003 VECTORES

VECTORES EN EL ESPACIO

Habilidades

• Describir la operación de producto de un vector por un

escalar.

• Describir las operaciones con los vectores como: Igualdad,

Adición, Sustracción, Magnitud, vector unitario en la

dirección de un vector no nulo dado y Producto escalar.

• Expresar un vector en términos de los vectores unitarios

canónicos i, j y k.

• Define el producto vectorial, determina el producto

vectorial de dos vectores, interpreta geométricamente el

módulo del mismo.

• Define el producto mixto y lo interpreta geométricamente.

• Resolver problemas sobre velocidades utilizando las

operaciones con vectores y sus propiedades.

Introducción

El concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural – con solo ligeros cambios – a vectores en el espacio. En el espacio, los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y que para poder trabajar la tercera componente introducimos el sistema de coordenadas tridimensional.

VECTOR EN EL ESPACIO

x

y

z

v2

V= (v1; v2; v3)

v1

v3

v

Vectores unitarios conónicos i, j , k

x

z

y

i

jk

Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.

Todo vector v = (v1; v2; v3 ) se puede escribir en la forma:

v = (v1; v2; v3 ) = v1 i + v2 j + v3 k

Se dice que el vector v está expresado como una combinación lineal de los vectores unitarios i ,j, k.

Propiedades de los vectores en el espacio

0 , :

:Pr

:

; ; :

; ; :

y si sóloy si :

332211

23

22

2

332211

332211

332211

1

vv

vuunitarioVector

wvw vwvwvtooducto pun

v vvvMagnitud

wvw vwvwvnSustracció

wvw vwvwvAdición

wvw, vwvwvIgualdad

, ;;y ;; 321321 wwwwvvvvectoresPara los v : tienese

Ángulo entre dos vectores

vu

vu cos

vu

vu.cos 1

Del producto escalar se tiene:

De donde:

Producto Vectorial

kjivu )()()( 122131132332 vuvuvuvuvuvu

);;();;( 321321 vvvvyuuuu

Se define al Producto Vectorial uxv como:

Dados los vectores

321

321

vvv

uuuvu

kji

Sin ser un determinante el producto vectorial, este puede desarrollarse como tal.

El producto vectorial

Teorema: El vector a x b es ortogonal a a y b.

Teorema: Si es el ángulo entre a y b, entonces:

senbaba 0 ,

a b

axb

a

b

senbh

Área del Paralelogramo

Interpretación geométrica

baA

321

321

321

)cb(a

ccc

bbb

aaa

Producto escalar Triple

,);;(a 321 aaa);;( 321 bbbb

Dados los vectores

);;( 321 cccc y

Se define al producto escalar triple como:

h ba

ba

Interpretación Geométrica

c

a

b

c)(baV Volumen del paralelepípedo