Equation Chapter 1 Section 1

1. Una bola de billar es golpeada desde la esquina de la mesa y se le imprime una velocidad

dada por el vector ftms sˆ ˆ0.5 2v i j , Si despreciamos la fricción con la mesa y la

resistencia del aire,

v 0 =

0.5

m/s

i + 2

ft/s

j

Θ

a. ¿cuál es la dirección en la que se lleva a cabo el movimiento?

La dirección está dada por el ángulo que define al vector velocidad, el cual es constante durante

todo el recorrido, entonces para la dirección tenemos:

0

0

arctany

x

v

v

Y el vector unitario:

Con coordenadas polares:

ˆ ˆˆ cos sinu i j

Con coordenadas cartesianas:

0 0

2 2

0 0

ˆ ˆˆ

x y

x y

v i v ju

v v

b. ¿en cuánto tiempo recorrerá 1 m?

Si se analiza con cuidado el desarrollo anterior, es posible notar que la rapidez en la dirección del

movimiento es:

2 2

0 0 0

x yv v v

Mientras que para un cuerpo en MRU que parte del origen, la posición en función del tiempo es:

0x t v t

Despejando al tiempo:

0

x tt

v

c. ¿cuánto, en SI, habrá recorrido en 3.5 s?

Volviendo a la ecuación de movimiento:

0x t v t

2. La siguiente figura, (adaptada de un diagrama del manual de operación de un automóvil)

describe la capacidad de rebase del vehículo a baja rapidez. A partir de los datos que se

dan en dicha figura, calcula la aceleración del automóvil durante el rebase y el tiempo

requerido para éste. Supón aceleración constante.

RESPUESTA:

El auto se mueve en MUA, mientras que el camión lo hace en MRU.

La complicación con la situación descrita radica en el hecho de que no se puede utilizar

aproximación puntal y hay que tomar en cuenta la estructura de los objetos.

Una forma de resolverlo es centrar la observación en la defensa delantera del auto y la defensa

trasera del camión en aproximación puntual y de ahí corregir.

Si tomamos como punto inicial la defensa delantera del auto, los datos son:

v0 = 32 km/h (rapidez inicial para los dos vehículos)

x0c = 12 m (posición inicial de la defensa trasera del camión con respecto a la delantera del auto)

vf = 56 km/h (rapidez final para el automóvil)

ℓa = 5 m (longitud del auto)

ℓc = 17 m (longitud del camión)

df = 12 m (distancia final entre la defensa delantera del camión y la delantera del auto)

Las ecuaciones de movimiento, para el auto son:

0

2

02

a

a

v t at v

atx t v t

Mientras que para el camión:

0 0

c

cx t v t x

Sabemos que al final del recorrido la distancia entre defensa delantera del auto y trasera del

camión es:

a f c f c f ax t x t d (1.1)

Y se debe cumplir que:

a f fv t v (1.2)

Sustituyendo las ecuaciones de movimiento para ambos vehículos en (1.1) queda:

2

0 0 02

f c

f f c f a

atv t v t x d

O bien:

2

02

f c

c f a

atx d (1.3)

E incorporando la ecuación para la rapidez del auto en (1.2),

0f fat v v (1.4)

De (1.4) el producto entre la aceleración y el tiempo de recorrido queda:

0f fat v v (1.5)

Y sustituyendo en (1.3),

0

02

f f c

c f a

v v tx d

(1.6)

Despejando el tiempo de recorrido:

0

0

2

c

c f a

f

f

d xt

v v

(1.7)

Y despejando la aceleración de (1.5),

0f

f

v va

t

(1.8)

3. Cierto objeto con 5 lb de masa se encuentra en reposo cuando se le imprime una fuerza de

60 N. ¿Si después de 45 s se encuentra con otra fuerza de -60 N y en la misma dirección,

¿cuál es la rapidez del móvil a los 2 min de haber comenzado a moverse.

F1 = 60 N F2 = -60 N

t

0 s 45 s

Al principio el objeto no se mueve, al aplicarle una fuerza constante se le somete a MUA, por lo

que su movimiento está descrito por:

0

2

0 02

Fv t t v

m

Fx t t v t x

m

Por otro lado al encontrarse con la otra fuerza, entonces la suma total de fuerzas actuantes es

cero, por lo que se cumplen las condiciones dinámicas de MRU, es decir que su rapidez será la

misma durante todo el movimiento.

4. Considera una pelota de béisbol de masa m. Ésta es lanzada a una velocidad v0 de manera

horizontal. Considera una fuerza constante debida al viento, Fv, perpendicular a la

dirección inicial del movimiento y a la fuerza de la gravedad.

a) Haz un esquema mostrando la referencia cartesiana (origen y ejes coordenados), la

masa en cuestión, las condiciones iniciales del movimiento y las fuerzas que

intervienen.

Z

Y

X

m

v0

g

Fv

b) Escribe claramente la expresión para la segunda ley de Newton en cada dirección.

NO las resuelvas.

Del diagrama tomamos:

0

z

x v

y

F mg

F F

F

O en notación vectorial:

ˆˆvF F i mgk

5. En un juego, 2 tiradores echan chorros constantes de agua hacia una pelota en una mesa, y

un defensivo debe evitar que la pelota llegue a su lado del área de juego disparando

también un chorro constante. Si tú eres el tirador 1 y sabes que la fuerza de tu chorro está

dada por 1ˆ ˆ25 N 13 N F i j , y que el chorro de tu compañero cumple con

5

2 5.83 10 dynF y θ2 = -30º, ¿qué vector describe la fuerza que debe utilizar el

defensa para contrarrestar a los tiradores y que la pelota no se mueva?

Para que la pelota se encuentre en reposo se tiene que satisfacer que:

0i

i

F

En este caso están en juego 3 fuerzas, dos de los chorros de los tiradores y la del chorro del

defensivo. Entonces la ecuación anterior toma la forma:

1 2 3 0F F F

Que descompuesta en componentes queda como:

5

3 3

5 5 Ndyn 3 3

3 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ25 N 13 N 5.83 10 dyn cos 30º sin 30º 0

3 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ25 N 13 N 5.83 10 dyn 10 02 2

3 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ25 N 13 N 5.83 N 02 2

ˆ25 N 13

x y

x y

x y

i j i j F i F j

i j i j F i F j

i j i j F i F j

i

3 3

583ˆ ˆ ˆ ˆ ˆN N 3 0200

x yj i j F i F j

F1

F2

F3

Agrupando:

3 3

3 3

583 583ˆ ˆ25 N 3 N 13 N N 0200 200

5000 583 3 2017ˆ ˆ N N 0200 200

x y

x y

F i F j

F i F j

Con lo que en cada componente se tiene una ecuación, es decir:

3

3

5000 583 3 N 0

200

2017 N 0

200

x

y

F

F

6. Un punto se mueve en el plano XY de tal modo que vx = 4t3 + 4t, mientras que vy = 4t. Si

la posición del punto es î + 2ĵ cuando t = 0, encuentra la ecuación cartesiana de la

trayectoria y = y(x). Determina la expresión de la aceleración.

Para obtener la función de trayectoria es necesario conocer las componentes del vector posición.

Dado que se cuenta con el vector velocidad hay necesidad de integrar:

El vector velocidad para este punto está dado por:

3 ˆ ˆ4 4 4v t t t i tj

Y sabemos que se relaciona con el vector posición por:

dx

v tdt

Por lo que escribimos:

0

3

0

3

0

0 0 0

3

0

0 0 0

4 2 2

0

0 0 0

4 4 2 2

ˆ ˆ4 4 4

ˆ ˆ4 4 4

ˆ ˆ4

ˆ ˆ44 2 2

0 0 ˆ44 2

x t t

x

t t t

t t t

t t t

dx v t dt

dx t t i tj dt

x t x t dt tdt i tdt j

x t t dt tdt i tdt j x

t t ti j x

t t ti

2 2

0

4 2 2

0

4 2 2

0

0 ˆ2

ˆ ˆ44 2 2

ˆ ˆ2 2

j x

t t ti j x

t t i t j x

Y sabemos que 0ˆ ˆ2x i j , por lo tanto:

4 2 2

4 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2

ˆ ˆ2 1 2 2

x t t t i t j i j

t t i t j

Para obtener la función de trayectoria debemos conocer la componente en y como función de la

componente en x. Para relacionarlas debemos encontrar el valor del parámetro t, del que ambas

dependen. Sin embargo, podemos notar que la dependencia de ambas componentes con el tiempo

es en exponentes pares (0, 2, 4) así que por simplicidad despejaremos t2.

4 2

4 2

2

2 1

2 1 0

2 4 4 1

2

2 4 4 4

2

2 4

2

2 2

2

1

x t t t

t t x

xt

x

x

x

x

Este lo sustituimos en y y obtenemos:

22 2

2 1

2 2 2

2

2

y

y t t

y x x

x

x x

Otra forma de llegar a esta expresión sería empezando por despejar al tiempo al cuadrado de la

expresión de y(t):

2

2

2

2 2

2 2

12

y t t

t y

yt

Luego, éste sustituirlo en x(t):

4 2

2

2 2

2 1

1 2 1 12 2

1 2 14 4

x t t t

y yx y

y yy y

Y, finalmente despejar y:

2

2

2

4

4

yx

y

x

x

y

Aunque el tratamiento matemático arroja este resultado por los dos caminos posibles podemos

notar que tanto x(t) como y(t) son funciones siempre positivas, ya que t4 y t

2 no pueden tener

valores negativos, esto implica que la raíz negativa se descarta, por lo tanto la gráfica queda:

Su gráfica es:

Noten que en este caso en particular, la trayectoria sí es función. Esta trayectoria implica un

rebote en y = x = 0, es decir, el objeto iba en cierta dirección y al llegar a determinado punto

regresó sobre sus propios pasos.

Para la aceleración, sabemos que:

dv

a tdt

Por lo tanto:

2

33 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 4

ˆ

4 4 4 3 1

ˆ12 4 4

d d dt dt dta t t t i tj t t i tj i j t i j

t i j

dt dt dt dt dt

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

x

y

7. Si la fuerza actuante sobre un móvil en una dimensión tiene la forma:

cosF t A t

Con A y ω constantes, ¿cuáles son las ecuaciones que describen el movimiento de dicho

objeto si éste parte del origen estando en reposo?

RESPUESTA

Para la aceleración se tiene:

cosF t A

a t tm m

Expresado como derivada:

cosdv A

tdt m

Integrando de los dos lados:

0

0

0

0

0

cos

si

sin sin

n sin sin

v t t

t

t

t

Adv t dt

m

t t tA Av t

m

t tAv

m

tm

Expresando la rapidez como derivada:

0sin sint tdx A

dt m

Integrando de los dos lados:

0 0 0

00

0

0

0

0

0

0

sin sinsin sin

cos

cos cossin

sin

x t t t t

t t t

t t

tt

t tA Adx dt t dt t dt

m m

tAx t

t tAx t t t

m

t dtm

8. Un ciclista gana 37 minutos y 30 segundos en su recorrido si aumenta su velocidad en 5

km/h. Por otro lado, pierde 50 minutos si disminuye su velocidad en 5 km/h. ¿Qué

distancia recorrió? ¿En cuánto tiempo? ¿A qué velocidad?

RESPUESTA:

El ciclista recorre una distancia d en un tiempo t0 con una velocidad v0. La ecuación de

movimiento de esta situación es:

0 0d v t

Bajo las condiciones modificadas, esta ecuación quedaría:

kmh0 05 37 30d v t

y

kmh0 05 50d v t

Tenemos entonces un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas

Sustituyendo d de la primera ecuación en las otras dos se llega a;

kmh0 0 0 0

kmh0 0 0 0

5 37 30

5 50

v t v t

v t v t

9. Un chico bromista se encuentra escondido entre unos arbustos tirando pintura con un rifle

de gotcha a los autos que circulan frente a la banqueta. Si un auto que mide 2.5 m de

defensa a defensa viaja a 60 mi/h, el cañón del rifle se encuentra fijo perpendicularmente

a la calle y a una distancia de 3.72 m del carril de circulación, y la bola de pintura sale con

una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto abraca el intervalo de tiempo que tiene el muchacho para

disparar y que la pintura pegue en cualquier lugar del auto?

La situación descrita se representa por el siguiente diagrama:

a

a

a

a

2.5 m

3.72 m

60 mi/h

50 km/h

La pregunta se puede entender como: dada la longitud del auto, ¿cuánto tiempo se tardará en

estar expuesto al rifle? o bien, ¿por cuánto tiempo el punto de impacto coincidirá con la

presencia del auto?

Eso significa que lo único que importa saber es el tiempo que el automóvil ocupa en recorrer

su propia longitud.

A velocidad constante nos encontramos con una situación de MRU, por lo que la posición en

función del tiempo viene dada por:

0 0x t v t x

Ahora bien, nos importa una distancia recorrida, por lo que nos conviene mejor escribir:

0x v t

Queremos conocer el intervalo de tiempo, así que despejamos y queda:

0

xt

v

10. Un conductor viaja ebrio en su automóvil a 80 km/h con sus cuates. De repente, observa

algo que cruza la calle a 70 metros. Sabiendo que el tiempo de respuesta estando ebrio, es

decir, el tiempo necesario entre percibir algo y reaccionar, es de 1 segundo, ¿cuántos

metros viajará en su coche antes de empezar a frenar? Sabiendo que el vehículo necesita,

a esa velocidad, alrededor de 50 metros para obtener el alto total, ¿cuánto vale la

aceleración negativa (desaceleración)? Justifica con cálculos cómo terminó la escena.

Una persona sobria tiene un tiempo de respuesta menor a 0.5 segundos. Justificando con

cálculos, ¿qué habría sucedido si el aburrido de siempre, que no bebe, hubiera manejado?

RESPUESTA

El problema se divide en dos intervalos de tiempo. El primero es el tiempo de respuesta y el

segundo es el tiempo de frenado.

Para el primer intervalo, se tiene un MRU. Las ecuaciones de movimiento y condiciones

iniciales son:

0

0 0

kmh0

0

80

0

v t v

x t v t x

v

x

En el segundo intervalo, las ecuaciones de movimiento y condiciones iniciales son:

0

2

0 0

kmh0

0

0

2

80

1

a

v t at v

atx t v t x

v

x x

Sabemos que cuando x(t) = 50 m + x(1”) el auto ha frenado, es decir v(t) = 0. Por lo tanto

tenemos un sistema de dos ecuaciones en donde a y t son las incógnitas:

kmh

2

kmh

0 80

50 m 1 80 12

at

atx t x

Resolviendo para el tiempo en la primera ecuación:

kmh80

ta

11. Si un auto se mueve a campo traviesa con la velocidad dada por 3 ˆ ˆ0.8 4 16v t t i j ,

¿Cuál es la expresión para su vector posición y cuál para su vector aceleración? ¿Qué

unidades te parecen razonables para cada constante en la expresión de velocidad? ¿Por

qué? Construye una gráfica de la trayectoria.

RESPUESTA:

Para el vector posición hay que integrar el vector velocidad, entonces:

0 0 0 0 0

0 0

4 42 20

0 0

3 3

4 2

4 42 20

0 0

4 4ˆ ˆ ˆ ˆ4 16 4 165 5

4 ˆ ˆ4 165 4 2

ˆ ˆ2 1

ˆ ˆ2 1

65

65

x t t t t t

x t t t t

t t

t t

dx t t i j dt t dt tdt i dt j

t ti tj

t tx t x t t i tj

t tx t t t i tj x

Para el vector aceleración, hay que derivar el vector velocidad, entonces:

2 2

3 3 2 24 4 4 12ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 16 4 3 4 4

12 3ˆ

5

ˆ4 4

5 5

5

5

15

dv d d dt t i j t t i t i t i

dt d

a t i i

t dt d

t

t

Para ese orden de magnitud, es más razonable pensar que el auto se mueve en m/s que en

km/h, ya que con esta segunda unidad de velocidad se estaría moviendo muy lentamente. Con

unidades, el vector velocidad se ve:

4 2

3m m mss s

ˆ ˆ0.8 4 16 v t t i j

Noten que si el tiempo está en segundos, las unidades de cada componente se corresponden

con m/s.

Considerando que se parte del origen en t0 = 0, entonces el vector posición queda:

4

2 ˆ ˆ2 165

tx t t i tj

O en componentes:

4

2

16

25

y t t

tx t t

Despejando t de la componente en y:

16

yt

Y sustituyendo en la componente en x:

4 2 4 2 4 2

4 2 22

1 22

5 16 16 5 65536 256 327680 128

11

128 2560 128 2560

y y y y y yx

y y yy

Despejando y:

42

42

4 2

4 2

1

128 2560

1282560

2560 327680

2560 327680 0

yy x

yy x

y y x

y y x

12. Considera la gráfica en función del tiempo que se muestra.

d

t0

A B

a. Traza una gráfica cualitativa de la velocidad en función del tiempo. Explica tu

razonamiento al dibujarla.

En la gráfica se distinguen tres intervalos de tiempo en los que se puede dividir el

comportamiento del movimiento. Entonces tenemos: intervalo I, de 0 a A; intervalo II, de A a B,

e intervalo III, después de B.

Para el intervalo I, observamos una línea recta con pendiente positiva, el valor de esta

pendiente será el de su derivada a lo largo de todo el intervalo. Por lo tanto, cualitativamente,

podemos decir que en esta región la velocidad es positiva.

En el intervalo II, se observa una recta completamente horizontal, es decir que la posición

se mantiene constante conforme avanza el tiempo. La derivada de una constante es cero, así que

en esta región la velocidad es cero.

En el último intervalo se tiene una situación semejante al intervalo I pero con pendiente

negativa, aunque con la misma inclinación. Entonces se puede decir que la velocidad tiene la

misma magnitud que en el intervalo I, pero es negativa.

La gráfica que representa todo lo anterior se vería así:

v

t0

A

B

b. De igual manera, traza ahora una gráfica de la aceleración en función del tiempo.

En todos los casos el comportamiento es constante con respecto al tiempo, de modo que

en los tres intervalos NO hay aceleración. Una gráfica aceptable (y considerada como correcta)

para esta situación sería:

a

t0

A B

Sin embargo, observamos que sí hay cambio de velocidad, en los puntos A y B. Sobre estos

cambios podemos decir que ocurren instantáneamente, es decir, en un intervalo de tiempo igual a

cero. Como consecuencia eso significaría que la aceleración en esos dos puntos es infinita y

negativa. De manera que una gráfica matemáticamente más representativa tendría la forma:

a

t0

A B

c. ¿Cómo deben modificarse las tres gráficas para no violar el principio de

causalidad?

La gráfica de la distancia no debe tener puntos de quiebre, por lo que las esquinas deben ser

redondeadas:

La gráfica de la rapidez no debe tener discontinuidades, y las conexiones entre segmentos deben

ser suaves, entonces:

La gráfica de la aceleración debe ser la derivada de la rapidez. Un seguimiento cualitativo de la

pendiente de la gráfica anterior nos arroja que para la aceleración la gráfica es:

d. Propón una explicación para lo observado en los puntos A y B.

En el punto A se tiene un frenado instantáneo, el móvil deja de moverse súbitamente. En el

punto B el móvil adquiere cierta velocidad constante en la dirección de la cual provenía, sin

embargo esta adquisición de velocidad es drástica.

13. Una pelota ha sido lanzada horizontalmente a 20 m/s hacia un acantilado de una altura de

125 m. Bajo la aproximación en la cual la viscosidad del aire es nula;

a) Plantea el problema, es decir; haz un esquema poniendo de relieve la referencia

cartesiana (origen y ejes coordenados), la masa en cuestión, las condiciones iniciales

del movimiento y las fuerzas que intervienen.

y

x

V0 = 20 m/s0

25

-50

-75

-100

-125

0 25 50 75 100

g = 9.81 m/s2

b) Escribe las ecuaciones para la segunda ley de Newton en cada dirección (horizontal y

vertical).

En x: sin fuerzas,

0xma

En y: bajo la fuerza de gravedad,

yma mg

c) Resuelve las ecuaciones de Newton para este caso (obtén las ecuaciones de

movimiento).

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 0

0 0

x

x

x

v t

xx x x x x x

v

x t t

x x

x x

xx x

t

a

dva dv a dt dv v t v

dt

dxv t dx v t dt dx v dt

v t v

x t vx t v tdt

t

0 0

2

0 0

2

0 0

00

2 2

y

y

y

v t ty

y y y y y

y t t

y y

t

a g

dva dv a dt dv g dt v t g t

dt

dy tv t dy v t dt dy g tdt y t g

d

v t gt

gtt

ty

0

0 2

ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ2

x

x

a gj

v v i gtj

gx v ti t j

d) Calcula el tiempo que tomará a la pelota llegar al fondo del acantilado.

Se requiere que y(t) = -125 m

Entonces: 2

2

1252

250

255.05

0s

gt

gt

tg

14. ¿Cómo calcularías la fuerza máxima que puedes ejercer al lanzar hacia arriba una pelota

de masa conocida…

Sabemos que durante el lanzamiento la velocidad inicial de la pelota es cero y la final es la

velocidad con la que puede salir de tu mano. Conoces en modo aproximado cuánto mide tu brazo.

Esta es la distancia en la que la pelota se acelera desde cero hasta la velocidad con la que sale de

tu mano. Suponiendo que la aceleración fue constante, lo único que necesitas es un modo de

estimar la velocidad con la que la pelota sale de tu mano.

Una vez conocida la velocidad de lanzamiento, para estimar la fuerza ejercida

necesitamos analizar la dinámica de la situación mientras la pelota permanece en la mano del

lanzador.

La pelota está siendo sometida a dos fuerzas opuestas, la primera se debe a la acción de la

gravedad y la segunda es el impulso proporcionado por el brazo, entonces:

F m a g

Donde m es la masa de la pelota, a es la aceleración propiciada por el brazo y g es la aceleración

debida a la gravedad.

Con esa expresión para la fuerza podemos escribir:

2

2

hv t a g t

a gh t t

Donde h(t) es la altura desde el hombro hasta el final del brazo extendido hacia arriba y vh(t) es la

velocidad de la pelota durante su trayectoria a lo largo del brazo.

Nos interesa el tiempo t1 que es aquel en el que vh = v0, es decir, el tiempo que ha

transcurrido desde el reposo de la pelota hasta que sale del brazo (por lo tanto h(t1) es la longitud

del brazo). Entonces se tiene:

1 1 0

01

2 2

0 01

2

0

2 2

2

hv t a g t v

vt

a g

v va gh t

a g a g

va g

h

Por lo tanto, la fuerza que ejerce el brazo sobre la pelota, en términos de datos medidos o

previamente conocidos, es:

2

0

2B

vF m g

h

a. Si conoces la altitud máxima alcanzada por la pelota

Dada la ecuación de la altitud en función del tiempo:

2

0 02

gty t v t y

Haciendo y0 = 0:

2

02

gty t v t

La altitud máxima, hmax, es un punto estacionario en la parábola (como función del tiempo)

descrita por esta ecuación. Entonces:

0

0

2

0 0max 0

0 ma

2 2

0 0

x

2

0

0

2

2 2

2

t

dy tgt v

dt

vt

g

v vgh y t v

g g

v v v

g g

v g

g

h

b. Si conoces el tiempo que tarda en regresar a tu mano en el punto de lanzamiento?

La altitud a la que se encuentra la pelota sería y = 0

Entonces se escribe:

0

0

2

0

02

02

2

gty t v t

gtt v

gtv

15. Dos proyectiles se lanzan desde el mismo lugar y simultáneamente con el mismo ángulo,

pero diferentes velocidades iniciales. ¿Es posible que sus trayectorias se crucen antes de

caer al piso? En caso afirmativo ¿De qué depende el que esto ocurra?

Las condiciones iniciales para ambos son (vectorialmente):

0 0 0 0 0 0

0 0

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos sin

0 0

F m gj F m gj

a gj a gj

v v i v j v v i v j

x x

Donde α y β distinguen a los proyectiles y θ es el ángulo de disparo.

Las ecuaciones de movimiento para cada proyectil serían:

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos sin

ˆ ˆ ˆ ˆcos sin cos sin2 2

v t v i v gt j v v i v gt j

gt gtx t v t i v t j x t v t i v t j

La pregunta sería entonces: ¿dado que v0α ≠ v0

β, existe un tiempo t diferente de 0 en el cual

x x ?

Tenemos una ecuación para cada componente:

0 0

2 2

0 0

cos cos

sin sin2 2

v t v t

gt gtv t v t

Dado que t y θ son las mismas de cada lado se llega a:

0 0v v

Lo cual es una contradicción con las condiciones iniciales, por lo que NO es posible que las

trayectorias se crucen.

16. Un muchacho lanza un globo lleno de agua con un ángulo de 53.1° y rapidez inicial de

10 m/s. Un automóvil avanza hacia el muchacho con rapidez constante de 5 m/s. Si el

globo debe alcanzar al coche, ¿a qué distancia del coche debe lanzar el muchacho el

globo?

Si ponemos el sistema de referencia en el muchacho, un esquema de la situación se vería más

o menos así:

y

x

V 0 =

10

m/s

0

0

g = 9.81 m/s2

53.1°

vc = 5 m/s

Las ecuaciones del movimiento para el globo, gl, y el auto, c, serían:

2

0

ˆ 0

ˆ ˆ ˆ10cos 53.1 10sin 53.1 5

ˆ ˆ ˆ10 cos 53.1 10 sin 53.1 52

gl c

gl c

c

gl c

a gj a

v t i gt j v t i

gtx t t i t j x t t x i

Donde x0c es la distancia inicial entre el coche y el muchacho.

Para poder conocer esa distancia, primero hay que asegurarse de que existe un tiempo t en el

cual los vectores de posición coinciden, entonces:

0

2

10 cos 53.1 5

10 sin 53.1 02

gl c

c

x x

t t x

gtt

17. Halla el valor del ángulo con respecto a la horizontal con el que debe lanzarse una pelota

para obtener el alcance máximo en la horizontal si la altura a la que cae es igual a la de

lanzamiento.

RESPUESTA:

La ecuación de Newton para este problema, en notación vectorial, es:

ˆF mgj

Y las condiciones iniciales:

0 0

0 0

0

0

ˆ ˆ ˆ ˆcos sin

0

0

x yv v i v j v i j

x

t

Esto conduce a las soluciones:

0 0 0

2 2

0 0 0

ˆ

ˆ ˆ ˆcos sin

ˆ ˆ ˆcos sin2 2

a gj

v t gtj v v i v gt j

gt gtx t j v t v t i v t j

El alcance será la distancia recorrida en la horizontal desde el lanzamiento de la pelota hasta

que ésta vuelve a tocar el piso. Ponemos esta condición a la componente vertical para obtener

el tiempo de recorrido:

2

0

0

0

0

0

sin 02

sin 02

sin 02

sin2

2 sin

gtv t

gtt v

gtv

gtv

vt

g

Sustituimos este tiempo en la componente horizontal:

2

0 0

0 0

2 sin 2 sin coscos cos

v vv t v

g g

Si queremos conocer el valor del ángulo para que éste recorrido sea máximo entonces

tenemos que encontrar un θ0 que cumpla con:

0

2

02 sin cos0

vd

d g

Entonces:

0

0

2

02sin cos 0

sin cos 0

v d

g d

d

d