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1 Conceptos básicos Cálculo matricial de estru Guillermo Rus Carlborg

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1Conceptos bsicosClculo matricial de estructuras Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

ndice

Introduccin Mtodos matriciales: relaciones bsicas Discretizacin: barras y nudos Mtodos de compatibilidad y equilibrio Conceptos de matriz de rigidez y flexibilidad

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Conocimientos previos

Mecnica de medios continuos: Esfuerzo

+ Tensin + Deformacin + Desplazamiento Equilibrio + Comportamiento + Compatibilidad

Resistencia de materiales Vigas: Sabemos

calcular: Momentos y axiles + Deformada Dados: Geometra + Condiciones de apoyo + Cargas

lgebra matricial: Operacin

con matrices, propiedadesGuillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Introduccin

Mtodo matricial: Generaliza

mtodos de Maxwell, Mohr, S-XIX

Mtodos:Especficos por tipologasOrdenador

Generales

Peligros: Olvidar

Solucin

Conocer: Fundamentos Limitaciones

la fsica

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Mtodos matriciales: relaciones bsicasMDR MIR El ms usado Menos sistemtico Equilibrio

MIF

Optimizacin

Compatibilidad

Barra (1D) prisma rectoPlacas, lminas, slidos (2D, 3D)

Diagrama de Tonti

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Discretizacin: barras y nudos

Idealizacin de Resistencia de materiales Discretizar Representacin en funcin de los extremos

Nmero finito n=GDL

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Discretizacin: barras y nudos

Grados de libertad (GDL) = nmero de coordenadas a fijar para que su movimiento quede determinado unvocamente

Se

pueden definir GDL de desplazamientos o fuerzasGuillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Mtodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos

Se convierte en isosttica y se obliga la compatibilidad

Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Mtodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos

Se convierte en isosttica y se obliga la compatibilidad

Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

Seleccionar n incgnitas hiperestticas fH

Estructura isosttica

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Mtodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos

Se convierte en isosttica y se obliga la compatibilidad

Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

Seleccionar n incgnitas hiperestticas fH

Estructura isosttica

Equilibrio

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Mtodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos

Se convierte en isosttica y se obliga la compatibilidad

Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

Seleccionar n incgnitas hiperestticas fH

Estructura isosttica

Equilibrio Comportamiento

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Mtodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos

Se convierte en isosttica y se obliga la compatibilidad

Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

Seleccionar n incgnitas hiperestticas fH

Estructura isosttica

Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vnculos liberados

Sistema de ecuaciones fH

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Mtodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos

Se convierte en isosttica y se obliga la compatibilidad

Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrio

Seleccionar n incgnitas hiperestticas fH

Estructura isosttica

Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vnculos liberados

Sistema de ecuaciones fH

Postproceso u(fH)

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Mtodos de compatibilidad y equilibrioCompatibilidad / Flexibilidad / Fuerzas

Equilibrio / Rigidez / Desplazamientos

Se convierte en isosttica y se obliga la compatibilidad

Se permiten todos los movimientos y se obliga el equilibrioTantas como GDL

Seleccionar n incgnitas hiperestticas fH

Incgnitas = desplazamientos u

Estructura isosttica

Equilibrio Comportamiento Compatibilidad en todos los vnculos liberados

Compatibilidad Comportamiento Equilibrio en todos los GDL

Sistema de ecuaciones fH

Sistema de ecuaciones u

Postproceso u(fH)

Postproceso: f,p(u)

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Concepto: Intuitivamente:

k= rigidez del muelle

a= flexibilidad del muelle

Rigidez =

fuerza necesaria para producir un movimiento unidad Flexibilidad = movimiento necesario para producir una fuerza unidadGuillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Generalizacin a una estructura: Varios

GDL forma matricial

Matriz de rigidez nxn

n=GDL

Matriz de flexibilidad nxn

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Sentido de K (matriz de rigidez):

Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0 Consecuencia:

diagonal > 0Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Sentido de A (matriz de flexibilidad):

Aij es el desplazamiento en i cuando fj=1, fj=0Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:

Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Sentido de K (matriz de rigidez): Ejemplo:

No lo haremos as: automatizaremosRepetir el ejercicio para la matriz de flexibilidad AGuillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Matriz de Rigidez y Flexibilidad

Simetra: Teorema

de reciprocidad: los estados A y B:

Definimos

Generalizando:Guillermo Rus Carlborg

Introduccin

Relaciones

Discretizacin

Mtodos

Matrices

Resumen

Diagrama de Tonti:

Discretizacin:

GDL

Mtodos de rigidez / flexibilidadMatriz de rigidez:Kij es la fuerza en i cuando uj=1, uj=0Guillermo Rus Carlborg