UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICAFÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 4: OSCILACIONES MECÁNICAS –SUPERPOSICIÓN-Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas Introducción Superposición de dos MAS. en la misma dirección de vibración y con igual frecuencia Superposición de dos MAS. en la misma dirección de vibración y con diferente frecuencia Superposición de dos MAS. en direcciones ortogonales y con igual frecuencia Superposición de dos MAS. en direcciones ortogonales y con diferente frecuencia Taller

Introducción

En los módulos anteriores se trataron los conceptos generales de las oscilaciones mecánicas. En éste módulo se estudiará un tema muy básico para el desarrollo de este curso: superposición de MAS presentándose esencialmente cuatro casos:

Superposición de dos MAS que vibran en la misma dirección:o Con igual frecuencia: el resultado será la denominada INTERFERENCIA.o Con diferente frecuencia: el resultado será las denominadas PULSACIONES (AMPLITUD

MUDULADA)

Superposición de dos MAS que vibran en direcciones ortogonales:o Con igual frecuencia: el resultado será la denominada POLARIZACIÓN.o Con diferente frecuencia: si la relación entre las frecuencias corresponde a una relación de

números enteros el resultado será las denominadas FIGURAS DE LISSAJOUS

Superposición de dos M.A.S. en la misma dirección de vibración y con igual frecuencia

Sean dos MAS que producen por separado elongaciones y de la partícula en la misma dirección,

en donde , corresponden a las amplitudes de las oscilaciones y , corresponden a sus respectivas fases iniciales. Al superponer estos dos MAS el movimiento resultante es,

Si se define,

Se obtiene,

Y por lo tanto,

es decir el movimiento resultante de superponer dos MAS que generan en la partícula vibraciones en la misma dirección y con igual frecuencia es otro MAS que genera en ésta una vibración en la misma dirección y con la misma frecuencia pero con amplitud y fase inicial que depende de las amplitudes y fases iniciales de los MAS que se superponen a través de las siguientes ecuaciones,

En donde es la diferencia de fase inicial entre las oscilaciones que se superponen.

Tarea:

Demostrar las ecuaciones [2] y [3].

Análisis de la ecuación [2]:

En la ecuación [2] al término se le denomina término de interferencia. Como puede deducirse de ese término, la amplitud del MAS resultante varía dependiendo de la diferencia de fase inicial, obteniendo su máximo valor cuando (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se superponen están en fase, en cuyo caso se denomina a este fenómeno

interferencia constructiva y . Cuando la diferencia de fase es (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se superponen están en

oposición, se obtiene la denominada interferencia destructiva, y . Ver Figura 1.

Figura 1

o La interferencia es la que logra explicar cómo es que luz más luz pueda dar oscuridad y sonido más sonido pueda dar silencio.

o El denominado término de interferencia, , es el que en óptica servirá para explicar la diferencia que hay entre la fotografía y la holografía: en ese término queda registrada la información correspondiente a la tridimensionalidad de la imagen.

Ejemplo 1:

El movimiento de una partícula corresponde a la superposición de dos MAS dados por las ecuaciones expresadas en el SI en cada uno de los siguientes literales. En cada una de estas superposiciones decir si corresponde al fenómeno de interferencia y en éste caso: decir si la interferencia es constructiva o destructiva, esbozar la gráfica de cada elongación y de la elongación resultante.

(a) ,

(b) ,

(c) ,

(d) ,

(e) ,

(f) ,

(g) ,

(h) ,

(i) ,

Solución:

(a) , Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y; ambos tienen igual frecuencia de vibración:

o . Por lo tanto, la superposición de estos dos MAS es una INTERFERENCIA; adicionalmente como la diferencia de fase es , la interferencia es CONSTRUCTIVA. La elongación del MAS resultante se expresa en el SI por la siguiente ecuación,

En la Figura 2 se ilustra las gráficas correspondientes a , , .

Figura 2

(b) , Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y; ambos tienen igual frecuencia de vibración:

o . Por lo tanto, la superposición de estos dos MAS es una INTERFERENCIA; adicionalmente como la diferencia de fase es , la interferencia es DESTRUCTIVA. La elongación del MAS resultante se expresa en el SI por la siguiente ecuación,

En la Figura 3 se ilustra las gráficas correspondientes a , , .

Figura 3

(c) , Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y; ambos tienen igual frecuencia de vibración:

o . Por lo tanto, la superposición de estos dos MAS es una INTERFERENCIA; adicionalmente como la diferencia de fase es , la interferencia es DESTRUCTIVA. La elongación del MAS resultante se expresa en el SI por la siguiente ecuación,

Es decir un partícula bajo la acción simultánea de estos dos MAS no oscila.

En la Figura 3 se ilustra las gráficas correspondientes a , , .

Figura 3

(d) , Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y; ambos tienen igual frecuencia de vibración:

o . Por lo tanto, la superposición de

estos dos MAS es una INTERFERENCIA; adicionalmente como la diferencia de fase es , la interferencia NO es CONSTRUCTIVA NI DESTRUCTIVA. Para obtener la ecuación de la elongación del MAS resultante es necesario obtener su amplitud y su fase inicial.

De la ecuaciones [2] y [3] se obtiene,

Por lo tanto la elongación del MAS resultante se expresa en el SI,

En la Figura 4 se ilustra las gráficas correspondientes a , , .

Figura 4

(e) ,

Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y; ambos tienen igual frecuencia de vibración:

o . Por lo tanto, la superposición de estos dos MAS es una INTERFERENCIA; adicionalmente como la diferencia de fase es , la interferencia es CONSTRUCTIVA. La elongación del MAS resultante se expresa en el SI por la siguiente ecuación,

En la Figura 5 se ilustra las gráficas correspondientes a , , .

Figura 5

(f) , Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y PERO tienen frecuencias diferentes y por lo tanto su superposición NO es una INTERFERENCIA.

(g) , Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y; ambos tienen igual frecuencia de vibración:

o . Por lo tanto, la superposición de estos dos MAS es una INTERFERENCIA;

adicionalmente como la diferencia de fase es , la interferencia NO es CONSTRUCTIVA NI DESTRUCTIVA. Para obtener la ecuación de la elongación del MAS resultante es necesario obtener su amplitud y su fase inicial.

De la ecuaciones [2] y [3] se obtiene,

Por lo tanto la elongación del MAS resultante se expresa en el SI,

En la Figura 6 se ilustra las gráficas correspondientes a , , .

Figura 6

(h) , Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y; ambos tienen igual frecuencia de vibración:

o . Por lo tanto, la superposición de estos dos MAS es una INTERFERENCIA;

adicionalmente como la diferencia de fase es , la interferencia NO es CONSTRUCTIVA NI DESTRUCTIVA. Para obtener la ecuación de la elongación del MAS resultante es necesario obtener su amplitud y su fase inicial.

De la ecuaciones [2] y [3] se obtiene,

Por lo tanto la elongación del MAS resultante se expresa en el SI,

Se deja al lector la representación gráfica de , , .

(i) , Los MAS oscilan en direcciones ortogonales y por lo tanto no hay INTERFERENCIA.

Superposición de dos MAS en la misma dirección de vibración y con diferente frecuencia

Sean dos MAS que producen por separado elongaciones y de la partícula en la misma dirección,

en donde , corresponden a las amplitudes de las oscilaciones, , corresponden a sus frecuencias angulares y , corresponden a sus respectivas fases iniciales. Al superponer estos dos MAS el movimiento resultante es,

Por simplicidad de cálculo se supondrá,

aunque el resultado de su interpretación física será de carácter general. Por lo tanto,

Se define la AMPLITUD MODULADA como,

y por lo tanto,

En decir el movimiento resultante es oscilatorio pero NO es MAS ya que su amplitud NO es

constante. Se define también como frecuencia angular de modulación y como frecuencia promedio a,

Y por lo tanto,

y por lo tanto,

La energía asociada con esta oscilación, por ser proporcional al cuadrado de la amplitud (la energía de un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud), debe variar entre máximos y mínimos con una frecuencia que es el doble (la función cos2x tiene doble frecuencia que la función cosx): es decir, la energía fluctúa con una frecuencia en Hz igual al doble de la frecuencia con que fluctúa la amplitud, o sea el doble de la frecuencia de modulación de la amplitud,

En donde fpulsacion se conoce con el nombre de frecuencia de pulsación o de palpitación o de batimiento.

En la Figura 7 se ilustra una gráfica que ilustra este fenómeno de amplitud modulada. En la figura el periodo de modulación , el periodo promedio y el periodo de palpitación son,

Figura 7Ejemplo 2:

Dos diapasones generan oscilaciones de frecuencias iguales a 330 Hz y 325 Hz. Si se golpean simultáneamente, calcular la frecuencia de modulación y la frecuencia de palpitación del sonido resultante.

Solución:

El sonido resultante No es armónico. La frecuencia de modulación igual a 2,50 Hz (frecuencia con la que varía la amplitud) y la frecuencia de la intensidad del sonido resultante es 5 pulsaciones/s.

Ejemplo 3:

Si se superponen las siguientes oscilaciones,

Calcular: (a) la frecuencia promedio, (b) la frecuencia de modulación, (c) la frecuencia de palpitación.

Solución:

Como,

las frecuencias de las oscilaciones son,

Por lo tanto,

(a) Frecuencia promedio,

(b) Frecuencia de modulación,

(c) Frecuencia de pulsación,

Para hacer las gráficas , , , , se recomienda emplear un software graficador: por ejemplo GEOGEBRA (http://www.geogebra.org/cms/en/) que es libre distribución. En

la Figura 8 está de color rojo, está de color azul, está de color negro, la amplitud modulada está de color verde y el cuadrado de la amplitud modulada (en este caso se dibujó en una escala vertical más pequeña) está de color naranja.

Figura 8

Superposición de dos MAS en direcciones ortogonales y con igual frecuencia

Sean dos M.A.S que producen por separado elongaciones y de la partícula (direcciones de vibración ortogonales),

en donde , corresponden a las amplitudes de las oscilaciones y , corresponden a sus respectivas fases iniciales. Al superponer estos dos MAS el movimiento resultante en general será con trayectoria elíptica: a esto se le denomina POLARIZACIÓN ELÍPTICA. A continuación se demuestra esto.

Realizando se obtiene,

Realizando se obtiene,

Realizando se obtiene.

en donde corresponde a la diferencia de fase. Observar que esta trayectoria tiene forma

elíptica (es la ecuación de una elipse que en general tiene sus ejes rotados respecto a los ejes

XY).

En definitiva la trayectoria seguida por la partícula bajo la acción de dos fuerzas ortogonales,

y , es una elipse o un caso particular de ella como lo es una circunferencia o una recta. Esto dependerá de la diferencia de fase , Figura 9 (en esta figura se debe tener en cuenta que = ox -oy y que el eje z sale ortogonalmente de la hoja). La elipse puede ser recorrida por la partícula en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. Esto se puede probar en la simulación que se presenta más adelante. Si es recorrida en el sentido en que la velocidad angular señale la parte positiva del eje z, se dirá que hay polarización elíptica (o circular si es del caso) levógira. En caso contrario será dextrógira.

Como se dijo en el párrafo anterior, a este fenómeno se le conoce con el nombre de polarizacón. Hay entonces: polarización elíptica dextrógira y levógira, polarización circular dextrógira y levógira. La trayectoria de la partícula también puede resultar rectilínea (caso particular de la elipse), en cuyo caso se dice que la polarización es lineal. Para definir completamente el estado de polarización elíptico o circular, es necesario definir en cuál sentido gira la partícula. Así mismo, para definir completamente el estado de polarización lineal, es necesario definir el ángulo de inclinación de esta trayectoria. Estos conceptos son fundamentales para estudiar la polarización de la luz y en general la polarización de las ondas electromagnéticas, fenómeno que tiene gran aplicación en la tecnología moderna de comunicaciones, entre muchas otras, como por ejemplo el actual cine 3D.

Figura 9: = ox -oy

Ejemplo 3:

Las siguientes son las ecuaciones expresadas en el SI de dos M.A.S que producen por separado elongaciones y de la partícula,

Describir el estado de polarización de la superposición.

Solución:

Se trata de la superposición de dos MAS ortogonales y de frecuencia igual: o . Por lo tanto la superposición da como resultado una POLARIZACIÓN.

Para saber cuál es el estado de polarización de la superposición se podría emplear directamente la ecuación [12] reemplazando las amplitudes , y la diferencia de fase

; sin embargo éste método es recomendable para diferencias de fase diferentes a 0, , , o equivalentes a éstas. Para estas diferencias de fase es mejor proceder a eliminar directamente el tiempo para obtener la ecuación de la trayectoria. Éstos serán los casos que se analizarán en éste módulo.

Para el caso de como lo es en este ejemplo, se procede a dividir las dos ecuaciones,

que corresponde a la ecuación de una recta, por lo tanto la polarización resultante de la superposición de estos dos MAS es LINEAL, Figura 10. Para describir completamente el estado de polarización lineal es necesario decir cuál es el ángulo de inclinación,

Figura 10

Ejemplo 4:

Las siguientes son las ecuaciones expresadas en el SI de dos M.A.S que producen por separado elongaciones y de la partícula,

Describir el estado de polarización de la superposición.

Solución:

Se trata de la superposición de dos MAS ortogonales y de frecuencia igual: o . Por lo tanto la superposición da como resultado una POLARIZACIÓN.

En este caso y lo mejor es procede a dividir las dos ecuaciones,

que corresponde a la ecuación de una recta, por lo tanto la polarización resultante de la superposición de estos dos MAS es LINEAL, Figura 11. Para describir completamente el estado de polarización lineal es necesario decir cuál es el ángulo de inclinación,

Figura 11

Ejemplo 5:

Las siguientes son las ecuaciones expresadas en el SI de dos M.A.S que producen por separado elongaciones y de la partícula,

Describir el estado de polarización de la superposición.

Solución:

Se trata de la superposición de dos MAS ortogonales y de

frecuencia igual: o . Por lo tanto la superposición da como resultado una POLARIZACIÓN.

En este caso ya que ,

Par eliminar el tiempo se suman los cuadrados de las siguientes ecuaciones,

que corresponde a una trayectoria elíptica, Figura 12, es decir se trata de un POLARIZACIÓN ELÍPTICA.

Figura 12 Para completar la descripción del estado de polarización es necesario decir en cuál sentido gira la partícula, es decir, si la polarización elíptica es DEXTRÓGIRA o LEVÓGIRA. Para lograr esto se puede calcular la velocidad inicial de la partícula:

Por lo tanto en t=0,

Esto se ilustra en la Figura 13, en donde se observa que la partícula gira de tal forma que su velocidad angular apunta en el sentido negativo del eje Z y por lo tanto la polarización es ELÍPTICA DEXTRÓGIRA.

Figura 13

Ejemplo 6:

Las siguientes son las ecuaciones expresadas en el SI de dos M.A.S que producen por separado elongaciones y de la partícula,

Describir el estado de polarización de la superposición.

Solución:

Se trata de la superposición de dos MAS ortogonales y de frecuencia igual: o . Por lo tanto la superposición da como resultado una POLARIZACIÓN.

En este caso ya que ,

Par eliminar el tiempo se suman los cuadrados de las ecuaciones,

que corresponde a una trayectoria circular, Figura 14, es decir se trata de un POLARIZACIÓN CIRCULAR.

Figura 14

Para completar la descripción del estado de polarización es necesario decir en cuál sentido gira la partícula, es decir, si la polarización circular es DEXTRÓGIRA o LEVÓGIRA. Para lograr esto se puede calcular la velocidad inicial de la partícula:

Por lo tanto en t=0,

Esto se ilustra en la Figura 15, en donde se observa que la partícula gira de tal forma que su velocidad angular apunta en el sentido positivo del eje Z y por lo tanto la polarización es CIRCULAR LEVÓGIRA.

Figura 15

Ejemplo 7:

Las siguientes son las ecuaciones expresadas en el SI de dos M.A.S que producen por separado elongaciones y de la partícula,

Describir el estado de polarización de la superposición.

Solución:

Se observa que las frecuencias son diferentes y por lo tanto esta superposición no corresponde a una polarización.

Ejemplo 8:

Describir el estado de polarización de la superposición. Solución:

Se observa que las frecuencias son iguales pero en las oscilaciones son en la misma dirección y por lo tanto esta superposición no corresponde a una polarización: es una INTERFERENCIA.

Superposición de dos MAS en direcciones ortogonales y con diferente frecuencia

Sean dos M.A.S que producen por separado elongaciones y de la partícula (direcciones de vibración ortogonales),

en donde , corresponden a las amplitudes de las oscilaciones, , corresponden a las frecuencias angulares y , corresponden a sus respectivas fases iniciales. Al superponer estos dos MAS el movimiento resultante serán las denominadas Figuras de Lissajous cuando la relación entre las frecuencias corresponden a relaciones de números enteros. En la siguiente simulación se ilustra la formación de estas figuras.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Superposición de MAS > Polarización y Lissajous. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 16. Se despliega la simulación de la Figura 17. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los resultados.

Figura 16

Figura 17

Taller

Describir la superposición de los siguientes MAS. Las ecuaciones están expresadas en el SI.

(a) ,

(b) ,

(c) ,

(d) ,

(e) ,

(f) ,

(g) ,

(h) ,

(i) ,

(j) , FIN.