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Instituto Tecnológico de SaltilloMatemáticas I

M.C. Ignacio Dávila RíosUnidad I Los Números Reales

Enero 2010

M.C. Ignacio Dávila Ríos Unidad I Los Números Reales ()Instituto Tecnológico de Saltillo Enero 2010 1 / 24

Los Números Reales

Los números reales no son aquellos números que portan los jugadoresdel Real Madrid mas bien estos forman parte de los números reales.


Clasificación de los Números Reales

Los números reales se clasifican en NÚMEROS NATURALES.

Son aquellos números que utilizamos para contar: 1,2,3,4,5,6,...



Se cree que se llaman así porque eran los que utilizaban los hombresen la era prehispánica cuando cazaban a sus presas, esta era unaforma de contar, así como también el paso de los días.

Se representan con el símbolo N. Todo par de números naturales se puedensumar o multiplicar y su resultado es otro número natural.



Conjunto de los Números Enteros

La operación de resta es muy necesaria para muchos fines, pero elconjunto de los números naturales no es cerrado bajo la resta. Porejemplo si restamos 3 de 7, obtenemos 4, pero no podemos restar 7 de3 por que obtenemos -4, si es que queremos permanecer dentro delconjunto de los N (naturales).Para permitir la operación de la resta se amplía el conjunto de losnúmeros naturales con el objeto de formar el conjunto de los númerosenteros.



El conjunto de los números enteros consiste en los númerosnaturales, el negativo de cada uno de ellos y el cero....-3,-2,-1,0,1,2,3...El conjunto de los enteros se representa mediante el símbolo Z (de lapalabra alemana zählen que significa número).La suma, la multiplicación y la resta de dos enteros da como resultadoun entero, lo cual los números enteros son cerrados bajo estasoperaciones.



Conjunto de los Números Racionales

Se introduce el conjunto de los números racionales para permitir ladivisión entre dos números diferentes de cero.Un número racional tiene la forma p/q, siendo p y q enteros y q 6= 0.El conjunto de los números racionales se representa con Q (decociente), y es cerrado para la suma, resta, multiplicación y conexcepción del cero para la división.



Conjunto de los Números IrracionalesLos números racionales satisfacen todas las propiedades aritméticascomunes, pero no tienen una propiedad llamada compleción; esto es, hayalgunos números escenciales que faltan en él. Aproximadamente en el año400 a. de C. los matemáticos griegos de la escuela pitagórica se dieroncuenta de que el valor

√2, es decir la longitud de una diagonal de un

cuadrado cuyos lados miden 1, no es un número racional.



Conjunto de los Números Irracionales

Los números irracionales antes se llamaban inconmesurables porqueno se pueden comparar en forma directa con los números racionales.Hay muchos números irracionales, como

√2,√

5, π y√

3/2.Los números irracionales se denotan con la letra H.



¿Cuál es la diferencia entre los números racionales y los irracionales?

Los números racionales son aquellos cuyos desarrollos terminan porrepetir su secuencia, como por ejemplo.12 =0.50000, 1

3 =0.3333, 1611 =1.45454545

Los números irracionales son aquellos con expansión decimal infinita,es decir sin grupos repetitivos, como por ejemplo.π =3.14159265358979...,

√5 =2.236067977499..., etc.



Conjunto de los Números RealesEl conjunto R de los Números Reales consiste de los números racionalesmas los irracionales.


Recta de los Números Reales

Representación geométrica de los números reales

El conjunto de los números reales puede ponerse en correspondenciade uno a uno con los puntos de una recta horizontal, llamada rectade los números reales.


Desigualdades

La mayoria de nosotros esta familiarizado con operaciones en las que seinvolucran símbolos de igualdad, tal es el caso de las ecuaciones quenormalmente utilizamos en física por ejemplo.

e = mc2


Desigualdades

O bien operaciones en las que se involucran los símbolos deproporcionalidad, tal es el caso de la fórmula de atracción entre dos cargaseléctricas propuesta por Coulomb.

F1,2∞q1q2r2

F1,2 = Kq1q2r2


Desigualdades

La posición relativa de los puntos sobre una recta numérica se usa paradefinir una relación de desigualdad en el conjunto de los números reales.Se dice que a es menor que b, y se escribe a < b, cuando el número real aesta a la izquierda del número real b en la recta numérica. Esto equivale adecir que b es mayor que a, lo cual se escribe b > a.


Desigualdades

La notación a 6 b o b > a se usa para expresar que a es menor o igual queb o que b es mayor o igual que a. A continuación se muestran algunas delas propiedades de las desigualdades.Propiedades de las desigualdades

1 Para a, b y c solamente se puede cumplir una opción de las siguientes:a < b, b < a, a = b

2 Si a > b, entonces a+ c > b+ c

3 Ej. Si 4 > 2 entonces 4 + 1 > 2 + 1 es decir, 5 > 34 Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

5 Ej. Si 4 > 2 entonces (4)(1) > (2)(1) es decir,4 > 26 Si a > b y c < 0, entonces ac < bc

7 Ej. Si 4 > 2 y c = −2 entonces (4)(−2) < (2)(−2) es decir, −8 < −4


Desigualdades

EJEMPLO 1 Determine todos los números reales que satisfacen2x− 1 < 4x+ 3.solución Para determinar los números x que satisfacen la desigualdad, sedespeja la x aplicando las propiedades de las desigualdades. Primero sesuma -3 a ambos lados de la desigualdad.

2x− 1 + (−3) < 4x+ 3 + (−3) para obtener 2x− 4 < 4x

Ahora se suma −2x a cada lado para obtener

−4 < 2x

Al multiplicar ambos lados de la última desigualdad por 12 se obtiene la

solución −2 < x o bien se puede escribir de la siguiente forma: x > −2,como se ve en la figura.


Desigualdades

EJEMPLO 2 Determine todos los números reales x que satisfacen lasiguiente desigualdad:

−1 < 2x+ 3 ≤ 5


Intervalos

La notación de intervalos es una forma conveniente de representar algunosconjuntos importantes de números reales. Para los números reales a y b,siendo a < b, se define el intervalo abierto (a, b) como:

(a, b) = {x | a < x < b}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor que b ymayor que a”.


Intervalos

Cuando los extremos del intervalo se incluyen en el conjunto, el conjunto sellama intervalo cerrado y se representa como:

[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor o igual queb y mayor o igual que a”.


Intervalos

Un intervalo que contiene un extremo pero no el otro se llama intervalosemiabierto (aunque también se le podría llamar semicerrado). Así los dosintervalos

(a, b] = {x | a < x ≤ b}Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor o igual queb y mayor que a”.

y

[a, b) = {x | a ≤ x < b}Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor que b ymayor o igual que a”.


Intervalos

Además de los intervalos con extremos finitos, se usa el símbolo infinito,∞, para indicar que un intervalo se extiende en forma infinita. Se dice queese intervalo es no acotado.

[a,∞) = {x | x ≥ a}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es mayor o igual quea”.


Intervalos

Otros de los tipos de intervalos infinitos se muestran acontinuación:

(a,∞) = {x | x > a}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es mayor que a”.

(−∞, a] = {x | x ≤ a}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor o igual quea”.


Intervalos

Los últimos dos tipos de intervalos infinitos se muestran a continuación.

(−∞, a) = {x | x < a}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor que a”.

y finalmente

(−∞,∞) = {x | −∞ < x <∞}

Y se lee “el conjunto de números reales x tales que x es menor que ∞ peromayor que −∞”.


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