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π, un número normal ¿o no? - Matemáticas para pensar - 3 MIN

El número π es una de las constantes matemáticas más importantes que existen, peroademás es un número fascinante que goza de una gran popularidad entre el público, tanto elmatemático, como el no matemático. No en vano tiene dos celebraciones internacionales ensu honor, el “Día de pi” (14 de marzo, 3-14 en inglés) y el “Día de aproximación de pi” (22 dejulio, en referencia a la aproximación dada por Arquímedes, 22/7 = 3,1428…). La relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, que es como se define elnúmero π, tiene unos 4.000 años de antigüedad. Sin embargo, hasta el año 1.761 no seconsiguió demostrar, por el matemático francés Johann H. Lambert (1728-1777), que este esun número irracional. Lo cual significa que π no se puede expresar como el cociente entre dosnúmeros enteros, o equivalentemente, si consideramos su expresión decimal, esta tiene infinitos decimales y no es periódica, es decir, no existe un número finito de decimales–conocido como período– que, a partir de un decimal dado, se repita de forma infinita,contrariamente a lo que ocurre con números como 146/825, que es racional y cuya expresióndecimal es 0,17696969…, siendo su período 69. De hecho, la búsqueda de los decimales del número π es una investigación activa hoy en día.Se trata de conocer todos los decimales posibles de π (recordemos que todos es imposible,son infinitos y no hay un patrón finito que se repita). El record de decimales en la actualidad esde … 22.459.157.718.361 dígitos … obtenido por Peter Trueb en 2016. Por otra parte, podemos preguntarnos, entre los decimales del número π, que son infinitos ysin un patrón finito que se repita, cuáles de las diez cifras básicas 0, 1, 2, …, 9 aparece conmás frecuencia, y cuales, con menos, dentro de la expresión decimal del número π, o si por elcontrario todas las cifras aparecen en la misma proporción. Si miramos a los 100 primerosdecimales del número π,

3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679…

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observaremos que las diez cifras básicas, del 0 al 9, aparecen en la siguiente proporción: 8, 8,12, 11, 10, 8, 9, 8, 12, 14. Si las diez cifras básicas aparecieran en la misma proporción,tendrían que aparecer diez veces cada cifra básica en los 100 primeros números, aunque la verdad es que 100 decimales no son muchos, y necesitaríamos ver más decimales. Por tanto,¿qué ocurre para 1.000, 10.000, 100.000, o más, decimales?

Como podemos observar en la tabla anterior, según va aumentando el número de decimales,la proporción de cada una de las diez cifras básicas dentro de los decimales del número π sevan acercando al 10% de los decimales. En el artículo Digit Statistics of the First 22.4 Trillion Decimal Digits of Pi, su autor, Peter Trueb,nos confirma este hecho entre los 22.459.157.718.361 decimales que se han calculado de laconstante geométrica. Más aún, si se toman las 100 secuencias de dos dígitos formadas porlas diez cifras básicas, del 00 al 99, cada una aparece en una proporción que se va acercandocada vez más a 1/100, es decir, un 1%. Y lo mismo ocurre para las 1.000 secuencias de tresdígitos, de 000 a 999, cada una de las cuales aparece en una proporción que se va aproximando a 1/1.000. Todas las secuencias posibles son igualmente probables. Todo esto lo que nos está diciendo es que aparentemente el número π podría ser lo que seconoce como un “número normal” (para la base 10), y que fue introducido por el matemáticofrancés Émile Borel (1871-1956), en 1909. Sin embargo, a día de hoy demostrar la normalidad de π sigue siendo un problema abierto. La supuesta normalidad del número π es lo que nospermite afirmar que dada una secuencia finita de dígitos, como nuestro NIF o número de móvil,llegará un momento entre los decimales de pi en que aparecerá. En internet existen páginaspara buscar “tus” números en pi, por ejemplo, subidiom . La artista donostiarra Esther Ferrer nos acerca a la propiedad de normalidad de π, medianteun contundente argumento visual en el cual asigna un color a cada cifra básica, en suexcelente obra Pi (2009-2010). Inspirado por su trabajo os traigo aquí los 399 (más el 3 inicial)decimales del número π, asignando un color distinto a cada una de las cifras básicas.

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El triángulo cordobés - 12 noviembre, 2019 - Matemáticas para pensar - Por Equipo de edición de Matemáticas de SM - 3 MIN

Por Ana Casado, editora del equipo de Matemáticas de SM.

En el currículo de Secundaria de Andalucía aparece como contenido “el triángulo cordobés”.Pero…, ¿qué es un triángulo cordobés? Un triángulo cordobés es un triángulo isósceles cuyos lados están en proporción cordobesa. El concepto de proporción cordobesa “surge por casualidad, como feliz resultado de unesplendoroso fracaso” como lo explicaba el arquitecto cordobés Rafael de la Hoz Arderiu,s quedescubrió y bautizó así a la proporción numérica 1,3. El arquitecto, amante de las matemáticas, inició un proyecto para certificar la proporciónáurea* como canon de belleza universal. Su hipótesis era que a lo largo de historia se había utilizado de forma consciente o inconsciente dicha proporción. Eligió Córdoba para llevar acabo el estudio por ser una ciudad milenaria donde se habían instalado diversas culturas y porser su ciudad natal. El resultado fue un fracaso y cancelaron el proyecto. Exceptuando algunos casos puntuales de obras diseñadas por arquitectos no cordobeses, no se encontró laansiada proporción áurea.

Al poco tiempo, la Diputación de Córdoba le pidió preparar un test de aptitud para asignarbecas a estudiantes de Arquitectura. Entre las preguntas propuestas, estaba esta:

“Entre los dos rectángulos siguientes, uno notablemente rechoncho y otro acusadamente

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alargado (…) tiene que existir un rectángulo equilibrado, bello, perfecto. Dibújenlo”.

La calificación máxima a esta pregunta se otorgaba al dibujar el rectángulo áureo. El resultadofue sorprendente porque ningún estudiante dibujó el rectángulo áureo, y una mayoríasignificativa sí dibujó un rectángulo menos esbelto que cumplía la siguiente proporción:

A partir de este resultado, se comenzó una investigación repitiendo esta pregunta a personasresidentes o nacidas en Córdoba. La frecuencia de la proporción 1,3 fue igualmente muy alta.¿Por qué la preferencia por la proporción cordobesa y no por la proporción áurea considerada ideal de belleza universal?Al tener este resultado carácter local, se comenzó estudiando las proporciones de la figurahumana en las artes locales cordobesas y se hallaron en el museo arqueológico local, esculturas y mosaicos con figuras humanas proporcionadas según la razón constante 1,3, máspróxima al hombre de carne y hueso que al hombre ideal de Leonardo Da Vinci (Studio o Elhombre de Vitrubio) o de LeCobusier (El Modulor).

Proporción humana y proporción divina.

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Portada de la Mezquita de Córdoba. Se retomó el proyecto de analizar las proporciones de la arquitectura cordobesa y se hallaronmúltiples ejemplos donde se utiliza esta proporción. La portada y las arcadas de la Mezquita, la fachada interior de la Sinagoga, la portada de lacasa de D. Juan Cosme de Paniagua, la iglesia de Santa Marina de las Aguas, la fachada delconvento franciscano de Capuchinos… A lo largo de los siglos, era evidente en Córdoba, la preferencia por esta proporción que elarquitecto Rafael de la Hoz bautizó como proporción cordobesa.El siguiente paso fue establecer el origen geométrico de esta razón. Como la proporción áurease obtiene como la razón entre el radio y el lado de un decágono regular, no fue complicado averiguar que la razón 1,3 correspondía a la proporción entre el radio y el lado de un octógonoregular.

Proporción áurea.

Proporción cordobesa. El octógono era una figura habitual en la arquitectura cordobesa: las cubiertas de la catedral,las bóvedas de la mezquita, los artesonados de Córdoba y Baena, la plaza de Aguilar, laplanta de las torres de la Malmuerta, la fuente del Potro,…

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Inicialmente se pensó que la proporción cordobesa tenía carácter local, pero fueron surgiendoestudios que identificaban esta proporción en distintos lugares y épocas. Algunos ejemplosson: las pirámides de Keops, Kefren y Mikerinos, en Egipto, el Panteón de Agripa y la basílica San Pablo Extramuros, en Roma, el arco del Triunfo y el hotel Mayenne, en París,…

Esas malditas medidas - 12 noviembre, 2019 - Matemáticas para pensar - 2 MIN

Una actividad didáctica muy interesante para el aula es la lectura de un periódico. Permitetrabajar tanto la comprensión lectora, como algunas de las materias de diferentes asignaturas,en particular, de matemáticas. En algunas ocasiones pueden analizarse con el alumnado noticias que contengan errores. Por ejemplo, en la siguiente noticia se cometía un pequeñoerror de medida.

En agosto de 2012 se produjo un incendio en León que apareció recogido en los principales

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medios de comunicación. En la portada de un periódico se pudo leer que “El incendio de Leónse rebaja a nivel 1, pero ocupa un radio de 60 km”, mientras que el titular de la noticia, en el interior, decía “Desastre en la provincia de León con 10.000 hectáreas arrasadas”.

El radio es una medida de longitud, luego es correcto que estuviese en kilómetros y lasuperficie arrasada por el fuego estaba medida en hectáreas, que también era correcto.Luego, ¿cuál era el problema? La cuestión era que, si el incendio tenía un radio de 60kilómetros, podíamos calcular cuál era la superficie del círculo de radio igual a 60 kilómetros yver si se correspondía con la superficie mencionada. Aunque era evidente que la superficiequemada no era exactamente circular, podíamos obtener una aproximación de la misma. Paracalcular el área de la zona circular, solamente teníamos que recordar la fórmula del área deun círculo de radio:

La verdad es que salía una cantidad enorme. No tanto como la provincia de León, con unasuperficie de 15.581 kilómetros cuadrado, pero mayor que toda Navarra, con una superficie de 10.391 km2. Luego, las dos informaciones no eran compatibles, el titular, que hablaba de unradio de 60 km, y la superficie quemada de 10.000 hectáreas, muy lejos de las 1.131.000hectáreas calculadas (aunque la forma de la superficie quemada no fuese circular, distaba mucho de acercarse a una cantidad razonable).

Por otra parte, en el interior de la noticia se podía leer que el perímetro de la zona quemadaera de 60 km. Ahí estaba el error. De hecho, veamos que este dato sí cuadraba con lasuperficie quemada. Así, la fórmula del perímetro de una circunferencia (aunque el áreaquemada no era circular y la extensión era menor) es

y como el perímetro era de 60 km, entonces el radio era

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(lejos de los 60 km que ponía en el titular). Y ahora utilizando la fórmula de la superficie delcírculo:

Esas 28.600 ha. era la superficie máxima que podía estar quemada con ese perímetro de 60km, que es lo que corresponde a la circunferencia, y como vemos la superficie quemada reales bastante menos, pero algo comprensible, 10.000 ha.

En busca de simetría - 4 junio, 2019 - Matemáticas para pensar - 2 MIN

Un palíndromo es una palabra, una expresión o un número que se lee igual de izquierda aderecha, que de derecha a izquierda. En el caso de los números se utiliza también laexpresión “números capicúas”. Contrariamente a lo que ocurre con las palabras o expresiones,es fácil obtener números palíndromos, de hecho, existen infinitos. Basta con tomar un númerofinito de cifras y repetirlas en sentido inverso, repitiendo, o no, el término del medio: 232,3.773, 57.675, etcétera.

Tomemos un número cualquiera de dos dígitos, por ejemplo, el 23, que claramente no es iguala su simétrico, el número, 32, luego no es capicúa. ¿Qué ocurrirá si sumamos ambos, elnúmero inicial y su simétrico? Veámoslo, 23 + 32 = 55. Obtenemos un número capicúa. ¿Ocurrirá esto con más números? Consideremos otro número, por ejemplo, el 57 y sumémosle

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su simétrico, 57 + 75 = 132, que, sin embargo, no es capicúa. Pero, probemos a realizar elmismo proceso de sumarle su simétrico al resultado anterior: 132 + 231 = 666, que resulta síser capicúa. Sigamos probando. El número 68, le sumamos su simétrico, 68 + 86 = 154,continuamos el proceso, 154 + 451 = 605, y un paso más, 605 + 506 = 1111, hasta que, denuevo, obtenemos un número capicúa. Aunque esta vez hemos necesitado 3 pasos, oiteraciones. Podemos plantearnos, por lo tanto, el siguiente problema:

¿Si tomamos cualquier número natural y le sometemos al proceso iterativo de “sumar elsimétrico del número”, se alcanzará siempre un número capicúa, es decir, tras un un númerofinito de pasos se obtendrá un palíndromo?

Empecemos viendo qué ocurre con los números de dos dígitos:

Para estos la respuesta es afirmativa, aunque para el 89, y su simétrico 98, se han necesitado24 iteraciones para llegar al palíndromo. ¿Seguirá siendo cierta esta propiedad para númerosmás grandes de tres o más dígitos? Lo cierto es que, a día de hoy, no se sabe la respuesta aesta pregunta. Este sigue siendo un problema matemático abierto. De hecho, el número 196,que no es muy grande, se desconoce si genera, mediante este proceso, un número capicúa.

La sucesión de los resultados de las 20 primeras iteraciones del número 196 es: 196, 887,1.675, 7.436, 13.783, 52.514, 94.039, 187.088, 1.067.869, 10.755.470, 18.211.171,35.322.452, 60.744.805, 111.589.511, 227.574.622, 454.050.344, 897.100.798,1.794.102.596, 8.746.117.567, 16.403.234.045 y 70.446.464.506, que claramente no sonpalíndromos.

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En la década de los años 80 se utilizaron los ordenadores para generar esta sucesión denúmeros y averiguar si termina, o no, en un número capicúa. En 2011, Romain Dolbeau, consu programa “p196_mpi”, consiguió realizar un billón de iteraciones, con las cuales alcanzó un número de más de 400 millones de dígitos, sin conseguir el deseado capicúa. Y en 2015alcanzó un número con un billón de dígitos, aún sin conseguir el objetivo de llegar a unpalíndromo.De hecho, el 196 no es el único número del que se desconoce si termina, con el proceso de “sumar el simétrico”, en un palíndromo. A la sucesión de números sospechosos de no generarun número capicúa se la conoce como sucesión de números Lychrel y es la sucesiónA023108 en laEnciclopedia on-line de sucesiones de números enteros, de N. J. A. Sloane. Los primeros términos de esta sucesiónson: 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1.495, 1.497, 1.585, 1.587,1.675, 1.677, 1.765, 1.767, 1.855, 1.857, 1.945, 1.947, 1.997, …

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