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EL estudio psicoloacutegico de las operashyciones aritmeacuteticas elementales se inicia desde principios de siglo (Arshy

nett 1905 Browne 1906 Brownell 1928 Bushwell y Judd 1925) no obstanshyte soacutelo en fechas recientes se aprecia el surgimiento de un paradigma general que auacutena diferentes modelos sobre los proceshysos cognitivos utilizados por los nintildeos durante la realizacioacuten de tareas aritmeacutetishycas concretas y el modo en que cambian dichos procesos con el transcurso del tiempo 5eguacuten Brown (1970) los or(genes de este paradigma arrancariacutean de dos fuentes de la simulacioacuten de los procesos cognitivos y de la obra de Piaget Y desde ambas orientaciones se afirma que los procesos cognitivos no pueden observarse directamente por lo que el investigador se ve obligado a inferir tales procesos utili shyzando a) modelos de simulacioacuten (De Corte y Verschaffel 1985 Greeno Riley y Gelshyman 1984 Riley Greeno y Heller 1983 5ieglaacuter y Robinson 1982) b) aportaciones acerca de los estadios evolutivos (Carpenshyter y Moser 1982 1983 5tarkey y Gelshyman 1982 Steffe von Glasersfeld Rishychards y Cobb 1983) c) anaacutelisis de la influencia del marco cultural (5axe 1982 Hatano 1982) d) anaacutelisis de los procesos ~ de instruccioacuten (Nesher 1982) e) modelas de procesamiento cognitivo (Case 1978 1982 Colis 1982)

Una de las manifestaciones del consenshylt so que comienza a surgir en torno a este

paradigma se refiere a los meacutetodos utili shyzaacutedos para investigar los aspectos fundashymentales de las operaciones aritmeacuteticas aacutelementales limitaacutendose predominanteshymente al uso de la entrevista cliacutenica (Ginsshy

() Departamento de Psicologiacutea Evolutiva y de la Educacioacuten de la Facultad de Psicologiacutea de la Universidad Complutense de Madrid LCE Unimiddot versidad Complutense de Madrid

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burg Kossan Schwartz y5wanson 1983) Aunque Cobb y 5teffe (1983) Davydov y Andronov (1980) y Resnick (1981) utilizan el experimento de enselianza no obsshytante eacuteste consiste esencialmente en una ampliacioacuten de la entrevista cliacutenica Otra manifestacioacuten de dicho consenso radica en el reconocimiento de la importancia de las habilidades numeacutericas baacutesicas tales como el conteo la estimacioacuten y la percepshycioacuten de la cantidad numeacuterica para especishyficar los procesos cognitivos responsables del aprendizaje de las operaciones aritmeacuteshyticas elementales La revalorizacioacuten del conteo pormiddot ejemplo como un elemento relevante en el estudio de los procedishymientos utilizados por los nintildeos en la resolucioacuten de problemas aditivos es el fruto de numerosas investigaciones (Gelshyman y Gallistel 1978 Fuson 1982 Fuson y Richards 1979 5teffe Thompsonmiddot y Richards 1982 5teffe y coL 1983) En ellas se pone en entredicho la postershygacioacuten que ha sufrido dicha habilidad situaacutendola en un primer plano En las paacuteginas que siguen trataremos de comshypendiar las aportaciones maacutes significashy t

tivas que se han hecho en torno a la 1adquisicioacuten y aprendizaje de las nocioshy1nes matemaacuteticas elementales tales como ~

el conteo la cardinalidad el nuacutemero la adicioacuten etc resaltando aquellos aspectos que a nuestro entender son maacutes originashyles o pueden resultar maacutes uacutetiles con resshypecto a la praacuteCtica educativa

LA POSICION CLASICA DE PIAGET

(Piaget (Greacuteco Grize Papert y Piaget ~ 1960 Piaget 1983 Piaget y 5zeminska

1941) es uno de los primeros autores que analiza empiacutericamente yen profundidad el origen y desarrollo del nuacutemero y de otras Il

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EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS

~ ESTADO ACTUAL DE LAS INVESTIGACIONES

VICENTE BERMEJO () M OLIVA LAGO

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nociones matemaacuteticas del nintildeo Con resshypecto al concepto de nuacutemero hay tres teoriacuteas que pretenden determinar su orishygen 1 la teoriacutea cardinal 2 la teoriacutea

ordinal y 3 la teoriacutea cardinal-ordinal de Piaget La teoriacutea cardinal es una traducshycioacuten literal de la teoriacutea de Frege-Russell (1884-1903) en teacuterminos psicoloacutegicos por lo que la explicacioacuten de los oriacutegenes psicoshyloacutegicos del nuacutemero se convierte en una tarea anaacuteloga a la de explicar coacutemo llegan los nintildeos por primera vez a comprender el nuacutemero cardinal La teoriacutea ordinal (Braishynerd 1973a 1973b 1973c) se inspira en la aproximacioacuten relacional del nuacutemero Dicha teoriacutea asume que el nuacutemero hace referencia a los teacuterminos de las relaciones asimeacutetricas-transitivas de las progresioshynes que generan tales relaciones En conshysecuencia el origen psicoloacutegico del nuacuteshymero se identifica con el origen psicoloacutegishyco del nuacutemero ordinal Por uacuteltimo la teoriacutea cardinal-ordinal de Piaget como su propio nombre indica hace referencia tanto al significado ordinal como cardinal del conshycepto de nuacutemero combinando la dimenshysioacuten clasificatoria y relacional del mismo Piaget considera inadecuado sostener que el sistema de los nuacutemeros naturales se basa exclusivamente bien en los nuacutemeros ordinales bien en los nuacutemeros cardinales ya que tienen que identificarse tanto con los unos como con los otros Este autor (1983) afirma que la construccioacuten de los nuacutemeros cardinales no puede explicarse como creiacutean Whitehead y Russell (1910shy13) por el simple establecimiento de la correspondencia uno a uno entre clases equivalentes ya que la correspondencia que ellos utilizan introduce impliacutecitamente la unidad y por lo tanto el nuacutemero lo que convierte su argumento en circular Cuanshydo se trata con conjuntos finitos los nuacuteshymeros cardinales no pueden disociarse de los ordinales y estaacuten sujetos a tres condishyciones A) abstraccioacuten a partir de las cualishydades lo que hace que todos los objetos individuales sean equivalentes y por lo tanto 1 =1 =1 B) el orden es necesario para distinguir los objetos entre siacute C) la inclusioacuten de (1) en (1 + 1) despueacutes de (1 + 1) en (1 + 1 + 1) etc Por tanto el nuacutemero resulta de la siacutentesis de la clasifishycacioacuten de objetos equivalentes y del orden de los mismos de modo que mediante un proceso iterativo se cuantifica dando lushygar a la serie de los nuacutemeros enteros

En cuanto a la evolucioacuten de la cardinashycioacuten y la ordinacioacuten (Piaget y Szeminska 1941) distinguen tres fases en la primeshyra la seriacioacuten que es pre-ordinal (el nintildeo no comprende espontaacuteneamente el orden progresivo de los elementos) se corresshyponde con la primera etapa de la cardinashycioacuten en la que no hay ninguna conservashycioacuten de las cantidades -sean eacutestas contishynuas o discontinuas-o Son dos las caracshyteriacutesticas que comparten la naturaleza global y la dependencia de la experiencia perceptiva inmediata En la segunda la ordinacioacuten (basada en la seriacioacuten y coshy

rrespondencia intu itiva y con vacilaciones) se corresponde con el comienzo de la conservacioacuten de las cantidades pero soacutelo para determinadas transformaciones coshymo la correspondencia teacutermino a teacutermino y la reproduccioacuten de las cantidades por meshydio del anaacutelisis exacto de las figuras aunque la equivalencia no es durable En esta segunda etapa el nintildeo no opera todaviacutea aunque sea capaz de llevar a cabo un anaacutelisis correcto no enteramente inshydependiente de la percepcioacuten Por uacuteltimo en la tercera etapa la ordinacioacuten y la cardinacioacuten pueden equipararse tanto por sus estructuras como por sus resultados en ambos casos triunfa la operacioacuten sobre la intuicioacuten La composicioacuten operatoria acaba por sobreponerse a la constatacioacuten perceptiva o maacutes exactamente aqueacutella dirige y supedita a eacutesta En la primera etapa no existe todaviacutea coordinacioacuten entre el proceso de caraacutecter ordinal y los proceshysos de caraacutecter cardinal En la segunda las relaciones son maacutes complejas ya que sentildealan el comienzo de la coordinacioacuten entre ambas estructuras aunque soacutelo a nivel intuitivo En la terceta etapa el nintildeo resuelve correctamente todas las tareas que se le plantean bien al pedirle que determine un valor cardinal por medio de un rango concreto bien al solicitarle que averiguumle un rango particular a partir del valor cardinal Comprende por tanto la relacioacuten existente entre la ordinacioacuten y la cardinacioacuten

Con respecto a la adicioacuten se trata de una operacioacuten que auacutena las partes en un todo Es decir la adicioacuten es una operacioacuten reversible que se constituye cuando por una parte los sumandos se reuacutenen en un todo y por otra cuando dicho todo se considera constante (invariante) con indeshypendencia de las diversas particiones que puedan efectuarse Ahora bien para que el todo sea conceptualizado como constante el nintildeo tiene que poseer la consershyvacioacuten operatoria Piaget y Szeminska (1941) utilizan tres teacutecnicas para estudiar la composiCiOacuten aditiva a) identidad del todo a pesa~ de las distintas composicioshynes aditivas de sus partes b) igualacioacuten de dos cantidades y c) particioacuten del todo en dos partes equivalentes Los resultados empiacutericos aacutebtenidos muestran la existenshycia de una etapa inicial en la que no hay composicioacuten aditiva una etapa intermedia en la que se manifiesta una composicioacuten aditiva intuitiva y una etapa final en la que se da una composici6n aditiva real defishynida por la invarianza del todo y la reversishybilidadde las operaciones que la constishytuyen De modo maacutes expliacutecito en la prishymera etapa el nintildeo se rige por las relacioshynes perceptivas llegando a conclusiones erroacuteneas al comparar entre siacute las diversas partes de dos conjuntos equivalentes o al ignorar quelos elementos dispuestos ante eacutel constituyen u n todo constante y que por lo tanto los elementos sustraiacutedos a una de las partes son adicionados a la restante De todo ello se desprende que en esta

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primera etapa no hay ni adicioacuten ni sustracshycioacuten auteacutenticas sino tan soacutelo acciones empiacutericas cuyos efectos desconoce a prioshyri La segunda etapa supone un paso maacutes hacia la consecucioacuten de una composicioacuten aditiva puesto que las totalidades se esshytructuran mejor gracias a la intuicioacuten esshypacial No obstante dada la ausencia de conservacioacuten operatoria no puede haber un todo que permanezca constante a lo largo de las muacuteltiples particiones que pueden aplicarse Finalmente en la tershycera etapa el nintildeo puede descomponer una totalidad en sus partes o realizar el proceso inverso (aunar las partes en un todo) ya que las igualdades son estables gracias a la conservacioacuten resultante de una composicioacuten aditiva moacutevil y revershysible

LA RELEVANCIA DEL CONTEO En los estudios tradicionales acerca de

la competencia cognitiva de los preescoshylares se utiliza habitualmente el anaacutelisis transversal es decir la comparacioacuten entre los resultados obtenidos por dichos nilosy los cpnseguidos por nintildeos mayores En consecuencia lo uacutenico que se obtiene es una larga lista de incompetencias por parte de los maacutes pequentildeos pero no un conocimiento directo de su desarrollo cogshynitivo entendieacutendose eacuteste ademaacutes como un proceso de todo o nada En la actualishydad no suele sostenerse este tipo de interpretacioacuten ya que la incapacidad para solventar correctamente una tarea detershyminada no significa necesariamente aushysencia total de conocimiento sobre la noshycioacuten estudiada Desde aquella oacuteptica se defendra que los nilos pequentildeos no poshyseran conocimiento alguno del concepto de nuacutemero considerando el conteo como resultado de una simple rutina memoriacutestishyca Recientemente no pocos autores (Gelshyman 1972 Gelman 1982 Gelman y Gallistel 1978 Gelman y Meck 1983 G reeno Riley y Gelman 1984) se oponen a esta orientacioacuten argumentando que los procesos cognitivos implicados en el conshyteo preparan la adquisicioacuten de habilidades numeacutericas maacutes complejas

iexcl Gelman y Gallistel (1978) hablan de 1 habilidades numeacutericas de abstraccioacuten y de

razonamiento Las primeras permiten al nilo determinar la cantidad numeacuterica esshypeciacutefica o relativa y las segundas consisshy

ten en ju icios acerca de las transformacioshyiexcl nes las relaciones entre conjuntos y los

efectos de la aplicacioacuten sucesiva de varias operaciones Las habilidades de razonashymiento solo pueden ser aplicadas si preshyviamente el nintildeo ha logrado una represenshytacioacuten numeacuterica del conjunto para lo cual dispone de dos medios el conteo y la percepcioacuten inmediata de la cantidad El eacutexito en la primera tarea supone el domishynio de cinco principios fundamentales a) el principio de correspondenCia uno-ashyuno b) el de orden estable e) el principio de cardinalidad d) el de abstraccioacuten y e) el principio de irrelevancia del orden Ahora

bien desde el punto de vista evolutivo los nintildeos de dos antildeos no utilizan auacuten la secuencia numeacuterica convencional pero siacute parecen cumplir los principios de corresshypondenciauno-a-uno y de orden estable Los trabajos de Fuson y Richards (1979) confirman estos resultados al hablar de la utilizacioacuten de listas no estaacutendar El proshyceso evolutivo a lo largo de los tres cuatro y cinco antildeos se manifiesta en el dominio progresivo de las adquisiciones anteriores y en el inicio y desarrollo paulatino del principio de cardinalidad Asiacute el estudio de Groen y Resnick (1977) confirma que el conteo de los nintildeos va maacutes allaacute de la mera rutina memoriacutestica encontrando que hashycia los cuatro antildeos y seis meses son capaces de inventar algoritmos de conteo

En cuanto a la interaccioacuten entre las habishylidades de abstraccioacuten del nuacutemero y las habilidades de razonamiento numeacuterico la hipoacutetesis de Gelman (1972) y Gelman y Gallistel (1978) defiende que los nintildeos pequefos no son capaces de razonar aritshymeacuteticartente sobre cantidades que no pueden representarse de modo preciso pero sr podriacutean contar sindificultad canshytidades pequentildeas Por tanto mientras que para Piaget la correspondencia uno-a-uno constituye psicoloacutegicamente la base prishymitiva para establecer un juicio de igualshydad numeacuterica Gelman y Gallistel consishyderan que esta tarea puede realizarse con anterioridad mediante el conteo En esta liacutenea Gelman (1982) intenta mostrar en un experimento de entrenamiento sobre la conservacioacuten del nuacutemero con nintildeos de tres y cuatro antildeos que la cardinalidad constituye el factor fundamental en la adquisiCioacuten de esa nocioacuten No obstante los resultados obtenidos son poco conshyvincentes ya que no soacutelo muestran una cierta ambiguumledad sino que el mismo disentildeo adolece de un riguroso control de variables

Otro aspecto dela teoriacutea de Gelman que no queremos dejar en el tintero aunque proceda de Rozin (1976) es la difererrciashycioacuten que establece entre conocimiento impliacutecito y expliacutecito Gelman y Gallistel (1978) afirman que el hecho de que inclushyso nintildeos de dos antildeos y seis meses puedan manifestar en sus ejecuciones los tres prishymeros principios de conteD descritos anteshyriormente no implica que dispongan de un conocirniento expliacutecito de los mismos Tampoco significa que el desarrollo a parshytir de dicha edad sea trivial al contrario se manifestaraacute un gran avance tanto en el nuacutemero de elementos que pueden contar como en la amplitud de la secuencia de numerales que pueden recordar en el

modo de coordinar los diversos composhynentes del proceso de conteo etc En efecto Greeno Riley y Gelman (1984) en el anaacutelisis que llevan a cabo para caracshyterizar la comprensioacuten impliacutecita de los tres primeros principios indican que la compeshytencia atribuida a los nintildeos no supone que apliquen tales principios en todas las tashyreas o situaciones en que son necesarios

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el eacutexito en las complejas tareas piagetiashynas requiere un desarrollo conceptualen el que la comprensioacuten de los c~nceptos cuantitativos se haga maacutes explicita flexrshyble y robusta entendiendo por flexibil~shydad la habilidad para generar procedishymientos que consigan alcanzar la meta para la que son generados en div~~sas actuaciones y por robustez la hablllda~ para adaptar un procedimiento a las eXIshygencias impuestas por la tarea Gelman y Meck (1983) insisten en esta misma difeshyrenciacioacuten entre conocimiento impliacutecito y expliacutecito afirmando que en ocasine~ el conocimiento impliacutecito de la cardinalidad aparece oculto debido a que lasdificultashydes existentes en la tarea propuesta sirven de distractor

LA TEORIA DEL CONOCIMIENTO PARCIAL

La observacioacuten de dos hechos significashytivos van a dar pie a Wilkinson (1982a 1982b 1984) para la construccioacuten de la teoriacutea del conocimiento parcial El primero se refiere a la edad en que los nifos manifiestan el conocimiento de un conshycepto o exhiben una habilidad Esta edad puede variar sustancialmente seguacuten el tipo de tarea solicitada para evaluar tales conceptos o habilidades (ver Miller 1976 Trabasso 1977 Wilkinson 1976) V en segundo lugar el hecho de que durante el periacuteodo de adquisicioacuten de un concepto o habilidad los nintildeos suelen dudar y vacilar entre el eacutexito y fracaso en fa realizacioacuten de las tareas propuestas de modo que pueshydan resblver correctamente algunas prueshybas mientras fracasan en otras que son completamente similares (Brainerd 1979 Flavell 1982 Siegler 1981) Estas dos observaciones faacutecilmente constata bies en el aacutembito evolutivo ponen de relieve la insuficiencia explicativa de los modelos tradicionales y sugiere a Wilkinson la formulacioacuten de una teoriacutea que deacute cuenta de las fases iniciales y de la transicioacuten en la adquisicioacuten de cualquier concepto

Aunque la teoriacutea del conocimiento parshycial pllede aplicarse en cualquier aacutembito del desarrollo cognitivo se presta no obsshytante de manera especial para ilustrar la adquiSicioacuten de la habilidad de contar ya que el niflo suele pasar varios meses quishyzaacutes aflos contando correctamente a veshyces y otras veces erroacuteneamente (Wilkinshyson 1984) Desde esta postura el conoshycimiento parcial puede ser restrictivo o variable El primero se da cuando el niflo responde bien o mal de manera consistenshyte como cuarido cuenta correctamente hasta cinco pero falla siempre que tiene que contar conjuntos maacutes numerosos En cambio el conocimiento variable se manishyfiesta cuando eacutexito y error se suceden frecuentemente Ahora bien estos dos tipos de conocimiento no estaacuten estrictashymente delimitados sino que maacutes bien habriacutea que considerarlos como los extreshymos de un continuo en el que aparecen mezclados en proporciones variables El

predominio de uno u otro conocimiento se determina analizando la estabilidad de las respuestas emitidas por los sujetos

Por otra parte este modelo asume que en toda teoriacutea sobre el desarrollo cognitivo debe considerarse la diada estructurasshyprocesos a fin de tener en cuenta tanto la representacioacuten del conocimiento como el desarrollo del mismo Seguacuten esto en el conocimiento restrictivo la estructura cogshynitiva seriacutea un algoritmo unitario mienshytras que el proceso evolutivo serra la optishymizacioacuten o reforma (amendment) Asiacute el n iflo aplica el algoritmo codificado en su memoria como un todo para contar deshysempentildeando estas tareas correctamente O bien modifica dicho algoritmo afadienshydo en general nuevos procedimientos pashyra solventar tareas maacutes complejas como puede ser el contar con decenas (ver Siegler y Robinson 1982) Con respecto al conocimiento variable la estructura cogshynitiva estaacute constituida por un conjunto de componentes modulares y el proceso evoshylutivo es el auto-control Los primeros son unidades separadas de conocimieacutento que pueden organizarse en un algoritmo para realizar una tarea determinada llegando a buen teacutermino dicha accioacuten si la unioacuten pretendida es la pertinente o por el con~ trario se fracasa si no se ha formado el algoritmo apropiado El autocontrol per~ishyte la deteccioacuten de errores y su correccioacuten posible en rutinas maacutes congruentes Asiacute el nintildeo puede no tener en cuenta el princishypio de estabilidad de la secuenciacioacutende los numerales equivocaacutendose en el conshyteo o bien se percata de dicho error y lo aplica correctamente en la sigu iente prueshyba

En un experimento con niflos de cuatro a cinco afos Wilkinson (1984) encuentra que los componentes cognitivos maacutes imshyportantes para el aprendizaje del conteo son la etiquetacioacuten la particioacuten y el stop Igualmente confirma la distincioacuten entre conocimiento restrictivo y variable proposhyniendo el coeficiente w para medir mateshymaacuteticamente el grado de estabilidad del conocimiento De alguacuten modo como apunta el mismo autor la metaacutefora de la equilibracioacuten propuesta por Piaget (1974) deja de ser tal para convertirse en una medida exacta Sin compartir totalmente el optimismo mostrado por Wilkinson enshytendemos que su esfuerzo teoacuterico y mateshymaacutetico realizado con vistas a cuantificar el mismo proceso evolutivo el problema ca pital y quizaacutes por ende el maacutes atractivo para todo psicoacutelogo evolutivo merece nuestro reconocimiento Sin embargo teshynemos tambieacuten que mostrar en la misma carta nuestra cautela con respecto a la viabilidad de las aportaciones maacutes origishynales de este autor

EL ESQUEMA PARTE-TODO Hasta fechas relativamente recientes

los estudios acerca del conocimiento aritshymeacutetico de los niflos se centraban fundashymentalmente bien en el conocimiento

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conceptual (Chi 1978 Gentner 1975 Stein y Trabasso 1981) bien en el cono~ cimiento de procedimiento o estrategias de resolucioacuten (Baylor y Gascon 1974 Brown 1978 Groen y Resnick 1977) Sin embargo hoy se resalta tambieacuten la imporshytancia de su interaccioacuten durante la resolushycioacuten de tareas aritmeacuteticas Desde esta oacuteptica resulta obvia la relevancia del esshyquema parte-todo ya que no soacutelo proporshyciona una representacioacuten adecuada de las tareas aditivas o de resta sinoque ademaacutes permite incorporar elementos ho expliacutecishytos en las mismas asignar los valores correspondientes y facilitar de este modo la detimitacioacuten de la incoacutegnita En otras palabras la comprensioacuten de dicho esqueshyma no soacutelo allana dificultades para detershyminar cuaacuteles son los elementos relevantes del problema y las relaciones existentes entre ellos sino que ademaacutes facilita la seleccioacuten de la operacioacuten adecuada y de las estrategias de solucioacuten Dos liacuteneas principales de investigacioacuten se han desashyrrollado en torno a este esquema La primera se orienta hacia la explicacioacuten de los procesos cognitivos implicados en la solucioacuten de tareas aritmeacuteticas elementashyles sea mediante la proposiciOacuten de modeshylos fundados en el esquema parte-t9do (Resnick 1983) sea mediante el anaacutelisis de tareas diversas que se suponen asenshytadas sobre los pilares de la relacioacuten parteshytodo (Bermejo y Lago 1986 Bermejo y Rodriacuteguez 1987 a y b proacutexima aparicioacuten) y una segunda de caraacutecter maacutes aplicativo que utiliza dicho esquema para facilitar el aprendizaje de determinadas operaciones aritmeacuteticas elementales (Carpenter Hieshybert y Moser 1983 De Corte yVerschaffel 1981)

El esquema parte-todo ha sido utilizado principalmente para explicar el conocishymiento subyacente a la competenciamashytemaacutetica de los nintildeos bien mediante moshydelos de simulacioacuten (Greeno Riley y HeshylIer 1983 Kintsch y Greeno 1985 Resshynick 1983) bien mediante el anaacuteJisis de tareas (Bermejo y Lago 1986 Bermejo y Rodriacuteguez 1987 a y b proacutexima aparicioacuten) Desde el primer punto de vista destaca la posicioacuten de Resnick (1983) acerca del desarrollo de la comprensioacuten del nuacutemeroshyEsta autora sostiene que la comprensioacuten del nuacutemero por parte del nintildeo arranca del esquema parte-todo que sufririacutea diversas transformaciones a lo largo de la instrucshycioacuten matemaacutetica formal De este modo considera que los oriacutegenes de este esshyquema se encontrariacutean en diversas situashyciones de la vida cotidiana en las que han de efectuarse particiones sin aludir a su valor cuantitativo Supone igualmente que los nintildeos antes de iniciar su andadura escolar ya disponen de un conocimiento aunque rudimentario de dicho esquema Durante el periacuteodo preescolar la comshyprensioacuten del nuacutemero se limita al conteo y las comparaciones pudiendo solucionar una considerable cantidad de problemas aritmeacuteticos mediante estas operaciones

La aplicacioacuten sistemaacutetica del esquema parte-todo a la cuantificacioacuten se inicia en los primeros antildeos de escuela durante los cuales adquieren la nocioacuten de composishycioacuten seguacuten la cual un conjunto (el todo) puede ser descompuesto en distintas parshytes cuya sumacioacuten recompone siempre el todooriginal

Ahora bien este limitado conocimiento conceptual estructurado eh forma de parshyte-todo ha dEl ligarse a meacutetodos ~e proceshydimiento para ser operativo Asfse ilustra en las operaciones de suma y resta y en las estrategias mentales de caacutelculo ya que en ambos casos se supone impliacutecitamentE que los nuacutemeros estaacuten integradosporotros nuacutemeros Un logro posterior permite la comprensioacuten del sistema de base 10 que se obtiene a traveacutes de tres estadios evolushytivos En el primero los nuacutemeros de dos diacutegitos son interpretados dentro del es quemaparte-todocomo integrados por vashylores de decenas y valores de unidades debiendo ser una de las partes muacuteltiplo de 10 En este primer estadio se dispone de una representaciOacuten canoacutenica de un maacutexishymo de 9 elementos por columna lo que se traduce en una incapacidad para practicar cambios para representar de forma muacutelti shyple un nuacutemero mediante bloquesmiddot o para solucionar una operacioacuten que requiera tashylesmiddot cambios En el segundo estadio se producen dos grandes avances en la conshy

quista de la representacioacuten del nuacutemero se reconoce la equivalencia de las diversas particiones y se inserta la forma no canoacuteshynica la cual allana el acceso a la comprenshysioacuten de los reagrupamientos Esta nueva representacioacuten del nuacutemero tiene lugaren dos fases a) las representaciones muacutelti shyples de la cantidad se establecenempiacuterishycamente con objetos y el procedimiento de conteo y b) se introduce el esquema de intercambio que es una ampliacioacuten del esquema parte-todo de modo que permite las representaciones muacuteltiples de una cantidad sin depender del conteo Por uacuteltimo el anaacutelisis del tercer estadio se centra en la sintaxis de la aritmeacutetica escrishyta irlteresaacutendose al igual que Brown y Burton (1978) en los errores sistemaacuteticos de los nintildeos derivados de la aplicacioacuten de algoritmos erroacuteneos Advierte que los nishyntildeoacutes siguen las reglas desintaxis o proceshydimiento pero ignoran oviolan la semaacutenshytica o significado de los esquemas de intershycambio de parte-todo y del valor relativo de los nuacutemeros Deduce en consecuencia que el aprendizaje de la aritmeacutetica deberiacutea orientarse hacia el desarrollo de estructushyras de conocimiento que proporcionen una justificacioacuten semaacutentica a los procedimienshytos de reagrupamiento ejecutados por esshycrito La facilidad con que los nintildeos adshyquieren el conocimiento semaacutentico cuanshydo trabajan con materiales concretos (pe bloques de Dienes) la induce a proponer u n meacutetodo de ensentildeanza que les haga ver la correspondenCia entre los pasos reali zados en el caacutelculo con materiales concreshytos y las operaciones de caacutelculo escrito la

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mapping instruction (Resnick 1981) La competencia matemaacutetica de los nintildeos de este uacuteltimo estadio se diferencia notoriashymente de los primeros intentos de utilizashycioacuten de los conceptos generales ya que ahora poseen un esquema mucho maacutes abstracto el esquema de cambio Este esquema interpreta las llevadas como anaacutelogas a los intercambios de modo que hay una columna de partida que se hace maacutes pequentildea en 1 elemento y una columshyna receptora que se hace maacutes grande en 10 elementos

En una liacutenea de trabajo muy proacutexima Riley Greeno y Heller (1983) presentan tres modelos que proporcionan una detashyllada descripcioacuten acerca de los cambios que se producen en el nintildeo para llegar a comprender las relaciones entre las cantishydades mismas asf como la utilizacioacuten de las representaciones en la resolucioacuten de los problemas El modelo maacutes evolucionashyltlo (el modelo 3) introduce precisamente la relacioacuten parte-todo facilitando la idenshytificacioacuten de las acciones apropiadas en orden a resolver los diversos tipos de problemas propuestos

Los trabajos realizados por Bermejo y colaboradores (Bermejo y Lago 1986 Bershymejo y Roddguez 1986 a y b proacutexima apashyricioacuten) siguen una orientacioacuten proacutexima al enfoque de Resnick Estos autores analishyzanel papel desempentildeado por el esquema parte-todo sea en tareas de conservacioacuten de cantidades continuas y discontinuas sea en la resolucioacuten de problemas aditivos verbales y numeacutericos En un estudio lleshyvado a cabo en torno a la resolucioacuten de problemas verbales aditivos con nintildeos de 2ordm de Preescolar y de 1ordm de EGB se encuentra que las estrategias utilizadas por estos nintildeos dependen tanto del tipo de enunciado como de la edad de los misshymos Se advierte ademaacutes que no todos aquellos nintildeos qlJe resuelven correctashymente los problemas de combinacioacuten son igualmente capaces de solucionar los de middotigualacioacuten En efecto en los problemas de combinacioacuten resulta efi~iente la estrategia de contar todos los elementos puesto que la incoacutegnita es el todo Por el contrario en middotIas tareas de igualacioacuten es necesario deshyterminar queacute elementos del problema constituven las partes y cuaacutel el todo para poder de este modo construir la represhysentacioacuten inicial del problema En este uacuteltimo tipo de tareas las estrategias maacutes utilizadas son el match-separate y el add-on Sin embargo los nintildeos mayores utilizan en ambos tipos de problemas proshycedimientos ~aacutes abstractos tales como estrategias basaqas en la composieacuteioacuten y descomposicioacuten de los nuacutemeros En cuanshyto a los tipos de errores cometidos por los nintildeos cabe destacar que existen notorias diferencias entre los problemas de combishynacioacuten y los de igualacioacuten en los primeros son frecuentes los errores de coacutemputo mientras que en los segundos proliferan los debidos a deficiencias en la construcshycioacuten de una representacioacuten adecuada Esshy

te fenoacutemeno puede interpretarse princishypalmente en funcioacuten del lugar ocupado por la incoacutegnita y paralelamente de la exisshytencia de una proposicioacuten de relacioacuten que los nintildeos interpretan como de asignacioacuten dando como respuesta uno de los valores del texto En estas investigaciones el esshyquema parte-todo parece revelarse como un instrumento vaacutelido para explicar los diversos comportamientos mostrados por los nintildeos sobre todo en las etapas iniciashyles de adquiSiCioacuten de los conceptos numeacuteshyricoslgualmente constituye un firmefunshydamento del que pueden extraerse orien~ taciones educativas que se ajusten a las capacidades de los nintildeos y les proporcione el adecuado punto de partida tanto para la adquisicioacuten de una soacutelida base conceptual como para la flexibilidad pertinente en el conocimiento heurfstico

La utilizacioacuten del esquema parte-todo con fines educativos praacutecticos puede ejemshyplificarse en la investigacioacuten llevada a cabo por De Corte y Verschaffel (1981) Estos autores utilizan un diseiacuteo en el que se incluyen experimentos de exploracioacuten y de ensentildeanza siguiendo las pautas marshycadas por la psicologfa sovieacutetica de la instruccioacuten En el primero de ellos enconshytraron que los escolares de segundo grado presentaban dificultades sobre todo en la representacioacuten del problema siendo me~ nos frecuentes los errores en la llamada fase teacutecnica o de ejecucioacuten Por otra parte rechazan dos de las explicaciones maacutes extendidas sobre el fracaso de los nintildeos una basada en los transtornos de aprendizaje y la segunda que supone en conexiOacuten con la teorfa piagetiana que los nintildeos no han alcanzado t()davfa el desarroshyllo cognitivo necesario Al contrario consishyderan que estos errores se deben fundashymentalmente a deficiencias metodoloacutegishycas de la ensentildeanza recibida ya que soacutelo promueven estrategias para resolver proshyblemas especfficos y aislados En conseshycuencia su programa de ensentildeanza expeshyrimental tiene como objetivo principal doshytar al nintildeo de un conocimiento conceptual matemaacutetico relevante equipaacutendolo de teacutecnicas heuriacutesticas generales y de un conjunto de acciones de control A juicio de estos autores el esquema parte-todo es adecuado para representar las relaciones entre los datos conocidos y desconocidos del problema o dicho de otro modo es un medio adecuado y eficiente para represenshytar los datos del problema e inferir las operaciones aritmeacuteticas oportunas que hay que aplicar Por todo ello ensu expeshyrimento de ensentildeanza instruyen a los nishyntildeos en torno al concepto de igualdad y de la relacioacuten parte-todo a fin de que aborden el problema de un modo analftico y refleshyxivo intentando hacer explicitas las relashyciones existentes entre los diversos comshyponentes Y en efecto los resultados se ajustan a sus expectativas ya que los nishyntildeos instruidos de este modo reducen notoshyriamente el nuacutemero de errores en la fase de representacioacuten o pensamiento

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En esta misma oacuteptica Carpenter Hieshybert y Moser (1983) ensefiacutean a nifiacuteos de primer grado a efectuar el anaacutelisis de los problemas basaacutendose en la relacioacuten parteshytodo Tras el periacuteodo de instruccioacuten fijado observan que los escolares resuelven toshydos los problemas de resta mediante el uso de una sola estrategia el seacuteparating que consiste en separar el conjunto menor del mayor contando el resto Al interpreshytar estos datos surgen al menos dos explishycaciones bien que los nifiacuteos han entendishydo una uacutenica interpretacioacuten de la resta bien que han comprendido la posibilidad de utilizar muacuteltiples estrategias y optan por la maacutes sencilla La valoracioacuten de esta middotalternativa plantea un segundo interroshygante debido a que seguacuten estos autores los nifiacuteos parecen concebir ahora la resoshylucioacuten de la tarea como si se tratase exclushysivamente de la eleccioacuten de la operacioacuten adecuada mostrando escaso o ninguacuten intereacutes por el anaacutelisis semaacutentico del proshyblema Concluyen que la instruccioacuten preshymatura en la representacioacuten de los probleshymas mediante ecuaciones puede alentar un anaacutelisis superfiCial de los mismos conduciendo frecuentemente a los nifiacuteos a la utilizacioacuten de la operacioacuten inadecuada

LOS MODELOS PROPUESTOS

El conocimiento matemaacutetico de los nishyfiacuteas se ha convertido recientemente en un prometedor objeto de estudio dentro del enfoque del procesamiento de la informashycioacuten Como sefiacuteala Siegler (1983) son al menos tres las razones que lo justificanshy1 la comprensioacuten demiddot las matemaacuteticas puede ser modelada con precisioacuten de tal forma que estos modelos proporcionan por una parte un marco comparativo que permite evaluar el conocimiento- de los nifiacuteQs y por Qtra favorecen la comprenshysioacuten del proceso evolutivo 2 La investishygacioacuten puede contribuir eficazmente en la praacutectica educativa ya que algunos de los programas propuestos han sido utilizados por maestros para evaluar el conocimiento matemaacutetico de sus alumnos 3 La comshyprensioacuten de las matemaacuteticas es un campo que permite el modelado tanto de las reshypresentaciones como de los procesos que el nifio realiza Esta pertienencia de nuesshytro tema ha favorecido probablemente la formacioacuten de modelos entre los pSicoacutelogos cognitivos (De Corte y Verschaffel 1985 Greeno Riley y Heller 1983 Kintschy Greeno 1985 Siegler y Robinson 1982)

El modelo integrativo desarrollado por Siegler y Robinson (1982) se inscribe en el marco de la-teoriacutea del procesamiento de Isinformacioacuten aunque pretende superar dos de las criacuteticas maacutes frecuentes imputashydas a esta orientacioacuten su aplicacioacuten a fenoacutemenos de rangomuy limitado y la falta de explicaciones glabalizadoras que dan lugar a una visioacuten un tanto- dispersa y atomista En un intento pues de evitar estas limitaciones Siegler y Robinson (1982) tratan de inferir las representashy

ciones y procesos que originan las tareas de conteo comparacioacuten de magnitudes adicioacuten y conservacioacuten del nuacutemero para poder integrarlas en un uacutenico modelo de comprensioacuten conceptual del nuacutemero Nos limitaremos a exponer uacutenicamente los modelos que explican la adquisicioacuten del conteo en los nifiacuteos Con tal objetivo pre- sentamos a continuacioacuten algunos de sus hallazgos maacutes interesantes en dos experishymentos conteo abstracto y conteo a partir de un valor distinto de uno En el primero extraen la existencia de tres patrones de comportamiento en dicha habilidad 1 el

-- grupo de los nifiacuteos cuyo conteo no sobreshypasa el valor 19 2 el grupo cuyo rango de conteo se situacutea entre 20-99 3 y el grupo de nifiacuteos que sobrepasan la centena En el segundo observan que los nifiacuteos del primer grupo no eran capaces de proseguir el conteo si se les propone un nuacutemero supeshyrior a su comp~tencia los del segundo casi siempre alcanzaban el siguiente 9 pero no conociacutean la conexioacuten interdecena y finalmente los del tercer grupo exhibiacutean un claro conocimiento de la estructura intradecena pero dudaban en las conexiones interdecena Los resultados en la tarea de conteo abstracto confirman la tesis de que los nintildeos son capaces de detectar y utilizar la estructura que apareshyce en la secuencia de numerales a partir de veintepero no laque existe a partir de trece (Ginsburg 1977) Esto discrepaclashyramente del planteamiento de Riley Greeshyno y Gelman (1984) seguacuten el cual los

nuacutemeros estaacuten ligados simplemente por ra relacioacuten desiguiente y no por estructuras concretas

Siegler y Robinson (1982) atribuyen un caraacutecter criacutetico al desarrollo secuencial del conteo ya que los nifiacuteos no aprehenderaacuten la estructrua inherente a los numerales maacutes avanzados de la secuencia en tanto no dominen los valores precedentes Er consecuencia proponen tres modelos de ejecucioacuten Modelo 1 alude al conocimiento subyacente en los procedimientos de conshyteo en nintildeos que cuentan hasta veinteEn este modelo la representacioacuten soacutelo inclushyye conexiones de siguiente y no una estructura concreta El nintildeo parte del nuacuteshymero uno si no sele pide que lo haga a partir deotro valor y prosigue secuencialshymente con los nuacutemeros siguientes hasta donde alcanzan sus recursos de conteo (ver figura n Q 1) Una vez que eacutestos le fallan eligen arbitrariamente cualquier nuacutemero o dan porfinalizado el conteo Este primer modelo se corresponde con el moshydelo se (Simulacioacuten del Conteo) formulashydo porGreeno Riley y Gelman (1984) seshyguacuten eacutel cual existe una lista ordenada de numerales almacenada en memoria sienshydo designado uno de los numerales como el primero y los restanteselementos se vinculan por una relacioacuten de siguiente La recuperacioacuten del siguiente numeral es maacutes sencilla que la recuperacioacuten del siguiente objeto que ha de ser contado Esto se debe a que Greeno y col asumen _

~41

Representar el conjunto

Identificar el primer objeto del grupo

Situar el marcador en el objeto siguiente

Recuperar el primer numeral

Situar el marcador en el siguiente numeral

Identificar el siguiente objeto


NO

Recuperar el siguiente numeral


NO

Objetivo conseguido

Asociar numeral y conjunto

n n h g p c d n fl P oI iexcl d

J 14 d P d s e e 14 s d a r ti e ~ ~ t ~ E e p f n ~ eacutel r t r

Fig 1 Modelo para el conteo (variante de Greeno Riley y Gelman 1984 p 133)

que la lista de numerales puede ser recushyperada de la memoria sirvieacutendose de los indicios proporcionados por los numerales previamente utilizados A juiciode estos autores este modelo puede considerarse como una estructura de conocimiento ini shycial de modo que soacutelo puede utilizarse el primer numeral paraefectuar la entrada en la lista consiguiendo que otros numeshyrales sirvan de puntos de entrada meshydiante un aprendizaje posterior El Modeshylo 11 es adecuado para los nintildeos que cuentan entre 20-99 Dentro de la represhysentacioacuten los nuacutemeros pueden ser etiqueshytados como miembros de dos listas la lista de repeticioacuten de drgitos que incluye los nuacutemeros entre 1 y 9 Y la lista de aplicabishylidad de la regla generativaLa funcioacuten de la primera es designar los nuacutemeros que

pueden conexionarse a Ios nombres de las decenas asr como la de evitar lamiddotnecesidad de conexiones individuales entre cada par de nuacutemeros sucesivos la segunda indica los lugares en los que puede utilizarse la regla generativa es decir la concatenashycioacuten del nombre de la decena con cada uno de los miembros de la lista de drgitos El Modelo 111 tan soacutelo incorpora dos cambios en relacioacuten al anterior la adicioacuten de la lista de centenas y el perfeccionamiento de las dos listas anteriormente descritas

En la terminologra de Wilkinson (1984) Siegler y Robinson (1982) plantean la exisshytencia de una reglaprocedimiento o algoshyritmo que se recupera como un todo de la memoria por lo que seraacute utilizado de modo consistente en las distintas situaciones Ademaacutes el proceso evolutivo influye por

42~

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medio de leves modificaciones del algoritshymo incompleto introduciendo mejoras en la representacioacuten infantil En efecto Sieshygler y Robinson explican que los errores propios de las primeras etapasensombreshycen los tiempos de reaccioacuten posteriores debido a que operan procesos cada vez maacutesmiddot perfectos sobre representaciones fundamentalmente similares Por otra parte Fuson Richards y Briars (1982) observanmiddot en contraposicioacuten a Siegler y Robinson (1982) que durante el perrodo de adquisicioacuten de la secuencia de numerashyles se manifiestan tres formas diferentes de conteo en una misma ejecucioacuten una primera convencional ya que forma parte del conocimiento que el niflo tiene de la secuencia de numerales una segunda estable y no convencional y una final no estable con un patroacuten poco consistente a lo largo de las sucesivas repeticiones de la secuencia Estos autores rechazan el Moshydelo I de Siegler y Rmiddotobinson (1982) debido a que las formas no estables de ejecucioacuten

~ no son producciones aleatorias como preshytende el modelo aunque tampoco sean enteramente regulares Las secuencias

1 1 producidas por el Modelo I constan de dos I I partes a) una convencional y estable consshy

tante a lo largo de los diversos ensayos y 1 b) una parte final que difiere de ensayo a

ensayo Fuson y col (1982) sin embargo ~ obtienen resultados contrarios a ambas predicciones encontrando que las partes finales de las formas estables y convencioshynales varran entre los distintos ensayos y las no estables no son completamente aleatorias En consecuencia exponen la necesidad de incluir un proceso probabishyHstico La misma objecioacuten se mantiene en relacioacuten al Modelo 11 puesto que este

Poner en el contador el valor demiddot un sumando (A)

NO

Aumentar el contador en 1

modelomiddot postula que cuando un niflo desshy II conoce el orden en que se siguen las decenas opta por una eleccioacuten aleatoria mientras que Fuson y col (1982) encuenshytran que existen decenas favoritas y menos favoritas dependiendo de los sujeshytos

Por otra parte son asimismo numerosos los esfuerzos por determinar el conocishymiento y los procesos involucrados en la resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos de suma y resta elementales Auacuten cuando los diversos autores (De Corte y Verschaffel 1985 Greeno Riley y Gelman 1984 Kintsh y Greeno 1985 Riley Greeno y Heller 1983 entre otros) convienen en que las dificultades de los niflos estriban fundamentalmente en la construccioacuten de una representacioacuten inicial adecuada del problema y no en la eleccioacuten o en la ejecushycioacuten de la operacioacuten pertinente y desarroshyllan sus modelos dentro del mismo marco teoacuterico difieren no obstante en cuanto a los aspectos que destacan La figura n g 2 muestra un ejemplo de modelo de la suma Riley y col (1983) hacen hincapieacute en el procesamiento semaacutentico y en la relacioacuten entre conocimiento conceptual y de proceshydimiento en el desarrollo de la habilidad para resolver problemas aritmeacuteticos eleshymentales Proponen tres modelos diferenshytes seguacuten el grado de dependencia respecshyto a las representaciones de la informashycioacuten contenida en el problema y seguacuten el poder de los procesos inferenciales implishycados en los esquemas

Kintsch y Greeno (1985) afirman que no basta con atender a las estructuras de conocimiento y a los procedimientos de resolucioacuten sino que deben identificarse los aspectos del input textual middotque regu-

SI I Salida con A + B bull en el contador

Fig 2 Modelo para la adicioacuten (variante de Groen y Parkman 1972)

~43

lan la utilizacioacuten de tales estructuras conshyceptuales y de procedimiento De este modo su modelo contiene una represenshytacioacuten dual un texto base proposicional y un modelo del problema maacutes abstracto actuandoen la transicioacuten de una a otra las estrategias desencadenadas por las proshyposiciones del texto base Dichas estrateshygias pueden precisar de la concurrencia de esquemas de alto orden a fin de estableshycer relaciones entre los conjuntos y asigshynar los papeles correspondientes en el modelo del problema En esta misma liacutenea aunque sin un anaacutelisis tan pormenorizado del1exto se encuentra el trabajo de De Corte y Verschaffel (1985) Estosmiddotautores aun cuando comparten con Riley y col (1983) la importancia asignada alprocesashymiento semaacutentico exponen la necesidad de un componente conceptual adicional que denominan esquema del problema verbal (WPS) Este componente adicional pone de relieve que la activrdad de intershypretar y analizar el texto verbal no soacutelo estaacute influenciada por el contenido del mismo sino tambieacuten por su naturaleza y el conshytexto en el cual el niflo se enfrenta con el problema Es decir en su opinioacuten se precisa a) un conocimiento acerca del papel e intencioacuten de los problemas b) un conocimiento relativo a su estructura de manera que le permita orientarse desde un principio hacia ciertos conceptos y relaciones del texto base proposicional y c) un conocimiento implicito de ciertas reglas suposiciones y acuerdos inherenshytes que posibilitan una correcta interpreshytacioacuten de las ambiguumledades e imprecisioshynes del problema

Para concluir este apartado baste seiacuteiacuteashylar que si bien algunos modelos hacen hincapieacute en la representacioacuten de las esshytructuras y procesos cognitivos que conshyducen a la solucioacuten del problema (Greeno Riley y Gelman 1984 Riley Greeno y Heller 1983 Siegler y Robinson 1982) otros por el contrario canalizan su esfuershyzo sobre todo hacia los mecanismos y procesos de interpretacioacuten del texto verbal y la conexioacuten de eacutestos con la representacioacuten y resolucioacuten del problema (De Corte y Verschaffel 1985 Kintsch y Greeno 1985)

CONCLUSIONES

Tras lo expuesto a lo largo de estas paacuteginas podemos concluir que la investishygacioacuten en torno a lamiddot adquisicioacuten de las operaciones aritmeacuteticas elementales se centra fundamentalmente en el estudio de los procedimientos de la aritmeacutetica inforshymal y la resolucioacuten de problemas verbales numeacutericos Ambas liacuteneas de investigacioacuten convergen en la delimitacioacuten de los proceshysos cognitivos implicados en los distintos niveles de competencia mostrada por los niilos

Respecto a los estudios sobre la aritmeacuteshytica informal el conteo ha acaparado la mayor atencioacuten de los autores A pesar de

ello no existe una firme evidencia de que d esta habilidad sea un elemento facilitador e para adquirir un concepto de nuacutemero pleshy a namente desarrollado Asiacute cuando los tj niilos utilizan procedimiel1tos de conteo ntilde maacutes avanzados como por ejemplo co~ p menzar el conteo a partir de un valor carshy o dinal sin necesidad de recurrir al recuento I~ de los numerales anterjores se ha obsershy d vado (ver Davydov y Andronov 1980) que p ignoran que el valor cardinal de partida d comprende a todos los elementos anterioshy d res Igualmente existen dudas respecto al conocimiento subyacente a las respuestas cinfantiles emitidasmiddot ante la pregunta siquestcuaacutentos en los diseiacuteiacuteos experimentashy d les ya que parece tratarse de una regla b aprendida que se ejecuta sin comprender Sel contexto referencial o el problema conshy Elcreto planteado (Fuson Pergament Lyons n y Hall 1985) Sin embargo esto no debe e interpretarse como un regresoa la postura gde Piaget y Szeminska (1941) como heshy dmos middotdicho anteriormente Al contrario c son numerosos los estudios que abogan dpor el papel desempeilado por ~as habilishy ddades numeacutericas baacutesicas en la adquisicioacuten ede las operaciones loacutegicas Asiacute se muestra spor ejemplo en los trabajos de entrenashy cmiento (Clements 1984 Case 1982 tiSaxe 1979 Young y McPherson 1976) tibasados en los modelos de las operaciones cloacutegicas (seriacioacuten y clasificacioacuten) y en los Iiexclmodelos de conteo aunque los datos obteshy snidos no permitan hacer conclusioneS deshy n

I

finitivas al respecto Ademaacutes esta nueva caproximacioacuten ha perm itido superar la vieja concepcioacuten de los procesos de todo o nada en la explicacioacuten del desarrollo defenshydiendo que los niilos disponen de un bagaje conceptual que se incrementa proshygresivamente a lo largo de la evolucioacuten

En cuanto a los estudios desarrollados sobre la resolucioacuten de problemas verbales numeacutericos los esfuerzos recientes se han centrado en la creacioacuten de modelos de simulacioacuten para describir los procesos cognitivos su byacentesSi bien este intenshyto resulta claramente atractivo los datos empiacutericos no son todaviacutea_concluyentes E ya que no existen elementos de juicio para considerar de modo terminante que algushyno de los modelos propuestos se adecue perfectamente a las ejecuciones de Ios E nintildeos Asiacute por ejemplo en el estudio de Riley y col (1983) un porcentaje significashytivo de n~iacuteiacuteos realizan ejecuciones que no son explicadas por los modelos Asimismo Carpenter y Moser (1983) seilalan que la secuencia propuesta por algunos modelos sobre la habilidad de resolucioacuten de probleshymas no se corresponde con los datos obtenidos en un estudio longitudinal (Carshypenter y Moser 1983) Es tambieacuten freshycuente en estos modelos centrarse enlos

Eprocedimientos informales de conteo y nq en determinar cuaacutel es el efecto de la instruccioacuten formal sobre la estructura cogshynitiva del nifio De los modelos expuestos tan soacutelo Resnick (1983) se ocupa del desashyrrollo del conocimiento conceptual y de

1

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procedimiento bajo la infhlencia de la ensentildeanza formal El resto de los modelos atienden fundamentalniente a las compeshytencias matemaacuteticas que poseen los nishyntildeos sin necesidad de recibir instruccioacuten para ella En estas investigaciones se omite pues el estudio de la dinaacutemica de los procesos de transicioacuten dependientes de los recursos que la instruccioacuten formal proporciona Tal desconocimiento hace difiacutecil la elaboracioacuten de nuevos programas de enselianza basaQos en dichos modelos

Otro de los aspectos estudiados en relashycioacuten a 10Sproblemas verbales aritmeacuteticos se refiere a su jerarquizacioacuten en funcioacuten del grado de dificultad generalmente atri shybuida al lugar ocupado por la incoacutegnita Sin embargo nb parece que este dato sea eluacutenico responsable de que unosprobleshymas resulten maacutes difiacuteciles que otros La estructura semaacutentica del problema y el grado de familiaridad con el mismo pueshyden hacerque problemas en los Quela inshycoacutegnita se mantiene en el mismo lugarse diferencien no obstante en cuanto al grashydo de complejidad A este respecto De Corte Verschaffel y De Win (1985) y Hudshyson (1983) han selialadoque la reformulashycioacuten de problemas explicitando claramenshyte las relaciones semaacutenticas entre las canshytidades mejora el proceso de representashycioacuten y ejecucioacuten de los mismos Asimismo la familiaridad con el problema hace que s~ creen expectativas asociadas a detershyminadas formulaciones de manera que cuando aparece una formulacioacuten descoshy

nocida o poco familiar dicha expectativa no se produce formando frecuentemente una representacioacuten inicial adecuada

En consecuencia seriacutea aconsejable que en la praacutectica educativa se formulen los problemas de manera que se expliciten claramente las relaciones semaacutenticas enshytre lascantidades propuestas Igualmente habriacutea que evitar los programas que tienshyden aformar experttos en un tipo especiacuteshyfico de tareas fomentaacutendose por el contrashyrio la praacutectica en la resolucioacuten de probleshymas de diferentes caracteriacutesticas Tamshybieacuten hay que hacer constar la importancia que se estaacute concediendo al papel desemshypentildeado por la capacidad de procesamiento de informacioacuten y su posible incidencia en middotIa -resolucioacuten de problemas matemaacuteticos elementales (Case 1982 Kintsch y Greeshyno 1985 Romberg y Collis 1980) En este sentidoKintsch y Greeno consideran que esta haacutebilidad cognitiva baacutesica puede ser la fuente de errores cometidos por los nishyntildeos en algunas ocasiones y no su falta de conocimiento Finalmente queremos seshylialar que las investigaciones futuras en este aacuterea deberaacuten esforzarse no soacutelo en completar el acervo de conocimientos existentes en torno a los mecanismos y procesos cognitivos implicados en el aprendizaje de estas nociones sino tamshybieacuten y de modo especial debido a la indigencia de estudios de la aplicacioacuten e insercioacuten pertinente de estos conocimienshytos en el aacutembito escolar

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nociones matemaacuteticas del nintildeo Con resshypecto al concepto de nuacutemero hay tres teoriacuteas que pretenden determinar su orishygen 1 la teoriacutea cardinal 2 la teoriacutea

ordinal y 3 la teoriacutea cardinal-ordinal de Piaget La teoriacutea cardinal es una traducshycioacuten literal de la teoriacutea de Frege-Russell (1884-1903) en teacuterminos psicoloacutegicos por lo que la explicacioacuten de los oriacutegenes psicoshyloacutegicos del nuacutemero se convierte en una tarea anaacuteloga a la de explicar coacutemo llegan los nintildeos por primera vez a comprender el nuacutemero cardinal La teoriacutea ordinal (Braishynerd 1973a 1973b 1973c) se inspira en la aproximacioacuten relacional del nuacutemero Dicha teoriacutea asume que el nuacutemero hace referencia a los teacuterminos de las relaciones asimeacutetricas-transitivas de las progresioshynes que generan tales relaciones En conshysecuencia el origen psicoloacutegico del nuacuteshymero se identifica con el origen psicoloacutegishyco del nuacutemero ordinal Por uacuteltimo la teoriacutea cardinal-ordinal de Piaget como su propio nombre indica hace referencia tanto al significado ordinal como cardinal del conshycepto de nuacutemero combinando la dimenshysioacuten clasificatoria y relacional del mismo Piaget considera inadecuado sostener que el sistema de los nuacutemeros naturales se basa exclusivamente bien en los nuacutemeros ordinales bien en los nuacutemeros cardinales ya que tienen que identificarse tanto con los unos como con los otros Este autor (1983) afirma que la construccioacuten de los nuacutemeros cardinales no puede explicarse como creiacutean Whitehead y Russell (1910shy13) por el simple establecimiento de la correspondencia uno a uno entre clases equivalentes ya que la correspondencia que ellos utilizan introduce impliacutecitamente la unidad y por lo tanto el nuacutemero lo que convierte su argumento en circular Cuanshydo se trata con conjuntos finitos los nuacuteshymeros cardinales no pueden disociarse de los ordinales y estaacuten sujetos a tres condishyciones A) abstraccioacuten a partir de las cualishydades lo que hace que todos los objetos individuales sean equivalentes y por lo tanto 1 =1 =1 B) el orden es necesario para distinguir los objetos entre siacute C) la inclusioacuten de (1) en (1 + 1) despueacutes de (1 + 1) en (1 + 1 + 1) etc Por tanto el nuacutemero resulta de la siacutentesis de la clasifishycacioacuten de objetos equivalentes y del orden de los mismos de modo que mediante un proceso iterativo se cuantifica dando lushygar a la serie de los nuacutemeros enteros

En cuanto a la evolucioacuten de la cardinashycioacuten y la ordinacioacuten (Piaget y Szeminska 1941) distinguen tres fases en la primeshyra la seriacioacuten que es pre-ordinal (el nintildeo no comprende espontaacuteneamente el orden progresivo de los elementos) se corresshyponde con la primera etapa de la cardinashycioacuten en la que no hay ninguna conservashycioacuten de las cantidades -sean eacutestas contishynuas o discontinuas-o Son dos las caracshyteriacutesticas que comparten la naturaleza global y la dependencia de la experiencia perceptiva inmediata En la segunda la ordinacioacuten (basada en la seriacioacuten y coshy

rrespondencia intu itiva y con vacilaciones) se corresponde con el comienzo de la conservacioacuten de las cantidades pero soacutelo para determinadas transformaciones coshymo la correspondencia teacutermino a teacutermino y la reproduccioacuten de las cantidades por meshydio del anaacutelisis exacto de las figuras aunque la equivalencia no es durable En esta segunda etapa el nintildeo no opera todaviacutea aunque sea capaz de llevar a cabo un anaacutelisis correcto no enteramente inshydependiente de la percepcioacuten Por uacuteltimo en la tercera etapa la ordinacioacuten y la cardinacioacuten pueden equipararse tanto por sus estructuras como por sus resultados en ambos casos triunfa la operacioacuten sobre la intuicioacuten La composicioacuten operatoria acaba por sobreponerse a la constatacioacuten perceptiva o maacutes exactamente aqueacutella dirige y supedita a eacutesta En la primera etapa no existe todaviacutea coordinacioacuten entre el proceso de caraacutecter ordinal y los proceshysos de caraacutecter cardinal En la segunda las relaciones son maacutes complejas ya que sentildealan el comienzo de la coordinacioacuten entre ambas estructuras aunque soacutelo a nivel intuitivo En la terceta etapa el nintildeo resuelve correctamente todas las tareas que se le plantean bien al pedirle que determine un valor cardinal por medio de un rango concreto bien al solicitarle que averiguumle un rango particular a partir del valor cardinal Comprende por tanto la relacioacuten existente entre la ordinacioacuten y la cardinacioacuten

Con respecto a la adicioacuten se trata de una operacioacuten que auacutena las partes en un todo Es decir la adicioacuten es una operacioacuten reversible que se constituye cuando por una parte los sumandos se reuacutenen en un todo y por otra cuando dicho todo se considera constante (invariante) con indeshypendencia de las diversas particiones que puedan efectuarse Ahora bien para que el todo sea conceptualizado como constante el nintildeo tiene que poseer la consershyvacioacuten operatoria Piaget y Szeminska (1941) utilizan tres teacutecnicas para estudiar la composiCiOacuten aditiva a) identidad del todo a pesa~ de las distintas composicioshynes aditivas de sus partes b) igualacioacuten de dos cantidades y c) particioacuten del todo en dos partes equivalentes Los resultados empiacutericos aacutebtenidos muestran la existenshycia de una etapa inicial en la que no hay composicioacuten aditiva una etapa intermedia en la que se manifiesta una composicioacuten aditiva intuitiva y una etapa final en la que se da una composici6n aditiva real defishynida por la invarianza del todo y la reversishybilidadde las operaciones que la constishytuyen De modo maacutes expliacutecito en la prishymera etapa el nintildeo se rige por las relacioshynes perceptivas llegando a conclusiones erroacuteneas al comparar entre siacute las diversas partes de dos conjuntos equivalentes o al ignorar quelos elementos dispuestos ante eacutel constituyen u n todo constante y que por lo tanto los elementos sustraiacutedos a una de las partes son adicionados a la restante De todo ello se desprende que en esta

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