18ο χλμ Θεσσαλονίκης - ΠεραίαςT.Θ. 4171 • Περαία Θεσσαλονίκης • T.K. 570 19Tηλ.: 2392.072.222 - Fax: 2392.072.229 • e-mail: info@ziti.gr

Π. ZHTH & Σια OEEκτύπωσηΒιβλιοδεσία

www.ziti.gr

BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ:Aρμενοπούλου 27 - 546 35 Θεσσαλονίκη • Tηλ.: 2310-203.720 • Fax 2310-211.305e-mail: sales@ziti.gr

BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN:Χαριλάου Τρικούπη 22 - Τ.Κ. 106 79, Aθήνα • Tηλ.-Fax: 210-3816.650e-mail: athina@ziti.gr

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: www.ziti.gr

Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύε-ται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδή-ποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου.

ISBN 978-960-456-467-5

© Copyright: Μιχ. Γ. Μαριάς, Εκδόσεις Ζήτη, Φεβρουάριος 2017

ΠεριεχόμεναΠρόλογος vii1 Εισαγωγή 11.0.1 Προσέγγιση του μήκους της περιφερείας του κύ-

κλου και του εμβαδού του δίσκου . . . . . . . . . . 2

1.0.2 Προσέγγιση του π από τον Αρχιμήδη . . . . . . . . 3

1.0.3 Τετραγωνισμός της παραβολής από τον Αρχιμήδη . 4

1.1 Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών αυτών προβλημάτων 6

1.1.1 Υπολογισμός εμβαδών . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Μήκος καμπύλης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Το ολοκλήρωμα Riemann 112.1 Ορισμός του ολοκληρώματος . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Διαμερίσεις και αθροίσματα Darboux . . . . . . . . 11

2.1.2 Ορισμός του ολοκληρώματος με αθροίσματα Rie-mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Το Θεώρημα του Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Το Θεώρημα του Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Ιδιότητες του Ολοκληρώματος . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1 Ολοκληρώση επί φραγμένων συνόλων . . . . . . . 36

i

ii ΠΕΡΙΕΧ�ΟΜΕΝΑ3 Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού 393.0.2 Το αόριστο ολοκλήρωμα . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1 Τεχνικές ολοκλήρωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.1 Αλλαγή μεταβλητής . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες . . . . . . . . . . . 453.1.3 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων . . . . . . . . . 493.1.4 Ολοκληρώματα που ανάγονται σε ολοκληρώματα

ρητών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 Το Γενικευμένο Ολοκλήρωμα 734.1 Ορισμός και ιδιότητες του γενικευμένου ολοκληρώματος . 734.2 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.3 Εφαρμογές του ολοκληρώματος . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3.1 Οι ανισότητες Holder και Minkowski . . . . . . . . 844.3.2 Η συνάρτηση Γ του Euler . . . . . . . . . . . . . . 894.3.3 Ο τύπος του Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3.4 Ορισμός του Λογαρίθμου με την βοήθεια του ολο-

κληρώματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3.5 Μήκος καμπύλης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3.6 ΄Ογκος στερεού εκ περιστροφής . . . . . . . . . . . 1004.3.7 Εμβαδόν επιφανείας εκ περιστροφής . . . . . . . . 102

4.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075 Τύπος του Taylor και πεπερασμένα αναπτύγματα 1095.1 Τύπος του Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Εφαρμογές του τύπου του Taylor . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.1 Πεπερασμένα Αναπτύγματα . . . . . . . . . . . . . 1135.2.2 Ιδιότητες των πεπερασμένων αναπτυγμάτων . . . . 1145.2.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186 Δυναμοσειρές, Σειρές Taylor 121

6.1 Σύντομη επανάληψη για τις σειρές . . . . . . . . . . . . . 1226.1.1 Σύγκριση σειράς με ολοκλήρωμα . . . . . . . . . . 124

ΠΕΡΙΕΧ�ΟΜΕΝΑ iii

6.1.2 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2 Δυναμοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6.2.1 Ακτίνα σύγκλισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2.2 Σειρές Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.2.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397 Σειρές συναρτήσεων 141

7.1 Απλή και Ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτήσεων . . . . . . . 1417.1.1 Ο χώρος C [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1457.1.2 Πυρήνας Poisson του άνω ημίχωρου . . . . . . . . 147

7.2 Ομοιόμορφη σύγκλιση σειρών συναρτήσεων . . . . . . . . 1507.2.1 Μια άλλη συνθήκη ολοκλήρωσης όρο προς όρο. . . 1557.2.2 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588 Σειρές Fourier 161

8.1 Τριγωνομετρικές Σειρές, Συντελεστές Fourier . . . . . . . 1618.2 Σύγκλιση των σειρών Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8.2.1 Ο πυρήνας Poisson του δίσκου . . . . . . . . . . . 1658.2.2 Το πρόβλημα του Cantor . . . . . . . . . . . . . . 171

8.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

΄Οπως τα πεύκα κρατούνε την μορφή του αγέρα,ενώ ο αγέρας έφυγε, δεν είναι εκεί,

το ίδιο και τα λόγια,φυλάγουν την μορφή του ανθρώπου...

Γ. Σεφέρης

Πρόλογος

Στην Αφροδίτη Κ. και την Μαρία Π.,ευγνωμονών

Το ανά χείρας εγχειρίδιο είναι η τακτοποίηση των πρόχειρων σημειώσε-ών μου για το μάθημα του “Λογισμού ΙΙ”, που διδάσκω στο Τμήμα Μα-θηματικών του ΑΠΘ.Οι πρόχειρες σημειώσεις αντιστοιχούν πάντα στην άποψη του συγγρα-

φέα για το μάθημα που διδάσκει, δηλαδή για τα αντικείμενα, τα θεωρήματακαι τις τεχνικές που αποτελούν τον κορμό του μαθήματος, καθώς και τηνπαρουσίασή τους, ώστε να “περάσουν” καλύτερα στο κοινό των διδασκο-μένων. Σε μια δεύτερη φάση και μετά την πρώτη παρουσίασή τους στηντάξη, διορθώνονται παραλείψεις και λάθη, προστίθενται ή αφαιρούνται πα-ράγραφοι, παραδείγματα και ασκήσεις, ώστε το σώμα να γίνει πληρέστεροκαι πιο συμπαγές, ενώ αποτυπώνεται και η εμπειρία της πρώτης επαφήςμε το κοινό.Αυτές είναι, κατά τη γνώμη μου, οι γενικές αρχές. Κι επειδή το τέλειο

εγχειρίδιο, για όλα τα μήκη και πλάτη, για όλα τα ακροατήρια και για όλεςτις εποχές δεν έχει, ευτυχώς ακόμα, γραφεί (αλλοιώς εμείς οι πανεπι-στημιακοί δάσκαλοι θα υποβιβαζόμασταν σε μεταφραστές, αντιγραφείς ήακόμα σε χειριστές βίντεο-προζέκτορα), όταν “κτίζουμε” ένα νέο μάθημαπρέπει πρώτα να διαμορφώσουμε την άποψή μας γι αυτό. Αν τύχει καιτο διδάσκουμε πολλά χρόνια από τότε που το διδαχθήκαμε εμείς και ηανάμνηση της διδαχής αυτής, αν ήταν καλή, έχει ξεθωριάσει, ή αν δεν

vii

viii 0. Πρόλογος

το διδαχθήκαμε ποτέ, τότε η άποψή μας διαμορφώνεται από διαβάσματασε συνδυασμό με την γνώμη που έχουμε αποκομίσει με την τριβή μας μετα αντικείμενα, τα θεωρήματα και τα εργαλεία του μαθήματος, από τηνδραστηριότητά μας ως ερευνητές ή διδάσκοντες.

΄Ετσι, σημαντικό ρόλο στην διαμόρφωση της άποψής μας παίζει η ε-πιλογή των εγχειριδίων που θα στηριχθούμε, αφού όπως λέει ο ποιητής“τα λόγια μας είναι παιδιά πολλών ανθρώπων”. Για το παρόν εγχειρίδιοαποφάσισα να στηριχθώ στον κραταιό και λακωνικό J. Dixmier [7], πουδιάβασα ως πρωτοετής, τον κλασικό αλλά φλύαρο M. Spivac [13], πουπαραμένει σταθερή αναφορά για το μάθημα Calculus σε πολλά καλά Πα-νεπιστήμια του κόσμου, το χειρόγραφο-βιβλίο του Στ. Πηχωρίδη με ταωραία γράμματα της Γ. Κυρέζη, [12], ενώ για την συλλογή των ασκήσεωνπροτίμησα τους Γάλλους, που είναι “ασκησιολόγοι” [4], όπως συνήθιζε ναλέει ο αείμνηστος Ν. Δανίκας, καθώς και το βιβλίο του Σ. Ντούγια, [11].Για την επαφή με τα ελληνικά ακροατήρια τους συναδέλφους Κ. Δασκα-λογιάννη [3] και Α. Γιαννόπουλο [2]. Για τον ορισμό του ολοκληρώματοςRiemann στηρίχθηκα στα “Μαθήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού πολλώνμεταβλητών” [10], που συνέγραψα με τον αγαπητό Ν. Μαντούβαλο πριναπό χρόνια. Για τη συλλογή των ασκήσεων βοήθησε ο Α. Φωτιάδης, οοποίος επίσης, διάβασε με προσοχή τα δοκίμια.Τον ευχαριστώ θερμά. Η“Εισαγωγή” των “Μαθημάτων” στηρίζεται σε δύο κείμενα του κλασικούιστορικού βιβλίου “Pour l’honneur de l’esprit humain” του γίγαντα J.Dieudonne, που μεταφράζω στον ελεύθερο χρόνο μου. Για γρήγορη βο-ήθεια, πολλές φορές χρησιμοποίησα την Wikipedia. Τέλος, ευχαριστώτον Π. Καϊμάκη, που για πολλοστή φορά “χτένισε” τα ελληνικά μου.

΄Οπως έλεγα παλαιότερα στα “Μαθήματα” των Λογισμών πολλών μετα-βλητών που συνέγραψα με τους Ν. Μαντούβαλο και Ν. Δανίκα, [9], [10],“προσπαθήσαμε να κρατήσουμε την ισορροπία ανάμεσα στην Ανάλυση καιτον Λογισμό. Ο φοιτητής πρέπει να καταλάβει τις έννοιες και τα θεωρή-ματα, αλλά και να μάθει να λογαριάζει. Η έλλειψη του ενός εκ των δύοοδηγεί σε επικίνδυνες ατραπούς. ΄Ετσι, όλα τα βαρειά θεωρήματα δίνονταιμε πλήρεις αποδείξεις. Η επεξεργασία των αποδείξεων, ώστε να παρου-σιαστούν όσο το δυνατόν πιο καθαρές και εύληπτες, ήταν και χρονοβόρα

ix

και κουραστική. Ελπίζουμε να τα καταφέραμε. Αλλά αυτό θα μας το πουνοι φοιτητές μας. Τα θεωρήματα και οι ορισμοί συνοδεύονται από πληθώ-ρα επιλεγμένων παραδειγμάτων, ώστε να εμπεδωθεί και να εφαρμοστεί ηθεωρία, και να μάθει ο φοιτητής να λογαριάζει”.Τέλος, ελπίζω τα “Μαθήματα” να βοηθήσουν τους φοιτητές να κατανο-

ήσουν τον πολύ σημαντικό Ολοκληρωτικό Λογισμό, που μαζί με τον Δια-φορικό, παιδιά του Νεύτωνα και του Leibnitz, έδρεψαν δάφνες με τιςεφαρμογές τους τον 17ο και 18ο αιώνα και έγιναν πρωτοπόροι στην γε-νική άνθιση των Μαθηματικών και την μετέπειτα ένδοξη πορεία τους,που συνεχίζεται μέχρι και σήμερα. Ελπίζω επίσης, τα “Μαθήματα” μετις συγκλίσεις και περισσότερο με τις αποκλίσεις τους από τα αντίστοιχαδιδακτικά κείμενα, να προσθέσουν κάτι στην ελληνική βιβλιογραφία.Θα τελειώσω με τα λόγια του Αποστόλου Παύλου, που έγιναν πια το

moto των διαδακτικών εγχειριδίων μου και που είναι πάντα επίκαιρα:

Και γαρ εάν άδηλον φωνήν σάλπιγξ δώ, τίς παρασκευάσεται εις πόλε-μον; Ούτω και υμείς δια της γλώσσης εάν μη εύσημον λόγον δώτε, πώςγνωσθήσεται το λαλούμενον; έσεσθε γαρ εις αέρα λαλούντες. 1

Πρός Κορινθίους Α, XIV, 8-9.

Θεσσαλονίκη, Ιανουάριος 2017.

1Σε ελεύθερη απόδοση το νόημα είναι το ακόλουθο: Αν η σάλπιγγα ηχήσει ήχοχωρίς νόημα, ποιός θα προετοιμαστεί για πόλεμο; ΄Ετσι κι εσείς, εάν ο λόγος σας δενείναι κατανοητός, πώς θέλετε να σας καταλάβουν; Θα μιλάτε στον αέρα.

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

Ας ξεκινήσουμε μ’ ένα παλιό πρόβλημα. ΄Εστω γ : [0, 1] −→ R2 μιασυνεχής απλή και κλειστή καμπύλη γ όπως στο Σχήμα 1. Ποιό άραγεείναι το μήκος της και ποιό το εμβαδόν που περικλείει;

Σχήμα 1.

Ας θυμηθούμε δύο από τις μεγάλες επιδόσεις της εποποιίας των αρ-χαίων ελληνικών Μαθηματικών: την προσέγγιση του π και άρα την προ-σέγγιση του μήκους της περιφερείας του κύκλου και του εμβαδού τουδί-σκου. Εδώ, ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησαν τη μέθοδοτης εξάντλησης του Ευδόξου.

1

x0

γ

y

2 1. Εισαγωγή

1.0.1 Προσέγγιση του μήκους της περιφερείαςτου κύκλου και του εμβαδού του δίσκου

΄Εστω S (0, r) ο κύκλος με κέντρο το 0 και ακτίνα r. ΄Οπως ο Ευκλείδης,[8, Βιβλίο XII, 2], θεωρούμε τα εγγεγραμμένα πολύγωνα όπως στο Σχήμα2.

Σχήμα 2. Περιγεγραμμένα και εγγεγραμμένα πολύγωνα.

Ξεκινούμε με το εγγεγραμμένο τετράγωνο P1 και κατασκευάζουμε τοεγγεγραμμένο οκτάγωνο P2, ενώνοντας τα μέσα των χορδών με τις κο-ρυφές του τετραγώνου.Συνεχίζουμε μ’ αυτό τον τρόπο και κατασκεάζουμε μια ακολουθία εγ-γεγραμμένων πολυγώνων P1, P2 ,. . . , Pn, . . . , με 22, 23, . . . , 2n+1,. . .πλευρές. Συνεχίζουμε με το περιγεγραμμένο τετράγωνοQ1 και κατασκευ-άζουμε το οκτάγωνο Q2, φέροντας τις εφαπτομένες από τα μέσα τωνχορδών. Συνεχίζουμε μ’ αυτό τον τρόπο και κατασκεάζουμε μια ακολου-θία περιγεγραμμένων πολυγώνων Q1, Q2, . . . , Qn, . . . , με 22, 23, . . . ,2n+1,. . . πλευρές.Ας είναι

pn = |Pn| = εμβ (Pn) και qn = |Qn| = εμβ (Qn) .

Με Τριγωνομετρία, ο Ευκλείδης δείχνει ότι

qn+1 − pn+1 ≤1

2(qn − pn) . (1.1)

r

0 0

Q1

Q2

P2

P1

h

3

΄Εχουμε λοιπόν τα εγκιβωτισμένα διαστήματα

[p1, q1] ⊃ [p2, q2] ⊃ · · · [pn, qn] ⊃ · · ·

και το μοναδικό σημείο της τομής

⋂

n≥1

[pn, qn] = {s0 (r)} ,

είναι το εμβαδόν του δίσκου D (0, r) με κέντρο το 0 και ακτίνα r

|D (0, r)| = s0 (r) . (1.2)

΄Ετσι, με την μέθοδο της εξάντλησης του Ευδόξου, ο Ευκλείδης προ-σέγγισε το εμβαδόν του δίσκου D (0, r) όσο καλά θέλουμε.΄Ομως, ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι το εμβαδόν του δίσκου είναι ίσον με το

έμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές την ακτίνα r και τηνπεριφέρεια 2πr:

|D (0, r)| = 12r (2πr) = πr2. (1.3)

΄Ετσι, για να υπολογίσουμε επακριβώς το εμβαδόν του δίσκου, αρκεί ναυπολογίσουμε το π, δηλαδή την αναλογία περιφέρειας και διαμέτρου.

1.0.2 Προσέγγιση του π από τον Αρχιμήδη

Ξαναγυρίζουμε στα εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα Pn καιQn της προηγούμενης παραγράφου. Για r = 1, θέτουμε

ln = μήκος (Pn) και Ln = μήκος (Qn) .

Προφανώςln ≤ 2π ≤ Ln.

Ο μέγας Αρχιμήδης λοιπόν υπολογίζει τα μήκη l96 και L96 και βίσκει τηνκαταπληκτική προσέγγιση του π

3 +10

71≤ π ≤ 3 +

1

7,

4 1. Εισαγωγή

ή3, 1408 < π < 3, 1429.

Από τότε ακολούθησαν πολλοί άλλοι: ο Πτολεμαίος, ο Απολλώνιος, Αρα-βες, Κινέζοι, μέχρι που η προσέγγιση του π κατάντησε ένα είδος εμμονής.Σήμερα, γνωρίζουμε μερικά εκατομύρια δεκαδικών ψηφίων του π. Μάλι-στα, ένας “σφυριγμένος” ξέρει απ’ έξω τα πρώτα δέκα χιλιάδες!

1.0.3 Τετραγωνισμός της παραβολής από τονΑρχιμήδηΠρόβλημα: Να βρεθεί το εμβαδόν του τμήματος της παραβολής του

Σχήματος 3, [1].

Σχήμα 3.

Ο Αρχιμήδης θεωρεί το μεγάλο τρίγωνο T0 του σχήματος, η τρίτηκορυφή του οποίου είναι το σημείο επαφής της παραβολής με την ευθείαπου είναι παράλληλη προς την βάση, και αποδεικνύει ότι

εµβ (παραβ) =4

3|T0| .

Η απόδειξη χρησιμοποιεί την μέθοδο της εξάντλησης και πάει ως εξής:Στα υπόλοιπα τμήματα της παραβολής, θεωρεί τα μικρότερα τρίγωνα T1

και T2 και συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο επ’ άπειρον.

T2

T1T0

5

Αποδεικνύει ότι

|T1| = |T2| =1

8|T0| =

1

23|T0| . (1.4)

΄Εχουμε λοιπόν

εµβ (παραβ) = |T0|+ |T1|+ |T2|+ |T3|+ |T4|+ · · ·(1.4)= |T0|+

2

8|T0|+

4

82|T0|+ · · ·

(1.4)= |T0| 1 +

(

1

2

)2

+

(

1

4

)2

+

(

1

8

)2

+ · · · (1.5)

= |T0|(

1 +1

22+

(

1

22

)2

+

(

1

22

)3

+ · · ·)

.

Σήμερα, όλοι ξέρουμε να αθροίζουμε την γεωμετρική σειρά

1

22+

(

1

22

)2

+ · · ·+(

1

22

)n

+ · · · =122

1− 122

=1

4× 4

3=

1

3.

Αρα

εµβ (παραβ) = |T0|(

1 +1

3

)

=4

3|T0| .

΄Ομως ο Αρχιμήδης δεν ήξερε από σειρές, και για να υπολογίσει τη σειρά

1

22+

(

1

22

)2

+ · · ·+(

1

22

)n

+ · · ·

χρησιμοποιεί την εξής ιδιοφυή ιδέα: Κόβει το τετράγωνο 1 × 1 σε 4τετράγωνα όπως στο Σχήμα 4, και αθροίζει τα εμβαδά των διαγωνίωντετραγώνων που είναι ίσα με

(

1

2

)2

+

(

1

4

)2

+

(

1

8

)2

+ · · ·+(

1

2n

)2

+ · · ·

6 1. Εισαγωγή

Σχήμα 4.

΄Ομως τα εμβαδά αυτά αποτελούν το 13του τετραγώνου 1 × 1, αφού

κάθε διαγώνιο τετράγωνο μαζί με τα δύο ίσα του τετράγωνα είναι τα 34

του αμέσως μεγαλύτερου τετραγώνου που τα περιέχει.΄Ετσι

εµβ (παραβ) =4

3|T0| ,

και το εμβαδόν του τριγώνου T0 ξέρουμε να το υπολογίζουμε.

1.1 Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών

αυτών προβλημάτων

1.1.1 Υπολογισμός εμβαδών

΄Εστω f : [a, b] −→ R, μια συνεχής συνάρτηση. ΄Ολοι ξέρουμε από τοΛύκειο ότι το ολοκλήρωμα

∫ b

a

f (x) dx,

της f επί του διαστήματος [a, b], παριστάνει το προσημασμένο εμβαδόντης περιοχής που ορίζεται από το γράφημα της f , τον άξονα των x, καιτις κάθετες που περνούν από τα a και b, (δες Σχήμα 5).

1/2

1/4

1/4

1/2

1

1

1/81/8

1.1. Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών αυτών προβλημάτων 7

Σχήμα 5.

Το εμβαδόν πάνω από τον άξονα των x έχει θετικό πρόσημο, ενώ αυτόκάτω του άξονα, έχει αρνητικό πρόσημο.

΄Ομως, το ολοκλήρωμα∫ b

af (x) dx δίνεται από τα αθροίσματα Riemann

∫ b

a

f (x) dx = lim‖∆n‖→0

∑

0≤j≤n−1

f(

x∗j

)

(xj+1 − xj) ,

όπου∆n = {a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b}

είναι μια διαμέριση του [a, b],

‖∆n‖ = max0≤j≤n−1

(xj+1 − xj)

είναι το βήμα της και x∗j τυχαίο σημείο του [xj , xj+1] .

΄Ομως, ο υπολογισμός των αθροισμάτων Riemann δεν είναι καθόλουεύκολος. Από την δυσκολία αυτή μας βγάζει το θεμελιώδες θεώρημα τουΛογισμού:

∫ b

a

f (x) dx = F (b)− F (a) , (1.6)

όπου F είναι μια παράγουσα της f , δηλαδή μια συνάρτηση που ικανοποιεί

F ′ (x) = f (x) , x ∈ [a, b] . (1.7)

x

yf(x)

bα 0

+

+

‒

8 1. Εισαγωγή

΄Ετσι για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα∫ b

af (x) dx, αντί να υπο-

λογίσουμε το όριο των αθροισμάτων Riemann, λύνουμε την διαφορικήεξίσωση (1.7), που γενικά είναι κάτι πιο εύκολο.Μια σημαντική παρατήρηση είναι ότι το θεμελιώδες θεώρημα του Λογι-σμού, δηλαδή οι σχέσεις (1.6) και (1.7), αποτελεί την σύνδεση μεταξύ τηςπαραγώγου και του ολοκληρώματος, δύο εννοιών εκ πρώτης όψεως ξένωνμεταξύ τους.Παράδειγμα 1.1 Το εμδαδόν του δίσκου D (0, r) = {x2 + y2 ≤ r2}.

Ας είναι

D (0, r)

4={

(x, y) : y = f (x) =√r2 − x2, x ∈ [0, r]

}

,

το πρώτο τεταρτημορίου του δίσκου D (0, r). Το εμβαδόν του |D(0,r)|4

δίνεται από το ολοκλήρωμα

|D (0, r)|4

=

∫ r

0

f (x) dx =

∫ r

0

√r2 − x2 dx.

Με την αλλαγή μεταβλητής

x = r sin θ,

έχουμε

|D (0, r)|4

=

∫ r

0

√r2 − x2 dx =

∫ π/2

0

√

r2 − r2 sin2 θ r (cos θ) dθ

= r2∫ π/2

0

cos2 θ dθ = r2∫ π/2

0

1− cos 2θ

2dθ

=πr2

4.

1.1. Σύγχρονη αντιμετώπιση των παλαιών αυτών προβλημάτων 9

1.1.2 Μήκος καμπύλης

΄Εστω γ : [0, 1] −→ R2 μια παραγωγίσιμη επίπεδη καμπύλη. Αν ∆ ={0 = t0 < · · · < tn = 1} είναι μια διαμέριση του [0, 1] με βήμα αρκούν-τος μικρό, τότε η παράγωγος γ′ (t) είναι περίπου σταθερή στο διαστημα[tj , tj+1] της διαμέρισης: για κάθε t ∈ [tj , tj+1],

γ′ (t) ∼ γ′ (t∗j)

, t∗j ∈ [tj , tj+1] .

Σχήμα 6.

Αρα το

μήκος του τόξου [γ (tj) , γ (tj+1)] = ταχύτητα× χρόνος=∥

∥γ′ (t∗j)∥

∥× (tj+1 − tj) ,

και αθροίζοντας έχω το μήκος Lγ της καμπύλης γ:

Lγ = limn→∞

∑

0≤j≤n−1

∥

∥γ′ (t∗j)∥

∥× (tj+1 − tj) =

∫ 1

0

‖γ′ (t)‖ dt,

από τον ορισμό του ολοκληρώματος.Παράδειγμα 1.2 Μήκος του κύκλου S (0, r) = {x2 + y2 = r2}.

γ

γ(ti+1)

γ(ti)

ti ti+1

hi

x

y

0

10 1. Εισαγωγή

Ο κύκλος S (0, r) ορίζεται ως η καμπύλη

γ (t) = (r cos 2πt, r sin 2πt) , t ∈ [0, 1] .

΄Ετσι,

Lγ =

∫ 1

0

‖γ′ (t)‖ dt =

∫ 1

0

√

(2πr)2 sin2 2πt+ (2πr)2 cos2 2πt dt

= 2πr

∫ 1

0

dt = 2πr.

Θα τελειώσουμε με ένα σημαντικόΕρώτημα: Για ποιές φραγμένες συναρτήσεις f : [a, b] −→ R, τααθροίσματα Riemann

R (f,∆) =∑

j≤n

f(

x∗j

)

(xj+1 − xj) , x∗j ∈ [xj , xj+1] ,

συγκλίνουν καθώς το βήμα της∆ τείνει στο 0, δηλαδή η f είναι ολοκληρώ-σιμη.Μια πρώτη μερική απάντηση, θα δοθεί σύντομα: αν η f είναι συνεχής,τότε η f είναι ολοκληρώσιμη. Την τελική απάντηση μας την δίνει τοθεώρημα του Lebesgue που μας λέει πως η f είναι ολοκληρώσιμη, αν καιμόνον εάν οι ασυνέχειες της f είναι μέτρου μηδέν.