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Física Patricia Zúñiga Cendejas

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Vademécum de Mecánica Variacional

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Víctor Manuel Castaño Meneses - Miguel de Icaza-Herrera

Dedicatoria

A Miguel Ángel Castaño Meneses (1961-2015)

A Yolanda Gómez Castellanos (1962-2012)

Por lo mucho que ambos me enseñaron

VC

Agradecimiento

Los autores agradecen al Lic. Manuel Lavín su cuidadosa revisión del texto,

desde la perspectiva de un reconocido experto en lengua española.

Índice general

La Academia de Ingeniería de México 1

Prefacio 2

1. Principios variacionales locales 3

1.1. El principio del trabajo virtual 3

1.2. Demostración del principio del trabajo virtual 8

1.3. Principio de D'Alembert 9

1.4. Aplicación del principio de D'Alembert a un .sistema mecánico 10

1.5. Coordenadas generalizadas 12

1.6. Ecuaciones de LaGrange 15

1.7. Energías cinética y potencial en coordenadas generalizadas 18

1.8. Ejercicios 18

2. Problemas variacionales integrales 21

2.1. Problema isoperimétrico de Steiner 21

2.2. Problema de Fermat 23

2.3. El problema de la braquistócrona 27

2.4. El problema isoperimétrico 27

2.5. El problema de la catenaria 28

2.6. Ejercicios 29

3. Cálculo de variaciones 31

3.1. El método de Euler 31

3.2. El lema fundamental 34

3.3. La braquistócrona 36

3.4. Ejercicios 39

4. Un principio variacional Integral 41

4.1. Introducción 41

4.2. El principio de Hamilton 41

4.2.1. Caso con una sola coordenada generalizada 42

4.2.2. Caso con n coordenadas generalizadas independientes 43

4.2.3. Caso con ligaduras no holonómicas 44

4.3. El principio de Hamilton deducido 47

4.4. Ejercicios 51

5. Las integrales del movimiento 53


5.2. La conservación del ímpetu 54

5.3. La conservación de la energía 55

5.4. El momento cinético o angular 56

5.5. Ejercicios 57

6. La mecánica según Landau 59


6.1.1. Las leyes de Newton 62

6.2. Algunas propiedades de la lagrangiana 65

6.2.1. Aditividad de la lagrangiana 65

6.2.2. Ambigüedad de la lagrangiana 67

6.2.3. Sistemas de referencia inerciales 69

6.2.4. Principio de relatividad de Galileo 71

6.2.5. Lagrangiana de una partícula libre en un sistema de referencia inercial 72

6.2.6. Demostración alternativa de Ʌ = av2 73

6.2.7. La masa debe ser un número positivo 74

6.3. Conclusión 75

6.4. Ejercicios 77

A. Diferencial de una funcional 79

A.1. Ejercicios 83

B. Bibliografía sugerida y comentada 85

1

La Academia de Ingeniería de México

La Academia de Ingeniería de México (AIM) es una asociación, sin fines de lucro, que agrupa y promueve la participación y colaboración de los más distinguidos ingenieros y profesionales afines del país y del extranjero, quienes se han destacado en la práctica, en la investigación y en la enseñanza de las diversas ramas de la ingeniería, y que coadyuvan al desarrollo equitativo, creciente y sustentable de México.

Es una institución reconocida y respetada por su liderazgo y participación activa en los sectores público, privado y social de México, que tiene como propósito lograr una ingeniería mexicana innovadora, competitiva y protagónica en temas que impacten en el desarrollo sostenible del país.

La AIM es un centro de pensamiento y reflexión estratégico sobre la ingeniería, en especial, la nacional, dirigido a promover y difundir la vocación, la educación, el ejercicio profesional, la investigación, y la innovación en la ingeniería al más alto nivel y con compromiso social.

México no se puede explicar sin la contribución de los ingenieros, tanto en su infraestructura, como en la industria y servicios. En un entorno de cambios rápidos y profundos, de mayor competencia interna y externa, así como de la urgente necesidad de resolver rezagos añejos, el país deberá resolver los grandes desafíos para que pueda desplegar todo su potencial de desarrollo. Es por ello que la AIM estableció, como prioridad estratégica, contribuir al debate público sobre el rumbo que tomará nuestro país en los próximos años en temas prioritarios para el desarrollo. Se busca, así, lograr la incidencia en las decisiones nacionales más relevantes, convencidos de que la ingeniería mexicana tiene mucho que aportar en el análisis y evaluación de las políticas públicas relacionadas con infraestructura, energía, telecomunicaciones, clústeres industriales, medio ambiente y muchas otras áreas. Para lograrlo, la AIM decidió identificar los Grandes Retos de la Ingeniería Mexicana (GRIM) para focalizar en ellos sus esfuerzos de reflexión y propuesta. Los nueve GRIM son: 1. Alimentos y Desarrollo Rural 2. Competitividad e Innovación 3. Energía y Sustentabilidad 4. Educación e Investigación en Ingeniería 5. Infraestructura, Transporte y Ciudades 6. Manufactura y Servicios 7. Prospectiva y Planeación 8. Recursos Naturales y Cambio Climático 9. Salud

La actividad editorial de la Academia de Ingeniería de México representa el principal medio de expresión, en medios impresos y electrónicos, hacia el interior y el exterior, de su quehacer. Se ha diseñado para contribuir eficazmente al logro de una ingeniería mexicana innovadora, competitiva y protagónica ya que aborda temas estratégicos que impacten en el desarrollo equitativo y sostenible del país.

La actividad editorial de la AIM está encaminada a la divulgación de la ingeniería, especialmente a la difusión de su repositorio de conocimientos y de los resultados de reflexiones de los grupos colegiados de pensamiento estratégico. Las publicaciones se encuentran estructuradas en series, además de sus publicaciones periódicas, las cuales le dan agilidad y pertinencia a la expresión del trabajo de la organización.

2

Prefacio

Los principios variacionales se utilizan en muchas áreas de la ciencia e ingeniería, tales como la

termodinámica, computo por elementos finitos, teoría de control y optimización. En esta

monografía se describen sus ideas básicas y sus aplicaciones a la mecánica, siendo muy conveniente

para el estudiante, al encontrar esta información en un solo lugar. El estilo del escrito es conciso, a

la vez que riguroso, y el texto lo suficientemente sencillo para estudiantes de licenciatura con

nociones de algebra vectorial y cálculo de variables múltiples. No se requieren conocimientos

previos de mecánica avanzada, aunque los más adelantados también lo encontrarían útil. Como

complemento hay un apéndice sobre funcionales y sus derivadas. Asimismo, existe una amplia

gama de ejercicios en cada capítulo para que los alumnos practiquen. Las referencias históricas

hacen el tema más interesante y una bibliografía anotada permitirá al lector encontrar material

adicional.

El libro está dividido en dos partes: la primera trata de los fundamentos del cálculo de variaciones y

la segunda, de sus aplicaciones a la mecánica.

Como el tema puede tratarse desde varios puntos de vista y, a veces, la relación entre el enfoque

clásico newtoniano y otros, como el langragiano y el hamiltoniano, así como la perspectiva más

reciente de Landau, no quedan claros para el principiante, en este libro los principios variacionales

sirven para conectar estos enfoques. Las ecuaciones de movimiento también se obtienen a partir

de los citados principios.

Los autores, investigadores del Centro de Física Aplicada y Tecnología Avanzada de la UNAM, tienen

mucha experiencia en la enseñanza e investigación en diversas áreas de la ciencia y de la tecnología,

y los estudiantes se beneficiaran de ella a través de este libro.

Mihir Sen

Department of Aerospace and Mechanical Engineering

University of Notre Dame

Notre Dame, IN 46556, U.S.A.

Capıtulo 1

Principios variacionales locales

El analisis de un sistema mecanico, utilizando las leyes de Newton, re-quiere normalmente de un proceso detallado y largo. Es, para usar unaanalogıa de esta era de la Tecnologıa de la informacion, como escribir unprograma en lenguaje maquina. Debemos anadir que en muchos problemasse requiere no de obtener una descripcion mecanica completa, es decir, elconocimiento de todas las coordenadas como funciones conocidas del tiem-po, sino de las condiciones en que se establece el equilibrio del mismo.Incluso en este caso, que se plantea imponiendo la anulacion de la suma vec-torial de las fuerzas y de los momentos de las fuerzas1, el analisis llega aser tedioso. Entonces aparece el principio del trabajo virtual como una her-ramienta que permite obtener la respuesta no solo rapidamente, sino tambiende forma elegante.

1.1. El principio del trabajo virtual

El analisis de un sistema mecanico que se encuentra en equilibrio requierede la determinacion de todas las fuerzas, en magnitud y direccion, para poderimponer la condicion mecanica de equilibrio: la anulacion de la suma defuerzas y de los momentos de las fuerzas ejercidas sobre cada partıcula.

De esta manera podemos comenzar por el analisis del equilibrio de unapartıcula que puede moverse libremente en una superficie o el de una escalera

1En la Facultad de Ciencias de la UNAM, el momento de una fuerza se conoce con elnombre de torca. Este termino tiene su origen en el verbo latino torcere, que es el origende torcer, tornado, tormenta y torno, entre otras

3

4 CAPITULO 1. PRINCIPIOS VARIACIONALES LOCALES

Figura 1.1: Palanca, con fulcro en P , en posicion horizontal y despues dehaber girado un angulo δφ.

recargada contra la pared, para apreciar la importancia de hacer el corres-pondiente analisis geometrico detallado. Sin embargo, hay una infinidad deproblemas que requieren de ese analisis, y cuyo grado de complejidad vaen aumento. Del sistema de una palanca podemos pasar al de un juego depalancas articuladas, con polipastos y ruedas, o al de un dispositivo afectadopor el momento de una fuerza, que mediante una manivela transforma elmovimiento de rotacion en uno de vaiven. En este ultimo caso, el vaivenpuede ocurrir a lo largo de un segmento de recta, pero es tıpica su aplicacional vaiven a lo largo de un arco de circunferencia o, inclusive, a lo largo de unarco rectificable.

Los problemas anteriores se pueden resolver en el marco de la mecanicade Newton, pero las correspondientes soluciones pueden obtenerse siguiendoun metodo mas directo, que utiliza las leyes de los sistemas mecanicos enequilibrio, expresadas mediante el llamado Principio del trabajo virtual. Esteprincipio utiliza algunos conceptos que conviene definir en el marco de unsistema mecanico sencillo.

La fig. 1.1 muestra una palanca simplificada, consistente en una barrarıgida, de masa despreciable, con fulcro P , que se extiende desde x1 hastax2. Precisamente en estos dos ultimos puntos se aplican las fuerzas externas

1.1. EL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL 5

F1 y F2, respectivamete. Este sistema mecanico esta disenado de manera quesolo permite un movimiento: el de rotacion alrededor de un eje perpendicularal plano de la figura que pasa por el punto P . Hemos representado con unalınea punteada la posicion de la barra despues de haberla girado en un anguloδφ. Como tenemos interes en utilizar la regla de la mano derecha, elegimoscomo direccion positiva del eje de rotacion la que apunta hacia los ojos dellector. En estas condiciones, el angulo δφ que se muestra en la figura espositivo. Notemos que un desplazamiento del punto x1 debe ocurrir a lolargo de un arco de cırculo centrado en el punto P . De un desplazamientoque cumple con esta propiedad se dice que es un desplazamiento compatiblecon la especificacion del sistema. El sistema mecanico, efectivamente, aplicafuerzas en el punto x1, en la medida que sea necesario, para garantizar queese punto se mueva a lo largo de un arco de cırculo.

Las fuerzas, dirigidas a lo largo de la barra, son radiales, mientras que eldesplazamiento a lo largo del arco de cırculo es tangencial, de manera que eltrabajo realizado es nulo.

Hemos representado una rotacion δφ con un angulo grande, de manera queel lector pueda apreciarla claramente, aunque se acostumbra considerar des-plazamientos infinitesimales. En tal caso, el desplazamiento δx1 es vertical,dirigido hacia arriba, en direccion opuesta a la de la fuerza F1, y correspondea una distancia r1δφ, donde r1 es la distancia entre P y x1. El desplazamientodel punto x2 es r2δφ, dirigido hacia abajo, en el mismo sentido que la fuerzaF2.

En general, un sistema mecanico interactua con el exterior precisamentemediante fuerzas aplicadas por el exterior en ciertos puntos, pudiendo pro-ducir un desplazamiento en los mismos, y dar lugar, al mismo tiempo, areacciones, de acuerdo con la tercera ley de Newton, de manera que la fuerzatotal en cada uno de estos puntos resulta nula. Representemos mediantexi, i = 1, . . . ,m, los vectores que localizan tales puntos. Las fuerzas aplicadasen el punto xi por el exterior, Fi, y por el sistema mecanico, Ri, tambiendenominada fuerza interior o reaccion, nos permiten expresar la condicionde equilibrio, que la fuerza total aplicada sobre el i-esimo punto es nula, esdecir, Fi+Ri = 0. Si ahora producimos un desplazamiento compatible con elsistema, el trabajo realizado sobre cada uno de tales puntos es nulo, al igualque la suma extendida a todos ellos:

0 =m∑i=1

(Fi + Ri) · δxi =m∑i=1

Fi · δxi +m∑i=1

Ri · δxi, (1.1)


que hemos dividido en dos contribuciones: los trabajos de las fuerzas externasy los de las fuerzas de reaccion. Hasta aquı no se ha introducido ningun ele-mento conceptual nuevo. La verdadera simplificacion ocurre bajo la siguienteafirmacion: el trabajo de las fuerzas de reaccion es rigurosamente nu-lo:

m∑i=1

Ri · δxi = 0. (1.2)

Sustituyendo este resultado en 1.1 obtenemos:

m∑i=1

Fi · δxi = 0, (1.3)

es decir, que el trabajo realizado por las fuerzas externas es nulo. Esta afir-macion se conoce como Principio del trabajo virtual.

Volviendo al sistema de la fig. 1.1, el trabajo realizado por la fuerza F1

es −F1r1δφ, cuyo signo negativo se debe a que F1 y δx1 tienen direccionesopuestas, mientras que el de la fuerza F2, por el contrario, es F2r2δφ, ya quela fuerza y el desplazamiento ahora tienen la misma direccion.

El trabajo total de las fuerzas externas, la suma de los dos anteriores,−F1r1δφ+ F2r2δφ, es nulo por el principio del trabajo virtual:

(−F1r1 + F2r2)δφ = 0. (1.4)

El resultado anterior, valido para toda rotacion en un angulo δφ, positivo onegativo, requiere que −F1r1 +F2r2 = 0, que no es sino la ley de la palanca.Conviene notar que este resultado establece una conexion entre las fuerzasaplicadas F1 y F2 que no involucra las fuerzas de reaccion.

El sistema que hemos representado consiste basicamente en un conjuntode restricciones geometricas, ya que puede girar libremente. Deseamos elimi-nar la condicion que requiere que la masa de la barra tenga masa despreciable.Podemos anadir una masa m1 en el punto x1 y una m2 en el punto x2, lo queequivale a agregar dos fuerzas externas, las atracciones gravitatorias sobretales masas, cuya presencia se manifiesta en el trabajo realizado por dichasfuerzas. Podemos hacer algo mas interesante: colocar cien masas µ, repartidasuniformemente a lo largo de la barra, de manera que la primera y la ultimacoinciden con los puntos x1 y x2 de la fig. 1.1. Notemos que el desplazamientocompatible con el sistema sigue siendo la rotacion. De esta forma, ahora te-nemos 100 puntos en los que se aplican las fuerzas externas,asociados con 102

1.1. EL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL 7

fuerzas. La rotacion en un angulo δφ nos permite calcular los 100 desplaza-mientos, lo que nos lleva a calcular los 102 trabajos, e imponer enseguidala anulacion de su suma, por el principio del trabajo virtual. El sistemamecanico anterior no requiere de 102 vectores de posicion, sino de una solavariable que identifica completamente su posicion en el espacio: el anguloφ que forma la barra con la horizontal, mientras que el trabajo de las 100masas puede expresarse en funcion del desplazamiento del centro de masa,y este, del angulo φ. En un siguiente paso conceptual, podemos sustituir lascien masas por una distribucion continua de masa y afirmar, en conclusion,que el sistema mecanico esta conformado de restricciones mecanicas que norealizan trabajo. Los detalles del sistema se manifiestan en los movimientosque resultan compatibles con la especificacion correspondiente.

En el marco del problema de la palanca, fig. 1.1, hay tres desplazamientosδφ, δx1, y δx2. Estos llevan la letra δ y ademas se conocen como desplaza-mientos virtuales. Es posible que historicamente se les haya aplicado eseadjetivo porque son desplazamientos utilizados para aplicar el principio deltrabajo virtual. Lo que sı es un hecho es que fue Lagrange el que introdujoel simbolo δ, para identificar tales desplazamientos. Ahora bien, ¿que es undesplazamiento virtual? Todos los autores estan de acuerdo en que el primerrequisito que debe cumplir un desplazamiento virtual es que sea compatiblecon la especificacion del sistema. En el caso de la palanca, los desplazamien-tos virtuales de x1 son los que caen a lo largo del cırculo centrado en P yque pasa por la posicion inicial de x1, como puede verse en la fig. 1.1. Sinembargo, diferentes autores exigen otras cualidades en los desplazamientosvirtuales, pero no hay consenso. Lanczos [1960], por ejemplo, requiere quesean hipoteticos e infinitesimales. Posiblemente la mejor descripcion, y almismo tiempo, la mas sencilla, es la de Arnold Sommerfeld

Cita 1.1 [Sommerfeld 1942, capıtulo II, §7] Un desplazamiento virtual es uncambio infinitesimal, arbitrario y simultaneo, en la posicion de un sistema,compatible con las ligaduras.2

Un punto sobresaliente es la condicion que hemos subrayado: simultaneo3

es decir, que ocurre al mismo tiempo. Este detalle es crucial para obtenerlas ecuaciones de Lagrange a partir del principio de D’Alembert, mediante

2Concepto de ligadura en la seccion 1.53El texto citado utiliza la palabra en ingles instantaneous, sin embargo, Sommerfeld

compara las dos posiciones del sistema al mismo tiempo t


la ec. 1.23, o a partir del principio de Hamilton, ya que la correspondientevariacion es a tiempo constante. De hecho, la variacion mas general esta re-presentada en la fig. 4.1, mientras que una a tiempo constante se represen-tarıa en esa figura utilizando lıneas rojas verticales. Mas adelante, el mismoSommerfeld anade:

Cita 1.2 [Sommerfeld 1942, capıtulo II, §7] Los desplazamientos virtuales notienen nada que ver con el movimiento real del sistema. Se introducen, pordecirlo ası, como cantidades de prueba, cuya funcion es hacer que el sistemarevele algo respecto de sus conexiones internas y de las fuerzas que actuansobre el.

Queremos dar un ejemplo de sistema mecanico donde resulte importantela definicion de Sommerfeld de desplazamiento virtual. Para esto adaptamosel de la fig. 1.1, pero incluyendo ademas un mecanismo, no representado,que desplaza el fulcro P en la barra, de manera que su distancia al puntox1 es una funcion dada del tiempo. Suponiendo que la fig. 1.1 corresponde ala posicion del punto P al tiempo t, entonces los desplazamientos virtualesde x1 caen a lo largo del arco de cırculo centrado en ese punto P , comohabıamos visto. Notemos que un desplazamiento virtual ocurre en un mismoinstante de tiempo y que esta condicion le brinda la naturaleza hipoteticaque requiere Lanczos [1960].

En el formalismo de la mecanica variacional4, a menudo se habla no deldesplazamiento virtual sino de la variacion δxi. En el proceso de variacionnormal, una variacion esta compuesta precisamente de desplazamientos vir-tuales, uno para cada instante del intervalo de tiempo en que se analiza elmovimiento del sistema mecanico.

1.2. Demostracion del principio del trabajo

virtual

Sommerfeld demuestra el principio del trabajo virtual cuando el sistemamecanico es un cuerpo rıgido. Sin embargo, respecto de la nulidad, en general,del trabajo de las fuerzas de reaccion dice:

4La palabra variacional no esta en el diccionario de la RAE. Por este motivo, enesta obra nos referimos al Calculo de variaciones, sin embargo, seguiremos utilizandovariacional en el marco de la mecanica, ya que carece de sentido una frase como mecanicade variaciones.

1.3. PRINCIPIO DE D’ALEMBERT 9

Principio 1 [Sommerfeld 1942, capıtulo II, §8] En todo sistema mecanicoel trabajo vitual de las reacciones es nulo. Mas que dar una demostracion deeste postulado, lo consideramos como una definicion de sistema mecanico.

Y, mas abajo, en una nota al pie de pagina, dice:

Cita 1.3 [Sommerfeld 1942, capıtulo II, §8] Lagrange lo intenta en la intro-duccion a su mecanica analıtica, mediante ciertos mecanismos de poleas. . .

Esto ultimo es una afirmacion de Sommerfeld en la que nos da a entenderque el no queda satisfecho con la argumentacion de Lagrange.

Podemos comparar este desarrollo con el de Goldstein et al. [2001], quedecide limitar su atencion al caso de aquellos sistemas mecanicos para loscuales el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura es cero5.

1.3. Principio de D’Alembert

El Principio de D’Alembert permite determinar, no las condicionesen que ocurre el equilibrio mecanico, como sucede con el del trabajo virtual,sino las ecuaciones del movimiento de un sistema mecanico. El entusiasmoque suscita este principio va de un extremo a otro: Landau ni siquiera lomenciona, mientras que Lanczos Lanczos [1960] dice que todos los principiosde la mecanica son simples reformulaciones matematicas diferentes de esteprincipio. Desde el punto de vista practico, este principio permite determinarel movimiento de muchos sistemas mecanicos, simplifica su analisis y haceposible obtener las ecuaciones de Lagrange, como veremos mas abajo.

El punto de partida en el principio del trabajo virtual es la condicion deque, en equilibrio, la fuerza total aplicada al i-esimo punto es nula: Fi+Ri =0. Para D’Alembert, el punto de partida es la segunda ley de Newton, queescribe colocando todos los terminos en el primer miembro:

Fi + Ri −miai = 0, (1.5)

donde ai y mi son la aceleracion y la masa de la partıcula en xi. Esta escriturasugiere la conveniencia de definir la fuerza inercial F∗i en el punto i como:

F∗i = −miai, (1.6)

5Esta manera de presentar las cosas por parte de Goldstein significa que antes de aplicarel principio del trabajo virtual, el de D’Alembert, o el de las ecuaciones de Lagrange, esnecesario demostrar que el sistema satisface esa condicion, es decir, que el trabajo virtualde las fuerzas de ligadura es cero


pudiendo reformular la ec. 1.5 como una condicion de equilibrio de fuerzas:

Fi + Ri + F∗i = 0. (1.7)

D’Alembert interpreta esta suma como una nueva condicion de equilibrioy repite, a partir de aquı, el analisis del principio del trabajo virtual: lafuerza anterior siendo nula, tambien el trabajo realizado a lo largo de undesplazamiento δxi, compatible con la especificacion del sistema, debe sernulo. Al sumar sobre todos los puntos se obtiene nuevamente un resultadonulo:

m∑i=1

(Fi + Ri + F∗i ) · δxi = 0. (1.8)

Aprovechando que las fuerzas de reaccion no realizan trabajo, como vimosen la sec. 1.1, ec. 1.2, podemos afirmar que:

Principio 2 [Sommerfeld 1942, capıtulo II, §10]

m∑i=1

(Fi + F∗i ) · δxi = 0, (1.9)

es decir, que las fuerzas inerciales estan en equilibrio con las fuerzas apli-cadas.

En un intento por interpretar el resultado anterior, Sommerfeld afirmaque Fi + F∗i es aquella parte de la fuerza que no se puede convertir en uncambio en la cantidad de movimiento y constituye lo que propone llamar lasfuerzas perdidas, ya que Fi + F∗i = Fi −miai y dice:

Cita 1.4 [Sommerfeld 1942, capıtulo II, §7] El principio de D’Alembert sereduce a afirmar que Las fuerzas perdidas estan en equilibrio.

Independientemente de la interpretacion, la ec. 1.9 es la expresion mate-matica del principio de D’Alembert.

1.4. Aplicacion del principio de D’Alembert

a un sistema mecanico

La fig. 1.2 muestra un sistema mecanico consistente en un cuerpo quese resbala libremente a lo largo de un plano inclinado, que, a su vez, se

1.4. APLICACION DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT A UN . . . 11

mueve a lo largo de una mesa representada por el eje X, representados porun rectangulo y un triangulo respectivamente. Las fuerzas externas son lospesos del rectangulo y del triangulo, F1 y F2, respectivamente. F21 y F12

son las fuerzas del triangulo sobre el rectangulo y del rectangulo sobre eltrıangulo, iguales entre sı pero de sentido contrario, por la tercera ley, mien-tras que F′2 es la fuerza de la mesa sobre el triangulo. Como puede verse,el sistema se analiza, en la mecanica de Newton, como un esquema que in-volucra cinco fuerzas, con el fin de determinar los vectores de posicion deuno y otro cuerpos como funcion del tiempo. Nuestro objetivo es mostrarcomo se obtienen las ecuaciones de movimiento que describen la evolucionde este sistema utilizando el principio de D’Alembert. En la figura hemosdestacado dos variables que permiten identificar de manera unıvoca el esta-do del sistema: x es la distancia desde el origen hasta el extremo izquierdodel triangulo, mientras que u es la distancia medida desde ese extremo hastael lugar donde se encuentre el rectangulo. Llamemos x1 el vector que localizael rectangulo, mientras que x2, el que el triangulo, que podemos expresar enfuncion de x y u:

x1 = (x1, y1) = (x+ u cos θ, u sen θ) (1.10)

x2 = (x2, y2) = (x+ lox, loy) (1.11)

donde el vector constante (lox, loy) ubica la posicion del centro de masa deltrıangulo respecto de su extremo izquierdo.

La unica fuerza externa que actua sobre el cuerpo 1 es su peso F1, mientrasque en el caso del cuerpo 2 tenemos tanto su peso F2 como la fuerza de lamesa F ′2, correspondiendo a un total F2 +F ′2. Lo anterior nos permite escribirel principio de D’Alembert como:

(F1 −m1a1) · δx1 + (F2 + F′2 −ma2) · δx2 = 0. (1.12)

Sustituyendo tanto los diferenciales como las segundas derivadas de lasecuaciones 1.10-1.11 en 1.12 obtenemos:

m1 [(x+ κu) (δx+ κδu) + (g + σu)σδu] +m2xδx = 0, (1.13)

donde hemos escrito, para simplificar, F1 = (0,−m1g), σ = sen θ y κ = cos θ.Conviene ordenar el resultado segun los factores de δu y δx:

0 = [m1 (x+ κu) +m2x] δx+[m1κx+m1(κ2 + σ2)u+m1σg

]δu. (1.14)


Figura 1.2: Cuerpo colocado sobre un plano inclinado movil.

Ahora bien, como las variaciones δx y δu son rigurosamente independi-entes, la ecuacion anterior requiere que se anulen sus coeficientes:

m1 (x+ κu) +m2x = 0, (1.15)

m1κx+m1(κ2 + σ2)u+m1σg = 0. (1.16)

Notese que este metodo no requiere de introducir las fuerzas de interaccionentre el cuerpo y el triangulo, ni tampoco las fuerzas externas aplicadas altriangulo. Los ejercicios 6 y 7 corresponden con la solucion de este problemautilizando los metodos de Newton y de Lagrange respectivamente.

1.5. Coordenadas generalizadas

En el problema anterior hemos descrito el sistema utilizando dos variables,x y u, y a partir de ellas, se determinaron las coordenadas de los dos cuerposdel sistema, cf. eq. 1.10 y 1.11. Estas dos coordenadas llevan el nombre decoordenadas generalizadas.

1.5. COORDENADAS GENERALIZADAS 13

Habiendo tomado un sistema de referencia, podemos localizar un puntoP en el espacio indicando sus coordenadas cartesianas, mismas que reunimosen una expresion como (x, y, z). A menudo se identifica el punto con sus co-ordenadas y escribimos P = (x, y, z). No es el unico sistema que nos permitesenalar un punto en el espacio. Posiblemente las coordenadas esfericas seanlas mas conocidas. Para situar un punto en la Tierra son necesarias tres co-ordenadas. Una senala en que meridiano, otra en que paralelo y la ultima,a que distancia del centro de la Tierra. Todos los puntos sobre una verticaltienen mismo meridiano y misma longitud, sin embargo se encuentran a al-turas diferentes. De la misma manera, podrıamos hablar de otros sistemas decoordenadas, cuya definicion serıa analoga al de las esfericas que acabamosde considerar, como es el caso de las elıpticas y el de las hiperbolicas. Se hanideado muchos sistemas de coordenadas que tienen propiedades analogas.Hay, sin embargo, otros sistemas de coordenadas ıntimamente ligados con elsistema mecanico que se esta estudiando, como es el caso de las variables x yu, que consideramos en el ejemplo de la seccion 1.4. Un sistema mecanico masrelacionado con el diseno de las maquinas de combustion es el de una ruedaacoplada con un piston. Este consta de tres partes: una rueda, una biela yun piston, y cada una de esas partes es un cuerpo solido. Sin embargo, elsistema una vez ensamblado, puede ser descrito con una sola coordenada: laposicion angular de la rueda. A partir de esa posicion, siguiendo los planosdel diseno del conjunto, podemos determinar la posicion de un extremo dela biela. Aquı es donde entra la informacion de que el otro extremo de labiela se encuentra a una distancia conocida del primero, debiendo ubicarse alo largo de un segmento de recta, allı donde esta el punto de aplicacion delpiston. Cuando hablamos de coordenadas generalizadas entendemos un cier-to numero de variables que permiten definir de manera unıvoca la posiciondel sistema, y en este caso, una sola variable resulta necesaria. Mas variablespueden ser necesarias en caso de modificar el sistema. Si colgamos un pendu-lo del extremo del piston del sistema anterior, necesitaremos indicar ademasdos angulos, para establecer de manera unıvoca la posicion de todo el sistemaen el espacio. Aquı hemos supuesto que la distancia de la lenteja del pendulohasta el punto de montaje esta fija, sin embargo se puede considerar el casoen que el hilo que soporta la lenteja sea elastico, con lo que el sistema yarequiere de un total de cuatro variables.

Supongamos, entonces, que nuestro sistema requiere de n variables, quepodemos representar por los sımbolos q1, q2, . . . , qn. La descripcion es com-pleta cuando es posible indicar los valores de cada una de estas variables


en cada instante de tiempo, es decir, cuando conocemos las funciones q1(t),q2(t), . . . , qn(t). Cuando nosotros decimos que estas variables bastan paradescribir el sistema entendemos que bastan para calcular, con su ayuda,las coordenadas cartesianas de todas las partıculas. La partıcula i-esimadel sistema requiere de las coordenadas cartesianas (xi, yi, zi). Si el sistemaesta formado de m partıculas, entonces debemos contar con 3m coorde-nadas cartesianas, cada una de ellas pudiendo ser determinada a partir delas coordenadas generalizadas. La descripcion completa requiere de la listax1, y1, z1, x2, y2, z2, . . . , xm, ym, zm, sin embargo, muchos resultados puedensimplificarse utilizando una notacion ligeramente diferente. Lo que hay quehacer es cambiar el nombre de las coordenadas, representandolas todas me-diante la variable x, pero haciendo correr su subındice desde 1 hasta 3m,es decir, mediante x1, x2, x3, . . . , x3m−2, x3m−1, x3m, conformada por bloquesde tres en tres, que corresponden a las tres cordenadas de cada una delas m partıculas. Este procedimiento sustituye las variables (xi, yi, zi) por(x3i−2, x3i−1, x3i). Deseamos hacer la misma transformacion sobre la masami. En este caso, el ındice originalmente va desde 1 hasta m. En la nue-va representacion, el ındice va desde 1 hasta 3m, lo que se traduce en quela masa queda ordenada en grupos de tres elementos sucesivos identicos:m3i−2 = m3i−1 = m3i. Si las coordenadas generalizadas q1, . . . , qn identificande manera unıvoca el sistema al tiempo t, podemos obtener las 3m coorde-nadas generalizadas mediante:

xi = fi(q1, . . . , qn, t) = fi(q, t), i = 1, . . . , 3m, (1.17)

donde q representa el valor de todas ellas. A menudo escribiremos las ecua-ciones anteriores bajo la forma

xi = xi(q1, . . . , qn, t) = xi(q, t), i = 1, . . . , 3m. (1.18)

llamando xi() la funcion fi(). Aunque xi ocurre dos veces en esa ecuacion,no hay posibilidad de confundir: xi es el valor de la i-esima coordenadacartesiana mientras que xi(q, t) es la funcion que permite determinar talvalor a partir del tiempo t y del valor de las coordenadas generalizadas q.

Estas coordenadas generalizadas, conforme las hemos venido trabajando,constituyen una expresion matematica que permite aprovechar que ciertasdistancias deben mantenerse fijas, como la que hay entre dos partıculas cua-lesquiera de un cuerpo rıgido. Tales restricciones tienen la forma

Fj(x1, . . . , x3m, t) = 0 (1.19)

1.6. ECUACIONES DE LAGRANGE 15

donde j es un ındice que permite distinguir entre las diferentes restricciones.El termino en ingles para designarlas es constraint, que, normalmente setraduce al espanol mediante el termino ligadura en los libros de mecanicaanalıtica. El tipo de ligaduras correspondientes a la ec. 1.19 se conoce con elnombre de holonomicas.

1.6. Ecuaciones de Lagrange

El siguiente paso es aplicar el principio de D’Alembert, cuya expresionmatematica es la ec. (1.9), a un sistema mecanico que puede ser descrito me-diante un sistema de n coordenadas generalizadas de acuerdo con las ecua-ciones 1.18.

m∑i=1

(Fi + F∗i ) · δxi =3m∑i=1

(Fi + F ∗i ) δxi = 0. (1.20)

Podemos calcular las velocidades xi y las variaciones δxi utilizando las ecua-ciones de transformacion 1.18:

xi =n∑i=1

∂xi∂qj

qj +∂xi∂t

Para simplificar la escritura de las ecuaciones, vamos a adoptar la con-vencion de Einstein, que consiste en sumar sobre un ındice repetido de 1 an, escribiendo la ecuacion anterior de la siguiente forma:

xi =∂xi∂qj

qj +∂xi∂t

(1.21)

Utilizaremos esta convencion unicamente con las coordenadas generalizadas.Las otras sumas mantendran tanto el sımbolo Σ como el ındice que indica aque terminos se extiende la suma. De la ec. 1.21 se deduce directamente:

∂xi∂qj

=∂xi∂qj

(1.22)

que establece que las derivadas entre las coordenadas tienen el mismo valorque las derivadas entre las velocidades, y cuyo contenido podemos recordarnotando que expresa la posibilidad de cancelar los puntos.


La variacion en la coordenada xi se expresa en funcion de la variacion delas coordenadas generalizadas:

δxi =∂xi∂qj

δqj. (1.23)

Notemos que no se ha incluido el termino (∂xi/∂t)δt, de acuerdo con ladefinicion de desplazamiento virtual de Sommerfeld. El objetivo ahora essustituir las ecuaciones 1.21 y 1.23 en el principio de D’Alembert, ec 1.20. Lasuma sobre Fiδxi esta dada por:

3m∑i=1

Fiδxi =3m∑i=1

Fi∂xi∂qj

δqj ≡ Qjδqj. (1.24)

donde definimos la fuerza generalizada

Qj =3m∑i=1

Fi∂xi∂qj

. (1.25)

Por otro lado, los trabajos virtuales de las fuerzas inerciales pueden determi-narse utilizando las ecs. 1.6 y 1.23:

3m∑i=1

F ∗i δxi = −3m∑i=1

mixi∂xi∂qj

δqj (1.26)

Podemos escribir, para un valor fijo de j:

−3m∑i=1

mixi∂xi∂qj

= −3m∑i=1

[d

dt

(mixi

∂xi∂qj

)−mixi

d

dt

(∂xi∂qj

)]. (1.27)

Se calcula la ultima derivada total respecto del tiempo:

d

dt

[∂xi∂qj

]=

∂2xi∂qj∂t

+∂2xi∂qj∂qk

qk =∂

∂qj

[∂xi∂t

+∂xi∂qk

qk

]=

∂

∂qj

[dxidt

]=∂xi∂qj

,

(1.28)donde hemos utilizado la ec. 1.21. Sustituyendo este ultimo resultado y laec. 1.22 en la ec. 1.27, se expresa la segunda suma como:

−3m∑i=1

[d

dt

(mixi

∂xi∂qj

)−mixi

(∂xi∂qj

)]= − d

dt

∂T

∂qj+∂T

∂qj, (1.29)

1.6. ECUACIONES DE LAGRANGE 17

donde la energıa cinetica T queda definida mediante:

T =1

2

3m∑i=1

mix2i . (1.30)

Finalmente, sustituyendo las ecuaciones ec. 1.29 y 1.24 en el principio deD’Alembert, ec. 1.20, se obtiene:

0 =

[Qj −

(d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj

)]δqj, (1.31)

la expresion del principio de D’Alembert en coordenadas generalizadas. Setrata de la suma de n productos. Dada la total independencia de las coorde-nadas generalizadas, podemos poner las variaciones δqj = 0 para toda j 6= k.En tal caso, esa suma se reduce a un solo termino, el k-esimo, de donde sededuce:

d

dt

∂T

∂qk− ∂T

∂qk= Qk, k = 1, . . . , n. (1.32)

Quizas convenga resaltar que para llegar al resultado anterior solo hemosnecesitado la independencia total entre las n coordenadas generalizadas. Re-specto de las fuerzas no hemos hecho hasta este punto ninguna hipotesis. Haydos grandes casos que conviene destacar de manera explıcita. Las fuerzas sepueden calcular a partir de una energıa potencial V que depende

solo de las coordenadas y del tiempo:

Qj = −∂V∂qj

, (1.33)

donde V es una funcion de las coordenadas xi y del tiempo. Este es elcaso en una gran mayorıa de problemas de la mecanica clasica.

de las coordenadas, de las velocidades y del tiempo:

Qj =d

dt

∂V

∂qj− ∂V

∂qj(1.34)

Este es el potencial que se debe utilizar para describir el movimiento deuna o mas cargas en presencia de campos magneticos. En el caso de unacarga q que se mueve en un campo electromagnetico, cuyos potencial


escalar y vectorial son φ y A respectivamente, el potencial V esta dadopor

V = q (φ−A · v). (1.35)

Notemos que la forma matematica de la ec. 1.34 es la misma que la del primermiembro de la ec. 1.32, esta depende de V , aquella, de T .

Sustituyendo cualquiera de estas dos versiones para Qj, ec. 1.33 o 1.34,en 1.32 obtenemos:

d

dt

∂L

∂qk− ∂L

∂qk= 0, k = 1, . . . , n. (1.36)

donde L, dado porL = T − V (1.37)

es la funcion de Lagrange o lagrangiana.

1.7. Energıas cinetica y potencial en coorde-

nadas generalizadas.

En muchos problemas las ecuaciones 1.18 no incluyen el tiempo t, lo queda lugar a una expresion mas sencilla para la energıa cinetica T :

T =3m∑i=1

∂xi∂qj

∂xi∂qk

qj qk = ajkqj qk, (1.38)

donde las ajk son funciones de todas las coordenadas generalizadas. Esteresultado normalmente se interpreta diciendo que la energıa cinetica es unafuncion homogenea de segundo grado de las velocidades generalizadas.

1.8. Ejercicios

1. Demostrar que el trabajo de las fuerzas de reaccion, en el caso de uncuerpo rıgido, es nulo. Notese que un caso particular de esta afirmaciones precisamente el de la palanca, cf. fig. 1.1, y cuyo analisis puedemostrar como establecer el resultado general. En caso de dificultad, sepuede consultar el trabajo de Sommerfeld [Sommerfeld 1942, capıtuloII, §8]

1.8. EJERCICIOS 19

2. Resolver el equilibrio de la palanca colocando dos masas, m1 y m2 enlos puntos x1 y x2.

3. Resolver el equilibrio de la palanca colocando n masas iguales, cada unade un valor m/n, distribuidas uniformemente entre los extremos de labarra. Analizar el resultado cuando se toma el lımite cuando n → ∞en la expresion anterior.

4. Si el sistema mecanico esta equipado con resortes, de manera que lasfuerzas aplicadas ahora realizan trabajo contra ellos, ¿como podemosaplicar el principio del trabajo virtual?

5. En el marco del primer problema, poner en movimiento el fulcro, demanera que la distancia d entre x1 y P sea vt, y calcular la condicionde equilibrio cuando el punto P se encuentra exactamente a un terciode la longitud total medido desde el extremo izquierdo.

6. Resolver el problema de la seccion 1.4 utilizando directamente la se-gunda y tercera leyes de Newton.

7. Resolver el problema de la seccion 1.4 utilizando el metodo de las ecua-ciones de Lagrange.

8. Considerar el movimiento de una carga electrica en un campo elec-tromagnetico. Demostrar que las ecuaciones de Lagrange, 1.36, jun-to con el potencial generalizado V , ec. 1.35, en un sistema de coor-denadas cartesianas, conducen a la fuerza de Lorentz, es decir, F =q (E + v ×B), donde los campos electrico E y magnetico B puedencalcularse a partir de los potenciales escalar y vectorial, φ y A, me-diante E = −∇φ− ∂A/∂t y B = ∇×A.

Capıtulo 2

Problemas variacionalesintegrales

Podemos senalar cuatro hitos en la historia del calculo variacional: lostrabajos de Heron, el principio de Fermat, el problema de la braquistocrona(1696), para culminar, finalmente, con el trabajo de Leonardo Euler (1707-1783), el verdadero fundador del calculo variacional. Entre los grandes logrosde Euler podemos senalar el de haber escrito la segunda ley de Newton en laforma en que hoy la conocemos, ya que hasta entonces se afirmaba que:

Cita 2.1 [Newton 1993, Las leyes del movimiento] El cambio de movimientoes proporcional a la fuerza motriz impresa, y se hace en la direccion de lalınea recta en la que se imprime esa fuerza

Fue Euler quien sustituyo cambio de movimiento por la correspondientederivada temporal, quedando finalmente como

Ley 1 [Sommerfeld 1942, capıtulo I §1]

F =d

dt(mv). (2.1)

Esta ultima, cuando la masa es constante, se reduce a F = ma, que es laexpresion mas conocida.

2.1. Problema isoperimetrico de Steiner

El problema en sı y la solucion que Steiner [1838] propuso son de talelegancia que resulta imposible no dar algunos detalles sobre la demostracion.

21

22 CAPITULO 2. PROBLEMAS VARIACIONALES INTEGRALES

Teorema 1 [Steiner 1838] Sea P el conjunto de todos los polıgonos de 2nlados (n = 3, 4, . . . ,), con perımetro dado, entonces, de todos los polıgonosen P, el de area maxima es el polıgono regular.

Demostracion:Para los fines de esta demostracion, supongase que F es el polıgono de

2n lados de area maxima para el perımetro dado.

Supongase que el polıgono F no es convexo1. Como se demuestra en losejercicios, esto significa que se pueden encontrar tres vertices sucesivosa, b y c de F tales que la recta que une los puntos a y c no esta en F .Si reflejamos la poligonal abc respecto de la recta ac, esta queda en elinterior del nuevo polıgono F ′, que tiene mayor area, aunque posee elmismo perımetro, luego F no es de area maxima. De aquı se sigue queF tiene que ser convexo.

Supongase que los lados de F no son iguales. Sean A, B y C los verticesde dos lados consecutivos desiguales AB y BC. Unimos C con A y for-mamos el triangulo ABC cuya base es AC. Y, ahora nos preguntamossi este triangulo es el que tiene maxima area, estando fijos los puntosA y C, ası como la suma l de las longitudes AB y AC. Notemos que elpunto B, bajo las restricciones anteriores, debe estar colocado en unaelipse, cuyos focos son los puntos A y C, cuyo diametro mayor tienemedida l. De todos los triangulos que se pueden formar al tomar unpunto B de esa elipse, el de mayor area es aquel que se encuentra en lamediatriz del segmento AC. Pero B, por hipotesis, no se encuentra enla mediatriz, y por lo tanto, F no es de maxima area. De este razon-amiento se sigue que si F es de maxima area, entonces todos sus ladosdeben ser del mismo tamano.

Antes de continuar la demostracion debemos indicar que vamos a entenderal hablar de vertices opuestos y de diametro. Este ultimo concepto, objetivoen el caso de un cırculo, no lo es en el de un polıgono cerrado. Los diametrosde un cırculo tienen la propiedad de pasar por el centro o de tener la maximadistancia entre dos puntos del cırculo. Sin embargo, no tienen en el marcode un polıgono cerrado un significado claro. Vamos a dar una definicion

1Se dice que un conjunto es convexo si, dados dos puntos del conjunto, la recta que losune tambien esta contenida en el

2.2. PROBLEMA DE FERMAT 23

apoyandonos en el hecho de estar trabajando con polıgonos cuyo numero delados es par. Como el polıgono tiene 2n lados, decimos que dos vertices sonopuestos cuando estan separados por n lados, y llamamos diametro a todarecta que une dos vertices opuestos. Continuando con la demostracion:

Supongase que hay un diametro que no parte el polıgono F en dosfiguras de areas iguales. Entonces, reflejando la parte de area mayorrespecto de ese diametro, obtenemos, al juntar la parte de area mayorjunto con su imagen, otro polıgono de 2n lados, del mismo perımetro,cuya area es mayor, luego F no es de area maxima. De lo anterior sesigue que un diametro debe partir al polıgono F en dos polıgonos deareas iguales.

El angulo que subtiende un diametro respecto de cualquier vertice debeser un angulo recto.

Supongamos que no es el caso y que podemos encontrar un diametroAB y un vertice C, del polıgono F de manera que el angulo 6 ACB no esun angulo recto. Nos concentramos solo en la mitad del polıgono que seencuentra entre la recta AB y el vertice C. Nuestro objetivo es deslizarel punto B a lo largo de la recta AB, abriendo o cerrando el angulo6 ACB segun sea necesario. En este proceso, el area comprendida entreel polıgono y las rectas AC y AB, ası como la longitud del polıgono,medida desde A hasta B, no cambian. Lo que sı cambia es el areadel triangulo ABC, que resulta maxima cuando el angulo 6 ACB esrecto. Si ahora reflejamos el polıgono resultante respecto de la rectaAB obtenemos un polıgono de 2n lados, cuyo perımetro es el mismopero cuya area es mayor. Esto demuestra que el polıgono consideradoF no era de maxima area.

De lo anterior se deduce que dado un diametro AB del polıgono F ,todos los vertices del polıgono deben encontrarse a lo largo del cırculocuyo diametro es AB. Esto significa que el polıgono es regular, lo quetermina la demostracion.

2.2. Problema de Fermat

Disponemos de dos herramientas para determinar la trayectoria que sigueun rayo de luz al ir de un punto A a un punto B, que se encuentran en


un medio, mismo que suponemos que es transparente y que posee algunaspropiedades implıcitas entre las que cabe destacar la posibilidad de unir lospuntos dados mediante curvas que no se salgan de el. Tan pronto verifiquemosla condicion anterior nos encontraremos con el problema de no haber definidoel concepto de curva. Por el momento, suponemos que una curva esta descritapor una funcion vectorial de variable real, continua y derivable en todo sudominio, excepto posiblemente en un numero finito de puntos.

Las herramientas mencionadas mas arriba son:

Las leyes de Snell:

• Relativa al paso de la luz de un medio a otro, que afirma que elrayo incidente, el rayo refractado y la normal se encuentran enun plano, y que los angulos de incidencia θi y y de refraccion θrsatisfacen la relacion:

sen θisen θr

=v1

v2

(2.2)

donde v1 y v2 son las velocidades de la luz en el primero y segundomedio respectivamente.

• Relativa a la reflexion de la luz al llegar a la superficie de sepa-racion entre dos medios, que afirma que el rayo incidente, el rayoreflejado y la normal se encuentran en un plano, y que los angulosde incidencia θi y el de reflexion θR satisfacen la relacion:

θR = θi (2.3)

El principio de Fermat, que afirma que la luz, al ir desde el punto Ahasta el punto B, escoge precisamente aquella trayectoria a lo largo dela cual el tiempo necesario para recorrerla sea mınimo.

Ambas herramientas nos permiten construir la trayectoria de la luz, parair desde el punto A hasta el punto B. Llamemos TS y TF las trayectoriasdeterminadas utilizando las leyes de Snell y el principio de Fermat respecti-vamente. Ambas trayectorias no tienen porque coincidir, y sin embargo, enmuchos casos efectivamente coinciden.

Pierre Fermat propuso y demostro que TS = TF bajo ciertas hipotesis.Leibniz [1682] publica una segunda demostracion, lo que muestra su confianzaen la afirmacion, pero al mismo tiempo, su desconfianza en la demostracionofrecida. Bernoullius [1697]

2.2. PROBLEMA DE FERMAT 25

presenta otra demostracion mas fina y establece lo que podrıamos llamarlos primeros pasos del calculo variacional, sin embargo, la precision de estaultima afirmacion la dejamos al juicio del lector, ya que presentaremos condetalle, tanto el metodo de Jacobo Bernoulli como el metodo variacional.

Analicemos el movimiento de un rayo de luz en un plano y sea C(x, y) suvelocidad cuando pasa por el punto ubicado por el vector (x, y). De acuerdocon el principio de Fermat, la luz, para ir desde un punto P hasta un puntoQ, escoge aquella trayectoria que tiene la propiedad de requerir un mınimotiempo.

Representemos mediante y = y(x) cualquier trayectoria que vaya de unpunto al otro. Esto significa que la curva correspondiente esta conformadapor el conjunto de todos los puntos que se pueden escribir como (x, y(x)).Supongamos que el punto P tiene las coordenadas (xa, ya) y el punto Q,(xb, yb). Antes de seguir adelante, notemos que si y(x) es efectivamente latrayectoria seguida por la luz, entonces debemos tener: ya = y(xa) y yb =y(xb), es decir, que podemos calcular los valores correctos de las ordenadascorrespondientes a las abscisas xa y xb. En estas condiciones podemos decirque P = (xa, y(xa)) y Q = (xb, y(xb)).

En lo que sigue supondremos que el problema esta planteado de man-era que xa < xb. Representamos mediante [xa, xb] el conjunto de todos losnumeros reales que se encuentran entre xa y xb, es decir, que satisfacen ladoble desigualdad xa ≤ x ≤ xb.

Para calcular el tiempo que tarda la luz en ir de un punto al otro siguien-do la trayectoria y(x), dividimos el intervalo [xa, xb] en segmentos pequenos2,mediante los puntos x1, x2, . . . xn, tales que xa = x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn−1 ≤xn = xb. Notemos que al punto xi corresponde la ordenada y(xi). Esto queacabamos de hacer nos permite construir encima de la trayectoria dada pory(x) una poligonal, cuyos vertices estan colocados sobre esa trayectoria, enla que dos vertices sucesivos estan unidos por un segmento de recta. El seg-mento i-esimo va desde (xi, y(xi)) hasta (xi+1, y(xi+1)). Podemos calcular lalongitud de ese segmento utilizando el teorema de Pitagoras y afirmar que

es igual a√

(xi+1 − xi)2 + (y(xi+1)− y(xi))2. El tiempo que requiere la luzpara recorrer ese segmento se obtiene dividiendo el resultado anterior entrela velocidad de la luz C(x, y), determinada aproximadamente por su valor enel extremo izquierdo del segmento, de manera que el tiempo total esta dado

2De la misma manera en que se calcula una aproximacion numerica para el area bajouna curva utilizando rectangulos


por:

TP [y(x)] =n−1∑i=1

√(1 + (y(xi+1)−y(xi))2

(xi+1−xi)2

C(xi, y(xi))∆xi, (2.4)

donde hemos definido ∆xi = (xi+1 − xi). El lector se puede preguntar cuancorrecto sea calcular la velocidad de la luz en el extremo izquierdo de cadasegmento. La idea del calculo que realizamos es que todos los segmentos seansuficientemente pequenos, de manera que la velocidad de la luz no cambiemucho al ir de un lado a otro de cada uno de ellos. Este requisito normalmentesignifica que hacen falta un gran numero de segmentos, sin embargo esto noes problema, ya que podemos realizar los calculos correspondientes utilizandouna computadora, o, mejor aun, los metodos del calculo diferencial e integral.Hemos representado el tiempo mediante TP [y(x)], recalcando que la respuestadepende de la trayectoria y(x), y tambien hemos anadido la letra P , pararecordar que esta estimacion corresponde a un polıgono que tiene n − 1lados. A continuacion podemos tomar el lımite, cuando n→∞, aprovechadolımxi+1→xi(y(xi+1)− y(xi))/(xi+1 − xi) = y′(xi), ya que por hipotesis y(x) esderivable en todo el intervalo [xa, xb]:

T [y(x)] =∫ xb

xa

√(1 + y′2(x))

C(x, y(x)d x, (2.5)

Esta ecuacion presenta con claridad el problema del calculo de variaciones,ya que para determinar el tiempo T debemos informar, en ella, cual sea lacurva y(x) que une los puntos inicial y final. Y, dado que por dos puntos sepueden trazar una infinidad de curvas, de esta infinidad hay que seleccionaraquella que produzca un mınimo valor. Entonces, de acuerdo con el proced-imiento que se sigue en el calculo diferencial e integral, para hallar la curvaque minimice el tiempo se debe minimizar la integral, derivandola e igua-lando a cero . . . Hasta aquı llega la analogıa: en la ec. 2.5 debemos proponeruna trayectoria y(x) y sustituirla, lo que nos permite determinar el tiempoque corresponde a esa trayectoria T [y(x)]. Esto significa que a variable esuna curva representada por la funcion y(x). ¿Como calculamos la derivadade una funci[on al calcularla en curvas diferentes? Daremos dos respuestascomplementarias a esta dificultad, una en el capıtulo 3 y otra en el apendiceA.

Como puede verse, el metodo de Snell depende del angulo que forma latrayectoria de la luz con la normal, es decir, en ultima instancia depende de

2.3. EL PROBLEMA DE LA BRAQUISTOCRONA 27

la pendiente de la curva, mientras que el principio de Fermat, del tiempoacumulado a lo largo de toda la curva, mismo que se determina calculandouna integral: un metodo involucra derivadas, el otro, integrales.

2.3. El problema de la braquistocrona

Johann Bernoulli lanzo un reto a los mejores matematicos de la epocacon el siguiente problema, que no es sino un caso particular del anterior. Setrata de determinar la curva que una dos puntos que no se encuentran enla misma vertical, de manera que un grave, empezando desde el punto masalto, inicialmente en reposo, sometido unicamente a la fuerza de gravedad, ydeslizandose a lo largo de ella, requiera de un mınimo tiempo para ir de unpunto al otro. El mismo Bernoulli senalo que la recta que une esos puntoscorresponde a la mınima distancia y no al mınimo tiempo, explicando que ental caso la aceleracion es siempre la misma, y que para minimizar el tiempo derecorrido conviene una curva que produzca aceleraciones grandes al principio,de manera que termine el resto de la curva con una mayor velocidad. En elmismo texto, Bernoulli propone que se utilice un resultado de Galileo, elque establece que la velocidad alcanzada por un grave, debido a la fuerzade gravedad, habiendo despreciado los efectos de la friccion, esta dada porv(y) =

√2gy, donde y es la altura que ha caıdo el grave y g es la aceleracion

de la gravedad.Este problema es un caso particular, matematicamente hablando, del que

analizamos en el marco del principio de Fermat. Alla hablabamos de la luz,mientras que aquı, de un grave. En aquel problema, la velocidad de la luzestaba dada por c = C(x, y), donde (x, y) eran las coordenadas del punto pordonde pasaba la luz. En el caso de la braquistocrona, simplemente debemossustituir la velocidad de la luz por la velocidad del grave, es decir, ponerC(x, y) =

√2gy. Se puede, entonces, escribir, utilizando la ec. 2.5

T [y(x)] =∫ xb

xa

√(1 + y′2(x))√

2gyd x, (2.6)

2.4. El problema isoperimetrico

Proponemos ahora un problema similar al de Steiner, cambiando poli-gonal de 2n lados por curva. Por otro lado, dado que nos apoyaremos en


el calculo, imponemos dos restricciones: La curva debe ser continua y, dadoque su perımetro P esta dado de antemano, la curva debe tener longitud, esdecir, la curva debe ser, utilizando el lenguaje del calculo, rectificable. Entretodas las curvas continuas, rectificables y cerradas3, debemos escoger la quecorresponda a un area maxima.

La representacion de una curva cerrada necesita normalmente de una des-cripcion parametrica. Para no tener problemas con la definicion de funcion,que requiere que a cada elemento de su dominio corresponda uno y soloun valor de su codominio, y con el objeto de utilizar la misma descricionque hemos utilizado hasta aquı, y no la dicha, dividimos el problema en dospartes: la de arriba y la de abajo. De esta forma, la mitad de arriba tiene lamitad del perımetro y la mitad del area.

El perımetro lo podemos calcular utilizando la ecuacion 2.5 sustituyendoC(x, y) = 1 y T [y(x)] por l[y(x)]:

l[y(x)] =∫ xb

xa

√(1 + y′2(xi))d x, (2.7)

Estamos interesados en el conjunto de todas las curvas continuas y rectifi-cables que satisfacen la ecuacion anterior, con P/2 = l(y(x)), es decir, cuyoperımetro es P/2. Una vez determinado ese conjunto, encontrar aquella quetiene el maximo valor del area A[y(x)]:

A[y(x)] =∫ xb

xay(x)d x, (2.8)

2.5. El problema de la catenaria

Este consiste en determinar la forma que adopta una cuerda que se cuel-ga de sus extremos. Para determinarla recurrimos al principio que estableceque su energıa potencial debe ser un mınimo. Como puede notar el lector,este problema es una variante del anterior, a condicion de considerar unacuerda de longitud fija: de todas las curvas que unen los puntos de dondeesta colgada la cuerda, cuya longitud es l, seleccionar la de energıa potencialmınima. Aquı l es la longitud, dada, de la cuerda. Aplicamos, entonces, laec. 2.7, poniendo l = l[y(x)]. De entre todas las curvas que cumplen con esterequisito, debemos determinar aquella que tiene la mınima energıa poten-cial. Para determinar la energıa potencial total debemos dividir la cuerda

3Una curva es cerrada cuando empieza y termina en el mismo punto

2.6. EJERCICIOS 29

en partes, de acuerdo con el metodo propuesto en el parrafo que precede laec. 2.4, suficientemente pequenas, calcular la energıa de cada uno de ellos,y, hecho lo anterior, calcular su suma. El segmento de curva entre xi y xi+1

tiene longitud√

(1 + y′2(xi))∆xi. Si m es la masa total de la cuerda, la masa

del segmento considerado es (m/l)×√

(1 + y′2(xi))∆xi. Su energıa potencialse obtiene multiplicando la masa por la gravedad y por la altura, es decir,

m/l ×√

(1 + y′2(xi)) g y(xi)∆xi, y la energıa potencial total, por su integraldesde uno al otro extremo:

E[y(x)] =mg

l

∫ xb

xay(x)

√(1 + y′2(x))d x (2.9)

De todas las curvas y(x) que satisfacen l = l[y(x)], donde l[y(x)] esta dadapor 2.7, elegir la que minimiza E[y(x)] de acuerdo con la ec. 2.9.

2.6. Ejercicios

1. Sea F un polıgono cerrado no convexo. Demostrar que se pueden en-contrar tres vertices sucesivos a, b y c de F tales que la recta que unelos puntos a y c no esta en F .

2. Sean dos polıgonos regulares de 2n y 2m lados, donde n < m, cuyoperımetro es el mismo. Demostrar que el area del primero es menorque la del segundo.

3. Demostrar que si tenemos un polıgono regular de 2n lados y un cırculo,cuyos perımetros son iguales, el cırculo tiene area mayor.

4. Demostrar la ley de Snell de la reflexion a partir del principio de Heron:La luz sigue, precisamente, esa trayectoria que tiene la mınima longi-tud. Hay dos esquemas para hacer esta demostracion: una, la mas facil,utilizando la teorıa de maximos y mınimos del calculo diferencial e inte-gral. La otra hace un razonamiento rigurosamente clasico en geometrıa.¿Se pueden encontrar ambas demostraciones?

5. ¿Se puede reformular esa ley para que afirme: La luz sigue, precisa-mente, la trayectoria de mınimo tiempo?

6. Demostrar el principio de Fermat para el caso de un rayo de luz quepasa de un medio a otro. La demostracion en el caso de dos medios


separados por una superficie, utilizando el calculo diferencial, es la massencilla. ¿Puede Ud. prescindir de los principios del calculo diferencialpara hacer esa demostracion?

Capıtulo 3

Calculo de variaciones

3.1. El metodo de Euler

Algunos de los problemas que hasta aquı hemos propuesto se puedenplantear, de manera general, de la siguiente forma: determinar la funciony(x), que tiene la propiedad de minimizar (o maximizar) la funcional E[y(x)]definida mediante

E[y(x)] =∫ b

af(x, y(x), y′(x)) dx, (3.1)

donde hemos escrito E[y(x)] en lugar de E(y(x)), con el objeto de recalcarque E es una funcional, es decir, que depende, no de un numero, sino de unafuncion. Notemos que y(x) debe estar definida y tener una derivada a lo largodel intervalo [a, b]. En el caso de los problemas que ya hemos planteado, lafuncion f esta dada por la tabla 3.1.

Es necesario hacer algunas suposiciones matematicas sobre la funcionf(x, y, z). Para ello, llamemos R el conjunto de todos los puntos (x, y) pordonde pueda pasar la funcion que buscamos. Normalmente se exige que f seauna funcion continua, con derivadas parciales continuas de primero, segundoy tercer ordenes, en una region que consiste de todos los puntos (x, y, z), talesque (x, y) esta en R y z es un numero finito. En un momento del analisis,se hace la suposicion adicional de que la curva buscada y(x) es continuajunto con sus primeras dos derivadas en el intervalo [a, b]. Bolza [1904] tieneuna demostracion que solo exige la continuidad de la primera derivada ydemuestra que la solucion automaticamente tambien tiene segunda derivadacontinua.

31

32 CAPITULO 3. CALCULO DE VARIACIONES

f(x, y, z) problema√(1 + z2)

C(x, y)Fermat

√(1 + z2)√

2gybraquistocrona

y isoperimetrico

y√

(1 + z2) catenaria

Tabla 3.1: Las f’s de los diferentes problemas. z representa y′(x), la derivadade y

Supongamos que existe una curva y = y(x) que:

Une los puntos P = (xa, ya) y Q = (xb, yb), es decir, que satisfaceya = y(a), yb = y(b),

Minimiza la funcional E[y(x)] definida en la ec. 3.1.

Sea ahora z(x) cualquier funcion con derivada continua, definida en elintervalo [a, b], que se anule en los extremos, es decir, z(a) = z(b) = 0.Construimos una variacion de la curva y(x) mediante z(x), utilizando unparametro real e. Con este objetivo definimos u(x, e) mediante:

u(x, e) = y(x) + ez(x). (3.2)

Deseamos restringirnos a valores de e suficientemente pequenos, de maneraque se pueda garantizar que la funcion u(x, e) no se salga de la region Rdonde esta definida la funcion f . Ası, se puede calcular la funcional E[y(x)]sustituyendo y(x) por u(x, e), formando de esta manera E[u(x, e)]. Esta fun-cion esta definida para todos aquellos valores de e para los cuales u(x, e) no sesale de la region R y, por hipotesis, presenta un mınimo cuando e = 0. Note-mos que, aunque E[y(x)] es una funcional, I(e) = E[u(x, e)], solo dependede e y, en tal caso, es una funcion real de variable real. Esto significa quepodemos aplicar los metodos del calculo diferencial e integral para la deter-minacion de maximos y mınimos: calcular el diferencial de I(e) respecto dee e igualar el resultado a cero. Las condiciones obtenidas son precisamente

3.1. EL METODO DE EULER 33

las que debemos imponer para tener ya sea un maximo o un mınimo. Enlo sucesivo representamos las derivadas parciales anadiendo la variable comosubındice, de manera que escribimos ux(x, e) en lugar de ∂u/∂x, con el objetode simplificar la notacion.

Representamos mediante δe la diferencia entre dos valores cercanos dee, que suponemos pequena y que trabajamos como una variable real paratomar, al final, el lımite cuando δe tiende a cero.

I(e) esta dada por:

I(e) = E[u(x, e)] =∫ b

af(x, u(x, e), ux(x, e)) dx, (3.3)

mientras que su diferencial I ′(e)δe, que representaremos mediante δI, por

δI(e) = I ′(e)δe = δe∫ b

a[fyue + fy′uxe] dx, (3.4)

donde las derivadas fy y fy′ estan calculadas en el punto (x, u(x, e), u′(x, e)).Dado que

ue =∂

∂eu(x, e) =

∂

∂e(y(x) + ez(x)) = z(x), (3.5)

uxe =∂

∂e

∂

∂xu(x, e) =

∂

∂e(y′(x) + ez′(x)) = z′(x), (3.6)

se simplifica la ec. 3.4, obteniendo

δI(e) = δe∫ b

a[fyz + fy′z

′] dx. (3.7)

Integrando por partes el segundo termino:

δI(e) = δe∫ b

a

[fy −

d

dxfy′

]z(x) dx+ δefy′z(x)

∣∣∣ba . (3.8)

Notemos que z(x)δe, el cambio respecto de y(x), es una funcion de x quevarıa a lo largo de todo el intervalo [a, b]. Esta modificacion, el cambio de unafuncion por otra, se conoce con el nombre de variacion de la trayectoria, queaquı podemos representar, siguiendo la notacion de Lagrange, como δy(x) osimplemente δy. La variacion de la integral esta conectada con la variacionde la trayectoria mediante:


δI =∫ b

a

[fy −

d

dxfy′

]δy(x) dx+ fy′δy(x)

∣∣∣ba (3.9)

El termino integrado se anula ya que la variacion δy(x) = 0 en uno y otroextremo. De esta manera, la variacion neta en el valor de la integral δI, quedebe anularse para que I(e) tenga un valor mınimo1 en e = 0, es

δI =∫ b

a

[fy −

d

dxfy′

]δy(x) dx = 0. (3.10)

De la ecuacion anterior se infiere, vıa el lema fundamental del calculo devariaciones, que

fy −d

dxfy′ = 0. (3.11)

3.2. El lema fundamental

El mencionado lema y sus multiples variantes constituyen de hecho una delas principales herramientas del calculo de variaciones. Las demostracionesdel mismo difieren basicamente en los diferentes juegos de hipotesis adop-tadas. Las variaciones δy(x) que hemos considerado estan construidas sobrela funcion z(x), que, de acuerdo con nuestras hipotesis, es cualquier funcioncon derivada continua, definida en el intervalo [a, b], que se anula en los ex-tremos, es decir, z(a) = z(b) = 0. En estas condiciones, el lema fundamentaldel calculo variaciones establece que:

Lema 1 Sea H(x) una funcion definida y continua en el intervalo [a, b] (a <b) tal que ∫ b

aH(x)z(x) dx = 0 (3.12)

para toda funcion z(x) que, teniendo derivada continua en ese intervalo,cumple con la propiedad adicional de anularse en los extremos. EntoncesH(x) = 0 sobre [a, b].

Supongamos, por el contrario, que podemos encontrar un punto x∗ en [a, b]tal que H(x∗) 6= 0, digamos H(x∗) > 0. Entonces, dada la continudad de H,podemos asignar un subintervalo [α, β] de [a, b] donde se cumpla H(x) > 0.

1O maximo

3.2. EL LEMA FUNDAMENTAL 35

Construimos z(x) de acuerdo con este subintervalo. Sea z(x) = (x−α)2(x−β)2 en [α, β] y z(x) = 0 fuera de [α, β]. Notemos que z(x) tiene primeraderivada continua sobre todo el intervalo [a, b] y, sin embargo,∫ b

aH(x)z(x) dx =

∫ β

αH(x)z(x) dx > 0. (3.13)

Como este resultado contradice las hipotesis del lema, no es posible encontrarx∗ en el intervalo [a, b]donde H(x∗) 6= 0. Ası queda demostrada la ec. 3.11.

Regresando a la ec. 3.10, al suponer que f tiene segundas derivadas con-tinuas, podemos definir una funcion H(x) mediante

H(x) = fy −d

dxfy′ , (3.14)

que cumple con las condiciones del lema fundamental, es decir, que esta H(x)esta definida en todo el intervalo [a, b] y posee una primera derivada continua.Ademas, como δy(x) = δez(x) y z(x) es una funcion con derivada continua,que se anula en los extremos, podemos aplicar el lema fundamental, cuyaconclusion es H(x) = 0 sobre [a, b]. Esta es precisamente la afirmacion quehemos colocado en la ec. 3.11.

La ecuacion 3.11, conocida como ecuacion de Euler, puede ser sensible-mente simplificada cuando f no tiene una dependencia explıcita en x. Eneste caso, en lugar de f(x, y(x), y′(x)) tenemos f(y(x), y′(x)). Calculemos laderivada total de f en estas condiciones, apoyandonos en la dicha ecuacionde Euler:

df

dx=

∂f

∂yy′(x) +

∂f

∂y′y′′(x) =

[d

dx

∂f

∂y′

]y′(x) +

∂f

∂y′y′′(x)

=d

dx

[y′(x)

∂f

∂y′

](3.15)

que podemos escribir:

d

dx

[y′(x)

∂f

∂y′− f

]= 0 (3.16)

es decir,

y′(x)∂f

∂y′− f = C, (3.17)


donde C es una constante. ¿Pero, esto es una simplificacion sensible? Sı, yaque esta ultima es una ecuacion diferencial de primer orden, mientras que laecuacion de Euler, ec. 3.11, de segundo.

3.3. La braquistocrona

Como ejemplo, resolvamos el problema planteado en la seccion 2.3, una decuyas expresiones matematicas esta dada por la ec. 2.6 al que le correspondeuna funcion f , de acuerdo con la tabla 3.1, definida por

f(x, y, z) =

√(1 + z2)√

2gy. (3.18)

Disponemos, en estas condiciones, de dos caminos. En el primero, susti-tuimos esta funcion f en la ecuacion de Euler, ec. 3.11, lo que nos conduce auna ecuacion diferencial de segundo orden. El otro, que depende de reconocerque la f definida en la ec. 3.18 no depende de x, sustituye la f en la ec. 3.17.Resulta util seguir el primer camino y, despues de reducir el problema a unaecuacion diferencial de primer orden, identificar el resultado con el que seobtiene por el segundo. Existe un tercer metodo, seguido normalmente enlos libros de texto para analizar este problema, en el que el eje X esta di-rigido verticalmente hacia abajo, mientras que el eje Y , que representa lahorizontal, hacia la derecha. En estas condiciones, en lugar de la ec. 2.6, seutilizara

T [y(x)] =∫ xb

xa

√(1 + y′2(x))√

2gxd x, (3.19)

donde ya hemos adoptado la notacion de funcional. Con la nueva seleccionde ejes, la distancia caıda ya no es y sino x. En este caso, la funcion f es:

f(x, y, z) =

√(1 + z2)√

2gx. (3.20)

Notemos que la funcion f no depende de y, lo que conduce a una simplifi-cacion importante. De acuerdo con la ec. 3.11, como ∂f/∂y = 0, entoncesd/dx(∂f/∂y′) = 0, es decir, ∂f/∂y′ = C:

Aquı seguimos el segundo metodo, que no solo es sencillo sino que per-mite una visualizacion directa de la solucion. Sustituyendo la f dada por

3.3. LA BRAQUISTOCRONA 37

la ec. 3.18, junto con su derivada partial ∂f/∂y′, en la ec. 3.17, se obtiene

C = −1/√

2g y (1 + y′2). Este ultimo resultado se puede escribir

y(1 + y′(x)2) = 2r, (3.21)

donde r es una constante.Que la solucion es una cicloide es un hecho conocido desde enero 1696/7,

cuando Newton envio su solucion al presidente de la Sociedad Real, publicadaen numero respectivo de la revista Philosophical Transactions.

Tomemos una rueda de diametro 2r, de la que hemos seleccionado unpunto de su circunferencia, que hacemos girar –sin resbalar– a lo largo de unriel horizontal AD, fig. 3.1. El punto seleccionado describe la curva ABCDconforme la rueda da una vuelta completa. Cuando la rueda se encuentraen el punto E (en el punto F ), el punto seleccionado se encuentra en B (enC). Cuando el grave, que parte del reposo en el punto A, llega al punto B,la distancia que ha caıdo, y, esta representada en la figura por el segmentoFH. La derivada en el punto B es la pendiente de la recta BI. De acuerdocon los ejercicios de este capıtulo, esa recta es paralela al segmento GC. Lapendiente de este ultimo segmento esta dada por el cociente de HC/HG.Sustituyendo estos valores de y y de y′(x) en la ec. 3.21,

FH

[1 +

(HC

HG

)2]

= FH

[1 +

HC2

FH ·HC

]= FH +HC

podemos ver que esa ecuacion se cumple identicamente, a condicion de im-poner que la distancia FC es el diametro 2r del cırculo.

Una vez identificado el tipo de curva, una (hipo)cicloide, hace falta escogeraquella que cumpla los requisitos del problema: debe pasar por los dos puntosdados. El punto de partida corresponde con el punto A de la fig. 3.1. Elotro punto tambien debe estar en la curva. Sin embargo, lo mas probablees que, si lo trazamos en esa figura, caiga fuera de ella, a menos que porcasualidad hubieramos elegido correctamente las dimensiones de la cicloide.Para determinar ese radio hay que imponer las coordenadas de ese punto enla solucion de la ecuacion diferencial 3.21, condicion que conduce, hoy dıa, alo que se llama una ecuacion trascendente. Sin embargo, la solucion que dioNewton a esta dificultad es tan sencilla, que dos de los cuatro matematicosque encontraron la solucion tambien la utilizaron. Quizas convenga recordarque originalmente J. Bernoulli propuso este problema de la braquistocronacomo un reto dirigido a los mejores matematicos de la epoca. A continuacion


A

B

C

E F

G H

I

D

Figura 3.1: Cicloide ABCD y su cırculo generador cuando se encuentra en lospuntos E y F respectivamente. BI, tangente a la cicloide en B, es paralelaa la recta GC.

presentamos la solucion completa de Newton, que envio sin firmar, es decir,sin incluir su nombre, a Carlos Montagu, y que fue publicada en Inglaterra enel numero de enero de 1696/7, de las Philosophical Transactions. Posterior-mente fue publicada, de acuerdo con la promesa de Bernoulli, en Groninga, enel numero de mayo del mismo ano, en 1697, en el Acta de los Eruditos, juntocon las otras soluciones recibidas. Notemos que la figura 3.2, que acompanasu texto, esta de cabeza, y que la siguiente referencia aparece sin su nombre.

Cita 3.1 Newton [1697] Desde un punto dado A, Fig. 3.2, tracese la rectainfinita APCZ, paralela al horizonte; y sobre la misma recta descrıbansetanto una cicloide arbitraria, AQP , que corta en el punto Q la recta ABtrazada, y si es necesario extendida, como otra cicloide ABC; cuya base yaltura sean a las de la anterior como AB es a AQ. Y esta cicloide pasara porel punto B, y sera aquella lınea curva en que un grave llegue lo mas rapido,por la fuerza de su gravedad, desde el punto A hasta el punto B.

3.4. EJERCICIOS 39

Figura 3.2: Dibujo utilizado por Newton para indicar como encontrar la solu-cion

3.4. Ejercicios

1. Usando la definicion de la hipocicloide, comprobar que el punto B dela curva ABCD de la figura 3.1 es tal que la longitud del segmento AEes igual que la longitud del arco del circulo BE.

2. Sean r el radio del cırculo generador y F el punto medio del segmentoAD en la fig. 3.1. Trazar:

La recta horizontal BH por B que corta en el punto G el cırculogenerador que se encuentra en F .

La recta vertical por F en el punto H.

La recta vertical FI por F que corta el cırculo generador en lospuntos F y C.

Unir B con E, G con F , B con I y G con C, formando los seg-mentos BE, GF , BI, GC.

Demostrar que:

Los segmentos BE y GF son paralelos.

Los segmentos BI y GC son paralelos.

BI es tangente a la hipocicloide ABCD en B.


La construccion anterior permite calcular la pendiente de la tangente enB haciendo intervenir las propiedades geometricas de los tres triangulosrectangulos que se encuentran en la figura FGCHF .

3. Demostrar que la curva ABCD cumple con la condicion expresada porla ecuacion 3.21

Capıtulo 4

Un principio variacionalIntegral

4.1. Introduccion

Nuestro proposito ahora es discutir el Principio de Hamilton, cuya formaes la de una condicion variacional integral, y mostrar como se pueden deducirlas ecuaciones de Lagrange, ecs. 1.36, a partir de ese principio. ¿Cual es elinteres de desarrollar aun mas la teorıa? Por un lado, el principio de Hamil-ton suministra un nuevo enfoque, una manera diferente de ver la mecanica,ya que el entender posiblemente sea tan importante como el resolver. Sinembargo, el desarrollo posterior de la mecanica, incluido el llamado principiomodificado de Hamilton, pasando por las llamadas ecuaciones de Hamilton,permite construir el concepto de transformacion canonica y, mas adelante, lateorıa de Hamilton y Jacobi. Esta herramienta tambien resulta importanteen las bases clasicas de la mecanica cuantica.

4.2. El principio de Hamilton

Consideremos un sistema mecanico descrito mediante n coordenadas ge-neralizadas qi, i = 1, . . . , n, de manera que la configuracion al tiempo tqueda determinada mediante los valores qi(t), i = 1, . . . , n. Con el objetode no recargar demasiado algunas ecuaciones, representaremos tal conjuntosimplemente mediante q(t). Utilizando tales coordenadas, determinamos suenergıa cinetica T , definida en funcion de las 3m coordenadas cartesianas en

41

42 CAPITULO 4. UN PRINCIPIO VARIACIONAL INTEGRAL

la ec. 1.30 y su energıa potencial V , de donde se pueden deducir las fuerzasgeneralizadas ya sea segun la ec. 1.33, cuando el potencial solo depende delas coordenadas, o segun la ec. 1.34, cuando el potencial depende de lascoordenadas y de las velocidades, y construimos a continuacion la funcion deLagrange L = T − V .

Principio 3 [Hamilton. Cf. Goldstein et al. [2001]]Si el sistema mecanico ocupa las posiciones definidas por los conjuntos

de valores de las coordenadas q(1) y q(2) en los instantes de tiempo t1 y t2,respectivamente, entonces el sistema se mueve desde q(1) hasta q(2) en elintervalo de tiempo [t1, t2], por aquella trayectoria q(t), t ∈ [t1, t2] queproduce un extremo1 en el valor de la integral

S[q(t)] =∫ t2

t1L(t, q(t), q(t))dt. (4.1)

La funcional S[q(t)] recibe el nombre de accion. Este problema se corres-ponde con el problema presentado en el primer parrafo del capıtulo anterior,ec. 3.1, despues de identificar la funcion de Lagrange L(t, q(t), q(t)) con laf(x, y(x), y′(x)), ası como sus argumentos: el tiempo t con la variable x, lacoordenada generalizada q(t) con y(x) y la velocidad generalizada q(t) cony′(x).

4.2.1. Caso con una sola coordenada generalizada

La correspondencia es exacta en el caso de aquellos sistemas mecanicosque requieren de una sola coordenada generalizada. En tal caso, la funcionz(x), que definimos inmediatamente antes de la ec. 3.2, ahora la repre-sentamos mediante z(t), mientras que el producto ez(x) = δy(x) ahora esez(t) = δq(t). Para resolver el problema supusimos que y(x) era una funcionque conducıa a un valor mınimo de la integral 3.1, mientras que aquı corre-sponde suponer que q(t) es aquella trayectoria que conduce a un valor esta-cionario de la ec. 4.1. Finalmente, mientras u(x, e) representaba la funcionvariada, aquı representantamos la trayectoria variada mediante Q(t, e):

Q(t, e) = q(t) + ez(t) = q(t) + δq(t). (4.2)

1Es incorrecto afirmar extremo, ya que eso significa que es o un maximo o un mınimo.La afirmacion correcta es que el valor de la integral es estacionario. Cf. § 4.3

4.2. EL PRINCIPIO DE HAMILTON 43

Lo anterior permite definir la funcion I(e):

I(e) =∫ t2

t1L(t, Q(t, e), Q(t, e))dt (4.3)

cuyo diferencial I ′(e)de = δI debe anularse en e = 0 ya que, por hipotesis,Q(t, 0) = q(t) es una trayectoria a lo largo de la cual la integral ec. 4.1 tieneun valor estacionario. Siguiendo el razonamiento que nos llevo de la ec. 3.4a la ec. 3.10, podemos escribir:

δI =∫ t2

t1

[∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q

]δq(t) dt = 0. (4.4)

El lema fundamental del calculo variacional permite deducir:

∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q= 0, (4.5)

que reconocemos como la ecuacion de Lagrange para un sistema mecanicodescrito con una sola coordenada generalizada.

4.2.2. Caso con n coordenadas generalizadas indepen-dientes

Cuando el sistema tiene n coordenadas generalizadas, las ecuaciones 4.4deben ser sustituidas, como se muestra en los ejercicios, por

δI =∫ t2

t1

[∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi

]δqi(t) dt = 0. (4.6)

Si las n coordenadas qi son independientes, el lema fundamental del calculovariacional nos permite deducir que:

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi= 0, i = 1, . . . , n. (4.7)

Estas ecuaciones coinciden con las de Lagrange 1.36 obtenidas a partirdel principio de D’Alembert.


4.2.3. Caso con ligaduras no holonomicas

Existe otro tipo de ligadura que, aunque no puede escribirse siguiendo elesquema de la ecuacion 1.19, sı puede ser expresada mediante una ecuaciondiferencial de Pfaf. Tal ecuacion debe ser no integrable, ya que de lo contrario,conduce a una condicion de la forma dada por la ec. 1.19. Una ligadura deeste estilo puede escribirse2

n∑k=1

Lk(q1, . . . , qn)δqk = 0. (4.8)

Ejemplo de ligaduras no holonomicas

Estas ligaduras, llamadas semi holonomicas (Goldstein et al.[2001]) se presentan, por ejemplo, al bailar un plato o una mo-neda, sobre una superficie plana y rıgida Sp, como si fuera unapeonza, pero apoyada sobre su borde. Tomemos un sistema decoordenadas derecho XY Z, de manera que el plano XY coincidecon el plano Sp y sean (x, y) las coordenadas del punto de contac-to de la moneda con el plano Sp. Para identificar su orientacion,podemos utilizar el vector unitario u, cuya direccion es perpen-dicular al plano de la moneda. Podemos ubicar el vector u en elcentro de masa de la moneda. Describimos el vector u utilizandodos coordenadas esfericas: el angulo θ, medido desde ese vectorhasta el eje Z, y el angulo φ, medido desde el eje X hasta laproyeccion del vector u en el plano X − Y . A lo anterior debe-mos anadir un angulo ψ, que mide la rotacion del plato alrededordel vector u. El estado instantaneo queda dado, entonces, me-diante cinco cantidades que podemos reunir en las componentesde un vector: (x, y, θ, φ, ψ). Reconozcamos que hasta aquı hemosimpuesto ya una ligadura: el disco se mantiene en contacto conel plano. Ahora deseamos imponer una condicion adicional: al gi-rar el disco alrededor de su eje u, el disco no resbala, es decir, elpunto de contacto debe moverse. Como el plano del disco corta elplano Sp a lo largo de una recta R, si el disco gira un angulo δψ,debe avanzar una distancia rδψ a lo largo de la recta R. Despues

2En esta seccion no aplicamos la convencion de suma sobre ındices repetidos de coor-denadas generalizadas

4.2. EL PRINCIPIO DE HAMILTON 45

de hacer un dibujo en el que se puede apreciar el plano XY yel angulo φ, y bajo la hipotesis de que el giro en el angulo ψ espositivo, es decir, δψ > 0, los cambios δx y δy en el punto decontacto de la moneda con el plano Sp estan dados por

δx = +rδψ senφ, δy = −rδψ cosφ. (4.9)

Estas condiciones efectivamente son del tipo semi holonomicasdefinido en la ec. 4.8 ya que podemos escribirlas utilizando loscoeficientes:

L1x = 1, L1y = 0, L1θ = 0, L1φ = 0, L1ψ = −r sinφ,L2x = 0, L2y = 1, L2θ = 0, L2φ = 0, L2ψ = +r cosφ,

en donde los subındices 1 y 2 son relativos a la primera y segundade las ecuaciones 4.9, respectivamente, representados medianteuna matriz L definida mediante:

L =

(1 0 0 0 −r sinφ0 1 0 0 +r cosφ,

). (4.10)

El sistema puede ser descrito mediante cinco coordenadas gen-eralizadas, para el que disponemos de dos ligaduras semi holono-micas.

Independencia de ligaduras semi holonomicas

Nuestro objetivo es analizar un sistema mecanico cuyo es-tado se identifica mediante n coordenadas generalizadas, y quedisponemos ademas de m ligaduras semi holonomicas:

n∑k=1

Lik(q1, . . . , qn)δqk = 0, i = 1, . . . ,m, (4.11)

sin embargo, necesitamos, ademas, que este sistema de ligadurassemi holonomicas consista, precisamente, de m condiciones mate-maticamente independientes. Para expresar esta condicion de in-dependencia, debemos analizar la matriz rectangular de Lki.

Definicion 1 Decimos que las m ligaduras semi holonomicas sonindependientes si podemos escoger m columnas diferentes de lamatriz Lki, formando ası una matriz cuadrada, cuyo determi-nante es no nulo.


En el caso de la moneda y su matriz L, podemos escoger las dosprimeras columnas, ya que el determinante correspondiente es 1.

En lo sucesivo, supondremos que las coordenadas generalizadas q1, . . . , qnestan ordenadas de manera que las ultimas m columnas de la matriz Lki,constituyan una matriz con determinante no nulo.

Supongamos, en estas condiciones, que los valores de las coordenadasestan dados al tiempo t por qi(t), donde i = 1, . . . , n. Un instante ∆t despueslas coordenadas estan dadas por:

qi(t+ ∆t) ≈ qi(t) + qi(t)∆t = qi(t) + δqi, i = 1, . . . , n. (4.12)

Ahora bien, en vista del sistema de ligaduras semi holonomicas 4.11, los nincrementos δqi, que figuran en esta ultima ecuacion, deben satisfacer lasm ligaduras de la ec. 4.11. De hecho, podemos escribir las condiciones semiholonomicas 4.11 en funcion de los incrementos δqi como:

n∑i=n−m+1

Lki(q1, . . . , qn)δqi = −n−m∑i=1

Lki(q1, . . . , qn)δqi, k = 1, . . . ,m.

(4.13)Estas ecuaciones tienen la forma de un sistema de m ecuaciones en las mincognitas δqn−m+1, . . . , δqn, que tienen una solucion unica, ya que el deter-minante de la matriz Lki, k = 1, . . . ,m; i = n−m+1, . . . , n es, por hipotesis,no nulo. Esto significa que podemos deducir los incrementos de lasm variablesδqi, i = n−m+1, . . . , n en funcion de los incrementos δqi, i = 1, . . . , n−m, esdecir, que aunque tenemos n coordenadas generalizadas, solo tenemos n−mincrementos independientes. Lo anterior significa que podemos considerar lascoordenadas q1, . . . , qn−m en calidad de coordenadas independientes.

El principio de Hamilton permite afirmar el resultado de la ec. 4.6, sinembargo, como las n coordenadas no son independientes, no podemos aplicarel lema fundamental del calculo variacional. El metodo utilizado para resolvereste problema es el de los multiplicadores indeterminados de Lagrange: Seanλi(t), i = 1, . . . ,m, m funciones continuas (por determinar) y multipliquemosla ec. 4.11 por λi(t), sumemos sobre i y calculemos la correspondiente integraldesde t1 hasta t2:∫ t2

t1

[m∑k=1

λk(t)n∑i=1

Lki(q1, . . . , qn)δqi

]dt = 0. (4.14)

4.3. EL PRINCIPIO DE HAMILTON DEDUCIDO . . . 47

Sumando el resultado anterior a la ec. 4.6 obtenemos∫ t2

t1

n∑i=1

[∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi+

m∑k=1

λk(t)Lki

]δqi(t)

dt = 0. (4.15)

De acuerdo con lo que hemos expresado hasta aquı, las coordenadas qi, coni = 1, . . . , n − m son independientes. Determinemos las funciones λi(t) demanera que se cumplan las ecuaciones:

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi+

m∑k=1

λk(t)Lki = 0, i = n−m+ 1, . . . , n. (4.16)

Sabemos que este sistema de ecuaciones no solo tiene solucion, sino ademas,que esta es unica, ya que el determinante Lki 6= 0, en vista de la independenciade las m condiciones semi holonomicas. Por otro lado, dado que las δqi,i = 1, . . . , n−m son independientes, podemos escribir:

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi+

m∑k=1

λk(t)Lki = 0, i = 1, . . . , n−m. (4.17)

Estas dos ultimas ecuaciones pueden reunirse en una sola:

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi+

m∑k=1

λk(t)Lki = 0, i = 1, . . . , n. (4.18)

Ası se tiene un total de n + m ecuaciones: en primer lugar, las m condi-ciones semi-holonomicas 4.11, y, despues, las n ecuaciones 4.18, de dondepodemos determinar las m funciones λi y las n coordenadas generalizadas.

4.3. El principio de Hamilton deducido de las

ecuaciones de Lagrange

Ahora estamos interesados en la equivalencia entre el principio de Hamil-ton y las ecuaciones de Lagrange. Dado que ya esta demostrado que lasecuaciones de Lagrange se pueden deducir del principio de Hamilton, paraestablecer la equivalencia debemos demostrar que el principio de Hamiltonse puede deducir de las ecuaciones de Lagrange.

Consideremos un sistema mecanico cuya configuracion puede establecersemediante una coordenada generalizada y sea L = L(t, q(t), q(t)) su funcion


Figura 4.1: Variacion de la trayectoria AB en el plano tiempo-coordenada

de Lagrange. Sea AB un elemento de la trayectoria realdel sistema y sea A′B′

una trayectoria adyacente. Queremos ver A′B′ como una variacion de AB.La figura 4.1 muestra la trayectoria AB, en el espacio de configuraciones,coordenada generalizada en funcion del tiempo, ası como la variacion de lamisma, la trayectoria A′B′. En la variacion que consideramos, el punto A′

corresponde con el punto A, mientras que B′, con B y, en general, al puntode coordenadas (t, q(t)) corresponde el punto (t′, Q(t′)).

Debemos realizar esta variacion con suficiente generalidad de manera queresulte claro como se puede deducir el principio de Hamilton. Supongamosque la funcion q(t) describe el arco AB conforme el tiempo t recorre el in-tervalo [tA, tB], mientras que Q(t) describe el arco A′B′ conforme el tiempot recorre el intervalo [tA + ∆tA, tB + ∆tB]. Notese que hemos incluido uncambio en los tiempos, es decir, una variacion en el parametro tiempo. Lasvariaciones que consideramos aquı son muy pequenas. El lector que ası loprefiera puede pensar en variaciones infinitesimales. Lo anterior significa queA′ es un punto muy cercano al punto A, que B′ es muy cercano a B, y quetanto ∆tA como ∆tB son numeros reales muy pequenos. Nuestro objetivo es

4.3. EL PRINCIPIO DE HAMILTON DEDUCIDO . . . 49

calcular la diferencia

∆S =∫A′B′

Ldt−∫AB

Ldt. (4.19)

en donde la funcion de Lagrange debe calcularse a lo largo de las curvas A′B′

y AB respectivamente. Podemos escribir

∆S =∫ tB+∆tB

tA+∆tAL(t, Q(t), Q(t))dt−

∫ tB

tAL(t, q(t), q(t))dt. (4.20)

La primera integral puede expresarse, utilizando las propiedades de la inte-gral, como:

∫ tA

tA+∆tAL(t, Q, Q)dt+

∫ tB

tAL(t, Q, Q)dt+

∫ tB+∆tB

tBL(t, Q, Q)dt. (4.21)

Por otro lado, dada la cercanıa entre Q y q, podemos escribir para la primeraintegral ∫ tA

tA+∆tAL(t, Q, Q)dt ≈ −L(t, qA, qA)∆ta,

con un resultado analogo para la tercera, lo que nos lleva a escribir la con-tribucion de la primera y tercera integrales como

∫ tA

tA+∆tAL(t, Q, Q)dt+

∫ tB+∆tB

tBL(t, Q, Q)dt ≈ L(t, q, q)∆t

∣∣∣tBtA , (4.22)

entendiendo, en esta ultima ecuacion, que al valor de L(t, q, q)∆t en tB sele debe restar el correspondiente en tA. Para determinar la diferencia ∆S,de acuerdo con la ec. 4.19, apoyados tanto en 4.21 como en 4.22, todavıadebemos calcular la diferencia:

∫ tB

tAL(t, Q(t), Q(t))dt −

∫ tB

tAL(t, q(t), q(t))dt

=∫ tB

tA

[L(t, Q, Q)− L(t, q, q)

]dt

=∫ tB

tA

[∂L

∂q(Q− q) +

∂L

∂q(Q− q)

]dt (4.23)

=∫ tB

tA

[(d

dt

∂L

∂q

)(Q− q) +

∂L

∂q

d

dt(Q− q)

]dt

=∫ tB

tA

d

dt

[∂L

∂q(Q− q)

]dt =

∂L

∂q(Q− q)|tBtA .


Conviene notar que hemos utilizado las ecuaciones de Lagrange, ec. 1.36,reducidas al caso de una sola coordenada generalizada, para pasar de latercera a la cuarta de las ecuaciones 4.23. Sustituyendo los resultados de lasecs. 4.22 y 4.23 en la ec. 4.20, se obtiene:

∆S = L(t, q, q)∆t∣∣∣tBtA +

∂L

∂q(Q− q)|tBtA . (4.24)

Hemos anadido el punto de coordenadas (t, Q(t)) en la fig. 4.1, con elobjeto de motivar la conexion establecida en la ec. 4.25. Q(t) − q(t) es unavariacion en la coordenada q a tiempo constante, que se representa medianteδq(t), lo que permite expresar la diferencia ∆q(t) = Q(t′)− q(t) como:

∆q(t) = Q(t′)− q(t) = (Q(t′)−Q(t)) + (Q(t)− q(t)) (4.25)

= Q(t)(t′ − t) + δq(t) ≈ q(t)∆t(t) + δq(t),

donde la ultima igualdad se debe a la cercanıa de Q y q. Se usa δ en loscambios a tiempo constante y ∆ en los que se incluye un cambio en el tiempo.El cambio en el tiempo solo puede ser representado mediante ∆t(t).

Como la diferencia Q − q que aparece en la ec. 4.24 es una variacion atiempo constante, debemos representarla como δq(t). Esta, a su vez, puedeser expresada en funcion de ∆q(t) utilizando la ec. 4.25:

∆S =

[L(t, q, q)− q ∂L

∂q

]∆t(t) +

[∂L

∂q∆q(t)

]tBtA

(4.26)

Hasta aquı hemos considerado un proceso de variacion totalmente generaly, para llegar al resultado obtenido en la ec. 4.26, ha sido necesario aplicarlas ecuaciones de Lagrange, como se subraya en el parrafo que se encuentraa continuacion de las ecuaciones 4.23. Podemos demostrar que la accion S esestacionaria, es decir, que se anula su primera variacion, dada por la ec. 4.26,a condicion de que la variacion δ(q, t) sea tal que:

1. δq(tA) = δq(tB) = 0, y ∆t(t) = 0, t ∈ [tA, tB], es decir, que la variaciones a tiempo constante. En tal caso, de acuerdo con la ec. 4.26, ∆S = 0,de donde se sigue que la trayectoria AB produce un valor estacionariode la accion 4.1, y por lo tanto, se cumple el principio de Hamilton,que es lo que querıamos demostrar.

4.4. EJERCICIOS 51

2. δq(tA) = δq(tB) = 0 y ∆t(tA) = ∆t(tB) = 0, es decir, que la variacionen los tiempos de los extremos es nula. En tal caso, tambien un valorestacionario en la accion 4.1, excepto que en este proceso de variacionpermitimos variacion en los tiempos intermedios.

El caso con n coordenadas generalizadas se explora en los ejercicios.

4.4. Ejercicios

1. Demostrar que las ecuaciones 4.7 dan lugar a un valor estacionario dela accion definida en la ec. 4.1 cuando el sistema tiene n coordenadasgeneralizadas.

Sugerencia: La accion S se puede escribir

S[q1(t), . . . , qn(t)(t)] =∫ tB

tAL(t, q1(t), . . . , qn(t), q1(t), . . . , qn(t))dt.

(4.27)

Supongamos que q1(t), . . . , qn(t)(t) son las coordenadas generalizadascomo funcion del tiempo que dan lugar a un valor estacionario de laec. 4.27. Sean δq1(t), . . . , δqn(t) variaciones de las q1(t), . . . , qn(t) que seanulan en los extremos, es decir,

(δq1(tA), . . . , δqn(tA)) = (δq1(tB), . . . , δqn(tB)) = (0, . . . , 0),

y sea e un parametro que va a jugar el mismo papel que el de laec. 3.2. Podemos escribir la trayectoria variada, que se representa con(Q1(t), . . . , Qn(t)):

(Q1(t), . . . , Qn(t)) = (q1(t), . . . , qn(t)) + e(δq1(t), . . . , δqn(t)) (4.28)

Si ahora calculamos S a lo largo de Q1(t), . . . , Qn(t) obtenemos unnumero que depende de e:

I(e) = S[t, Q1(t), . . . , Qn(t)(t)] (4.29)

=∫ tB

tAL(t, Q1(t), . . . , Qn(t), Q1(t), . . . , Qn(t))dt. (4.30)


Dado que, por hipotesis, e = 0 conduce a un valor estacionario de laintegral, ¿que condiciones deben ser satisfechas?. ¿Es necesaria una gen-eralizacion (a n coordenadas) del lema fundamental del calculo varia-cional?

2. Demostrar que las ecuaciones de Lagrange de un sistema mecanico,cuya configuracion puede ser especificada mediante n coordenadas gen-eralizadas, permiten deducir el principio de Hamilton para ese sistema.

3. Explique con detalle por que el resultado, que demostramos al analizarla variacion 4.26, resulta mas general que el principio de Hamilton.

4. Demostrar que toda ligadura holonomica es tambien una ligadura semiholonomica

Capıtulo 5

Las integrales del movimiento

5.1. Introduccion

Hay algunos conceptos en mecanica clasica cuya utilidad para describir,calcular o resolver problemas es indiscutible. Entre ellas figuran las compo-nentes del ımpetu, del momento cinetico o de la energıa. Tales conceptos,originalmente, aparecieron en sistemas mecanicos analizados en funcion desus coordenadas cartesianas. Resulta interesante no solo investigar su posibleextension a un sistema de coordenadas generalizadas, sino tambien saber deque dependen.

Consideremos el caso de una partıcula que se mueve sometida a una fuerzaconservativa. Esto ultimo significa que tal fuerza puede ser deducida de unpotencial de acuerdo con la ec. 1.33. Si estamos interesados en un problemaplanteado en coordenadas cartesianas, podemos escribir:

Fj = − ∂V∂xj

, (5.1)

donde j = 1, 2, 3. Es decir, la fuerza F tiene tres componentes cuyos valoresestan dados por el gradiente negativo de la funcion V (x, t). Utilizando unanotacion vectorial, podemos escribir esto ultimo como

F = −∇V = −∂V∂x

. (5.2)

La funcion de Lagrange es

L = T − V =1

2mv2 − V (x), (5.3)

53

54 CAPITULO 5. LAS INTEGRALES DEL MOVIMIENTO

cuyas ecuaciones de Lagrange 1.36 o 4.7 se reflejan en este caso como:

∂L

∂x=

d

dt

∂L

∂x. (5.4)

Sustituyendo la lagrangiana L, dado por la ec. 5.3 en 5.4 obtenemos

F =d

dtmx, (5.5)

que coincide con la segunda ley de Newton aplicada a este problema.Dado que ∂L/∂x es la fuerza F, entonces, en el caso de una partıcula de-

scrita utilizando coordenadas generalizadas, decimos que ∂L/∂qi es la fuerzageneralizada correspondiente a la coordenada qi.

Como

p = mx =∂L

∂x(5.6)

es el ımpetu o cantidad de movimiento, podemos definir el concepto de ımpetugeneralizado mediante

pi =∂L

∂qi. (5.7)

En mecanica clasica hay dos grandes clases de problemas que puedenresolverse gracias a que o el sistema correspondiente se mueve de manera quese conserva o el ımpetu o la energıa totales. Nuestro objetivo es analizar enque condiciones se puede afirmar que alguna variable fısica del sistema resultamantener un valor constante. En mecanica damos el nombre de Integral delmovimiento a una variable fısica cuyo valor se mantiene constante y nuestroobjetivo es analizar las mas importantes de estas integrales y su conexioncon las simetrıas del sistema mecanico analizado.

5.2. La conservacion del ımpetu

En general, cuando una coordenada generalizada no figura en la funcionde Lagrange, su derivada respecto de esa coordenada es nula, y con ella lacorrespondiente fuerza generalizada: el ımpetu correspondiente es constante.

En el caso de un sistema mecanico descrito en funcion de coordenadascartesianas, cuya lagrangiana no depende de una de ellas, entonces el ımpetucorrespondiente es una integral del movimiento. Si L no depende del vector

5.3. LA CONSERVACION DE LA ENERGIA 55

de coordenadas x, entonces ∂L/∂x = 0 y de allı p = 0, es decir, p = Cdonde C es un vector constante.

Cuando tenemos un sistema para el cual se cumple la equivalencia total deencontrarse en un lugar o en otro, decimos que el espacio donde se mueve esesistema es homogeneo y afirmamos, de manera concisa, que la homogeneidaddel espacio da lugar a la conservacion del vector ımpetu. El razonamientoimplıcito es que la equivalencia total de encontrarse en uno u otro se traduceen una funcion de Lagrange que no depende de las coordenadas correspon-dientes.

5.3. La conservacion de la energıa

Supongamos que la funcion de Lagrange no depende explıcitamente deltiempo y calculemos su derivada temporal total:

d

dtL(q, q) =

∑i

(∂L

∂qiqi +

∂L

∂qiqi

)

=∑i

(d

dt

(∂L

∂qi

)qi +

∂L

∂qiqi

)

=∑i

d

dt

(qi∂L

∂qi

)=

d

dt

∑i

qipi,

donde hemos utilizado las ecuaciones de Lagrange 4.7, la definicion de ımpetu,ec 5.7 y la convencion de suma sobre ındices repetidos . Sin embargo, lo quenos interesa no es la igualdad entre estas derivadas totales sino su combi-nacion:

d

dt

(∑i

qipi − L)

= 0. (5.8)

Lo anterior nos muestra que H =∑qipi − L, la funcion de Hamilton (o

hamiltoniano), es constante, es decir, es una integral del movimiento. Paraentender que es H conviene aplicar su definicion al caso de una partıculadescrita en funcion de sus coordenadas cartesianas. En tal caso la funcion deHamilton esta dada por:

H = v · p− L = mv2 −(

1

2mv2 − V (x)

)=

1

2mv2 + V (x). (5.9)


Dado que la suma de las energıas cinetica y potencial es la energıa mecanicatotal, el hamiltoniano representa la energıa total del sistema mecanico, y elresultado que acabamos de establecer afirma que la energıa total es una inte-gral del movimiento. Este resultado, demostrado para el caso de un sistemamecanico de una partıcula sometida a un potencial conservativo y descritaen funcion de coordenadas cartesianas, puede extenderse a un sistema dem partıculas, sometidas tambien a un potencial conservativo, cuyas coorde-nadas cartesianas xi, expresadas en funcion de las coordenadas generalizadasqj, de acuerdo con las ecs. 1.18, no dependen explıcitamente del tiempo. Ental caso, la energıa cinetica T se puede expresar mediante la ec. 1.38. Tenemosentonces:

qipi − (T − V ) = 2T − (T − V ) = T + V. (5.10)

donde hemos utilizado qipi = 2T que se demuestra en los ejercicios.Cuando se habla en mecanica de homogeneidad del tiempo, lo que se

afirma es la equivalencia total, para el sistema mecanico que se analiza, deque el experimento se realice en uno u otro instante de tiempo. Esto significaque la funcion de Lagrange no depende explıcitamente del tiempo, que seexpresa mediante ∂L∂t = 0.

5.4. El momento cinetico o angular

Para esta ultima propiedad vamos a invertir el procedimiento. Nuestropunto de partida es la isotropıa del espacio, sin embargo, ¿que debemos en-tender por esa isotropıa?

Supongamos que preparamos un sistema mecanico, un experimento, enun laboratorio y queremos comparar los resultados que se obtienen antes ydespues de girar el laboratorio. Girar el laboratorio, ademas de requerir deun laboratorio especial, significa elegir tanto un eje de giro como el angulode la rotacion correspondiente.

Eso lo podemos representar por el vector ∆Φ, cuya direccion es el ejede giro y cuyo tamano (magnitud) es el angulo ∆Φ. Suponemos que se haaplicado la regla de la mano derecha: al alinear el pulgar con el eje de giro, ladireccion del movimiento queda dada por la de los dedos al cerrar la mano.

Coloquemos ahora un sistema de coordenadas de manera que con su ayu-da se puedan ubicar todos los elementos del sistema mecanico. Una partıcu-la del sistema mecanico que podıamos localizar mediante el vector xi, de-spues de girar el laboratorio en un angulo ∆Φ, se localiza mediante el vector

5.5. EJERCICIOS 57

x′i = xi + ∆Φ × xi. Dado que la transformacion anterior es precisa en lamedida en que el angulo ∆Φ es pequeno, supondremos que |∆Φ| 1. Note-mos que al girar el laboratorio giramos todo su contenido y que las nuevascoordenadas se miden respecto del sistema desde el cual hemos medido larotacion. Podemos calcular el cambio ∆L en la funcion de Lagrange de lasiguiente manera:

∆L =∑i

(∂L

∂xi∆xi +

∂L

∂xi∆xi

)=∑i

(pi∆xi + pi∆xi)

=∑i

(pi · (∆Φ× xi) + pi · (∆Φ× xi))

=∑i

∆Φ · (xi × pi + xi × pi) = ∆Φ · ddt

∑i

xi × pi,

donde, para la segunda igualdad hemos utilizado la definicion de ımpetuy las ecuaciones de Lagrange, mientras que el paso a la tercera involucrala transformacion de coordenadas inducida por la rotacion. La penultimaigualdad se fundamenta en las propiedades cıclicas del triple producto escalar.El cambio anterior debe ser, en vista de la supuesta isotropıa del espacio,rigurosamente nulo, independientemente del eje de giro, es decir, para todo∆Φ 6= 0. De lo anterior se sigue que la cantidad

l =∑i

xi × pi (5.11)

es una integral del movimiento.En un sistema para el cual vale la isotropıa del espacio, el resultado de

sumar el producto xi × pi sobre todas las partıculas es un vector constante,cuyo nombre es momento angular o tambien momento cinetico. El estudio delcomportamiento de este vector esta conectado con el movimiento del cuerporıgido, cuyas aplicaciones van desde el movimiento del trompo, al movimientode la Tierra, explicando de pasada la precesion de los equinoccios.

5.5. Ejercicios

1. Demostrar que si las ecuaciones 1.18 no dependen explıcitamente deltiempo, entonces

qi∂L

∂qi= 2T.


donde hay una suma implıcita sobre el ındice i, de 1 a 3m, de acuerdocon la convencion de suma

Capıtulo 6

La mecanica segun Landau yLifshitz

6.1. Introduccion

Lev Davidovich Landau obtuvo el premio Nobel en 1962 y es conocido porsus trabajos sobre superfluidez y superconductividad, pero sobre todo, por suCurso de Fısica Teorica, que hoy dıa se sigue utilizando a nivel posgrado.Es el principal fundador de la tradicion de fısica teorica de Karkov en laUnion Sovietica, a menudo llamada la escuela de Landau, donde, junto consu estudiante Evgeny M. Lifshitz, empezo a escribir el curso mencionado enla decada de los 1930, del que concluyo los primeros ocho volumenes en 1950.

Landau elaboro una lista con fısicos, que ordeno segun una escala log-arıtmica desde 0 a 5. Les asigno un valor de 1 a Niels Bohr, a Werner Heisen-berg, a Paul Dirac y a Erwin Schrodinger, los padres de la fısica cuanticamoderna. En esta escala, Einstein recibio el 0.5 mientras que Landau seevaluo a sı mismo con un 2.5 aunque posteriormente se asigno un 2. DavidMermin escribio un libro titulado ‘My Life with Landau: Homage of a 4.5 toa 2’. Newton alcanzo el maximo absoluto de esta escala, ya que Landau leasigno el cero.

Fue el Jefe de la Division Teorica del Instituto de Problemas Fısicos des-de 1937 hasta 1962 y desarrollo un examen llamado El mınimo teorico, quecubrıa todos los aspectos que debıan aprobar los estudiantes para ser admi-tidos en la escuela.

El primer tomo del curso, orientado a la mecanica clasica, tiene el defecto

59

60 CAPITULO 6. LA MECANICA SEGUN LANDAU

de no estar abierto sino solo a los iniciados. Nuestro objetivo es presentar al-gunos de sus conceptos, con la finalidad de abrir su extraordinario contenidoa un grupo mas amplio de cientıficos, destacando que los autores solo men-cionan, respecto de esta ciencia experimental, dos principios, que completancon algunas notas que tienen una jerarquıa de nivel parecido.

Landau y Lifschitz (L&L) enuncian el principio de Hamilton, que nosotroshemos colocado como principio 3, de manera diferente: para comenzar, susti-tuyen la palabra extremo por mınimo, lo que les permite formular lo quellaman El principio de mınima accion1:

Cita 6.1 [Landau & Lifshitz 1971, §2, principio]Cada sistema mecanico esta caracterizado por una funcion L(q, q, t), don-

de q y q representan de manera abreviada (q1, q2, . . . , qs), y (q1, q2, . . . , qs). Siel sistema ocupa, en los instantes de tiempo t1 y t2, las posiciones definidaspor los conjuntos de valores de las coordenadas q(1) y q(2), el sistema se mueveentre estas dos posiciones de tal manera que la integral

S =∫ t2

t1L(q, q, t)dt (6.1)

tome el mınimo valor posible. La funcion L se llama lagrangiana del sistemay la integral 6.1, accion.

A este respecto disponemos de una nota donde afirman que:

Cita 6.2 [Landau & Lifshitz 1971, §2, nota]Debe mencionarse que esta formulacion del principio de mınima accion

no siempre es valida para toda la trayectoria del sistema, sino solo para unarco suficientemente corto. La integral 6.1 para toda la trayectoria debe tenerun valor extremo2, no necesariamente un mınimo.

El lector interesado puede consultar el trabajo de Gray y Taylor [2007]donde se analiza el paso de suficientemente corto a suficientemente grande.L&L completan la nota diciendo:

Cita 6.3 [Landau & Lifshitz 1971, §2, nota]

1Existe otro principio de mınima accion, originalmente propuesto por Maupertuis, quepermite determinar la forma de la trayectoria.

2Aquı, como ya hemos senalado, debemos sustituir extremo por estacionario, cf.§ 4.3.

6.1. INTRODUCCION 61

Este hecho, sin embargo, no tiene importancia respecto de la deduccionde las ecuaciones del movimiento, ya que solo se utiliza la condicion de esta-cionario3.

La cita 6.3 contradice un analisis posterior de estos autores ya que, basadosen la propiedad de mınimo y no de extremo, deducen que la masa de unapartıcula debe ser un numero positivo, como veremos mas abajo (cf. § 6.2.7).

Conviene notar otra diferencia entre este principio y el de Hamilton: laafirmacion de que cada sistema esta caracterizado por una funcion L(q, q, t)forma parte del principio. En lo sucesivo, simplemente hablaremos delprincipio de L&L.

De la condicion de valor estacionario, utilizando los metodos expuestos enel capıtulo 3, se demuestra que las ecuaciones de movimiento son las ecs. 4.7que aquı reproducimos:

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi= 0, i = 1, . . . , n, (6.2)

Dado que de estas ecuaciones se deduce la segunda ley de Newton, siguien-do el razonamiento que nos llevo de la ec. 5.4 a la ec. 5.5, podrıamos pensarque toda la mecanica puede ser deducida del principio de L&L. Un momentode reflexion nos muestra que requerimos al menos de otra ley, a saber, deuna que establezca la funcion de Lagrange, ec. 1.37, donde la energıa cineticaT este dada por la ec. 1.30 y la energıa potencial V satisfaga la ec. 1.33 ola 1.34. Sin embargo, ya equipados con esas dos leyes, todavıa quedan doshuecos sin respuesta:

La ec. 1.37 incluye el concepto de masa, no definido y por lo tanto elesquema propuesto resulta incompleto.

Las ecuaciones obtenidas podrıan no corresponder con el movimientoreal, y resulta muy importante disponer de un criterio que nos permitasaber cuando resultan aplicables. Esta disyuntiva sobre la aplicabilidadde las ecuaciones obtenidas depende de otro concepto tambien ajeno alas dos leyes que ya hemos adoptado4, a saber, si el sistema de referenciaes o no inercial.

3Hemos cambiado extremo por estacionario4Una es la cita 6.1, la otra es la mencionada en el parrafo que sigue despues de la ec. 6.2


En estas condiciones debemos completar los principios en los cuales fun-damentamos la mecanica, de manera que podamos deducir la forma de lafuncion de Lagrange y establecer la validez tanto de la primera como de latercera leyes del movimiento de Newton.

Puede preguntarse el lector por que la primera y la tercera leyes de New-ton. La razon se encuentra en que precisamente es la primera la que permitedefinir y construir el concepto de sistema de referencia inercial, mientras quela tercera se encarga del concepto de masa.

Hay una propiedad adicional de los sistemas mecanicos que afirma, en suforma mas sencilla, que si tenemos un sistema de dos partıculas de masasm1 y m2, entonces la masa de ese sistema es m1 + m2. Esta propiedad, laaditividad de la masa, no se puede deducir de las tres leyes de Newton. A esterespecto, debemos recordar que Sommerfeld afirma que las leyes de Newtonde la mecanica son cuatro, no tres, y el nuevo esquema teorico debe darcuenta tambien de esa cuarta ley (Cf. seccion 6.1.1).

6.1.1. Las leyes de Newton

Con el objeto de enmarcar la discusion de algunos conceptos, incluimoslas tres leyes de Newton de acuerdo con la traduccion de Antonio Escohota-do [Newton 1993]

1. Todos los cuerpos perseveran en su estado de reposo o de movimientouniforme en lınea recta, salvo que se vean forzados a cambiar ese estadopor fuerzas impresas.

2. El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa, yse hace en la direccion de la lınea recta en la que se imprime esa fuerza.

3. Para toda accion hay siempre una reaccion opuesta e igual. Las accionesrecıprocas de dos cuerpos entre sı son siempre iguales y dirigidas haciapartes contrarias.

La primera ley de Newton

En algunos cursos de mecanica, en fısica o ingenierıa, despues de la pre-sentacion de rigor de las leyes de Newton, a menudo se interroga a los alum-nos sobre la independencia de las tres leyes. Casi siempre hay algun estu-diante que opina que la primera ley es un caso particular de la primera, es

6.1. INTRODUCCION 63

decir, si la fuerza aplicada es nula, tambien es nulo el cambio en la canti-dad de movimiento, de acuerdo con la segunda ley, es decir, la velocidad semantiene constante, lo que nos permite recuperar la afirmacion de la primeraley. Rapidamente cunde la confusion y pronto se producen dos corrientes: porun lado, los estudiantes que sostienen que solo hay dos leyes, y por otro, losmas pasivos o posiblemente los que saben que esto no es sino un juego delprofesor, esperan placidamente, sin involucrarse demasiado, la explicacion dela paradoja.

Para discutir el problema se puede proponer la instalacion de un labo-ratorio de mecanica en el interior de un vagon sin ventanas, de un tren quese mueve a lo largo de una vıa recta, a velocidad rigurosamente constante.En la representacion hay un estudiante frente a una mesa (horizontal) pro-visto de una canica (bola de vidrio) cuyo objetivo se reduce a comprobar laprimera ley de Newton. El experimento se desarrolla bien: si coloca la canicaen la mesa de manera que no se mueva, no se mueve, o si la coloca con unacierta velocidad, la canica mantiene esa velocidad hasta llegar al borde de lamesa, cuando se cae. Como decıamos, la comprobacion de las leyes de New-ton es todo un exito. Ahora podemos proponer que el estudiante se limite acomprobar que en ausencia de fuerzas aplicadas sobre la canica, la canica semantenga en reposo, pero introducimos una variante: el maquinista aumen-ta la velocidad del tren. Es interesante destacar que los estudiantes siemprepueden responder correctamente: la canica, espontaneamente comienza unmovimiento hacia atras. Tambien, si el maquinista, en lugar de acelerar, fre-na, siempre se responde que la canica, por el contrario, comienza a moversehacia adelante. La discusion puede entonces llevarse no al maquinista queacelera o frena, sino al caso en que la vıa deja de ser recta y presenta un vi-raje hacia la izquierda. Incluso en este caso pueden responder los estudiantescual es el movimiento que se produce en la canica inicialmente en reposo. Enese mismo momento se les hace recapacitar: los tres casos suceden sin que seaplique fuerza sobre la canica. ¿Que es lo incorrecto del razonamiento? Conun poco de trabajo se les puede llevar a reconocer que las leyes de Newtonson validas mientras el tren viaja a velocidad constante pero que dejan decumplirse en los tres casos, es decir, si se acelera, se frena, o a lo largo deuna curva. El razonamiento anterior lleva a reconocer como bueno el sistemade referencia desde el cual se juzga el movimiento del tren, que no es otroque el sistema de referencia fijo a la Tierra. Este sistema, sin embargo, no escompletamente correcto, como se demuestra con el experimento del pendulode Foucault. Ası, se puede conducir al estudiante, para que se de cuenta de


que la primera ley tiene por objeto establecer en que sistemas de referenciason validas la segunda y tercera leyes de Newton.

La tercera ley

Regresando al problema propuesto mas arriba sobre la independencia delas leyes de Newton, tambien se encuentran algunos estudiantes que no hanentendido el contenido de la tercera ley y la consideran superflua. El mejorremedio es presentar una situacion que requiera, para su analisis, de esa ley.Conviene entonces preguntar como se mide la masa. Algunos estudiantesproponen utilizar una balanza, a lo que normalmente el profesor preguntadonde se menciona en las leyes que el valor de la masa se puede determinarcon una balanza, cuyos resultados dependen de la fuerza de atraccion de laTierra. En todos los casos, la conclusion es unica: las leyes propuestas nobastan para resolver el problema y resulta necesario utilizar informacion aje-na. Sin embargo, cuando ya todos estan convencidos del caracter incompletode las leyes de la mecanica, podemos proponer un experimento sencillo: dosobjetos en interaccion entre sı. Por ejemplo, la Tierra y la Luna.

Si llamamos Ftl y Flt las fuerzas que ejercen la Tierra (la Luna) sobre laLuna (sobre la Tierra), respectivamente, podemos escribir, apoyandonos enla tercera ley:

Ftl = −Flt. (6.3)

A continuacion, utilizando la segunda ley, representando mediante ml y mt

las masas de la Luna y de la Tierra, respectivamente:

mlal = −mtat. (6.4)

Las aceleraciones se encuentran en la proporcion inversa de las masas, lo quesignifica que las tres leyes de Newton permiten comparar las masas de laTierra y de la Luna. La medicion de todas las masas inerciales, en principio,sigue exactamente este esquema: las partıculas se ponen en interaccion, latercera ley permite establecer la igualdad de las fuerzas y con ella, las masasse pueden comparar utilizando el valor numerico de las dos aceleraciones. Enel proceso de medicion, ciertamente, hay que empezar por definir una unidad

La cuarta ley

Respecto de la cuarta ley, dice Sommerfeld:

6.2. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA LAGRANGIANA 65

Cita 6.4 [Sommerfeld 1942, capıtulo 1, §1, nota]Llamaremos la regla del paralelogramo de fuerzas Cuarta Ley aunque

en Newton5 aparece simplemente como una adicion o un corolario.

El texto de Newton, mencionado por Sommerfeld, en el capıtulo Axiomaso Leyes del movimiento, bajo el tıtulo de Corolario Primero, dice

Cita 6.5 [Newton 1993, corolario]Un cuerpo afectado simultaneamente por dos fuerzas describira la diago-

nal de un paralelogramo en el mismo tiempo en que describirıa los lados deser afectado separadamente por esas fuerzas.

Newton lo demuestra con un juego de argumentos que corresponde asuponer lo que hoy llamamos principio de superposicion. Tales suposiciones,a los ojos de Sommerfeld, tienen contenido independiente del de las tresleyes, y por otro lado son equivalentes a la regla del paralelogramo. ¡Masde la mitad de los problemas de la mecanica estan fundamentados en estacuarta ley! La cuarta ley afirma simplemente, en el lenguaje moderno, quesi una partıcula se encuentra sometida a la accion de dos fuerzas, entoncesla segunda ley sigue siendo valida, a condicion de calcular la fuerza totalcomo la suma vectorial de las dos fuerzas. El contenido de esta afirmaciontiene dos nombres. Uno, que ya hemos utilizado mas arriba, es el principiode superposicion, el otro, la aditividad de la fuerza.

6.2. Algunas propiedades de la lagrangiana

Conviene reconocer que hay dos conceptos diferentes de lagrangiana. Unodefinido al trabajar con el principio de d’Alembert 1.37, que coincide conel utilizado al formular el principio de Hamilton, y el de L&L, del que lounico que sabemos es lo afirmado en ese principio, es decir, que cada sistemaesta caracterizado por uno. Para no confundirlos, representaremos esteultimo mediante Λ.

6.2.1. Aditividad de la lagrangiana

L&L consideran un sistema formado por dos partes A y B, cuyas la-grangianas, en tanto que sistemas cerrados, son ΛA y ΛB. Notemos sin em-bargo:

5Es decir, en los Principia Mathematica Philosophiae Naturalis


L&L no explican que sea un sistema cerrado. Por tal motivo, convieneque propongamos una definicion: Un sistema es cerrado, si lo que ocurrafuera de el no influye en la descripcion de su movimiento. Deberıamosentonces modificar el principio 6.1, sustituyendo en su primera lınea,Cada sistema mecanico por Cada sistema mecanico cerrado.Nosotros, sin embargo, no cambiaremos el enunciado de L&L, que con-stituye su verdadera afirmacion.

Si el sistema formado por las partes A y B es cerrado, entonces, lalagrangiana ΛAB tiene sentido en todo momento, es decir, independi-entemente de la distancia entre ellos, de acuerdo con el principio 6.1.

Cuando los sistemas A y B estan muy alejados, cada uno por separadoes cerrado, tiene sentido afirmar que existen ΛA y ΛB.

Si se alejan suficientemente estos sistemas entre sı, lo que ocurre en unode ellos no debe influir en lo que ocurre en el otro:

Cita 6.6 [Landau & Lifshitz 1971, §2, teorıa]En el lımite, cuando la distancia entre las partes es tan grande que la

interaccion entre ellas puede ser despreciada, la lagrangiana del sistema com-pleto tiende al valor

lım Λ = ΛA + ΛB, (6.5)

Esta aditividad de la lagrangiana expresa el hecho de que las ecuacionesdel movimiento de cualquiera de las dos partes que no interactuan no puedeinvolucrar cantidades relativas a la otra.

Efectivamente, poniendo lım Λ = ΛA+ΛB en la ec. 6.2, las ecuaciones delmovimiento son:

∂(ΛA + ΛB)

∂qi− d

dt

∂(ΛA + ΛB)

∂qi= 0, i = 1, . . . , n, (6.6)

Supongamos que hemos ordenado las coordenadas del sistema completo, demanera que los ındices i = 1, . . . ,m corresponden al sistema A, mientras quelos ındices i = m+1, . . . , n, al sistema B. Tomemos un ındice correspondienteal sistema A. En tal caso, podemos afirmar que

∂(ΛA + ΛB)

∂qi=∂ΛA

∂qiy

d

dt

∂(ΛA + ΛB)

∂qi=

d

dt

∂ΛA

∂qi, (6.7)


ya que la lagrangiana ΛB del sistema B no depende de las coordenadas delsistema A. Sustituyendo 6.7 en 6.6 obtenemos, para las variables del sistemaA:

∂ΛA

∂qi− d

dt

∂ΛA

∂qi= 0, i = 1, . . . ,m, (6.8)

Las ecuaciones de movimiento para las coordenadas del sistema B se obtienende la misma forma.

Hemos incluido en la primera lınea de la cita 6.6 la palabra teorıa, yaque se trata del producto de un razonamiento teorico de L&L. Lo importantees que el lector recapacite en cual de las siguientes alternativas, respecto deesa cita, considere que es la correcta:

L&L estan proponiendo una nueva ley.

L&L establecen, a partir de un principio indiscutible, una consecuenciay no se trata de una ley nueva.

Nuestro punto de vista es que se trata del primer caso, pero el segundo noes diferente, ya que ese principio indiscutible es una nueva ley que convienesenalar de manera explıcita.

Hasta aquı hemos utilizado el alejamiento como una variable que nospermite afirmar, en su lımite infinito, la independencia entre los movimientosde los dos sistemas. Lo importante no es la distancia sino la independenciade un movimiento respecto del otro, y quiza sea conveniente llamar a estapropiedad la aditividad de la lagrangiana para sistemas independientes. Porotro lado, el sımbolo lım ya no esta conectado con la distancia, sino concualquier condicion que garantice que los movivientos son independientes, detal manera que podamos escribir simplemente ΛAB = ΛA + ΛB.

6.2.2. Ambiguedad de la lagrangiana

L&L hacen un analisis de aquella parte de su propio enunciado, dondeafirman que Cada sistema mecanico esta caracterizado por una cierta funcionΛ(q, q, t), tratando de responder hasta que punto esta correspondencia esunıvoca. De aquı surgen dos propiedades muy importantes, conectadas conla posibilidad de decidir cuando dos lagrangianas son equivalentes, o dichode otro modo, si producen o no las mismas ecuaciones de movimiento.


Ambiguedad multiplicativa

L&L afirman entonces que la lagrangiana esta definida a menos de unaconstante multiplicativa, ya que

Cita 6.7 [Landau & Lifschitz 1971, §2, teorıa]Es evidente que multiplicar la funcion de Lagrange por una constante

arbitraria no tiene ningun efecto sobre las ecuaciones del movimiento.

Dicho de otra forma, las ecuaciones de movimiento que se obtienen a partirde la ec. 6.2, al sustituir L por Λ o por cΛ, donde c es una constante, sonlas mismas. El lector que no este acostumbrado a este tipo de razonamientosdebe hacer tal sustitucion en las ecs. 6.2 y convencerse que, efectivamente, seobtienen las mismas ecuaciones de movimiento. En particular debera suponerque esa constante no es nula.

Se podrıa pensar, en estas condiciones, que podemos multiplicar las la-grangianas de los sistemas aislados por cualquier numero sin alterar suspropiedades. Sin embargo, esto es incorrecto, ya que esto invalidarıa el prin-cipio de la aditividad establecido en 6.5. De hecho, la propiedad aditiva ad-mite solamente que las lagrangianas de todos los sistemas sean multiplicadospor una misma constante, lo cual esta conectado en ultima instancia con launidad en que se miden las lagrangianas. Continuaremos con esta propiedaden la seccion 6.2.5.

Ambiguedad aditiva

L&L toman un sistema cuya lagrangiana es Λ(q, q, t) y construyen unanueva lagrangiana Λ′ mediante

Λ′(q, q, t) = Λ(q, q, t) +d

dtf(q, t), (6.9)

donde f(q, t) es una funcion arbitraria de las coordenadas y del tiempo, quecumple con el unico requisito de poseer derivadas parciales de primer orden.La accion S ′ correspondiente a la nueva lagrangiana esta dada por:

S ′ =∫ t2

t1Λ′(q, q, t)dt

=∫ t2

t1Λ(q, q, t)dt+

∫ t2

t1

d

dtf(q, t)dt = S + f(q2, t2)− f(q1, t1),


donde qi representa los valores de todas las coordenadas al tiempo ti, i = 1, 2.Sea ahora una variacion δq(t) de la trayectoria compatible con el princi-

pio 6.1, y que por lo tanto se anula en los extremos, es decir, δq1 = δq2 = 0.

δS ′ = δS + δ[f(q2, t2)− f(q1, t1)

]= δS,

de lo anterior deducimos que una curva que produzca un valor estacionariode S al mismo tiempo lo produce en el de S ′, y por lo tanto, que las ecua-ciones de movimiento tienen las mismas soluciones. Una demostracion direc-ta, independiente de este resultado, corre a cargo del lector, en el ejercicio 3.Destacamos que esta propiedad es el punto de partida de la teorıa de lastransformaciones canonicas.

6.2.3. Sistemas de referencia inerciales

Hemos discutido en la seccion 1.5 la posibilidad de describir la configu-racion de un sistema mecanico utilizando coordenadas generalizadas en unsistema de referencia del que nada dijimos. Esta omision se debe fundamen-talmente a que todos sabemos que es un sistema de referencia, sin embargo,ahora es necesario precisar nuestras ideas.

Se puede indicar la posicion de una partıcula mediante sus coordenadascartesianas. Esto significa que ya hemos seleccionado un sistema de referencia,es decir, un origen, ası como tres ejes perpendiculares entre sı. Por ejemplo,en un punto P de la superficie de la Tierra podemos colocar el origen de unsistema de tales coordenas. Respecto de los ejes, podemos dirigir uno hacia elSur, otro hacia el Este y el que falta en la direccion radial, aunque el proble-ma puede sugerir alguna orientacion mas conveniente. Podemos realizar esteprocedimiento en cualquier punto de la Tierra y transformar la informacionrelativa a uno de tales sistemas a la relativa a cualquier otro. Todos estossistemas estan arraigados en la Tierra. Lo interesante es que esta misma con-struccion puede repetirse con cualquier cuerpo rıgido y afirmar que el sistemade ejes fijos a ese cuerpo constituye el sistema de referencia.

L&L afirman, respecto del sistema de referencia definido por un cuerporıgido que se mueve de manera caprichosa:

Cita 6.8 [Landau & Lifshitz 1971, §3, teorıa]Un cuerpo libre (uno que no esta sujeto a accion externa) no podrıa per-

manecer en reposo: Si su velocidad fuera nula en un instante, empezarıa amoverse en alguna direccion en el siguiente instante.


Se encuentra, sin embargo, que siempre se puede escoger un sistema dereferencia, llamado inercial, en el que el espacio es homogeneo e isotropo yel tiempo, homogeneo6

A la luz del parrafo anterior debemos deducir que en ese sistema de ref-erencia, un cuerpo libre, inicialmente en reposo, permanece en reposo, sinembargo, todavıa no es posible afirmar que un cuerpo libre, que semueve inicialmente con una cierta velocidad, se mantiene moviendo con esavelocidad y en la misma direccion. Este paso se puede dar tomando en cuentael siguiente razonamiento:

Cita 6.9 [Landau & Lifshitz 1971, §3, teorıa]

Podemos ahora inferir algunas consecuencias acerca de la forma de lalagrangiana para una partıcula que se mueve libremente en un sistema dereferencia inercial. La homogeneidad del espacio y del tiempo significa queesta funcion no puede contener explıcitamente ni el vector de posicion r dela partıcula, ni el tiempo t; es decir, L sera solo funcion de la velocidad v.Puesto que el espacio es isotropo, la lagrangiana no puede depender tampocode la direcion del vector v; por tanto, sera funcion solamente de su valorabsoluto, es decir, de su cuadrado v2 = v2:

Λ = Λ(v2)

Como la lagrangiana es independiente de r, ∂Λ/∂r = 0 y las ecuacionesde Lagrange toman la forma

d

dt

∂Λ

∂v= 0, (6.10)

y de allı ∂Λ/∂v = constante. Dado que ∂Λ/∂v solo es funcion de la velocidad,se sigue que

v = constante. (6.11)

Entonces concluimos que, en un marco de referencia inercial, todo movimien-to libre sucede con una velocidad constante, tanto en magnitud como direc-cion. Esta es la ley de la inercia.

6Definimos los conceptos de homogeneidad e isotropıa del espacio en las secciones 5.2y 5.4, mientras que el de la homogeneidad del tiempo en la 5.3


6.2.4. Principio de relatividad de Galileo

Si estando en un sistema de referencia inercial, decidimos cambiar por eldefinido por un cuerpo que se mueve con velocidad constante, entonces elnuevo sistema tambien es inercial. Esto ofrece un brinco conceptual impor-tante que nos lleva a reconocer que si hay un sistema de referencia inercial,entonces hay una infinidad. Aquı anaden L&L:

Cita 6.10 [Landau & Lifschitz 1971, §3, principio]. . . la experiencia demuestra que en estos sistemas no solamente las leyes

del movimiento libre seran las mismas, sino que los sistemas son completa-mente equivalentes desde el punto de vista mecanico. Ası, existen una in-finidad de sistemas de referencia inerciales, que se mueven los unos con re-specto a los otros con movimiento rectilıneo uniforme. En estos sistemas, laspropiedades del espacio y del tiempo son las mismas, ası como todas las leyesde la Mecanica. Esto constituye el principo de relatividad de Galileo, que esuno de los principios mas importantes de la mecanica.

Esta afirmacion cumple ya con uno de los requisitos que habıamos im-puesto hacia el final de la seccion 6.1: el de contar con un principio quenos permita elegir el sistema de referencia. Esta seleccion se realiza, en lamecanica tradicional, analizando la primera ley de Newton.

Conviene ahora que el lector se responda, con referencia a las citas 6.8,6.9 y 6.10: ¿L&L han introducido leyes nuevas o las han deducido de prin-cipios incuestionables? Notemos que L&L afirman que se puede escoger unsistema de referencia inercial y entonces continuan su razonamiento ya enuno de tales sistemas de referencia. En un segundo paso deducen, a partirde las propiedades del sistema de referencia inercial, que la lagrangiana debedepender solo del modulo de la velocidad, y de allı, junto con su principio,que las particulas libres se mueven con velocidad constante.

Nuestro punto de vista es que L&L han adoptado tres leyes en su esquema,independientes de su principio:

1. La posibilidad de elegir un sistema de referencia inercial en donde uncuerpo libre que se encuentra en reposo se mantiene en reposo.

2. La lagrangiana de una partıcula libre solo depende del modulo de lavelocidad. Lo anterior debe entenderse en el sentido de que no haydependencia ni en las coordenadas ni en la direccion de la velocidad.Se deduce que una partıcula libre se mueve con velocidad constante.


3. Equivalencia mecanica entre los diferentes sistemas de referencia iner-ciales.

Destacamos que la primera de estas leyes, no se encuentra entre las deNewton, pero que de estas, con el apoyo del principio de mınima accion, sepuede deducir el contenido de la primera de Newton.

Hasta aquı contamos, en el esquema de L&L, con cuatro leyes.

6.2.5. Lagrangiana de una partıcula libre en un sistemade referencia inercial

Deseamos someter la demostracion de L&L, de que la lagrangiana de unapartıcula libre se debe escribir como Λ = mv2/2, a la consideracion del lector:

Cita 6.11 [Landau & Lifschitz 1971, §4]Como ya se ha visto, la lagrangiana en este caso solo depende del cuadrado

del vector velocidad. Para poner de manifiesto esta dependencia, utilizaremosel principio de relatividad de Galileo. Si un cierto sistema de referencia in-ercial K se desplaza con una velocidad infinitamente pequena ε con respectoa otro sistema inercial K ′, se tiene v′ = v +ε.7 Puesto que las ecuaciones demovimiento deben tener la misma forma en todos los sistemas de referencia,la lagrangiana Λ(v2) debe convertirse por esta transformacion en una funcionΛ′, que si difiere de Λ(v2), no sera mas que en la derivada total respecto deltiempo de una funcion que depende de las coordenadas y del tiempo8. Ası,tenemos

Λ′ = Λ(v′2) = Λ(v2 + 2v · ε + ε2) (6.12)

Desarrollando esta expresion en serie de potencias de ε y despreciando losinfinitesimos de orden superior al primero, obtenemos:

Λ(v′2) = Λ(v2) +∂Λ

∂v22v · ε, (6.13)

El ultimo termino del segundo miembro de esta ecuacion sera una deriva-da total respecto al tiempo, solamente si es una funcion lineal de la velocidad.

7v y v′ son las velocidades de la partıcula respecto de los sistemas K y K ′ respectiva-mente. N. de los A.

8Cf. sec 6.2.2


Por tanto, ∂Λ/∂v2 no depende de la velocidad, es decir, la lagrangiana eneste caso es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Λ = av2 (6.14)

La constante a del sistema que analizamos es constante en el sentido de queno depende ni de las coordenadas ni de la velocidad de la partıcula.

Notemos que la demostracion de L&L depende de dos afirmaciones:

1. De la primera igualdad de la ec. 6.12, es decir, de escribir Λ′ = Λ(v′2)en lugar de Λ′ = Λ′(v′2), ya que se desea expresar que la lagrangianatiene la misma forma en los dos sistemas de referencia9. Por otro lado,si las lagrangianas Λ(v′2) y Λ(v2) difieren, a lo mas, en la derivada totalde una funcion de las coordenadas y del tiempo, podemos escribir, deacuerdo con la ec. 6.13

∂Λ

∂v22v · ε =

∂f

∂t+∂f

∂xv. (6.15)

Como esta igualdad debe ser valida para cualquier velocidad v, deduci-mos que ∂f/∂t = 0, lo que nos deja con ∂f/∂x = 2(∂Λ/∂v2)ε, cuyoprimer miembro solo depende de x, mientras que el segundo, solo dev2. La igualdad solo puede ser cierta si uno y otro lados son iguales auna constante. Esto significa que ∂L/∂v2 es una constante.

2. La afirmacion de que Λ(v′2) − Λ(v2) es la diferencia entre dos la-grangianas equivalentes. Aquı es importante que el lector decida siesta de acuerdo en que tal diferencia es entre dos lagrangianas equiva-lentes. Nuestro punto de vista es que se trata de dos lagrangianas hastaaquı incomparables. En el primer caso, puede pasar a la seccion 6.2.7conectada con la afirmacion de que la constante m, la masa, debe serun numero positivo. En caso contrario debe pasar a la sec. 6.2.6.

6.2.6. Demostracion alternativa de Λ = av2

L&L han demostrado que la correspondencia que asigna una lagrangianaa cada sistema mecanico es ambigua por dos motivos, uno de los cuales

9En esto se traduce la afirmacion de que uno y otro sistema tienen las mismas leyes dela mecanica


establece que se le puede sumar la derivada total de una funcion de lascoordenadas y del tiempo. Podemos confirmar, revisando el argumento de laseccion 6.2.2, que las lagrangianas comparadas, Λ(q, q, t) y Λ′(q, q, t), ec. 6.9son relativas a un mismo sistema de coordenadas q. Sin embargo, en la seccionprecedente, Λ(v′2) es la lagrangiana de la partıcula en el sistema K ′, mientrasque Λ(v2), el de la misma partıcula pero respecto del sistema K, y, hasta elmomento nada se ha dicho de la comparacion entre las lagrangianas de unmismo sistema mecanico relativas a dos sistemas de referencia diferentes.

Sean K, K ′, ε, L(v2) y L(v′2) como en la cita 6.11. Dado que las la-grangianas deben tener la misma forma, podemos escribir que L′ = L. Ahorabien, partiendo de L(v2), la lagrangiana en el sistema K, podemos obteneruna relativa al sistema K ′ realizando la transformacion de coordenadas, que,de acuerdo con L&L satisface v = v′ + ε, es decir, L

((v′ + ε)2

). Aquı pode-

mos afirmar, apoyados en la seccion 6.2.2, dado que L(v′2) y L((v′ + ε)2

)son lagrangianas de un mismo sistema mecanico respecto de K ′, que difierena lo mas en la derivada total de una funcion de las coordenadas y del tiempo,es decir,

∂f

∂t+ v · ∇f = L(v′2)− L(v′2 + 2v·ε + ε2) =

∂L

∂v′22v · ε (6.16)

La ultima igualdad se debe a que ε es una velocidad infinitesimal. Con-tinuando con el mismo argumento seguido a partir de la ec. 6.15, encon-tramos que ∂L/∂v′2 tiene que ser una constante. Esto es precisamente lo quequerıamos demostrar.

6.2.7. La masa debe ser un numero positivo

Analicemos una vez mas el movimiento de una partıcula libre desde unsistema de referencia inercial. De acuerdo con los resultados, todo lo quetenemos que hacer es sustituir la lagrangiana de la ec. 6.14 en la ec. 6.1:

S =∫ t2

t1

mv2

2dt (6.17)

Cita 6.12 [Landau & Lifschitz 1971, §4]Si la masa fuera negativa, la integral de accion tomarıa valores negativos

arbitrariamente grandes para un movimiento en el que la partıcula abandona

6.3. CONCLUSION 75

rapidamente el punto 1 y se acerca rapidamente al 2. Esto significa que laintegral 6.17 no tendrıa un mınimo.

El resultado de las consideraciones anteriores es que la masa m debe ser unnumero positivo.

En caso de que haya varias partıculas libres, la funcion de Lagrange es-tara dada por la suma:

Λ =∑a

mav2a

2, (6.18)

mientras que si las partıculas presentan alguna interaccion entre sı,

Cita 6.13 [Landau & Lifshitz 1971, §5]

Se encuentra que la interaccion entre las partıculas puede ser descritasumando a la lagrangiana de partıculas libres 6.18 una cierta funcion de lascoordenadas, que representamos como −U(q) y que depende de la naturalezade la interaccion.

resultando entonces:

Λ =∑a

mav2a

2− U(q1, . . . , qs). (6.19)

6.3. Conclusion

La mecanica que aquı hemos propuesto, siguiendo a L&L, depende:

del principio de mınima accion de L&L, es decir, del principio 6.1,

de la aditividad de la lagrangiana de partıculas libres expresada en lacita 6.6,

de la cita 6.8, que establece que se puede encontrar un sistema dereferencia donde la lagrangiana de una partıcula es funcion solo de v2,

de la cita 6.10, que no es sino la version de L&L de la primera ley deNewton.


Por otro lado, en el esquema clasico tenemos las cuatro leyes de Newton, aligual que en este, pero hay una laguna, ya que todavıa no podemos establecerla validez de la tercera ley.

Consideremos el caso de un sistema de dos partıculas, que describimosusando coordenadas cartesianas. De acuerdo con la ec. 6.19, podemos escribirsu lagrangiana como:

Λ =mav

2a

2+mbv

2b

2− U(xa,xb), (6.20)

cuyas ecuaciones del movimiento, ecs. 6.2, son:

d

dt(mava) = − ∂U

∂xa, (6.21)

d

dt(mbvb) = − ∂U

∂xb. (6.22)

De acuerdo con el marco interpretativo del primer capıtulo, los segundosmiembros de las ecs. 6.21 y 6.22, son las fuerzas ejercidas por la partıcula b(por la partıcula a) sobre la partıcula a (sobre la partıcula b), y necesitamosque estas dos fuerzas cumplan con la tercera ley de Newton, es decir,

∂U

∂xa= − ∂U

∂xb. (6.23)

Para lograr esto, todo lo que debemos imponer es que,

Ley 2 la funcion U solo depende de la diferencia de las coordenadas, esdecir,

U(xa,xb) = U(xa − xb) (6.24)

Esta ley, cuyo significado se enmarca en la cita 6.13, junto con las cuatroanteriores, nos permite ya recuperar tanto las cuatro leyes de Newton: lasmasas pueden ser medidas de la misma manera que en la mecanica tradi-cional, y las funciones U , las energıas potenciales, determinadas del mismomodo que en la mecanica de Newton.

Finalmente, a todo esto, ya que las ecuaciones obtenidas coinciden conlas de Lagrange, ¿Que hemos ganado? La diferencia es que ahora contamoscon un principio variacional integral, del que depende el desarrollo ulteriorde la mecanica, como es el caso de los formalismo de Hamilton, la teorıa delas transformaciones canonicas y la teorıa de Hamilton y Jacobi,

6.4. EJERCICIOS 77

6.4. Ejercicios

1. En una mesa sin friccion hemos colocado dos objetos, de masas m1 ym2 respectivamente. Demostrar, usando solamente las cuatro leyes dela mecanica, que la masa del sistema es m = m1 +m2. Esta propiedadaditiva es consecuencia de las leyes del movimiento.

2. ¿Se puede demostrar, suponiendo la aditividad de la masa, que vale laley del paralelogramo?

3. Determinar las ecuaciones de Lagrange para las lagrangianas Λ y Λ′,conectadas entre sı mediante la ec. 6.9 y demostrar que son las mismas.

4. Si definimos f(v) = ∂Λ/∂v y llamamos a la constante mencionadainmediatamente despues de la ec. 6.10. Tenemos entonces

f(v) = a (6.25)

Notemos que el caso que han analizado L&L corresponde a un problemapara el que la ec. 6.25 tiene una sola raız para cada constante a. ¿Comose modifica la conclusion cuando esa ecuacion tiene varias o inclusouna infinidad de raıces diferentes? Este ultimo caso se presenta, enparticular, cuando f(v) = constante.

5. Enumerar, explıcitamente las nuevas cinco leyes del movimiento.

6. Lo que hemos venido llamando la cuarta ley de Newton, ¿puede serdeducida a partir de las nuevas cinco leyes del movimiento?

7. De estas cinco leyes, ¿cuales deben ser modificadas para que los resul-tados sean correctos desde el punto de vista de la T. de la relatividadespecial? En caso de dificultad, se puede consultar el segundo volumendel Curso de Fısica Teorica de Landau & Lifshitz 1971, titulado TeorıaClasica de los Campos

8. Establecer la forma de la lagrangiana en un sistema de referencia cuyoorigen se encuentra en x(t) respecto de un sistema de coordenadasinercial, y cuyos ejes giran con velocidad angular Ω(t). Desde luego, elproblema es interesante precisamente en los casos x(t) 6= 0 y Ω 6= 0.

Apendice A

Diferencial de una funcional

Hemos presentado en esta obra un acercamiento al calculo de variaciones(CV) que solo requiere conocimientos del calculo diferencial e integral (CDI).En este apendice exponemos algunos conceptos matematicos conectados conel analisis funcional, con el objeto de descubrir al lector la heurıstica extraor-dinara que se encuentra en una teorıa mas moderna.

El punto de partida es la teorıa de los maximos y mınimos del caculodiferencial, que afirma que los puntos donde ocurren tales valores, en el ca-so de una funcion real de variable real, derivable, son aquellos donde o laderivada se anula, o son los extremos del intervalo donde esta definida lafuncion.

Lo anterior, nos lleva a investigar como definir la derivada de una fun-cional. Ciertamente, entendemos por funcional una regla que permite asignara cada funcion un numero, como es el caso de las definidas por la ec. 3.1.Recordemos el concepto de derivada, para modificarla de manera que nospermita resolver el problema que plantea el CV.

Decimos que la derivada de f(x) en x = a es f ′(a) si

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h= f ′(a) (A.1)

A la vista de lo anterior, el primer problema que debemos atender esconstruir el concepto de lımite de una funcional. Lo mas sencillo es trabajarsobre el concepto normal de lımite:

Definicion 2 Decimos que el lımite de la funcion f(x) cuando x→ x0 es Lsi dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si x esta en el dominio de f , entonces

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80 APENDICE A. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIONAL

|f(x)− L| < ε si 0 < |x− x0| < δ. (A.2)

Dado que los valores que toma una funcional son numeros, podemos dejarigual la primera parte, es decir, la que habra de comparar la funcional contrael valor del lımite. La segunda parte tiene que ver con la cercanıa del punto xal punto x0, y, en el caso de una funcional, se debe analizar la cercanıa entredos funciones. Necesitamos que, en lugar de que el numero x tienda a x0, lafuncion y(x) tienda a y0(x)

Cuando decimos que x tiende a x0, escribiendo x → x0, afirmamos quetomamos numeros x cada vez mas cercanos a x0, utilizando como criterio decercanıa la distancia d(x, y) entre los numeros x y y definida por d(x, y) =|x−y| donde || representa la funcion valor absoluto. Esta distancia tiene trespropiedades fundamentales que la hacen util en CDI:

Definicion 3 Propiedades de la distancia d(x, y) = |x− y|.

1. La distancia d(x, y) entre dos puntos cualesquiera x y y es no negativay solo es nula cuando los puntos coinciden, es decir, d(x, y) ≥ 0 yd(x, y) = 0 si y solo si x = y.

2. La distancia es simetrica, es decir, la distancia de x a y es igual que lade y a x, es decir, d(x, y) = d(y, x).

3. La desigualdad del triangulo: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

En estas tres propiedades se basan los conceptos de lımite, de continuidady de derivada del CDI.

Definicion 4 Definimos la distancia d(f, g) entre las funciones f y g, cuyodominio es el intervalo [a, b], mediante el supremo del valor absoluto detodas las diferencias, es decir,

d(f, g) = supx∈[a,b]

|f(x)− g(x)| (A.3)

Notemos, sin embargo, que dos curvas pueden ser cercanas sin que losean sus derivadas, como puede verse en la fig. A.1. En tal caso, podemosmodificar la definicion anterior, de manera que tambien haga intervenir lasdiferencias en sus derivadas:

d1(f, g) = maxx∈[a,b]

|f(x)− g(x)|+ maxx∈[a,b]

|f ′(x)− g′(x)|. (A.4)

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!2 !1 1 2

1

2

3

4

Figura A.1: Las funciones representadas por el trazo continuo y el punteadoson cercanas segun sus valores, pero lejanas segun sus derivadas.

Sea A el conjunto de todas las funciones f(x) definidas en el intervaloI = [a, b] ( a < b), cuya primera derivada es continua, excepto posiblementeen un numero finito de puntos, y definimos la distancia entre funciones me-diante A.3. Si φ = φ[f ] es una funcional definida en un subconjunto B de A,podemos extender el concepto de lımite de la definicion 2 mediante

Definicion 5 Decimos que el lımite de la funcional φ[y(x)], cuando y(x)tiende a z(x), es s, y escribimos

lımy(x)→z(x)

φ[y(x)] = s, (A.5)

si dada ε > 0 existe δ > 0 tal que, |s − φ[y(x)]| < ε cuando y(x) ∈ B yd(y(x), z(x)) < δ.

Ahora intentamos construir el concepto de derivada de una funcionaladaptando la ec. A.1. Sustituimos en lugar del numero a la funcion y(x), y,en el del incremento h, la funcion h(x) = z(x)−y(x). Analicemos el siguientelımite:

lımz(x)→y(x)

φ[z(x)]− φ[y(x)]

z(x)− y(x). (A.6)

Ya hemos definido el concepto de lımite de una funcional, pero aquı figuraotro concepto que posiblemente no tenga sentido. Estamos calculando uncociente cuyo numerador es un numero, φ[z(x)]− φ[y(x)], lo cual es normal,pero cuyo denominador es una funcion z(x)− y(x).

El calculo del cociente de dos funciones, entendiendo que tales funcionesdeben evaluarse en un cierto numero es un problema tıpico tanto del algebra


como del CDI. Por ejemplo, podemos calcular el cociente de sen(x) y cos(x),lo cual define la funcion tan(x). Sin embargo, la definicion de derivada, queintentamos extender, requiere del inverso multiplicativo.

Si el denominador fuera un numero racional, un numero real o un numerocomplejo no habrıa ningun problema. Por el contrario, si el denominadores un vector de tres o mas componentes1, o una matriz, el problema notiene sentido. No es cierto que todo vector o toda matriz posea un inversomultiplicativo. Lo mismo sucede con las funciones, que no tienen un inversomultiplicativo.

Todo parece indicar que el proceso de la analogıa ha llegado a un callejonsin salida. Sin embargo, si estuvieramos analizando una funcion vectorialde variable vectorial, el incremento serıa un vector y nos encontrarıamos enun problema semejante, y ademas, resuelto. Regresemos a la definicion dederivada, que escribimos de forma equivalente. Supongamos que se cumplela ec. A.7, lo que nos autoriza a afirmar que

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h= lım

h→0

h f ′(a)

h, (A.7)

que podemos escribir:

lımh→0

f(a+ h)− f(a)− hf ′(a)

h= 0. (A.8)

Definimos la funcion g, de dos argumentos, de acuerdo con:

g(a, h) =(f(a+ h)− f(a))− hf ′(a)

h. (A.9)

De g sabemos, por las ec. A.8 y A.9 que su lımite cuando h → 0 es nulo.Podemos entonces escribir

f(a+ h) = f(a) + hf ′(a) + hg(a, h), donde lımh→0

g(a, h) = 0. (A.10)

Precisamente, a partir de esta ultima podemos proponer: si f es una funcionvectorial de variable vectorial, decimos que f es diferenciable en el punto x, sif esta definida en una vecindad reducida del punto x y existen matrices A(x)y B(x,h) tales que f(x + h) = f(x) + (A+ B)h, donde lımh→0B(x,h) = 0.Como A es independiente de h, Ah es una funcion lineal del vector h. Deesta ultima podemos construir la definicion que necesitamos, sin embargo,debemos prever un concepto analogo a Ah: el concepto de funcional lineal.

1Uno de dos dimensiones podrıa conectarse con el correspondiente numero complejo

A.1. EJERCICIOS 83

Definicion 6 Decimos que la funcional L[y(x)] es lineal si satisface:

L[cy(x)] = cL[y(x)], donde c es un n[umero.

L[y(x) + z(x)] = L[y(x)] + L[z(x)].

Lo anterior nos sugiere la siguiente definicion de funcional diferenciablede Elsgoltz [1969]:

Definicion 7 La funcional S : A → R es diferenciable en y(x) si existe unafuncional λ : A → R, que depende de la funcion y(x), lineal en h(x), tal que

S[y(x) + h(x)] = S[y(x)] + λ[y(x), h(x)] + β[y(x), h(x)]d(0, h(x)) (A.11)

donde

λ[y(x), h(x)] es una funcional lineal respecto de h(x).

lımd(0,h(x))→0 β[y(x0, h(x)] = 0.

λ lleva el nombre de variacion de la funcional.

A.1. Ejercicios

1. Demostrar que la definicion 4 cumple las propiedades de la distanciaque indicamos en la definicion 3.

2. Extender la definicion de distancia de manera que incluya la cercanıade las funciones y de todas las derivadas de orden menor o igual que k,donde k es un entero no negativo.

3. Definir el concepto de continuidad de una funcional en una funciony(x).

4. Podemos tomar como un ejemplo mas concreto de la funcional S de laec. A.11 el de la ec. 2.5. El conjunto A puede determinarse analizandopara que funciones y(x) tiene sentido esa ecuacion.

5. Demostrar que H(z) = zf ′(a) es una funcion lineal en z.

Apendice B

Bibliografıa sugerida ycomentada

1. Bujanovic, Bozidar Z. y Atanackovic, Teodor M., An Introduction toModern Variational Techniques in Mechanics and Engineering, Birk-hauser, Boston (2003)Obra muy completa y moderna de calculo de variaciones, desde la per-spectiva de las aplicaciones a diversos campos.

2. Ewing, George M., Calculus of Variations with applications (Mathe-matics Series), Dover Publications, Nueva York (1985)Re-impresion de uno de los libros clasicos de calculo de variaciones.Sigue siendo muy util.

3. Lanczos, Cornelius, Variational Principles of Mechanics, The Univer-sity of Toronto Press, Toronto (1960)Referencia clasica del calculo de variaciones. Recomendable a pesar delos muchos anos transcurridos desde su primera edicion.

4. Mura, Toshio y Koya, Tatsuhito, Variational Methods in Mechanics,Oxford University Press, Oxford (1992)Interesante referencia japonesa sobre la mecanica variacional. Comple-mentario a algunas de las otras referencias clasicas sobre el tema.

5. Thornton, Stephen T. y Marion, Jerry B., Classical Dynamics of parti-cles and systems, Brooks Cole, Pacific Grove (2003) Re-edicion de unade las referencias clasicas de mecanica avanzada, con buenos ejemplosde calculo de variaciones.

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86 APENDICE B. BIBLIOGRAFIA SUGERIDA Y COMENTADA

Bibliografıa

Cornelius Lanczos. Variational Principles of Mechanics. The University ofToronto Press, Toronto, 1960.

Arnold Sommerfeld. Mechanics. Lectures on theoretical physics, Vol. 1. Ac-cademic Press, New York, San Francico, London, 1942.

Herbert Goldstein, Charles P. Poole, and John L. Safko. Classical Mechanics.Addison Wesley, Nueva York, 2001.

Isaac Newton. Principios matematicos de la Filosofıa natural.Tıtulo Original: Principia Mathematica Philosophiae Naturalis, 1687.Traductor: Antonio Escohotado. Ediciones Altaya, 5 de julio 1993.

J. Steiner. Einfache beweise der isoperimetrischenhauptsitze. J. ReineAngew. Math., 18:281–296, 1838.

G. G. Leibniz. Unicum opticae, catoptricae, et dioptricae principium. ActaEruditorum Lipsiae (Groninga), pages 184–190, june 1682.

Jacobus Bernoullius. Solutio problematum fraternorum peculiari program-mate cal, jan. 1697 groningae, nec non actorum lips, mense jun. et dec.1696 et febr. 1697 propositorum: una cum propositione reciproca aliorum.Acta Eruditorum Lipsiae (Groninga), page 211, 1697.

Oskar Bolza. Lectures on the calculus of variations. Dover Publications, INC,New York, 1904.

Anonimo Isaac Newton. Epistola Missa ad Praenobilem Virum D. CarolumMontague Armigerum, Scaccarii Regii apud Anglos Cancellarium, etSocietatis Regiae Praeasidem: in qua solvuntur duo problemata mathe-matica a Johanne Bernoullio mathematico celeberrimo proposita. ActaEruditorum Lipsiae (Groninga), pages 223–224, may 1697.

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88 BIBLIOGRAFIA

Lev Davidovitch Landau and E. M. Lifschitz. Curso de Fısica Teorica. TomoI. Mecanica. Traduccion de Eloisa Lopez de Vazquez, revisada por SalvadorVelayos. Editorial Reverte, 1971.

C. G. Gray and Edwin F. Taylor. When action is not least. American Journalof Physics, vol 75:434–458, mayo 2007.

L Elsgoltz. Ecuaciones diferenciales y calculo variacional. Editorial Mir,Moscu, 1969.

· las leyes de newton 62 6.2. algunas propiedades de la lagrangiana 65 ... que se plantea...

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