UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA MECÁNICAMÓDULO # 12: CINEMÁTICA RECTILÍNEA-SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES-Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas Introducción Integración de las ecuaciones diferenciales cinemáticas para el movimiento rectilíneo Interpretación gráfica Movimientos rectilíneos especiales Caída libre Protocolo para realizar un correcto análisis cinemático de una partícula Un ejemplo

Introducción

En el módulo anterior se mostró como dado un marco de referencia y un eje de coordenadas fijado a este se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales para el movimiento rectilíneo de una partícula:

(Velocidad)

(Aceleración)

y combinando estas dos ecuaciones diferenciales se obtiene,

Un problema cinemático básico consiste en solucionar estas ecuaciones diferenciales integrándolas conocidas unas condiciones iniciales para obtener las funciones de velocidad y posición. La función de aceleración es esencialmente un problema de dinámica (proviene de un análisis mediante la segunda ley de Newton). En éste módulo se recomienda un protocolo a seguir para realizar un adecuado análisis cinemático del movimiento de un cuerpo.

Integración de las ecuaciones diferenciales cinemáticas para el movimiento rectilíneo

Dada una partícula que se mueve rectilíneamente se procederá a integrar las ecuaciones diferenciales correspondientes a su cinemática. En la Figura 1 se ilustra el eje coordenado elegido el cual está fijo a algún marco de referencia. Las condiciones iniciales se consideran los valores de la posición inicial xo y velocidad inicial Vox en el instante t=to.

Figura 1

Las ecuaciones diferenciales (ed) son,

(Velocidad)

(Aceleración)

y combinando estas dos ecuaciones diferenciales se obtiene,

Integrando la ed [1] se obtiene,

Integrando la ed [2] se obtiene,

Integrando la ed [3] se obtiene,

Interpretación gráfica

De las 6 ecuaciones anteriores, las tres primeras ecuaciones diferenciales y las otras tres ecuaciones integrales, la [1], [2], [4], [5] tienen interpretación gráfica la cual es muy útil desde el punto de vista de la cinemática (las otras dos también se pueden interpretar gráficamente, pero su información no es tan útil).

Interpretación de la ecuación [1]

La ecuación diferencial [1] gráficamente significa que la velocidad Vx corresponde a la pendiente de la gráfica x vs t en el instante t, Figura 2.

Figura 2

Observar que la pendiente de esta curva tiene las siguientes unidades,

(Unidades del eje x) / (unidades del eje t)=m/s

que corresponde a las unidades de velocidad.

Interpretación de la ecuación [2]

Figura 3

Interpretación de la ecuación [4]

La ecuación integral [4] se puede escribir como,

Esta integral corresponde al área bajo la curva Vx vs t, Figura 4. El área resultante entonces se interpreta como el desplazamiento de la partícula entre los instantes t1 y t2.

Figura 4

Observar que el área bajo esta curva tiene las siguientes unidades,

(Unidades del eje Vx) x (unidades del eje t)=m.s-1xs=m

que corresponde a las unidades de posición, desplazamiento o longitud recorrida. Sin embargo es claro que la interpretación corresponde es al desplazamiento.

Interpretación de la ecuación [5]

La ecuación integral [5] se puede escribir como,

Esta integral corresponde al área bajo la curva ax vs t, Figura 5. El área resultante entonces se interpreta como el cambio en la velocidad de la partícula entre los instantes t1 y t2.

Figura 5

Observar que el área bajo esta curva tiene las siguientes unidades,

(Unidades del eje ax) x (unidades del eje t)=m.s-2xs=m.s-1

que corresponde a las unidades de velocidad, cambio de velocidad o rapidez. Sin embargo es claro que la interpretación corresponde es al cambio de velocidad Vx.

Ejemplo:

Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde una posición inicial yo con una velocidad inicial Voy. Mediante un análisis gráfico de la curva Vy vs t encontrar la ecuación general para la posición y en función del tiempo t. Suponer que el cuerpo está sólo sometido a la fuerza de gravedad del planeta.

Solución:

En la Figura 6 se ilustra una representación de la escena de la situación física. En la misma figura se ilustra el marco de referencia (el piso) y el eje coordenado elegido anclado a este marco.

Figura 6

Como el cuerpo está sólo sometido a la acción del peso, se dice que está en situación de “caída libre”, y por lo tanto su aceleración es la gravedad (9,8 m.s -2). Esta aceleración corresponde a la pendiente de la gráfica Vy vs t, que en consecuencia se trata de una línea recta con pendiente -9,8 m.s-2 (es decir -g), Figura 7.

Figura 7

Con base en las propiedades de la recta se concluye que la ecuación general que cumple con la gráfica correspondiente a la Figura 7 es,

El área bajo la curva de esta gráfica corresponde al desplazamiento y. Por lo tanto, el área sombreada en la Figura 8 corresponde al desplazamiento de la partícula entre el instante t=0 y un instante general t.

Figura 8

Con base en esto y observando que corresponde al área de un trapecio se obtiene,

Combinando esta ecuación con la anterior se obtiene,

Y como

se obtiene,

Esta ecuación es la que solicitaba el ejercicio. En la Figura 9 se ilustra la gráfica y vs t correspondiente a esta ecuación.

Figura 9

En esta figura se observa que en el instante t=t’ el cuerpo logra la altura máxima y allí la velocidad es cero (aunque la aceleración sigue siendo –g).

Movimientos rectilíneos especiales

Hay dos movimientos rectilíneos especiales:

Movimiento Uniforme (MU): Aquí la velocidad es constante y por lo tanto la aceleración es nula.

Movimiento Uniformemente Variado (MUV): Aquí la aceleración es constante y diferente de cero.

Movimiento Uniforme (MU):

En la Figura 10 se ilustra una partícula que se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante Vx. En la figura se ilustra el eje coordenado elegido el cual está fijo a algún marco de referencia.

Figura 10

Solo es necesario integrar la ecuación diferencial [1],

como Vx es constante,

En la mayoría de las situaciones se elige to=0,

Que será la ecuación básica para analizar situaciones de movimientos rectilíneos con velocidad constante. En la Figura 11 se ilustra las gráficas correspondientes de posición X, velocidad Vx y aceleración ax en función del tiempo para un MU.

Figura 11

Es necesario anotar que los signos de los términos de ésta ecuación dependerán del eje de coordenadas elegido, lo mismo que de las condiciones iniciales.

Movimiento Uniformemente Variado (MUV):

En la Figura 12 se ilustra una partícula que se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente variado, es decir, con aceleración constante ax. En la figura se ilustra el eje coordenado elegido el cual está fijo a algún marco de referencia.

Figura 12

Integrando la ecuación diferencial [2],

como ax es constante,

En la mayoría de las situaciones se elige to=0,

Ahora se integra la ecuación diferencial [1],

Y reemplazando el resultado anterior, , se obtiene,

En la mayoría de las situaciones se elige to=0,

Integrando la ed [3] se obtiene,

Resumiendo las ecuaciones básicas para analizar partículas moviéndose con MUV son:

En la Figura 13 se ilustra las gráficas correspondientes de posición X, velocidad Vx y aceleración ax en función del tiempo para un MUV.

Figura 13

Es necesario anotar que los signos de los términos de estas ecuaciones dependerán del eje de coordenadas elegido, lo mismo que de las condiciones iniciales.

Caída libre

Retomando el ejemplo de la Figura 6, en donde un cuerpo se encuentra en “caída libre”, se concluye que se trata de un MUV con aceleración –g. Las ecuaciones básicas serán las del MUV y tendrán la siguiente forma,

El signo menos del término donde se encuentra la gravedad g se debe a que su sentido es opuesto al sentido considerado positivo por eje de coordenadas elegido. Al final de éste módulo se ilustrará un ejemplo de un móvil en “caída libre”.

Protocolo para realizar un correcto análisis cinemático de una partícula

Para realizar el estudio del movimiento de un cuerpo (o conjunto de cuerpos) se recomienda seguir el siguiente protocolo:

1. Hacer una representación clara de la situación (un dibujo lo más simple posible).2. Indicar con precisión cuál es el móvil que se va a estudiar.3. Definir el marco de referencia. En muchos problemas elementales hay marcos de referencia

comunes y muy obvios, por ejemplo: la acera, la calle, el edificio, el laboratorio, el plano inclinado.

4. Definir el eje de coordenadas con su respectivo origen y orientación: se fija al marco de referencia.

5. Definir las condiciones iniciales: posición y velocidad del móvil en un instante determinado (es usual que dicho instante se elija como el instante inicial del movimiento y por ello el nombre).

6. Analizar la situación general del movimiento (encontrar las expresiones generales): ésta es una idea fundamental en cinemática y en mecánica en general. Conocer a fondo la cinemática de un cuerpo es conocer en situación general la posición, la velocidad y la aceleración, es decir, como estas dependen del tiempo. A veces también es necesario expresar la situación general de la velocidad y la aceleración como función de la posición.

7. Resolver los casos particulares (búsqueda de valores específicos): resolver algebraicamente las ecuaciones.

8. Si es necesario encontrar soluciones numéricas, reemplazar los valores en las ecuaciones sin olvidar expresar el resultado con la respectiva unidad de medida (debe hacerse un correcto análisis de las unidades y de la homogeneidad dimensional de las ecuaciones).

9. Analizar la coherencia del resultado.

Un ejemplo

Desde la azotea de un edificio de 100 m de altura se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad igual a 10,0 m/s. Responder: (a) ¿en qué instante es la altura máxima? (b)?cuál es la altura máxima? (c) ¿cuál es la velocidad con que llega al primer piso? Suponer “caída libre”.

Solución:

1. Representación de la escena física, Figura 14.

Figura 14

2. El móvil es el cuerpo lanzado.

3. El marco de referencia: el andén.

4. Eje coordenado: eje y fijo al andén, Figura 15.

Figura 15.

5. Las condiciones iniciales son: en t=0, yo=100 m y Voy= 10,0 m/s.

6. Las ecuaciones generales se obtienen reemplazando las condiciones iniciales y el valor de la aceleración de la gravedad en las tres ecuaciones básicas de la “caída libre” y con base en el eje de coordenadas elegido, obteniéndose (en unidades SI):

7. Reemplazando en la ecuación [2] Vy=0 se obtiene el instante el cual la altura es la máxima;

Para calcular la altura máxima se reemplaza este instante en la ecuación [1] se obtiene la altura máxima,

Para calcular el instante el cual llega el cuerpo al andén se reemplazan en la ecuación [1] y=o,

Cuyas soluciones son,

y

Por lo tanto la solución aceptada es t=5,65 s. En ese instante la velocidad es (reemplazando en ecuación [2]),

El signo menos indica que el sentido de la velocidad es el opuesto al que señala como positivo el eje de coordenadas elegido.

Un análisis gráfico:

En la Figura 16 se ilustra la gráfica de Vy vs t del ejemplo resuelto. Desde t=0 s hasta t=1,02 s el cuerpo se ha desplazado desde y=100 m hasta la altura máxima; desde este instante hasta el instante t=2,04 s se desplaza de nuevo a la posición de lanzamiento y por lo tanto el desplazamiento total hasta aquí es nulo (Area 1 = - Area 2); desde t=2,04 s hasta t=5,65 s se desplazará -100 m (esta debe ser el valor del área 3).

Figura 16

Taller:

1. Un tren acelera uniformemente partiendo desde el reposo a razón de 2 m.s -2, hasta alcanzar una velocidad de 40,0 m.s-1. Después de avanzar a esa velocidad durante un cierto tiempo, desacelera a razón de 1,00 m.s-2 hasta detenerse. Si en total recorrió 4 000 m, hallar el tiempo total transcurrido. Resolver mediante análisis gráfico.

Rp. 130 s.

2. Un automovilista viaja a 16 m.s-1 cuando observa que la luz de un semáforo 240 m delante de él se pone en rojo. Quiere pasar por el semáforo a la misma velocidad cuando cambia otra vez a verde a las 24 s. Si las ratas de frenado y aceleración del auto son iguales hallar su valor. Resolver mediante análisis gráfico.

Rp. 1,0 m.s-2.

3. Un beisbolista atrapa una bola 3,0 s después de lanzarla verticalmente hacia arriba. ¿Con qué rapidez la lanzó y que altura alcanzó? Resolver mediante análisis gráfico.

Rp. 14,7 m.s-1; 11,0 m.

4. Dos locomotoras se aproximan una a la otra en vías paralelas. Cada una tiene una rapidez de 95 km.h-1 con respecto al suelo. Si inicialmente están separadas 8,5 km, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se alcancen? Resolver mediante análisis gráfico.

Rp. 2,7 min

5. A continuación se hará un análisis gráfico de la cinemática de un cuerpo mediante una simulación.

Ejecutar SymulPphysics.

Ejecutar el programa correspondiente a la simulación titulada “Experimento de Movimiento Rectilíneo Uniforme (MUV)”. Para esto hacer clic en el ítem Mecánica > Movimiento Rectilíneo > MUV (acelerado), Figura 17. Se desplegará una ventana que contiene la simulación, Figura 18.

Figura 17

Figura 18

Emplear unos 5 minutos para familiarizarse con los controles que permiten interactuar con la simulación. Observar que la posición de la flecha roja es la del control de tiempo: el tiempo que se despliega en la esquina superior derecha corresponde al tiempo que emplea el cuerpo para desplazarse desde la posición inicial hasta la posición de la flecha. Esta flecha es la que se debe ir desplazando para obtener los tiempos empleados por el cuerpo para alcanzar las diferentes posiciones.

Escoger el experimento 5.

Figura 19

Tomar como marco de referencia la mesa que se presenta en la simulación y como sistema de coordenadas el eje x con su origen en el punto cero de la regla y apuntando hacia la polea (este será su sentido positivo).

Con base en este sistema de coordenadas llenar la Tabla 1.

Tabla 1Tiempo (s) 0

Posición (cm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Emplear el módulo de regresión cuadrática de PhysicsSensor para hacer la gráfica con los datos de la Tabla 1. Obtener el valor de la velocidad inicial del cuerpo y el valor de la aceleración. Considerando como valores convencionalmente verdaderos para la velocidad inicial 10 cm/s y para la aceleración 40 cm/s2, reportar los porcentajes de error.

Con base en el resultado escribir las siguientes ecuaciones de y

6. Hacer la misma actividad solicitada en el ejercicio 5 pero para la simulación correspondiente al MUV (retardado). Para esto hacer clic en el ítem Mecánica > Movimiento Rectilíneo > MUV (retardado).

FIN.