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GRUPO 12 +1 3.8.2. Comprensión de la estructura de las fracciones, decimales y porcentajes 1ºA

3.8.2 Comprensión de la estructura de las fracciones, decimales y porcentajes.

3.8.2.1 Equivalencia de fracciones

Es importante conocer que cada número racional puede ser representado por cualquiera de los miembros de una familia de fracciones equivalentes: por ejemplo, dos tercios puede ser representada por 2/3, 4/6, 6/9…

La noción de fracciones equivalentes es necesaria para poder comparar los tamaños de fracciones o decimales distintas (por ejemplo, para distinguir cuál es mayor 3/16 o ¼), para convertir las fracciones en decimales y porcentajes, y para realizar operaciones con fracciones.

Al igual que tantas otras ideas matemáticas, la de equivalencia es percibida ya por niños de 5 años en casos concretos (por ejemplo que media manzana es la misma cantidad que dos cuarterones). Sin embargo, en situaciones abstractas ( 4/14= 10/?), solamente es comprendida plenamente por una minoría de chicos de 15 años.

La noción de equivalencia suele introducirse mediante uno de los dos, o ambos, de los aspectos concretos de las fracciones generalmente tenidos por más sencillos de captar, los de área y de conjunto. Por ejemplo, para poner de manifiesto que 2/3= 4/6 puede que se utilicen ilustraciones como las mostradas:

Aspecto “área”

2/3 4/6

Aspecto “conjunto”

2/3 4/6

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Estos dos enfoques aparecen en sendas cuestiones del estudio CSMS. La tabla siguiente muestra resultados seleccionados relativos a la equivalencia de fracciones.

a) Sombrea dos tercios

b) Sombrea los tercios

c)

d) Juan ganó 1/3 de estas canicas. Rodea con un círculo sus bolas.

e) Juana ganó 2/3 de las bolas ¿Cuántas bolas ganó?

Porcentaje de éxito.

12 años 13 años

a 61 66b 58 64c 63 64d 77 78e 71 73

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Los resultados anteriores pueden hacer pensar que la equivalencia resulta más fácil de introducir a través del aspecto “conjuntos” que del “área”. Sin embargo, no está claro que ambas cuestiones sean directamente comparables; las estrategias utilizadas seguramente son distintas en uno y otro caso.

Cierto número de estudios realizados en EEUU por Payne han examinado la equivalencia. Muchos de ellos comprobaron que la equivalencia era causa de especiales dificultades, en especial la simplificación a fracción reducible; por ejemplo, la conversión de 8/12 en 2/3.

Bohan comparó la eficacia de tres secuencias de enseñanza para inculcar en niños de 11 años la noción de equivalencia. Aunque gran parte del material era el mismo, dichas secuencias se encaminaban hacia la idea desde distintos puntos de vista;

a) Recurriendo a diagramas de área “región”, técnica comentada ya; b) Recurriendo al plegado de papel, por ejemplo,

c) Mediante la multiplicación por 1;

Por ejemplo, 2/3= 2/3x1 =2/3x2/2= 4/6

La secuencia basada en el plegado de papel resultó ser la más efectiva, tanto en lo que toca al aprendizaje como a la producción de actitudes más favorables, siendo la numérica y abstracta la menos eficaz. Sin embargo, aun después de la secuencia de plegado, menos de la mitad de los niños tuvieron éxito en la simplificación de fracciones hasta su expresión irreducible, mientras que el 75% sí supo general fracciones equivalentes utilizando números grandes.

Un estudio de Coburn con niños de 10 años comparaba la introducción de fracciones equivalentes por medio de un modelo”área” con su introducción a través de un modelo “razón”, como vemos en esta figura:

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Sin embargo, en cada una de ambas secuencias de enseñanza, la otra faceta fue tratada posteriormente. Coburn halló que el modelo “área” resultaba de ordinario más eficaz, en especial para introducir luego la adición y la sustracción, sin embargo, en el aspecto “razón” se encontraron otros métodos mejores que este. Steffe y Parr (1968) encontraron que lo más efectivo era introducir primero la razón, pero Coburn atribuyó tal resultado a la dificultad de los niños para dibujar las regiones. Las pruebas que aportan las investigaciones no son concluyentes y es posible que resulte más conveniente ligar los aspectos de “división” y “recta numérica” y utilizar la calculadora para demostraciones en un futuro próximo.

Una experiencia introductoria de la equivalencia, que utilice aspectos concretos de las fracciones, proporciona más adelante la capacidad de manipular fracciones en forma simbólica. Hart corrobora esto en un estudio que resume la tabla siguiente:

Selección de resultados sobre equivalencia de fracciones

Porcentaje de aciertosCuestión 12 años 13 años 14 años 15 años1/3 = 2/? 72 77 78 794/12 = 1/? 56 52 61 632/7 = ?/14 57 55 63 74

Estos resultados son equivalentes a otros obtenidos por NAEP o APU en Estados Unidos y Gran Bretaña. Sin embargo, es difícil saber si los niños están demostrando auténtica comprensión de la equivalencia o se limitan a detectar pautas o regularidades. También se sugiere que la confusión subyacente a la noción de equivalencia es seguramente considerable:

Respuestas a una pregunta sobre equivalencia

Porcentaje de respuestasPregunta 9 años 11 años 17 añosSupongamos que x/y representa un número. Si se duplican los valores de x e y, el nuevo número es

a) La mitad de grande que x/y 17 10 8b) Igual a x/y 15 18 41c) Doble de grande que x/y 47 65 46d) No lo sé 21 7 5

Además, en una situación más estricta, el porcentaje de niños capaces de resolverla muestra un abrupto descenso. Por ejemplo, 2/7 = ◊/14 = 10/◊, la tasa de éxito varió desde el 24% de los niños de 12 años al 31% de los de 15 años.

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Los problemas de enunciado pueden darnos una idea más clara de la medida en que ha sido comprendida la noción de equivalencia:

Problemas de enunciado para examinar la noción de equivalencia

Pregunta Porcentaje de éxitoAspecto “parte-todo” (1/4 = 5/20)Dos chicos tienen la misma cantidad de dinero de bolsillo. Uno piensa ahorrar ¼ parte de su “paga”; el otro, 5/20 de la suya. Marca la respuesta que te parezca correcta:

a) 5/20 es más que 1/4b) 1/4 es más que 5/20c) 5/20 y 1/4 son iguales

76% de los niños de 12 años, subiendo al 85% de los chicos de 15 años

Aspecto “conjuntista” (3/5 = 24/40)En una clase hay 40 alumnos. 3/5 son niñas. ¿Cuántas niñas hay en clase?

El 22% de los niños de 11 años

Aspecto “recta numérica” (2/8 = 1/4 ó 6/8 = 3/4)Una carrera de relevos se corre por tramos de 1/8 de kilómetros cada uno. Cada corredor hace una etapa. ¿Cuántos corredores harían falta para cubrir una distancia de 3/4 de kilómetro?

El 48% de niños de 12 años, subiendo al 57% de los de 15 años

Aquí también resulta difícil extraer conclusiones, ya que las estrategias utilizadas pueden ser muy diferentes.

3.8.2.2. Aplicación del concepto de equivalencia a la ordenación de fracciones y a la conversión de fracciones en decimales y porcentajes.

La idea de equivalencia es importante también en lo que concierne a la capacidad de ordenar fracciones. Hemos visto que los niños no siempre se percatan fácilmente de que las fracciones son números, y que por su naturaleza de tales llenan en parte los huecos que dejan los números enteros en la recta numérica. Puede pues no resultarles claro que, dadas dos fracciones, o bien son equivalentes, o una de ellos representa un número mayor que la otra. Excepto en casos sencillos (5/8 es mayor que 3/8), el mecanismo de esta comparación consiste normalmente en hallar formas equivalentes apropiadas para una o ambas fracciones (con el mínimo común denominador, o a base de deducciones).

Resulta claro que la dificultad de la comparación de dos fracciones puede variar dependiendo de los números que figuren en los numeradores y denominadores.

Hart observó que el 66% de los niños de 15 años se daban cuenta de que 3/10 era mayor que 1/15; mientras que en otra encuesta, sólo un 3% de los niños de 13 años supieron decir cuál de los números 1/4, 5/32, 5/16, 3/8 se encontraba más próximo a 3/16.

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Noelting diseñó un experimento destinado a examinar la dificultad relativa de la comparación de diferentes razones. La situación concreta de que se valió consistió en la preparación de naranjada, preguntando a los niños cuál de las combinaciones siguientes producirá la mezcla más fuerte:

NARANJADA AGUA

Noelting halló que los alumnos resolvían el problema valiéndose de diversos métodos informales. La edad media de los niños que acertaron fue la de 12 años y medio, mientras que una tarea del mismo tipo que la anterior, pero más difícil (la comparación de un grupo de 3 vasos de zumo de ocho en total, con otro grupo de 5 vasos de zumo de 13 en total), fue costosa hasta para niños de 17 y 18 años de edad.

Así Noelting confirmó que la dificultad de la comparación de fracciones puede variar enormemente dependiendo de las relaciones entre los números.

Una forma de usar la equivalencia consiste en hallar una fracción comprendida entre otras dos; por ejemplo, entre 1/2 y 2/3. Lo primero que hay que hacer es convertirlas en dos fracciones con el mínimo común denominador, y así podrás sacar una fracción situada entre esas dos (7/12). Tal vez un aspecto de mayor gravedad estuviera en que los alumnos no se daban cuenta de que, entre dos fracciones cualesquiera, siempre es posible hallar en la recta numérica fracciones intermedias.

Hart halló que en el caso de los niños de 15 años, cuando se les preguntaba: “¿Cuántas fracciones se encuentran entre 1/4 y 1/2?, las siguientes respuestas en porcentaje:

- Un 16%: infinitas, muchísimas.- Un 30%: una.- Un 22% un número comprendido entre 1 y 20.- Un 15%: otras respuestas.- Un 17%: no responde.

Estos porcentajes son similares a los obtenidos por Brown cuando les preguntó a los niños: “¿Cuántos número distintos podrías escribir, comprendidos entre 0,41 y 0,42?”

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Parece que incluso a los 15 años, son muy pocos los niños que se imaginan una recta numérica atestada con un número infinito de números racionales entre cada par de números enteros, vengan expresados por medio de fracciones o de decimales.

Una última aplicación de la equivalencia de fracciones estriba en la conversión de fracciones a decimales o a porcentajes. Existen muy pocos datos sobre la capacidad de los niños para realizar esta conversión, excepto que APU, halló que el 50% de los niños de 11 años escribió correctamente la fracción 1/4 mediante un porcentaje, mientras que un 25% conocía su equivalencia decimal. Se obtuvieron porcentajes exitosos justo por encima del 40% para la conversión de décimas partes en decimales, e inferiores (30%) para la conversión de centésimas a decimales.

3.8.2.3 Equivalencia de decimales y porcentajes

Decimales: Es indudable la relación existente entre los números decimales y las fracciones, esto, ya que es posible expresar una misma cantidad como número decimal o fracción. Ahora bien, al hecho de que podamos expresar una misma cantidad de dos maneras diferentes le llamamos equivalencia, debido a que las dos maneras que tenemos de expresar dicha fracción corresponden a la misma cantidad de elementos.

De este modo 0,21 puede ser considerado como <2 décimas y 1 centésima>, de acuerdo con la definición de valor relativo. Pero cuando comparamos decimales como 0,21 y 0,07, podemos considerar a 0,21 como <21 centésimas>, que se fundamenta en la aceptación intuitiva de que 2/10=20/100, el cual descansa en la noción de equivalencia de fracciones.

Brown realiza varios experimentos:

Niña de 11 años: Frances había respondido a “¿existe diferencia entre 4,90 y 4,9?”, diciendo:”si, 4,90 es mas”, pero en la siguiente pregunta concluyo que 0,8 era mayor que 0,75 por que:”oh, es ocho décimas, que es igual a 80 centésimas”. Esta frase fue profundizada con gran satisfacción, como si de alguna forma todo hubiera encajado en su lugar.

Niña de 14 años: Le dice a la niña que multiplique (10 x 5,13)…

La conclusión que obtuvo dice, “parecía encontrarse en un estadio transitorio de desarrollo conceptual, aparentemente común entre los niños de escuela secundaria”.

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Dicha conclusión está respaldada por la siguiente tabla:

Los decimales tienen un papel importante en la aplicación de estos en la aproximación, lectura de escalas graduadas, comparación,…; todo estos implica conocer la noción de equivalencia de los decimales, al igual que la de las fracciones. Con los resultados obtenidos podemos decir que dicha noción es necesario adquirirla y asimilarla mediante un proceso de aprendizaje a largo plazo, que según el contexto será más difícil o fácil de adquirir.

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Porcentajes: También en casi todas las operaciones con porcentajes encontramos las nociones de equivalencia, así por ejemplo:

Subconjunto

Razón 3 de cada 5--- 60 de cada 100--- 60%

Dada la evidente importancia que reviste la comprensión de los porcentajes en la vida cotidiana y en las actividades comerciales (aumentos salariales, tasas de empleo, etc.), la investigación que se refiere a la capacidad de los niños para servirse de ellos es escasa. Una encuesta sobre adultos puso de manifiesto una amplia incapacidad para comprender los porcentajes. Casi la tercera parte de una muestra representativa compuesta por unos 100 adultos indicaba que todos los porcentajes carecían de sentido.

Cuando se le pidió una muestra menor, de 50 adultos, que calculase el 15 de 60 libras, 32 obtuvieron respuestas correctas, pero los métodos utilizados variaban grandemente:

Número de personas MétodoMental 15

21

10% + 5%Reducir un 15%6 X 15

Con lápiz y papel 742

60 X 1515/100 X 6010% + 5%

Con calculadora 1Erróneos 1

11

90 peniques (mentalmente)15 peniques por libra, lo que da 4,5015 X 60 = 415

Desatinados 1 Simplificación errónea

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El grupo APU informa que alrededor de la mitad de la muestra de chicos de 15 años resolvió con éxito cada una de las dos preguntas inmediatas sobre porcentajes. La primera pedía que se calculase el precio de un traje, dado el precio original y un descuento del 30%; la segunda daba un número y qué porcentaje era de un número total, y pedía que se calculase el total.

Hart da cuenta de tres cuestiones relativas a usos inmediatos de los porcentajes, cada una de las cuales depende de la noción de equivalencia:

Resultados de las cuestiones relativas a porcentajes.

Porcentaje de éxitoPregunta 13 años 14 años 15 años% significa por cien o por 100 y así, 3% quiere decir 3 de cada 100El 6% de los niños de una escuela comen gratis. La escuela tiene 250 alumnos. ¿Cuántos niños comen gratis?

37 46 58

El periódico dice que 24 de cada 800 coches Avenger tienen defectos en el motor. ¿Qué porcentaje es éste?

32 40 48

El precio de un abrigo son 20€. Nos rebajan el 5%. ¿Cuánto cuesta ahora?

20 27 35

Hart informa que muchos niños trataron de manipular los números de forma que produjera una pequeña disminución.

Los resultados anteriores vuelven a poner de manifiesto que tan solo una minoría de los niños de las escuelas secundarias comprende realmente el principio de equivalencia de fracciones, en la que hay que contar la equivalencia en el contexto de las razones, los decimales y los porcentajes. El problema parece consistir en salvar el vacío que existe entre los ejemplos, en los que se utilizan, por ejemplo, el sombreado y el plegado de papel, en los que parecen tener un éxito razonable, y en saber cómo proceder en un problema en el que solo intervienen números, especialmente cuando estos números no están fácilmente relacionados unos con otros.

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