidades de la variable aleatoria X, cuando toma el valor 0, 1, 2 ó 3 se sumaran las

probabilidades de las trayectorias correspondientes. Así,

La distribución de probabilidad es la siguiente:

0 1 2 3

0.0034 0.0574 0.3251 0.6141

La función de probabilidad puede ser expresada a través del siguiente modelo.

donde:

Se verifica que cumple:

(i)

(ii)

Por lo tanto, , es una función de probabilidad.

En base a la función de probabilidad, se responderán preguntas tales como:

3

Fig.1. Representación gráfica de la función de probabilidad

C: Cumple con la especificación

C /: No cumple con la especificación


i) ¿Cuál es la probabilidad que exactamente dos de las bolsas de detergentes cumplan con el peso

especificado?

La probabilidad que se necesita calcular es = 0.3251.

(ii) ¿Cuál es la probabilidad que ninguna de las bolsas de detergente cumplan con el peso especificado?

La probabilidad que necesitamos calcular es . = 0.0034.

(iii) ¿Cuál es la probabilidad que las tres bolsas de detergente cumplan con el peso especificado?

La probabilidad que necesitamos calcular es . Si observamos la tabla, se encuentra que

= 0.3251.

(iv) ¿Cuál es la probabilidad que a lo más dos de las bolsas de detergente cumplan con el peso especificado?

La probabilidad que necesitamos calcular es . Si observamos la tabla, se encuentra que,

(v) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de las bolsas de detergente cumplan con el peso

especificado?


(vi) ¿Cuál es la probabilidad que más de una de las bolsas de detergente cumplan con el peso especificado?


(vi) ¿Cuál es la probabilidad que menos de dos de las bolsas de detergente cumplan con el peso especificado?


La probabilidad que menos de dos de las bolsas de detergente cumplan con el peso especificado, es equivalente a

decir que una bolsa o ninguna cumpla con el peso especificado.

Función de distribución

4


La función de distribución está definida como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor

inferior o igual a . Es decir,

, satisface las propiedades siguientes.

(i)

(ii)

(iii) .

A continuación se presenta la función de distribución y su respectiva representación gráfica para el Ejemplo1.5.

Así, se tiene que:

La función de distribución es expresada de la siguiente forma:

, también es llamada función escalera.

Ejemplo 1.2.2 El administrador de la maderera “El Pino”, conoce que en la producción diaria de 85 entablados

de madera se encuentra que 5 de ellos no cumplen con los requerimientos del cliente. Del lote se escogen dos

entablados de madera al azar, sin remplazo. Se define la variable aleatoria X: número de entablados que no

cumplen con los requerimientos del cliente. ¿Cuál es la función de probabilidad de X? ¿Cuál es la función de

distribución de X?

Solución

5

Fig.2. Representación gráfica de la función de distribución del Ejemplo 1.5


El número total de formas de seleccionar dos entablados de un total de 85 es .

Por tanto el espacio muestral contiene 3 570 puntos muestrales con igual probabilidad, considerando que se

realiza una selección al azar.

El rango de X es, . Es decir, es posible que al seleccionar dos entablados y observar si no cumplen

con los requerimientos del cliente, pueda ocurrir:

, significa que ambos entablados seleccionados cumplen con los requerimientos del cliente (ninguno

no cumple). El número total de formas de que este evento ocurra es y su probabilidad es,

, significa que uno de los entablados no cumple con los requerimientos del cliente y su probabilidad

es,

, significa que ambos entablados no cumplen con los requerimientos del cliente y su probabilidad

es,

La distribución de probabilidad es la siguiente.

0 1 2

0.8852 0.1120 0.0028


Gráficamente,

6

Fig.2. Representación gráfica de la función de probabilidad del ejemplo


2. Se determinará la función de distribución de X:

Media, varianza y desviación estándar

Definición 1.2.1 La media o valor esperado de una variable aleatoria discreta X, denotada por o E(X), es

Este valor es empleado para identificar el valor central de la variable aleatoria. Puede interpretarse como el centro

de la masa del rango de los valores de X.

Ejemplo1.2.3 En relación al ejercicio 1.5, la variable aleatoria X: Número de bolsas que cumplen la

especificación (peso exacto), cuya función de probabilidad es,

0 1 2 3

0.0034 0.0574 0.3251 0.6141


7

Fig.2. Representación gráfica de la función de distribución del ejemplo


donde: p = 0.85 y 1-p = 0.15

Por consiguiente,

De notarse que X nunca toma el valor 2.5499, pero este valor puede interpretarse como el centro de la masa del

rango de los valores de X.

Además de identificar el valor central de X, es frecuentemente importante determinar la magnitud de su

dispersión o variabilidad.

Definición 1.2.2 Suponga que la media de X es y que la función de probabilidad de X es . La varianza de

una variable aleatoria discreta X, denotada por , es

Es decir, la varianza de una variable aleatoria se calcula ponderando el cuadrado de cada desviación con respecto a

la media, con la probabilidad asociada a la desviación.

Debe notarse que como la desviación de cada valor de X con respecto a se eleva al cuadrado, para cualquier

variable aleatoria X se cumple que,

¿En que caso es cero? Esto ocurre cuando X toma un solo valor constante, por ejemplo c, entonces,

y .

Ejemplo 1.2.4 Considerando el Ejemplo1.5, la varianza de X es:

Las unidades de la variable en este ejemplo son número de bolsas que cumplen con la especificación (peso

exacto), y dado que la varianza de una variable eleva al cuadrado las desviaciones con respecto a la media, las

unidades de , se relacionan con el número de bolsas que cumplen con la especificación al cuadrado. Por ello,

otra alternativa para medir la variabilidad, que con frecuencia es más fácil de interpretar es la desviación estándar,

definida a continuación.

Definición1.2.3 La desviación estándar de una variable aleatoria X, denotada por , es la raíz cuadrada positiva

de .

Las unidades de la desviación estándar son idénticas a las unidades de la variable X.

Ejemplo 1.2.5 En el Ejemplo 1.5, . En este ejemplo, los resultados pueden

resumirse como “la desviación promedio de X con respecto a su media es de 1 bolsa”.

8


Ejemplo 1.2.6 El encargado de la vigilancia de una fábrica recibe un llavero con cinco llaves, y no sabe con

exactitud cuál es la llave que abre el candado de la puerta principal. Por tanto, intenta con cada llave hasta que

consigue abrirlo. Se define la variable aleatoria X como el número de intentos realizados para abrir el candado. Se

determinará la función de probabilidad, la función de distribución y se calculará:

(i) La probabilidad de que realice a lo más tres intentos.

(ii) La probabilidad de que por lo menos realice cuatro intentos.

(iii) La probabilidad de que exactamente realice cinco intentos.

(iv) La probabilidad de que realice menos de dos intentos.

(v) La media y la desviación estándar de la variable.

Solución

El rango de la variable aleatoria es . El número de intentos que realiza el vigilante para abrir el

candado, se representa a través del siguiente diagrama de árbol.

1° intento:

P(X = 1) = P(E1 ) = 1/5

2° intento:

P(X = 2) = P(E /1 E2) = P(E /

1 ) P(E2/ E /1 ) =(4/5) (1/4) = 1/5

3° intento:

P(X = 3) = P(E /1 E /

2 E3) = P(E /1 ) P(E /

2/ E /1 ) P(E3/ E /

1 E /2)=(4/5) (3/4) (1/3) = 1/5

4° intento:

P(X = 4) = P(E /1 E /

2 E /3 E4) = P(E /

1 ) P(E /2/ E /

1 ) P(E /3/ E /

1 E /2) P(E4/ E /

1 E /2 E/

3)

=(4/5)(3/4)(2/3)(1/2) = 1/5

5° intento:

P(X = 5) = P(E /1 E /

2 E /3 E /

4 E5) = P(E /1 ) P(E /

2/ E /1 ) P(E /

3/ E /1 E /

2) P(E /4/ E /

1 E /2 E /

3) P(E5/ E /1 E /

2 E /3 E /

4)

= (4/5)(3/4)(2/3)(1/2)(1) = 1/5

La función de probabilidad es

9


y, la correspondiente función de distribución:

Respuesta a las preguntas formuladas.

(i) La probabilidad que realice a lo más tres intentos.

(ii) La probabilidad que por lo menos realice cuatro intentos.

(iii) La probabilidad que exactamente realice cinco intentos.

(iv) La probabilidad que realice menos de dos intentos.

(v) La media y la desviación estándar de la variable.

Media:

Puede decirse que para abrir el candado, en promedio realizará tres intentos.

Varianza

Desviación estándar

A continuación se describirán algunas distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas tales como Bernoulli, Poisson y Geométrica que se usan con más frecuencia.

1.3 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

La distribución de Bernoulli caracteriza a una variable aleatoria discreta con dos posibles resultados y con probabilidades de ocurrencia constante. Típicamente cada uno de estos resultados representa un “éxito” (

) o un “fracaso” . Este tipo de ensayos o pruebas fueron investigados por primera vez en la obra de Jacques (Jakob) Bernoulli (1654 -1705): Ars Conjectandi, publicada por su joven sobrino Nicolaus en forma póstuma en Basilea, Suiza (1713), y por eso se llaman ensayos de Bernoulli.

10


Definición 1.3.1 Una variable aleatoria , tiene distribución de Bernoulli si su función de probabilidad está dada por:

donde es la probabilidad de “éxito” y la probabilidad de “fracaso”, es decir:

, donde .

La representación gráfica de la función de probabilidad y la función de distribución se muestran en las Figura 1 y Figura 2 respectivamente. Notación: , se lee “ tiene una distribución de Bernoulli con parámetro ”.

Una variable aleatoria con distribución de Bernoulli puede ser utilizada para modelar situaciones como la siguiente:

Ante una promoción de becas en computación un individuo puede aceptar o no la promoción. Un analista clínico evalúa a un paciente y podrá clasificarlo como inmune o no a una determinada

enfermedad. Un artículo puede ser clasificado como defectuoso o no defectuoso después de haber sido

sometido a un proceso de control de calidad.

Fig.1 Función de probabilidad de Bernoulli Fig.2 Función de distribución de Bernoulli

Esperanza o MediaLa media de una variable aleatoria con distribución de Bernoulli está definida por:

Varianza La varianza de una variable aleatoria con distribución Bernoulli está definida por:

11


Ejemplo 2.4.1 Juan, cliente de un hotel, esta jugando con su amigo Carlos, Juan lanza una moneda y observa la cara superior, si sale sello él tendrá que pagar a Carlos $100 y si sale cara el ganará el juego. En un solo juego:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos gane?

Solución

Consideremos la variable aleatoria : Cliente del Hotel gana el juego

Si : Juan gana el juego y si : Juan no gana el juego.

a) Luego la probabilidad que Juan gane es:

,

es la probabilidad que resulte cara al lanzar la moneda.

b) Luego la probabilidad que Juan no gane el juego es:

.

Asimismo, el SPSS nos proporciona estas probabilidades:a)

Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE / OK.

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.BERNOULLI(x,p) con parámetro . Para resolver la parte a) del ejemplo anterior se realiza la siguiente operación:

12


Se define en Target Variable “Bernoulli”, la variable que contendrá el valor de la probabilidad requerida.

b) Continuando con el uso del SPSS para resolver la parte b) del ejemplo: Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.BERNOULLI(x,p) con

parámetro . Se realiza la siguiente operación:

OK.

Y se obtiene la información requerida

1.4 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

El experimento de lanzar una moneda discutido anteriormente tiene sólo dos posibles resultados: cara y sello. La probabilidad de cada uno de ellos es conocida y constante de un lanzamiento al siguiente, y además el experimento puede repetirse muchas veces. Los experimentos de este tipo siguen una distribución binomial. En base al proceso de Bernoulli, llamado así por Jacob Bernoulli (1654-1705), miembro de una familia de matemáticos suizos, una distribución Binomial presenta cuatro propiedades:i. Sólo puede haber dos posibles resultados. Uno se identifica como éxito, y el otro como “fracaso”. Sin embargo, se advierte que estos términos no tienen ninguna connotación de “bueno” o “malo”. Son completamente subjetivos, y un “éxito” no implica necesariamente un resultado deseable.ii. La probabilidad de un éxito, , sigue siendo constante de un ensayo a otro, al igual que lo hace la probabilidad de fracaso, .iii. La probabilidad de un éxito en un ensayo es totalmente independiente de cualquier otro ensayo.iv. El experimento puede repetirse muchas veces.

13


Definición Una variable aleatoria , tiene una distribución binomial si su función de probabilidad está dada por:

,

donde , representa el número total de “éxitos” en los ensayos.

La representación gráfica se muestra en las Fig. 3.

Notación: , se lee “ tiene una distribución binomial con parámetros y ”.

Una variable aleatoria con distribución binomial puede ser utilizada para modelar situaciones como las siguientes:

Los sindicatos laborales con frecuencia están interesados en saber cuántos trabajadores: están interesados en unirse al sindicato y quienes no están interesados.

En una campaña escolar, el equipo de marketing tendrá interés en conocer el número de personas que prefiere o no prefiere comprar un producto que cumplen con los estándares de calidad.

La aplicación de la distribución binomial en los diversos campos del conocimiento es amplia.

Fig. 3 Gráfica de la función de Probabilidad Binomial para

Esperanza o MediaLa media de una variable aleatoria con distribución de probabilidad Binomial está definida por:

Varianza La varianza de una variable aleatoria con distribución Binomial está definida por:

Ejemplo Se conoce que el 20% de las empresas dedicadas el sector construcción cumplen con los estándares de calidad. Si 10 empresas de este sector son evaluadas respecto al cumplimiento de los estándares de calidad, ¿cuál es la probabilidad que se encuentre:

a) Cuatro empresas que no cumplen con los estándares de calidad?b) Por lo menos 4 empresas que no cumplen con los estándares de calidad?c) A lo más 5 empresas que no cumplen con los estándares de calidad?d) Entre 4 y 7 empresas que no cumplen con los estándares de calidad?

14


e) El número medio de empresas que no cumplen con los estándares de calidad.

Solución Consideremos la variable aleatoria como , donde

Número de empresas que no cumplen con los estándares de calidad

, donde y ,

a)

b)

Puede verificarse que

c)

d)

e) , en promedio 2 empresas no cumplen con los estándares de calidad.

Para resolver, el ejemplo anterior, usando SPSS se procede de la siguiente manera:

15


a) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.BINOM(x,n, p) con parámetros n y p, para resolver la parte a) del ejemplo anterior se realiza la siguiente operación:

OK.Definir variable en “Target Variable” , por ejemplo, “binomal”. Se obtiene la probabilidad requerida

b) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM y luego COMPUTE Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.BNOM(x,n, p) con

parámetros y , para resolver la parte b) del ejemplo anterior se realiza la siguiente operación:

Definir variable en “Target Variable”, por ejemplo, “binomal”. Se obtiene la probabilidad requerida

16


La probabilidad obtenida es exactamente igual que al realizar el proceso usando directamente la función de probabilidad binomial.c) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.BINOM(x,n, p) con parámetros y , para resolver la parte c) del ejemplo anterior se realiza la siguiente operación:

OK.Definir variable en “Target Variable” , por ejemplo, “binomal”. Se obtiene la probabilidad requerida

d) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM/ COMPUTE Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.BINOM(x,n,p) con

parámetros y , para resolver la parte d) del ejemplo anterior se realiza la siguiente operación:

17


Se obtiene la probabilidad requerida

e) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE Calcular np.

Se obtiene la información requerida

.

1.5 DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Esta distribución se usa con frecuencia para estimar la cantidad de sucesos u ocurrencias en determinado intervalo de tiempo o espacio, ideada por el matemático francés Simeon Poisson (1781-1840). Por ejemplo, la variable aleatoria de interés podría ser el número de llegadas a la plataforma de un banco entre las 11:15 y 12:15, el número de reparaciones que necesitan 10 km. de carretera, el número de accidentes industriales de una empresa de harina de pescado cada mes; el número de conexiones eléctricas defectuosas por km. de cableado en un sistema eléctrico de una ciudad, o el número de máquinas que se dañan y esperan ser reparadas en un mes.

Son necesarios dos supuestos para la aplicación de la distribución de Poisson: La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos cualesquiera de tiempo o

espacio. La ocurrencia del evento en un intervalo es independiente de la ocurrencia en otro intervalo

cualquiera.

Definición Una variable aleatoria , tiene una distribución Poisson si su función de probabilidad está dada por:

18


,

donde : es el número de veces que ocurre el evento es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio

, la base del logaritmo natural

La representación gráfica se muestra en las Figura 4.

Notación: , se lee “ tiene una distribución de Posison con parámetro ”.

Fig. Distribución de Probabilidad Poisson para

Esperanza o MediaLa media de una variable aleatoria , con distribución de Poisson está definida por:

Varianza La varianza de una variable aleatoria , con distribución Poisson está definida por:

Ejemplo La Municipalidad de Lima hizo un contrato con la compañía de pavimentación Capeco S.A. para hacer mantenimiento a las vías del centro de Lima. Las vías recientemente pavimentadas por esta compañía demostraron un promedio de dos defectos por km., después de haber sido utilizadas durante un año. Si la Municipalidad sigue con esta compañía de pavimentación. ¿Cuál es la probabilidad que:

a) Se presenten 3 defectos en cualquier kilómetro de vía después de haber tenido tráfico durante un año?

b) Se presenten 5 defectos en cualquier kilómetro de la vía después de haber tenido tráfico durante 3 años?

c) Se presenten entre 2 y 5 defectos en cualquier kilómetro de la vía después de haber tenido tráfico durante 2 años?

d) Estime el número promedio de defectos en cualquier kilómetro de la vía después de haber tenido tráfico durante 5 años?

Solución:Se define la variable aleatoria como , donde

: Número de defectos en cualquier kilómetro de vía después de haber tenido tráfico durante un año.

19


Luego, , donde defectos por km.

a)

b) En este caso cambia el valor de , para hallar el nuevo valor utilizamos una regla de tres simple:2 defectos por Km. _______ 1 año

_______ 3 años

Entonces el nuevo valor de es , luego

c) En este caso cambia el valor de , el nuevo de , luego

d) En este caso cambia el valor de es 10, luego el número medio de defectos es

Para resolver el mismo ejemplo usando el SPSS procedemos de la siguiente manera:

a) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM/ COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.POISSON(q, mean) con parámetro , para resolver la parte a) del ejercicio anterior se realiza la siguiente operación:

20



b) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM/ COMPUTE Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.POISSON(x, mean) con

parámetro , para resolver la parte b) del ejercicio anterior se realiza la siguiente operación:


c) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.POISSON(x, mean) con

parámetro , para resolver la parte c) del ejercicio anterior se realiza la siguiente operación:


21


1.6 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD GEOMÉTRICA

En el experimento que consiste en una secuencia de ensayos independientes de Bernoulli, con probabilidad constante de éxito en cada ensayo, la cual termina cuando se obtiene éxito por primera vez, consideramos la variable aleatoria que indica el número de ensayos realizados.

Por ejemplo una compañía de Componentes de Computadora, desea saber el número de artículos a producirse, en un nuevo proceso de producción, hasta conseguir el primer artículo defectuoso; suponiendo que el proceso da a cada artículo la misma probabilidad de ser defectuoso.

Definición Una variable aleatoria X tiene distribución geométrica con parámetro , si su función de distribución de probabilidad está dada por,

, ,

siendo .

Notación Se escribe y se suele decir también que la variable aleatoria tiene distribución

geométrica con parámetro . La representación gráfica se muestra en la Fig. 5.

Fig. 5 Distribución de Probabilidad Geométrica para

Esperanza o Media

La media de una variable aleatoria con distribución geométrica está definida por:

Varianza La varianza de una variable aleatoria con distribución geométrica está definida por:

22


Ejemplo 2.7.1 La empresa Report S.A. dispone de un aparato que fabrica baterías de celulares. Este aparato se utiliza hasta que aparece la primera batería defectuosa. Por información anterior se tiene que la probabilidad de que la batería sea no defectuosa es 6/7, la probabilidad de que la batería sea defectuosa es 1/7. Considere la variable aleatoria número de baterías que produce el aparato hasta antes de darle de baja.

a) Determine la distribución de probabilidad del número de baterías que produce el aparato hasta antes de darle de baja

b) El número medio de baterías que produce el aparato hasta antes de darle de bajac) La desviación típica del número de baterías que produce el aparato hasta antes de darle de baja

Solucióna) Consideremos la variable definida por

: Número de baterías que produce el aparato hasta antes de darle de bajaLos valores que toma la variable aleatoria son:

La probabilidad de éxito representa la probabilidad de que la batería sea defectuosa, esto es, y la

probabilidad de fracaso representa la probabilidad de que la batería sea no defectuosa, esto es, , luego la

distribución de probabilidad de la variable aleatoria es:

b) El número medio de baterías que produce el aparato hasta antes de darle de baja es :

c) La varianza del número de baterías que produce el aparato hasta antes de darle de baja es:

La desviación estándar es :

Ejemplo 2.7.2 Un estudiante de maestría de la UNMSM tiene una probabilidad de 0.75 de aprobar el examen de suficiencia de inglés en cualquier intento que haga.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que logre aprobar en el cuarto intento?b) ¿Cuál es la probabilidad de que logre aprobar entre el cuarto y sexto intento?

SoluciónConsideremos la variable definida por

: Número de intentos que el estudiante hace para aprobar el examen de suficiencia del idioma inglés

Los valores que toma la variable aleatoria son:

La probabilidad de “éxito” representa la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen de suficiencia del idioma inglés, esto es, y la probabilidad de “fracaso” representa la probabilidad de que el

23


estudiante no apruebe el examen , esto es, , luego la distribución de probabilidad de la variable aleatoria es:

a) La probabilidad de aprobar en el cuarto intento es :

b) La probabilidad de que logre aprobar entre el cuarto y sexto intento es:

Asimismo, volviendo a resolver el mismo ejercicio con auxilio del SPSS nos proporciona estas probabilidades:a)

Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM / COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.GEOM(x, p) con parámetro , para resolver la parte a) del ejercicio anterior se realiza la siguiente operación:

OK.

b) Ingresar al EDITOR DATA y acceder a TRANSFORM y luego COMPUTE

Muestra la pantalla COMPUTE VARIABLE y se escoge la función CDF.GEOM(x, p) con parámetro , para resolver la parte b) del ejercicio anterior se realiza la siguiente operación:

24


Se obtiene la información requerida

25

01.sesiÓn1ok.doc

Documents