o gJxio 4 tp q - C ( 36 )

128 L sJiN

La ecuaci6n (36) es similar a la expresi6n exacta para q dada por (32) Como puede verse en la Figura 27 C y C presentan valores muy aproximados excepto para a s L

muy pequeno

10

08

06

o 0 Q 0

- 04

02

00

didd

No Flujo

-

~ ~

FLUJO TURBULENTO

deldo par Crittendon

-- Datos de Campo

~ - - - Extrapolado

~

~

t

1-

~FLUJO LAMINAR-

~ r--C Coeficiente de Lamb

C~ Coeficiente anular aproximado

02 04 06 08

di=O a= dildo

Flujo en tuberia

FIGURA 27 Coeficienles para flujo anular (97 p28)

I---

-

1

101 LECTURAS SaBRE LaDaS DE PERFORACJON

De (35) se pueden despejar v y IlPj para flujo laminar en el anular

v = q A = ----=--shyo g Jrdo 4 I1p j (I + a XI - a)3 4

128 j1L I 5 rdo 2 (I - a 2 )

= 4g cl1prdo 2

(I+a XI-a)3 128 j1L(1 - a XI + a) 15

_ g cl1Prdo2 (I - a) 32 j1L 15

48vj1L=-----------shy( 37)

En unidades prkticas se tiene

( 38 )

Flujo turbulento

EI numero de Reynolds y la ecuacion de Fanning pueden ser usadas en el estudiode flujo en conductos no circulares (caso del anular) si se utiliza eillamado diametro equivalente de

R =radio hidraulico =

d e = 4R (Definicion)

Area de la secci6n transversal de flujo

perf metro humectado

Ejemplo 2 Determinacion de diametros equivalentes

- Para un canal rectangular de lados a y b

(ab)d = 4R = 4 = 2ab (a + b)

e 2(a+b)

fNTRODUCcON AL TRABAJO CON MODELOS REOLOCfCOS 103

104

- Para un anular formado por dos tuberias concentricas Ilene de fluido

rrdo2 rrd 1d =4R=4 -- - -- ( rrdo+rrdi) e [ 4 4

= (do - d( ) (do + di) = (do + di)(do - di) (do + di)

=do- di

- Para una tuberia circular

rrd 2

d = 4R = 4(- ) rrd = d e 4

Con este de reemplazado en las ecuaciones para flujo turbulento en tuberias se obtienen valores de perdida de presion y capacidad muy aproximados a los reales para conductos de forma geometrica simple (triangular rectangular y eliptica por ejemplo)

Aunque 10 dicho puede aplicarse tam bien a flujo turbulento en conductos anulares la siguiente relacion semiempirica obtenida para definir el diametro equivalente de una tuberia que duplicarfa las caracterfsticas de rata de flujo y perdida de presion presentados en un anular ha dado muy buenos resultados

de do = ~ [C 25 + (J - U 25 ] ( 39 )

La eficiencia de tuberia usada en este caso es 090 En la Figura 27 se grafica la ecuacion (39)

Ejemplo 3 Un equipo de reacondicionamiento utiliza una salmuera como fluido de circulacion Si la rata de circulaci6n requerida es de 200 galones por minuto calcular las perdidas de presion debidas a friccion para cada 1000 pies de flujo anular si se tienen los siguientes datos

Densidad y viscosidad de la salmuera 88 Ibmgalon y 08 cp respectivamente Diametro interno (do) del revestimiento 4 892 pulgadas diametro externo de la tuberfa de produccion (d) 2375 pulgadas

Solucion

- 23 75 - 0 85u- -- - 4 4892

De la Figura 27 para este ex y flujo turbulento deMo =074 =gt de =074x4 892 =362 pulgadas

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION

De la ecuaci6n (30) 200 pIes

v = 2 -shy = 623pies segundo 2448x362 seg

Si se calcula numero de Reynolds (con la ecuaci6n 11)

362x623x88 5 N R = 928x = 23xl0

08

~ flujo turbulento

De la Figura 25 para de =362 pulgadasfF =00042 (aproximadamente)

00042xl000x8 8x623 2 fpc Ecuaci6n 27 =gt M = = 1536 shy --=--shy

f 258x362 1000pies

Si se incluye e

P = 1536 fpc = 19 fpc f 09 2 1000pies 1000pies

66 FLUJO EN TUBERiAS DE FLUIDOS PLAsTICOS TIPO BINGHAM

Flujo laminar

~ L 1

~---=-=--~-

V r

t rw

2 rl J()

vr C============~

Flujo Tw

FIGURA 28 Perfil de esfuerzo para flujo laminar en tuberias de secci6n circular (97 p35)

Para flujo isotermico en estado estable y a traves de un tramo recto de tuberia circu lar las perdidas de presi6n por fricci6n se pueden determinar analiticamente si se hacen las siguientes suposiciones

Todas las particulas que conforman uno de los cilindros concentricos de los

lNTRODUCC10N AL TRABAJO CON MODELOS REOLOOICOS 105

106

cuales se hablo en el aparte sobre Regimenes de flujo (cilindro de radio r y con espesor de pared dr) viajan como un grupo con velocidad constante vr y 10 hacen en linea recta paralela el eje de la tuberia

EI fluido en contacto con la pared presenta velocidad cero

La rata de cizalladura (-dvdr) producida en un punto cualquiera del fluido al deslizarse una capa despues de otra es funcion solo de 1 (esfuerzo de cizalladura) en ese punto

Sobre uno de estos cilindros hipoteticos de longitud L (Figura 28) se ejercen dos fuerzas opuestas La presion diferencial (P1 - P2) actua sobre el area nr2 y tiende a empujar el cilindro en el sentido del flujo En ese momento las particulas en la superficie (2nrL) del cilindro son forzadas a salir de dicha superficie y como resultado experimentan un esfuerzo de cizalladura (1) que se opone al movimiento previo del cilindro

Como el fluido dentro del cilindro presenta flujo estable no hay aceleracion y estas fuerzas se igualan

(PI - P2) 7U 2 = fyenJj 7U 2 = r(27UL)

Como el flujo es horizontal tllJ se debe completamente a la friccion t producido a 10 largo de la superficie del cilindro es

---U-4L

r= fyenJ 7U 2

_1_ 27UL

--

rfyenJ j-2L

( 40 )

Para el cilindro de radio r

r _ rwfyenJ j _ dfyenJ j (41 )

1 puede ser medido directamente

De las ecuaciones (40) y (41) se puede obtener una expresi6n para la distribucion del

esfuerzo de cizalladura dentro del fluido en funci6n de rw(conocido) y la posicion radial

de un elemento de fluido bajo estudio

rw 2 rw r=-r = - r ( 42 )

r bull dH

2r=gtdr=-w dr ( 43 )

d

Como se ve en la Figura 28 1 es funcion lineal de r con un valor de cero para 1=0 y valor maximo (dado por ecuacion 41) cuando I = 1

Se asumio que (-dv I dr) es solo funcion de 1

dv =gt - d =eK( r) =gt dV = -eKe r)dr ( 44 )

r

LECTURAS SOBRE LODOS DE PER FORA CION

En la ecuaci6n (44) c es constante y K (r) es una funci6n cualquiera de I

AI combinar (43) y (44) cd

dVr =--K( r)dr ( 45 )2r

Integramos entre r yr

( 46 )

o 0Como q =l A para el caso que se analiza se tendra q = vrA

=gt de = vrdA vr = constante

=gt dq = vd2nrdr) ( 47)

2 ( 48 )2nrdr = 2mdd dr= mi r drde (42) Y (43)

2 r2 r 2r

2 o red T

dq=vr --dT ( 49 )(48) en (47) J

2-c w

(46) en (49)

Si se integra entre r =a (q =a y C =0) y r =r (q~ total yC =CJ

( 50 )

Si se da la rata volumetrica de flujo en funci6n de la velocidad promedio (v)

( 51 ) =(50)

( 51 )

INTRODUCCI6N AL TRABAJO CON AfODELOS REOL6GICOS 107

=gt dv = 7cr[Jo W t 1 W k(t)dt]dt ( 52 )

w

Si se integra por partes en la ecuaci6n (52)

vCr W 2 1 r W- =-3 J( r k(r)dr =- 3 J( r 2ck(r)dr ( 53 )

d 2r 0 2r 0

Una g~Mica de vl d vs t (6 d~fJproduciria una curva (mica para cad a fluido bajo

estudio pues para poder efectuar dicha curva se requiere desarrollar primero la integral que aparece en la ecuaci6n (52) y para esto se necesita saber que es (que forma tiene) K(t 010 que es 10 mismo cK(t) Como cK(t=-dvr l dr se tiene que en ultima instancia ia grafica buscada depende de ia forma c6mo se relacionen t Y la rata de cizalladura (-dvrl dr ) 10 cual es unico para cad a fluido -cada uno presenta su curva de consistencia Asi Sl se quiere aplicar la ecuaci6n (53) para un fluido que sea representado fielmente por el modelo de Bingham se tienen que considerardos etapas de comportamiento de la rata de cizalladura antes y despues del punto de cedencia (ty) -ver la curva de consistencia para los fluidos que siguen este modelo (Figura 18)- La ecuaci6n (53) seria entonces

v 1 [rY 2 f1 2 lw- =-3 JI t ck(t)dt + t ck(t)dtJ

d 2t 0

Si 0 ~ t ~ ty

-dVldr = ck(t= 0 (ver la Figura 18) y la primera integral de la expresi6n anterior es cero

v 1 [ T

d = 2r~ L yWr 2ck(r)drJ

Si t 1yt t y + gc~p (-Nrl dr) de la curva de consistencia

dv y g c g c v 1 [ 2gc=gt - - =-- -(r - r v) =cK(r) con c = - =gt - =- r - (r - r )drdr 1 j1 d 2r 3

y j1 yrp p w p

v g 2~ _ = r-d 2J1 T JT (T - rv)dT p

cuya integraci6n nos lIeva a la ecuaci6n siguiente

( 54 ) =gt ~ = ~[1 - ~(~J +~ (~J4l gcd fl 3t 3 t

Como ( h J es genera I me~te m uy peque no ~ ( ) 4puede desprecia rse para

obtener la slgulente expreslon aproxlmada

lOlJ LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACrON

8v =~3TW- 4Ty=_1_(T -~T ) ( 55 ) gcd ~ p 3T w ~ p w 3 y

8v I 4 =gt--=-r ---r ( 56 )

gcd -1 p 3Jl p yW

4 Ecuaci6n lineal con intersecci6n (cuando 1 = 0) en rw = 3 ry

Siempre que raquo gt25 y la ecua ci6n aproximada (Ia 56) puede usarse con confianza (error menor del 2 con respecto al resultado obtenido con la ecuaci6n 54)

Para asegurar la validez de la ecuaci6n 56 la velocidad promedia del fluido debera exceder un cierio valor critico minimo (vern) que se presentaria cuando Th fuera como minimo 25 T

y es decir

v =gd(251 - ~1 ) =O 1458 gdl (57) 8~t p f 3 ~ p )

En unidades practicas de ingenieria (vern en piesseg ~p en centipoises den pulgadas y 1) en Ibf 100 pies2 )

32171bm pie Ilbf seg2x d (pulg) x T (Ibf 1100 pies2) v = 01458x y

em ~p (eP)

469 Ibm pie pulg dT y ~ p=-- x -- X -------~--------

100 seg2 pies2 ed 001 grm ) r~ em _ seg - eP

dr Ibm pulg em 254 em pie2 454grm=469 gt x --- X ------~--j1 p seg pies grm pulg (3048 em)2 Ibm

dr =S82-Y pies segundo ( 58 )

Jl p

Si de 56 se despeja Traquo Y se usa la ecuaci6n 41 se puede obtener JPj

8V 4TyJ yenjd T = ~p [ ged + 3f1p =4L

32vL~ 16LT =Ap= P Y

U f ~+ gp- 3d ( 59 )

ISTRODLCCIOS AL TRABAJO COX MODELOS REOLOGICOS 109

De (35) se pueden despejar v y IlPj para flujo laminar en el anular

v = q A = ----=--shyo g Jrdo 4 I1p j (I + a XI - a)3 4

128 j1L I 5 rdo 2 (I - a 2 )

= 4g cl1prdo 2

(I+a XI-a)3 128 j1L(1 - a XI + a) 15

_ g cl1Prdo2 (I - a) 32 j1L 15

48vj1L=-----------shy( 37)

En unidades prkticas se tiene

( 38 )

Flujo turbulento

EI numero de Reynolds y la ecuacion de Fanning pueden ser usadas en el estudiode flujo en conductos no circulares (caso del anular) si se utiliza eillamado diametro equivalente de

R =radio hidraulico =

d e = 4R (Definicion)

Area de la secci6n transversal de flujo

perf metro humectado

Ejemplo 2 Determinacion de diametros equivalentes

- Para un canal rectangular de lados a y b

(ab)d = 4R = 4 = 2ab (a + b)

e 2(a+b)

fNTRODUCcON AL TRABAJO CON MODELOS REOLOCfCOS 103

104

- Para un anular formado por dos tuberias concentricas Ilene de fluido

rrdo2 rrd 1d =4R=4 -- - -- ( rrdo+rrdi) e [ 4 4

= (do - d( ) (do + di) = (do + di)(do - di) (do + di)

=do- di

- Para una tuberia circular

rrd 2

d = 4R = 4(- ) rrd = d e 4

Con este de reemplazado en las ecuaciones para flujo turbulento en tuberias se obtienen valores de perdida de presion y capacidad muy aproximados a los reales para conductos de forma geometrica simple (triangular rectangular y eliptica por ejemplo)

Aunque 10 dicho puede aplicarse tam bien a flujo turbulento en conductos anulares la siguiente relacion semiempirica obtenida para definir el diametro equivalente de una tuberia que duplicarfa las caracterfsticas de rata de flujo y perdida de presion presentados en un anular ha dado muy buenos resultados

de do = ~ [C 25 + (J - U 25 ] ( 39 )

La eficiencia de tuberia usada en este caso es 090 En la Figura 27 se grafica la ecuacion (39)

Ejemplo 3 Un equipo de reacondicionamiento utiliza una salmuera como fluido de circulacion Si la rata de circulaci6n requerida es de 200 galones por minuto calcular las perdidas de presion debidas a friccion para cada 1000 pies de flujo anular si se tienen los siguientes datos

Densidad y viscosidad de la salmuera 88 Ibmgalon y 08 cp respectivamente Diametro interno (do) del revestimiento 4 892 pulgadas diametro externo de la tuberfa de produccion (d) 2375 pulgadas

Solucion

- 23 75 - 0 85u- -- - 4 4892

De la Figura 27 para este ex y flujo turbulento deMo =074 =gt de =074x4 892 =362 pulgadas

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION

De la ecuaci6n (30) 200 pIes

v = 2 -shy = 623pies segundo 2448x362 seg

Si se calcula numero de Reynolds (con la ecuaci6n 11)

362x623x88 5 N R = 928x = 23xl0

08

~ flujo turbulento

De la Figura 25 para de =362 pulgadasfF =00042 (aproximadamente)

00042xl000x8 8x623 2 fpc Ecuaci6n 27 =gt M = = 1536 shy --=--shy

f 258x362 1000pies

Si se incluye e

P = 1536 fpc = 19 fpc f 09 2 1000pies 1000pies

66 FLUJO EN TUBERiAS DE FLUIDOS PLAsTICOS TIPO BINGHAM

Flujo laminar

~ L 1

~---=-=--~-

V r

t rw

2 rl J()

vr C============~

Flujo Tw

FIGURA 28 Perfil de esfuerzo para flujo laminar en tuberias de secci6n circular (97 p35)

Para flujo isotermico en estado estable y a traves de un tramo recto de tuberia circu lar las perdidas de presi6n por fricci6n se pueden determinar analiticamente si se hacen las siguientes suposiciones

Todas las particulas que conforman uno de los cilindros concentricos de los

lNTRODUCC10N AL TRABAJO CON MODELOS REOLOOICOS 105

106

cuales se hablo en el aparte sobre Regimenes de flujo (cilindro de radio r y con espesor de pared dr) viajan como un grupo con velocidad constante vr y 10 hacen en linea recta paralela el eje de la tuberia

EI fluido en contacto con la pared presenta velocidad cero

La rata de cizalladura (-dvdr) producida en un punto cualquiera del fluido al deslizarse una capa despues de otra es funcion solo de 1 (esfuerzo de cizalladura) en ese punto

Sobre uno de estos cilindros hipoteticos de longitud L (Figura 28) se ejercen dos fuerzas opuestas La presion diferencial (P1 - P2) actua sobre el area nr2 y tiende a empujar el cilindro en el sentido del flujo En ese momento las particulas en la superficie (2nrL) del cilindro son forzadas a salir de dicha superficie y como resultado experimentan un esfuerzo de cizalladura (1) que se opone al movimiento previo del cilindro

Como el fluido dentro del cilindro presenta flujo estable no hay aceleracion y estas fuerzas se igualan

(PI - P2) 7U 2 = fyenJj 7U 2 = r(27UL)

Como el flujo es horizontal tllJ se debe completamente a la friccion t producido a 10 largo de la superficie del cilindro es

---U-4L

r= fyenJ 7U 2

_1_ 27UL

--

rfyenJ j-2L

( 40 )

Para el cilindro de radio r

r _ rwfyenJ j _ dfyenJ j (41 )

1 puede ser medido directamente

De las ecuaciones (40) y (41) se puede obtener una expresi6n para la distribucion del

esfuerzo de cizalladura dentro del fluido en funci6n de rw(conocido) y la posicion radial

de un elemento de fluido bajo estudio

rw 2 rw r=-r = - r ( 42 )

r bull dH

2r=gtdr=-w dr ( 43 )

d

Como se ve en la Figura 28 1 es funcion lineal de r con un valor de cero para 1=0 y valor maximo (dado por ecuacion 41) cuando I = 1

Se asumio que (-dv I dr) es solo funcion de 1

dv =gt - d =eK( r) =gt dV = -eKe r)dr ( 44 )

r

LECTURAS SOBRE LODOS DE PER FORA CION

En la ecuaci6n (44) c es constante y K (r) es una funci6n cualquiera de I

AI combinar (43) y (44) cd

dVr =--K( r)dr ( 45 )2r

Integramos entre r yr

( 46 )

o 0Como q =l A para el caso que se analiza se tendra q = vrA

=gt de = vrdA vr = constante

=gt dq = vd2nrdr) ( 47)

2 ( 48 )2nrdr = 2mdd dr= mi r drde (42) Y (43)

2 r2 r 2r

2 o red T

dq=vr --dT ( 49 )(48) en (47) J

2-c w

(46) en (49)

Si se integra entre r =a (q =a y C =0) y r =r (q~ total yC =CJ

( 50 )

Si se da la rata volumetrica de flujo en funci6n de la velocidad promedio (v)

( 51 ) =(50)

( 51 )

INTRODUCCI6N AL TRABAJO CON AfODELOS REOL6GICOS 107

=gt dv = 7cr[Jo W t 1 W k(t)dt]dt ( 52 )

w

Si se integra por partes en la ecuaci6n (52)

vCr W 2 1 r W- =-3 J( r k(r)dr =- 3 J( r 2ck(r)dr ( 53 )

d 2r 0 2r 0

Una g~Mica de vl d vs t (6 d~fJproduciria una curva (mica para cad a fluido bajo

estudio pues para poder efectuar dicha curva se requiere desarrollar primero la integral que aparece en la ecuaci6n (52) y para esto se necesita saber que es (que forma tiene) K(t 010 que es 10 mismo cK(t) Como cK(t=-dvr l dr se tiene que en ultima instancia ia grafica buscada depende de ia forma c6mo se relacionen t Y la rata de cizalladura (-dvrl dr ) 10 cual es unico para cad a fluido -cada uno presenta su curva de consistencia Asi Sl se quiere aplicar la ecuaci6n (53) para un fluido que sea representado fielmente por el modelo de Bingham se tienen que considerardos etapas de comportamiento de la rata de cizalladura antes y despues del punto de cedencia (ty) -ver la curva de consistencia para los fluidos que siguen este modelo (Figura 18)- La ecuaci6n (53) seria entonces

v 1 [rY 2 f1 2 lw- =-3 JI t ck(t)dt + t ck(t)dtJ

d 2t 0

Si 0 ~ t ~ ty

-dVldr = ck(t= 0 (ver la Figura 18) y la primera integral de la expresi6n anterior es cero

v 1 [ T

d = 2r~ L yWr 2ck(r)drJ

Si t 1yt t y + gc~p (-Nrl dr) de la curva de consistencia

dv y g c g c v 1 [ 2gc=gt - - =-- -(r - r v) =cK(r) con c = - =gt - =- r - (r - r )drdr 1 j1 d 2r 3

y j1 yrp p w p

v g 2~ _ = r-d 2J1 T JT (T - rv)dT p

cuya integraci6n nos lIeva a la ecuaci6n siguiente

( 54 ) =gt ~ = ~[1 - ~(~J +~ (~J4l gcd fl 3t 3 t

Como ( h J es genera I me~te m uy peque no ~ ( ) 4puede desprecia rse para

obtener la slgulente expreslon aproxlmada

lOlJ LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACrON

8v =~3TW- 4Ty=_1_(T -~T ) ( 55 ) gcd ~ p 3T w ~ p w 3 y

8v I 4 =gt--=-r ---r ( 56 )

gcd -1 p 3Jl p yW

4 Ecuaci6n lineal con intersecci6n (cuando 1 = 0) en rw = 3 ry

Siempre que raquo gt25 y la ecua ci6n aproximada (Ia 56) puede usarse con confianza (error menor del 2 con respecto al resultado obtenido con la ecuaci6n 54)

Para asegurar la validez de la ecuaci6n 56 la velocidad promedia del fluido debera exceder un cierio valor critico minimo (vern) que se presentaria cuando Th fuera como minimo 25 T

y es decir

v =gd(251 - ~1 ) =O 1458 gdl (57) 8~t p f 3 ~ p )

En unidades practicas de ingenieria (vern en piesseg ~p en centipoises den pulgadas y 1) en Ibf 100 pies2 )

32171bm pie Ilbf seg2x d (pulg) x T (Ibf 1100 pies2) v = 01458x y

em ~p (eP)

469 Ibm pie pulg dT y ~ p=-- x -- X -------~--------

100 seg2 pies2 ed 001 grm ) r~ em _ seg - eP

dr Ibm pulg em 254 em pie2 454grm=469 gt x --- X ------~--j1 p seg pies grm pulg (3048 em)2 Ibm

dr =S82-Y pies segundo ( 58 )

Jl p

Si de 56 se despeja Traquo Y se usa la ecuaci6n 41 se puede obtener JPj

8V 4TyJ yenjd T = ~p [ ged + 3f1p =4L

32vL~ 16LT =Ap= P Y

U f ~+ gp- 3d ( 59 )

ISTRODLCCIOS AL TRABAJO COX MODELOS REOLOGICOS 109

104

- Para un anular formado por dos tuberias concentricas Ilene de fluido

rrdo2 rrd 1d =4R=4 -- - -- ( rrdo+rrdi) e [ 4 4

= (do - d( ) (do + di) = (do + di)(do - di) (do + di)

=do- di

- Para una tuberia circular

rrd 2

d = 4R = 4(- ) rrd = d e 4

Con este de reemplazado en las ecuaciones para flujo turbulento en tuberias se obtienen valores de perdida de presion y capacidad muy aproximados a los reales para conductos de forma geometrica simple (triangular rectangular y eliptica por ejemplo)

Aunque 10 dicho puede aplicarse tam bien a flujo turbulento en conductos anulares la siguiente relacion semiempirica obtenida para definir el diametro equivalente de una tuberia que duplicarfa las caracterfsticas de rata de flujo y perdida de presion presentados en un anular ha dado muy buenos resultados

de do = ~ [C 25 + (J - U 25 ] ( 39 )

La eficiencia de tuberia usada en este caso es 090 En la Figura 27 se grafica la ecuacion (39)

Ejemplo 3 Un equipo de reacondicionamiento utiliza una salmuera como fluido de circulacion Si la rata de circulaci6n requerida es de 200 galones por minuto calcular las perdidas de presion debidas a friccion para cada 1000 pies de flujo anular si se tienen los siguientes datos

Densidad y viscosidad de la salmuera 88 Ibmgalon y 08 cp respectivamente Diametro interno (do) del revestimiento 4 892 pulgadas diametro externo de la tuberfa de produccion (d) 2375 pulgadas

Solucion

- 23 75 - 0 85u- -- - 4 4892

De la Figura 27 para este ex y flujo turbulento deMo =074 =gt de =074x4 892 =362 pulgadas

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION

De la ecuaci6n (30) 200 pIes

v = 2 -shy = 623pies segundo 2448x362 seg

Si se calcula numero de Reynolds (con la ecuaci6n 11)

362x623x88 5 N R = 928x = 23xl0

08

~ flujo turbulento

De la Figura 25 para de =362 pulgadasfF =00042 (aproximadamente)

00042xl000x8 8x623 2 fpc Ecuaci6n 27 =gt M = = 1536 shy --=--shy

f 258x362 1000pies

Si se incluye e

P = 1536 fpc = 19 fpc f 09 2 1000pies 1000pies

66 FLUJO EN TUBERiAS DE FLUIDOS PLAsTICOS TIPO BINGHAM

Flujo laminar

~ L 1

~---=-=--~-

V r

t rw

2 rl J()

vr C============~

Flujo Tw

FIGURA 28 Perfil de esfuerzo para flujo laminar en tuberias de secci6n circular (97 p35)

Para flujo isotermico en estado estable y a traves de un tramo recto de tuberia circu lar las perdidas de presi6n por fricci6n se pueden determinar analiticamente si se hacen las siguientes suposiciones

Todas las particulas que conforman uno de los cilindros concentricos de los

lNTRODUCC10N AL TRABAJO CON MODELOS REOLOOICOS 105

106

cuales se hablo en el aparte sobre Regimenes de flujo (cilindro de radio r y con espesor de pared dr) viajan como un grupo con velocidad constante vr y 10 hacen en linea recta paralela el eje de la tuberia

EI fluido en contacto con la pared presenta velocidad cero

La rata de cizalladura (-dvdr) producida en un punto cualquiera del fluido al deslizarse una capa despues de otra es funcion solo de 1 (esfuerzo de cizalladura) en ese punto

Sobre uno de estos cilindros hipoteticos de longitud L (Figura 28) se ejercen dos fuerzas opuestas La presion diferencial (P1 - P2) actua sobre el area nr2 y tiende a empujar el cilindro en el sentido del flujo En ese momento las particulas en la superficie (2nrL) del cilindro son forzadas a salir de dicha superficie y como resultado experimentan un esfuerzo de cizalladura (1) que se opone al movimiento previo del cilindro

Como el fluido dentro del cilindro presenta flujo estable no hay aceleracion y estas fuerzas se igualan

(PI - P2) 7U 2 = fyenJj 7U 2 = r(27UL)

Como el flujo es horizontal tllJ se debe completamente a la friccion t producido a 10 largo de la superficie del cilindro es

---U-4L

r= fyenJ 7U 2

_1_ 27UL

--

rfyenJ j-2L

( 40 )

Para el cilindro de radio r

r _ rwfyenJ j _ dfyenJ j (41 )

1 puede ser medido directamente

De las ecuaciones (40) y (41) se puede obtener una expresi6n para la distribucion del

esfuerzo de cizalladura dentro del fluido en funci6n de rw(conocido) y la posicion radial

de un elemento de fluido bajo estudio

rw 2 rw r=-r = - r ( 42 )

r bull dH

2r=gtdr=-w dr ( 43 )

d

Como se ve en la Figura 28 1 es funcion lineal de r con un valor de cero para 1=0 y valor maximo (dado por ecuacion 41) cuando I = 1

Se asumio que (-dv I dr) es solo funcion de 1

dv =gt - d =eK( r) =gt dV = -eKe r)dr ( 44 )

r

LECTURAS SOBRE LODOS DE PER FORA CION

En la ecuaci6n (44) c es constante y K (r) es una funci6n cualquiera de I

AI combinar (43) y (44) cd

dVr =--K( r)dr ( 45 )2r

Integramos entre r yr

( 46 )

o 0Como q =l A para el caso que se analiza se tendra q = vrA

=gt de = vrdA vr = constante

=gt dq = vd2nrdr) ( 47)

2 ( 48 )2nrdr = 2mdd dr= mi r drde (42) Y (43)

2 r2 r 2r

2 o red T

dq=vr --dT ( 49 )(48) en (47) J

2-c w

(46) en (49)

Si se integra entre r =a (q =a y C =0) y r =r (q~ total yC =CJ

( 50 )

Si se da la rata volumetrica de flujo en funci6n de la velocidad promedio (v)

( 51 ) =(50)

( 51 )

INTRODUCCI6N AL TRABAJO CON AfODELOS REOL6GICOS 107

=gt dv = 7cr[Jo W t 1 W k(t)dt]dt ( 52 )

w

Si se integra por partes en la ecuaci6n (52)

vCr W 2 1 r W- =-3 J( r k(r)dr =- 3 J( r 2ck(r)dr ( 53 )

d 2r 0 2r 0

Una g~Mica de vl d vs t (6 d~fJproduciria una curva (mica para cad a fluido bajo

estudio pues para poder efectuar dicha curva se requiere desarrollar primero la integral que aparece en la ecuaci6n (52) y para esto se necesita saber que es (que forma tiene) K(t 010 que es 10 mismo cK(t) Como cK(t=-dvr l dr se tiene que en ultima instancia ia grafica buscada depende de ia forma c6mo se relacionen t Y la rata de cizalladura (-dvrl dr ) 10 cual es unico para cad a fluido -cada uno presenta su curva de consistencia Asi Sl se quiere aplicar la ecuaci6n (53) para un fluido que sea representado fielmente por el modelo de Bingham se tienen que considerardos etapas de comportamiento de la rata de cizalladura antes y despues del punto de cedencia (ty) -ver la curva de consistencia para los fluidos que siguen este modelo (Figura 18)- La ecuaci6n (53) seria entonces

v 1 [rY 2 f1 2 lw- =-3 JI t ck(t)dt + t ck(t)dtJ

d 2t 0

Si 0 ~ t ~ ty

-dVldr = ck(t= 0 (ver la Figura 18) y la primera integral de la expresi6n anterior es cero

v 1 [ T

d = 2r~ L yWr 2ck(r)drJ

Si t 1yt t y + gc~p (-Nrl dr) de la curva de consistencia

dv y g c g c v 1 [ 2gc=gt - - =-- -(r - r v) =cK(r) con c = - =gt - =- r - (r - r )drdr 1 j1 d 2r 3

y j1 yrp p w p

v g 2~ _ = r-d 2J1 T JT (T - rv)dT p

cuya integraci6n nos lIeva a la ecuaci6n siguiente

( 54 ) =gt ~ = ~[1 - ~(~J +~ (~J4l gcd fl 3t 3 t

Como ( h J es genera I me~te m uy peque no ~ ( ) 4puede desprecia rse para

obtener la slgulente expreslon aproxlmada

lOlJ LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACrON

8v =~3TW- 4Ty=_1_(T -~T ) ( 55 ) gcd ~ p 3T w ~ p w 3 y

8v I 4 =gt--=-r ---r ( 56 )

gcd -1 p 3Jl p yW

4 Ecuaci6n lineal con intersecci6n (cuando 1 = 0) en rw = 3 ry

Siempre que raquo gt25 y la ecua ci6n aproximada (Ia 56) puede usarse con confianza (error menor del 2 con respecto al resultado obtenido con la ecuaci6n 54)

Para asegurar la validez de la ecuaci6n 56 la velocidad promedia del fluido debera exceder un cierio valor critico minimo (vern) que se presentaria cuando Th fuera como minimo 25 T

y es decir

v =gd(251 - ~1 ) =O 1458 gdl (57) 8~t p f 3 ~ p )

En unidades practicas de ingenieria (vern en piesseg ~p en centipoises den pulgadas y 1) en Ibf 100 pies2 )

32171bm pie Ilbf seg2x d (pulg) x T (Ibf 1100 pies2) v = 01458x y

em ~p (eP)

469 Ibm pie pulg dT y ~ p=-- x -- X -------~--------

100 seg2 pies2 ed 001 grm ) r~ em _ seg - eP

dr Ibm pulg em 254 em pie2 454grm=469 gt x --- X ------~--j1 p seg pies grm pulg (3048 em)2 Ibm

dr =S82-Y pies segundo ( 58 )

Jl p

Si de 56 se despeja Traquo Y se usa la ecuaci6n 41 se puede obtener JPj

8V 4TyJ yenjd T = ~p [ ged + 3f1p =4L

32vL~ 16LT =Ap= P Y

U f ~+ gp- 3d ( 59 )

ISTRODLCCIOS AL TRABAJO COX MODELOS REOLOGICOS 109

De la ecuaci6n (30) 200 pIes

v = 2 -shy = 623pies segundo 2448x362 seg

Si se calcula numero de Reynolds (con la ecuaci6n 11)

362x623x88 5 N R = 928x = 23xl0

08

~ flujo turbulento

De la Figura 25 para de =362 pulgadasfF =00042 (aproximadamente)

00042xl000x8 8x623 2 fpc Ecuaci6n 27 =gt M = = 1536 shy --=--shy

f 258x362 1000pies

Si se incluye e

P = 1536 fpc = 19 fpc f 09 2 1000pies 1000pies

66 FLUJO EN TUBERiAS DE FLUIDOS PLAsTICOS TIPO BINGHAM

Flujo laminar

~ L 1

~---=-=--~-

V r

t rw

2 rl J()

vr C============~

Flujo Tw

FIGURA 28 Perfil de esfuerzo para flujo laminar en tuberias de secci6n circular (97 p35)

Para flujo isotermico en estado estable y a traves de un tramo recto de tuberia circu lar las perdidas de presi6n por fricci6n se pueden determinar analiticamente si se hacen las siguientes suposiciones

Todas las particulas que conforman uno de los cilindros concentricos de los

lNTRODUCC10N AL TRABAJO CON MODELOS REOLOOICOS 105

106

cuales se hablo en el aparte sobre Regimenes de flujo (cilindro de radio r y con espesor de pared dr) viajan como un grupo con velocidad constante vr y 10 hacen en linea recta paralela el eje de la tuberia

EI fluido en contacto con la pared presenta velocidad cero

La rata de cizalladura (-dvdr) producida en un punto cualquiera del fluido al deslizarse una capa despues de otra es funcion solo de 1 (esfuerzo de cizalladura) en ese punto

Sobre uno de estos cilindros hipoteticos de longitud L (Figura 28) se ejercen dos fuerzas opuestas La presion diferencial (P1 - P2) actua sobre el area nr2 y tiende a empujar el cilindro en el sentido del flujo En ese momento las particulas en la superficie (2nrL) del cilindro son forzadas a salir de dicha superficie y como resultado experimentan un esfuerzo de cizalladura (1) que se opone al movimiento previo del cilindro

Como el fluido dentro del cilindro presenta flujo estable no hay aceleracion y estas fuerzas se igualan

(PI - P2) 7U 2 = fyenJj 7U 2 = r(27UL)

Como el flujo es horizontal tllJ se debe completamente a la friccion t producido a 10 largo de la superficie del cilindro es

---U-4L

r= fyenJ 7U 2

_1_ 27UL

--

rfyenJ j-2L

( 40 )

Para el cilindro de radio r

r _ rwfyenJ j _ dfyenJ j (41 )

1 puede ser medido directamente

De las ecuaciones (40) y (41) se puede obtener una expresi6n para la distribucion del

esfuerzo de cizalladura dentro del fluido en funci6n de rw(conocido) y la posicion radial

de un elemento de fluido bajo estudio

rw 2 rw r=-r = - r ( 42 )

r bull dH

2r=gtdr=-w dr ( 43 )

d

Como se ve en la Figura 28 1 es funcion lineal de r con un valor de cero para 1=0 y valor maximo (dado por ecuacion 41) cuando I = 1

Se asumio que (-dv I dr) es solo funcion de 1

dv =gt - d =eK( r) =gt dV = -eKe r)dr ( 44 )

r

LECTURAS SOBRE LODOS DE PER FORA CION

En la ecuaci6n (44) c es constante y K (r) es una funci6n cualquiera de I

AI combinar (43) y (44) cd

dVr =--K( r)dr ( 45 )2r

Integramos entre r yr

( 46 )

o 0Como q =l A para el caso que se analiza se tendra q = vrA

=gt de = vrdA vr = constante

=gt dq = vd2nrdr) ( 47)

2 ( 48 )2nrdr = 2mdd dr= mi r drde (42) Y (43)

2 r2 r 2r

2 o red T

dq=vr --dT ( 49 )(48) en (47) J

2-c w

(46) en (49)

Si se integra entre r =a (q =a y C =0) y r =r (q~ total yC =CJ

( 50 )

Si se da la rata volumetrica de flujo en funci6n de la velocidad promedio (v)

( 51 ) =(50)

( 51 )

INTRODUCCI6N AL TRABAJO CON AfODELOS REOL6GICOS 107

=gt dv = 7cr[Jo W t 1 W k(t)dt]dt ( 52 )

w

Si se integra por partes en la ecuaci6n (52)

vCr W 2 1 r W- =-3 J( r k(r)dr =- 3 J( r 2ck(r)dr ( 53 )

d 2r 0 2r 0

Una g~Mica de vl d vs t (6 d~fJproduciria una curva (mica para cad a fluido bajo

estudio pues para poder efectuar dicha curva se requiere desarrollar primero la integral que aparece en la ecuaci6n (52) y para esto se necesita saber que es (que forma tiene) K(t 010 que es 10 mismo cK(t) Como cK(t=-dvr l dr se tiene que en ultima instancia ia grafica buscada depende de ia forma c6mo se relacionen t Y la rata de cizalladura (-dvrl dr ) 10 cual es unico para cad a fluido -cada uno presenta su curva de consistencia Asi Sl se quiere aplicar la ecuaci6n (53) para un fluido que sea representado fielmente por el modelo de Bingham se tienen que considerardos etapas de comportamiento de la rata de cizalladura antes y despues del punto de cedencia (ty) -ver la curva de consistencia para los fluidos que siguen este modelo (Figura 18)- La ecuaci6n (53) seria entonces

v 1 [rY 2 f1 2 lw- =-3 JI t ck(t)dt + t ck(t)dtJ

d 2t 0

Si 0 ~ t ~ ty

-dVldr = ck(t= 0 (ver la Figura 18) y la primera integral de la expresi6n anterior es cero

v 1 [ T

d = 2r~ L yWr 2ck(r)drJ

Si t 1yt t y + gc~p (-Nrl dr) de la curva de consistencia

dv y g c g c v 1 [ 2gc=gt - - =-- -(r - r v) =cK(r) con c = - =gt - =- r - (r - r )drdr 1 j1 d 2r 3

y j1 yrp p w p

v g 2~ _ = r-d 2J1 T JT (T - rv)dT p

cuya integraci6n nos lIeva a la ecuaci6n siguiente

( 54 ) =gt ~ = ~[1 - ~(~J +~ (~J4l gcd fl 3t 3 t

Como ( h J es genera I me~te m uy peque no ~ ( ) 4puede desprecia rse para

obtener la slgulente expreslon aproxlmada

lOlJ LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACrON

8v =~3TW- 4Ty=_1_(T -~T ) ( 55 ) gcd ~ p 3T w ~ p w 3 y

8v I 4 =gt--=-r ---r ( 56 )

gcd -1 p 3Jl p yW

4 Ecuaci6n lineal con intersecci6n (cuando 1 = 0) en rw = 3 ry

Siempre que raquo gt25 y la ecua ci6n aproximada (Ia 56) puede usarse con confianza (error menor del 2 con respecto al resultado obtenido con la ecuaci6n 54)

Para asegurar la validez de la ecuaci6n 56 la velocidad promedia del fluido debera exceder un cierio valor critico minimo (vern) que se presentaria cuando Th fuera como minimo 25 T

y es decir

v =gd(251 - ~1 ) =O 1458 gdl (57) 8~t p f 3 ~ p )

En unidades practicas de ingenieria (vern en piesseg ~p en centipoises den pulgadas y 1) en Ibf 100 pies2 )

32171bm pie Ilbf seg2x d (pulg) x T (Ibf 1100 pies2) v = 01458x y

em ~p (eP)

469 Ibm pie pulg dT y ~ p=-- x -- X -------~--------

100 seg2 pies2 ed 001 grm ) r~ em _ seg - eP

dr Ibm pulg em 254 em pie2 454grm=469 gt x --- X ------~--j1 p seg pies grm pulg (3048 em)2 Ibm

dr =S82-Y pies segundo ( 58 )

Jl p

Si de 56 se despeja Traquo Y se usa la ecuaci6n 41 se puede obtener JPj

8V 4TyJ yenjd T = ~p [ ged + 3f1p =4L

32vL~ 16LT =Ap= P Y

U f ~+ gp- 3d ( 59 )

ISTRODLCCIOS AL TRABAJO COX MODELOS REOLOGICOS 109

106

cuales se hablo en el aparte sobre Regimenes de flujo (cilindro de radio r y con espesor de pared dr) viajan como un grupo con velocidad constante vr y 10 hacen en linea recta paralela el eje de la tuberia

EI fluido en contacto con la pared presenta velocidad cero

La rata de cizalladura (-dvdr) producida en un punto cualquiera del fluido al deslizarse una capa despues de otra es funcion solo de 1 (esfuerzo de cizalladura) en ese punto

Sobre uno de estos cilindros hipoteticos de longitud L (Figura 28) se ejercen dos fuerzas opuestas La presion diferencial (P1 - P2) actua sobre el area nr2 y tiende a empujar el cilindro en el sentido del flujo En ese momento las particulas en la superficie (2nrL) del cilindro son forzadas a salir de dicha superficie y como resultado experimentan un esfuerzo de cizalladura (1) que se opone al movimiento previo del cilindro

Como el fluido dentro del cilindro presenta flujo estable no hay aceleracion y estas fuerzas se igualan

(PI - P2) 7U 2 = fyenJj 7U 2 = r(27UL)

Como el flujo es horizontal tllJ se debe completamente a la friccion t producido a 10 largo de la superficie del cilindro es

---U-4L

r= fyenJ 7U 2

_1_ 27UL

--

rfyenJ j-2L

( 40 )

Para el cilindro de radio r

r _ rwfyenJ j _ dfyenJ j (41 )

1 puede ser medido directamente

De las ecuaciones (40) y (41) se puede obtener una expresi6n para la distribucion del

esfuerzo de cizalladura dentro del fluido en funci6n de rw(conocido) y la posicion radial

de un elemento de fluido bajo estudio

rw 2 rw r=-r = - r ( 42 )

r bull dH

2r=gtdr=-w dr ( 43 )

d

Como se ve en la Figura 28 1 es funcion lineal de r con un valor de cero para 1=0 y valor maximo (dado por ecuacion 41) cuando I = 1

Se asumio que (-dv I dr) es solo funcion de 1

dv =gt - d =eK( r) =gt dV = -eKe r)dr ( 44 )

r

LECTURAS SOBRE LODOS DE PER FORA CION

En la ecuaci6n (44) c es constante y K (r) es una funci6n cualquiera de I

AI combinar (43) y (44) cd

dVr =--K( r)dr ( 45 )2r

Integramos entre r yr

( 46 )

o 0Como q =l A para el caso que se analiza se tendra q = vrA

=gt de = vrdA vr = constante

=gt dq = vd2nrdr) ( 47)

2 ( 48 )2nrdr = 2mdd dr= mi r drde (42) Y (43)

2 r2 r 2r

2 o red T

dq=vr --dT ( 49 )(48) en (47) J

2-c w

(46) en (49)

Si se integra entre r =a (q =a y C =0) y r =r (q~ total yC =CJ

( 50 )

Si se da la rata volumetrica de flujo en funci6n de la velocidad promedio (v)

( 51 ) =(50)

( 51 )

INTRODUCCI6N AL TRABAJO CON AfODELOS REOL6GICOS 107

=gt dv = 7cr[Jo W t 1 W k(t)dt]dt ( 52 )

w

Si se integra por partes en la ecuaci6n (52)

vCr W 2 1 r W- =-3 J( r k(r)dr =- 3 J( r 2ck(r)dr ( 53 )

d 2r 0 2r 0

Una g~Mica de vl d vs t (6 d~fJproduciria una curva (mica para cad a fluido bajo

estudio pues para poder efectuar dicha curva se requiere desarrollar primero la integral que aparece en la ecuaci6n (52) y para esto se necesita saber que es (que forma tiene) K(t 010 que es 10 mismo cK(t) Como cK(t=-dvr l dr se tiene que en ultima instancia ia grafica buscada depende de ia forma c6mo se relacionen t Y la rata de cizalladura (-dvrl dr ) 10 cual es unico para cad a fluido -cada uno presenta su curva de consistencia Asi Sl se quiere aplicar la ecuaci6n (53) para un fluido que sea representado fielmente por el modelo de Bingham se tienen que considerardos etapas de comportamiento de la rata de cizalladura antes y despues del punto de cedencia (ty) -ver la curva de consistencia para los fluidos que siguen este modelo (Figura 18)- La ecuaci6n (53) seria entonces

v 1 [rY 2 f1 2 lw- =-3 JI t ck(t)dt + t ck(t)dtJ

d 2t 0

Si 0 ~ t ~ ty

-dVldr = ck(t= 0 (ver la Figura 18) y la primera integral de la expresi6n anterior es cero

v 1 [ T

d = 2r~ L yWr 2ck(r)drJ

Si t 1yt t y + gc~p (-Nrl dr) de la curva de consistencia

dv y g c g c v 1 [ 2gc=gt - - =-- -(r - r v) =cK(r) con c = - =gt - =- r - (r - r )drdr 1 j1 d 2r 3

y j1 yrp p w p

v g 2~ _ = r-d 2J1 T JT (T - rv)dT p

cuya integraci6n nos lIeva a la ecuaci6n siguiente

( 54 ) =gt ~ = ~[1 - ~(~J +~ (~J4l gcd fl 3t 3 t

Como ( h J es genera I me~te m uy peque no ~ ( ) 4puede desprecia rse para

obtener la slgulente expreslon aproxlmada

lOlJ LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACrON

8v =~3TW- 4Ty=_1_(T -~T ) ( 55 ) gcd ~ p 3T w ~ p w 3 y

8v I 4 =gt--=-r ---r ( 56 )

gcd -1 p 3Jl p yW

4 Ecuaci6n lineal con intersecci6n (cuando 1 = 0) en rw = 3 ry

Siempre que raquo gt25 y la ecua ci6n aproximada (Ia 56) puede usarse con confianza (error menor del 2 con respecto al resultado obtenido con la ecuaci6n 54)

Para asegurar la validez de la ecuaci6n 56 la velocidad promedia del fluido debera exceder un cierio valor critico minimo (vern) que se presentaria cuando Th fuera como minimo 25 T

y es decir

v =gd(251 - ~1 ) =O 1458 gdl (57) 8~t p f 3 ~ p )

En unidades practicas de ingenieria (vern en piesseg ~p en centipoises den pulgadas y 1) en Ibf 100 pies2 )

32171bm pie Ilbf seg2x d (pulg) x T (Ibf 1100 pies2) v = 01458x y

em ~p (eP)

469 Ibm pie pulg dT y ~ p=-- x -- X -------~--------

100 seg2 pies2 ed 001 grm ) r~ em _ seg - eP

dr Ibm pulg em 254 em pie2 454grm=469 gt x --- X ------~--j1 p seg pies grm pulg (3048 em)2 Ibm

dr =S82-Y pies segundo ( 58 )

Jl p

Si de 56 se despeja Traquo Y se usa la ecuaci6n 41 se puede obtener JPj

8V 4TyJ yenjd T = ~p [ ged + 3f1p =4L

32vL~ 16LT =Ap= P Y

U f ~+ gp- 3d ( 59 )

ISTRODLCCIOS AL TRABAJO COX MODELOS REOLOGICOS 109

En la ecuaci6n (44) c es constante y K (r) es una funci6n cualquiera de I

AI combinar (43) y (44) cd

dVr =--K( r)dr ( 45 )2r

Integramos entre r yr

( 46 )

o 0Como q =l A para el caso que se analiza se tendra q = vrA

=gt de = vrdA vr = constante

=gt dq = vd2nrdr) ( 47)

2 ( 48 )2nrdr = 2mdd dr= mi r drde (42) Y (43)

2 r2 r 2r

2 o red T

dq=vr --dT ( 49 )(48) en (47) J

2-c w

(46) en (49)

Si se integra entre r =a (q =a y C =0) y r =r (q~ total yC =CJ

( 50 )

Si se da la rata volumetrica de flujo en funci6n de la velocidad promedio (v)

( 51 ) =(50)

( 51 )

INTRODUCCI6N AL TRABAJO CON AfODELOS REOL6GICOS 107

=gt dv = 7cr[Jo W t 1 W k(t)dt]dt ( 52 )

w

Si se integra por partes en la ecuaci6n (52)

vCr W 2 1 r W- =-3 J( r k(r)dr =- 3 J( r 2ck(r)dr ( 53 )

d 2r 0 2r 0

Una g~Mica de vl d vs t (6 d~fJproduciria una curva (mica para cad a fluido bajo

estudio pues para poder efectuar dicha curva se requiere desarrollar primero la integral que aparece en la ecuaci6n (52) y para esto se necesita saber que es (que forma tiene) K(t 010 que es 10 mismo cK(t) Como cK(t=-dvr l dr se tiene que en ultima instancia ia grafica buscada depende de ia forma c6mo se relacionen t Y la rata de cizalladura (-dvrl dr ) 10 cual es unico para cad a fluido -cada uno presenta su curva de consistencia Asi Sl se quiere aplicar la ecuaci6n (53) para un fluido que sea representado fielmente por el modelo de Bingham se tienen que considerardos etapas de comportamiento de la rata de cizalladura antes y despues del punto de cedencia (ty) -ver la curva de consistencia para los fluidos que siguen este modelo (Figura 18)- La ecuaci6n (53) seria entonces

v 1 [rY 2 f1 2 lw- =-3 JI t ck(t)dt + t ck(t)dtJ

d 2t 0

Si 0 ~ t ~ ty

-dVldr = ck(t= 0 (ver la Figura 18) y la primera integral de la expresi6n anterior es cero

v 1 [ T

d = 2r~ L yWr 2ck(r)drJ

Si t 1yt t y + gc~p (-Nrl dr) de la curva de consistencia

dv y g c g c v 1 [ 2gc=gt - - =-- -(r - r v) =cK(r) con c = - =gt - =- r - (r - r )drdr 1 j1 d 2r 3

y j1 yrp p w p

v g 2~ _ = r-d 2J1 T JT (T - rv)dT p

cuya integraci6n nos lIeva a la ecuaci6n siguiente

( 54 ) =gt ~ = ~[1 - ~(~J +~ (~J4l gcd fl 3t 3 t

Como ( h J es genera I me~te m uy peque no ~ ( ) 4puede desprecia rse para

obtener la slgulente expreslon aproxlmada

lOlJ LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACrON

8v =~3TW- 4Ty=_1_(T -~T ) ( 55 ) gcd ~ p 3T w ~ p w 3 y

8v I 4 =gt--=-r ---r ( 56 )

gcd -1 p 3Jl p yW

4 Ecuaci6n lineal con intersecci6n (cuando 1 = 0) en rw = 3 ry

Siempre que raquo gt25 y la ecua ci6n aproximada (Ia 56) puede usarse con confianza (error menor del 2 con respecto al resultado obtenido con la ecuaci6n 54)

Para asegurar la validez de la ecuaci6n 56 la velocidad promedia del fluido debera exceder un cierio valor critico minimo (vern) que se presentaria cuando Th fuera como minimo 25 T

y es decir

v =gd(251 - ~1 ) =O 1458 gdl (57) 8~t p f 3 ~ p )

En unidades practicas de ingenieria (vern en piesseg ~p en centipoises den pulgadas y 1) en Ibf 100 pies2 )

32171bm pie Ilbf seg2x d (pulg) x T (Ibf 1100 pies2) v = 01458x y

em ~p (eP)

469 Ibm pie pulg dT y ~ p=-- x -- X -------~--------

100 seg2 pies2 ed 001 grm ) r~ em _ seg - eP

dr Ibm pulg em 254 em pie2 454grm=469 gt x --- X ------~--j1 p seg pies grm pulg (3048 em)2 Ibm

dr =S82-Y pies segundo ( 58 )

Jl p

Si de 56 se despeja Traquo Y se usa la ecuaci6n 41 se puede obtener JPj

8V 4TyJ yenjd T = ~p [ ged + 3f1p =4L

32vL~ 16LT =Ap= P Y

U f ~+ gp- 3d ( 59 )

ISTRODLCCIOS AL TRABAJO COX MODELOS REOLOGICOS 109

=gt dv = 7cr[Jo W t 1 W k(t)dt]dt ( 52 )

w

Si se integra por partes en la ecuaci6n (52)

vCr W 2 1 r W- =-3 J( r k(r)dr =- 3 J( r 2ck(r)dr ( 53 )

d 2r 0 2r 0

Una g~Mica de vl d vs t (6 d~fJproduciria una curva (mica para cad a fluido bajo

estudio pues para poder efectuar dicha curva se requiere desarrollar primero la integral que aparece en la ecuaci6n (52) y para esto se necesita saber que es (que forma tiene) K(t 010 que es 10 mismo cK(t) Como cK(t=-dvr l dr se tiene que en ultima instancia ia grafica buscada depende de ia forma c6mo se relacionen t Y la rata de cizalladura (-dvrl dr ) 10 cual es unico para cad a fluido -cada uno presenta su curva de consistencia Asi Sl se quiere aplicar la ecuaci6n (53) para un fluido que sea representado fielmente por el modelo de Bingham se tienen que considerardos etapas de comportamiento de la rata de cizalladura antes y despues del punto de cedencia (ty) -ver la curva de consistencia para los fluidos que siguen este modelo (Figura 18)- La ecuaci6n (53) seria entonces

v 1 [rY 2 f1 2 lw- =-3 JI t ck(t)dt + t ck(t)dtJ

d 2t 0

Si 0 ~ t ~ ty

-dVldr = ck(t= 0 (ver la Figura 18) y la primera integral de la expresi6n anterior es cero

v 1 [ T

d = 2r~ L yWr 2ck(r)drJ

Si t 1yt t y + gc~p (-Nrl dr) de la curva de consistencia

dv y g c g c v 1 [ 2gc=gt - - =-- -(r - r v) =cK(r) con c = - =gt - =- r - (r - r )drdr 1 j1 d 2r 3

y j1 yrp p w p

v g 2~ _ = r-d 2J1 T JT (T - rv)dT p

cuya integraci6n nos lIeva a la ecuaci6n siguiente

( 54 ) =gt ~ = ~[1 - ~(~J +~ (~J4l gcd fl 3t 3 t

Como ( h J es genera I me~te m uy peque no ~ ( ) 4puede desprecia rse para

obtener la slgulente expreslon aproxlmada

lOlJ LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACrON

8v =~3TW- 4Ty=_1_(T -~T ) ( 55 ) gcd ~ p 3T w ~ p w 3 y

8v I 4 =gt--=-r ---r ( 56 )

gcd -1 p 3Jl p yW

4 Ecuaci6n lineal con intersecci6n (cuando 1 = 0) en rw = 3 ry

Siempre que raquo gt25 y la ecua ci6n aproximada (Ia 56) puede usarse con confianza (error menor del 2 con respecto al resultado obtenido con la ecuaci6n 54)

Para asegurar la validez de la ecuaci6n 56 la velocidad promedia del fluido debera exceder un cierio valor critico minimo (vern) que se presentaria cuando Th fuera como minimo 25 T

y es decir

v =gd(251 - ~1 ) =O 1458 gdl (57) 8~t p f 3 ~ p )

En unidades practicas de ingenieria (vern en piesseg ~p en centipoises den pulgadas y 1) en Ibf 100 pies2 )

32171bm pie Ilbf seg2x d (pulg) x T (Ibf 1100 pies2) v = 01458x y

em ~p (eP)

469 Ibm pie pulg dT y ~ p=-- x -- X -------~--------

100 seg2 pies2 ed 001 grm ) r~ em _ seg - eP

dr Ibm pulg em 254 em pie2 454grm=469 gt x --- X ------~--j1 p seg pies grm pulg (3048 em)2 Ibm

dr =S82-Y pies segundo ( 58 )

Jl p

Si de 56 se despeja Traquo Y se usa la ecuaci6n 41 se puede obtener JPj

8V 4TyJ yenjd T = ~p [ ged + 3f1p =4L

32vL~ 16LT =Ap= P Y

U f ~+ gp- 3d ( 59 )

ISTRODLCCIOS AL TRABAJO COX MODELOS REOLOGICOS 109

8v =~3TW- 4Ty=_1_(T -~T ) ( 55 ) gcd ~ p 3T w ~ p w 3 y

8v I 4 =gt--=-r ---r ( 56 )

gcd -1 p 3Jl p yW

4 Ecuaci6n lineal con intersecci6n (cuando 1 = 0) en rw = 3 ry

Siempre que raquo gt25 y la ecua ci6n aproximada (Ia 56) puede usarse con confianza (error menor del 2 con respecto al resultado obtenido con la ecuaci6n 54)

Para asegurar la validez de la ecuaci6n 56 la velocidad promedia del fluido debera exceder un cierio valor critico minimo (vern) que se presentaria cuando Th fuera como minimo 25 T

y es decir

v =gd(251 - ~1 ) =O 1458 gdl (57) 8~t p f 3 ~ p )

En unidades practicas de ingenieria (vern en piesseg ~p en centipoises den pulgadas y 1) en Ibf 100 pies2 )

32171bm pie Ilbf seg2x d (pulg) x T (Ibf 1100 pies2) v = 01458x y

em ~p (eP)

469 Ibm pie pulg dT y ~ p=-- x -- X -------~--------

100 seg2 pies2 ed 001 grm ) r~ em _ seg - eP

dr Ibm pulg em 254 em pie2 454grm=469 gt x --- X ------~--j1 p seg pies grm pulg (3048 em)2 Ibm

dr =S82-Y pies segundo ( 58 )

Jl p

Si de 56 se despeja Traquo Y se usa la ecuaci6n 41 se puede obtener JPj

8V 4TyJ yenjd T = ~p [ ged + 3f1p =4L

32vL~ 16LT =Ap= P Y

U f ~+ gp- 3d ( 59 )

ISTRODLCCIOS AL TRABAJO COX MODELOS REOLOGICOS 109

110

o en unidades practicas (Pj en Ipc fl p en centipoises v en piesseg L en pies den

pulgadas Y L) en Ibf100 pies2)

32v (pies I seg) L (pies) I p (cP) 00 Igrm I cm - seg x--~------~

3217 Ibm - pie x d 2 (pulg) cP Ibf - seg2

= 0009947 I VLJi p piesgrm-Ibf x Ibm x_3_0_4_8c_m_ d 2 Ibm-cm-pulg 454grm pie

vLJi p Ipc

1500d 2

16L(pies) llbf Il oOpies2) pie

------~----------x--~----3d(pulg) 12 pulgadas

LT ~ Y I ~ 225d pc

vL11 L Ty-p + shy ( 60 )~ )pI = -IS-OOd2 225d

Para un fl uido Newtoniano (LV= 0) la ecuaci6n (60) se reduce a la ecuac i6n de Hagen - Poiseu ill e con viscosidao absoluta en vez de plastlca

Viscosidad efectiva

La sim il itud entre la ecuaci6n de Hagen - Poiseu ilie Y la (60) sugiere que puede enco ntrarse un valor de v iscosidad efectiva (Ze) que utilizada en la ecuaci6n de Hagen - Poiseuille re porte igual p( al obtenido cuando se emplea la ecua ci6n 6

Si se igua la est a ecuaci6n a Hagen - Poiseuille (con Ze)

ZeLv vLf LL LL 1500d2

-------p-=- + --y- =gt Ze = f + ~y----1500d2 1500d2 225d p 225dLv

= f p + 667Lyd v ( 61 )

Con Ze Hagen - Poiseuille es una ecuaci6n general que nos da las perdidas de presion por fricci6n para flujo laminar en tuberias tanto de fluidos Newtoniflf10S como de los plasti cos tipo Bingham

Flujo turbulento

Los experimentos con suspensiones tipo Bingham han determinado que el flujo turbulento en tuberias generalmente ocurre cuando el numero de Reynolds equivalente (N

Re) excede a 2000 con

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION

(62 )NR = 928p vd Z e g e

Ze calculado con la ecuaci6n 61

Si en (62) se reemplaza Ze con NRe =2000

928pgvd 2000 - - - --shy

~ +6 671 dv v~ +6671 d p y p y

v

=gt 928pv1d =2000(vJI +667Td) g p y

=gt 928p dv1- 2000JI v- 33401 d=O g p y

2000JI ~J (- 2000JI i + 4951 8080p d 2T=gt v= p p g y

1856Pi

I856Pi

1078JI + 1078--) JI2 + 1238p d 2 p p g y ( 63 )

Este valor de velocidad denominado velocidad crftica (v) se utiliza tam bien como criterio para distinguir entre flujo laminar y turbulento en tuberias de fluidos tipo Bingham y Newtonianos (para estos con c y = 0 y ~p = ~N) si la velocidad promedia del flujo excede a Ve (calculada con la ecuaci6n 63) el flujo es turbulento

La mayoria de estudiosos de la materia estfm de acuerdo con utilizar la ecuaci6n de Fanning y las figuras de Stanton para el estudio del flujo turbulento de fluidos plasticos tipo Bingham

En resumen el calculo de llPr para fluidos plasticos tipo Bingham flujo en tuberia se haria asi

Calculo de NRe 0 v e con ecuaciones 62063 respectivamente

Si NRe lt 2000 0 v lt lie =gt el flujo es laminar y llPf se calculara con las ecuaciones

59060 (0 la ecuaci6n de Hagen-Poiseuille utilizando Ze)

- Si NRe gt 20000 v gt v e =gt flujo turbulento y

Se calcula NR con ~ p en vez de 2 en 928 pgvell2

Se determinafFen gratico de Stanton

Se calcula llPf con la ecuaci6n de Fanning

INTRODUCCJON AL TRABAJO CON MODELOS REOLOGICOS III

112

67 FLUJO ANULAR DE FLUIDOS PLASTICOS TlPO BINGHAM

Flujo laminar

Para flujo laminar e isotermico de fluidos plasticos tipo Bingham en un anular concentrico de seccion circular se pueden derivar ecuaciones a partir de un modelo de canal estrecho que como ya se vio reproduce con gran exactitud las condiciones de flujo que se presentan en un anular En la Figura 29 aparece el modelo W es su ancho total y M la extension lateral

p~

l w

Jshy

FIGURA 29 Flujo rectilineo entre laminas paralelas y fijas (97 p42)

La rata volumetrica de flujo estara dada por la siguiente ecuacion

q= C~~2 r[r K(r)dryr ( 64 ) II

Se integra por partes y se reemplaza qMW por la velocidad media de flujo (v)

v c ( 65 ) W = 2T2 f TK(T)dT

donde fw es el esfuerzo de cizalladura (el mayor registrado) en una cualquiera de las paredes del canal y esta dado por

WMf (66)T =---shy

w 2L

Para un fluido plastico tipo Bingham la relacion entre rata y esfuerzo de cizalladura 0

sea CK(T) es

amp( T- Ty ) ( 67)

JL p

Se reemplaza (67) en (65) y se integra para obtener

( 68 ) ~ =~r1-~ (~) +~ (~)3 l g(W Il IL 2 T 2 T

a LECTURAS SOBRE WDOS DE PERFORAClON

JNIV~nf) NACIONAI ute COLOMOI E EDELLiN t BlBIIOTECAS C A E-FE GOMEZ

Si w gt 25 1y (caso general) se puede despreciar el lermino l( ~ J3en la ecuacion (68)

g~~ = -[1- (~J1=gt g~~ = - ~~ 6VIl l 3

=gt - - + - = 1 ( 69 ) gcW 2

Si se reemplaza (66) en (69)

6v-i JJ 3 W6p -- + - T = - shyg)V 2 ) 2L

( 70 )

(70) nos da las perdidas de presion par friccion en un canal como el de la Figura 29 Si se aplica (70) a un anular

W = (do - di) 2

48l1pLv 6 L=gtJp = + y ( 71 )

f gc(do - di) 2 do - di

Si I1Pr esla en Ipc ~ en cP L en pies v en piesseg do y di en pulgadas r en Ibf1 00 piest

l1pLv TyL I1p - - ( 72 )+-- shy

f - lOOO(do - di) 2 200(do - di)

(72) es una ecuacion general de flujo pues puede aplicarse lambien a fluidos Newlonianos con 1) =0 Y ~JJ = ~N Asi quedara reducida a

lOOO(do - di) 2

ecuacion ya vista (38) para calcular las perdidas de presion por friccion en flujo anular de fluidos Newtonianos

Flujo turbulento

Como un anular estrecho puede ser representado por un canal delgado se deducen ecuaciones para el flujo turbulento de un fluido plaslico tipo Bingham en tal canal y luego se aplican al anular asi

IN TRODUCCION AL TRABAJO CON MODELOS REOLOCICOS 113

114

N Ro = 928pgv(do -di) Zeo ( 73 )

tJdo - di) ( 74 ) Z ea = 11 +4897--shy

v

1078 11 + 1078JIl + 9256(do - dityP ( 75 ) V = _ _ ---C-_ _ ---------______ ----_ g

en Pg(do-di)

En unidades practicas de ingenieria NRa l ea y v ea son respectivamente numero de Reynolds viscosidad efectiva y velocidad critica en el anular

Si N R gt2000 0 vgt VOtl

el fluio es turbulento y jPf se calcularia asi

N Ro = 928pgv(do-di) I p (76)

Con este valor y la rugosidad relativa de la tuberia se obtiene IF en graficos de Stanton

Se usa Fanning fF(L)pgv

2 Ipc ( 77 )

~p f = 2S8(do - di)

Notas

Si NRo calculado con la ecuaci6n 73 es menor que 2000 0 v es menor que v ea el flujo es laminar y jPf se calcularia con la ecuaci6n 72 0 con la 77 (si se hace IF =241 Nra NRn calculado con la ecuaci6n 76)

Las ecuaciones (76) y (77) tambien se pueden aplicar a fluio turbulento de fluidos Newtonianos con I-lN en lugar de I-lp de en vez de (do -di) y calculando un nuevo valor de v con de (obtenido de la Figura 27)

Las ecuaciones vistas para fluio en anular yen tuberia de fluidos Newtonianos y plasticos tipo Bingham nos dan un estimativo aceptable de las perdidas de presion debidas a fricc i6n cuando se estudia el fluio de los fluidos mencionados pues factores tales como la rotaci6n de la tuberia y los cam bios reologicos sufridos por tales fluidos al experimentar las cond iciones del hoyo afectan (en caso de presentarse) las perdidas de presion

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION

(62 )NR = 928p vd Z e g e

Ze calculado con la ecuaci6n 61

Si en (62) se reemplaza Ze con NRe =2000

928pgvd 2000 - - - --shy

~ +6 671 dv v~ +6671 d p y p y

v

=gt 928pv1d =2000(vJI +667Td) g p y

=gt 928p dv1- 2000JI v- 33401 d=O g p y

2000JI ~J (- 2000JI i + 4951 8080p d 2T=gt v= p p g y

1856Pi

I856Pi

1078JI + 1078--) JI2 + 1238p d 2 p p g y ( 63 )

Este valor de velocidad denominado velocidad crftica (v) se utiliza tam bien como criterio para distinguir entre flujo laminar y turbulento en tuberias de fluidos tipo Bingham y Newtonianos (para estos con c y = 0 y ~p = ~N) si la velocidad promedia del flujo excede a Ve (calculada con la ecuaci6n 63) el flujo es turbulento

La mayoria de estudiosos de la materia estfm de acuerdo con utilizar la ecuaci6n de Fanning y las figuras de Stanton para el estudio del flujo turbulento de fluidos plasticos tipo Bingham

En resumen el calculo de llPr para fluidos plasticos tipo Bingham flujo en tuberia se haria asi

Calculo de NRe 0 v e con ecuaciones 62063 respectivamente

Si NRe lt 2000 0 v lt lie =gt el flujo es laminar y llPf se calculara con las ecuaciones

59060 (0 la ecuaci6n de Hagen-Poiseuille utilizando Ze)

- Si NRe gt 20000 v gt v e =gt flujo turbulento y

Se calcula NR con ~ p en vez de 2 en 928 pgvell2

Se determinafFen gratico de Stanton

Se calcula llPf con la ecuaci6n de Fanning

INTRODUCCJON AL TRABAJO CON MODELOS REOLOGICOS III

112

67 FLUJO ANULAR DE FLUIDOS PLASTICOS TlPO BINGHAM

Flujo laminar

Para flujo laminar e isotermico de fluidos plasticos tipo Bingham en un anular concentrico de seccion circular se pueden derivar ecuaciones a partir de un modelo de canal estrecho que como ya se vio reproduce con gran exactitud las condiciones de flujo que se presentan en un anular En la Figura 29 aparece el modelo W es su ancho total y M la extension lateral

p~

l w

Jshy

FIGURA 29 Flujo rectilineo entre laminas paralelas y fijas (97 p42)

La rata volumetrica de flujo estara dada por la siguiente ecuacion

q= C~~2 r[r K(r)dryr ( 64 ) II

Se integra por partes y se reemplaza qMW por la velocidad media de flujo (v)

v c ( 65 ) W = 2T2 f TK(T)dT

donde fw es el esfuerzo de cizalladura (el mayor registrado) en una cualquiera de las paredes del canal y esta dado por

WMf (66)T =---shy

w 2L

Para un fluido plastico tipo Bingham la relacion entre rata y esfuerzo de cizalladura 0

sea CK(T) es

amp( T- Ty ) ( 67)

JL p

Se reemplaza (67) en (65) y se integra para obtener

( 68 ) ~ =~r1-~ (~) +~ (~)3 l g(W Il IL 2 T 2 T

a LECTURAS SOBRE WDOS DE PERFORAClON

JNIV~nf) NACIONAI ute COLOMOI E EDELLiN t BlBIIOTECAS C A E-FE GOMEZ

Si w gt 25 1y (caso general) se puede despreciar el lermino l( ~ J3en la ecuacion (68)

g~~ = -[1- (~J1=gt g~~ = - ~~ 6VIl l 3

=gt - - + - = 1 ( 69 ) gcW 2

Si se reemplaza (66) en (69)

6v-i JJ 3 W6p -- + - T = - shyg)V 2 ) 2L

( 70 )

(70) nos da las perdidas de presion par friccion en un canal como el de la Figura 29 Si se aplica (70) a un anular

W = (do - di) 2

48l1pLv 6 L=gtJp = + y ( 71 )

f gc(do - di) 2 do - di

Si I1Pr esla en Ipc ~ en cP L en pies v en piesseg do y di en pulgadas r en Ibf1 00 piest

l1pLv TyL I1p - - ( 72 )+-- shy

f - lOOO(do - di) 2 200(do - di)

(72) es una ecuacion general de flujo pues puede aplicarse lambien a fluidos Newlonianos con 1) =0 Y ~JJ = ~N Asi quedara reducida a

lOOO(do - di) 2

ecuacion ya vista (38) para calcular las perdidas de presion por friccion en flujo anular de fluidos Newtonianos

Flujo turbulento

Como un anular estrecho puede ser representado por un canal delgado se deducen ecuaciones para el flujo turbulento de un fluido plaslico tipo Bingham en tal canal y luego se aplican al anular asi

IN TRODUCCION AL TRABAJO CON MODELOS REOLOCICOS 113

114

N Ro = 928pgv(do -di) Zeo ( 73 )

tJdo - di) ( 74 ) Z ea = 11 +4897--shy

v

1078 11 + 1078JIl + 9256(do - dityP ( 75 ) V = _ _ ---C-_ _ ---------______ ----_ g

en Pg(do-di)

En unidades practicas de ingenieria NRa l ea y v ea son respectivamente numero de Reynolds viscosidad efectiva y velocidad critica en el anular

Si N R gt2000 0 vgt VOtl

el fluio es turbulento y jPf se calcularia asi

N Ro = 928pgv(do-di) I p (76)

Con este valor y la rugosidad relativa de la tuberia se obtiene IF en graficos de Stanton

Se usa Fanning fF(L)pgv

2 Ipc ( 77 )

~p f = 2S8(do - di)

Notas

Si NRo calculado con la ecuaci6n 73 es menor que 2000 0 v es menor que v ea el flujo es laminar y jPf se calcularia con la ecuaci6n 72 0 con la 77 (si se hace IF =241 Nra NRn calculado con la ecuaci6n 76)

Las ecuaciones (76) y (77) tambien se pueden aplicar a fluio turbulento de fluidos Newtonianos con I-lN en lugar de I-lp de en vez de (do -di) y calculando un nuevo valor de v con de (obtenido de la Figura 27)

Las ecuaciones vistas para fluio en anular yen tuberia de fluidos Newtonianos y plasticos tipo Bingham nos dan un estimativo aceptable de las perdidas de presion debidas a fricc i6n cuando se estudia el fluio de los fluidos mencionados pues factores tales como la rotaci6n de la tuberia y los cam bios reologicos sufridos por tales fluidos al experimentar las cond iciones del hoyo afectan (en caso de presentarse) las perdidas de presion

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION

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67 FLUJO ANULAR DE FLUIDOS PLASTICOS TlPO BINGHAM

Flujo laminar

Para flujo laminar e isotermico de fluidos plasticos tipo Bingham en un anular concentrico de seccion circular se pueden derivar ecuaciones a partir de un modelo de canal estrecho que como ya se vio reproduce con gran exactitud las condiciones de flujo que se presentan en un anular En la Figura 29 aparece el modelo W es su ancho total y M la extension lateral

p~

l w

Jshy

FIGURA 29 Flujo rectilineo entre laminas paralelas y fijas (97 p42)

La rata volumetrica de flujo estara dada por la siguiente ecuacion

q= C~~2 r[r K(r)dryr ( 64 ) II

Se integra por partes y se reemplaza qMW por la velocidad media de flujo (v)

v c ( 65 ) W = 2T2 f TK(T)dT

donde fw es el esfuerzo de cizalladura (el mayor registrado) en una cualquiera de las paredes del canal y esta dado por

WMf (66)T =---shy

w 2L

Para un fluido plastico tipo Bingham la relacion entre rata y esfuerzo de cizalladura 0

sea CK(T) es

amp( T- Ty ) ( 67)

JL p

Se reemplaza (67) en (65) y se integra para obtener

( 68 ) ~ =~r1-~ (~) +~ (~)3 l g(W Il IL 2 T 2 T

a LECTURAS SOBRE WDOS DE PERFORAClON

JNIV~nf) NACIONAI ute COLOMOI E EDELLiN t BlBIIOTECAS C A E-FE GOMEZ

Si w gt 25 1y (caso general) se puede despreciar el lermino l( ~ J3en la ecuacion (68)

g~~ = -[1- (~J1=gt g~~ = - ~~ 6VIl l 3

=gt - - + - = 1 ( 69 ) gcW 2

Si se reemplaza (66) en (69)

6v-i JJ 3 W6p -- + - T = - shyg)V 2 ) 2L

( 70 )

(70) nos da las perdidas de presion par friccion en un canal como el de la Figura 29 Si se aplica (70) a un anular

W = (do - di) 2

48l1pLv 6 L=gtJp = + y ( 71 )

f gc(do - di) 2 do - di

Si I1Pr esla en Ipc ~ en cP L en pies v en piesseg do y di en pulgadas r en Ibf1 00 piest

l1pLv TyL I1p - - ( 72 )+-- shy

f - lOOO(do - di) 2 200(do - di)

(72) es una ecuacion general de flujo pues puede aplicarse lambien a fluidos Newlonianos con 1) =0 Y ~JJ = ~N Asi quedara reducida a

lOOO(do - di) 2

ecuacion ya vista (38) para calcular las perdidas de presion por friccion en flujo anular de fluidos Newtonianos

Flujo turbulento

Como un anular estrecho puede ser representado por un canal delgado se deducen ecuaciones para el flujo turbulento de un fluido plaslico tipo Bingham en tal canal y luego se aplican al anular asi

IN TRODUCCION AL TRABAJO CON MODELOS REOLOCICOS 113

114

N Ro = 928pgv(do -di) Zeo ( 73 )

tJdo - di) ( 74 ) Z ea = 11 +4897--shy

v

1078 11 + 1078JIl + 9256(do - dityP ( 75 ) V = _ _ ---C-_ _ ---------______ ----_ g

en Pg(do-di)

En unidades practicas de ingenieria NRa l ea y v ea son respectivamente numero de Reynolds viscosidad efectiva y velocidad critica en el anular

Si N R gt2000 0 vgt VOtl

el fluio es turbulento y jPf se calcularia asi

N Ro = 928pgv(do-di) I p (76)

Con este valor y la rugosidad relativa de la tuberia se obtiene IF en graficos de Stanton

Se usa Fanning fF(L)pgv

2 Ipc ( 77 )

~p f = 2S8(do - di)

Notas

Si NRo calculado con la ecuaci6n 73 es menor que 2000 0 v es menor que v ea el flujo es laminar y jPf se calcularia con la ecuaci6n 72 0 con la 77 (si se hace IF =241 Nra NRn calculado con la ecuaci6n 76)

Las ecuaciones (76) y (77) tambien se pueden aplicar a fluio turbulento de fluidos Newtonianos con I-lN en lugar de I-lp de en vez de (do -di) y calculando un nuevo valor de v con de (obtenido de la Figura 27)

Las ecuaciones vistas para fluio en anular yen tuberia de fluidos Newtonianos y plasticos tipo Bingham nos dan un estimativo aceptable de las perdidas de presion debidas a fricc i6n cuando se estudia el fluio de los fluidos mencionados pues factores tales como la rotaci6n de la tuberia y los cam bios reologicos sufridos por tales fluidos al experimentar las cond iciones del hoyo afectan (en caso de presentarse) las perdidas de presion

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION

Si w gt 25 1y (caso general) se puede despreciar el lermino l( ~ J3en la ecuacion (68)

g~~ = -[1- (~J1=gt g~~ = - ~~ 6VIl l 3

=gt - - + - = 1 ( 69 ) gcW 2

Si se reemplaza (66) en (69)

6v-i JJ 3 W6p -- + - T = - shyg)V 2 ) 2L

( 70 )

(70) nos da las perdidas de presion par friccion en un canal como el de la Figura 29 Si se aplica (70) a un anular

W = (do - di) 2

48l1pLv 6 L=gtJp = + y ( 71 )

f gc(do - di) 2 do - di

Si I1Pr esla en Ipc ~ en cP L en pies v en piesseg do y di en pulgadas r en Ibf1 00 piest

l1pLv TyL I1p - - ( 72 )+-- shy

f - lOOO(do - di) 2 200(do - di)

(72) es una ecuacion general de flujo pues puede aplicarse lambien a fluidos Newlonianos con 1) =0 Y ~JJ = ~N Asi quedara reducida a

lOOO(do - di) 2

ecuacion ya vista (38) para calcular las perdidas de presion por friccion en flujo anular de fluidos Newtonianos

Flujo turbulento

Como un anular estrecho puede ser representado por un canal delgado se deducen ecuaciones para el flujo turbulento de un fluido plaslico tipo Bingham en tal canal y luego se aplican al anular asi

IN TRODUCCION AL TRABAJO CON MODELOS REOLOCICOS 113

114

N Ro = 928pgv(do -di) Zeo ( 73 )

tJdo - di) ( 74 ) Z ea = 11 +4897--shy

v

1078 11 + 1078JIl + 9256(do - dityP ( 75 ) V = _ _ ---C-_ _ ---------______ ----_ g

en Pg(do-di)

En unidades practicas de ingenieria NRa l ea y v ea son respectivamente numero de Reynolds viscosidad efectiva y velocidad critica en el anular

Si N R gt2000 0 vgt VOtl

el fluio es turbulento y jPf se calcularia asi

N Ro = 928pgv(do-di) I p (76)

Con este valor y la rugosidad relativa de la tuberia se obtiene IF en graficos de Stanton

Se usa Fanning fF(L)pgv

2 Ipc ( 77 )

~p f = 2S8(do - di)

Notas

Si NRo calculado con la ecuaci6n 73 es menor que 2000 0 v es menor que v ea el flujo es laminar y jPf se calcularia con la ecuaci6n 72 0 con la 77 (si se hace IF =241 Nra NRn calculado con la ecuaci6n 76)

Las ecuaciones (76) y (77) tambien se pueden aplicar a fluio turbulento de fluidos Newtonianos con I-lN en lugar de I-lp de en vez de (do -di) y calculando un nuevo valor de v con de (obtenido de la Figura 27)

Las ecuaciones vistas para fluio en anular yen tuberia de fluidos Newtonianos y plasticos tipo Bingham nos dan un estimativo aceptable de las perdidas de presion debidas a fricc i6n cuando se estudia el fluio de los fluidos mencionados pues factores tales como la rotaci6n de la tuberia y los cam bios reologicos sufridos por tales fluidos al experimentar las cond iciones del hoyo afectan (en caso de presentarse) las perdidas de presion

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION

114

N Ro = 928pgv(do -di) Zeo ( 73 )

tJdo - di) ( 74 ) Z ea = 11 +4897--shy

v

1078 11 + 1078JIl + 9256(do - dityP ( 75 ) V = _ _ ---C-_ _ ---------______ ----_ g

en Pg(do-di)

En unidades practicas de ingenieria NRa l ea y v ea son respectivamente numero de Reynolds viscosidad efectiva y velocidad critica en el anular

Si N R gt2000 0 vgt VOtl

el fluio es turbulento y jPf se calcularia asi

N Ro = 928pgv(do-di) I p (76)

Con este valor y la rugosidad relativa de la tuberia se obtiene IF en graficos de Stanton

Se usa Fanning fF(L)pgv

2 Ipc ( 77 )

~p f = 2S8(do - di)

Notas

Si NRo calculado con la ecuaci6n 73 es menor que 2000 0 v es menor que v ea el flujo es laminar y jPf se calcularia con la ecuaci6n 72 0 con la 77 (si se hace IF =241 Nra NRn calculado con la ecuaci6n 76)

Las ecuaciones (76) y (77) tambien se pueden aplicar a fluio turbulento de fluidos Newtonianos con I-lN en lugar de I-lp de en vez de (do -di) y calculando un nuevo valor de v con de (obtenido de la Figura 27)

Las ecuaciones vistas para fluio en anular yen tuberia de fluidos Newtonianos y plasticos tipo Bingham nos dan un estimativo aceptable de las perdidas de presion debidas a fricc i6n cuando se estudia el fluio de los fluidos mencionados pues factores tales como la rotaci6n de la tuberia y los cam bios reologicos sufridos por tales fluidos al experimentar las cond iciones del hoyo afectan (en caso de presentarse) las perdidas de presion

LECTURAS SOBRE LODOS DE PERFORACION