MATEMTICA FINANCIERA

CONCEPTOS BSICOS

MATEMTICA FINANCIERA

Econ. Carlos Alberto Acosta ZrateINTERSEl inters comprende el precio del uso del capital ajeno durante determinado intervalo de tiempo; el beneficio que se obtiene por la colocacin de un capital representado por un stock de efectivo; o recprocamente, el costo que asume el prestatario por usar ese capital durante el referido intervalo temporal.

El inters generado por un principal que se simboliza con la letra I est en funcin de mltiples variables, entre las cuales se encuentran:La magnitud del principal colocado o invertido,La tasa de inters implcita o explcita.El horizonte temporal: a mayor tiempo, mayor inters para un mismo principal y una misma tasa de inters.El riesgo de la operacin; se supone que a mayor riesgo al principal le corresponde una mayor tasa de inters que genera un mayor inters.Otras variables de carcter econmico, poltico, social, etc.

Si se designa P al principal y se supone que el horizonte temporal, el riesgo y las otras variables enunciadas estn reflejadas en la tasa de inters i, el inters puede calcularse con la siguiente frmula:I = Pi(1)

La frmula (1) calcula el inters en funcin del principal y de la tasa de inters efectiva acumulada durante determinado horizonte temporal. Las frmulas para las variables P e i pueden deducirse a partir de la frmula (1):i = I / P(2)P = I / i(3)

MONTOEl monto de una cuenta est formado por el principal y el inters devengado que se gener a partir de una tasa de inters acordada entre el deudor y el acreedor.S = P + I(4)

La frmula (4) calcula el monto en funcin del principal y el inters generado por la cuenta hasta determinado momento del horizonte temporal.P = S I(5)I = S P(6)

Al reemplazar (6) en (2), se obtiene:

i = I/P = (S P)/P = S/P P/P i = S/P - 1 (7)

La frmula (7) calcula la tasa de inters efectiva acumulada en determinado horizonte temporal en funcin del principal y del monto.

CAPITALIZACIN DEL INTERS

Mientras la cuenta est vigente, el inters se genera al aplicar una tasa de inters a una base de clculo denominada capital. Al momento de apertura de la cuenta, el capital coincide con el principal; posteriormente puede variar debido a la incorporacin del inters, proceso que se denomina capitalizacin de inters.

Si este proceso se da una sola vez durante la vigencia de la cuenta, se presenta un rgimen de inters monocapitalizado como el del inters simple. Si ocurre mltiples veces, se trata de un rgimen de inters multicapitalizado como el del inters compuesto.

PLAZO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHASSi se abre una cuenta el da 28 de abril y se cierra el 2 de mayo del mismo ao, cuntos das deben considerarse entre ambas fechas?____________________________________________28/04 29/04 30/04 01/05 02/05

Al incluir el da inicial (28/04) y el da terminado (02/05) se podr decir que han transcurrido 5 das; mientras que por otra parte al excluir el da inicial e incluir el terminal, o al incluir el da inicial y excluir el terminal, se podr asegurar que han transcurrido cuatro das. En nuestro caso, excepto indicacin contraria, se adoptar el mtodo de das terminalesMtodo de das terminalesEl cmputo del plazo comprendido entre una fecha inicial y una final, cuando se aplica el mtodo de das terminales, consiste en considerar todos los das posteriores a la fecha inicial que no sean posteriores a la final; se excluye el da correspondiente a la fecha inicial.

___________________________0 1 28/04 29/04

Para aplicar el mtodo de das terminales, se debe efectuar:Para depsitos y retiros efectuados en el mismo mes: restar al da de retiro el da de depsito. Por ejemplo, para un depsito del 3 de abril retirado el 26 del mismo mes, se considerar 23 das: 26 3 = 23 das1 daPara depsitos y retiros producidos en periodos que incluyen ms de un mes: restar al nmero de das del primer mes los das transcurridos desde que se efecto el depsito (incluido ese da) y adicionar los das de los meses siguiente, inclusive el da del retiro. Por ejemplo, para un depsito del 26 de mayo, retirado el 7 de junio, se considerar 12 das (5 en mayo y 7 en junio).

Ejemplo 1: Cuntos das se habrn acumulado entre el 27 de junio y el 4 de agosto del mismo ao, fechas de depsito y cancelacin de un importe ahorrado en un banco?Solucin: Los das transcurridos en cada mes son:Junio: Dado que junio tiene 30 das, se efecta la siguiente operacin: 30 27 = 3. Los 30 das del mes de junio menos el da 27, que da inicio al plazo de inters; se incluyen los das 28, 29 y 30.Julio: Incluye los 31 das del mes.Agosto: Incluye los 4 das de este mes.El nmero de das en el intervalo de tiempo corresponde a la suma: 3 + 31 + 4 = 38 das. PERIODOS DE TIEMPO BANCARIOSCuando en trminos generales se dice que se contrat un prstamo para amortizarlo, por ejemplo, cada mes o cada ao, sin dar mayores detalles adicionales, el trmino mes puede referirse a periodos de 28 das (febrero en ao no bisiesto), 29 das (febrero en ao bisiesto), 30 das (abril, junio, setiembre y noviembre) o 31 das (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre), mientras que el trmino ao puede referirse a periodos de 365 das (ao no bisiesto) o de 366 das (ao bisiesto).

Periodo bancarioNmero de dasAo360Semestre180Cuatrimestre120Trimestre 90Bimestre 60Mes 30Quincena 15Da 1Para evitar confusiones, se usa el trmino ao bancario, el cual se refiere a un periodo de 360 das, el cual tiene submltiplos que se indican en la tabla siguiente:HORIZONTE Y SUBHORIZONTE TEMPORALESEl horizonte temporal de una cuenta es el intervalo de tiempo que existe desde que se abre la cuenta hasta que se cierra; su plazo se simboliza con la letra H.

___________________________ Momento de apertura Momento de cierreUn subhorizonte temporal es un intervalo de tiempo dentro del horizonte temporal de la cuenta.

Cuando el horizonte temporal se divide en subhorizontes temporales uniformes, su plazo se simboliza con la letra h; si los subhorizontes temporales no son necesariamente uniformes, entonces el k-simo subhorizonte se simboliza hk.

HPor ejemplo, en un prstamo que debe amortizarse en el plazo de 90 das, con cuotas cada 30 das, el horizonte temporal puede dividirse en tres subhorizontes uniformes; entonces, se tiene: H = 90 das y h = 30 das.

_________________________________________0 h=30 das30 h=30 das 60 h=30 das 90Ejemplo 2: Determine el horizonte temporal de una cuenta a un plazo de 30 das, si sta se abre el 2 de enero y se cierra el 29 de enero.Solucin: Al aplicar el mtodo de das terminales se tiene que el valor de H = 27 das. Note que aunque en el enunciado del ejemplo se dice que la cuenta es a un plazo de 30 das, en realidad se cierra a los 27 das. Ocurre que a veces las cuentas a plazos ofrecen una tasa de inters para un plazo mnimo; en este caso, 30 das. Si el cliente cierra la cuenta antes del trmino de este plazo, se le aplica una tasa menor.

H = 90 dasEjemplo 3: Determinar el horizonte temporal de una cuenta a un plazo de 15 das, si sta se abre el 2 de enero y se cierra el 1 de febrero.Solucin: Al aplicar el mtodo de das terminales se tiene que H = 30 das. Observe que aunque en el enunciado del ejemplo se dice que la cuenta es a un plazo de 15 das, en verdad se cierra a los 30 das.

EJERCICIOS1. En una cuenta bancaria se coloc un principal de S/. 6 500 durante un trimestre; la tasa de inters para ese periodo de tiempo ascendi a 4%. Cul fue el inters generado al trmino del trimestre?Solucin:P = S/. 6 500I = P . ii = 0,04I = (6 500)(0,04)I = ?I = S/. 260

2. Una cuenta bancaria que tiene un plazo de 180 das se abri con un principal de S/. 5 000. Por ese periodo de tiempo el banco le ofrece una tasa de inters de 8%. A cunto ascender el inters al trmino del semestre?Solucin:P = S/. 5 000I = P . ii = 0,08I = (5 000)(0,08)I = ?I = S/. 4003. En una cuenta se coloc un principal de S/. 4 500 que gener un inters de S/. 67,50 en el plazo de un mes, cul fue la tasa de inters en ese periodo?Solucin:P = S/. 4 500i = I / PI = S/. 67,50i = 67,50 / 4 500 = 0,015i = ?i = 1,5%

4. Calcule el importe del principal con el que se abri una cuenta, la misma que hasta el momento de cierre gener un inters de S/. 75. La tasa de inters de ese periodo fue de 5%.Solucin:P = ? P = I / ii = 0,05P = 75 / 0,05I = S/. 75P = S/. 1 500

5. Calcule la tasa de inters de una cuenta, la misma que se abri con un principal de S/. 1 100 y que al momento de cierre registr un monto de S/. 1 210.Solucin:P = S/. 1 100i = (S / P) - 1 S = S/. 1 210i = (1 210 / 1 100) - 1 = 0,10i = ?i = 10%

6. Cul es el monto actual de una cuenta que se abri con un principal de S/. 1 500 y que deveng hasta hoy una tasa de inters de 5%?Solucin: S = ? S = P (1 + i) P = S/. 1 500S = 1 500 (1 + 0,05) = 1 500 (1,05) i = 0,05 P = S/. 1 575

7. Calcule el monto de una cuenta, la misma que registra un inters de S/. 300, generado por una tasa de inters de ese periodo de 4%.Solucin:S = ?P = I / i = 300 / 0,04 = S/. 7 500 I = S/. 300S = P + I = 7 500 + 300i = 0,04S = S/. 7 8008. Calcule el principal con el que se abri una cuenta, la misma que registr un monto de S/. 1 442, a una tasa de inters de 3%Solucin: P = ? P = S / (1 + i) S = S/. 1 442P = 1 442 / (1 + 0,03) = 1 442 (1,03) i = 0,03 P = S/. 1 400

9. Cul es el inters que registra una cuenta abierta con un principal de S/. 1 500 cuyo monto es S/. 1 750.Solucin:I = ?I = S - P P = S/. 1 500I = 1 750 - 1 500S = S/. 1 750I = S/. 250INFORMACIN DEL DOCENTENombre: Carlos Alberto Acosta Zrate

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