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Matemtica

TEXTO DEL ESTUDIANTE

9

Este libro de texto que tienes en tus manos es una herramienta muy importante para que puedas desarrollar los aprendizajes de la mejor manera. Un libro de tex-to no debe ser la nica fuente de investigacin y de descubrimiento, pero siempre es un buen aliado que te permite descubrir por ti mismo la maravilla de aprender.

El Ministerio de Educacin ha realizado un ajuste curricular que busca mejores opor-tunidades de aprendizaje para todos los estudiantes del pas en el marco de un pro-yecto que propicia su desarrollo personal pleno y su integracin en una sociedad guiada por los principios del Buen Vivir, la participacin democrtica y la convivencia armnica.

Para acompaar la puesta en marcha de este proyecto educativo, hemos preparado varios materiales acordes con la edad y los aos de escolaridad. Los nios y nias de primer grado recibirn un texto que integra cuentos y actividades apropiadas para su edad y que ayudarn a desarrollar el currculo integrador diseado para este subnivel de la Educacin General Bsica. En adelante y hasta concluir el Bachillerato General Unificado, los estudiantes recibirn textos que contribuirn al desarrollo de los aprendizajes de las reas de Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Lengua y Litera-tura, Matemtica y Lengua Extranjera-Ingls.

Adems, es importante que sepas que los docentes recibirn guas didcticas que les facilitarn enriquecer los procesos de enseanza y aprendizaje a partir del contenido del texto de los estudiantes, permitiendo desarrollar los procesos de investigacin y de aprendizaje ms all del aula.

Este material debe constituirse en un apoyo a procesos de enseanza y aprendizaje que, para cumplir con su meta, han de ser guiados por los docentes y protagoniza-dos por los estudiantes.

Esperamos que esta aventura del conocimiento sea un buen camino para alcanzar el buen vivir.

Ministerio de Educacin 2016

Ministerio de Educacin del Ecuador, 2016 Av. Amazonas N34-451 y Atahualpa

Quito, Ecuador

www.educacion.gob.ec

La reproduccin parcial o total de esta publicacin, en cualquier forma y por

cualquier medio mecnico o electrnico, est permitida siempre y cuando

sea autorizada por los editores y se cite correctamente la fuente.

ADVERTENCIAUn objetivo manifiesto del Ministerio de Educacin es combatir el sexismo y la discriminacin de gnero en la sociedad ecuatoriana y promover, a travs del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta prctica preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras, tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en lugar de los profesores), etc. Slo en los casos en que tales expresiones no existan, se usar la forma masculina como genrica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta prctica comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Espaola en su Diccionario Panhispnico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en espaol es posible , y (b) es preferible aplicar para as evitar el abultamiento grfico y la consiguiente ilegibilidad que ocurrira en el caso de utilizar expresiones como las y los, os/as y otras frmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.

Impreso en EcuadorPrimera impresin: agosto 2016

SMEcuaediciones, 2016

PRESIDENTE DE LA REPBLICA

Rafael Correa Delgado

MINISTRO DE EDUCACIN

Augusto Espinosa Andrade

Viceministro de Educacin

Subsecretario de Fundamentos Educativos (E)

Miguel ngel Herrera Pavo

Subsecretaria de Administracin Escolar

Mirian Maribel Guerrero Segovia

Directora Nacional de Operaciones y Logstica

Ada Leonora Chamorro Vsquez

Directora Nacional de Currculo (S)

Mara Cristina Espinosa Salas

Viceministra de Gestin Educativa

Daysi Valentina Rivadeneira Zambrano

Freddy Peael Larrea

Direccin de contenidos editoriales EcuadorMara Alexandra Prcel Alarcn

Creacin de contenidosJefferson Humberto Domnguez Estvez

Conceptualizacin del proyecto para el reaLuis Humberto Buitrn Aguas

Diseo y diagramacinDavid Rojas

Correccin de estiloYolanda Castillo

Imagen de la portadaSM Ediciones Ecuador

FotografaArchivo SM Ediciones Ecuador, Archivo SM Ediciones Colombia, Shutterstock

IlustracinRoger Icaza L, Gisela Bohrquez, Mnica Medina

Matemtica 9

PROYECTO LICITACIN MINISTERIO DE EDUCACIN, ECUADOR 2016

Este texto fue revisado por la Universidad Politcnica Salesiana y obtuvo la certicacin curricular del Ministerio de Educacin el 8 de junio de 2016.

Este libro de texto que tienes en tus manos es una herramienta muy importante para que puedas desarrollar los aprendizajes de la mejor manera. Un libro de tex-to no debe ser la nica fuente de investigacin y de descubrimiento, pero siempre es un buen aliado que te permite descubrir por ti mismo la maravilla de aprender.

El Ministerio de Educacin ha realizado un ajuste curricular que busca mejores opor-tunidades de aprendizaje para todos los estudiantes del pas en el marco de un pro-yecto que propicia su desarrollo personal pleno y su integracin en una sociedad guiada por los principios del Buen Vivir, la participacin democrtica y la convivencia armnica.

Para acompaar la puesta en marcha de este proyecto educativo, hemos preparado varios materiales acordes con la edad y los aos de escolaridad. Los nios y nias de primer grado recibirn un texto que integra cuentos y actividades apropiadas para su edad y que ayudarn a desarrollar el currculo integrador diseado para este subnivel de la Educacin General Bsica. En adelante y hasta concluir el Bachillerato General Unificado, los estudiantes recibirn textos que contribuirn al desarrollo de los aprendizajes de las reas de Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Lengua y Litera-tura, Matemtica y Lengua Extranjera-Ingls.

Adems, es importante que sepas que los docentes recibirn guas didcticas que les facilitarn enriquecer los procesos de enseanza y aprendizaje a partir del contenido del texto de los estudiantes, permitiendo desarrollar los procesos de investigacin y de aprendizaje ms all del aula.

Este material debe constituirse en un apoyo a procesos de enseanza y aprendizaje que, para cumplir con su meta, han de ser guiados por los docentes y protagoniza-dos por los estudiantes.

Esperamos que esta aventura del conocimiento sea un buen camino para alcanzar el buen vivir.

Ministerio de Educacin 2016

Ministerio de Educacin del Ecuador, 2016 Av. Amazonas N34-451 y Atahualpa

Quito, Ecuador

www.educacion.gob.ec

La reproduccin parcial o total de esta publicacin, en cualquier forma y por

cualquier medio mecnico o electrnico, est permitida siempre y cuando

sea autorizada por los editores y se cite correctamente la fuente.

ADVERTENCIAUn objetivo manifiesto del Ministerio de Educacin es combatir el sexismo y la discriminacin de gnero en la sociedad ecuatoriana y promover, a travs del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta prctica preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras, tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en lugar de los profesores), etc. Slo en los casos en que tales expresiones no existan, se usar la forma masculina como genrica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta prctica comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Espaola en su Diccionario Panhispnico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en espaol es posible , y (b) es preferible aplicar para as evitar el abultamiento grfico y la consiguiente ilegibilidad que ocurrira en el caso de utilizar expresiones como las y los, os/as y otras frmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.

Impreso en EcuadorPrimera impresin: agosto 2016

SMEcuaediciones, 2016

PRESIDENTE DE LA REPBLICA

Rafael Correa Delgado

MINISTRO DE EDUCACIN

Augusto Espinosa Andrade

Viceministro de Educacin

Subsecretario de Fundamentos Educativos (E)

Miguel ngel Herrera Pavo

Subsecretaria de Administracin Escolar

Mirian Maribel Guerrero Segovia

Directora Nacional de Operaciones y Logstica

Ada Leonora Chamorro Vsquez

Directora Nacional de Currculo (S)

Mara Cristina Espinosa Salas

Viceministra de Gestin Educativa

Daysi Valentina Rivadeneira Zambrano

Freddy Peael Larrea

Direccin de contenidos editoriales EcuadorMara Alexandra Prcel Alarcn

Creacin de contenidosJefferson Humberto Domnguez Estvez

Conceptualizacin del proyecto para el reaLuis Humberto Buitrn Aguas

Diseo y diagramacinDavid Rojas

Correccin de estiloYolanda Castillo

Imagen de la portadaSM Ediciones Ecuador

FotografaArchivo SM Ediciones Ecuador, Archivo SM Ediciones Colombia, Shutterstock

IlustracinRoger Icaza L, Gisela Bohrquez, Mnica Medina

Matemtica 9

PROYECTO LICITACIN MINISTERIO DE EDUCACIN, ECUADOR 2016

Este texto fue revisado por la Universidad Politcnica Salesiana y obtuvo la certicacin curricular del Ministerio de Educacin el 8 de junio de 2016.

Conoce tu libroMatemtica 9Libro detexto El libro consta de seis unidades temticas. Cada unidad desarrolla contenidos asociados

a los bloques curriculares propuestos en el currculo nacional: lgebra y funciones, geometra y medida y estadistica y probabilidad. Cada unidad consta de:

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Bloq

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lgeb

ra y

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APP

LIC

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ICIO

NES

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5 Funciones

Ten en cuenta

ExploraEl costo de un par de zapatillas deportivas es $ 114. El patrocinador decide donar un par de zapatillas a cada uno de los atletas de un equipo de atletismo.

Cul es el costo de la donacin?

A la expresin f(x) se le conoce como imagen de x mediante la funcin f.

FuncionesAbre la aplicacin Scientific Plot Calculator y utilzala para representar funciones lineales y cuadrticas, identificar sus variaciones, mximos y mnimos y dems caractersticas.

Las variables que se relacionan son nmero de pares de zapatillas deportivas y costo. Para saber cul es el costo de la donacin, se debe establecer una frmula que relacione la cantidad de pares de zapatillas con su costo. Para ello, se cons-truye la Tabla 1 que permite ver la variacin entre las magnitudes relacionadas.

Pares de zapatillas 1 2 3 ... 7

Costo ($) 114 228 342 ... 798

x2 x3 x7Por x pares de zapatillas se pagan $ 114x. Para conocer el costo de la donacin, se reemplaza x por el nmero de atletas, pues a cada uno le corresponde un par de zapatillas. As, se tiene la expresin y 5 114 x. Cada valor de la primera fila de la tabla est relacionado con uno de la segunda fila. A esta relacin se le llama funcin.

Una relacin entre dos conjuntos X e Y se llama funcin si cada elemento x del primer conjunto, llamado conjunto de partida, se relaciona como mxi-mo con un elemento y del segundo conjunto, llamado conjunto de llegada.

Para denotar una funcin se utilizan las letras del alfabeto f, g y h. Adems, se puede utilizar la notacin de conjuntos f: X Y, que se lee f de X en Y, o la notacin de igualdad y 5 f(x), que se lee "y igual a f de x.

Ejemplo 1

Si el equipo de atletismo est conformado por 14 atletas, para conocer el costo de la donacin se reemplaza x por 14 en la expresin y 5 f(x) 5 114x. Por lo tanto, la donacin sera de $ 114(14) 5 $ 1 596.

5.1 Dominio y rango de una funcinEl dominio de una funcin f de X en Y, denotado Df o D(f), corresponde al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x.

El rango o recorrido de una funcin f de X en Y, denotado Rf o R(f), es el conjunto formado por las imgenes de los elementos del dominio.

El rango de la funcin es el conjunto de nmeros reales positivos, R(f) 5 [0, ).Las funciones se pueden representar mediante un enunciado o expresin verbal de la dependencia entre las dos variables, una tabla, una expresin algebraica o frmula y una grfica.

Ejemplo 2

La expresin verbal que relaciona una variable y con el doble de un nmero x ms uno se puede representar mediante la frmula y 5 2x 1 1.

De la misma forma, esta funcin se puede representar mediante la Tabla 2.

x 1 2 3 5 10 35

y 5 2x 1 1 3 5 7 11 21 71

Cada valor de la segunda fila se obtiene reemplazando los valores respectivos de x en la frmula y 5 2x 1 1. Esto es:

2(1) 1 1 5 3 2(2) 1 1 5 5 2(3) 1 1 5 7 2(5) 1 1 5 11

Tabla 2

Tabla 1

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Bloque de lgebra y funciones

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1-1-2-3 2 3

2

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X-1

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Y

X

5.2 Representacin grfica de una funcinPara representar una funcin grficamente, luego de trazar los ejes X e Y del plano cartesiano, se ubican las parejas ordenadas de la forma (x, y) obtenidas al dar valores a la variable x y calcular su respectiva imagen y.

Ejemplo 3

En la funcin que est determinada por la expresin y 5 3 1 5x2, la variable independiente puede tomar cualquier valor real.

Sin embargo, para su estudio se toman algunos valores y despus se determinan las parejas ordenadas descritas en la Tabla 3.

x y 5 3 1 5x2 (x,y)23 48 (23, 48)22 23 (22, 23)21 8 (21, 8)0 3 (0, 3) 1 8 (1, 8)2 23 (2, 23)3 48 (3, 48)

Por ltimo, se ubican las parejas de puntos (x, y) en el plano cartesiano y se traza la curva que los une, pues el dominio es el conjunto de nmeros reales. As, se obtiene la Figura 1, donde se observa que el rango de la funcin est definido por el subconjunto de nmeros reales mayores o iguales que 3, es decir R(f) 5 [3, ).Para reconocer si una grfica representa una funcin se traza una recta vertical (paralela al eje Y). Si esta recta interseca como mximo en un punto a la grfica, entonces representa una funcin.

Actividad resuelta

Ejercitacin

1 Indica si las siguientes grficas representan o no una funcin.

a. b.

Solucin:

a. b.

La recta vertical solo interseca a la grfica en un punto. Es una funcin.

La recta vertical interseca a la grfica en dos puntos. No es una funcin.

Tabla 3

Figura 2

Figura 4

Figura 3

Figura 1

Figura 5

3-1-2-3 1 2

10

20

40

50

30

Y

X

(3,48)(-3,48)

(2,23)(-2,23)

(1,8)(-1,8) (0,3)

www.e-sm.net/8smt09

Encuentra otros datos y ejemplos rela-cionados con las funciones.

TECNOLOGASde la comunicacin

Destrezas con criterios de desempeo: Definir y reconocer funciones de manera algebraica y de manera grfica con diagramas de Venn determinando su dominio y recorrido en Z.

Ten en cuenta

Tambin se representan funciones con diagramas de Veen.

Des

arro

llo

del c

onte

nido

Des

arro

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del c

onte

nido

Ten en cuentaTexto que activa los conocimientos previos o refuerza las explicaciones facilitando el aprendizaje.

ExploraMomento inicial que se sita en un contexto relacionado con el tema.

Contenido

AppInvita a descargar una app desde la Play Store de un dispositivo mvil para profundizar sobre los temas vistos.

Los temas siguen una ruta didctica clara y secuencial que empieza con un texto (Explora) para captar tu atencin e inters. Contina con el desarrollo del tema, apoyado por ejemplos y actividades resueltas. Al finalizar cada tema podrs encontrar variados ejercicios en Desarrolla tus destrezas.

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5 Funciones

Ten en cuenta

ExploraEl costo de un par de zapatillas deportivas es $ 114. El patrocinador decide donar un par de zapatillas a cada uno de los atletas de un equipo de atletismo.

Cul es el costo de la donacin?

A la expresin f(x) se le conoce como imagen de x mediante la funcin f.

FuncionesAbre la aplicacin Scientific Plot Calculator y utilzala para representar funciones lineales y cuadrticas, identificar sus variaciones, mximos y mnimos y dems caractersticas.

Las variables que se relacionan son nmero de pares de zapatillas deportivas y costo. Para saber cul es el costo de la donacin, se debe establecer una frmula que relacione la cantidad de pares de zapatillas con su costo. Para ello, se cons-truye la Tabla 1 que permite ver la variacin entre las magnitudes relacionadas.

Pares de zapatillas 1 2 3 ... 7

Costo ($) 114 228 342 ... 798

x2 x3 x7Por x pares de zapatillas se pagan $ 114x. Para conocer el costo de la donacin, se reemplaza x por el nmero de atletas, pues a cada uno le corresponde un par de zapatillas. As, se tiene la expresin y 5 114 x. Cada valor de la primera fila de la tabla est relacionado con uno de la segunda fila. A esta relacin se le llama funcin.

Una relacin entre dos conjuntos X e Y se llama funcin si cada elemento x del primer conjunto, llamado conjunto de partida, se relaciona como mxi-mo con un elemento y del segundo conjunto, llamado conjunto de llegada.

Para denotar una funcin se utilizan las letras del alfabeto f, g y h. Adems, se puede utilizar la notacin de conjuntos f: X Y, que se lee f de X en Y, o la notacin de igualdad y 5 f(x), que se lee "y igual a f de x.

Ejemplo 1

Si el equipo de atletismo est conformado por 14 atletas, para conocer el costo de la donacin se reemplaza x por 14 en la expresin y 5 f(x) 5 114x. Por lo tanto, la donacin sera de $ 114(14) 5 $ 1 596.

5.1 Dominio y rango de una funcinEl dominio de una funcin f de X en Y, denotado Df o D(f), corresponde al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x.

El rango o recorrido de una funcin f de X en Y, denotado Rf o R(f), es el conjunto formado por las imgenes de los elementos del dominio.

El rango de la funcin es el conjunto de nmeros reales positivos, R(f) 5 [0, ).Las funciones se pueden representar mediante un enunciado o expresin verbal de la dependencia entre las dos variables, una tabla, una expresin algebraica o frmula y una grfica.

Ejemplo 2

La expresin verbal que relaciona una variable y con el doble de un nmero x ms uno se puede representar mediante la frmula y 5 2x 1 1.

De la misma forma, esta funcin se puede representar mediante la Tabla 2.

x 1 2 3 5 10 35

y 5 2x 1 1 3 5 7 11 21 71

Cada valor de la segunda fila se obtiene reemplazando los valores respectivos de x en la frmula y 5 2x 1 1. Esto es:

2(1) 1 1 5 3 2(2) 1 1 5 5 2(3) 1 1 5 7 2(5) 1 1 5 11

Tabla 2

Tabla 1

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1-2-3 2 3

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X-1

1-1-2-3 2 3

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X1-1-2-3 2 3

2

2

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4

Y

X

5.2 Representacin grfica de una funcinPara representar una funcin grficamente, luego de trazar los ejes X e Y del plano cartesiano, se ubican las parejas ordenadas de la forma (x, y) obtenidas al dar valores a la variable x y calcular su respectiva imagen y.

Ejemplo 3

En la funcin que est determinada por la expresin y 5 3 1 5x2, la variable independiente puede tomar cualquier valor real.

Sin embargo, para su estudio se toman algunos valores y despus se determinan las parejas ordenadas descritas en la Tabla 3.

x y 5 3 1 5x2 (x,y)23 48 (23, 48)22 23 (22, 23)21 8 (21, 8)0 3 (0, 3) 1 8 (1, 8)2 23 (2, 23)3 48 (3, 48)

Por ltimo, se ubican las parejas de puntos (x, y) en el plano cartesiano y se traza la curva que los une, pues el dominio es el conjunto de nmeros reales. As, se obtiene la Figura 1, donde se observa que el rango de la funcin est definido por el subconjunto de nmeros reales mayores o iguales que 3, es decir R(f) 5 [3, ).Para reconocer si una grfica representa una funcin se traza una recta vertical (paralela al eje Y). Si esta recta interseca como mximo en un punto a la grfica, entonces representa una funcin.

Actividad resuelta

Ejercitacin

1 Indica si las siguientes grficas representan o no una funcin.

a. b.

Solucin:

a. b.

La recta vertical solo interseca a la grfica en un punto. Es una funcin.

La recta vertical interseca a la grfica en dos puntos. No es una funcin.

Tabla 3

Figura 2

Figura 4

Figura 3

Figura 1

Figura 5

3-1-2-3 1 2

10

20

40

50

30

Y

X

(3,48)(-3,48)

(2,23)(-2,23)

(1,8)(-1,8) (0,3)

www.e-sm.net/8smt09

Encuentra otros datos y ejemplos rela-cionados con las funciones.


Destrezas con criterios de desempeo: Definir y reconocer funciones de manera algebraica y de manera grfica con diagramas de Venn determinando su dominio y recorrido en Z.

Ten en cuenta

Tambin se representan funciones con diagramas de Veen.

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4 Multiplicacin de polinomiosMatemaTICSMultiplica polinomios usando Geogebra

Cuando usas Geogebra puedes multiplicar expresiones algebraicas, usando la ventana de calculo simblico (CAS).

Determina si (48x2y4 1 12x2y 2 4xy)( 4ab 1 2) (4ab 1 2) (48x2y4 1 12x2y 2 4xy). Justifica tu respuesta.

Usa Geogebra para decidir si cada una de las siguientes operaciones son verdaderas.

a. (8x2 1 1) 5 823 m2nq4x2 1

123 m

2nq4 1 24x3 1 16x2 1 3x 1 2

b. (2mn4 1 2y3) 5 2 122 b2 mn4 1 2mn4 mna2 2

122 b

2y3 1 2mna2y3 1 6mn4 1 6y

Ubcate en la ventana CAS o clculo simblico.

Al lado derecho del nmero 1 escribe la expresin que quieres resolver, es decir, los polinomios que deseas multiplicar.

Para hallar el valor de la multiplica-cin, da clic en y luego obten-drs el valor final de la multiplicacin.

Ejercitacin

2 Resuelve las multiplicaciones entre monomios.

a. (26x3)(7x4) b. (2y8)(9y9)

c. (3y)(y2) d. (x2)(22x2)

e. (23x2y)(2x3y) f. (22xy)(22xy)

3 Resuelve las siguientes operaciones.

a. (2x2yz3 )(3x3yz3) b. (x10yz3)(3x3yz3)

c. (3x5y)(4x6y6z6) d. (22y5z)(x2z)

e. (xy3z3)(2x3yz) f. (7x2y3z4)(x4y3z)

Razonamiento

4 Relaciona los siguientes productos con sus respecti-vos resultados.

a. (9x3 1 y2z)(x3y4z) 23x3y3z 2 3y3z4

b. (x2z)(3x2y3 1 z4) 6x7y7 2 2xy8

c. (23y3z)(x3 1 z3) 9x6y4z 1 x3y6z2

d. (2x6y2)(2x3 2 y7z2) 3x4y3z 1 x2z5

e. (23x6 1 y)(22xy7) 216x4y3 2 4xy4

f. (24x3 2 y)(4xy3) 4x9y2 2 2x6y9z2

a12

ab12

b

a

mm

m

m

m

x

x

hx

n

2n

n

n

n

5 El producto de dos polinomios es 10x3 2 15x2 1 20x. Si uno de los polinomios es 2x2 2 3x 1 4, cul es el otro polinomio?

6 Determina el polinomio que representa el rea de cada una de las siguientes figuras.

a. b.

c. d.

Ten en cuenta las frmulas correspondientes cada para cada caso.

Desarrolla tus destrezas

Figura 2

Figura 4

Figura 3

Figura 5

Figura 1

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Destreza con criterios de desempeo: Calcular expresiones numricas y algebraicas usando las operaciones bsicas y las propiedades algebraicas en R.

Figura 11

7 Indica si el resultado de las siguientes operaciones es correcto (C) o incorrecto ( I ).

a. (7x 1 6)(2x) 514x 1 6x2 ( )

b. x(3x3 1 2y2 ) 5 3x4 1 2xy2 ( )

c. (2x 21)(2x11) 5 4x2 1 1 ( )

d. 5xy3 (x412y5 ) 5 5xy3110xy8 ( )

e. (x11)(x 1 1) 5 x211 ( )

f. 3xy(3x2 2 7y2) 5 9x3y 2 21xy3 ( )

g. x3(x2 1 y3) 5 x6 1 x3 y3 ( )

Comunicacin

8 Identifica el error que se cometi en las multiplicaciones. a. 5x2 1 6x 2 4

3x 2 2

210x2 2 12x 1 8

15x3 1 18x2 1 12x

15x3 1 8x2 1 0x 18

b. 3x3 2 8x 1 4

2x2 1 5x 2 1

23x3 1 8x 2 4

15x4 2 40x2 1 20x

6x5 2 16x3 1 8x2

6x5 1 15x4 2 13x3 2 32x2 1 28x 2 4

c. 2x3y2 2 5xy

23x2y

26x5y3

15x3y2

9x2y

9 Completa las siguientes operaciones con el polinomio les hace falta.

a. (2x 1 5) 5 23x2 1 15x

b. (2x 1 5) 5 9x2 1 9x

c. (3x) 5 12x2 2 18x

d. (23x3)(x2 2 3) 5

e. (4x3y 2 5xy3 ) 5 16x5y3 2 20xy3x2y2

f. (9x)(3x2 1 5x 2 3) 5

g. (5x2) 5 10x5 1 25x4 2 15x2

h. (x3 1 3) 5 xy2 x3 2 3x3y 1 3xy2 2 9y

h

x

x a

x

x

x

4x

x

2x21

2x12x14

Razonamiento

10 Al multiplicar dos binomios, se obtiene como resulta-do el polinomio 6xy4x226x2 y2115xy4215y2.

Si uno de los binomios es 3xy423y2, determina cul es el otro binomio.

11 Relaciona cada figura geomtrica con el polinomio que representa su rea.

a. 5x2

b. x2

c. 6ax22

d. xh22

e. 5x2

Resolucin de problemas

12 Un lado de un rectngulo se representa con el poli-nomio x 1 3 y el otro lado, con el polinomio 3x 1 1. A partir de esta informacin, determina:

a. El rea del rectngulo en trminos de x.

b. El rea del rectngulo si x 5 2 cm.

13 Se tiene un cuadrado de lado x. Responde.

a. Cul es la expresin del rea en funcin de x?

b. Cul es el rea si x 5 3 cm?

14 Se cuenta con un prisma rectangular como el de la Figura 11. Resuelve.

a. Halla el polinomio que representa el rea de la base. b. Determina un polinomio que represente el volu-

men del prisma rectangular.

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

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Bloq

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6 Divisin de polinomios

Ten en cuenta

ExploraRaquel hizo un mantel rectangular cuya rea se expresa como 4x2 y se sabe que el largo del rectngulo es 2x.

Cul es el ancho del mantel?

Al realizar la divisin entre monomios, el coeficiente del cociente tiene el signo que corresponda segn la regla de los signos.

+ por + ++ por - -- por + -- por - +

Ten en cuenta

Las reglas de las potencias necesarias para operar con polinomios son:

a m ? a n 5 am 1 n

a m 4 a n 5 am 2 n

(a ? b)m 5 a m ? b m

(a 4 b)m 5 a m 4 b m

(a m)n 5 a m ? n

www.e-sm.net/8smt03

Encuentra ms ejemplos relacionados con el la divisin de polinomios.


6.1 Divisin entre un monomio Para hallar el ancho del mantel, se aplica la frrmula del rea del rectngulo y en esta se reemplazan los datos dados. Observa:

A 5 largo ? ancho 4x2 5 (2x) ? (ancho)

Como se necesita hallar el ancho del mantel, se necesita dividir las dos cantida-des conocidas. Entonces se obtiene esto:

4x2

2x 5 2x

Despus, se simplifican las cantidades enteras y se restan los exponentes. Por lo tanto, el ancho del mantel es 2x.

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada trmino del polinomio entre el monomio. Se debe tener en cuenta que se deben simplificar las cantidades enteras y aplicar la ley de los cocientes para exponentes.

Ejemplo 1

Para dividir un monomio entre otro monomio, por ejemplo 40x10

5x2, se

realizan los siguientes pasos:

1. Se simplifican las cantidades enteras: 40x10

5x2 5 8 x

10

x4

2. Se aplica la ley de los cocientes para exponentes: 8x10 2 4 5 6

3. El resultado es 8x6.

Ejemplo 2

Observa cmo se divide un polinomio entre un monomio. 4x5 2 6x4 1 12x3 2 8

4x2Se expresa cada trmino del polinomio, dividindolo por el monomio dado y teniendo en cuenta la regla de los exponentes, como se muestra a continuacin:

4x5 2 6x4 1 12x3 2 8x2

4x2 5 4x5

4x2 2 6x4

4x2 1 12x3

4x2 2 8x2

4x2

5 x3 2 3

22

x2 1 3x 2 2

Por lo tanto, el cociente es x3 2 3

22

x2 1 3x 2 2.

Ejemplo 3

Divide 8x4 2 3x3 entre x2.

Esta es otra forma de presentar la divisin, aun cuando se aplican los mismos pasos.

8x423x3 x2

28x4 8x2 1 3x23x3

3x3

0

Entonces, el resultado de la divisin es 8x2 1 3x.

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Ten en cuenta

Divisin de polinomiosSi el residuo de la divisin es cero, se llama exacta. De lo contrario, se afir-ma que es una divisin inexacta.

Actividad resuelta

Ejercitacin 1 Haz las divisiones de polinomios entre monomios.

a. 20x4 1 16x3 1 8x2

4x2 b. 35x

3 1 21x2 1 7x

7x

c. 9a6b5

3ab5 d. 8b 2 12a

4b3 2 6a5b2 1 10a

2ab2

Solucin:

a. 20x4

4x2 1 16x

3

4x2 1 8x

2

4x2 5 5x2 1 4x 1 2

b. 35x3

7x 1 21x

2

7x 1 7x

7x 5 5x2 1 4x 1 1

c. 3a5

d. 8b

2ab2 2 12a

4b3

2ab2 2 6a

5b2

2ab2 1 10a

2ab2 5 4

ab 2 6a3b 2 3a4 1 5x

3

b2

Ejercitacin

2 Resuelve las siguientes divisiones.

a. x72x5

b. 6x3y2

2y c. 21x

2y3

7x2y2

d. 9a2 2 6a

3a e. 10a

3 1 82

f. 12a2 1 8a 1 24

2

3 Relaciona las divisiones de la izquierda con los resulta-dos de la derecha.

a. a2 2 6a 1 4

2a 5x

4 y2 2 4x y3 1 3y

y2

b. 6x2 1 8x 2 24

2x b 1

122

2 4

2b

c. 10x2 y2 2 8x y3 1 6y

2y2 3x2 2 2x 2 5

d. 25a3b 1 15ab3

5ab

122

a23 1 2a

e. 2b2 1 b 2 8

2b 3y2 1 2y

f. 15x2 2 10x 2 25

5 3x14 2

122x

g. 9y3 1 6y2

3y 5a2 1 3b2


4a2 1 6

5x2 1 3x 1 3

Razonamiento

4 Si se divide un binomio entre un monomio, es posible obtener un monomio como cociente? Justifica tu res-puesta. Si la respuesta es afirmativa, propn un ejemplo.


5 El rea del tringulo es 2a3 1 8a2 1 3a 1 12. Si su base es igual a 4a2 1 6, cul es la altura del tringulo?

6 El rea del rectngulo es 5x4 1 3x3 1 17x2 1 9x 1 6. Si la longitud de su base es igual a 5x2 1 3x 1 2, cul es la altura del rectngulo?

Figura 1

Figura 2

Destreza con criterios de desempeo: Calcular divisiones con trminos algebraicos aplicando propiedades en R (propiedad distributiva de la suma con respecto al producto).

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Ten en cuenta

Divisin de polinomiosSi el residuo de la divisin es cero, se llama exacta. De lo contrario, se afir-ma que es una divisin inexacta.

Actividad resuelta

Ejercitacin 1 Haz las divisiones de polinomios entre monomios.

a. 20x4 1 16x3 1 8x2

4x2 b. 35x

3 1 21x2 1 7x

7x

c. 9a6b5

3ab5 d. 8b 2 12a

4b3 2 6a5b2 1 10a

2ab2

Solucin:

a. 20x4

4x2 1 16x

3

4x2 1 8x

2

4x2 5 5x2 1 4x 1 2

b. 35x3

7x 1 21x

2

7x 1 7x

7x 5 5x2 1 4x 1 1

c. 3a5

d. 8b

2ab2 2 12a

4b3

2ab2 2 6a

5b2

2ab2 1 10a

2ab2 5 4

ab 2 6a3b 2 3a4 1 5x

3

b2

Ejercitacin

2 Resuelve las siguientes divisiones.

a. x72x5

b. 6x3y2

2y c. 21x

2y3

7x2y2

d. 9a2 2 6a

3a e. 10a

3 1 82

f. 12a2 1 8a 1 24

2

3 Relaciona las divisiones de la izquierda con los resulta-dos de la derecha.

a. a2 2 6a 1 4

2a 5x

4 y2 2 4x y3 1 3y

y2

b. 6x2 1 8x 2 24

2x b 1

122

2 4

2b

c. 10x2 y2 2 8x y3 1 6y

2y2 3x2 2 2x 2 5

d. 25a3b 1 15ab3

5ab

122

a23 1 2a

e. 2b2 1 b 2 8

2b 3y2 1 2y

f. 15x2 2 10x 2 25

5 3x14 2

122x

g. 9y3 1 6y2

3y 5a2 1 3b2


4a2 1 6

5x2 1 3x 1 3

Razonamiento

4 Si se divide un binomio entre un monomio, es posible obtener un monomio como cociente? Justifica tu res-puesta. Si la respuesta es afirmativa, propn un ejemplo.


5 El rea del tringulo es 2a3 1 8a2 1 3a 1 12. Si su base es igual a 4a2 1 6, cul es la altura del tringulo?

6 El rea del rectngulo es 5x4 1 3x3 1 17x2 1 9x 1 6. Si la longitud de su base es igual a 5x2 1 3x 1 2, cul es la altura del rectngulo?

Figura 1

Figura 2

Destreza con criterios de desempeo: Calcular divisiones con trminos algebraicos aplicando propiedades en R (propiedad distributiva de la suma con respecto al producto).

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6 Divisin de polinomios

Ten en cuenta

ExploraRaquel hizo un mantel rectangular cuya rea se expresa como 4x2 y se sabe que el largo del rectngulo es 2x.

Cul es el ancho del mantel?

Al realizar la divisin entre monomios, el coeficiente del cociente tiene el signo que corresponda segn la regla de los signos.

+ por + ++ por - -- por + -- por - +

Ten en cuenta

Las reglas de las potencias necesarias para operar con polinomios son:

a m ? a n 5 am 1 n

a m 4 a n 5 am 2 n

(a ? b)m 5 a m ? b m

(a 4 b)m 5 a m 4 b m

(a m)n 5 a m ? n

www.e-sm.net/8smt03

Encuentra ms ejemplos relacionados con el la divisin de polinomios.


6.1 Divisin entre un monomio Para hallar el ancho del mantel, se aplica la frrmula del rea del rectngulo y en esta se reemplazan los datos dados. Observa:

A 5 largo ? ancho 4x2 5 (2x) ? (ancho)

Como se necesita hallar el ancho del mantel, se necesita dividir las dos cantida-des conocidas. Entonces se obtiene esto:

4x2

2x 5 2x

Despus, se simplifican las cantidades enteras y se restan los exponentes. Por lo tanto, el ancho del mantel es 2x.

Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada trmino del polinomio entre el monomio. Se debe tener en cuenta que se deben simplificar las cantidades enteras y aplicar la ley de los cocientes para exponentes.

Ejemplo 1

Para dividir un monomio entre otro monomio, por ejemplo 40x10

5x2, se

realizan los siguientes pasos:

1. Se simplifican las cantidades enteras: 40x10

5x2 5 8 x

10

x4

2. Se aplica la ley de los cocientes para exponentes: 8x10 2 4 5 6

3. El resultado es 8x6.

Ejemplo 2

Observa cmo se divide un polinomio entre un monomio. 4x5 2 6x4 1 12x3 2 8

4x2Se expresa cada trmino del polinomio, dividindolo por el monomio dado y teniendo en cuenta la regla de los exponentes, como se muestra a continuacin:

4x5 2 6x4 1 12x3 2 8x2

4x2 5 4x5

4x2 2 6x4

4x2 1 12x3

4x2 2 8x2

4x2

5 x3 2 3

22

x2 1 3x 2 2

Por lo tanto, el cociente es x3 2 3

22

x2 1 3x 2 2.

Ejemplo 3

Divide 8x4 2 3x3 entre x2.

Esta es otra forma de presentar la divisin, aun cuando se aplican los mismos pasos.

8x423x3 x2

28x4 8x2 1 3x23x3

3x3

0

Entonces, el resultado de la divisin es 8x2 1 3x.

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4 Multiplicacin de polinomiosMatemaTICSMultiplica polinomios usando Geogebra

Cuando usas Geogebra puedes multiplicar expresiones algebraicas, usando la ventana de calculo simblico (CAS).

Determina si (48x2y4 1 12x2y 2 4xy)( 4ab 1 2) (4ab 1 2) (48x2y4 1 12x2y 2 4xy). Justifica tu respuesta.

Usa Geogebra para decidir si cada una de las siguientes operaciones son verdaderas.

a. (8x2 1 1) 5 823 m2nq4x2 1

123 m

2nq4 1 24x3 1 16x2 1 3x 1 2

b. (2mn4 1 2y3) 5 2 122 b2 mn4 1 2mn4 mna2 2

122 b

2y3 1 2mna2y3 1 6mn4 1 6y

Ubcate en la ventana CAS o clculo simblico.

Al lado derecho del nmero 1 escribe la expresin que quieres resolver, es decir, los polinomios que deseas multiplicar.

Para hallar el valor de la multiplica-cin, da clic en y luego obten-drs el valor final de la multiplicacin.

Ejercitacin

2 Resuelve las multiplicaciones entre monomios.

a. (26x3)(7x4) b. (2y8)(9y9)

c. (3y)(y2) d. (x2)(22x2)

e. (23x2y)(2x3y) f. (22xy)(22xy)

3 Resuelve las siguientes operaciones.

a. (2x2yz3 )(3x3yz3) b. (x10yz3)(3x3yz3)

c. (3x5y)(4x6y6z6) d. (22y5z)(x2z)

e. (xy3z3)(2x3yz) f. (7x2y3z4)(x4y3z)

Razonamiento

4 Relaciona los siguientes productos con sus respecti-vos resultados.

a. (9x3 1 y2z)(x3y4z) 23x3y3z 2 3y3z4

b. (x2z)(3x2y3 1 z4) 6x7y7 2 2xy8

c. (23y3z)(x3 1 z3) 9x6y4z 1 x3y6z2

d. (2x6y2)(2x3 2 y7z2) 3x4y3z 1 x2z5

e. (23x6 1 y)(22xy7) 216x4y3 2 4xy4

f. (24x3 2 y)(4xy3) 4x9y2 2 2x6y9z2

a12

ab12

b

a

mm

m

m

m

x

x

hx

n

2n

n

n

n

5 El producto de dos polinomios es 10x3 2 15x2 1 20x. Si uno de los polinomios es 2x2 2 3x 1 4, cul es el otro polinomio?

6 Determina el polinomio que representa el rea de cada una de las siguientes figuras.

a. b.

c. d.

Ten en cuenta las frmulas correspondientes cada para cada caso.


Figura 2

Figura 4

Figura 3

Figura 5

Figura 1

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Figura 11


a. (7x 1 6)(2x) 514x 1 6x2 ( )

b. x(3x3 1 2y2 ) 5 3x4 1 2xy2 ( )

c. (2x 21)(2x11) 5 4x2 1 1 ( )

d. 5xy3 (x412y5 ) 5 5xy3110xy8 ( )

e. (x11)(x 1 1) 5 x211 ( )

f. 3xy(3x2 2 7y2) 5 9x3y 2 21xy3 ( )

g. x3(x2 1 y3) 5 x6 1 x3 y3 ( )

Comunicacin


3x 2 2

210x2 2 12x 1 8

15x3 1 18x2 1 12x

15x3 1 8x2 1 0x 18

b. 3x3 2 8x 1 4

2x2 1 5x 2 1

23x3 1 8x 2 4

15x4 2 40x2 1 20x

6x5 2 16x3 1 8x2

6x5 1 15x4 2 13x3 2 32x2 1 28x 2 4

c. 2x3y2 2 5xy

23x2y

26x5y3

15x3y2

9x2y


a. (2x 1 5) 5 23x2 1 15x

b. (2x 1 5) 5 9x2 1 9x

c. (3x) 5 12x2 2 18x

d. (23x3)(x2 2 3) 5

e. (4x3y 2 5xy3 ) 5 16x5y3 2 20xy3x2y2

f. (9x)(3x2 1 5x 2 3) 5

g. (5x2) 5 10x5 1 25x4 2 15x2

h. (x3 1 3) 5 xy2 x3 2 3x3y 1 3xy2 2 9y

h

x

x a

x

x

x

4x

x

2x21

2x12x14

Razonamiento




a. 5x2

b. x2

c. 6ax22

d. xh22

e. 5x2











Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

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Figura 11


a. (7x 1 6)(2x) 514x 1 6x2 ( )

b. x(3x3 1 2y2 ) 5 3x4 1 2xy2 ( )

c. (2x 21)(2x11) 5 4x2 1 1 ( )

d. 5xy3 (x412y5 ) 5 5xy3110xy8 ( )

e. (x11)(x 1 1) 5 x211 ( )

f. 3xy(3x2 2 7y2) 5 9x3y 2 21xy3 ( )

g. x3(x2 1 y3) 5 x6 1 x3 y3 ( )

Comunicacin


3x 2 2

210x2 2 12x 1 8

15x3 1 18x2 1 12x

15x3 1 8x2 1 0x 18

b. 3x3 2 8x 1 4

2x2 1 5x 2 1

23x3 1 8x 2 4

15x4 2 40x2 1 20x

6x5 2 16x3 1 8x2

6x5 1 15x4 2 13x3 2 32x2 1 28x 2 4

c. 2x3y2 2 5xy

23x2y

26x5y3

15x3y2

9x2y


a. (2x 1 5) 5 23x2 1 15x

b. (2x 1 5) 5 9x2 1 9x

c. (3x) 5 12x2 2 18x

d. (23x3)(x2 2 3) 5

e. (4x3y 2 5xy3 ) 5 16x5y3 2 20xy3x2y2

f. (9x)(3x2 1 5x 2 3) 5

g. (5x2) 5 10x5 1 25x4 2 15x2

h. (x3 1 3) 5 xy2 x3 2 3x3y 1 3xy2 2 9y

h

x

x a

x

x

x

4x

x

2x21

2x12x14

Razonamiento




a. 5x2

b. x2

c. 6ax22

d. xh22

e. 5x2











Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

Tecnologas de la comunicacinEnlaces a sitios web que amplan los temas.

MatemaTICSPresenta una herramienta informtica que enriquece el quehacer matemtico mediante el uso de la tecnologa.

Las actividades tambin estn clasificadas por nivel de complejidad.

Bsico Intermedio Avanzado

En los ejercicios desafiantes encontrars el cono PAI (Proyecto de Activacin de las Inteligencias).

Desarrolla tus destrezasActividades clasificadas por destrezas para aplicar los contenidos estudiados.

NDICE


1 Nmeros racionales 10-111.1 Fracciones equivalentes1.2 Nmeros racionales1.3 Orden en los nmeros racionales

2 Expresiones fraccionaria y decimal de un nmero racional 12-152.1 Expresin decimal de un nmero racional2.2 Clasificacin de las expresiones decimales2.3 Fraccin generatriz de un nmero racional

MatemaTICS

3 Nmeros racionales en la recta numrica 16-17

4 Operaciones con nmeros racionales 18-19

5 Nmeros irracionales 20-21

5.1 Nmeros irracionales en la recta numrica

6 Nmeros reales 22-256.1 Valor absoluto6.2 Orden en el conjunto de los nmeros reales6.3 Propiedades de las relaciones de orden

7 Intervalos y semirrectas 26-297.1 Intervalos 7.2 Semirrectas y su representacin grfica

8 Operaciones con nmeros reales 30-338.1 Adicin y sustraccin de nmeros reales8.2 Multiplicacin y divisin de nmeros reales

MatemaTICS

9 Potencia de un nmero real 34-359.1 Propiedades de la potenciacin de nmeros reales

Practica ms 36

Resolucin de problemas 37

10 Notacin cientfica 38-39

11 Raz de un nmero real 40-4311.1 Raz ensima11.2 Potencias con exponente fraccionario11.3 Propiedades de las races de nmeros reales11.4 Radicales equivalentes

12 Racionalizacin de denominadores 44-45

Prueba Ser Estudiante 46-47

Construyendo la Cultura del Buen Vivir Conoce qu son los bienes y servicios 48-49

Habilidades digitales Organiza la informacin con Prezi 50-51

Evaluacin de la Unidad 52-53

Nmeros reales 8 - 91 2Bloque de lgebra y funciones

1 Expresiones algebraicas 56-571.1 Tipos de expresiones algebraicas1.2 Valor numrico de una expresin algebraica

2 Polinomios 58-612.1 Monomios2.2 Monomios semejantes2.3 Polinomios2.4 Reduccin de trminos semejantes en un polinomio

3 Adicin y sustraccin de polinomios 62-65 3.1 Adicin de polinomios 3.2 Sustraccin de polinomios

Practica ms 66


4 Multiplicacin de polinomios 68-714.1 Multiplicacin de monomios4.2 Multiplicacin de monomio por polinomio4.3 Multiplicacin de polinomio por polinomio

MatemaTICS

5 Productos notables 72-755.1 Cuadrado de un binomio5.2 Producto de la suma por la diferencia de dos trminos5.3 Producto de la forma (x + a)(x + b)5.4 Cubo de un binomio

6 Divisin de polinomios 76-796.1 Divisin entre un monomio6.2 Divisin entre polinomios

7 Cocientes notables 80-83 7.1 Generalidades de los cocientes notables


Construyendo la Cultura del Buen Vivir Disea un pachisi matemtico 86-87

Habilidades digitales El libro total 88-89


Polinomios 54-55

3 4Bloque de lgebra y funciones

1 Factorizacin de polinomios. Factor comn 94-971.1 Factores primos1.2 Mximo comn divisor1.3 Mnimo comn mltiplo1.4 Factor comn de un polinomio

2 Factorizacin por agrupacin de trminos 98-99

3 Factorizacin de la diferencia de cuadrados perfectos 100-101

4 Factorizacin de cubos perfectos. Suma y diferencia 102-1034.1 Factorizacin de la suma de cubos perfectos4.2 Factorizacin de la diferencia de cubos perfectos

5 Factorizacin de expresiones de la forma xn6 yn 104-105

6 Factorizacin de trinomios cuadrados perfectos 106-107

7 Factorizacin de trinomios cuadrados perfectos por adicin y sustraccin 108-109

8 Factorizacin de trinomios de la forma x2n + bxn + c 110-111

9 Factorizacin de trinomios de la forma ax2n + bxn+ c 112-113

10 Factorizacin aplicando la regla de Ruffini 114-115

Practica ms 116


11 Ecuaciones 118-11911.1 Igualdades y ecuaciones11.2 Ecuaciones equivalentes

12 Ecuaciones de primer grado con una incgnita 120-12312.1 Resolucin de ecuaciones de primer grado con una

incgnita12.2 Ecuaciones de primer grado con la incgnita en ms de

un trmino12.3 Ecuaciones de primer grado con parntesis12.4 Ecuaciones de primer grado con denominadores

13 Problemas con ecuaciones de primer grado con una incgnita 124-12713.1 Lenguaje verbal y lenguaje algebraico

Practica ms 128


14 Inecuaciones de primer grado en Q con una incgnita 130-131

15 Problemas con inecuaciones de primer grado con una incgnita 132-133


Construyendo la Cultura del Buen Vivir Hablemos de consumo y responsabilidad 136-137

Habilidades digitales Elabora un mapa conceptual con Cmaptools 138-139


Bloques de Geometra y medida - lgebra y funciones

1 Conjuntos 144-1471.1 Determinacin de un conjunto1.2 Representacin de un conjunto1.3 Clases de conjuntos

2 Relaciones entre conjuntos 148-1492.1 Relaciones de contenencia e igualdad 2.2 Conjuntos disyuntos

3 Operaciones entre conjuntos 150-1533.1 Interseccin de conjuntos3.2 Unin de conjuntos3.3 Complemento de un conjunto3.4 Diferencia de conjuntos3.5 Diferencia simtrica

MatemaTICS

4 Relaciones 154-1574.1 Relaciones4.2 Relacin definida en un conjunto

5 Funciones 158-1615.1 Dominio y rango de una funcin5.2 Representacin grfica de una funcin

MatemaTICS

6 Continuidad y variacin de funciones 162-1636.1 Continuidad de una funcin6.2 Variacin de una funcin en un intervalo

7 Crecimiento y decrecimiento de funciones 164-1657.1 Mximos y mnimos

Practica ms 166


8 Proporcionalidad directa 168-1718.1 Funcin lineal

MatemaTICS

9 Funcin afn 172-1739.1 Caracterizacin de funciones afines

10 Representacin de funciones lineales y afines 174-17710.1 Rectas paralelas10.2 Rectas perpendiculares

MatemaTICS

11 Aplicaciones de las funciones lineales y afines 178-17911.1 Ejemplo de aplicaciones en las ciencias11.2 Ejemplo de aplicaciones en la economa


Construyendo la Cultura del Buen Vivir Ahorrar, es pensar en el futuro 182-183

Habilidades digitales Construye una WebQuest con Zunal 184-185


Conjuntos y funciones lineales 142-143 Factorizacin y ecuaciones 92-93

NDICE

NDICE

5 6Bloque de Geometra y medida

1 Tringulos 190-1931.1 Clasificacin de tringulos1.2 Construccin de tringulos

2 Lneas notables en el tringulo 194-197

MatemaTICS

3 Propiedades de los tringulos 198-2013.1 Propiedades relacionadas con los ngulos del tringulo3.2 Propiedades relacionadas con los lados del tringulo

MatemaTICS

4 Tringulos congruentes 202-2054.1 Criterios de congruencia de tringulos

5 Cuadrilteros 206-2095.1 Propiedades de las diagonales de los paralelogramos

Practica ms 210


6 Cuerpos redondos 212-213

7 reas de cuadrilteros y tringulos 214-2177.1 reas del rectngulo, del cuadrado y del paralelogramo7.2 rea del tringulo7.3 rea del rombo7.4 rea del trapecio

8 reas de polgonos regulares e irregulares 218-2218.1 rea de polgonos regulares8.2 rea de polgonos irregulares

Practica ms 222



Construyendo la Cultura del Buen Vivir Compite para sobrevivr 226-227

Habilidades digitales Fuentes de informacin confiables 228-229


Bloques de Estadstica y probabilidad

1 Estudio estadstico: Poblacin, muestra y variables 234-2371.1 Representacin de informacin estadstica

MatemaTICS

Practica ms 238


2 Las medidas estadsticas. Herramientas de clculo 240-2412.1 Calcular en Excel2.2 Calcular la media y la desviacin tpica en la

calculadora

3 Experimentos y sucesos aleatorios. Espacios muestrales 242-245

3.1 Experimentos aleatorios3.2 Espacio muestral3.3 Evento o suceso aleatorio3.4 Operaciones con eventos o sucesos

4 Tcnicas de conteo. Diagrama de rbol 246-247

5 Probabilidad de eventos o sucesos . Regla de Laplace 248-251

5.1 Regla de Laplace5.2 Propiedades de la probabilidad

Practica ms 252


6 Probabilidad de la unin de eventos o sucesos 254-255

7 Probabilidad de eventos o sucesos en experimentos compuestos 256-257

7.1 Regla del producto

8 Probabilidad de la interseccin de sucesos 258-2598.1 Interseccin de sucesos independientes. Probabilidad8.2 Interseccin de sucesos dependientes. Probabilidad


Construyendo la Cultura del Buen Vivir Prstamos y crditos 262-263

Habilidades digitales Argumenta tus ideas a travs de un avatar digital 264-265


Construyendo la Cultura del Buen Vivir Boletn para promover la igualdad de gnero en el colegio 268-271

Evaluacin Final 272-279

Construyendo la Cultura del Buen Vivir Cmo administrar el tiempo? 280-281

Glosario 282-283

Bibliografa 284

Geometra y medida 188-189 Estadstica y probabilidad 232-233

8

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BLOQUE

lgebra y funciones

1

Cultura del Buen Vivir

En la antigedad, los hombres estaban convencidos de que con los nmeros racionales se podan explicar todos los fenmenos naturales. Nada ms lejos de la realidad; por ejemplo, al medir la diagonal de un cuadrado de lado 1 cm, aparecen nmeros no racionales.

Averigua qu situaciones permitieron descubrir nmeros no racionales en la antigedad.

La honestidad

Una persona honesta se comporta y se expresa con sinceridad y coherencia, respetando los valores de la justicia y la verdad.

Crees que es importante ser honesto al contestar una encuesta que permite analizar los problemas de tu comunidad? Por qu?

Nmeros reales

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Recursos digitalesAprenders...

Habilidades lectoras

Nmeros racionales e irracionales Nmeros reales. Operaciones Notacin cientfica Potencias, races y logaritmos de

nmeros reales


Un nmero irracional en las encuestas

Cuando se hace una encuesta, se entrevista a una muestra de la poblacin; las opiniones de las personas de la muestra permiten la aproximacin a las del conjunto total de la poblacin. Pero, para ello, es necesario que la seleccin de las personas entrevistadas se haga al azar, y una forma de hacerlo es utilizando el nmero irra-cional p (pi).

Para determinar la cantidad de personas que se deben entrevistar, se emplean unas tablas con nmeros aleatorios. Una buena fuente para obtener este tipo de nmeros son los decimales de p, porque forman lo que se denomina una secuencia normal, en la que todos los nme-ros estn igualmente representados y sin seguir ninguna secuencia o pauta determinada.

Hasta ahora no se ha encontrado una regularidad o modelo repetitivo en el orden de aparicin de los primeros millones de decimales y se cree que no existe, aunque no se ha podido demostrar. Cada cifra, del 0 al 9, aparece aproximadamente el 10% de las veces y si se eligen de dos en dos (del 00 al 99), cada nmero representa el 1% del total.

ActividadesInterpreta1. Qu caractersticas debe tener una encuesta para que sea confiable?

De qu manera contribuye el uso del las cifras del nmero p en este tipo investigacin estadstica?

2. Segn la lectura, una manera de formar un conjunto de nmeros alea-torios es a travs de los decimales del nmero p. Cul consideras que es la caracterstica de estas cifras decimales que hace confiable esta seleccin?

Argumenta3. Explica cmo aparecen las cifras decimales del nmero p y qu por-

centaje representa cada cifra del total.

4. Busca algunos datos curiosos del nmero p, teniendo en cuenta los diferentes usos que pueden darse a sus cifras.

Propn5. En la actualidad existen numerosas formas de obtener nmeros alea-

torios. Averigua tres de ellas y en cules campos del conocimiento se utilizan.

6. Investiga algunos de los rcords que se tienen registrados con relacin al nmero p y comntalos con tus compaeros.SM Ediciones

Sm Ediciones. (2016). Colombia. Matemtica 9.

10

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1

112

El crculo est dividido en doce regiones iguales, que estn sombreadas con colores diferentes as:

El color rojo ocupa cuatro regiones de la unidad. El color azul ocupa cuatro regiones de la unidad. El color amarillo ocupa dos regiones de la unidad. El color verde ocupa dos regiones de la unidad.

Por lo tanto, las regiones de color azul y rojo ocupan la misma parte del crculo y las regiones de color amarillo y verde ocupan tambin la misma cantidad.

1.1 Fracciones equivalentesAl considerar el crculo de la Figura 1. como una unidad, se puede establecer que cada color ocupa una fraccin de ella. En este caso, la distribucin es:

La regin roja ocupa 123 de la unidad.

La regin azul ocupa 226 de la unidad.

La regin amarilla ocupa 126 de la unidad.

La regin verde ocupa 2212 de la unidad.

Adems, se pueden establecer las siguientes comparaciones:

Las regiones azul y roja ocupan la misma parte de la unidad. Por lo tanto, 123 5 226

y se afirma que las fracciones son equivalentes.

Las regiones amarilla y verde ocupan la misma parte de la unidad. Por lo tanto, 2212 5

12 6 y se afirma que las fracciones son equivalentes.

Las fracciones equivalentes son aquellas fracciones que representan la misma parte de una unidad.

Dada una fraccin, se pueden obtener fracciones equivalentes a ella, ya sea por amplificacin o por simplificacin.

Se amplifica una fraccin cuando se multiplica tanto el numerador como el denominador por un mismo nmero distinto de cero.

Se simplifica una fraccin cuando se divide tanto el numerador como el denominador por un mismo nmero distinto de cero.

Ejemplo 1

Se pueden obtener fracciones equivalentes a 15260 de dos maneras.

32 33 43 45

Amplificacin: 15260 5302120

5 902360 Simplificacin: 15260

5 5220 5 124

32 33 43 45

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ExploraLa Figura 1 est dividida en regiones con cuatro colores diferentes.

Cules colores ocupan la misma parte del crculo?

Nmeros racionales

Ten en cuenta

Ten en cuenta

Si dos fracciones son equivalentes, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

226 55215

2 ? 15 5 6 ? 5

La Figura 3. representa la relacin entre los conjuntos Q, N y Z. A partir de ella, se pueden identificar las caractersticas de cada conjunto.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

ExtremoMedio

MedioExtremo

N

Z

Q

11

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Ejemplo 2

Estos son ejemplos de nmeros racionales: 3, 6213 , 212, 825 , 2, 0, 2

427 .

1.3 Orden en los nmeros racionales

Dados dos nmeros racionales a2b y c2d

, se puede establecer una de estas relaciones:

a2b . c2d

a2b 5 c2d

a2b , c2d

Actividad resuelta

Comunicacin

1 Establece cul de estos nmeros, 2 325 o 27210 , es mayor.

Solucin: Para comparar nmeros racionales, se utilizan criterios similares a los

utilizados para comparar fracciones. Observa:

2 325 27210

2 6210 27210

26 . 27

2 6210 . 27210


Destreza con criterios de desempeo: Reconocer el conjunto de los nmeros racionales Q e identificar sus elementos.

1.2 Nmeros racionales

El conjunto de los nmeros racionales (Q) es el conjunto de nmeros que se

pueden escribir de la forma a2b, donde a y b son nmeros enteros con b 0.

Se reducen al mnimo comn denominador, es decir, se obtienen fracciones equivalentes cuyo denominador sea el mnimo comn mltiplo de los dos denominadores.

Se comparan los numeradores y se obtiene la conclusin.

Ejercitacin

2 Encuentra cuatro fracciones equivalentes en cada caso.

a. 725 b. 425 c.

30245

d. 2 16220 e. 2925 f. 2

124

Comunicacin

3 Calcula, en cada caso, la fraccin irreducible.

a. 302150 b. 28242 c.

1823

4 Explica qu diferencias hay entre nmeros enteros y nmeros racionales. Despus, responde.

a. Todos los enteros son racionales?

b. Todos los nmeros racionales son enteros?

c. Cul es la relacin entre los conjuntos Z y Q?

d. Cul es la relacin entre los conjuntos N y Q?

Razonamiento

5 Escribe ., , o 5, segn corresponda.

a. 22 325 b. 529

2429

c. 524 427 d.

7226

625

e. 528 527 f. 2

628

2326

g. 26212 4212 h. 0

4213


6 En un grupo de 100 personas, 225 prefieren la msica

moderna; 3210 , la msica clsica y el resto, el jazz.

a. Qu parte del grupo prefiere el jazz o la msica clsica?

b. Cuntas personas prefieren cada tipo de msica?


Nmeros racionalesAbre la aplicacin GRE Math Arithmetic Review LE y enfrntate a cada uno de los retos asociados con conjuntos numricos, sus operaciones y relaciones.

12

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ExploraLa Figura 1 presenta el porcentaje de preferencias de tipos de deportes de un grupo de personas.

De qu otra manera se pueden representar estos porcentajes?

Ten en cuenta

Para conocer qu tipo de expresin decimal tiene un nmero fraccionario, basta con identificar los factores primos de su denominador as:

Si solo tiene como factores el 2 o el 5, la expresin decimal es exacta.

Si contiene factores distintos de 2 y 5, la expresin es peridica pura.

Si, adems del 2 o del 5, tiene otros factores, la expresin es peridica mixta.

Ftbol40%

Otros9%

Ecuavoley18%

Bsquet16%

Ciclismo12%

Ajedrs5%

Expresiones fraccionaria y decimal de un nmero racional

El porcentaje es un tipo de comparacin entre dos cantidades: una indica la par-te o un total y la otra corresponde al total o unidad. Entonces, todo porcentaje se puede escribir como una fraccin. En las fracciones, el numerador correspon-de al valor de la parte y el denominador es 100, ya que equivale al valor total de la unidad. (Tabla 1)

Tipo de deporte

Ftbol Ecuavoley Bsquet Ciclismo Ajedrs Otros

Porcentaje 40% 18% 16% 12% 5% 9%

Expresin fraccionaria

402100

182100

162100

122100

52100

92100

Adems, cada fraccin se prodra escribir como un nmero decimal.

2.1 Expresin decimal de un nmero racional

Segn la informacin de la Tabla 1, el valor 18% equivale a 182100 del total. Observa:

Porcentaje Nmero racional Expresin decimal

18% 5 182100 5 0,18

La expresin decimal equivale a la divisin del numerador entre el denominador.

Ejemplo 1

La expresin decimal de los porcentajes de la Figura 1 se calcula as:


402100

182100

162100

122100

52100

92100

Expresin decimal 0,4 0,18 0,16 0,12 0,05 0,09

2.2 Clasificacin de las expresiones decimales

De acuerdo con la estructura de las cifras decimales, la expresin decimal de un nmero racional puede ser exacta, peridica pura o peridica mixta.

Expresin decimal Caractersticas Ejemplo

ExactaTiene un nmero finito de cifras decimales. Equivale a una fraccin decimal, es decir, una con denominador 10 o una potencia de 10.

922 5 4,5

Peridica puraSu parte decimal est formada por un grupo de cifras que se repite indefinidamente. Ese grupo se llama periodo.

1023 5 3,33 5 3,3

Peridica mixta

Su parte decimal est formada por un gru-po de cifras que no se repite y un grupo de cifras que se repite indefinidamente. El gru-po que no se repite se llama anteperiodo.

2526 5 4,166 5 4,16

Tabla 1

Tabla 2

Tabla 3

Figura 1

2

13


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La clasificacin de las expresiones decimales de los nmeros racionales se puede resumir de la siguiente manera:

Exactas

Expresiones decimales Mixtas

Peridicas

Puras

Ejemplo 2

Al calcular la expresin decimal de los nmeros 524 , 723 y

1726 , se encuentra esto:

524 5 1,25 723 5 2,333

1726 5 2,8333

De lo anterior, se deduce que las expresiones decimales son:

Exacta Peridica pura Peridica mixta Parte decimal Periodo Periodo

524 5 1,25 723 5 2,3

1726 5 2,8333

Parte entera Parte entera Parte entera Anteperiodo

2.3 Fraccin generatriz de un nmero racionalTodo decimal exacto, peridico puro y peridico mixto tiene una representacin fraccionaria llamada fraccin generatriz.

Fraccin generatriz de una expresin decimal exactaLa fraccin generatriz de una expresin decimal exacta es aquella cuyo numerador es igual a la parte entera seguida por la parte decimal (sin la coma) y el denominador es una potencia de 10, con tantos ceros como cifras decimales tiene el nmero.

Ejemplo 3

La fraccin generatriz de 4, 356 7 se puede conseguir as:

4, 356 7 5 4, 356 7 ? 10 00010 000 5

43 56710 000

Fraccin generatriz de una expresin decimal peridica puraLa fraccin generatriz de una expresin decimal peridica pura con parte entera nula tiene por numerador el periodo y por denominador el nmero formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo. Si el nmero tiene parte entera distinta de cero, se calcula la fraccin generatriz de la parte decimal y despus se le suma la parte entera.

Ejemplo 4

La expresin decimal 13,735 735 735 735 735 es peridica pura y su periodo tiene tres cifras. Para encontrar su fraccin generatriz, se puede proceder as:

13 1 7352999 54 5742999

Tantos nueves como cifras tenga el periodo

Destreza con criterios de desempeo: Reconocer a los nmeros racionales como un nmero decimal y/o como una fraccin.

Ten en cuenta

La fraccin generatriz de un nmero decimal exacto se calcula de la siguiente forma:

Nmero sin coma

10...0

Tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.

La fraccin generatriz de un nmero decimal peridico puro se halla as:

Parte entera 1 periodo

9...9

Tantos nueves como cifras tenga el periodo.

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2 Expresiones fraccionaria y decimal de un nmero racional

Ten en cuenta

La fraccin generatriz de un nmero decimal peridico mixto es:

Parte entera 1

Tantos nueves como cifras

tenga el periodo.

Tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.

Anteperiodo periodo2Anteperiodo

9....9 0....0

Fraccin generatriz de una expresin decimal peridica mixtaLa fraccin generatriz de una expresin decimal peridica mixta con parte entera nula tiene por numerador un nmero formado por el anteperiodo seguido del periodo, menos el anteperiodo; tiene por denominador un nmero con tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. Si el nmero tiene parte entera distinta de cero, se calcula la fraccin generatriz de la parte decimal y despus se le suma la parte entera.

Ejemplo 5

La fraccin generatriz de la expresin decimal 5,345 222 222 se calcula as:

5 1 3 452 2 345

9 000 5 5 1 3 1079 000 5

48 1079 000

Actividad resuelta

Comunicacin

1 Calcula la generatriz de las expresiones decimales 0,45; 2,151 5 y 3,822 Solucin:

0,45 es una expresin decimal exacta, entonces: 0,45 5 452100 5 9220 .

2,15 es una expresin decimal peridica pura; por lo tanto:

2,151515... 5 2 1 0,151515... 5 2 1 15299 5 2 1 5233 5

71233

3,822 es una expresin decimal peridica mixta, luego:

3,8222 5 3 1 0,82222... 5 3 1 82 2 8

90 5 3 1 74290 5

172245

MatemaTICS

F1 F2 F3 F4 F5 F6

F1 F2 F3 F4 F5 F6

56 50 =

1 .1 2

Convierte los resultados de decimal a fraccin

Las calculadoras cientficas tienen una funcin que permite convertir un resultado decimal en fraccin y viceversa, utilizando la tecla .

Cuando el resultado se da en fraccionario, esta funcin da la salida de la expresin como el nmero decimal correspondiente.

Por ejemplo, se efecta la operacin 56 4 50. As:

Entonces, se observa en la pantalla esto:

Al oprimir la tecla , la calculadora muestra la siguiente expresin:

Al oprimir nuevamente la tecla , la calculadora muestra la cantidad 1,12.

15


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Agua en la Tierra Agua dulce en la Tierra

97 % Salada 66,25 % Glaciares

3 % Dulce 33,25 % Subterrnea

0,5 % Ros y lagos

Ejercitacin

2 Calcula la expresin decimal que le corresponde a cada una de las siguientes fracciones.

a. 325 b. 724 c.

229

d. 2325 e. 6524 f.

4224

g. 1326 h. 92251 i.

1527

3 Completa la Tabla 4.

Expresin decimal

0,57 3,25 4,36


327

9220

4 Halla la fraccin generatriz de cada nmero decimal.

a. 5,3 b. 0,125 c. 7,05

d. 0,74 e. 4,06 f. 3,123

g. 83,2 h. 23,5 i. 84,26

j. 90,351 k. 5,38 l. 0,4232

m. 0,35 n. 6,11 . 235,42

Razonamiento

5 Halla la expresin decimal de los nmeros que estn en las casillas y colorea segn la clave dada.

126 2

325 2

529

2326

1329

122

522 2

723

223

425

3328

123

125

124

129 2

7227

4326

2529 2

725

528

Colorea de azul las casillas que tengan fracciones cuya expresin decimal sea exacta.

Colorea de verde las casillas que tengan fracciones cuya expresin decimal sea peridica pura.

Colorea de rojo las casillas que tengan fracciones cuya expresin decimal sea peridica mixta.

Comunicacin 6 Escribe cada nmero fraccionario en forma de nme-

ro decimal. Explica qu tipo de decimal es cada uno y, si existen, cul es la parte entera, el anteperiodo y el periodo de cada caso.

a. 1229 b. 7215 c.

1726

d. 527 e. 928 f.

1233

7 Sin hacer la divisin, explica qu tipo de expresin decimal corresponde a cada fraccin.

a. 177 45 b.

3427 c.

9322

d. 127 12 e.

59220 f.

29277

8 Rodea la o las afirmaciones que son verdaderas.

a. Un nmero racional se puede representar con muchas expresiones fraccionarias.

b. Todo nmero entero es racional peridico.

c. Los nmeros racionales forman el conjunto de todos los nmeros con infinitas cifras decimales.

d. Toda fraccin se puede escribir como un decimal.


9 El agua es un elemento escaso en la Tierra, sobre todo la que se utiliza para satisfacer las necesidades diarias.

De cada 100 litros de agua, qu parte se encuentra en ros y lagos?

10 En un grupo de 150 personas, 225 prefieren ir de va-

caciones a la playa; 125 , a la sierra y el resto prefieren quedarse en casa.

a. Qu parte del grupo prefiere quedarse en casa?

b. Cuntas personas prefieren cada opcin para sus vacaciones?

11 Marina quiere saber si existen dos nmeros enteros cuyo cociente sea 7,414 114 11. Aydala a averiguarlo y justifica.

Tabla 4

Tabla 5

Figura 2


Destreza con criterios de desempeo: Reconocer a los nmeros racionales como un nmero decimal y/o como una fraccin.

16

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882

682

0282

182

582

482

382

782

Nmeros racionales en la recta numrica

Paso 14

ExploraEn un tornillo, se llama "paso" a la distancia entre los filamentos. En la

Figura 1, el paso del tornillo es 124 cm.

Si por cada vuelta que se le da al tornillo su avance es igual a un paso, cuntas vueltas se necesitan para que el tornillo se enrosque to-talmente? Que distancia alcanza a penetrar el tornillo en dos vueltas?

Ten en cuenta

Para poder representar los nmeros ra-cionales en la recta numrica, se debe ubicar un punto origen, 0, y un punto para designar la unidad 1. A partir de esta unidad se construyen los nme-ros enteros, replicando esta distancia hacia la derecha para los positivos o hacia la izquierda para los negativos.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4 Figura 5 Figura 6

0 1

44

34

24

14

10 10 1

0 15

25

35

45

55

Primeravuelta

Segundavuelta

Terceravuelta

Cuartavuelta

El tornillo tiene cuatro pasos, por cada vuelta avanza un paso; por lo tanto, el tornillo necesita cuatro vueltas para quedar completamente enroscado. En este caso, cada vuelta corresponde a un cuarto del tornillo.

La representacin grfica de las vueltas o pasos se puede mostrar sobre una recta numrica. En esta, a cada nmero racional le corresponde un punto de la recta. Entonces, se divide la unidad en cuatro partes y se seala una por cada vuelta que da el tornillo.

Para representar un racional en la recta numrica, se dividen las unidades en tantas partes como indica el denominador y se toman tantas como indica el numerador. Los racionales negativos toman las partes hacia el lado izquierdo del cero.

Ejemplo 1Representa el racional 2 728 en la recta numrica.

El procedimiento descrito para representar el racional 2 728 consiste en dividir la unidad en ocho partes iguales como lo indica el denominar. Luego, se toman siete de estas partes. Como el racional es negativo, las partes se deben tomar hacia la izquierda del nmero 0.

No siempre es fcil dividir la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador; por eso, en ocasiones, la representacin de un racional utiliza el teorema de Tales.

Actividad resuelta

Ejercitacin 1 Representa en la recta numrica el racional 425 .

Solucin: El procedimiento para representar grficamente el racional 425 es el siguiente.

Se ubica en la recta el cero y la unidad. Luego, se traza una recta que pase por el punto cero (0) como se muestra en la Figura 4.

Sobre esta recta se identifica un segmen-to base. La medida de este segmento se debe replicar tantas veces como lo indique el denominador, como se ve en la Figura 5.

Se une el segmento final con el nmero 1 y se trazan las lneas paralelas a esta lnea. De esta manera, la unidad, que est ubicada en la recta numrica, queda dividida en tantas partes como lo indica el denominador. Observa la Figura 6.

3

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Destreza con criterios de desempeo: Representar y reconocer a los nmeros racionales como un nmero decimal y/o como una fraccin.

1010

0 21

22 021

Ejercitacin

2 Representa en la recta numrica los nmeros 724 y 326 .

3 Representar grficamente los racionales 425 y 223 en la

recta numrica.

Razonamiento

4 La fraccin 625 es una fraccin impropia y se puede expresar como un entero y una fraccin propia,

1 y 125 , o como una fraccin mixta, es decir 1125 .

Expresa los siguientes racionales en forma de entero y fraccin propia y grafica en la recta numrica.

a. 725 b. 624 c.

827 d.

1023 e.

826 f.

522

Ejercitacin

5 Representa grficamente en la recta numrica los siguientes racionales, escritos en forma decimal.

a. 1,5 b. 1,2 c. 0,3 d. 1,25 e. 22,5

6 Escribe en forma decimal y fraccionaria los siguientes porcentajes.

a. 35% b. 80% c. 50% d. 100% e. 10%

7 Representa grficamente en la recta numrica los siguientes porcentajes.

a. 20% b. 75% c. 50% d. 100% e. 10%

8 Representa en la recta numrica, los racionales representados en las siguientes figuras. a.

b.

c.

9 Indica el nmero racional que representan los puntos indicados en cada figura.

a. b.

c.

d.

10 En la recta numrica grafica y establece el orden de cada grupo de nmeros.

a. 21; 2,5; 1,33; 6,7

b. 422 , 227 ,

924 ,

1023

c. 0,725; 522 ; 22,34; 1,45; 423


11 A una fiesta de nmeros racionales, asistieron los siguientes:

49290 6211

11220

529

5412990

Se quisieron ordenar de mayor a menor. A uno se le ocurri que para ello podran vestirse de nmeros decimales, pero algunos de ellos no haban trado el traje.

a. Cmo quedaron ordenados?

b. Entraron a la fiesta cuatro colegas y cada uno de ellos se situ entre dos de los otros. Se vistieron para ello de decimales, uno de exacto, otro de peridico puro, otro de peridico mixto y, el ltimo, de irracional. Qu posibles colegas encajaran con esas condiciones? Mencinalos y justifica con una grfica

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10 Figura11

Figura12

Figura13

Figura14


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Operaciones con nmeros racionales

ExploraUna baera se puede llenar por medio de dos llaves: la llave A la llena en 30 minutos y la llave B la llena en 20 minutos.

En cunto tiempo se llenar la baera si se abren las dos llaves al mismo tiempo?

Ten en cuenta

Las propiedades de las potencias para nmeros enteros se aplican tambin en los nmeros racionales. Observa.

Si a, b e Z, con a 0, y m, n e N, se tiene:

an 5 a3a3a3a3 3a

a0 5 1

(an )m 5 an?m

am 3 an 5 am1n

am 3 bm 5 (a?b)m

am 4 an 5 am2n

a2n 5 12an

5

La velocidad con la que se llena la baera con la llave A se puede escribir como un

nmero racional 1230 . Igualmente, la velocidad de la llave B corresponde al racional 1220 .

Para calcular la velocidad con la que se llena el tanque al abrir las dos llaves, se

deben adicionar las dos velocidades, es decir: 1230 1 1220 . Entonces:

Se calcula el m.c.m. de los denominadores m.c.m. (30, 20) 5 60.

Se buscan las fracciones equivalentes a 1230 y 1220 ,

con denominador 60.Son: 2260 y

3260 .

Se adicionan las fracciones obtenidas y, si es posible, se simplifica el resultado.

2260 1

3260 5

5260 5

1212

Como la suma de las dos velocidades es 5260 , se concluye que las dos llaves llenan cin-

co baeras en 60 minutos y que las dos llaves llenan una baera en 12 minutos ( 1212 ).

Para resolver ciertas situaciones, es necesario aplicar operaciones entre racionales, tales como la adicin, la sustraccin, la divisin, la multiplicacin y la potenciacin.

Si a, b, c, d e Z, con b y d 0, y m, n e N, entonces las operaciones con nmeros reales se pueden definir como se muestra a continuacin.

Adicin

a2b 1

c2b 5

a 1 cb

a2b 1

c2d 5

a ? db ? d 1

c ? bd ? b 5

a ? d 1 c ? bb ? d

Sustraccin

a2b 2

c2b 5

a 2 cb

a2b 2

c2d 5

a ? db ? d 2

c ? bd ? b 5

a ? d 2 c ? bb ? d

Multiplicacin y divisin

a2b 3

c2d 5

a ? cb ? d

a2b 4

c2d 5

a2bc

2d

5 a ? db ? c

Potenciacin y radicacin

5 am

bm am

an 5 am2n 1

an 5 a2n 5 1

5 5 5 5 5

Actividad resuelta

Ejercitacin

1 Resuelve estas operaciones: 3213 1 2 1413 , ,

22532 3

12220 y .

Solucin:

a. 3213 1 2 1413 5

3 1(214)13 5

21113 b. 5

c. 22532 3 12220 5

(225) ? (12)(32) ? (20) 5

2300640 5

21532 d. 5

73233

5 34327

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Destreza con criterios de desempeo: Operar en Q (adicin y multiplicacin) resolviendo ejercicios numricos.

Ejercitacin

2 Resuelve las operaciones indicadas.

a. {211 1 2911 b.

175 1

2195 c.

246 1

78

d. 258 2 1120 e.

915 2

2712 f.

75 3

286

g. 136 3 4

11 h. 210

8 3 21220 i.

1516 3

2205

j. 2012 4 2530 k.

2253210216

l.

229826

m. n. 98

296 .

Razonamiento

3 Completa los espacios con el signo que hace falta (1, 2, 3, 4) para que cada igualdad sea cierta.

a. 523 327 5

44221

b. 627 425 5

30228

Ejercitacin

4 Resuelve paso a paso las operaciones de cada parntesis.

a. 2 b. 1

c. 1 d. 2

e. 1 f. 2 1 423 4 128

2

g. 4 h. 4

Razonamiento

5 Completa la siguiente tabla.327 1 2 5

2 6

2 6

2 2725 5

2220

922 3 2 5

27214

2 41125 5 2

20 2 22

52 1 2

75

5214

282 2

92 5 2

93 2 30

6 Realiza las siguientes operaciones.

a. b.

c. d.


7 Para la celebracin de una victoria de la seleccin Ecuatoriana, en una panadera prepararon un pastel.

Vendieron 123 de pastel y obsequiaron 125 . Qu can-

tidad del pastel les qued?

8 Un pintor recibe 35 227 litros de pintura azul para

decorar la fachada de una casa. El pintor gast 23 127 litros para terminar el trabajo Cunta pintura ahorr?

9 El recorrido de una etapa de una vuelta ciclstica

tiene una longitud de 213 km y un ciclista recorre 223 del trayecto en cinco horas.

Cuntos kilmetros le faltan para acabar la etapa?

Si contina con el mismo promedio de velocidad, cunto tiempo le falta para terminar la etapa?

10 Un ciclista ha recorrido 1 375 124 metros en una bici-

cleta cuya rueda mide 2 123 metros de circunferencia. Cuntas vueltas ha dado la rueda?


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Nmeros irracionales

ExploraAl solucionar o simplificar algunas expresiones matemticas, se obtie-nen nmeros con caractersticas par-ticulares y curiosas como es el caso del nmero pi (p).

Ten en cuenta

Ten en cuenta

El "nmero ureo" es la relacin que existe entre dos segmentos a y b, segn la siguiente proporcin: a 1 b

a 5 a b . Esta relacin se

puede expresar de esta manera:

w 5 1 1 52 . A este nmero lo encon-tramos, por ejemplo, en la disposicin de los ptalos de las flores, en la distri-bucin de los tallos de los rboles, en las espirales y en las conchas de caracoles.

En un tringulo rectngulo, los lados

que forman el ngulo recto se llaman

catetos y el lado mayor se denomina

hipotenusa.

Hipotenusa = h

Cateto = c 2

Cateto = c 1

Teorema de Pitgoras

En todo tringulo rectngulo, el cua-drado de la medida de la hipotenusa es equivalente a la suma de los cua-drados de las medidas de los catetos. Esto es: h2 = c12 + C22

Longitud circunferencia 12.57 Dimetro 4

Dimetro

4321

Longitud de circunferencia 12.57

Dimetro 45 5 3.1425

1

1

21

1 31021 2

21

1021 2

21

2

1

1

21

1

0 321 862

2

753

1

0 321 2

4

53

31021 2

21

1021 2

21

2

1 11

0 21 20 1

3

22

2

3

3

5

El nmero p es un nmero que se expresa como la razn entre la longitud de la

circunferencia y su dimetro, as: p 5 Longitud de la circunferencia

Dimetro .

Este nmero no se puede expresar como una razn entre dos nmeros enteros y su expresin decimal es infinita no peridica. Por lo tanto, p no es un nmero racional.

Una forma de hallar un valor aproximado de p es mediante el siguiente procedimiento:

Se traza un crculo y se toma la medida de longitud de la circunferencia por medio de una cuerda, que luego se debe medir con una regla.

Se toma la medida del dimetro procurando que sea lo ms exacto posible. Se divide la longitud de la circunferencia ente el dimetro; para ello se puede

usar una calculadora. El valor obtenido es un valor aproximado al valor real de p.

Los nmeros irracionales son aquellos que no se pueden expresar como razones entre nmeros enteros y tienen como caracterstica que su expresin decimal es infinita no peridica. Este conjunto se representa con el smbolo I.

En el conjunto de los nmeros irracionales encontramos todas las races que no son exactas, como , , , etc. Adems, entre los nmeros irracionales encon-tramos nmeros especiales como p, w (nmero ureo) o e (nmero de Euler).

5.1 Nmeros irracionales en la recta numricaA cada nmero irracional le corresponde un punto en la recta. Por ejemplo, se pueden graficar los nmeros que son races utilizando el teorema de Pitgoras.

Actividad resuelta

Ejercitacin

1 Representa el nmero irracional en la recta numrica. Solucin:

Se construye un cuadrado de lado 1 sobre la recta numrica, entre el nmero 0 y el 1, y se obtiene la diagonal d 5 5 (Figura 2).

Se hace un arco con centro en 0 y radio igual a la diagonal (Figura 3), El arco corta a la recta en dos puntos. La distancia de estos al punto 0 es

. Luego, a la derecha de cero se encuentra el punto (Figura 4).

Este procedimiento se puede aplicar como se ve en las figuras 5, 6, 7 y 8 para representar los nmeros , y , entre otros.

Figura 1

Figura 2

matematica9v2.pdf - ministerio de educación – … - ministerio de educación – institución del

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