tesis billar circular cortado cuántico

8/18/2019 Tesis Billar Circular Cortado Cuántico

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Universidad Veracruzana

Facultad de F́ısica e Inteligencia Artificial

Billar circular cortado cuántico

Trabajo recepcional en la modalidad de:

TESIScomo requisito parcial para obtener el t́ıtulo de:

Licenciado en F́ısica

P R E S E N T A

CARLOS MANUEL RODRIGUEZMARTINEZ

ASESOR:

CARLOS ERNESTO VARGAS MADRAZO

Xalapa Enŕıquez, Veracruz Julio 2014


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Universidad Veracruzana

Facultad de F́ısica e Inteligencia Artificial

Licenciatura en F́ısica

Billar circular cortado cuántico

por Carlos Manuel Rodŕıguez Mart́ınez

Resumen

Se realiza un estudio acerca de las propiedades de un billar circular cortado usando unmétodo basado en simulaciones computacionales. La simulación consiste en considerar la

función de onda en el interior del billar como un conjunto de rayos que sufren reflexiones

en su interior. Estos rayos poseen trayectorias clásicas y se pueden estudiar para conocer

cuál es su contribución para formar el estado cuántico.

Primero se dará una perspectiva de la motivación para realizar este trabajo, siguiendo

con la descripción de los antecedentes relacionados al tema para poder profundizar en

la caracterización del billar. Posteriormente se explicará la metodoloǵıa a usar, para dar

paso a los resultados y su discusión. En los resultados se delimitan las regiones dondelos rayos individuales tienen trayectorias causantes de interferencia constructiva, la cual

se cree que puede ser causante de la formación de un estado cuántico.

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Agradecimientos

A mis abuelos, que desde lejos siempre me han cuidado y apoyado. A ellos les debo

mi carrera.

A mi madre y a mi padrastro, por estar conmigo siempre y apoyarme.

A mi novia, por motivarme siempre con su música.

A mis amigos, que me hicieron disfrutar mucho de la carrera.

Y a los clientes de Café F́ısica , por hacerme pasar buenos momentos y gratas com-

pañ́ıas.

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Índice general

1. Antecedentes 4

1.1. Sistemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Formalismo Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Formalismo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Caos determinista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Ejemplo de sistema mecánico con caos determinista: doble péndulo 9

1.2.3. Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.4. Dimensión fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.5. Sección de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.6. Exponente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Billares dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1. Coordenadas de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2. Billar circular cortado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3. Exponente de Lyapunov en el billar . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4. Sistemas cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1. Pozo de potencial circular y semicircular infinitos . . . . . . . . . . 24

1.4.2. Método de expansión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Metodoloǵıa 31

2.1. Aproximación Eikonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Simulación: Dinámica del billar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Simulación: Rayo individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1. Interacción con las fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2. Algoritmo de ĺınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.3. Error numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5. Simulación: Soluciones utilizando el método de expansión . . . . . . . . . 41

3. Resultados 43

3.1. Región integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1. Densidad de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2. Rayos individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1.3. Suma de rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Región caótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1. Densidad de trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

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ÍNDICE GENERAL 2

3.2.2. Rayos individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Conclusiones 57

5. Apéndice 58

5.1. Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2. QBill: Código fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3. wxChaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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Introducción

En este trabajo se estudia el billar circular cortado cu ántico, el cual se caracteriza por

ser un ćırculo cortado en alguna sección, con longitud variable. El método de estudio

para este billar está basado en simulaciones computacionales. La simulación consiste en

considerar la función de onda en el interior del billar como un conjunto de rayos que

sufren reflexiones en su interior. Estos rayos poseen trayectorias clásicas y se pueden

estudiar para conocer cuál es su contribución para formar el estado cuántico.

Motivación

Con este trabajo se desea investigar cuál es el rol que tienen las trayectorias clásicas

del billar en la formación de estados cuánticos. En el estudio de los sistemas cuánticosse han llegado a observar cicatrices cu´ anticas , que son regiones de mayor densidad en

las funciones de onda que aparecen alrededor de las trayectorias periódicas inestables

del mismo sistema clásico. De aqúı surge la inquietud de conocer cuál es el rol de estas

trayectorias clásicas a la hora de construir un estado cuántico.

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Caṕıtulo 1

Antecedentes

El estudio de los billares requiere definir primero los conceptos de sistemas dinámicos

y caos, ya que son los elementos que los caracterizan. Las caracterı́sticas de las trayec-

torias clásicas y los eigenestados que se presentan en el billar circular cortado ya han

sido estudiadas anteriormente, lo que nos proporciona una base para el estudio de las

caracteŕısticas que se desean investigar en este trabajo.

1.1. Sistemas dinámicos

Los sistemas dinámicos se pueden definir como una regla determinista para describir la

evolución de un sistema conociendo su estado actual. Sea un sistema descrito por un

conjunto finito de variables dinámicas x = (x(1), · · · , x(n)) ∈ Rn, la evolución temporaldel sistema estará descrita por

d

dtx(t) = F(x(t), t).

Para un sistema dinámico, conociendo x

(0) se pueden resolver las ecuaciones para ob-tener el estado del sistema en un tiempo x(t) con t ≥ 0.

Al espacio (x(1), · · · , x(n)) se le denomina espacio fase , y al camino seguido porel sistema durante su evolución temporal por el espacio fase se le denomina ´ orbita o

trayectoria .

De forma más general, a la hora de describir un sistema dinámico más complejo se

debe considerar también la posibilidad de que exista un par´ ametro de control o restric-

ci´ on λ. Este parámetro de control es una constante cuyo valor afecta a la dinámica del

sistema. Un ejemplo de esto puede ser una constricci ón del movimiento, la amplitud

4


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Caṕıtulo 1: Antecedentes 5

Figura 1.1.1: Trayectoria en un espacio fase N = 3 de un péndulo doble. Se pintande diferente color las part́ıculas del sistema.

de una frecuencia o una perturbación externa al sistema, de manera que la evolución

temporal del sistema queda descrita por

d

dtx(t) = F(x(t), t; λ).

1.1.1. Formalismo Lagrangiano

En el estudio de los sistemas dinámicos existen varios formalismos con los que se puede

describir su evolución temporal. Uno de ellos es el formalismo lagrangiano. Se puede

explicar y derivar fácilmente utilizando el principio de mı́nima acci´ on . La acción S es

una magnitud que expresa el producto de la enerǵıa implicada en un proceso por el

tiempo que dura este proceso. El principio de mı́nima acción enuncia: De todas las tra-

yectorias posibles (compatibles con las ligaduras) que puede seguir un sistema dinámico

para desplazarse de un punto a otro en un intervalo de tiempo determinado, la trayec-

toria verdaderamente seguida es aquella que hace mı́nima la acción dada por la integral

temporal de la diferencia entre las enerǵıas cinética T y potencial U

S = t2t1 (T − U )dt,

esto es δS = 0. Se define la función lagrangiana a partir de

S =

t2t1

L(q, q̇, t)dt,

con L(q i, q̇ i, t) = T (q, q̇, t)−U (q, t), donde q (t) es la función que hace mı́nima la acción.Sea q (t, α) un conjunto de trayectorias cercanas dadas por q (t, α) = q (t, 0) + αη(t) tales

que se anulan en los extremos, es decir η(t1) = η(t2) = 0, de manera que la acción sea


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dependiente de este parámetro α

S (α) =

t2t1

L(q (t, α), q̇ (t, α), t)dt,

de aqúı se tiene que la condición para encontrar un punto donde la integral es estacionaria

es dS dαα=0

= 0.

Para encontrar las ecuaciones de movimiento que minimizan la acci ón se hace

∂S

∂α =

t2t1

∂L

∂q

∂q

∂α +

∂ L

∂ q̇

∂ q̇

∂α

dt.

El segundo término de la integral se puede reescribir como

t2t1

∂L

∂ q̇

∂ q̇

∂αdt =

t2t1

∂L

∂ q̇

∂

∂α

dq

dtdt

=

∂L

∂ q̇

∂q

∂α

t2t1

− t2t1

∂q

∂α

d

dt

∂L

∂ q̇ dt

= − t2t1

∂q

∂α

d

dt

∂L

∂ q̇ dt.

Esto es debido a que ∂q∂α

se anula en los extremos t1 y t2. De manera que se obtiene

∂S

∂α =

t2

t1

∂L

∂q − d

dt

∂L

∂ q̇

∂q

∂αdt.

Si se impone la condición de que la integral sea estacionaria

dS dαα=0

=

∂S ∂α = t2t1

∂L

∂q − d

dt

∂L

∂ q̇

∂q

∂αdt

α=0

= 0

entonces se obtiene∂L

∂q − d

dt

∂L

∂ q̇ = 0,

que es la ecuación de Euler-Lagrange. Ésta se puede generalizar a varias dimensiones

realizando un proceso análogo al anterior, quedando de manera más general

∂L

∂q i− d

dt

∂L

∂ q̇ i= 0.

1.1.2. Formalismo Hamiltoniano

En un sistema Hamiltoniano con N grados de libertad, su dinámica se deriva del Ha-

miltoniano H (q, p, t), donde q = (q 1, . . . , q N ) son las coordenadas canónicas y p =


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( p1, . . . , pN ) los momentos. Para obtener las ecuaciones de movimiento de Hamilton se

puede partir del lagrangiano L(q i, q̇ i, t), donde

dL =

N i=1

∂L∂q idq i +

∂L

∂ q̇ i d q̇ i

+

∂ L

∂t dt,

pero se tiene que

˙ pi = ∂L

∂q i

y

pi = ∂L

∂q i.

De aquı́

dL =

N

i=1 ( ˙ pidq i + pid q̇ i) +

∂ L

∂t dt. (1.1.2.1)

Para calcular el hamiltoniano se usa la transformación de Legendre del lagrangiano L

H (q i, q̇ i, t) =N i=1

q̇ i pi − L(q i, q̇ i, t). (1.1.2.2)

También, el diferencial del hamiltoniano es

dH =N

i=1

∂H ∂q i

dq i + ∂ H

∂pi

dpi+ ∂ H ∂t

dt, (1.1.2.3)

y diferenciando (1.1.2.2) se obtiene

dH =

N i=1

( q̇ idpi + pid q̇ i)− dL.

Sustituyendo (1.1.2.1)

dH =N

i=1( q̇ idpi − ˙ pidq i) − ∂ L

∂t dt

y comparando con (1.1.2.3) se obtienen las ecuaciones de movimiento de Hamilton

˙ pi = −∂H ∂q i

, q̇ i = ∂H

∂pi, i = 1, . . . , N ,

las cuales generan las trayectorias q(t), p(t) en un espacio fase de 2N dimensiones.

La relevancia de los sistemas hamiltonianos es que conociendo el hamiltoniano que

caracteriza al sistema se puede conocer su dinámica. Esto será necesario posteriormente

para poder realizar una simulación del billar.


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1.2. Caos

Un sistema caótico es un sistema dinámico que presenta una alta sensibilidad a las

condiciones iniciales, haciendo que su comportamiento futuro tenga una gran variación.

Si bien el conocimiento de la existencia de sistemas caóticos se remonta a los traba-

jos de Henri Poincaré donde analiza la dinámica de un sistema de 3 cuerpos, su estudio

formal comienza en 1963 cuando Edward Lorenz derivó una serie de ecuaciones diferen-

ciales para modelar la convección térmica en la atmósfera. Él definió una distribución

de velocidad v(r, t) y un campo de temperatura T (r, t), y luego en base a las ecuaciones

de Navier-Stokes y algunas simplificaciones, llegó a las llamadas ecuaciones de Lorenz

dx

dt = σ(y

−x),

dy

dt = x(ρ − z) − y,

dz

dt = xy − βz.

Estas ecuaciones son notables por tener soluciones caóticas para ciertos parámetros y

condiciones iniciales. Éste es un ejemplo de caos que se presenta en un sistema totalmente

determinista.

1.2.1. Caos determinista

El término caos determinista se usa para denotar el comportamiento irregular de los

sistemas dinámicos a partir de una descripción puramente determinista de su evolución

temporal, sin necesidad de invocar una fuente externa de ruido o cualquier tipo de

perturbación. Este comportamiento se manifiesta como una fuerte sensibilidad a las

condiciones iniciales, lo cual tiene consecuencias en la predicción de su evolución temporal

a largo plazo.

Si bien un sistema caótico puede estar descrito por una regla determinista, su evo-

lución temporal es imposible de describir en términos de funciones elementales.

Históricamente la existencia de un elemento caótico en un sistema determinista fue

inesperado, y fue aún más inesperado descubrir que el caos determinista puede ser en-

contrado en sistemas simples con pocos grados de libertad, y no ha sido hasta épocas

recientes, con la ayuda de computadoras, que se han podido estudiar a fondo este tipo

de sistemas. A pesar de parecer un caso excepcional, en realidad los sistemas caóticos

suelen ser la regla, y los sistemas integrables la excepción.


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Los billares son un ejemplo de sistema que en su mayoŕıa presentan caos determinista

(no en todos los casos). Esto sucede principalmente porque sus fronteras no son regulares,

haciendo su mecánica muy compleja y sensible a pequeñas variaciones en sus condiciones

iniciales.

Uno de los ejemplos más sencillos para ilustrar el caos determinista es el mapa logı́sti-

co. Éste se construye iterando puntos usando la regla

xn+1 = rxn(1− xn).

Si se grafican los puntos resultantes de esta iteración respecto al valor r se obtiene una

gráfica como la que se muestra en la figura 1.2.1.

Figura 1.2.1: Gráfica del mapa logı́stico, que es un ejemplo ilustrativo del caos deter-minista.

Nótese que el sistema presenta tendencia a ser divergente y caótico en los puntos

r > 3.57.

1.2.2. Ejemplo de sistema mecánico con caos determinista: doble péndu-lo

El doble péndulo es un ejemplo de sistema mecánico que pone en evidencia la complejidad

que pueden generar este tipo de sistemas de construcción simple. Este sistema en su

forma más simple está formado por dos masas colgando de cuerdas de masa despreciable

y sin fricción, donde las masas están sujetas a la acción de la gravedad (figura 1.2.2). Se

desea describir el movimiento de ambas masas.


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Figura 1.2.2: Diagrama del péndulo doble.

Se define al vector r1 en función de los ángulos θ1 y θ2 como

r1 = l

sen(θ1)̂i + cos(θ1)ˆ j

,

cuya derivada es

ṙ1 = l θ̇1cos(θ1)̂i − l θ̇1sen(θ1)ˆ j.

Entonces el cuadrado del módulo de ṙ1 es

ṙ12 = l2 θ̇1

2. (1.2.2.1)

Análogamente para r2

r2 = l (sen(θ1) + sen(θ2)) î + l ( hboxcos(θ1) + cos(θ2)) ˆ j.

Su derivada

ṙ2 =

( θ̇1lcos(θ1) + θ̇2lcos(θ2)

î−

θ̇1lsen(θ1) + θ̇2lsen(θ2)

ˆ j.

El cuadrado de su módulo es

ṙ2 = l2

θ̇12

+ θ̇22

+ 2 θ̇1 θ̇2cos(θ1 − θ2)

, (1.2.2.2)


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de esta manera se puede describir la enerǵıa cinética del sistema como

T = T 1 + T 2 = 1

2m1 ṙ1 +

1

2m2 ṙ2

=

1

2 m1l2

θ̇12

+

1

2 m2l2

θ̇12

+ θ̇22

+ 2 θ̇1 θ̇2cos(θ1 − θ2)=

1

2l2

θ̇12

(m1 + m2) + θ̇22

m2 + 2m2 θ̇1 θ̇2

,

y la enerǵıa potencial se define como

V = V 1 + V 2 = m1gr1y + m2gr2y = −m1glcos(θ1)− m2gl(cos(θ1) + cos(θ2))= −gl((m1 + m2)cos(θ1) + m2cos(θ2)).

De estas magnitudes se obtiene el lagrangiano L = T

−V ,

L = 1

2l2

θ̇12

(m1 + m2) + θ̇22

m2 + 2m2 θ̇1 θ̇2

+gl ((m1 + m2)cos(θ1) + m2cos(θ2)) . (1.2.2.3)

Utilizando la ecuación de Euler-Lagrange se obtienen las ecuaciones de movimiento para

el sistema. Despejando para θ1,

d

dt 1

2l2(2 θ̇1(m1 + m2) + 2m2 θ̇2cos(θ1 − θ2))

= −gl(m1 + m2)sen(θ1) −m2 θ̇1 θ̇2l2sen(θ1 − θ2),

l2 θ̈1(m1 + m2) + m2l2 θ̈2cos(θ1 − θ2) = −m2l2 θ̇22sen(θ1 − θ2)

−gl(m1 + m2)sen(θ1). (1.2.2.4)

Despejando para θ2,

d

dt

1

2l2(2m2 θ̇2 + 2m2 θ̇1cos(θ1 − θ2))

= −glm2sen(θ2) + l2m2 θ̇1 θ̇2sen(θ1 − θ2),

l2m2 θ̈2 + l2m2 θ̈1cos(θ1 − θ2) = m2l2 θ̇12sen(θ1 − θ2)

−glm2sen(θ2). (1.2.2.5)


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Aqúı se tiene un sistema de dos ecuaciones (1.2.2.4 y 1.2.2.5) y dos incógnitas θ1 y θ2.

De aquı́ se obtienen las ecuaciones de movimiento para este sistema:

θ̈1 = −g(2m1 + m2)senθ1 − m2gsen(θ1 − 2θ2)− 2sen(θ1 − θ2)m2(θ̇22l2 + θ̇21l1cos(θ1 − θ2))

l1(2m1 + m2 − m2cos(2θ1 − 2θ2))(1.2.2.6)

y

θ̈2 = 2sen(θ1 − θ2)(θ̇21l1(m1 + m2) + g(m1 + m2)cosθ1 + θ̇22l2m2cos(θ1 − θ2))

l2(2m1 + m2 − m2cos(2θ1 − 2θ2)) . (1.2.2.7)

No es posible obtener la solución en términos de funciones elementales para este par

de ecuaciones diferenciales, lo que pone en evidencia la naturaleza ca ótica del sistema.

A la hora de resolver este tipo de sistemas se suelen utilizar métodos numéricos como el

método de Euler o Runge-Kutta.

Figura 1.2.3: Trayectoria del péndulo doble.

En la figura 1.2.3 se puede ver la dinámica caótica de la trayectoria del segundo

péndulo variando ligeramente las condiciones iniciales. Este ejemplo sirve para ilustrar

la naturaleza caótica de un sistema simple en apariencia y, por lo mismo, para resolverlo

es necesario hacer uso de una simulación por métodos numéricos [6].

1.2.3. Fractales

Los fractales son ob jetos geométricos cuya dimensionalidad no es entera y exhiben auto-

similaridad en todas las escalas. Se suelen construir a partir de reglas iterativas simples,

series complejas o analizando el comportamiento de un sistema f́ısico, entre otros.

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En la naturaleza se pueden observar formas que se asemejan a una estructura fractal:

los rayos, la forma de un romanescu, la forma de algunas hojas, las ramas de un árbol,

etc.

El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo de fractal muy popular que debe su fama

a que fue de los primeros conjuntos de dinámica compleja que mostraron propiedades

fractales. Este se crea a partir de la serie recurrente zn+1 = z2n + c.

(a) (b) Aumento en sección del Mandelbrot.

Figura 1.2.4: Conjunto de Mandelbrot.[13]

Los fractales han sido usados en el terreno art́ıstico para la creación de efectos espe-

ciales, terrenos artificiales o como producto art́ıstico por śı mismos.

En la f́ısica se pueden usar como herramienta de análisis de sistemas caóticos. Si bien

su estructura irregular no da una idea clara de la f́ısica del sistema, existen métodos para

caracterizarlos y poder describirlos de una manera cuantitativa.

1.2.4. Dimensión fractal

La dimensi´ on fractal es una generalización del término matemático de dimensión que

incluye valores no enteros.

En esencia es una magnitud que mide la complejidad que presenta alg ún patrón y/o

cuánto espacio es capaz de llenar la figura. Figuras geométricas regulares como una ĺınea,

un cuadrado o un cubo tendŕıan dimensiones fractales 1, 2 y 3 respectivamente.

Para el análisis numérico la dimensión de Minkowski–Bouligand (más conocida como

dimensión de conteo de cajas) es utilizada frecuentemente. Ésta provee una estimación

del número de cuadŕıculas que llena un objeto respecto al tamaño que se utiliza para

medirlo, y su definición es

D = ĺımε→0

log N (ε)

log(1/ε) ,

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donde N es el número de cuadrı́culas contadas, y ε es el tamaño de la cuadrı́cula.

En la figura 1.2.5 se muestra un ejemplo de un conteo de cajas sobre el mapa de

henón.

Figura 1.2.5: Conteo de cajas en el mapa de henón. Realizado con el software wx-Chaos.

1.2.5. Sección de Poincaré

Una herramienta matemática útil para analizar la dinámica compleja de una trayectoria

en el espacio fase es la secci´ on de Poincaré . Esta técnica consiste en analizar una seccióndel espacio fase colocando una superficie y seleccionando los puntos de intersección con

la órbita del sistema.

Figura 1.2.6: Construcción de una sección de Poincaré.

A partir de esto se puede determinar el tipo de caos que presenta un sistema. Por

lo general la superficie de corte se escoge de tal manera que maximice la cantidad de

información que se puede obtener, es decir, debe ser una región suficientemente visitada

durante su dinámica.


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Un ejemplo lo podemos observar en el oscilador de Duffing

ẍ + δ ẋ + αx + βx3 = γ cos(ωt),

que es usado para modelar ciertos osciladores no lineales. Éste presenta una dinámica

caótica como se muestra en la figura 1.2.7.

(a)(b) Gráfica de su órbita en el espacio fase.

Figura 1.2.7: Dinámica del oscilador de Duffing.

Tomando una secci´ on de Poincaré haciendo un corte en un periodo T = 2πω se obtiene

una gráfica como en la figura 1.2.8.

Figura 1.2.8: Sección de Poincaré del oscilador de Duffing.

1.2.6. Exponente de Lyapunov

La dinámica caótica se caracteriza por una divergencia exponencial de las trayectorias

inicialmente cercanas. El exponente de Lyapunov es una medida de esta divergencia,

caracterizada por un factor λ.


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Se comienza suponiendo dos trayectorias cercanas, x0 y x0 + . Definiendo

n = F n(x0 + )− F n(x0)

= F n

(x0) +

dF n(x0)

dx0 + · · · − F n

(x0),

donde n denota el número de iteraciones del sistema y F n es el sistema iterado n veces.

Considerando que F n = F (F n−1), entonces

n = 0dF n(x0)

dx0= 0F

(F n−1(x0))dF (n−1)(x0)

dx0= 0

n−1k=0

F (xk).

Aqúı se supone que las trayectorias divergen exponencialmente, de manera que

n = 0enλ,

entonces

nλ =

n0 =n−1k=0

F (xk).

El exponente de Lyapunov queda definido como

λ = 1

n

n−1

k=0ln

F (xk)

.

La utilidad del exponente de Lyapunov reside en su capacidad para analizar la con-

vergencia de una órbita. Si λ 0 no tiende

hacia ningún valor. Cuando λ = 0 la trayectoria no diverge.

Un ejemplo ilustrativo del uso del exponente de Lyapunov está en el diagrama de

bifurcación del mapa loǵıstico. El mapa loǵıstico se construye a partir de la relación de

recurrencia xn+1 = rxn(1 − xn).

En la figura 1.2.9 se aprecia la transición a la sección caótica, y su gráfica del expo-nente de Lyapunov que adquiere valores mayores que 0 en la misma secci ón.


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Figura 1.2.9: Mapa loǵıstico junto con su exponente de Lyapunov. La transición a laregión caótica se ve reflejada en el exponente de Lyapunov.

1.3. Billares dinámicos

Los billares son sistemas dinámicos que muestran una dinámica compleja, siendo en

esencia sistemas de construcción simple. Están sujetos a reflexiones cuando la part́ıcula

se encuentra con los bordes del sistema, esta reflexión ocurre sin ninguna pérdida de

energı́a. Pueden ser caóticos o integrables, esto depende de la forma del billar o de sus

condiciones iniciales. Su dinámica se describe a partir del hamiltoniano

H (q, p) = p2

2m

+ V (q ),

donde la forma del potencial es

V (q ) =

0, q ∈ Ω∞, q /∈ Ω .

Ω es la región permitida para la dinámica del billar.

A pesar de su dinámica sencilla, al resolver el sistema éste puede llegar a presentar

caracterı́sticas caóticas.


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Se han utilizado billares para modelar sistemas termodinámicos (Billar de Sinaı́), es-

tudiar caracteŕısticas de las fibras ópticas y resolver problemas de potenciales cuánticos.

La versión cuántica de un billar se suele estudiar resolviendo la ecuación de Helmholtz

(∇2 + k2)φ = 0,

aunque también existen otros métodos como el método de expansi ́on , que se detallará en

la sección 1.4.2.

1.3.1. Coordenadas de Birkhoff

Las coordenadas de Birkhoff son un tipo de coordenadas útiles para describir la dinámica

de un billar. En éstas se considera que toda la frontera del billar es un arco de magnitud

total 1, de manera que se definen

s = posición dentro de la fracción de arco de la frontera,

p = αcosθ,

donde α es la magnitud total del momento y θ es el ángulo entre el vector velocidad y

la normal a la colisión. En el caso del billar que se desea estudiar se puede normalizar

el momento, de manera que α = 1.

Figura 1.3.1: Coordenadas de Birkhoff en colisión con frontera.

La utilidad principal de las coordenadas de Birkhoff en este trabajo es que permiten

visualizar el mapa de Birkhoff, el cual es un análogo a la secci´ on de Poincaré para

los billares. Con esta herramienta se puede visualizar la dinámica del billar fácilmente,

ya que sólo se necesitan las coordenadas de Birkhoff en las colisiones con la frontera.

La dinámica que ocurre dentro del billar no es relevante, ya que la trayectoria de lapartı́cula sólo cambia cuando ocurre la interacción con las fronteras, de manera que no


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resulta necesario conocer la información completa de la órbita del sistema, pues con las

coordenadas de Birkhoff se tiene toda la información necesaria.

1.3.2. Billar circular cortado

Figura 1.3.2: Diagrama del billar circular cortado.

El billar circular cortado es un tipo de billar caracterizado por una forma de disco

cortado en una sección. Sus parámetros más relevantes son:

W : Distancia de corte.

R: Radio del ćırculo.

ω: W R .

Anteriormente se ha realizado el análisis fractal de la dispersión en un billar de disco

cortado en su versión clásica [2]. También se ha realizado un estudio estadı́stico detallado

utilizando simulaciones computacionales [11], pero ambos utilizando sistemas clásicos.

También se han realizado estudios acerca de las regiones que presentan caos en la

versión cuántica del billar de disco cortado [3], habiéndose encontrado en ambos estudios

resultados similares respecto a los parámetros que producen caos en el sistema.

En los estudios centrados en la dinámica clásica del billar se han podido encontrar

regiones donde se aprecia la transición en la dinámica del billar del caos suave al caosduro, siendo ω el factor determinante:

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0 < ω


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Figura 1.3.5: Billar de disco cortado. Diferencia de trayectorias ante una peque ñavariación en las condiciones iniciales.

Figura 1.3.6: Gráfico de barras para el billar circular cortado, donde se mapea laapertura por donde sale la part́ıcula que se introduce al billar; negro si hay transmisióny blanco si hay reflexión. Este tipo de gráfico nos ayuda a identificar la transición entre

caos suave y caos duro, como se muestra en la figura 1.3.7.

Lo interesante de los gráficos de barras es que realizando una gráfica continua para

los valores de ω y φ se puede visualizar la transición entre la dinámica del caos suave y

el caos duro.

Se han realizado estudios [3] acerca de los estados cuánticos que se presentan en este

tipo de billar. Para esto se utilizó el método de elementos de frontera , con el cual se

obtuvieron los eigenestados que se muestran en la figura 1.3.9.

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Figura 1.3.7: Gráfico de barras con transición [11]. Se resaltan de diferente color lasregiones integrables, las de caos suave y las de caos duro. En la regi ón de caos duro los

gráficos de barras adquieren una estructura fractal.

Figura 1.3.8: Dimensión fractal por conteo de cajas df para gráfico de barras como elque se muestra en la figura 1.3.7 [2]. Se calcula la dimensión fractal para cada w. N p esel número total de cajas y N B el número de cajas que poseen un elemento del conjunto

fractal. La transición del caos suave al caos duro se ve reflejada.

Figura 1.3.9: Densidad de probabilidad para algunos eigenestados, con = EmR2

2 . (a)

ω = 0.5 y = 740.79. (b) ω = 0.5 y = 1156.07. (c) ω = 0.9 y = 365.64. (d) ω = 0.9y = 371.99. (e) ω = 1.5 y = 258.03. (f) ω = 1.5 y = 268.80.

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1.3.3. Exponente de Lyapunov en el billar

Con las coordenadas de Birkhoff podemos definir una función que nos permita obtener

un nuevo par de coordenadas a partir de la anterior. Sea,

(sn+1, pn+1) = F (sn, pn).

Para estudiar la divergencia de las trayectorias del billar el término del momento no

es relevante, de manera que se puede considerar s ólo la transformación

sn+1 = F (sn).

La derivada de esta función se puede aproximar

F (sn) F (sn + h) − F (sn)h

= F (sn + h)− sn+1

h ,

pero sn+h es una trayectoria con una condición inicial adyacente a sn, se puede etiquetar

como sn. Entonces

F (sn) sn+1 − sn+1

h .

Aśı el exponente de Lyapunov para el billar queda

λ 1N

N −1n=0

ln

sn+1 − sn+1h ,

donde N es el número de rebotes con las fronteras.

1.4. Sistemas cuánticos

A escalas muy pequeñas, en las cuales se comienzan a apreciar los efectos cuánticos, se

observa que la materia tiene propiedades ondulatorias. En concreto, la enerǵıa es una

función de la frecuencia E = hν , y la longitud de onda está relacionada con el momento

de la part́ıcula p = hν . Esto dio lugar al desarrollo de la ecuaci ón de Schrödinger, que

describe la función de onda para los sistemas cuánticos descritos por un potencial V (r)

Ĥψ(r, t) = − 2

2m∇2ψ(r, t) + V (r)ψ(r, t) = i ∂ψ(r, t)

∂t .

Para casos estacionarios se usa la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Ĥψ(r) = − 22m

∇2ψ(r) + V (r)ψ(r) = Eψ(r).


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Debido a la linealidad de la ecuación resulta conveniente resolver para los estados esta-

cionarios

Ĥψn(r) = E nψn(r).

En esta ecuación E n son los eigenvalores y ψn(r) los eigenestados. Éstos poseen las

siguientes propiedades:

Son ortogonales. Para n = m ∞

−∞

ψ∗n(x)ψm(x)dx = 0.

Forman un conjunto completo. Cualquier solución que satisface

∞

−∞

|ψ(x)|2dx < ∞

se puede expandir en términos de

ψ(x) =m

cmψm(x).

La función de onda ψ(x) permite conocer la probabilidad P (x)dx = ψ∗(x)ψ(x) de

encontrar a la part́ıcula en una región determinada y nos permite obtener informa-

ción del sistema, como valores de expectación < f (x) >= ∞

−∞ ψ∗(x)f (x)ψ(x)dx.

Las eigenfunciones pueden ser multiplicadas por una constante de manera que sean

normalizadas, ası́: ∞

−∞

ψ∗(x)ψ(x)dx = 1,

y ∞

−∞

ψ∗n(x)ψm(x)dx = δ nm.

En algunos casos dentro de este trabajo será útil usar la notacíon bra-ket, con la cual

se simplifican muchas operaciones

Anm =< n|Â|m >= ∞

−∞

ψ∗n(x) Âψm(x)dx.

1.4.1. Pozo de potencial circular y semicircular infinitos

Un caso particular del potencial del billar que se desea estudiar, en concreto el corres-

pondiente a ω = 2, se puede investigar calculando la ecuación de Schrödinger. En este


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caso, con un radio a se tiene un potencial circular

v(r) =

0 r < a

∞ r

≥a .

A partir de la ecuación de Schrödinger

Ĥψ(r, θ) = Eψ(r, θ),

el potencial circular presenta simetŕıas en la parte angular, aśı que se puede simplificar

haciendo uso de la ecuación radial

2

2µr2 r ∂

∂r2

ψ − 2

2µr

∂

∂rψ +

1

2µr2L̂z

2ψ + v(r)ψ = Eψ

con

ψnm(r, θ) = Rnm(r)Θm(θ).

Aśı, resolviendo para la región r < a y con k2 = 2µE 2

, la ecuación radial queda

d2R(r)

dr2 +

1

r

dR(r)

dr − m

2

r2 R(r) + k2R(r) = 0,

cuya solución está en términos de una función ciĺındrica de Bessel

Rnm(r) = AJ m(knmr).

knma

tiene el valor del n-ésimo cero de la función ciĺındrica de Bessel. La parte angular

tiene solución de la forma

Θm(θ) = eimθ.

Esto nos da la solución completa para el pozo de potencial circular infinito

ψnm(r, θ) = AJ m(knmr)eimθ.

n y m son números enteros que están relacionados con los momentos radiales y angulares

respectivamente, que nos dan el conjunto de eigenestados posibles para este potencial.

A es la constante de normalización, entonces la solución queda como se muestra en las

figuras 1.4.1, 1.4.2, 1.4.3, 1.4.4.

La transformada de Fourier para este potencial [8] nos da información acerca de

qué frecuencias contribuyen a la construcción del estado cuántico. Para la solución del

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pozo de potencial circular infinito la transformada de Fourier es

F (ψnm)(k, θk) = δ (knm − k) (−i)m

√ 2πknm

eimθk .

Esto nos dice que para la construcción del estado sólo contribuyen ondas planas con

número de onda knm.

Para el caso del pozo de potencial semicircular infinito se puede trabajar con la

misma solución radial pero imponiendo una condición de frontera para la parte angular.

Definiendo el potencial

v(r) =

0 r < a, |θ| < π2∞ r ≥ a, |θ| ≥ π2 ,

la solución angular es

Θm(θ) = sen

m

θ + π2

.

Esto nos da la solución completa para el pozo de potencial semicircular infinito

ψnm(r, θ) = AJ m(knmr)sen

m

θ + π

2

.

Figura 1.4.1: Eigenestados con n = 1.



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1.4.2. Método de expansión

La ecuación de Schrödinger resulta relativamente simple de resolver en sistemas que

presenten las simetŕıas adecuadas. En la sección anterior se hizo uso de la simetŕıa del

pozo de potencial circular para separar las soluciones en dos partes, una radial y una

angular, de manera que los estados dentro del potencial se pueden describir en base a

dos números cuánticos.

Sin embargo los casos regulares e integrables son la excepción a la regla, existe una

gran variedad de potenciales en los cuales no es posible obtener soluciones anaĺıticas.

En el billar circular cortado la solución no es integrable en la mayoŕıa de los casos, de

manera que es necesario hacer uso de un método numérico para obtener las soluciones.

En esta sección se describirá el Método de Expansi ́on (ME) [7].

Supóngase un billar de forma arbitraria, el cual se puede dividir en tres regiones

(Véase figura 1.4.5)

V (x) =

0, r ∈ I V 0, r ∈ II ∞, r ∈ III .

Figura 1.4.5: (I) Billar 2D genérico. (II) Región rectangular que encierra billar (I).(III) Región de potencial infinito.

La región II es una región rectangular que encierra la región I, que es la que describelas fronteras del billar que se desea estudiar.

Se parte de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Ĥψn(r) =

−

2

2m∇2 + V (r)

ψn(r) = E nψn(r). (1.4.2.1)

Para resolver esta ecuación en el billar se hará una aproximación en la que se utiliza

una condición de frontera de Dirichlet ψ(r)|r∈Γ̄ = 0, donde

Γ̄ es la frontera de la región

II, es decir, una frontera rectangular, y se supondrá un potencial V 0 muy grande, demanera que para fines computacionales sea comparable a un potencial infinito. Con esta

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condición de frontera las soluciones se pueden expresar en términos de

ψ(r) =m

cmφm(r), (1.4.2.2)

donde cm son coeficientes de expansión a ser determinados, y

φm(r) ≡ φm1,m2(x1, x2) =

2

a1sen

π

a1m1x1

2

a2sen

π

a2m2x2

.

Estas funciones φm forman un conjunto ortonormal, de manera que drφn(r)φm(r) = δ nm.

Se inserta la ecuación 1.4.2.2 en la ecuación 1.4.2.1:

Ĥ m

cmφm(r) = E nm

cmφm(r),

m

Ĥφm(r) −E nφm(r)

cm = 0.

Se multiplica por φm(r) en la izquierda

m

φn(r)

ˆHφm(r) − φn(r)E nφm(r) cm = 0,

y al integrar en todo el espacio respecto al vector de posición se obtiene

m

dr

φn(r) Ĥφm(r)

− E n

dr [φn(r)φm(r)]

cm = 0,

m

(H nm − E nδ nm) cm = 0, (1.4.2.3)

que es la ecuación de eigenvalores que se desea resolver. Para esto es necesario encontrar

la forma del hamiltoniano H nm. Partiendo de

Ĥ = − 2

2m

∂ 2

∂x21+

∂ 2

∂x22

+ V (r),

se obtiene

H nm =

d2rφn(r) Ĥφm(r)

= d2r 2π2

2m m21a21

+ m22

a22φn(r)φm(r) + V (r)φn(r)φm(r) .


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Por la forma del potencial es necesario definir

ν nm =

II

d2rφn(r)φm(r), (1.4.2.4)

quedando ası́

H nm =

II

d2r

2π2

2m

m21a21

+ m22

a22

φn(r)φm(r) + V 0φn(r)φm(r)

=

2π2

2m

m21a21

+ m22

a22

δ nm + V 0ν nm.

De esta manera se puede resolver la ecuación 1.4.2.3, y al obtener sus eigenvalores y

eigenfunciones se conocen sus niveles de enerǵıa y soluciones respectivamente.

Con esto se puede implementar un método numérico para encontrar las soluciones.

Debido a los lı́mites computacionales es necesario restringir el número de términos M

en la expansión descrita en la ecuación 1.4.2.2, ya que el tamaño de la matriz H nm que

se desea calcular será de M 2 ×M 2. Los pasos para resolver el sistema son:

1. Escoger los valores M y V 0 considerando la precisión del software/hardware y la

duración de cómputo deseada.

2. Definir las fronteras del sistema.

3. Calcular todos los elementos de ν nm numérica o analı́ticamente utilizando la fron-

tera definida.

4. Construir H nm.

5. Obtener eigenvalores y eigenvectores de H nm, que corresponden a E n y cm.


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Caṕıtulo 2

Metodoloǵıa

El método de estudio para este trabajo consiste en considerar a la función de onda como

un conjunto de rayos que sufren reflexiones clásicas. La aproximación Eikonal se suele

utilizar para realizar la conexión entre ondas electromagnéticas y óptica geométrica. Se

puede utilizar este mismo procedimiento para funciones de onda. Con esto se puede

estudiar la contribución de un rayo individual a la formación del estado cuántico.

2.1. Aproximación Eikonal

La aproximación Eikonal se puede utilizar para establecer una relaci ón entre las ondas

electromagnéticas y la óptica geométrica. En este trabajo se utilizará para justificar el

tratamiento de la función de onda como un conjunto de rayos que sufren reflexiones

clásicas. Para esto se propone el anszat

ψ(q, t) = AeiR(q) .

Introduciendo este anszat

en la ecuación de Schrödinger

∇2ψ(q, t) + 2mE 2

ψ(q, t) = 0,

se obtiene

i∇2R(q, t) − |∇R(q, t)|2 + 2mE = 0.

Ya que R(q, t) ∈ R debe ocurrir que i∇2R(q, t) = 0. En este sentido no se está realizan-do ninguna aproximación, ya que al principio se habı́a definido que se trabaja con ondas

planas de amplitud constante, entonces el término i

∇2R(q, t) debe ser cero. Para ondas

que no cumplen este requisito se puede justificar que para altas frecuencias el término

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Caṕıtulo 2: Metodoloǵıa 32

∇2R(q, t)


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Esto se resuelve con el hamiltoniano

H (x,y ,px, py) = p2x2m

+ p2y2m

+ V (x, y).

De aqúı se obtienen las ecuaciones de movimiento

˙ px = 0,

˙ py = 0.

Integrando este resultado se obtiene

x(t) = ẋ(0)t + x(0),

y(t) = ẏ(0)t + y(0).

Este resultado indica que la dinámica en el interior del billar corresponde a un movimien-

to rectiĺıneo uniforme, de manera que la simulación se restringe a calcular únicamente

lo que sucede en las fronteras del billar. Esto se puede realizar de dos maneras:

1. Calculando la dinámica paso a paso y verificando si hay colisión con la frontera

para cambiar la dirección de la part́ıcula.

2. Calculando las intersecciones con la frontera y de ah́ı escoger la nueva dirección.

A partir del desarrollo del hamiltoniano se observa que la din ámica en el interior no es

relevante, de manera que el método más conveniente para simular la dinámica del billar

es calculando las intersecciones.

2.3. Simulación: Dinámica del billar

La dinámica de la simulación de las colisiones del billar puede resumirse como sigue:

1. Establecer las condiciones iniciales. Fijar los parámetros de las fronteras: cı́rculo y

corte.

2. A partir de la posición y la velocidad de la part́ıcula, avanzar hacia las posibles

intersecciones.

3. Escoger la intersección más cercana y correspondiente a su dirección.

4. Calcular la nueva velocidad de rebote.


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5. Guardar el punto de intersección y volver al paso 2 hasta llegar al número máximo

de iteraciones.

2.4. Simulación: Rayo individual

En estudios anteriores [2] acerca del billar circular cortado, se encontraron zonas que

delimitan la dinámica del billar al caos duro o caos suave, que son dependientes del

parámetro ω. Ante esto surge la duda de si este efecto es notable en las contribuciones

de los rayos individuales.

Para realizar este estudio se realizó un programa que simula la dinámica del billar

circular cortado, y a su vez se estudia el paso de la trayectoria de un rayo con una onda

asociada. A esta propiedad ondulatoria se le denominará onda . El funcionamiento de

este programa consiste en colocar una red o grid sobre el área de simulación del billar

circular cortado, con la cual se podrá registrar información acerca del paso de la onda

que se introduce. Se espera que al variar la longitud de onda se encuentren resultados

diferentes.

(a) Grid sobre el billar.(b) Trayectoria que pasa por el grid .

Figura 2.4.1: Descripción del grid . Se muestran en azul los elementos que contienena la trayectoria, son éstos a los que se les asignará el valor de la fase.

Durante el curso de la simulación la fase de la onda va almacenándose en el grid con

los sucesivos rebotes de la partı́cula, de manera que si se realiza un número considerable

de rebotes será posible obtener una superficie con suficiente información acerca del paso

de la part́ıcula.

Con esta información se puede construir un mapa de densidades que nos ayudar á a

determinar cómo son las estructuras que se forman dentro del billar.

El tamaño del grid

que viene determinado por el número de elementos que posee
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tesis billar circular cortado cuántico

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