SEP SEIT DGIT

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACION Y DESARROLLO TECNOLOGICO

cenidet “DESARROLLO DE UNA METODOLOGIA

PARA LA MODELACION DE REDES DE FLUJOS Y PRESIONES”

T . E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: M A E S T R O EN C I E N C I A S EN I N G E N I E R I A M E C A N I C A

DIRBCTORCS DE TESIS: M.C. JUAN CARLOS RAMOS PABLOS DRA. GADRIELA ALVARIZ GARCIA

3

..

CUERNAVACA, MOR., SEPTIEMBRE DE 1998.

SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOLÓGICOS

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

ACADÉMIA DE LA MAESTRIA EN CIENCIAS EN INGENlERíA MECÁNICA

Cuernavaca, Mor., a 13 de Agosto de 1998.

Dr. Juan Manuel Ricaño Castillo Director P r e s e n t e.

At‘n.: Dra. Gabriela Aivarez Garcia Jefe del Depto. De Ing. Mecánica

Sección Térmica

Por este conducto, hacemos de su conocimiento que, después de haber sometido a revisión el trabajo de tesis titulado:

“Desarrollo de una Metodología para la Modelación de Redes de Flujo y Presiones”

Desarrollado por el Ing. Roberto Calixto Rodríguez y habiendo cumplido con todas las correcciones que se le indicaron, estamos de acuerdo en que se le conceda la autorización de impresión de la tesis y la fecha de examen de grado.

Sin otro particular, quedamos de usted.

A t e n t a m e n t e

ra. Gabriela Alvarez Gar

c.c p.. Expediente

I t r . m a i T ,* --BE- ”-= Institutos Tecnológicos

50 años de educación superior tecnológica en México A(,ivei.yiii<i

APARTADO POSTAL 5-164. CP 62051. CUERNAiACA. MOR. MEXICO-TELS. (73)li 2314. 127613, FAX p3) 12 2434. EMAIL: cenidet1~infosel.net.mx ~ ~~ ~~~ ~

SISTEMA NACIONAL DE INSTITUTOS TECNOLÓGICOS

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Cuemavaca, Mor., a 15 de Septiembre de 1998. e

Ing. Roberto Calixto Rodríguez Candidato al Grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica P R E S E N T E

Después de haber sometido a revisión su trabajo de tesis titulada:

‘‘Desarrollo de una Metodología para la Modelación de Redes de Flujo y Presiones”

Y habiendo cumplido con todas las indicaciones que el jurado revisor de tesis hizo, se le comunica que se le concede la autorización para que se proceda a la impresión de la misma como requisito para la obtención del grado.

Sin otro particular, quedo de usted.

,? A t e n t a m e n t e 1

Jefe del Depto. de Ing. Mecánica Sección Térmica

C.C.P. Servicios Escolares Expediente

6. E. P. D.O.LT. CEKTRO MCKWhL DE

Y R : S A F . R O L L O E r M m suBDlP€Cc16N-~ .;í

.. &:ti,.

Institutos Tecnológicos 50 años de educación superior tecnológica en México

Ah+¡i¡<..

APARTADO POSTAL 5.164. CP 62051. CUERNAVACA, MOR. MÉXICO - TELS. (73)12 2314, 127613, FAX (73) 12 2434 - EMAIL: cenidell@infosei.net.mx

DEDICATORIAS

A MI HIJA Y A MI ESPOSA:

Verónica Ivette y María Trinidad, porque es una fortuna tenerlas a mi lado.

A MIS PADRES:

Salvador Calixto Y

Petra Rodríguez

Gracias por todo lo que me han dado en la vida

A MIS HERMANOS:

Ma. del Carmen, Ma. Estela, Norma Octavio, Manuela, Macrina y Oscar.

AMIS SUEGROS:

Sra. Crimilda Cmz Y

Sr. Servando Aguirre

A MIS CUÑADOS:

Rafaela, Cristian Edith, Ma. Femanda, Jesus y Servando

A MIS FAMILIARES Y AMIGOS

AGRADECIMIENTOS

Deseo expresar mi agradecimiento al Instituto de Investigaciones Eléctricas por la oportunidad brindada para realizar mis estudios de posgrado, al CONACyT por el apoyo económico recibido.

A mis asesores M.C. Juan Carlos Ramos del IIE y a la Dra. Gabriela Alvarez Garcia del Cenidet.

A los integrantes del jurado en mi examen de grado:

Dr. Alfonso Garcia Gutiérrez Dra. Sara Lilia Moya Acosta Dra. Gabriela Alvarez García M.C. Juan Carlos Ramos Pablos

les agradezco sus observaciones, comentarios y sugerencias, que sirvieron para enriquecer el contenido de este trabajo.

TARLA DE CONTENIDO

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INTRODUCCI~N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAP~TULO I

PLANTEAMIENTO DE L PROBLEMA

, . . . . . 1

. . . . . 2

1.1 1.2 I .3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10

., Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . , , . . . . . . . . , , . . . . . . . . . , , 6 Antecedentes históricos del fenómeno . _ . . . . . . . . . . . . . _ _ . . . . . 6 Definiciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Modelación orientada a la simulación . _ . . . . . . _ . . . . . . . _ . . . . . 8 Aplicaciones de la modelación de RFP . . . . . . . . . . . . . . . < . . . . . . 9 Objetivodel trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Descripción del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Precisión . < . . . . _ . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Alcance . . . . < < _ _ . . . . . . . < . . . . . . . . . . . . . < . . . . . . . . . < . . . . . . 12 Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

CAP~TULO 2

ANTECEDENTES EN EL MODELADO DE LAS RFP

2.1. 14 2.2. 14

2.3. Modelación matemática y adquisición de datos en tiempo real. . . . . 16 2.4. 17 2.5 18

Introducción Factores que afectan el comportamiento de un modelo

Áreas de aplicación de la simulación matemática de flujo de fluidos. . . Estrategias de modelación . . . . . . . . . . . , . , . . . . . . . , , . . . . . . . . . . .

, , . , . . . . , . . . , . , . . , . . . . , . , . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Herramientas de la simiilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 Métodos de análisis de RFP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.1 RFP en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7.2 RFP en estado transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

CAPITULO 3

DESARROLLO DE MODELOS DE FLUdO

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. El proceso de modeiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3. Suposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4. Aproximaciones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5. Ecuaciones gobernantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5.1. Integración del flujo en el término de perdidas . . . . . . . . . . 26

3.5.2.1 Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5.2.2 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.5.3. Método de características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.5.4. Ecuacioncs para el flujo transitorio incompresible . . . . . . . . . . 36

3.5.4.1 Ecuación de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.5.4.2 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6. Modelosdeflujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.6.1. Modelos de tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6.2. Modelos de válvulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

. .

3.5.2. Ecuacioncs para el flujo transitorio compresible . . . . . . . . . . 27

CAPiTULO 4

E V A L U A C I ~ N DE MODELOS DE FLUJO

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Descripción del sistema fisico . . . . . . . . . . . . . .

42 42

4.3. Pruebas a modelos de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Método de características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Modelos de fliijo incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Variación de parámetros de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4. Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Método de características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Modelos de flujo incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Variación de parámetros de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4.3.1 Factor de peso temporal 4.4.3.2 Factor de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3.3 Número de nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3.4 Paso de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3.5 Modelo de válvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPiTULO 5

METODOLOGíA DE MODELACIÓN D E R FP’s

5.1. 5.2. 5.3.

5.4 5.5

.. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condiciones de aplicación de la metodología Desarrollo de la metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1 Datos de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Cálculo de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.3.1 Resistencia dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.2 Parámetros de perturbación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3.3 Forniulación automática de ecuaciones 5.3.3.4Topología de lared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.4 Datos de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discusión de res~iltados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Cierre total de válvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Cierre parcial de válvula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

44 44 44 48 50 50 51 52 52 57 57 62 71 73

74 75 75 76 78 83 84 85 86 87 88 89 89 90 91

... 111

CAPíTULO 6

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.2 Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

REFERENCIAS . . . . . . . .

BIBLIOGRAFIA GENERAL

. . . 102

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

APÉNDICE A

DESCRIPCI~N DEL CÓDIGO PARA LA SIMULACI~N DE RFP’S

.. A.l Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 A.2 Variables del sistema de software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A.2.1 Estructuras de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 A.2.2 Variables globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.3 Ejecución del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A.3.1 Datos de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A.3.2 Datos de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

iv

NOMENCLATURA

a

A

b

D E f g h

k K 1

m n P 9 t t’ T

A ,

c,,

h,

v Ma i v

U V

V W

X z

Velocidad de propagación de un pulso de presión dentro de un conducto por donde fluye un fluido (m/s) Area (m’) Area de estrangulamiento de una válvula (m’) Resistencia (s2/mS) Coeficiente de descarga de una válvula Diámetro de tubería (m) Módulo de elasticidad del material del tubo (N/m2) Factor de fricción de Darcy-Weisbach Fuerza de gravedad (mis’) Presión expresada en columna de agua (m) Presión constante expresada en columna de agua proporcionada por un tanque (m) Constante inversamente proporcional a la resistencia (m4) Módulo de elasticidad volumétrica del fluido (N/m’) Longitud de la línea (m) Número de Mach Número de nodo Número de componente de una red Presión w/m’) Flujo (m’/s) Tiempo (s) Espesor (m) Tiempo en las gráficas (s) Velocidad del fluido en dirección x (m/s) Velocidad del fluido en dirección y (mis) Volumen (m’) Velocidad del fluido en dirección z (mls) Longitud (m) Altura con respecto a una rcferencia (m)

Símbolos griegos

A Variación (incremento o decremento) h Apertura de válvulas p. Factor de peso p Densidad (kg/m3) T Esfuerzo de corte(N/m’)

Y

RESUMEN

Este trabajo presenta una metodología para modelar flujos en redes de tuberías en estado no estacionario con la suposición de fluido incompresible. La validez de la metodología se manifiesta y ejemplifica a través del desarrollo de un sistema de software que permite simular el comportamiento de diferentes redes.

A partir de leyes físicas, correlaciones empíricas y una serie de suposiciones se obtuvieron diferentes expresiones para representar el flujo en tuberías, se evaluaron dichas expresiones a través de la comparación contra resultados generados con las ecuaciones del golpe de ariete resueltas con el método de características. Se realizó un análisis de sensibilidad a las expresiones obtenidas a fin de determinar su comportamiento y luego se incorporaron al código, siendo estas la base para la simulación del flujo en redes.

El trabajo fue desarrollado debido a la necesidad de contar con una herramienta para simular el comportamiento de redes Iiidráulicas causado por perturbaciones que se dan en operación normal y por ciertos eventos transitorios, tales condiciones son las requeridas en aplicaciones para entrenamiento de personal. Como el objetivo de las simulaciones no son el análisis o el diseño de redes y considerando que en la aplicación requerida es necesaria la rapidez en el cálculo, se plantea utilizar la suposición de fluido incompresible. Esta suposición limita la precisión del sistema, pero simplifica las ecuaciones a resolver, permite mayor rapidez en la obtención de resultados y facilita el uso del sistema.

Aunque en la literatura se reportan muchos trabajos sobre el tema, éstos normalmente abordan aspectos particulares de la inodelación de flujo en redes y no presentan detalles técnicos de la implementación en un código. Por otra parte los paquetes comerciales son caros y no se tiene acceso a los códigos fuentes. En el presente trabajo se describe el proceso completo de modelación, implementación y obtención de resultados de un código para modelar diferentes redes sin modificar el programa.

Como resultado se obtuvo un sistema completo que permite simular en términos generales el comportamiento de los flujos y las presiones en una red ante una perturbación. Los pasos establecidos para desarrollar el sistema, ponen de manifiesto los problemas que se pueden encontrar al desarrollar un sistema de simulación genérico basado en menos simplificaciones o en mayor nivel de detalle.

En el apéndice A se describe el código desarrollado y se anexa el disquete con 10s programas correspondientes, así como un ejemplo de archivos de datos de entrada y salida.

I

El transporte de fluidos a través de conductos es un fenómeno ligado a toda actividad del hombre Se da desde el transporte de la sangre a través de venas y arterias en el cuerpo humano. hasta la distribución de agua en ciudades e industrias. Los sistemas de conducción o de transporte de fluidos pueden ser simples como lo es un tubo a través del cual fluye un fluido entre dos puntos, pero otros pueden ser tan complejos como io son los grandes sistemas de distribución (redes) de agua potable de las ciudades, en los cuales se tiene una gran cantidad de ramales y de circuitos cerrados (lazos). Otros sistemas complejos pueden tener pocos ramales y lazos, pero incluir componentes diversos dentro de los cuales se presentan cambios en las propiedades físicas del fluido a lo largo de su recorrido o incluso cambios de fase.

Como componentes de una red podemos encontrar tuberías, codos, derivaciones, expansiones, reducciones, válvulas, bombas, turbinas, condensadores, diferentes tipos de intercambiadores de calor y una gran diversidad de equipos. Las tuberías pueden estar en posición horizontal, vertical o tener alguna inclinación. Pueden conducir fluidos compresibles como los gases, iiicompresibles como el agua, en dos fases con una de ellas estratificada (como la mezcla de agua y vapor en una tuberia horizontal). El conducto puede ser deformable como lo son algunos materiales sintéticos o totalmente rígido como puede considerarse un túnel de roca bajo ciertas condiciones.

AI igual que en otros procesos, dentro del área de flujo de fluidos en redes se presentan dos estados; el estado no estacionario y el estado estacionario. El estado no estacionario es el estado más general de un sistema y el estado estacionario es una condición especial de este. El sistema (fluido-red) puede ser coiiipresible, ligeramente compresible o incompresible, la diferencia entre éstos reside en la magnitud de los efectos termodinámicos y elásticos. En un sistema compresible normalmente los efectos termodinámicos son dominantes, de modo que no se consideran los efectos elásticos. Por el contrario en un sistema ligeramente compresible se supone que los efectos elásticos son dominantes y no se consideran los efectos termodinámicos. Finalmente, en un sistema incompresible ninguno de los anteriores se incluye, esto implica que una perturbación en cualquier punto de una red se manifiesta al mismo tiempo en toda la red (se atribuye al sistema una velocidad infinita para la propagación de una perturbación).

Por lo tanto en muchos casos aún no se dispone del conocimiento suficiente para formular modelos matemáticos exactos de los procesos y en otros, la modelación da origen a

2

sistemas de ecuaciones difíciles de resolver. Sin embargo, para todo proceso es posible establecer relaciones matemáticas que describan su comportamiento físico en forma aproximada. El grado de aproximación con que un modelo matemático puede representar al flujo de fluidos en redes depende del número y tipo de simplificaciones empleadas.

Algunas simplificaciones permiten obtener soluciones aproximadas o válidas desde el punto de vista de la ingeniería cuyo fin es generar modelos para aplicaciones en análisis ylo diseño de sistemas de flujo. La literatura reporta trabajos orientados a resolver problemas específicos tales como: solución a diversos problemas del estado estacionario [1,2,3,4,5,6,7,8]; trabajos orientados a determinar qué métodos y bajo que condiciones tienen la mejor precisión con el análisis unidimensional [9,10] o con análisis bidimensional [l 11 del estado transitorio. Otros trabajos consideran modelos de componentes independientes (turbina, condensador u otros equipos) [12,13,14,15]; de una sola línea (sin ramales, ni lazos) pero considerando la transferencia de calor [16]; otros modelan sólo una línea pero a través de diferentes métodos [17,18,19, 201, etc.

Actualmente la modelación del flujo en redes no sólo se emplea con fines de análisis y diseño, también se ha extendido a aplicaciones en simuladores de entrenamiento y sistemas de anticipación de eventos en tiempo real [16,17,18,19,21].

El objetivo de este trabajo es desarrollar una metodología para la modelación matemática de redes de flujos y presiones (RFP) en estado no estacionario, que sea independiente de la configuración topológica del sistema y aplicable a fluidos incompresibles adiabáticos.

La literatura normalmente reporta formulaciones que permiten gran nivel de detalle para la modelación de redes de flujos y presiones, pero limitan la implementación genérica de un código ylo hacen que este sea tan complejo que su costo de cálculo es alto. La contribución de este trabajo es el desarrollo de una metodología completa para la modelación de redes de flujos y presiones en estado no estacionario, cuya formulación permita la modelación de múltiples sistemas sin modificar el código y con bajo costo de cálculo. Los aspectos relevantes del trabajo son:

1) El desarrollo de las ecuaciones para flujo en estado no estacionario en tuberías, que son la base para modelar las RFP’s, suponiendo sistema incompresible.

2) La evaluación del nivel de consistencia entre una formulación de un buen nivel de detalle (como lo es la teoría del golpe de ariete) y la formulación basada en la suposición de fluido incompresible.

3

3) La aplicación de algunos conceptos de teoría gráfica lineal para la generación automática de ecuaciones y el uso de facilidades del lenguaje de programación C para definir estructuras de datos y guardar datos en memoria dinámica. La implantación de un código para modelar redes de flujos y presiones en estado no estacionario. Esto implica definir aspectos propios de la mecánica de fluidos, de métodos numéricos y de programación de software.

4)

Los resultados obtenidos muestran las limitantes asociadas con la consideración de tratar a un sistema ligeramente compresible, como si fuera totalmente incompresible, tales limitantes para muchas aplicaciones pueden ser inaceptables. Sin embargo, la metodología abarca los puntos esenciales en el proceso de generar un código genérico de modelación, permite obtener resultados que pueden ser útiles como punto de partida para códigos más precisos y permite estimar el comportamiento aproximado de sistemas. También pone de manifiesto los problemas que pueden encontrarse al abordar el problema a través de otras consideraciones, como pueden ser resolver el sistema por el método de características implícito u otros.

La estructura de esta tesis es la siguiente: el capítulo 1 presenta una revisión histórica de los transitorios de presión y algunos aniecedentes inmediatos. Se describe el problema a resolver, el alcance y la justificación del trabajo.

El capítulo 2 describe en forma general los factores a considerar durante el proceso de modelación y que afectan el comportamiento de un modelo matemático. Se mencionan algunas áreas de aplicación del fenómeno y se describen las tendencias en las aplicaciones. Se enlistan algunos métodos para modelar el comportamiento de los flujos y presiones en redes tanto en estado estacionario como en estado transitorio y se describen los enfoques a través de los cuales pueden analizarse.

En el capítulo 3 se describe brevemente el proceso de modelación y se establece una serie de suposiciones bajo las cuales se desarrolla el resto del trabajo. A partir de las ecuaciones básicas de conservación, se desarrollan los modelos de flujo en tuberías que son la base de la metodología de modelación desarrollada en el capítulo 5 .

En el capítulo 4 se define y se realiza una serie de pruebas para evaluar el comportamiento de los modelos de flujo desarrollados. El capítulo concluye con la discusión. de resultados de las pruebas y la formulación de conclusiones del Comportamiento de los modelos.

El capítulo 5 describe el desarrollo de la metodologia y ejemplifica la aplicación de ésta a la modelación de una RFP particular, cuya topología es variable durante un transitorio. Se presentan algunas pruebas de comportamiento del sistema modelado y una discusión de resultados.

4

El capitulo 6 presenta las conclusiones generales del trabajo y algunas observaciones para traba,jos a futuro.

5

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 INTRODUCCI~N

El flujo de fluidos en redes en estado no estacionario es una área que se ha estado desarrollando rápidamente a partir de la aparición de las computadoras. Antes del uso extensivo de la computadora, la solución a este tipo de problemas estaba limitado debido principalmente a que los procedimientos de cálculo normalmente involucran la solución de grandes sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. La solución numérica de este tipo de sistemas permite formular el problema en términos de ecuaciones algebraicas lineales que dan origen a grandes matrices dispersas.

Aún en el caso del estado estacionario, antes de las computadoras era dificil resolver redes con un pequeño número de componentes, debido a que los sistemas de ecuaciones resultantes son sistemas algebraicos no lineales y a la necesidad de emplear procedimientos iterativos para llegar a una solución.

En este capitulo se presenta una breve revisión histórica del desarrollo del análisis del flujo transitorio en tuberias. A pesar de que los conceptos empleados en el tema no son nuevos, siguen teniendo vigencia y se continúa trabajando ya sea, tratando de minimizar limitantes en algunos mitodos de modelación o extendiendo la aplicación de estos métodos al espacio bidimensional y tridimensional.

1.2 ANTECEDENTES HIST~RICOS DEL F E N ~ M E N O

A fin de dar una visión general sobre el desarrollo del estudio del flujo de fluidos en estado no estacionario, se mencionan algunos eventos relevantes. Parte de estos (hasta antes de 197G) fueron extraídos de la revisión histórica hecha por Chaudhry [22].

El estudio de los transitorios hidráulicos inició con la investigación sobre la propagación de las ondas sonoras en el aire y otros fenómenos similares como la propagación de ondas en un estanque. Euler, en 1759, obtuvo la ecuación diferencial parcial para la propagación de una onda y analizó el flujo de fluidos compresibles e incompresibles. Monge, en 1789, desarrolló un método gráfico para integrar las ecuaciones diferenciales parciales .e

6

introdujo el término de método de características. Helmholtz encontró que la velocidad de las ondas de presión en agua contenida en una tubería es menor que en agua sin confinar, él atribuyó esta diferencia a la elasticidad de las paredes de la tubería. Menabrea, en 1858, fue el primero en analizar el problema del golpe de ariete. Gromeka, en 1883, incluye en el análisis anterior las pérdidas por fricción. Joukowski en 1897, en Rusia y Frizzel, en 1898, en Estados Unidos desarrollaron expresiones para la velocidad de propagación de las ondas de presión del golpe de ariete y para el aumento de presión debido a la reducción instantánea del flujo. También discutieron sobre los efectos de los ramales en una linea y la reflexión de las ondas.

Joukowski con sus experimentos publicó su reporte clásico sobre la teoría básica del golpe de ariete y desarrolló una formula para la propagación de ondas tomando en cuenta tanto la elasticidad del agua como la de las paredes de la tubería. Allievi, en 1902, publicó su teoría general sobre el golpe de ariete y demostró que el término u (du / dx ) en la ecuación dinámica no es importante cuando se compara con los otros términos y puede despreciarse. Los trabajos de Joukowski y Allievi fueron empleados ampliamente durante las dos primeras décadas de este siglo.

Wood, en 1926, introduce el método gráfico para analizar el golpe de ariete. Bergeron, en 1931, extiende el método para determinar las condiciones en secciones intermedias de una tubería. Schnyder, en 1932, fue el primero en incluir las pérdidas por fricción en el análisis gráfico. De 1940 a 1960, se publicaron varios artículos sobre el análisis del golpe de ariete y aparecieron libros como: Rich (1 95 l) , Hydraulic Transient; Jaeger (1956), Engineering Fluid Mechanics y Parmakian (i955), Waterhammer Analysis. Gray, en 1953, inicia el uso de la computadora empleando el método de características para analizar el fenómeno. Streeter y Wylie, en 1967, publican su libro Hydraulic Transients, en donde se hace un uso extensivo de la computadora para analizar el golpe de ariete empleando el método de caracteristicas.

Otras publicaciones sobre el tema posteriores a 1976 son las de Fox (l977), Hydraulic Analysis of Unsteady Flow in Pipe Networks [23]; Chaudhry (1979), Applied Hydraulic Transients [22] y las revisiones de Hydraulic Transients [24] de Wylie y Streeter que cambiaron de titulo a Fluid Transients [25] en 1978 y 1982 y la ultima versión de la misma obra Fluid Transients in Systems, 1993 [26]. Un trabajo que ejemplifica el estado actual del estudio en esta área, es el trabajo presentado por Brunone [ 1 1 J a finales de 1995, en este se discuten los efectos del análisis bidimensional y su comparación con el análisis unidimensional cuando se modela el flujo transitorio en tuberías.

Actualmente el método de características sigue siendo la herramienta más empleada para resolver problemas de flujo transitorio en redes, y se trabaja en minimizar sus limitantes.

1.3 DEFINICIONES IMPORTANTES

Compresibilidad de un fluido: es una medida de la magnitud de deformación de un fluido (dilatación o contracción). La compresibilidad de un liquido se expresa mediante el módulo de elasticidad volumétrica K, donde K=dP/(dV/V), dP es el cambio diferencial de presión, dV es el cambio diferencial del volumen y V e s el volumen inicial. Como los líquidos tienen grandes valores de K, para propósitos prácticos se consideran incompresibles, por ejemplo para el agua, un incremento de presión de 1 atmósfera causa un cambio de volumen de aproximadamente 0.005 %, y a medida que se comprime, su resistencia a la compresión aumenta.

Flujo incompresible: es aquel en donde la dilatación cúbica unitaria es despreciable, de modo que en el sistema fluido-tubería los efectos elásticos y termodinámicos del fluido y los efectos elásticos de la tubería son despreciables.

Velocidad del sonido en un ,fluido: es la velocidad a la que viaja una perturbación infinitesimal de presión a través de un fluido.

Golpe de Ariete: es un proceso dinámico en el que se presenta la interconversión de energía cinética y elástica debido a la elasticidad del sistema fluido-conducto.

Red de fIujos y presiones: Se conoce como red de flujos y presiones (RFP) a aquella serie de equipos (secciones de tuberías, válvulas, bombas, codos, reducciones, etc.), conectados entre si, para conducir un fluido entre dos o más puntos.

I .4 MODELACIÓN ORIENTADA A LA SIMULACI~N

Los avances tecnológicos de nuestro tiempo han impulsado el desarrollo de simuladores aplicados en diversas áreas de la actividad del hombre [27]. Así, encontramos simuladores de naves espaciales, simuladores de cabinas de aviones, simuladores de cuartos de control de centrales nucleares [28], simuladores de centros de control de energía, etc. Un simulador es una herramienta que permite simular un fenómeno, reproducir las condiciones de funcionamiento de un vehículo, máquina, planta industrial u otro sistema. Un simulador permite el entrenamiento de personal [29], es económico comparado con una instalación real destinada al entrenamiento o al estudio de condiciones y efectos de procesos inducidos, es seguro ya que no pone en riesgo la integridad de personas o el ambiente al simular condiciones extremas de operación.

Un simulador puede estar basado en modelos fisicos o en modelos matemáticos. Dentro del primer tipo se puede ubicar a los que reproducen en menor escala y/o en ambiente

R

controlado fenómenos o condiciones físicas. Dentro del segundo tipo se ubica a aquellos simuladores que reproducen fenómenos y condiciones de funcionamiento basados en modelos matemáticos. Un ejemplo del último son los simuladores númericos.

La metodología de modelación que se presenta en este trabajo está orientada a la simulación numérica de flujo de fluidos en redes.

1.5 APLICACIONES DE LA MODELACIÓN DE REDES DE FLUJOS Y PRESIONES

La modelación de redes de flujos y presiones en estado transitorio puede tener como objetivo algunas de las siguientes aplicaciones:

- El análisis de fenómenos para la determinación de causa-efecto,

- Diseño y dimensionamiento de sistemas (longitud de tuberías, capacidades de los sistemas de bombeo, necesidad de instalación de válvulas de alivio, etc.)

- En simuladores para entrenainiento de operadores de sistemas complejos.

Las dos primeras aplicaciones requieren de modelos detallados a fin de describir adecuadamente la realidad. En algunas aplicaciones para análisis, utilizando el mt5todo de características se encuentran desviaciones del orden del 5 YO [lo], mientras en la detección de fugas es posible determinar flujos de fuga de alrededor del 0.5 % con errores del 2 % en su ubicación [16]. Por su parte. en la Ultima aplicación se podrían permitir mucho mayores desviaciones entre el fenómeno real y la modelación, ya que muchas veces lo que más interesa en este tipo de aplicaciones son las tendencias.

1.6 OBJETIVO DEL TRABAJO

Desarrollar una metodología para la modelación matemática de redes de flujos y presiones (RFP) en estado no estacionario, que sea independiente de la configuración topológica del sistema y aplicable a fluidos incompresibles adiabáticos. El acoplamiento de los modelos de los componentes debe permitir una rápida ejecución durante la simulación.

1.7 DESCRTPCIÓN DEL PROBLEMA

Dado que el objetivo final de la metodología a desarrollar en este trabajo es la generación de un código que permita modelar redes de flujos y presiones, el código deberá contener los

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métodos necesarios y adecuados para modelar diferentes redes bajo condiciones de estado no estacionario. AI final del trabajo se dispondrá de un sistema como el esquematizado en la figura 1.1, en donde los archivos de datos determinarán la topología propia de un sistema a modelar, así como la dinámica de la perturbación que causa el estado no estacionario. Los datos de salida del código deberán ser consistentes con los efectos esperados de la perturbación de un sistema real.

Metodoiogio Código po ro la

nodelacion de núltipies s istenos

FIGURA I. I Código de modelación de redes dejlujos ypresiones

Entre los sistemas que se pueden modelar, el caso más simple es aquel en el que se desea determinar IosJujos ypresiones comofunción del tiempo enpuntos infernos de una línea que conecta dos recipientes de presión conocida. El arreglo se muestra en la figura 1.2. Las causas de perturbación de un estado estacionario pueden ser varias, desde el movimiento en la posición de una válvula, el arranque o paro de una bomba, hasta la ruptura de una tubería.

El conocimiento de las variables en los puntos internos de las trayectorias de un sistema permite prever el comportamiento de sus componentes y determinar SUS tendencias, por efecto de una perturbación.

Con el fin de simplificar el análisis, el sistema fisico puede dividirse en secciones CUYOS

extremos se llaman nodos, en los cuales interesa conocer las variables flujo y presión como función del tiempo. En la parte infenor de la figura 1.2 se muestra el espacio bidimensional tiempo vs. posición; dentro de este espacio se ubican los flujos y presiones del sistema durante el estado no estacionario.

Los límites del sistema en la figura 1.2 son los siguientes: por la izquierda, se encuentra la entrada de la tubería conectada al tanque (en x = O se conocen Pi y 40' en funci6n del tiempo). Por la derecha, se encuentra la salida de la tubería conectada a otro deposito (en x = L se conocen 4; y q,í en función del tiempo). Ambas son condiciones de frontera (en la figura i=0,1 ... n indica posición y j=O, ... m indica tiempo).

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La condición inicial de un estado no estacionario, es el estado estacionario, en donde se conoce tanto 4' como q; sobre cualquier punto intemo de la linea (en tiempo cero).

Flujo y presión en estodo es.toCionOrio (cond. inbciol>

FIGURA 1.2 Linea de lransfrencia de un fluido

El mismo problema en un sistema un poco más complejo puede visualizarse en el diagrama del sistema de Enfriamiento del Núcleo con el Reactor Aislado, mostrado en la figura 1.3. El sistema consta de una trayectoria principal @unto 1, bomba, línea A, punto 2), un lam antes de la succión de la bomba principal y varios ramales después de su descarga (linea B y C). El problema en sí es el mismo y su diferencia reside básicamente en la complejidad para establecer los sistemas de ecuaciones resultantes y su procedimiento de solución. Mientras que en la línea de la figura 1.2, el sistema de ecuaciones resultante da origen a una matriz tridiagonal, la red de la figura 1.3 da origen a una matriz dispersa que puede en teoría resolverse a través de un método iterativo.

FIGURA 1.3. Sisiema de Enfriamienlo del Núcleo con el Reacior Aislado (RCIC)

I 1

Dentro de la Unidad de Resultados de Energía Nuclear del Instituto de Investigaciones Electricas (IIE) se han llevado cabo algunos trabajos de modelado de sistemas de emergencia de una planta nuclear [30]. En ellos se ha abordado el problema de acoplamiento de modelos de componentes de una RFP, resolviendo trayectorias predefinidas en el sistema y al final acoplando los resultados. Este procedimiento provoca comportamientos irreales del sistema, debido ai retraso en el cálculo del sistema completo. Adicionalmente a este problema, se requiere de la generación de un modelo específico para cada sistema.

Por lo tanto, cuando se resuelve una red por trayectorias de flujo separadas, al momento de acoplar las soluciones de cada trayectoria en cada paso de tiempo se observan ciertas discrepancias. En este trabajo se resuelve el problema considerando simultáneamente todas las trayectorias de la red.

1.8 PRECISIÓN

Un modelo siempre estará basado en un grupo de simplificaciones [31], son éstas, junto con las aproximaciones matemáticas empleadas, las que determinan la magnitud de las discrepancias entre el comportamiento de un sistema físico y su modelo. El hecho de que 'las discrepancias sean aceptables o no, dependerá del objetivo final de la modelación y del nivel de detalle que se desea alcanzar. En resumen, cada simplificación aplicada o aproximación matemática empleada, implica una penalización sobre el comportamiento del modelo; a mayor detalle, mayor complejidad en el código y mayor tiempo de ejecución. Por otra parte, a mayor número de simplificaciones, mayores serán las discrepancias observadas respecto a el sistema real.

En el caso del sistema generado a partir del desarrollo de la metodología planteada, se considera la ejecución en computadora personal, con bajo tiempo de cálculo. Bajo estas condiciones ai modelar un sistema que no puede considerarse totalmente incompresible se esperan desviaciones del orden de hasta 50 YO, sin embargo a medida que el sistema modelado se aproxime a la consideración de fluido incompresible se espera mejor precisión.

1.9 ALCANCE

El alcance del trabajo comprende la revisión de los métodos comúnmente empleados y el establecimiento de una metodología para la solución de redes que conducen un fluido incompresible adiabático en estado no estacionario. También incluye la generación de un código para la modelación de redes de flujos y presiones independientemente de la topología de la red.

El análisis es unidimensional y antes de hacer la simulación del estado no estacionario, se deben conocer las condiciones del estado estacionario y la dinámica de las fronteras del sistema a simular. La validación del código y por lo tanto de la metodología, se basa en la comparación de resultados al modelar un sistema especifico, con un método comúnmente aceptado y con el código desarrollado.

El trabajo no incluye el desarrollo de modelos de flujo para muchos de los componentes de los sistemas.

1 .I o JUSTIFICACI~N

Dado que los requerimientos de seguridad tanto para la población, como para el ambiente, obligan a la búsqueda de alternativas para garantizar la operación segura de instalaciones a alta presión o que manejan materiales peligrosos (inflamables, tóxicos, corrosivos o radiactivos), la tendencia actual es la implementación de sistemas de evaluación de riesgos o la anticipación de transitorios en tiempo real [i6]. La modelación matemática del flujo de fluidos puede apoyar el desarrollo de este tipo de sistemas.

Dado que se tiene la necesidad de contar con sistemas de cómputo para hacer simulaciones de flujo en redes y obtener estimaciones rápidas del comportamiento de este tipo de sistemas, dos hechos justifican el trabajo aquí planteado:

I ) , En la literatura no se ha encontrado documentada una metodología de modelación completa para las condiciones descritas.

2) Los paquetes comerciales especializados normalmente son caros, no se tiene acceso a los códigos fuente, de modo que no pueden hacerse modificaciones o conocer detalles particulares de los algoritmos [14], ni de los métodos matemáticos empleados y sus aproximaciones.

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CAP~TULO 2

ANTECEDENTES EN EL MODELADO DE LAS RFP

2. I INTRODUCCI~N

El fenómeno transitorio de prcsión en sistemas de conducción de fluidos ligeramente compresibles se conoce comúnmente también como golpe de ariete, aun en el caso en que la perturbación no sea suficientemente fuerte como para producir sonido. Los métodos empleados en su análisis hasta antes del uso de las computadoras eran gráficos y estaban limitados a redes simples con pequeño número de tuberías. Sin embargo, el uso de computadoras con mayores velocidades de procesamiento de datos, permite crear códigos de simulación para aplicaciones en tiempo real con modelos cada vez más detallados.

En este capítulo se mencionan los factores que se deben tomar en cuenta durante el proceso de modelación del fenómeno a fin dc limitar las discrepancias entre el modelo y la realidad. Se mencionan las tendencias actuales en la aplicación de los modelos matemáticos en el área del transporte de fluidos a través de tuberías. Se indican algunas áreas de aplicación del fenómeno. Se describen las estrategias actuales de modelación. Se señalan algunos elementos empleados por diferentes autores para lograr un mejor comportamiento en simulaciones basadas en modelos matemáticos, por ejemplo, el uso de cálculo paralelo, el uso de bases de datos, etc. Posteriormente se mencionan algunos métodos empleados en la modelación de redes de flujos y presiones, tanto en estado estacionario como en estado transitorio.

2.2 FACTORES QUE AFECTAN EL COMPORTAMIENTO DE UN MODELO MATEMÁTICO

Durante el proceso de modelación, una de las etapas importantes es la definición de los requerimientos de precisión con la que se obtendrán las soluciones. La aplicación específica de un modelo determina la precisión necesaria en sus resultados. Para usar un modelo como herramienta de análisis, la precisión deberá ser mayor que en el caso de aplicaciones en simuladores de entrenamiento [32]. En ambos casos es necesario mantener bajo control las fuentes de imprecisiones.

14

Un simulador consta de uno o varios modelos matemáticos que describen en forma aproximada la realidad en términos matemáticos yío empíricos. Su validez está relacionada con la incertidumbre del modelo. Específicamente, las fuentes de incertidumbre al desarrollar un modelo son:

1) El fenómeno bajo estudio no está totalmente entendido.

2) Los parámetros usados en el modelo se conocen con cierto grado de incertidumbre.

3) Los modelos se simplifican, introduciendo mayor grado de incertidumbre.

4) La confirmación experimental no es posible o no está disponible.

La simulación matemática de un proceso se basa en la ejecución dinámica de un modelo matemático que representa a dicho proceso dentro de cierto rango de precisión. De acuerdo a Metha [33], al describir la dinámica de un fluido a través de herramientas computacionales, se tienen diferentes fuentes de incertidumbres que influyen en el grado con que un modelo matemático describe a la realidad y la refleja en la simulación. En general, las incertidumbres pueden proceder de tres áreas: I ) computacional, 2) de la dinámica de fluidos y 3) de factores humanos.

I ) Incertidumbres computacionales. Una vez que las ecuaciones del modelo se determinan, se desarrollan los algoritmos numéricos para resolverlas. En esta área se presentan tres fuentes de incertidumbres: la equivalencia, la precisión y los errores de programación. En ocasiones los resultados obtenidos a través de la aplicación de un algoritmo en particular dependen de los valores de partida, por lo que no es equivalente partir de dos grupos de datos diferentes. Por su parte, la precisión numérica puede a su vez ser fuente de incertidumbres: primero, debido a la precisión de la aproximación en la discretización, segundo, el procedimiento de solución empleado en un algoritmo puede haber empleado a su vez una aproximación y, finalmente las técnicas empleadas para representar los datos de salida también pueden ser una fuente de incertidumbre.

Incertidumbres de la dinámica de fluidos. En esta área se tienen tres fuentes de incertidumbres debidas a la física de los procesos. La primera es causada por el hecho de que al aislar un fenómeno (hacer simplificaciones) no se incluyan todos los factores que lo afectan; la segunda, es aquella provocada por la incorporación de factores extraños que en principio parezcan tener influencia sobre éste; y la tercera es causada por la modelación inadecuada del fenómeno.

2)

3) El factor humano puede tener cuatro fuentes de incertidumbres: la primera es aquella en la que las personas desarrollan cierta emoción hacia su creación y tienden a visualizarla como una realidad basada en evidencias insuficientes; la segunda es acerca de definiciones y es causada por ambigüedad en el significado y la interpretación de conceptos. La tercera está relacionada con la evaluación de riesgos y básicamente se refiere a la decisión de cuánto se considera un riesgo aceptable. Finalmente, la toma de decisiones es otra fuente de incertidumbre, la cual puede ser reducible dependiendo 'de la experiencia que se tenga sobre el tema.

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2.3 MODELACIÓN MATÉMÁTICA Y ADQUISICIÓN DE DATOS EN TIEMPO REAL

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La tecnología aplicada a la adquisición y procesamiento de datos con fines de control y supervisión de procesos, ha eerniitido disponer de una gran cantidad de datos de proceso concentrados en algunos equipos. Tal es el caso del Integrated Computer System (ICs) de las centrales nucleares de potencia, el cual dentro de sus funciones lleva a cabo el balance de planta, proporciona información del estado, registro y reporte de alarmas, etc. El ICs también tiene como función registrar los datos de la secuencia de eventos durante un transitorio. Durante este tipo, de eventos los fenómenos ocurren en periodos cortos de tiempo, de modo que se requieren altas velocidades de adquisición y registro de datos para su posterior análisis y determinación de causas y efectos. Otros sistemas de adquisición de datos en otros procesos también disponen de este tipo de información con fines de control.

En el caso de sistemas que constan de una sola línea de gran longitud (incluso de cientos de kilómetros). Por ejemplo, en líneas para el transporte de combustibles como los gasoductos, muchas veces también se cuenta ya con sistemas de adquisición de datos para fines de control y supervisión (cuperviiory control and data acquisition, SCADA). La incorporación de modelos del sistema, e jehables en tiempo real (alimentados con condiciones de frontera obtenidas de los mismos datos empleados para la supervisión del proceso), proporciona información que sirve de comparación entre la información recién adquirida y la obtenida a través del model;. Esto permite detectar rupturas de tubería, fallas de equipos o cualquier otro transitorio. Como e,jemplos de esta aplicación están los trabajos publicados por Thomson y Skogman [16], Baghdad¡ y Mansy [17], Kiuchi [18], Liou y Tian [19] y Hansen, Godwin, Wood y Turner [21].

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2.4 ÁREAS DE APLICACiON DE LA MODELACIÓN MATEMÁTICA DE FLUJO DE FLUIDOS I

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t La simulación matemática aplicada al análisis y diseño de redes de tuberías y equipos, en las áreas de la ingeniería civil e hidráulica, ha permitido el desarrollo y optimación de sus sistemas de distribución. Una de las aplicaciones más importantes de estas áreas ha sido en la vigilancia de sistemas de transporte de fluidos que representan riesgo de daños al ambiente y a la población. Esto se debe a que es muy importante limitar las fugas de materiales peligrosos, tanto por razones de seguridad del entorno como desde el punto de vista económico.

Se han realizado varios trabajos para determinar la formulación matemática de los modelos que puedan emplearse en ciertas aplicaciones específicas. Por ejemplo, el trabajo desarrollado por Thomson y Skogman [I61 para la detección de fugas en tuberías con intercambio de calor, se basó' en la formulación de las ecuaciones de continuidad y momento en estado transitorio '$ modelos de transferencia de calor y probó ser adecuado a la aplicación. Por su parte Liou [IO], en un trabajo similar concluye que las ecuaciones para el análisis del golpe de aiiete pueden emplearse para calcular los cambios de masa dentro de una tubería provocadbs por fugas (debidas a rupturas de la misma). Sin embargo, encontró que para ciertos fluidos como los productos derivados del petróleo, estas ecuaciones no son lo suficientemente precisas para detectar fugas en algunos sistemas. Las aplicaciones anteriores se realizaron en sistemas de grandes dimensiones (redes de tuberías de cientos de kilómetros de longitud).

Otra aplicación similar pero en sistemas de dimensiones pequeñas (redes de tuberias de decenas de metros de longitud) fue presentada por Baghdad¡ y Mansy [17]. Ellos proponen un modelo matemático para &alizar puntos de fuga en una tubería y se basan en un

de fugas en sistemas de distribución de agua potable, aunque puede ser aplicable a otros fluidos.

La optimación de redes de tuberías es otra área que resulta beneficiada con la modelación del flujo de fluidos en tuberías (normalmente en estado estacionario). El dimensionamiento de sistemas de tuberías ha sido y sigue siendo una de las principales tareas de muchos ingenieros y aunque comercialihcnte se dispone de varios paquetes computacionales para resolver el problema, ocasionalmente se encuentran problemas que requieren la modificación de los códigos comerciales, lo que no es posible hacer, por lo que se hace necesario desarrollar metodologias propias.

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análisis de flujo unidimensional. \ Su aplicación se centra en la determinación de la ubicación

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El costo asociado a la construcción de una red para el transporte de fluidos es función del diámetro de la tubería empleada. y a menor diámetro, menores costos. Sin embargo, el costo de la energía aumenta con la disminución en el diámetro, lo que resulta en un problema de balancear el costo de la tubería y el costo de la energía necesaria para satisfacer las necesidades de descarga de la tubería. Iiansen et al. [34] desarrollaron un algoritmo orientado a la optimacibn de este tipo de sistemas, usando programación lineal sucesiva. Gyergyek y Presern [35] resolvieron el mismo problema basando su formulación en la ecuación de Hazen-Williams para flujo turbulento y resolviendo con un método iterativo.

2.5 ESTRATEGIAS DE MODELACIÓN

Las aplicaciones antes mencionadas incluyen la modelación de sistemas tanto en estado estacionario como en estado transitorio y en áreas diversas como el de suministro de agua a una ciudad, la transferencia de fluidos entre dos estaciones en la industria petrolera, o bien la modelación de algunos sistemas auxiliares de una planta termoeléctrica o incluso todo el ciclo.

Durante mucho tiempo, la modelación de sistemas se hacía construyendo submodelos específicos para cada componente de un sistema y luego acoplándolos, por lo que cada modelo para cada sistema era único. De este modo, para hacer un análisis o diseño de ciclos térmicos era necesario emplear códigos desarrollados para cada instalación o bien emplear aquellos' que incluían el mayor número de variantes, lo 'que implicaba incrementar el código, el número de iteraciones y su tiempo de ejecución. Actualmente el esquema más generalizado es el descrito por Carcasci y Facchini [14], P e n [36] y Sonnenschein [37]. En sus trabajos se describe el desarrollo de códigos de simulación, que son independientes de la configuración de la planta o sistema. Dado que un sistema está compuesto por un número finito de equipos, normalmente los códigos se desarrollan en forma modular, de modo que cada módulo representa un componente. Sin embargo en los trabajos antes mencionados un sólo módulo puede representar varios equipos. La idea básica es construir una libreria de módulos que puedan representar varios componentes de un sistema y que permita construir modelos de diferentes sistemas a voluntad del usuario.

2.6 HERRAMIENTAS DE LA SIMULACIÓN

En la búsqueda por encontrar formas de manejar información más rápidamente y a volúmenes mayores, se ha incorporado a los simuladores las ventajas que dan los manejadores de grandes bases de datos y la velocidad de procesamiento alcanzada al emplear cálculo en paralelo [38]. En otros casos sólo se utiliza el cálculo paralelo, por

ejemplo, Doster y Richards [39] resuelven sistemas que dan origen a grandes matrices dispersas. Sus resultados, empleando algoritmos de solución en paralelo y el esquema tradicional de cálculo secuencial, indican reducciones en tiempo de cálculo de hasta por un factor de 1 O.

Uno de los objetivos de los simuladores es el entrenamiento de personal de operación de cuartos de control. Su adiestramiento periódico permite que estén preparados para identificar, a través de los instrumentos de un cuarto de control, la ocurrencia de una falla o transitorio y conocer la secuencia de acciones a realizar como medida correctiva, para limitar las consecuencias del evento. Los modelos de un simulador deben ser capaces de incluir la simulación de una gran variedad de fallas y la facilidad de incluir nuevas, sin que esto resulte en abortar la ejecución del programa principal o generar resultados irreales [40].

Una herramienta de la simulación un poco diferente de las arriba mencionadas emplea los conceptos de analogía elécthca. En ésta se plantea crear circuitos analógicos con características especiales para representar los fenómenos que se dan en un sistema donde se presentan fenómenos termohidráulicos. Algunas ventajas son la facilidad para integrar el paralelismo inherente de los procesos y la posibilidad de simular fluidos compresibles e incompresibles. Depiante y Meyer [41] realizaron una serie de comparaciones contra ciertos datos de referencia y encontraron que los resultados obtenidos a través de este método están de acuerdo con los datos de referencia.

2.7 MÉTODOS DE ANÁLISIS DE RFP

En general las ecuaciones que ,describen el flujo de fluidos compresibles e incompresibles son:

- Continuidad - Momento lineal - Energía - Ecuaciones de estado - Correlaciones empíricas - Algunas identidades termodinámicas

I

La solución de estas ecuaciones para analizar las RFP’s puede obtenerse aplicando diferentes métodos englobados ,en métodos para estado estacionario y métodos para estado no estacionario,

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2.7.1 RFP EN ESTADO ESTACIONARIO

El estudio del estado estacionario es interesante desde el punto de vista de muchas aplicaciones practicas y se dispone de varios métodos para su análisis:

- Hardy-Cross - Newton-Raphson - Teoría lineal I

Issacs y Mills [7] presentaron un análisis comparativo entre el método lineal y el método de Newton-Raphson y entre el método lineal y el método de Hardy-Cross, todos implementados en computadora personal. Por su parte, Nielsen [SI llevó a cabo el mismo análisis empleando el método de Newton-Raphson, sin embargo encontró puntos de desacuerdo con las conclusiones de Issacs y Mills. Estos desacuerdos sc refieren básicamente a la afirmación de Issacs y Mills de que al formular las ecuaciones de una red en términos de presiones, en lugar de flujos, se observa mejor convergencia y puede obtenerse fácilmente un vector de inicio.

Por su parte, Wood y Charles [SI proporcionan datos cuantitativos de desempeño de los métodos anteriores, haciendo pruebas sobre un mismo sistema.

2.7.2 RPF EN ESTADO TRANSITORIO

El conocimiento del estado transitorio es importante desde el punto de vista de seguridad y de continuidad en la operación de sistemas. Autores como Pannakian [42], Fox [43], Wylie y Streeter [44] describen diferentes métodos de análisis divididos en dos enfoques:

I ) Teorín de columna rkida. Considera que una columna de fluido se mueve a la misma velocidad a lo largo de la tubería considerada y que la velocidad de propagación de un pulso de presión es infinitamente grande. Por lo tanto, toda perturbación provocada en cualquier punto de la red debe reflejarse instantáneamente en cualquier punto de la misma.'

La teoría se basa en las siguientes suposiciones:

a) El fluido es incompresible

b) La presión no provoca variación en las _-menciones de la tubería, esto es, las paredes se consideran totalmente rígidas.

20

c) La velocidad del fluido en dirección axial de la tubería es uniforme sobre cualquier sección transversal del ducto.

d) La presión es uniforme sobre cualquier sección transversal de la tubería y es igual a la presión en la línea central de la tubería.

De acuerdo a Fox [45], esta teoría proporciona bajo ciertas condiciones, resultados aceptables y puede emplearse para determinar el comportamiento dinámico de sistemas en algunas aplicaciones, siempre y cuando la velocidad de perturbación sea considerablemente mayor que el tiempo que toma la onda de presión en recorrer la longitud de la columna de fluido. Esto se puede presentar en tuberías relativamente cortas.

2) Teoría de colitmna e/dsticu. Considera que cualquier cambio de presión a través de una columna de fluido será transmitido a gran velocidad, pero con magnitud finita. A diferencia de la anterior, la teoría de columna elástica considera la compresibilidad del fluido y la capacidad de deformación de las paredes de la tubería, además del resto de las suposiciones anteriores. I

Por su parte, Chaudhry [46] hace la división de los métodos de análisis en:

I ) Sistemas de pardmetros concentrados. También conocidos como enfoque de volumen de control o enfoque macroscópico, donde ecuaciones diferenciales ordinarias representan a un sistema, en lugar de ecuaciones diferenciales parciales. Un ejemplo de aplicación de este enfoque es cuando se trata con transitorios lentos, en donde pueden despreciarse los efectos de compresibilidad y se cumple con ul/a«l, siendo u la velocidad de flujo, I la longitud de la sección y a la velocidad de propagación de un pulso de presión en esa sección.

Los sistemas de ecuaciones resultantes pueden resolverse por métodos de diferencias finitas. Otros métodos como el de Runge-Kutta de cuarto orden muestran precisión y versatilidad.

2) Sisfemas de pardmetros distribuidos. En este enfoque se incluyen las variaciones tanto temporales como espaciales de varias variables, de modo que un sistema de ecuaciones diferenciales parciales describe el fenómeno. El enfoque permite analizar flujos en dos fases y flujos compresibles. Algunos métodos para analizar el flujo homogéneo son:

a) El método de características

b) El método de diferencias finitas de dos pasos de Lax-Wendroff

21

c) Los métodos de diferencias finitas explícitos

d) Los métodos de diferencias finitas implícitos

Dentro de la teoría de columna elástica o del enfoque de parámetros distribuidos, uno de los métodos más empleados para modelar flujos internos en redes de tuberías, es el método de ecuaciones características ya hue proporciona buenos resultados al analizar transitorios rápidos. También puede emplearse para analizar flujos compresibles, multifásicos y puede extenderse al análisis bidimensional. Este método comúnmente se emplea para evaluar otros métodos numéricos en precisión y eficiencia (como los implícitos),

Los métodos de diferencias finitas implícitos pueden ser usados para resolver las ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas resultantes de la formulación de las ecuaciones del golpe de ariete, Estos métodos son una herramienta importante cuando el criterio de estabilidad de Courant-Friedrichs-Lewy es excesivamente restrictivo con respecto a la selección del paso de tiempo. Se aplican preferentemente a transitorios largos en sistemas donde la fricción es dominante. Arfaie y Anderson [IO] compararon diferentes esquemas de discretización (Cranck-Nicolson, el método totalmente implícito y el método de diferencias finitas centradas de cuatro puntos) para resolver las ecuaciones del golpe de Ariete. Ellos encontraron que el esquema de diferencias centradas de cuatro puntos es el mejor. En su análisis también encontraron que para transitorios rápidos su comportamiento es aún mejor modificando el factor de peso espacial a 0.5 15 en lugar del convencional de 0.5. Los autores también encontraron que la incorporación del término de fricción expresado en diferencias finitas, es otra fuente de inestabilidades que puede afectar la calidad de la solución y presentan una expresión del término que es incondicionalmente estable y da buena precisión.

De acuerdo a Thorley y Tiley [O], si se trabaja en estado transitorio lento (del orden de horas) empleando el esquema de diferencias finitas implícito, se ahorra tiempo de máquina y por lo tanto costo de cálculo, ya que no se requieren pasos de tiempo cortos para obtener estabilidad en la solución. Pero sí ye trabaja con transitorios rápidos (como aquéllos producidos por rupturas de tuberías), el método de diferencias finitas implícito da resultados insatisfactorios, ya que se requieren pasos de tiempo cortos. En esta situación recomiendan el método de malla característica. Con respecto a la precisión, indican que a mayor precisión normalmente se requiere mayor trabajo computacional. El esquema de diferencias finitas implícito es más económico que el esquema de diferencias finitas explícito o el método de malla característica, aunque este último permita obtener resultados más precisos, como lo describe Wylie [47].

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Mediante los métodos mencionados anteriormente se obtienen soluciones en el dominio del tiempo, esto es, la forma en que el transitorio se desarrolla. Sin embargo, algunos problemas de flujo transitorio y principalmente flujo oscilatorio pueden ser resueltos en el dominio de frecuencia. Estos !métodos normalmente usan funciones de transferencia para flujo y presión (método de matriz de transferencia) e impedancia (método de impedancia).

Algunos métodos como el de impedancia utilizan funciones de transferencia para presión, flujo e impedancia. Otras herramientas que se emplean son la linealización de las ecuaciones y el uso de aritmética compleja. Hay otros métodos como el de respuesta de impulso que emplea la transformada de Fourier rápida (FFT) y de acuerdo a Wylie y Streeter [48], permite analizar no sólo flujos periódicos sino también transitorios no periódicos.

23

CAP~TULO 3

DESARROCLO DE MODELOS DE FLUJO

I I

3.1 INTRODUCCI~N

En este capítulo se presenta un resumen del proceso de modelación usado y se indican las simplificaciones y aproximaciones matemáticas empleadas. Partiendo de la ecuación de momento lineal, se emplean cuatro diferentes modelos para representar el flujo a través de una tubería (el de flujo lineal; el de flujo factorizado, el de raiz positiva y el predictor corrector). En teoría todos estos modelos de flujo pueden ser aplicados a cualquier sistema. Sin embargo, su aplicación depende de las características físicas propias de cada sistema de flujo, esto es, dependen del tipo de fluido, sus condiciones termodinámicas y de las características de la tubería (como la rugosidad, el diámetro, etc.). Se desarrollan tres de los modelos anteriores y el modelo de flujo factorizado se toma de la literatura [30].

Dado que es necesario evaluar el comportamiento de cada modelo, se usa cada uno de ellos para modelar un mismo sistema. Los resultados se comparan con aquellos obtenidos al modelar el mismo sistema a través del método de características, el cual comúnmente se emplea como marco de referencia para evaluar métodos basados en esquemas de diferencias finitas [IO] en el estudio del flujo transitorio en tuberías.

El capítulo concluye con la discusión de los resultados de las pruebas a los diferentes modelos y se hacen notar algunos puntos importantes.

3.2 EL PROCESO DE MODELACI~N

Los pasos en el proceso de modelación y validación pueden resumirse como sigue [3 1,491:

-Definir la aplicación específica del modelo, que comprende: Definir el objetivo. , Los requerimientos de precisión. Los criterios de fidelidad.

-Describir el modelo conceptual, que implica: El conocimiento del sistema real a modelar. Funcionalidad del mismo y su entorno.

24 I

- Definir el modelo formal, que comprende: Establecer las suposiciones y hacer las simplificaciones necesarias. Realizar la formulación matemática.

- Generar el modelo digital: Codificar el modelo formal. Verificación del código.

- Validación del modelo,

3.3 SUPOSICIONES

a) Flujo incompresible en estado no estacionario.

b) Las pérdidas por fricción pueden representarse adecuadamente por la fórmula de Darcy- 1

Weisbach [SO].

c) El factor de fricción para flujo incompresible en estado estacionario puede aplicarse al estado transitorio [Sl] y tampén es aplicable a fluidos compresibles [9].

d) No hay variaciones en las propiedades físicas del fluido, durante el análisis.

e) Todas las tuberías se encuentran en posición horizontal.

f) El análisis es unidimensional. Esto se justifica de acuerdo al análisis comparativo realizado por Brunone [1 11, quien encontró que para la mayoría de las aplicaciones, el análisis unidimensional es suficiente, ya que el análisis bidimensional sólo provoca un ligero amortiguamiento en los picos , al considerar un perfil de velocidades.

g) Se desprecia el término u ( d u / dx ) , ya que su contribución es significativamente menor que el término d u / ~ di [52,53].

h) No se consideran las variaciones por cambio de área en accesorios ya que se supone que su efecto es mucho menor al de la precisión de la formulación.

25

3.4 APROXIMACIONES MATEMÁTICAS

1) Los términos diferenciales se aproximan por diferencias con base en el desarrollo de series de Taylor, las cuales se truncan a partir del segundo término [54].

A + B 2) La aproximación de ri f i , a fin de considerar flujos reversos. rn 3.5 ECUACIONES GOBERNANTES

3.5.1 INTECRACION DEL FLUJO EN EL TÉRMINO DE PERDIDAS POR FRICCIÓN

Ya que se supone que la ecuación de Darcy-Weisbach describe las perdidas por fricción en estado estacionario. Su expresión general es

I AP = bq2 (3.1)

en donde AP es la variación de presión correspondiente a la resistencia b y al flujo volumétrico q. Dos de estas variables determinan la tercera. En el caso de flujo transitorio, se abre la posibilidad de flujos'reversos, por lo que si se sigue considerando aplicable (3.1) como se establece en las suposiciones, es necesario modificar (3.1) para aplicarla a esta condición.

De acuerdo a Shimada [SS], la integración del flujo en (3.2) con respecto al tiempo, puede dar origen a diferentes aproximaciones en términos de diferencias finitas. Estas expresiones representan la forma en que cambia la magnitud de las perdidas de presión entre dos pasos de tiempo sucesivos.

La ecuación (3.3) muestra la f o h a integral de (3.2) con respecto al tiempo, aproximada por una ecuación en diferencias finitas.

Si para representar las pérdidas por fricción se emplea una aproximación de primer orden, entonces en (3.3), n + l = n y -9" es el flujo en un paso de tiempo anterior. Esta formulación

26

es la más simple, ya que la variación de la fricción es un término totalmente explícito. Sin embargo, de acuerdo a la literatura, ésta no es una buena aproximación.

Si se emplea una aproximación de segundo orden, se obtiene el modelo lineal (LSAM de sus siglas en inglés) descrito por (3.3). En esa ecuación q" es el flujo en un paso de tiempo anterior y 4

I !

es el flujo en el,tiempo actual.

Un tercer grupo de modelos lo componen aquellos modelos no lineales basados en expresiones del tipo de la ecuación (3.4), en donde nuevamente n+l indica flujo en el tiempo actual

De los modelos no lineales también se derivan otras expresiones como el modelo de Propson-Newton-Raphson (PNR)

y el'esquema del modelo predictor corrector

3.5.2 ECUACIONES PARA EL FLUJO COMPRESIBLE TRANSITORIO EN TUBERfAS

i 3.5.2.1 Ecuación de movimiento

Esta ecuación se obtiene aplicando la segunda ley de Newton en la dirección axial de una tubería. Si se toma como volumen de control un elemento de fluido entre dos secciones transversales separadas entre sí una distancia & (figura 3.1), se tiene entonces

(3.7) du 1 m, dt d + P-6x+pgA6xsenB-r r rD6x= pA6x-

AI dividir (3.7) entre la masa del elemento, pA 6x , resulta

4 5 d u P dx p D d i

- _- 1 3P + g s e n 8 - - - - -

21

(3.8)

AI introducir el nivel de la linea de cargas piezométricas, de la expresión p=pg(H-z), se' obtiene

como

d z - = - s e n B dX

a h 4 5 d u ! + - = o g%+z d t

,

sustituyendo (3.9) y (3.10) en (3.8) se obtiene

z

Nivel de reqerencia !

FIGURA 3. I Diagrama de cuerpo libre para deducir la ecuación de movimiento

Por las suposiciones b y c de la sección 3.3, aplicables a flujo turbulento I

P f U z = 8

(3.9)

(3.10)

(3.1 1)

(3.12)

Sustituyendo (3.12) en (3.1 1) y expresándola en términos de flujo volumétrico q (u=q/A), la ecuación 3.1 1 se transforma en

d h dx 2 D A ' g

_ - (3.13a)

z 2 D 4 Sustituyendo A = - 16 I

28 I

1 o bien

Ir2 D5 8f

donde k = __.

o en términos de resistencia

. (3.13b)

(3.14)

(3.15)

1 donde b = -

kg

Otra forma de expresar las ecdaciones anteriores es en términos de derivadas parciales, de modo que reescribiendo (3.13b) se tiene

(3.16)

Las ecuaciones (3.13) a (3.16) son diferentes expresiones de la ecuación de movimiento de un fluido en una tubería. I

3.5.2.2 Ecuación de continuidad

Si se considera nuevamente ?n volumen de control (figura 3.2), el balance de masa establece que la rapidez de acumulación de la masa dentro de éste, es exactamente igual al flujo neto de masa hacia el mismo volumen de control, esto es

I d d JX dl

- - ( p A u ) 6 x = - ( p A 6 i ) (3.17)

AI desarrollar la ecuación anterior y dividiéndola entre la masa

29

1 d A U d A 1 dp u dp du A d t A d~ p d t p dx dx

+ -- + -- + -- +- - - o -- I

I Nivel de reFerencia

FIGURA 3.2 Volumdn de control para deducir la ecuación de coniinuidad

Aplicando la definición de derivada total a (3.1 8) I

1 d A 1 d p du A d t p d t dx

+ -- +- - - o --

(3.18)

(3.19)

El primer término de (3.19) se refiere a la elasticidad de las paredes del tubo y a su rapidez de deformación con la presi6n. El segundo término tiene en cuenta la compresibilidad del líquido. Respecto a la elasticidad del tubo, la rapidez de crecimiento de su área transversal está dada por

I

nD d A D d P D d t 2 t ' E d t 2 - = (3.20)

donde t' es el espesor del tubo, E es el módulo de elasticidad de Young para el material del tubo y D el diámetro del tubo. 1

De (3.20) se obtiene el primer término de (3.19)

D d P I - -- -- - 1 d A A d t t ' E d t

De la definición de módulo de elasticidad volumétrica de un fluido

(3.21)

(3.22)

30

se obtiene la rapidez de cambio de la densidad dividida entre la densidad ( d p l p)

i 1 d P 1 d P p d t K d r

- --

Sustituyendo (3.21) y (3.23) en (3.19) !

(3.23)

(3.24)

Si se divide la ecuación anterior entre la densidad y entre el coeficiente de la derivada del primer término se obtiene

8 U - 0 1 d P K -- d i + p ( l +

I

(3.25)

De la definición de la velocidad de propagación de una onda de presión en una tubería, u ~561

K (3.26) p

Nótese que u depende del modulo de elasticidad del material de la tubería E, del modulo de elasticidad del fluido K, del diámetro del tubo D, y del espesor de la tubería t '.

Sustituyendo (3.26) en (3.25)

1

O 2 JlA + a - = P d t 8 X

1 d P -_ (3.27)

Sustituyendo (3.9) en la expresión de derivada total

(3.28) dP dP d P d t dX d t _ - - u - + - -

Si el tubo se encuentra en reposo &/¿?=O, y retomando (3.10) I

1 3 1

1 d P d h d h --= u g ( - + s e n 8

d X I

P d l

Sustituyendo (3.29) en (3.27)

d h d h + u - + - + u s e n 8 = O a 2 du g d x ax di _-

(3.29)

(3.30)

Las ecuaciones (3.16) y (3.30). son las ecuaciones de movimiento y continuidad que describen el flujo de un liquido comprecible en estado transitorio en tuberías elásticas.

3.5.3 MÉTODO DE CARACTERíSTlCAS

Si a las ecuaciones (3.16) y (3.30) se les aplica la simplificación u ( & I d x ) .y u ( d h I dx ) , se obtienen las ecuaciones del golpe de ariete:

I

= o f% d h A 8 f q 2 at dx n 2 D 5 -+ gA - +

~

- 0 d q d h a 2 - + g A - - d X dI

La aplicación del método de cara( risticas se ejemplifica resolviendo le golpe de ariete (3.31a) y (3.32a), haciendo

= o 39 d h A 8 f q 2 dl dx n f D S

L , = - + gA -+

(3.31a)

(3.32a)

ecuaciones del

(3.3 Ib)

(3.32b)

Las ecuaciones (3.31b) y (3.32b) forman un sistema de ecuaciones diferenciales parciales hipertiólicas cuasilineales en términos de dos variables dependientes (flujo y presión) y dos variables independientes (distancia a lo largo de la tuberia y el tiempo). Su solución se basa en la combinación lineal de ambas de modo que L = L , + A L , . Esto permite transformarlas en cuatro ecuaciones diferenciales ordinarias.

c+: { -+--+--qlql=o dq gA dh f dt a dt 2DA ~

(3.33)

32

m dt

donde - = a

Y

(3.34)

(3.35)

(3.36) m . I donde - =- a dt

La figura 3.4 muestra la representación fisica de las ecuaciones (3.33) y (3.35) para el flujo en una tubería como la esquematizada en la figura 3.3. A estas ecuaciones se les llama de compatibilidad y son válidas a lo largo de las líneas AP de pendiente positiva y BP de pendiente negativa. Físicamente las líneas indican como se propagan las condiciones de frontera con respecto al tiempo hacia el resto de fluido inicialmente bajo condiciones del estado estacionario.

1 I I

"=o x;L

1

I FIGURA 3.3 Flujo en un tubo bajo dos condiciones de frontera y una condici6n inicial

0 c

B r

I .

1 < x ' X=O

FIGURA 3.4 Propagación de lasfronierm al interior del dudo

Las ecuaciones (3.33) y (3.35) son las más empleadas para resolver los problemas de flujo transitorio a bajos números de Mach por el método de características [57]. Sin embargo,

33

hay aplicaciones en donde los términos de transporte de ambas ecuaciones son importantes, de modo que es necesario emplear (3.16) y (3.18). Este caso se presenta cuando: I ) hay flujos sometidos a altos números de Mach; 2) el término de inclinación es importante; 3) se trata con fluidos complejos (mezclas bifásicas); 4) cuando el sistema de tuberías es muy flexible o 5) en sistemas donde gran parte de la longitud del sistema es vertical. A pesar de que (3.16) y (3.18) presentan mayor complejidad, es posible usar nuevamente el método de características para resolverlas [58].

Expresando tanto q como h en términos de diferencias finitas como se observa en la figura 3.4, a lo largo de la línea característica positiva AP se tendrá

dh = h,. - h, (3.37)

Y a lo largo de la línea característica negativa BP

d h = h, , - h ,

Sustituyendo (3.37) y (3.38) en (3.33) y reacomodando términos

Sustituyendo (3.39) y (3.40)en (3.35)

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

De (3.41) puede obtenerse h,, en el siguiente paso de tiempo sobre C' (línea AP en la figura 3.4). De igual forma de (3.42) puede obtenerse nuevamente h,, sobre C- (línea BP ).

C': h, , = h , - B ( q , . - q . r ) + R q , . I q , I = O (3.43)

en donde B es función de las propiedades fisicas del fluido y de la tubería, y se llama im edancia característica de la línea. f

34

U B = - SA

y R es el coeficiente de resistencia de la linea

(3.45)

(3.46)

Las ecuaciones (3.43) y (3.44) pueden escribirse como

c’ : h; = c, - B,g, (3.47)

c- : hi = c,, + Bug, (3.48)

En donde las constantes C,, , B,. , C,, y B,, se pueden evaluar por estar ubicadas en un paso de tiempo anterior ai valor deseado de h, y q;, esto es

C,, = h, + Bq, B,, = B + RIq,l (3.49)

Por lo tanto, para obtener h o q en el siguiente paso de tiempo en una sección de tubería se emplean las ecuaciones (3.51) y (3.52).

(3.51)

(3.52)

El modelo de una red se construye igualando los flujos en los nodos que unen a los componentes considerando, por ejemplo si la conexión entre una tubería y un equipo es por la izquierda, entonces se usa (3.47) o si es por la derecha. entonces se usa (3.44).

A pesar de que el método es preciso, presenta limitantes respecto a la posibilidad de variar el paso de tiempo. Dado que una red esta formada por componentes múltiples de características fisicas diferentes, cada uno tendrá un valor propio de u. Así cada componente tendrá valores diferentes de At dependiendo de su nodalización. Por otro lado, debido a que es condición del método cumplir con la condición Ai=dr/a, será necesario

35

buscar la forma de cumplirla. Además también debe cumplirse con la condición de estabilidad de Courant ( A t I Ax 5 1 / a ) [59].

El problema anterior puede resolverse bajo ciertas condiciones, por ejemplo, con la definición de valores de di múltiplos del dl más pequeño del sistema o bien interpolando los valores de h y q entre un Al. Sin embargo estas medidas aumentan la complejidad del código, limitan la posibilidad de generar un código genérico para resolver redes de diferente topología y provocan dispersión y disipación numérica. Otra opción para resolver el problema es, ajustar los valores de a. Pero este ajuste distorsiona el comportamiento de los resultados de la simulación como lo indican Ghidaoui y Kerney [60].

Otro factor que limita la aplicación del método a un algoritmo generalizado, es la necesidad de dividir en niimeros pares de secciones, cada tubería componente. Además, dada la precisión del método, deben incluirse componentes tales como codos, entradas, salidas, etc. En este punto cabe resaltar la necesidad de un At único para todo el sistema a fin de poder acoplar los modelos de los diferentes componentes. AI hacer esto, el código crece en complejidad y precisión, pero disminuye la rapidez de ejecución.

La selección del paso de tiempo no es un problema trivial y podría ser dificil su evaluación. Algunos autores recomiendan ciertos criterios para obtener valores aproximados, por ejemplo, de acuerdo a Evangelisti, intervalos de tiempo entre 1/16 a 1/24 del tiempo del transitorio (aproximadamente el tiempo que tarda una onda de presión en viajar de un extremo de una tubería al otro), debe dar resultados suficientemente precisos; por su parte Parmakian y Wylie, indican que debe ser Ai=21/a ( el tiempo que tarda una onda de presión en viajar al otro extremo de la sección y regresar).

3.5.4 ECUACIONES PARA EL FLUJO INCOMPRESIBLE TRANSITORIO EN TUBER~AS

3.5.4.1 Ecuación de movimiento

Partiendo de la ecuación de momento lineal, para Sujo incompresible y propiedades fisicas constantes en la dirección x (forma conservativa) [61]:

d p [ a2u +2+-] d 2 u d ’ u ( 3 , 5 3 ) au 9 82 a x z ay dz2 [: ax ay

du p - +u- +v- +w- = p f , r - x + p ~

AI considerar flujo unidimensional en una tubería con variaciones sólo en la dirección x y a la gravedad como fuerza de cuerpo, (3.53) se reduce a:

36

dU dU dP d2U dt d X d.r

p - + u - = pg,, - d, + /I - (3.54)

De la ecuación de continuidad d u / dx = O para flujo incompresible desarrollado. Por otra

. Este término d r d 2 U parte, la variación del esfuerzo cortante está dada por - = -.u - dX dX

representa las fuerzas viscosas. Por tanto

.(3.55)

La ecuación anterior puede verse como un balance de presiones sobre una línea de longitud

unitaria. El término - puede evaluarse a través de la ecuación de Darcy-Weisbach, para

el caso de las pérdidas de presión por fricción en una tubería:

d r d X

I

(3.56)

Expresando la presión en columna de agua, con P = p g h y la velocidad u en términos de flujo volumétrico q (u=q/A), de (3.55) se llega nuevamente a (3.31)

(3.57)

I I 1

Como el valor de a/& es constante, entonces se puede expresar como la diferencia en h entre la entrada y la salida de un elemento de longitud h.

ók A x (3.58)

donde: h,,,, = h, + z , y h,,,, = h , +z , , y los subindices indican condiciones de salida y entrada respectivamente. En estas expresiones también se pueden incluir las presiones proporcionadas por bombas u otros equipos. De acuerdo a lo anterior en (3.57) solo permanece una variable independiente, por lo tanto la derivada parcial del término de la izquierda puede expresarse como derivada total.

(3.59)

37

o bien

A h q 2 d t A x k g (3.60)

n2 D5 donde k = __ 8 f

3.5.4.2 Ecuación de continuidad

La ecuación (3.18) puede aplicarse a tubos convergentes y divergentes, tuberías cilíndricas con inclinación u horizontales y también es válida para cualquier fluido que llene toda la sección del conducto y para ductos rígidos o altamente deformables. Para sistemas incompresibles y de sección uniforme e indeformable como es el caso en estudio, de (3.18) se obtiene

d U - = 0 dX

(3.61)

Como puede observarse, esta ecuación no considera la variación volumétrica del tubo, ni la del fluido. Integrando se tiene

q,, = q,,+1 (3.62)

La ecuación (3.60) es la base de los modelos a desarrollar en la siguiente sección y (3.62) permite acoplar cada modelo de componente para modelar una red.

3.6 MODELOS DE FLUJO

Como se describió en la sección 3.5.1, al integrar el término de fricción con respecto al tiempo, pueden obtenerse diferentes aproximaciones para este termino, las cuales se sustituyen en la ecuación de movimiento (3.60). A raíz de esta sustitución las variantes en la ecuación de movimiento dan origen a los diferentes modelos de flujo desarrollados en esta sección.

Con la suposición de sistema incompresible (o suposiciones de la teoría de columna rígida), las eciiaciones de continuidad (3.62) y movimiento (3.60) se consideran desacopladas y es esto lo que permite ligar los flujos en los componentes de una red. Esto es, no se permite la

38

variación del flujo a lo largo de las secciones o componentes. Así se pueden tener tantas ecuaciones que expresen el flujo a través de un componente como número de componentes o secciones tenga una red. Como el flujo puede expresarse en función de la presión a la entrada y a la salida de cada componente, entonces puede obtenerse un sistema de ecuaciones sólo en términos de las presiones de la red.

3.6.1 MODELOS DE TUBERiAS

Como ya se mencionó, la integración del término de fricción con respecto al tiempo en la ecuación de movimiento, pemiite obtener diferentes expresiones para evaluar las perdidas de presión por fricción en función del tiempo. Estas aproximaciones deben reflejar el hecho de que los sistemas de transporte de fluidos presentan comportamientos diferentes, dependiendo del tipo de fluido con que se trabaja (pueden ser desde gases hasta líquidos muy viscosos) y de las características físicas de los conductos (rugosidad, diámetro). Dado que no hay un criterio bien establecido para determinar el uso de un modelo específico por perdidas dinámicas, es práctica común probar diferentes modelos para determinar aquel que mejor se ajusta a un sistema en particular.

Si se discretiza la derivada del flujo con respecto al tiempo

d t A t (3.63)

entonces se pueden establecer los modelos de flujo en tuberías en términos de diferencias finitas.

1). Modelo de flu-io lineal

Sustituyendo (3.63), (3.58) y (3.3) en (3.60) se obtiene

dh - = p[h,'A' - h:+ ' ]+ ( I - p ) [ h l + , - h,'] dx con:

4'' + -.--[p(h/'+' g A A I - /I:+,')]- ( 1 - p)(h,"+' - h,") 4 ' " ' = A X A A 114 " I

(3.64)

(3.65)

(3.66)

39

H B

2). Mo delo del fluio fa ctorizado

Sustituyendo las ecuaciones (3.63), (3.58) y (3.4) en (3.60), empleando la expresión

- = & , factorizando q"". y despejando el término cuadrático q"". X

Jx

1 donde: a(i) =

\i AA! (q''+' - q " ) + kg[h(i) - h(+l)]

+1 kAx

(3.67)

(3.68)

(3.69)

AA!

Para efectos de cálculo el término (q"+' - 9") dentro de la raíz, puede aproximarse a partir de (q" - q".'). Esta aproximación dará mejores resultados cuando la variación en el flujo en tres pasos de tiempo sucesivos (n-1, n y n + l ) sea pequeña.

3). Modelo de raíz oosit ¡va

Sustituyendo las ecuaciones (3.63), (3.58) y (3.4) en (3.60), resolviendo la ecuación cuadrática y tomando la raíz positiva (la raíz negativa proporciona valores irreales durante el tiempo de duración del transitorio, aunque tiende a estabilizarse en el mismo valor que la raíz positiva después de la ocurrencia del evento), entonces:

( k A x ) z + kg[h(i) - h(i + i)] + kAx 4'1

/' ( k A x ) z + k g [ h ( i ) - h ( i + l ) ] + kAx q" 4 AA! AA!

4 AAt AAt (f'+' =_- kdir + (3.70)

El término [ h y + ' - h y+: I ] dentro de la raíz se aproxima tomando [ h y - hy+, ]

40

4). Mo delo ured ictor corrector

Sustituyendo las ecuaciones (3.63), (3.58) y (3.6) en (3.60), resolviendo la ecuación cuadrática y tomando la raíz positiva:

(3.71)

3.6.2 MODELOS DE VÁLVULAS

La caída de presión a través de una válvula puede expresarse mediante la ecuación de un orificio restrictor

4 = C , / A , J m (3.72)

en donde el término C,, A,; es el producto del coeficiente de descarga multiplicado por el área de apertura de la válvula. Si se divide el producto anterior en estado transitorio por el mismo producto en estado estacionario y se emplea una variable adimensional para representar la apertura o cierre de la válvula como función del tiempo, resulta la expresión:

(3.73)

Por lo tanto, aplicando (3.72) en estado no estacionario a un instante posterior del estado estacionario, se obtiene un modelo para representar una válvula.

(3.74)

La ecuación (3.74) es un modelo genérico de válvula.

Otros modelos de válvulas basados en la suposición de fluido incompresible se obtienen a partir de los modelos de flujo mencionados en la sección anterior. Cada modelo de flujo en tuberías puede suponerse un modelo de válvula si se modifica el valor de k en las ecuaciones (3.66). (3.68), (3.70), (3.71) o en general en (3.60), de modo que k=k*A, donde la apertura (A) sólo es función del tiempo.

41

CAP~TULO 4

EVALUACIÓN DE MODELOS DE FLUJO

4.1 INTRODUCCI~N

Antes de usar los modelos de flujo desarrollados en el capítulo anterior para modelar RFP’s, es necesario evaluarlos. Para esto, se simula el transitorio producido por el cierre de una válvula en una linea. El modelo de este sistema toma como base a cada uno de los modelos de flujo desarrollados. Como marco de referencia para la comparación, se modela el mismo sistema con las ecuaciones del golpe de ariete resueltas a través del método de características. La evaluación de los modelos también incluye una serie de pruebas, variando algunos de sus parámetros.

Este capítulo concluye con una discusión de resultados y la presentación de conclusiones de lo expuesto.

4.2 DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA FkICO

El sistema fisico a modelar consiste [62] de una tubería larga, en la que uno de sus extremos esta conectado a un tanque y por el otro extremo se conecta a una válvula que descarga a la atmósfera. El tanque mantiene una presión constante a la entrada de la línea. La válvula a la salida de la línea esta al 100 % de apertura. Inicialmente el flujo y las pérdidas de presión por fricción son constantes.

El transitorio inicia cuando la válvula comienza a cerrar y termina cuando la presión en la cara interna de la válvula y a lo largo de toda la línea se equilibra con la presión a la entrada de la tubería. La figura 4.1 presciita el diagrama esquemático del arreglo del sistema.

Las características físicas del sisíema son: presión proporcionada por el tanque, h,( = 150 m; presión a la salida de la válvula, h,, = O rn; Diámetro de la tubería, D = 0.5 m; longitud de la línea, L = 600 m; velocidad de propagación del pulso de presión, a = 1200 m/s; factor de fricción,f= 0.018; flujo voluinétrico, q = 0.4774 m’ls; gravedad, g = 9.806 mis2.

42

Válvu ln

nodos FIGURA 4. I Sistema tubería-válvula y su nodalizacidn

El movimiento de la válvula está dado por la expresión exponencial

donde: d i = 1 , apertura inicial d, = O , apertura final f, = 2.1, tiempo de cierre E , . = 0.75

AI modelar un sistema con las ecuaciones del golpe de ariete y al resolverlas con el método de características, es necesario que se cumpla la relación

Ax At - = a (4.2)

Dado que el valor de a es constante, los únicos parámetros que se pueden variar son Ax y At. AI fijar uno, el otro queda determinado, de modo que si se selecciona Ax grande, At será grande (menor resolución en tiempo). Si Ax es pequeño, At será pequeño. En teoría a medida que el incremento se aproxima a cero la solución tiende a la solución analitica, sin embargo, incrementos pequeños requieren tiempos de cálculo mayores.

Para el sistema que se va a modelar y dado que el tiempo de cierre de la válvula son 2.1 s, un paso de tiempo de 0.05 s, podría dar buena resolución. En estas condiciones Ax = 60 m. A fin de cumplir con el requerimiento anterior, la longitud de la tubería se divide en 10 secciones, cada una de las cuales se une con otros componentes a través de los nodos, tal y como se muestra en la parte inferior de la figura 4.1.

43

Desde el punto de vista matemático. el sistema puede visualizarse como un sistema con 11 componentes conectados en seric. En él podemos identificar 2 nodos externos ( nodo 1 y nodo 12. en donde se conocen las condiciones de frontera) y 10 nodos internos (del nodo 2 al nodo 11. en donde se ubican las incógnitas).

4.3 PRUEBAS A MODELOS DE FLUJO

4.3.1 METODO DE CARACTERÍSTICAS

Partiendo de las ecuaciones (3.51) y (3.52), se modela el sistema descrito en la sección 4.2. Los resultados de la simulación con los datos fisicos del sistema se presentan en las figuras 4.2 y 4.3. La figura 4.2 muestra el comportamiento de la presión durante el transitorio en los nodos 1. 2, 5 , 9 y 1 1, mientras que la figura 4.3 muestra el comportamiento del flujo en los mismos nodos.

4.3.2 MODELOS DE FLUJO INCOMPRESIBLE

En esta sección los modelos de flujo desarrollados se utilizan para simular el sistema descrito en la sección 4.2. bajo las mismas condiciones que se simuló a través del método de características. La figura 4.4 presenta el comportamiento de la presión en el nodo 11, dcterrniiiada con cada uno de los modelos de flujo. También con fines de comparación se incluyen las curvas de presión en los nodos 2 y 11 obtenidas por el método de características. Por su parte la figura 4.5 presenta el comportamiento del flujo, asociado a cada uno de los perfiles de presión de la figura 4.4.

Los resultados presentados en las figuras 4.4 y 4.5 muestran cualitativamente el nivel de consistencia entre las diferentes modelaciones. Las desviaciones observadas principalmente se pueden atribuir a la suposición de fluido incompresible en los modelos desarrollados. También es importante resaltar que el sistema modelado no es muy adecuado para reflejar gran consistencia entre los dos tipos de formulaciones (teoría de columna rígida y teoría de columna elástica), Sin embargo, es muy ilustrativo por el grado de detalle que se obtiene a través del método de características y evidencia las limitantes de los métodos basados en la teoría de columna rígida.

44

50

Tiempo (s)

FIGURA 4.2 Mktodo de caractericticas con n=10 y AT=0.1

0.3 Y&

Tiempo ( 5 )

FIGURA 4.3 MBtodo de caractericticas con n=10 y AT=0.1

45

350

P m

300

250 t c a r a c t h(2)

t c a r a c t . h(l1) lineal h(1l)

+--f. fact. h(l1)

+raaizh(li) t p . corr. h(l1)

. ~ .~ . . . . . . . .~ . ... . ~~ . . . . . . . . . . .. .. . - . . . . .. .. O . N -. V. ? w b. m. cn. N - - - - - - - - - _ N-

0 . - N . O 9 m . a . r - . z . g - - o- o o o o o o

Tiempo (5 )

FIGURA 4.4 Presión en el ultimo nodo interno en cada modelo

: L'O

! 9'0

: S'O

O .- VI O x : 0- 2 o N. Lo Lo O 3 -t 9 O 0.

O O

VI 3 Lo

o;

47

4.3.3 VhRihCiÓN DE PARAMETROS DE LOS MObELOS

Los resultados presentados en las figuras 4.4 y 4.5, corresponden a condiciones particulares para seleccionar dw y Al. Sin embargo, en la formulación presentada en este trabajo pueden manejarse en forma independiente. Otros parámetros susceptibles de variación en la simulación de un sistema, son: el factor de fricción,,L el factor de peso temporal, p, si se supone que hay variación de la presión con respecto a la posición (4.3) [IO]; y el uso de diferentes modelos de válvulas.

Ah dk = -[p(h::' 1 - h:J')+ ( I - p)(hil, - h:.,)] Ax dx 2 A x - II- (4.3)

La tabla 4.1 muestra el resumeii de las pruebas a los diferentes modelos del sistema de la figura 4. I , Las pruebas corresponden a la variación de los parametros: factor de peso temporal. p; factor de fricción. ,fi número de nodos, n; paso de tiempo, At; y diferentes modelos de válvula.

La referencia para la coinparacióii de resultados seguirán siendo los resultados obtenidos por el método de características. en las figura 4.2 y 4.3.

Los resultados de las pruebas se presentan en las figuras 4.6 a 4.22

48

TABLA 4.1 Pruebas a modelos

FLUJO LINEAL FLUJO FACTORIZADO

e W

RAfZ POSITIVA

Cierre de válvula con n = 1 O , At=0.1, f =O.O18y

variando U entre O. 5 v I O. (figura 4.6)

Cierre de válvula con p= 1 , n=lO,Ai=O.lyvariando

(figura4.10) Cierre de válvula con p= I, f= 0.018, A t = 0.1 y variando

n enire 4 v 500. (figura 4.14)

Cierre de válvula con ji= 1,

f enire 0.0001 ~ ' 0 . 4 .

Cierre de válvula con n = 10, At=O.l, f =O.O18y

variando u entre 0.5 v 1 O. (figura 4.7)

Cierre de válvula con p= 1 , n = 1 O, At = O. 1 y variando f entre O. 0001 .v o. 4.

(figura 4.1 I ) Cierre de válvula con p= 1 , f= 0.018, A t = 0.1 y,vuriando

n entre 4 v 500% (figura 4.15)

Cierre de válvula con ,u= I,

Cierre de válvula con n = 10, A i = O . I , f =O.O18y

variando U en b e O. 5 -v IO. (figura 4.8)

Cierre de válvula con p= 1 , n = 1 O, At = O. 1 y variando f entre 0.0001 y 0.4.

(figura 4.12) Cierre de válvula con p= 1 , f = 0.018, dt = 0.1 y variando

n entre 4 v 500. (figura4.16)

Cierre de válvula con u= 1 .

- Cierre de válvula con p= 1, n = 1 O, At = O. 1 y variando f entre O. O001 .v O. 4.

(figura 4.13) Cierre de válvula con p= 1 , f= 0.01 8, Ai = O. 1 y variando

n enire I v 500. (figura 4.17)

Cierre de válvula con p= 1 , f= 0.018, n = 10 y variando

Ai entre 0.01 v 0.2. (figura 4.21)

Cierre de válvula con p = 1, n = 10, Ai = 0.1, f = 0.018 y con dos modelos de válvulas

diferentes. (figura 4.22)

-

f = 0.018, n = 10 y variando

(figura 4.18) Cierre de válvula con p = 1 , n=lO,Ai=O.1 , f=O.O18y con dos modelos de válvulas

dl ferenies. (figura 4.22)

Ai entre O. O1 .v O .2.

PREDICTOR CORRECTOR

At=O.l, f =O.O18y

(figura 4.9)

f = 0.018, n = 10 y variando f = 0.018, n = 10 y variando At enfre 0.01 .v 0.2. Ai entre 0.01 -v o. 2.

(figura 4.19) (figura 4.20) Cierre de válvula con p = 1, n=10,&=0.1 , f =0.018y con dos modelos de válvulas

d[ferenies.

Cierre de válvula con p = 1 , n=IO,Ai=O.l , f =O.O18y con dos modelos de válvulas

diferentes. (figura 4.22) (figura 4.22)

4.4 D I S C U S I ~ N DE RESULTADOS

4.4.1 MÉTODO DE CARACTERiSTlCAS

Las figuras 4.2 y 4.3 presentan las gráficas del comportamiento de la presión y el flujo dentro de la línea de la figura 4.1, obtenidas a través del método de características. Estas gráficas son el marco de referencia para comparar los datos obtenidos a través de los diferentes modelos.

La gráfica de la figura 4.2 muestra el comportamiento de la presión en puntos internos de la línea (nodos I , 2, S1 9, y 1 1 , ver parte inferior de la figura 4.1). La presión máxima ocurre en el nodo 1 1 (entrada de la válvula. h(l1)). Este aumento de presión se debe a la reducción en la velocidad del flujo producida por el cierre de la misma. También se puede observar como se presenta la oscilación de la presión alrededor de la presión proporcionada por el tanque ( h , =I50 m). La oscilación es amortiguada por la resistencia de la línea y cuando el total de la energía se disipa por la fricción, la presión en toda la línea se iguala a la presión de salida del tanque.

La figura 4.3 presenta la gráfica de los flujos (q(l), q(2), q(5), q(9) y q(l I ) ) asociados a los datos de presión de la figura 4.2. En ella se muestran algunos hechos interesantes:

I ) A pesar de que la perturbación del flujo en la válvula, q(i i) , se da en t=O, el flujo q(1). no se ve afectado hasta que PO.4. Esto da una idea del tiempo necesario para que una perturbación en un extremo del sistema se manifieste en el otro.

2 ) Aunque el flujo q( 1 I ) cesa en 2.1 segundos, en el nodo 1 continua habiendo flujo en ambas direcciones durante un tiempo mucho mayor. Esto indica la permanencia de gradientes de presión dentro de la línea. El flujo oscilatorio se debe a que cuando la válvula cierra, la energía cinética del fluido se transforma en energía elástica, luego se convierte en energía cinética y esta interconversión se repite hasta que el total de la energía se disipa en forma de fricción. La energía elástica se manifiesta en deformación axial y radial del volumen del sistema.

Habiendo establecido e interpretado el comportamiento del sistema de referencia, el resto de la discusión de esta sección se centra en el comportamiento y la interpretación de resultados de los modelos de flujo desarrollados.

50

4.4.2 MODELOS DE FLUJO INCOMPRESIBLE

La figura 4.4 presenta el perfil de presión en el nodo 11 (h(l l)), obtenida en base a cada uno de los modelos (lineal, flu.jo factorizado, raíz positiva y predictor corrector). También con fines de comparación se incluye la presión en el nodo 2 y 1 I , obtenida a travésdel método de características. En general, el comportamiento esperado de estos modelos es: ai momento de iniciar el cierre de la válvula, inicia el aumento de presión, se pasa por un máximo, al llegar al cierre total de la válvula, la presión se estabiliza en toda la linea y se iguala a la presión de salida del tanque.

En general los perfiles de presión en otros nodos internos son similares a los del nodo 11. en los diferentes modelos. Su única diferencia es en la magnitud del máximo, de modo que h(l I ) > h(l O), li(1 O) > h(9) .:.h(2) > h( I ) .

En la comparación de los perfiles de presión de la figura 4.4, se pueden distinguir tres tipos de desviaciones. Primero, las desviación con respecto a la magnitud del máximo de presión (con referencia al estado final del sistema). Segundo, las desviaciones que se manifiestan en la distribución espacial del evento. La suposición de fluido incompresible implica que toda perturbación se propaga a una velocidad infinitamente grande, por lo tanto, el transitorio se concentra alrededor de algún punto; Finalmente, las que se manifiestan en la forma de los perfiles. El método de características predice oscilaciones después del cierre de la válvula, sin embargo los modelos no tienen la capacidad para describirlas. Aunque los modelos de raíz positiva y predictor corrector muestran algunas oscilaciones, éstas se atribuyen a la forma de la función de donde se derivaron estos modelos.

Las desviaciones en la magnitud del máximo de presión con respecto al método de características son aproximadamente: +7% para el modelo lineal, -10 % para el modelo de flujo factorizado, +20 % para el modelo de raíz positiva y +34 % para el modelo predictor corrector. Las desviaciones en la posición del máximo con respecto al tiempo son aproximadamente: 30 % para el modelo lineal y 20 'YO para los demás. Con respecto a la forma general de los perfiles, los que mejor se ajustan son el modelo de flujo factorizado y el modelo lineal. Ambos presentan una forma suave y redondeada. Los que menos se ajustan, son el modelo de raíz positiva y el predictor corrector. Su forma es menos redondeada y presentan oscilaciones ajenas al proceso.

La comparación de flujos en la figura 4.5 muestran entre ellos el mismo comportamiento con ligeras diferencias en el tiempo. Sin embargo, comparados con los determinados por el método de características. presciitan fuertes diferencias especialmente con respecto al tiempo.

4.4.3 VARIACIÓN DE PARAMETROS DE LOS MODELOS

Las gráficas presentadas en las figuras 4.6 a 4.22 corresponden a los perfiles de presión en el nodo 11 obtenidos mediante todos los modelos. Los parámetros que se variaron son: factor de peso temporal p (figuras 4.6 a 4.9), la magnitud del factor de fricciónf(figuras 4.10 a 4.13), el número de divisiones de la tubería n (figuras 4.14 a 4.17), la magnitud del paso de tiempo dr (figuras 4.18 a 4.21) y el modelo de válvula (figura 4.22).

, 4.4.3.1 Factor de peso temporal

En las gráficas de las figuras 4.6 a 4.9 se presenta el comportamiento de los modelos de flujo empleando diferentes valores del factor de peso temporal p. Valores mayores y cercanos a 0.5 producen fuertcs oscilaciones y, a medida que p se acerca a 1, tienden a converger a la presión de salida de tanque. Valores mucho mayores de 2 tienden a suavizar el perfil y a distribuirlo en el tiempo. En otras pruebas hechas (no reportadas) se encontró que valores menores a aproximadamente 0.5, producen comportamiento divergente en los perfiles de presión.

Rcspecto a la magnitud del máximo. con valores de p entre 0.7 a 2, éstos varían entre +IO%, excepto para el modelo predictor corrector en donde las desviaciones para p=2 casi son del 90 % , Con respecto a la posición del máximo en el tiempo, a medida que p crece, la ocurrencia del máximo sufre un retardo y los perfiles tienden a ser más suaves. También se observa una tendencia a desaparecer a medida que p aumenta a valores mucho mayores de I , El modelo de flujo predictor corrector es el único que se contrapone a la tendencia observada en los otros modelos.

En general, la tendencia observada eii la simulación del sistema al variar p desde O hasta 1, muestra que a mayor valor mejor comportamiento. Sin embargo, se encontró que aunque para un valor (por ejemplo p=O.6) no se presenten oscilaciones, para un valor ligeramente mayor (como p=0.615) estas pueden ser fuertes.

Físicamente, el efecto de variar el factor de peso tcmporal provoca toinar en cierta medida un porcentaje del valor anterior de la presión. Esto puede ser útil para suavizar picos pronunciados en la modelacióii de sistemas compresibles. Sin embargo, en esta formulación sólo introduce perturbaciones ajenas al fenómeno físico cuando se toman valores menores de 1 y produce atenuación y distorsión de los perfiles de presión cuando se toman valores mayores de I .

52

a

O O O o O o

53

vi e

-100

Tiempo (s)

FIGURA 4.7 Modelo de flujo factorizado con p variable

. . -C p=0.55 + p a 7

p'=1.0

.. p 1 . 5 +p=2.0 t F I O

..~I .....

... -

300

250

200

k

100

50

.. . . ,

4 pi=O.jj t P d . 7

PL=I.O ' - X - f i = I . S -yc p=2

t f i = I O ~ ~~ . . . , . . .

~ .~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~ .. . ~~~ ~ ~ ~ ........ ~ 0 - O 0.1' 0 2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1,7 1.8 1.9 2

Tiempo (SI

FIGURA 4.8 Modelo de flujo de raiz positiva con p variable

l

& O - O O O O O O O O O O O

O 7 '? O O y ? ? 0 O O v ' O N

O u7

56

4.4.3.2 Factor de fricción

El efecto de la variación de este parámetro se observa en las figuras 4.10 a 4.13. En todos los modelos se observa que a bajos factores de fricción (0.001 y O.OOOl), el comportamiento de las curvas de presión se hace indistinguible y paraf-0.01 difiere muy poco. Para valores relativamente altos def (por ejemplo,f= 0.4), en todos los modelos se observa una forma pronunciada en el perfil de presión. Esto se debe principalmente a que la fricción domina fuertemente el proceso. Al incorporar mayor resistencia al flujo por el cierre de la válvula. es como si la válvula cerrara en un tiempo menor y la transformación de la velocidad del fluido en presión, provoca que el aumento de presión sea más rápido, lo que se manifiesta en perfiles más pronunciados.

Cuantitativamente, las desviaciones producidas en el máximo de presión al variarf de O a 0.01 8 son de alrededor de 1 O %. Para valores de PO. 1, las desviaciones son del 20 %, y a valores mayores se forma un pico de presión con mayor desplazamiento en el tiempo. El peor de los casos lo presenta el modelo predictor corrector, confentre O y 0.018 la mayor desviación es 30 %. Para f = 0.1 muestra desviaciones de alrededor del 50%.

Con respecto a la ocurrencia del máximo en el tiempo, hasta valores depO.1, no se aprecia un desplazamiento significativo. Sin embargo, a medida que faumenta el perfil se retarda en su ocurrencia. Este efecto de desplazamiento en el tiempo también lo presentan los resultados de la simulación con el método de características. En general hasta valores menores a 0.1 la forma de los perfiles es similar. pero a medida que se aumenta este valor los perfiles sc hacen más pronunciados, a tal punto que para ,F0.4 los perfiles son prácticamente un pico.

4.4.3.3 Número de nodos

Las figuras 4.14 a 4.17 muestran el comportamiento de los diferentes modelos al variar el número de nodos. En estas figuras se observa que el principal efecto de aumentar el número de nodos es que la ocurrencia del máximo de presión se da en un tiempo menor y se hace ligeramente más pronunciada su forma. A valores más pequeños de n se observa una mayor distribución del transitorio en el tiempo y. por lo tanto, una disminución en la magnitud del máximo de presión.

Los perfiles de presión también muestran que si el término de la ecuación (4.3) realmente fuera un término diferencial, la división de la línea del sistema requeriría de por lo menos 50 divisiones para tener una mejor aproximación del diferencial.

450

400

350

300

4 f = 0 0001 -8.- 1=0 001

f= o1 . f=OO18

+*o 1 -0- f=O 4

Izi m

/ 1 O0

50

FIGURA 4.10 Modelo de flujo lineal con f variable

100

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

Tiempo (s)

\ -+-f=0.0001 t f=0.001

f.O.01

.~

1.4

~ ~~ ~ . . . ~

5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

FIGURA 4.1 1 Modelo de flujo factorizado con f variable

0 0 - f o o r

L L L L L L O O O O - P 0 0 0 0 0 0

t + d + N

O

60

500

450

400

350 I I

300

O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1,9 2 2.1

Tiempo (s)

. . . . +f=O.O001 t f=0.001

-x--f=0.018 +f=0.1 t f = 0 . 4

f=O.Ol

~

FIGURA 4.13 Modelo de flujo predictor corrector con f variable

Los datos cualitativos de la influencia de este paráinetro son los siguientes: en el modelo lineal con n=10 se observan desviaciones en la magnitud del máximo del 10% y 30% con respecto al tiempo, para n=50 son del 20% y 40% respectivamente. En el modelo de flujo factorizado para n=lO, son de 10% con respecto a la magnitud del máximo y 20% con respeto al tiempo. En el modelo de raíz positiva para n=10, se tienen desviaciones de 20%: tanto para la magnitud del máximo, como para su posición en el tiempo. Para n=50, las desviaciones son del 30% en magnitud del máximo y 20% con respecto al tiempo. En el modelo de flujo predictor corrector las direrencias son aún mayores.

4.4.3.4 Paso de tiempo

Las figuras 4.18 a 4.21 presentan el comportamiento de los modelos por la variación del paso de tiempo. A pesar de que los A/ no son muy diferentes se observa la fuerte influencia que estc paráiiietro tiene en los resultados. En las gráficas se observa que a menor A/ la curva se hace más pronunciada y toma un tiempo menor la ocurrencia total del evento. La fuerte diferencia entre los perfiles para dl =0.01 y d! 0.2 se presenta en las gráficas de todos los modelos.

Las desviaciones con respecto a la magnitud del máximo y a la posición en el tiempo con d/=O.01 son: 76% y 150% para el modelo lineal; 54% y 80% para el modelo de flujo factorimdo; 40% y 45% para el flujo de raíz positiva; 46% y 155% para el predictor corrector. Con dp0.4 son: 20% y 25% para el modelo lineal, 1% y 25% para el modelo de flujo factorizado; 20% y 0% para el modclo de raíz positiva; 20% y 10% para el predictor corrector.

La terminación del transitorio descrito por los perfiles de presión ocurre, mucho antes que termine el cierre total de la válvula y pone en evidencia el desacoplamiento entre el modelo del sistema y la dinámica de la válvula. Este desacoplamiento se debe a que a medida que se disminuye A / , todos los demás términos de las ecuaciones de los modelos, aumentan el valor de su contribución a la ecuación, mientras el coeficiente de Ah permanece sin cambio. Esta situación provoca que a valores pequeííos de AI, la contribución de Ah a la dinámica del modelo del sistema sea despreciable. En estas condiciones se esperaría un perfil de presión divergente, sin embargo, llega un momento en que los valores de la resistencia (que es función de q y Ah ) afectan a todos los términos de la ecuación y provocan que la presión caiga a la presión de salida del tanque. Dando la impresión de que el perfil esperado ocurre iiidepeiidienteinente del movimiento de la válvula.

62

T . t

O O o

O Y) N

, N-

i N

: o O

63

300

250

-+- n-4 t n = l O

n=20 - n=50

-*in=100 t n=500

m e

1 O0

50

0 ~ . . . ~.~ . ~ ~ ~~ .~~~ ~ ~ ~ ~ ... . ~~~~ ... .. .. ~~~~

O 0.1 0.2 0.3 0,4 0.5 0,6 0,7 0.8 0.9 1 1.1 1 2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1,8 1.9 2

Tiempo (5)

FIGURA 4.15 Modelo de flujo factorizado con n variable

350

300 d

50

- ~~~

~~ .~~~~~~ ~ . .~ ~~~~~~~

O 0.1 0.2 0,3 0.4 0.5 0,6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1,7 1.8 1.9 2

Tiempo (s.)

1 O0

+ n=4 +n=l0

n=20 --%- n=50

+n=100 -0- n=500 - ~ ..- .

FIGURA 4.16 Modelo de flujo de raiz positiva con n variable

O Y) o

O in N

o o O V)

ti

: o. 1 0

N. O

: o'

O O

66

Y

i D x rn L

D X T

:I

x :I D I

Y

D D D

m

x .

:I

O O O O O O 0 O -t o o N z O

N 5: 5:

-J

~ 1'2

1 PO'Z

j 86'1

.i 26'1

~ 98'1 I 1 8'1

i

~ PL'L

I 29'1

j i S'L

I PP'1

! ZE'1

~ P1'1 yi

¡ I- .%

~ 89'1

! 9S'l

i 8E'i

1 91'1

~ 2'1 1~

I

1 80'1 p I E

j 96'0 j 6'0

~ V8'0 1 . j eL'o

~ 99'0

i VS'O

I 8P'O ~ ZP'O i

1 ZL'O

I 9'0

~ 9E'O

'i PZ'O

i 11'0

i €'O i 81'0

I 80'0

' O O O an O

0

c a

67

m rn

d :

m - - rn

x :I

rn :1

Y I m

rn rn rn

II \i m

m m

O O O O O Ln O u, O u, o o N N

O O T

(U) UpiSaJd

: 1'2

i PO'Z

1 86'1

~ 26'1 j j 98'1

i 8'1

I VL'L

j 89'1

1 Z9'1

.! 99'1

:i S'L

j VV.1

j 8E'l

~ ZE'1 ~

j 91'1

j 1'1

i

1 6'0

i P8'0

i 8L'O

: ZL'O

99'0

j 9'0

j PS'O

j 8V'O

I ZP'O'

i 9E'O

j E'O

I VZ'O

I 81'0

j Zl'O

j 90'0

O O O O

y> 0

u

68

' - .c . ? o - ?

;e c c e , d a d a

7 P P i

; + + . .

1'2

i PO2

j 86'1

: 26'1

i 98'1

Y

~ 8'1

i PL'I

~ 89'1

I 29'1

9S'l

v ~

: S ' l

: W'l

8E' 1

~ 2E'l

~ 92'1

: 2'1

1

c 8 C

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m

o m

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rn X o

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D

O O O O O O O u, O Y) O

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P l ' l - 80'1 0,

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I ZO'L ,% c

j 96'0

I 6'0 ~ pB'0

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ZL'O

99'0

; 9'0

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8P'O

I Zb'O

j 9E'O

: F'O

PZ'O

8L'O

: 21'0

90'0

O O 5: O o

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o c m > In O 0. N

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F a, U O a, U

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3

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69

O O <n

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K m :tí

B :I m

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m 8

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O O O O O O "7 o * o c> N z O

N :: O

1'2

PO2

86'1

26' 1

98'1

8' 1

V.L, 1

89' L

29'1 al

m m >

o 95'1

S' 1 ._ L

PP' 1 L 'd c O O

BE' 1

ZF'L L

3 92'1 O 2

o 2 a '3

L O o

2' 1

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O u

80'1 H ._ E 20'1 ,E I-

O

G al U O al

96'0

6'0

PB'O

8L'O u ZL'O

99'0

9'0

: PS'O

- z : r

a [L 3 u

: evo ri ~ ZP'O

' 9E'O

F'O

P2'0

81'0

21'0

~ 90'0

O O

70

4.4.3.5 Modelo de v8lvulñ

Para hacer estas pruebas se usó la ecuación (3.72) (supone un comportamiento tipo orificio restrictor. ver los perfiles linorif. ffactori. raizorif y ffactorif en la figura 4.22) y las ecuaciones correspondientes a cada modelo (ecuaciones (3.66), (3.68), (3.70) y (3.71)). Los resultados se presentan en la figura 4.22. En todos los casos se observa una notable diferencia entre el comportaniicnto de los modelos de válvula en base a los modelos de flujo desarrollados y el modelo basado en la ecuación (3.72). También se observa prácticamente el mismo coniportaniiento entre los cuatro perfiles con el modelo de válvula tipo orificio restrictor.

Como puede apreciarse en la ligura 4.22. el modelo de válvula tipo orificio restrictor, presenta aún mayores desviaciones en la magnitud del in8ximo de presión en su posición con respecto al tiempo y en general en la forma del perfil de presiones. Las desviaciones se atribuyen a que este modelo de válvula describe el comportamiento real de un Buido y no es iotaliiiciite compatible con la suposición dc Iluido incompresible.

71

350

300

250

1 O0

50

-+- linorif -+- Vlvlin

ffactori - vlvffact

-+U- raizotif -0- vlvraiz -+-ffactorif - Vlvfact

FIGURA 4.22 Modelos de válvulas

4.5 CONCLUSIONES

Con basc cii la discusión anterior. sc puede afirmar que el modelo de flujo que mejor se ajusta a los resultados del inétodo de características es el modelo de flujo factorizado y el que menos lo hace es el modelo predictor corrector. Además dc estas conclusiones también se pueden subrayar los siguientes hechos.

La variación del factor de pcso temporal ( I / ) sólo introduce perturbaciones ajenas al feiiónieiio físico. Valores nicnorcs de 1 producen oscilaciones. y valores mayores producen atenuación y distorsión de los perfiles de flujo y presión. Por lo tanto, se recomienda no considerar la aproximación de la ecuación (4.3) o bien mantener 1-1'1.

En sistemas de alta fricción. la ocurrencia del pulso de presión se retarda y el perfil es pronunciado.

La variación en el número de nodos no afecta fuertemente el comportamiento de los resultados ya que sólo tiene influencia en el término Ah de las ecuaciones (3.66), (3.68). (3.70) y (3.71). En este traba.jo, ya que Ah no tiene su origen realmente en una derivada, no se tiene que ajustar al hecho de que a menor valor de dw mayor debe ser la precisión de los resultados. Fiiialiiiente, no se puede compensar el efecto de variar A! en las ecuaciones anteriores. variando N, ya que no todos los términos estáii afectados por la relación &/A/.

Dado que la magnitud del paso de tiempo influye fuertemente en los resultados obtenidos es necesario establecer criterios para su selección. Si se seleccionan valores arbitrarios de Al. pueden ser no coiisistciitcs con el fenómeno físico. y dado que el método no obliga por si mismo a la selección de un valor, las pruebas presentadas evidencian que es nccesario un valor adecuado. desde el punto de vista físico.

Para este trabajo los inodclos dc válvula basados en la ccuación de orificio restrictor. no dcscriben adccuadaiiientc el ílulo y la diferencia se atribuye a la suposición de fluido incoinprcsiblc. por lo tanto cn el resto dcl trabajo, se adoptan los modelos de válvula derivados de cada uno de los modelos de flujo desarrollados.

CAPíTULO 5

METODOLOGíA DE MODELACIÓN DE RFP's

5 . I INTRODUCCI~N

Los requerimientos en precisión de un modelo matemático los determina la aplicación. A mayor precisión requerida se deben incluir mayores detalles en la modelación. Por ejemplo, en el área de niodelación de sistemas para transportar fluidos, un sistema realmente incompresible puede modelarse adecuadamente a través de la teoría de columna rígida. En esta teoría no se consideran ni los efectos termodinámicos, ni los efectos elásticos del sistema fluido-conducto. Así. al modelar una bomba, sólo interesa la magnitud de su contribución en presión al sistenia y no su ubicación exacta dentro de la red. Por otra parte, cuando tratamos con sistemas ligeramente compresibles, normalmente se desprecian los efectos termodinámicos pero se toman en cuenta los efectos elásticos del sistema conducto- fluido, aún cuando se considera al fluido como incompresible. Con esta consideración se estudia el golpe de ariete y otros fenómenos cuyos efectos son similares (en todos éstos se da la interconversión de energía ciiiética y energía elástica).

Cuando se trata con sistemas coinprcsibles. normalmente la compresibilidad del fluido (los efectos termodinámicos) hace que los efectos elásticos sean despreciables, de ahí que no sea necesario incluir ninguna variable que involucre la elasticidad de los conductos y a cambio sea necesario incluir en la niodelación ecuaciones de estado y otras relaciones terinodinániicas.

Sistciiias más complejos (donde todas las condiciones anteriores se presentan en un mismo sistcnia) resultan al tratar los flujos bifásicos y con diferente inclinación con respecto a la horizontal.

Uno de estos casos coniple.jos resulta de la modelación de sistemas con tuberías 'deformables conduciendo un fluido compresible. En esta situación es necesario considerar todos los términos de la ecuación de continuidad en su forma desarrollada.

Coino ya se ha mencionado. el presente trabajo se orienta a la modelación genérica de RFP's en estado transitorio, bajo la suposición de fluido incompresible. Sin embargo, algunas de las ideas aquí expresadas podrían tener aplicación dentro de la modelación de sistemas no limitados por esta suposición.

14

5.2 CONDICIONES DE APLICACIÓN DE LA METODOLOGiA

Dc aciicrdo n los resultados ohtenidos CII c l capítulo 4. se establecen las condiciones de aplicación de la metodología. Así. la precisión mejora

0 Si la diferencia en flujo en dos pasos de tiempo sucesivos es pequeña (transitorios lentos).

0 Si se aplica a tuberías cortas (máximo algunos cientos de metros).

Si las tuberías presentan baja deformación axial y radial, esto es, si son de gran espesor. diámctro pequeiio y perfectaineiite ancladas.

5.3 DESARROLLO DE LA METODOLOGiA

Como primer paso en el proceso de aplicación de la nietodologia de niodelación de una RFP. es conveniente hacer u n diagrama esquemático del' sistema a modelar. Luego es necesario definir el nivel de detalle de la modelación. Esto permite, en determinados casos, simplificar el sistema a resolver. Por ejemplo, si un componente de una tubería no tiene una influencia apreciable sobre el resto del sistema, puede considerarse como una extensión de alguno de los equipos a los que está conectado. Otro ejemplo es una válvula que durante el proceso de simulación permanece abicrta. En este caso. su resistencia puede adicionarse a alguna de las secciones de tubería a las qiie está conectada y por cada nodo reducido en el sistema origiiial. se disniinuye cii una unidad e l sistema de ccuaciones lineales a resolver.

Un diagrama esquemático tambiéii permite rotular para fines de identificación tanto nodos como elementos componentes. Los iiodos se ubican en la unión entre dos componentes considerados independientes entre ellos. Cada nodo puede ser externo si se conocen sus condiciones.(ílujo y presión). por cstar ubicado en la frontera del sistema. De otra forma. se dice que son iiodos internos. La numeración de los nodos internos va de I a n, mientras que la de los nodos externos va de n f l hasta el núiiicro de nodos totales. Los nodos también poseen estados que pueden ser: activos si a través de estos.hay flujo, inactivos si no hay flu,jo pero están conectados directamente con un nodo activo o nodos aislados si no hay tina trayectoria abierta hasta un nodo activo. llna trayectoria se define como la sucesión de iiodos a travks de los cuales se da el flujo entre dos nodos externos (siendo el nodo de origen la fuente y el otro un sumidero de flujo).

En el desarrollo del código pueden distinguirse cuatro etapas.:

Datos de entrada. En esta etapa se define el tipo. la forma y el orden de los datos de cntrada, así como la interfase con el usuario.

Estado estacionario. Dado que es la condición iiiicial del estado transitorio, se defiiie un procedimiento para determinar sus condiciones.

Cálculo dinámico de parámetros. Define el procedimiento para calcular los parámetros diiiámicos del sistema. dcfine la forma de establecer automáticamente las ecuaciones que describen una red en particular. define el método para obtener las soluciones en presión y flujo para cada nodo y paso de tiempo y define el modo de evaluar dinámicamente la topología de la red.

Presentación de resultados. Define la presentación y forma de acceder a los datos de salida.

5.3.1 DATOS DE ENTRADA

La identificación de componentes de un sistema a modelar, inicia con la asignación de un número o identificador, que va de 1 a ni. La incorporación de esta información a un programa de cómputo se Iiacc a través de un archivo en el cual se agrupan todas las caractcristicas físicas de cada componente en un sólo renglón de datos. Dicho renglón coiitieiie entre otros: tipo de elemento ( 1 si es una sección de tubería, 2 si es una válvula, 3 si cs una boniba, etc.), tipo de nodo coiicctado en cada extremo del componente, el flujo eii

estado estacionario, el factor de friccióii, la longitud, el diámetro, presión a la entrada y a la salida. etc.

La facilidad de crear estructuras de datos de diferentcs tipos en lenguaje C permite reservar sólo la memoria necesaria para el iiúiiicro de elenlentos componentes de una red y mantenerlos eii nienioria para acccsarlos desde cualquier puiito del programa.

Adicionalniente a la información anterior, también se definió un arreglo de datos similar al anterior (debe Iiabcr correspondencia uno a uno), a fin de conservar la información calculada a partir de los datos anteriores y ciertos parámetros dinámicos. Tal información incluye: el estado de una sección (que dependerá del estado de los nodos asociados), el área dc la sección. la resistencia al flujo, la difcrencia de presión entre sus extremos en función del ticnipo y en el caso de válvulas su apertura, etc.

16

Otra información necesaria y que se proporciona a través de un archivo de datos es la conectividad de la red. El orden de este archivo es por numeración de nodos internos de I a n. En principio, el sistema de ecuaciones a resolver en términos de la presión en los nodos internos será de nxn, aunque este archivo tendrá tantos renglones de datos como número total de nodos haya en el sistema: nodos totales = nodos internos + nodos externos. La información que contienc cada renglón del archivo necesariamente debe incluir los números de componentes que se conectan a cada nodo e identifica como conexiones negativas a aquellas secciones cuyo flujo es hacia afuera del nodo y como positivas a aquellas secciones cuyo flujo es hacia el nodo. En principio debe ser asignado un espacio fijo para guardar u n número suficiente de cpnexiones. En este trabajo sólo se consideran nodos conectados a cuatro secciones o componentes a la vez.

Aunque el archivo de conectividad proporcionado por el usuario esté dado en base al identificador de componentes. de éste se pueden construir las trayectorias de flujo del sistema. así como la coiiectividad del sistenia en base a nodos. Esfa conecfiviifnd en base n nodos es in que perniiie esfnblccer los sisfenins de ecirnciones en formn nuiombficn.

Habiendo proporcionado los archivos de datos fisicos y de conectividad del sistema a modelar, el siguiente paso es analizar el tipo de componentes presentes a fin de proporcionar las características particulares de éstos; válvulas, bombas, etc. EII el caso. de las válvulas es necesario especificar (si el modelo es sencillo), su apertura inicial y final, su tiempo de cierre. si el tipo de comportamiento se describe por una ecuación o por una tabla de datos de apertura contra tiempo. Si éste es el caso, habrá que especificar cada punto (apertura vs. tiempo) y el tipo de ajuste necesario (lineal, parabólico, etc.) cuando la apertura solicitada no sea ninguno de los puntos disponibles. Si el comportamiento puede describirlo una ecuación, es necesario proporcionar su forma y sus parámetros. Toda la información anterior puede proporcionarsc como un sólo archivo de datos y también guardarsc cn memoria dinámica para SLI disponibilidad en cualquier parte del programa.

Por su parte, los modelos de bombas también pueden requerir la especificación de una gran cantidad de datos, dependiendo del detalle de la modelacióii. En los casos simples podría disponerse de una tabla de datos específicos de la bomba. También podría ser necesario emplear tablas de datos de bombas homólogas, en cuyo caso se debe resolver un sistema de ecuaciones no lineales (esto implica un procedimiento iterativo) y la necesidad de proporcionar una estimación de th jo inicial en cada paso de tiempo. Los requerimientos para guardar la información de bombas con buena precisión en los datos, requiere mantener 89 puntos para la presión y otros 89 para el torque con intervalo de n/44 radianes [60] , además de datos como los componentes de la inercia (del motor y de la bomba), los valores nominales de operación de la bomba. carga, flujo. velocidad angular, etc., para cada bomba presente en el sistema.

77

5.3.2 ESTADO ESTACIONARIO

Como se mencionó en el capítulo 2, hay varios métodos para resolver una RFP en estado estacionario. En la literatura sobre el tema se encuentran reportadas variantes a algunos de los métodos más empleados, como es el caso del método de Newton y de la teoría lineal. Muchos de los trabajos están orientados a mejorar la rapidez de convergencia y reducir el esfuerzo computacional, otros están enfocados a resolver sistemas con diferente topologia en estado estacionario.

En el caso de este trabajo, dado que no se considera como el objetivo principal considerar una metodología para resolver el estado estacionario, no se trata a profundidad el tema, aunque dada su importancia se describe un procedimiento de solución y se hacen algunas observaciones.

A fii i de ejemplificar la iiictodologia conipicta. sc cinplea tin sistcina que contiene un lazo. tres ramales de descarga y una línea de succión (ver figura 5.1). Se conoce la presión desarrollada por la bomba (Ap=150 m, invariaiitc en el tiempo) y las alturas en todos los nodos externos (nodo 19 = 15 m, nodo 20 = 28 m, nodo 21 = 8.5 m y nodo 22 = 17 m).

FIGURA 5. I Sislenta de Irunsferenoa de unfluido

AI resolver una red, tal como la esquematizada en la figura 5.1, es necesario resolver un sistema de ecuaciones no lineales con 22 incógnitas, por lo que es práctica común hacer una reducción del sistema de ecuaciones. La reducción de incógnitas consiste en considerar un sólo flujo incógnita en líneas compuestas por varias secciones conectadas en serie. Por

78

ejemplo, en la linea que une los nodos 19 a 4 sólo habrá un flujo incógnita (ya que q, = q2 = qi = q4 ). Para la linea que contiene los segmentos I , 2 ,3 y 4, la caida de presión puede estimarse a partir de la suma de las resistencias de cada sección (entre el nodo 19 y 4 la sumatoria de las resistencias es n?l=b, + b, + b, + b4 ) y el flujo. Extendiendo la misma idea al resto del sistema y estableciendo las ecuaciones en términos de flujos, el sistema reducido toma la forma indicada en la figura 5.2.

Con la reducción teórica del sistema sólo permanecen siete flujos incógnita y tres nodos internos. Debido al número de nodos internos que quedan, sólo pueden establecerse tres ecuaciones de continuidad para el sistema y se requieren en total siete ecuaciones para resolverlo. Las ecuaciones que faltan se completan estableciendo balances de energía alrededor de los lazos y seudolazos presentes en el sistema.

Se dice que un sistema contiene un lazo si dos trayectorias diferentes unen a dos nodos. Se conocen como seudolazos, a aquéllos lazos que para cerrar el circuito toman en cuenta una presión que no depende del flujo.

FIGURA 5.2 Siswsia reducido

En el sistema de la Iigura 5.1, un lazo lo forman la trayectoria 4, 5 , 6 , 7, 16, 17, 18 y lo cierra la trayectoria 4, 14, 15, 18. Por su parte, un seudolazo lo forma la trayectoria 7, 8, 9, 10, 11,20 y lo cierra la trayectoria 7, 16, 17, 18,21.

A la hora de establecer los balances de energia alrededor de cada lazo y seudolazo es muy importante incluir dentro de éstos a todas las secciones del sistema. En el caso de lazos, las pérdidas por fricción en una trayectoria son iguales a las pérdidas por fricción a través de la otra trayectoria (en este caso se dice que las presiones están balanceadas), de modo que la suma de pérdidas a través de las dos trayectorias debe ser cero. Por su parte, en los

79

seudolazos, las pérdidas de energía son iguales a la diferencia de presión entre la entrada y la salida de la trayectoria (válido para iiodos conectados por una presión común, en este caso la presión atmosférica).

Otro punto de importancia básica es formular adecuadamente el sistema de ecuaciones y no emplear lazos redundantcs ya que puede haber divergencia al resolver el sistema de ecuaciones.

La formulación de las ecuaciones. tanto de continuidad como de energía, requieren la definición de una dirección de flujo. Si la estimación inicial fue incorrecta. en el resultado obtenido se tendrá un signo opucsto al inicialmente supuesto.

También es conveniente que los flujos supuestos cumplan con la ecuación de continuidad a fin de reducir la posibilidad de caer en un sistema que no converge.

Las ecuacioiies para el problema de la figura 5.2 son las siguientes:

, / ( l ) = t n l * q ; +rn5*q: +rn13*qf3 + n i , -Aph ,,,,,

. f ( 2 ) = 41 - 9 s - Y 2 0

f ( 3 ) = ti78 * q i + ~ 1 1 6 * q:(> + m l 9 * íl,:J + nli - n2()

.f(4) = 45 - c / Y - '113 - q, ,

f ( 5 ) = nil * 4 ; + n?5 * q: + rnl G * q if> + ml9 * q;,, + n,, - n2¡ - Ap ,,,,,,,,,,,

. f ( 6 ) = c/i(, -q ic i - 9 2 0

, f ( 7 ) = n75*y: + ~ i ? l G * q ; ~ , -m20*qi,J

(5.1a)

(5.lb)

( 5 . 1 ~ )

(5.ld)

(5.ie)

(5.1f-l

(5.lg)

El sistciiia de ecuaciones (5.1) consta de cuatro ecuaciones no lineales y tres ecuaciones lineales y para resolverlo es ncccsario emplear un procedimiento iterativo. Como ya se ha mencionado. uno de los métodos más empleados es el método de Newton o también llamado método de Newton-Raplisoii. cuya expresión general es:

I , + I , f ( x : ) x i = x,! -

f' ' ( x ,!' )

80

el término f ' ( x ; ) implica obtciier el Jacobiano del sistema de ecuaciones (5.1). Si representamos eii forma sinibólica este sistema tendremos

f , ( Y , . . . . Y , , ) = 0 (5 .3)

de modo que el Jacobiano de la ecuación (5.3) estará dado por:

= . f ' ( x : ) 3 ( . f , ) .J ( . f , ) =

I

(5.4)

c o n i = 1 ...., II y . j = I ,.... 11.

Como puede observarse, los coeficientes del Jacobiano no son constantes ya que dependen de los valores de x,!' . En general, los coeficientes están dados por

3.f I dx I

o , , = - ( 5 . 5 )

donde i indica el renglón y , j la columna

Con el fin de permitir el flujo reverso en las lineas, los términos qf se expresan como

(1, Iq,l (5.6)

de modo que

Si y, cs positiva, la derivada es + I y si q, es negativa la derivada será -1. No obstante a lo anterior y ya que (5.6) sólo es un arreglo conveniente. (5.7) se reduce a lo siguiente

' (5 .8 )

Regresando a las expresiones genéricas del método de Newton, si hacemos

(5.9) I, + I Y , = x , - x ('1

Sustituyendo las ecuaciones (5.4) y (5.9) en (5.2). esta última puede tomar alguna de las siguientes dos formas:

4.f. )Y; = -.f(x,! ') (5.10)

y ; = - ( J ( J y / ( x ; ) (5.11)

La ecuación (5.10) es un sistema de ecuaciones lineales. del cual se dice se ha obtenido una solución cuando y ; es menor a u n valor predefinido.

Por su parte, la ecuación (5.1 I ) requiere la inversión del Jacobian0 y al hacer la multiplicación con los valores dcl vector de funciones, se obtiene la solución del sistema. Ésta se considera adecuada cuaiido y , es menor a un valor predefinido. En ambos casos es necesario suponer valores iiiicialcs para x," y no deben ser todos cero.

En general, el método de Newton involucra u n lazo iterativo para el sistema no lineal y la solución del sistema lineal puede hacerse con métodos directos o iterativos.

Para resolver el sistema lineal se probaron los métodos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel y Gauss-Seidel con sobrerelajación y con subrelajación. En todos los casos probados. los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y Gauss-Seidel con sobrerelajación presentaron divergencia. mientras que el método de Gauss-Seidel con subrelajación presentó convergencia coli valores ~ K 0 . 2 . Sin embargo, dado que en cada ciclo iterativo del sistema no lineal el sistema lineal cambia, cs necesario tambicn modificar el valor de w, y en muchos casos no se alcanzó la convergencia con ningún valor. Adicionalmente a este problema, normalmente no se observó convergencia a valores suficientemente pequeños de modo que la estimación del ciclo no lineal fuera razonablemente precisa.

El método directo de Gauss-Jordan con pivoteo parcial fue adecuado para resolver el sistema lineal y permitió obtener una solución al sistema no lineal con diferencias menores a entre las dos últimas iteraciones. Cabe seiialar que el número de iteraciones necesarias para alcanzar el criterio de convergencia también depende de los valores inicialmente supuestos, como era de esperarse.

También se observó que el método de Gauss-Jordan con pivoteo parcial, por si sólo. no es suficiente para garantizar la obtención de una solución. Dada la dispersión de las matrices que se obtienen en este tipo de sistemas, el pivoteo parcial en sus primeras etapas puede ordenar el sistema en forma de matriz singular, por lo que en un algoritmo de solución genérica para este tipo de sistemas, debe incorporarse un algoritmo que garantice la presencia de valores diferentes de cera sobre la diagonal principal.

82

En este trabajo no se usó el pivoteo total ya que la literatura [63] reporta que el tiempo necesario para hacerlo es similar ai tiempo necesario para resolver el propio sistema. Por ende, es conveniente evaluar el costo-beneficio de usarlo o incluir en el Gauss-Jordan con pivoteo parcial un algoritmo que garantice tanto la dominancia diagonal, como la no singularidad de la matriz.

El procedimiento antes descrito permite obtener los flujos eii el sistema de las figuras 5. I y 5.2, y para calcular las presiones en cada nodo. sólo se emplea la resistencia en cada sección, partiendo de nodos de presión conocida (en este caso los nodos externos).

(5.12)

donde i es el nodo y j es la sección de tubería.

5.3.3 CALCULO DE PARAMETROS

A diferencia del estado estacionario, dondc el problema se resuelve en términos de flu,jos (por la posibilidad de reducir el sistcma de ecuaciones a resolver), en el estado no estacionario el problcma se resuelve en términos de presiones, ya que los flujos se emplean para rclacionar a través de la ecuación de continuidad en cada nodo al resto de la red.

La secuciicia genérica de cálculo en esta etapa es como sigue. El conocimiento de los parámetros físicos de los componentes de la red tales como diámetro, longitud, factor de fricción, coeficiente de descarga (cii el caso de válvulas), etc., permiten calcular los flujos y presiones en estado estacionario. En esta condición se conocen resistencias, flujos y presiones. Partiendo de estos datos, se inicia la perturbación al sistema, luego de la perturbación se calculan las nuevas presiones y de éstas los flujos. También se verifica si ha habido cambio en la topología de la red, si no, el ciclo se repite hasta que se alcanza un estado estacionario.

Entre los parámetros que se calculan, se encuentran aquellos parámetros que caracterizan la dinámica de diferentes componentes, como válvulas (variación de su apertura en función del tiempo), la resistencia en cada sección como función del tiempo. el flujo a través de bombas. etc.

83

5..3.3.1 Resistencia dinimica

La perturbación del estado de flti,jo de iina RFP se hace a través de modificar en forma dinámica su resistencia al flujo. Cuando una perturbación modifica en cada paso de tiempo (di) el valor de la resistencia (h) . eiiíonces se considera que al inicio de ese di, primero se actualiza h, luego con h y con c1 valor de (1 dcl paso de tiempo anterior, se calcula h y después el nuevo valor de q. Con los valores de h y q se calcula b para el siguiente paso de tiempo. luego se le incorpora el cfecto causado por la perturbación'en ese paso de tiempo, de donde resulta la nueva resistencia h. El ciclo se repite hasta que se alcanza un estado estacionario.

De acuerdo a la ecuación (3.2) ei i todo momento debe mantenerse una correspondencia entre las variables Ah, h y q, pero debido a que no se dispone instantáneamente de los valores de Ah y q asociados al niievo valor de h, los efectos de la perturbación se evalúan con Al? y q del paso de tienipo anterior. AI no usar un proceso para calcularlos (que puede ser iterativo). se incorpora un crror dc cálciilo. especialmente en transitorios donde se dan grandes diferencias entre (I al inicio y q al final del At. Este hecho se hace evidente al comparar los resultados del modelo de ecuación lineal con los de otros modelo. Para hacer los cálc~ilos en el primero,. se toma en cuenta tanto el último como el penúltimo valor del flujo en la sección y en los otros iiiodclos sólo 'el último valor'del flujo determinado. Esto causa que, en general, los perfiles de prisión presentados en las pruebas del capítulo 4 para el modelo de flujo lineal scan más suaves y menos pronunciados que los determinados por otros modelos.

En resume;i, el cálculo del estado estacionario presenta el siguiente esquema:

ill A" 4, (4, .'lo ,A l l ) h, , (h .(lli 4, 1 (iO(h . q o A )

' I

Por su parte el estado 110 estacionario aqui empleado presenta el siguiente esquema

A I h, ( h , .(I I .A I ) J7, íhl . '1 I . h, ) (1 I (h, .(I, . h, )

donde es un paráiiietro de pertiirbación (como la apertura de una válvula).

84

Las ecuacioiies para actualizar lri resistencia entre dos pasos de tiempo y antes de incorporarles la nueva resistencia causada por la perturbación, son las ecuaciones (5.13) para el modelo lineal. (5.14) para el modelo de flujo factorizado y de raíz positiva y (5.15) para el modelo predictor corrector.

h = (y""')' + ( ( ) I I 2Ah I

(5.13)

(5.14)

(5.15)

5.3.3.2 Cdculo de parámctros de pcrturbación

Si lo que perturba el estado estacionario de un sistema es una valvula, el proceso inicia con determinar en cada paso de tiempo qué valor de apertura le corresponde. Quien determina la apertura puede ser una ecuación o bien una tabla de datos. En el último caso habrá de considerarse algún tipo de iiiterpolación (lineal, parabóiica, etc.). Los modclos más completos y más coinpkjos requerirán de un proceso iterativo para ajustarse a un flu,jo global en la red.

El cálculo del comportamiento diiiiiiiico de una bomba a partir de las relaciones Iiomólogas conduce a obtener, mediante un inetodo iterativo como el de Newton-Raphson, un flujo a través de la bomba en cada paso de tiempo consistente con el resto de la red. Este hecho obliga a hacer una estimación del nuevo flujo en el siguiente paso de tiempo para ubicarlo dentro de alguna de las zonas de operación de la bomba. Por lo tanto, habrá que resolver el sistema completo varias veces para un sólo paso de tiempo, hasta que la posición en la zona de operación de la bomba sea la misma entre dos iteraciones. En el caso de este trabajo. dada la suposición de fluido incompresible y del nivel de detalle de los demás modelos. la bomba no se niodcla a ese nivel.

La suposición de fluido incompresible implica que si un fluido se mantiene a un régimen de flujo. cualquier variación afcctará instantáneamente a toda la red, por eso no importa en donde se ubique una bomba para fines de modelado (en este trabajo). Incluso su contribución puede considerarse dentro de la dinámica de las fronteras del sistema. Esto es. ya que sólo importan las diferencias de presión entre las fronteras, cualquier relación que

varíe esas diferencias de presión como lo haria una bomba puede ser empleada como modelo de la bomba. Por otra parte. en un sistema ligeramente compresible la ubicación de una bomba es muy importante para describir la dinámica integral de la red.

5.3.3.3 Formulación automática de ecuaciones

La base de la foriiiulación automática de las ecuaciones en base a presiones es el archivo de datos de conectividad. Su orden cn los nodos internos y la información de qué secciones se conectan a qué nodos, permiten formular para cada nodo interno una ecuación.

Un ejemplo de la información contenida en el archivo de conectividad, para el nodo 7 de la figura 5.1, es el siguiente

nodo conexiones componentes conect. nodos conectados

7 4 7 -8 -13 -16 6 -8 -12 -16

También la figura 5.3 muestra gráficamente la información anterior, en donde se observa que al nodo 7 se conectan 4 secciones, los números de los componentes son: 7, 8, 13 y 16. Los nodos vecinos conectados mediante esas secciones son 6 , 8, 12 y 16, respectivamente. Los signos asociados al número de nodo y número de sección se refieren a la dirección de flujo con respecto al nodo de iiitcrcs.

e j

Cualquiera de los modelos selcccionados tienen la siguiente forma de ecuación para el flujo en una sección

4 , = a , - b , ( h , + , - h , ) (5.16)

en donde i es el número identificador de la sección y j es el número identificador del nodo. La ecuación de continuidad en el nodo 7 es

86

41 -4n -412 -416 = o Sustituyendo la ecuación (5.16) para cada componente se obtiene

(5.17)

Como el sislenia de la figura 5.1 iicnc 18 nodos intcrnos, el sistema de ecuaciones resultante da origen a una matriz de 18x18. Todas las ecuaciones presentan la forma de (5.18).

A fin de construir la matriz para resolver el sistema de ecuaciones, los coeficientes de todas las ecuaciones se copian a un arreglo si.sr(n,n+l). De la ecuación (5.18), los coeficientes que pueden ser diferentes de cero en la ecuación del nodo 7 son:

si.v/(7,6) = b, si.vl(7.7) = b, t h, + h,, +hi, sis/(7,8) = h, sist(7,12) = h , , .sis/(7.16) =hi, s ~ s / ( ~ . M + 1) = -0, +o, +al3 +qú

donde n es el número total de nodos internos.

En general, a través de un ciclo desde 1 hasta n se llena el total de los coeficientes de las ecuaciones para cada nodo.

En el sistema tomado como ejemplo. así como en todas sus variantes analizadas, se observó que los sistemas de ecuacioncs generados son bien condicionados. Por lo tanto, los sistemas pueden ser resueltos por un método directo como el Gauss-Jordan. Sin embargo, sería conveniente implementar la forma de evaluar el número de condición. También se probaron los métodos iterativos de Jacob¡, Gauss-Seidel con subrelajación y no se obtuvo convergencia. Finalmente la solución obtenida son las presiones en cada nodo.

5.3.3.4 Topología de Ia red

Durante el proceso de cálculo del estado estacionario se marca cada componente de la red para indicar que es un componente activo.

Dentro del ciclo que controla el paso de tiempo y cuando ya se han calculado los flujos en ese paso de ticnipo, se hace una búsqueda de válvulas activas en el sistema y se determina

87

la diferencia entre los dos últimos flu.jos calculados. Sí ésta diferencia es menor a un valor preestablecido (evita modificar la topología por oscilaciones fuertes en el cálculo) y sí el valor del último flujo calculado también es menor a un valor preestablecido. entonces se ejccuta una subrutina que permitc modificar la configuración de la red. La modificación de la topología permite limitar los ei-rorcs numéricos producidos por hacer operaciones sobre valores cero. como es el caso dc los flujos en válvulas cerradas.

El proceso para modificar la topología de la red incluye los siguientes pasos:

A partir de identificar una sección en donde se obstruye el flujo (una a la vez), el algoritmo identifica los nodos asociados a esa sección.

Se ubica a los nodos afectados dentro del arreglo de datos que guardan las trayectorias de flujo del sistema y se marcan dichos nodos como inactivos.

Sí los nodos obstruyen cI flujo hacia otros nodos. estos últimos también cambian su cstado a inactivo (dentro del niismo arrcglo de datos de trayectorias).

La información sobre el cstado (activo o inactivo) de los nodos se lleva al arreglo de datos de conectividad de la red y se modifica la inforinación.

A través de la información del paso anterior, se puede obtener el nuevo estado de los componentes de la red (activo o inactivo).

Se eliminan los nodos inactivos del arreglo de conectividad (tanto internos como externos) y se obtienen los nuevos valores para el número total de nodos internos y externos.

Se obtiene la nueva topología de la red, la cual permanecerá en estado estacionario o perniitirá continuar con el estado transitorio.

5.3.4 DATOS DE SALIDA

Los datos de salida son seleccionados por el usuario y pueden ser flujos o presiones. Al inicio de la ejecución se selecciona el número de nodos en los cuales se requiere la presiOn o los números de secciones en los cuales se requiere el flujo (el sistema acepta hasta IO). Sin cmbargo. dado que el número dc datos desplegados en pantalla de acuerdo al número de dígiios requcridos no puede ser mayor de 6, aun seleccionando IO valores sólo los 6 primeros sc presentan en pantalla y el total de valores solicitados se envían a un archivo en ASCII.

88

5.4 PRUEBAS

Las pruebas hechas a través de la iiictodologia presentada se hicieron considerando la red esquematizada en la figura 5.1. por lo que los números de secciones y de nodos a que se hace referencia en estas prucbas corresponden a los indicados en esta figura. Como ya se ha mencionado, las presiones eii los iiodos externos (19, 20, 21 y 22) son conocidas y se consideran iiivariantes en el tiempo. La presión en cada nodo externo es la atmosférica. Aunque están a diferentes niveles con respecto a una referencia: el nodo 19 esta a 15 m, el nodo 20 esta a 28 m, el nodo 21 esta a 8.5 m y el nodo 22 a 17 m. La bomba suministra una presión de 150 m.

Para efectos de las pruebas se consideró el cierre total y parcial (50%) de la válvula corrcspoiidiente al conipoiicnte 14. aunque pudo haber sido otra. La dinámica de esta vilvula es la misnia descrita por In ecuación (4.1) con las mismas características que en el sisteina descrito en la sección 4.2.

Las pruebas de cierre total y de cierre al 50 YO, se hicieron tomando el modelo de flujo de raíz positiva. Con fines de cornparacióii también se obtuvieron las presiones durante el cierre total de válvula con los otros modelos.

Con el fiii de quc las pruebas hechas piicdan ser repetidas o si se desea simular otro sistema, se anexa un disco con el código fuente y los archivos necesarios para ejecución en computadora personal. Por otra parte, en el apéndice A se muestra el orden de los datos en los archivos de entrada y de salida del código para el ejemplo descrito en el capitulo 5. TainbiCii se presenta el diagrama de flujo. la estructura y algunos detalles iniportantes del sisteiiia de software.

5.5 D I S C U S I ~ N DE RESULTADOS

Los rcsultados del cierre total dc la vilvula se iiiiicstraii en las gráficas de las figuras 5.4 y 5.5. cn términos del flujo y presión respectivamente. Las figuras 5.6 y 5.7 muestran información sirnilar para el cierre dc válvula al 50 %. Por otra parte, las figuras 5.8 a 5.10 muestran el comportamiento de la presión para cierre total, con los otros modelos. Los nt'imcros identificadores en las gráficas de flujo contra tiempo se refieren al flujo en esa linea o sección, mientras que estos mismos números en las gráficas de presión se refieren a la presión de salida de la linea o sección indicada. Para ubicar las presiones no se emplean los nodos, ya que su numeración cambia al cambiar la topologia de la red.

89

5.5.1 CIERRETOTAL DE VALV ULA

De los resultados de la prueba cerrando totalmente la válvula y analizando el coinportaniiento de los flujos (figura 5.4). a medida que crece la resistencia en el componente 14 por la reducción del área de flujo, el flujo total que pasa por el componente 4 diiiiinuye (como seria de esperar al incrementar la resistencia en un canal de Sujo sometido a la misma diferencial de presión). Por otro lado el flujo a través del componte 18 aumenta (también este heclio era de esperarse, ya que en el nodo 7 se presenta un ligero aumento de presión producido por la reducción total del área de flujo del sistema). Por su parte. el flujo a través de la línea 22 prácticamente se mantiene en el mismo nivel de flujo.

Después del cierre total de la válvula se produce la ausencia total de flujo a través de la sección 14 y los flujos que perinaiiecen alcanzan un nuevo estado estacionario. En este punto se cambia la topología dc la red y se reasignan los identificadores de los nodos. También se puede observar que la dinámica del proceso se concentra en un intervalo de tiempo relativamente corto (entre 0.8 y 1.4 s) mientras el transitorio dura 2.1 segundos. Este lieclio ya se había observado en las pruebas a los niodclos del capítulo 4.

Analizando los resultados para la misma prueba de cierre total pero en términos de la presión (figura 5.5). se observan los siguientes hechos:

La presión a la salida del coniponeiite 13 (nodo 12 cn la figura 5.1) es la que muestra niayor incremento dc prcsióii durante el evento (alrededor de 210 in.. siendo su estado iiiicial alrededor de 35 m.). Esto era de esperarse ya que es este punto el que disminuye y finalmente frena la velocidad del fluido. La reducción en la velocidad del fluido se nianifiesta en aumento de presión.

Otro heclio relacionado con el nodo 12 es que, posterior a que el flujo ha cesado a través de las secciones que él une' su presión debería tender a una presión de "estancamiento", que debería ser igual a la del nodo activo al que se encuentra conectado, esto es a la presión en el nodo 7. Este comportamiento es precisamente lo que muestra la figura 5.5.

La presión a la salida de la sección 14 (o nodo 13 en la figura S.l), presenta una fuerte caída de presión por efecto dcl cicrre de la válvula (alrededor de -150 m.. siendo su valor inicial de alrededor de 35 ni.). Sin embargo. dcspués del aislamiento del nodo 13 del resto del sistema' su presión tiende a alcanzar la presión del nodo externo 22 (1 7 m.), como se puede apreciar en la figura 5.5.

Finalmente, después de la perturhacióii se alcanza la nueva distribución de presiones en un estado estacionario,

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5.5.2 CIERRE PARClAL DE VÁLVULA

La gráfica de la figura 5.6 muestra que ningún flujo cesa y que las variaciones en los perfiles de flujo en la gráfica son imperceptibles, sin embargo, estos cambios son más evidentes en la gráfica de la presión.

La gráfica de la presión (figura 5.7) muestra el comportamiento esperado: la presión a la salida de la sección 14 (nodo 13) disminuye (de alrededor de 35 m. hasta cerca de 7 m.). Después de la perturbación, se alcanza un nuevo estado estacionario que corresponde a las nuevas condiciones de resistencia en ese componente o sección.

Finalmente, las gráficas de las figuras 5.8 a 5.10 presentan el comportamiento de la presión durante el cierre total de la misma válvula con los otros modelos. En éstas se observa en general un comportamiento muy similar al predicho por el modelo de raíz positiva.

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FIGURA 5.8 Presiones a la salida de diferentes secciones de la red durante el cierre total del componente 14 (modelo lineal)

300

250

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~ - 7 + - i C . - - ~ S H H H H t X Y = \ C * - * ;: :: : : ++?+x-x'-Ic-)cx \o cl

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.- ~~~~ .. +pres 1 t pres 4

pres 7 +pres11 + pres 13 t pres 14 +pres 16

pres 22 - ~

FIGURA 5.9 Presiones a la salida de diferentes secciones de la red durante el cierre total del Componente 14 (modelo de flujo factorizado)

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CAP~TULO 6

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Metodología se define como el conjunto de métodos utilizados en una investigación. Con base en esta definición, el desarrollo de un código para la modelación de redes de flujos y presiones en estado no estacionario. es una metodología.

6.1 CONCLUSlONES

El sistema generado permite simular diferentes RFP’s en estado no estacionario, con topología variable y sin modificar el código. De acuerdo a los resultados de las pruebas en el capitulo 5 , la simulación de una red especifica refleja en términos generales el comportamiento esperado del sistema real ante una perturbación. De esto se puede concluir que la metodología planteada es correcta y que el trabajo cumple con los objetivos establecidos.

I ) Las principales evidencias de que la metodología es co rrecta .v el códipo desarrollado funciona adecuadamente, son las siguientes:

Antes dc iniciar la simulación del estado transitorio de una RFP, es necesario conocer las condiciones (flujo y presión) dcl estado estacionario. En el caso del código desarrollado el sistema es capaz de mantenerse en un estado estacionario. Durante la simulación de esta condición, los resultados presentan ligeras variaciones atribuibles sólo a los errores de redondeo de la máquina. Este comportamiento es la principal evidencia de que tanto los modelos de flujo desarrollados, como los métodos de solución de las ecuaciones resultantes. son correctos.

Es un hecho conocido que a un código de simulación del estado transitorio [64], si se le introducen datos que no correspondan a una condición de estado estacionario y si no se somete a ninguna perturbación, la simulación converge a las condiciones de un estado estacionario. Esta característica también la presenta el código aquí desarrollado.

Los resultados presentados en la figura 5.4 muestran el comportamiento de los flujos asociados a los diferentes componentes de la red de la figura 5.1, En éstos se puede apreciar como gradualmente se da la caída del flujo en el componente 14. La

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t

disminución en el flujo es la manifestación más directa de la dinámica de la válvula. AI mismo tiempo que disminuye el flujo en el componente 14, otras secciones también reflejan esos cambios. Los datos y la gráfica de la figura 5.4 muestran que en todo momento durante la simulación tanto de los estados estacionarios (al inicio y al final de la perturbación), como del estado transitorio, se cumple con la ecuacih de continuidad en toda la red.

Durante la simulación de la red esquematizada en la figura 5.1, los perfiles de presión obtenidos (figura 5.5) muestran que hay correspondencia entre el comportamiento simulado y el esperado. Por ejemplo, el cierre de la válvula entre el nodo 12 y 13 (componente 14) provoca que el mayor aumento de presión se presente en el nodo 12 (a la salida de la sección 13 ). AI momento de cerrar completamente la válvula (componente 14), la presión en el nodo 12 tiende a igualarse a la presión en el nodo 7. Por su parte, en el nodo 13 se presenta una caída de presión al momento de aislarse del nodo 12 y luego tiende a igualarse a la presión de salida del sistema (nodo 22). También se observa que al disminuir el área total de flujo en la red por el cierre de una de las salidas de flujo del sistema, el nodo 7 presenta un aumento de presión. La misma reducción en el área total de flujo provoca una reducción en el flujo total de la red (sección 4), pero también un aumento en el flujo en las secciones 8, 16 y 19. En términos generales. todos los efectos que por sentido común se esperarían en el comportamiento del sistema real los describe la simulación.

2) No obstante lo anterior, la su.posici6n de ,fl uido incom-uresible limita -fuerlemente la anlicacion del sistema desarrollodo al andisis o diseño de R FPS. Pero puede ser una herramienta útil para la obkncióii de resultados rápidos en simulaciones donde no se requiera gran nivel de detalle.

En muchos casos puede emplearse para acotar el rango de ocurrencia de un evento. Por ejemplo, cuando se cierra la válvula (componente 14) en el sistema de la figura 5.1, la presión máxima esperada en el nodo 12 será de alrededor de 200 m (figura 5.5). Si esta '

misma presión se determinara con un código de buena precisión, su estimación debería ser menor porque tanto la deformación del liquido como la de la tubería atenúan ese aumento.

3) Dado que la mayoría de los modelos de equipo reportados en la literatura han sido desarrollados bajo otras suposiciones, al incorporar éstos al sistema desarrollado no se obtienen resultados consistentes con la realidad (ver la comparación del comportamiento de las válvulas en la figura 4.22). En el caso de equipos como bombas y otros accesorios. no se dispone de modelos adecuados, a la suposición de fluido incompresible. Esta es la principal razón por la que el si.s/ema penerado no es c-az de simular muchos sislema.y.

I O0

Pero el sistema fue creado para crecer a medida que se le incorporen subrutinas de otros modelos. Antes de incorporar un modelo se debe tomar en cuenta que la precisión del método puede no justificar incluir algunos modelas de componentes de baja influencia en una red (codos, derivaciones. entradas, salidas, etc).

4) La magnitud del paso de tiempo tiene una fuerte influencia sobre los resultados de una simulación, de modo que pueden observarse fuertes desviaciones. Pasos de tiempo cortos desacoplan la dinámica de la perturbación del resto del modelo. Pasos de tiempo largos pueden conducir a inestabilidades en la solución. Con base en esto, es necesario desarrollar criíerios para deiernunar un valor de Al adecuado a cada problema.

A través de lo descrito en este trabajo. se puede tener una idea de las actividades a futuro que es necesario hacer y los problemas que se pueden presentar al modelar redes de flujos y presiones; haciendo otras consideraciones para obtener códigos más precisos.

6.2 RECOMENDACIONES

I) A pesar de que la suposición de fluido incompresible presenta fuertes liinitaiites para que la simulación a través del sistema desarrollado genere resultados muy cercanos a la realidad, es una buena lierraiiiieiita para predecir tendencias. Pero pudiera mejorarse si se trabaja eii desarrollni- modelos de componenles Que salisfagan las suposiciones de fluido incoin~resihle.

2 ) Dada la influencia Que A/ liene en lo simulación es necesarro desarrollar crilerios para su selección

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APÉNDICE A

DESCRIPCIÓN DEL CÓDIGO PARA LA SIMULACIÓN DE RFP’s

A. 1 INTRODUCCIÓN

El código fue desarrollado en lenguaje de programación C . Las principales características observadas en su selección fueron: su capacidad para el manejo de memoria dinámica, la posibilidad de que el usuario defina estructuras de datos y la disponibilidad del paquete turbo C++.

Las estructuras de datos permiten agrupar en un solo registro varias de las características físicas de cada componente. Por lo tanto, una lista de registros puede contener el total de la información de los componentes de una red. El sistema de software desarrollado maneja los datos en arreglos de estructuras actualizables en cada paso de tiempo. Esto permite que en las funciones generadas no sea necesario intercambiar explícitamente datos a través de los argumentos de las funciones. La figura A.l muestra el diagrama genera! de flujo y la figura A.2 muestra la estructura del sistema.

Aunque el diagrama general de flujo no evidencia gran complejidad en cuanto al desarrollo del proceso de cálculo, la relación entre las funciones presentada en la figura A.2 y el hecho de modificar las bases de datos desde cualquier punto del sistema, pueden hacer difícil seguir el desarrollo del cálculo.

El sistema fue desarrollado en una camputadora personal 586 a 133 Mhz y 4 Mbytes en RAM con sistema operativo MS-DOS. La capacidad del sistema es de 50 componentes con cálculos en precisión simple y no es apreciable el tiempo necesario para generar los datos de una simulación y enviarlos a un dispositivo de salida. Los cálculos con 100 componentes evidencian problemas de memoria en la máquina. La estructura del código permite que el sistema pueda seguir creciendo incorporándole otras funciones, para lo cual seria necesario utilizar mayores recursos computacionales.

En seguida se presenta el listado de las funciones generadas y una descripción general de la tarea que realizan dentro del código.

menuprin(void) memordat(void) subirbd(void)

Permite acceder a otras funciones Reserva memoria para los datos físicos de la red Sube a memoria los datos físicos y de conectividad de la red

I O8

leedatos(void) calcpar(8oat) ecuacion(void) trdg(void) Resuelve un sistema tridiagonal unsteady(void) recdat(void) válvulas(void) apertura(int,int,float) Calcula la apertura de válvulas carvalec(int,int,int)

Convierte el archivo de datos ASCII a datos en binano Calcula parámetros como áreas, resistencias y otras constantes Genera el sistema de ecuaciones para una sola línea

Calcula el estado no estacionario Menú de recuperación de datos físicos Menú de obtención de datos de válvulas

Lee del teclado los datos de las ecuaciones para válvulas

ILee de archivo

cribe a archivo tos de salida

y presiones

i

FIGURA A. I Diagrama depirjo del si.wma de sof'ware

carvalda(int,int) conectiv(void) genesis(float) coefic(int,int) leebomba(void)

Lee del teclado los datos de tablas para válvulas Calcula la conctividad en base a nodos Obtiene el sistema de ecuaciones para una red Calcula los coeficientes de las ecuaciones de una red Lee de archivo los datos característicos de una bomba

109

bomba(int r, float t) Calcula la presión proporcionada por una bomba jacsesor(int,int,float) Resuelve un sistema de ecuaciones por Jacob¡, Gauss-Seidel o SOR

dependiendo del valor del segundo int (O, 1 , 2 respectivamente) pivoteo(int,int) Ejecuta el pivoteo sobre un sistema de ecuaciones gaussjordan(int) Resuelve un sistema de ecuaciones por Gauss-Jordan invgjord(int) Obtiene la inversa de una matriz steadyhp(void) Resuelve un sistema de ecuaciones no lineales por Newton flujos(void) Lee del teclado los flujos de una red en estado estacionario presion(void) Calcula las presiones asociadas a un flujo estacionario prestran(float) Calcula las presiones en base a flujos dinámicos config(int) Evalúa y modifica la topología de la red en forma dinámica leetray(void) Determina las trayectorias de flujo a partir de la conectividad modelos(void) Lee del teclado la selección de un modelo de flujo

I

I-] I presentn}-l nenuprin i -ecdot -,

I

l eedo tos I leecont

suhrbd 1

FIGURA A.2 Esiruciuro'dFi cOdigo

A.2 VARIABLES DEL SISTEMA DE SOFTWARE

A.2.1 ESTRUCTURAS DE DATOS

Dentro del programa se utilizan tres estructuras de datos para mantener la información durante la ejecución del programa. Una de estas estructuras guarda los datos físicos de la red (arbdt]), otra guarda parámetros calculados a partir de los datos fisicos (arco[]) y la ultima contiene los datos que caracterizan la dinámica de las válvulas (awl[]).

Estructura para datos fisicos

arbd[] {

int int int float float float float float float float float float

tc; en; 11s;

9; Flujo en el coinponente Ix; Longitud dcl componente di: Diámetro f; Factor de fricción pe; Presión a la entrada Ps; Presión a la salida he; 11s; d1ib;Incremento de presióii por el componente (por ejemplo bombas)

Tipo de elemento (1 -tuberia, 2-válvula, 3-bomba, ...) Nodo de entrada (I-interno, O-extero) Nodo de salida ( 1 -interno, O-externo)

Altura a la ciitrada con respecto a una referencia Altura a la salida respecto a una referencia

Estructura de datos calculados

arco[] {

float float float float float float float float float float float float float

1

ar; Área de la sección b; Resistencia k; Coiiductaiicia dh: c l ; Constante c2; Constante dhO; Ah inicial qo; Flujo inicial a; dh-I; q_l; tau; Apertura de válvula f(t) dlib; Ah en bombas f(t)

A h entre los extremos del componente

Velocidad de propagación de un pulso de presión Ah en el paso de tiempo anterior Flujo en el paso de tiempo anterior

Estructura de datos de válvulas

an41 {

int n; int et; int np; float tc; float dxt;

float yo; float y l ;

Número de coniponente en arbd[] Tipo datos de vilvillas (1-tabla, O-ecuación) Número de puntos si es tabla de datos Tiempo de cierre Intervalo entre los puntos de la tabla o apertura inicial si es ecuación (,I))

' Primer dato de la tabla o apertura final si es ecuación (A, ) Segundo punto o exponente si es ecuación (Em)

float y9; 1

A.2.2 VARIABLES GLOBALES

Núniero de sccciones Número de elemcntos totales Número de válvulas Número de nodos iiiteriios Número de nodos totales Conectividad Paso de tiempo Tiempo total de siiiiulación Diagonal inferior Diagonal superior Diagonal central Términos independientes Resultados Orden de las válvulas Presión en nodos internos Ecuaciones de la rcd Datos de bombas Presión medida en nodos internos

I12

xr1 Y [I g singular Converge modelo respuesta m[l l1[1 inter[][] tmp I tmp2

Solución anterior en tin sistema de ecuaciones Solución actual cn un sistema de ecuaciones Fuerza de gravedad Estado de una matriz Estado del cálculo Modelo de flujo empleado Variable temporal Variable temporal Variable temporal Variable temporal Variable temporal Variable temporal

A.3 EJECUCIÓN DEL SISTEMA

A fin de ejemplificar el uso del código, se emplea el mismo sistema descrito en la figura 5 . I . Tanto los archivos de entrada como los de salida corresponden a este sistema y al evento de cierre de una de sus válvulas.

Antes de iniciar la simulación de alguna red es necesario identificar sobre un diagrama esquemático íos componentes (de 1 hasta n), los nodos internos (de 1 hasta o) y los nodos externos (de o+l hasta p).

A.3.1 DATOS DE ENTRADA

Datos físicos de la red

Como primer paso en la ejecuciói? dcl código se lee el archivo de datos físicos del sistema a simular. El orden de cada registro de datos debe corresponder al orden en que se rotularon en el diagrama de la red. La tabla A. 1 muestra los datos físicos para la red de la figura 5.1. El tipo de datos y su distribución dentro del archivo corresponden a la estructura de arbd[], descrita en la sección A.2.1 y mostrada esquemáticamente en la parte superior de la tabla A.l (parte no sombreada).

Al leer los datos del archivo se determina el número de componentes y se reserva el espacio de memoria necesario.

A partir de los datos físicos en memoria (en arbd[]), se calculan otras constantes que se guardan también en memoria dinámica (en el arreglo de estructuras arco[]). Ambas estructuras deben tener el mismo orden en los datos.

rñ I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I O 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

te \ n e Ins I 9 1 Ix 1 di 1 f I p e I p s I he I hs I dhb 1 O 1 1.29778 50 0.3048 0.018 O O 15.0 -0.65 O 1 1 1 1.29778 0.3 0.3048 0.0018 O O -.65 -.65 O 1 1 1 1.29778 3 0.4064 0.018 O O -.65 -.65 O 1 1 1 1.29778 I O 0.3048 0.018 O O -.65 9.2 O 1 1 1 0.35 8 0.3048 0.018 O O 9.2 9.2 O 1 1 1 0.30 0.3 0.3048 0.0018 O O 9.2 9.2 1 1 1 I 0.30 8 0.3048 0.018 O O 9.2 9.2 O 1 I I 0.10 35 0.3048 0.018 O O 9.2 28 O 1 I 1 0.10 0.3 0.3048 0.0018 O O 28 28 1 1 1 1 0.10 I O 0.3048 0.018 O O 28 28 O 1 1 1 0.10 0.3 0.3048 0.0018 O O 28 28 1 1 I o 0.10 4 0.3048 0.018 O O 28 28 O 1 1 1 0.10 8 0.2032 0.018 O O 9.2 9.2 O 2 1 1 0.10 0.3 0.2032 0.0018 O O 9.2 9.2 1 1 1 o 0.10 45 0.2032 0.018 O O 9.2 17 O 1 1 1 0.10 5 0.2540 0.018 O O 9.2 9.2 O 1 1 1 0.10 0.3 0.2540 0.0018 O O 9.2 9.2 1 1 I 1 0.10 5 0.2540 0.018 O O 9.2 9.2 O 1 1 O 0.15 30 0.2540 0.018 O O 9.2 8.5 O 1 1 1 0.05 2 0.0762 0.018 O O 9.2 9.2 O 1 1 1 0.05 0.3 0.0762 0.0018 O O 9.2 9.2 1 I 1 1 0.05 8 0.0762 0.018 O O 9.2 9.2 O

I

23 1 3 1 1 0.10 0.3 0.1016 0.018 O O -.65 -.65 150 TABLA A. I Archivo de riatosfisicos de entrada

Datos de conectividad

La topología de una red se especifica a través de un archivo de conectividad, en este se define qué componentes y a través de qué nodos están conectados. El orden de los registros de este archivo corresponde al orden en que se definieron los nodos en el diagrama del sistema. El archivo de conectividad contiene en la primera linea el número de nodos internos y el número de nodos externos. A partir de la segunda línea contiene la conectividad para cada nodo. La primera columna identifica el número del nodo (desde 1 hasta in), la segunda columna identifica el número de componentes conectados a cada nodo (nc, máximo cuatro), las siguientes cuatro columnas (ci, c2, c3 y c4) guardan el identificador de los componentes conectados a cada nodo. Se identifica con un signo (-) si un componente conectado conduce el flujo hacia afuera del nodo, con signo (+) si un

I I4

componente conduce el flujo hacia el nodo y si no hay. conexión se indica con un cero. A esta información se le llama coiiectividad en base a componentes.

Después de que la conectividad en base a componentes se guarda en memoria en el arreglo (cnv[][J), se calcula la conectividad de la red en base a nodos. De modo que la parte inferior derecha de la tabla A.2 (ya en memoria), se llena con los identificadores de los nodos vecinos a cada nodo

m l n c l C I I c2 1 c3 1 c4 1 ni 1 n2 I n3 I n4 18 4 1 2 1 -2 O 0 2 2 2 -3 O 0 3 2 3 -4 O 0 4 3 4 -5 -20 o 5 2 5 -6 O 0 6 2 6 -7 O 0 7 4 7 -8 -13 -16 8 2 8 -9 O 0 9 2 9 -10 o 0 I O 2 I O - 1 1 o 0 1 1 2 1 1 -12 o 0 12 2 13 -14 O 0 13 2 14 -15 O 0 14 2 20 -21 o 0 15 2 21 -22 o 0 16 2 16 -17 O 0 17 2 17 -18 O 0 18 3 18 22 -19 o 19 I -1 o O 0 20 1 12 o O 0 21 I 19 O O 0 22 1 15 O O 0

TABLA A 2 Archivo de

Datos de válvulas

im de conecrividud

El arreglo donde se guardan los datos de válvulas arlv[], se llena a través del teclado. A partir de la revisión de la variable ie en la estructura de datos fisicos (arbd[]), se determina que componentes son válvulas y se solicita la información correspondiente a cada una de ellas. De la misma forma puede incluirse la solicitud de datos para otros componentes.

I15

\

Otros datos

Otros datos que requicre el código soli el íiciiipo total dc siiniilación, el inodelo de flujo. el iiicreniciito cn el paso de tieiiipo. los flujos en estado estacionario, los identificadores de los nodos y componentes en los que se requiere la presión y el flujo respectivamente. Todos estos datos se introducen a travfs dcl tcclado.

A.3.2 DATOS DE SALIDA

Antes de iniciar la siinulacióii del estado transitorio, se selecciona el tipo de información requerida (flujo o presión). Aunque solo parte de la información solicitada puede visualizarse en el monitor (hasta 6 datos de flujo o presión en cada paso de tiempo), a un archivo pueden enviarse hasta IO. Si los datos solicitados son flujo, entonces este corresponde al flujo en cl componentc. pero si es presión, entonces corresponde a l a presión de salida de ese componente. A pesar de que es más claro y fácil reportar las presiones sobre los nodos, estas se reportan en el nodo de salida del componente (con respecto al estado inicial) ya que la nodalizacióii del sistema cambia durante una simulación.

La tabla A.3 y A.4 muestran los datos dc salida en t h i o y presión, para el sistema de la figura 5.1. durante el cierre del coiiipoiiente 14.

tieiiipo I linea 4 I linea 7 1 linea 8 I línea 14 1 línea 18 1 linea22 0.0000 1.715416 1.642259 0.642516 0.313991 0.685752 0.073158 0.0500 1.715416 1.642258 0.642516 0.313969 0.685752 0.073158 0.1000 1.715416 1.642258 0.642516 0.313945 0.685752 0.073158 0.1500 1.715416 1.642258 0.642516 0.313907 0.685753 0.073158 0.2000 1.71 5416 1.642258 0.642516 0.313852 0.685753 0.073158 0.2500 1.71 541 6 I ,642258 0.64251 7 0.3 13762 0,685753 0.073 I58 0.3000 1.715415 1.642257 0.647518 0.313612 0.685754 0.073158 0.3500 I ,715414 1.642256 0.6425 I 9 0.3 13345 0.685755 0.073158 0.4000 1.715412 1.642254 0.642522 0.312858 0.685758 0.073158 0.4500 I ,715409 1.64225 I 0.642527 0.3 1 1934 0.685762 0.073 158 0.5000 1,715403 1.642245 0.642537 0.310134 0.685770 0.073158 0.5500 1.715391 1.642232 0.642557 0.306565 0.685787 0.073158 0.6000 1.715364 1.642205 0.642600 0.299515 0.685823 0.073159 0.6500 1.715305 1.642145 0.642696 0.286230 0.685903 0.073160 0.7000 1.715165 1,642003 0.642925 0.264017 0.686093 0.073163 0.7500 1.714807 1.641638 0.643523 0.233846 0.686584 0.073169 0.8000 1.713831 1.640645 0.645212 0.201691 0.687953 0.073188

I I6

1.8500 ).9000 ).9500 .o000 ,0500 .1 O00 .I500

1.2000 1.2500 ,3000

1.3500 I .4000 1.4500 I so00 I .5500 1.6000 1.6500 1.7000 1.7500 1 .8000 1.8500 1.9000 1.9500 2.0000 2.0500 2.1 O00

1:709452 1.636212 0.653813 0.166993 0.694757 0.073273 1.699319 1.626458 0.676907 0.1 19887 0.713514 0.073509 1.663662 1.583363 0.706742 0.061989 0.738704 0.073804 1.601775 1.528723 0.718712 0.022774 0.748663 0.074495 1.540941 1.466241 0.714956 0.007852 0.745664 0.074065 1.505546 1.432256 0.705202 0.002759 0.737064 0.074084 1.493802 1.41 8530 0.698643 0.00091 7 0.73 1435 0.073899 1.491055 1.417207 0.695568 0.000302 0.728703 0.073971 1.491238 1.41 7463 0.694289 0.000096 0.727639 0.073900 1.491 782 1.417923 0.693621 0.000029 0.727068 0.073887 1.492045 1.41 8204 0.693232 0.000008 0.726734 0.073882 1.492233 1.41 8372 0.692270 0.000002 0.72651 1 0.073877 1.492340 1.41 8480 0.692810 0.000001 0.726373 0.073875 1.492412 1.418547 0.692706 0.000000 0.726284 0.073873 1.492456 1.418589 0.692641 0.000000 0.726228 0.073872 1.492484 1.418615 0.692600 0.000000 0.726194 0.073871 1.492501 1.418632 0.692574 0.000000 0.726171 0.073871 1.492512 1.418643 0.692557 0.000000 0.726157 0.073870 1.492519 1.418650 0.692547 0.000000 0.726148 0.073870 1.492524 1.418654 0.692540 0.000000 0.726143 0.073870 1.492527 1.418656 0.692536 0.000000 0.726139 0.073870 1.492529 1.41 8658 0.692533 0.000000 0.726137 0.073870 1.492530 1.41 8660 0.692532 0.000000 0.726135 0.073870 1.492530 1.418660 0,692531 0.000000 0.726134 0.073870 1.492530 1.418661 0.592530 0.000000 0.726134 0.073870 1.492531 . 1,418662 0.692530 0.000000 0.726134 0.073870

'TABLA A.3 Doio.~ dc.fli!jo(iii3/s)

tieiiipo I pres 4 I pres 7 [ pres 1 1 I pres 18 I pres 13 I pres 14 0.0000 63.90643 39.45453 28.93359 32.81 652 36.06706 36.05436 0.0500 0. I O00 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500

71.65859 49.95845 29.77121 67.72644 44.64439 29.34790 65.77577 42.00455 29.13746 64.80594 40.69054 29.03268 64.32262 40.03569 28.98044 64.08376 39.71 130 28.95453 63.96586 39.55138 28.94174 63.91014 39.47609 28.93581 63.88938 39.44698 28.93341

41.27213 36.99528 34.87039 33.8 1273 33.28535 33.02406 32.89498 32.83386 32.80981

45.012 17 40.48885 38.24265 37.12559 36.57038 36.29766 36.16644 36.1 101 5 36.09729

44.821 62 40.37452 38.15987 37.05 I40 36.49074 36.20096 36.03944 35.93396 35.84166

I17

1.5000 63.88847 39.44487 28.93329 32.80681 36.1 1522 35.72895 1.5500 63.90660 39.46683 28.93502 32.82269 36. I6730 35.56006 1.6000 63.94678 39.51730 28.93903 32.86013 36.26851 35.27546 1.6500 64.02341 39.61452 28.94685 32.93273 36.45610 34.76616 ).7000 64.17053 39.80039 28.96189 33.07178 36.81075 33.81710 1.7500 64.45759 40.16399 28.991 11 33.34375 37.50084 31.98070 ).8000 65.03570 40.89633 29.05017 33.89157 38.88684 28.30241 1.8500 66.23657 42.41 768 29.1 7295 35.02938 41.75526 20.72592 1.9000 68.791 80 45.65472 29.43408 37.45034 47.80297 4.91468

1.0000 89.60604 72.01051 31.56024 57.15854 87.58017 -70.5781 1.0500 112.3892 100.8176 33.88405 78.68992 125.2897 -120.655 1.1000 139.9265 135.6251 36.69181 104.6892 163.9913 -142.560 1.1500 165.6042 168.2096 39.32031 129.0049 192.0970 -1 17.367

1.2500 195.7056 202.8120 42.1 1157 154.9926 195.6343 57.37593 1.3000 191.1366 197.2325 41.66154 150.8206 191.5128 49.17457 1,3500 181.2744 185.5675 40.72051 142.0792 183.5132 28.55576 1,4000 171.9535 174.1552 39.79999 133.5477 174.2633 16.39265 1.4500 165.6765 166.0469 39.14594 127.5072 166.6856 13.40759 1.5000 162.5665 161.8459 38.80702 124.3861 162.4857 13.40148 1.5500 161.0412 159.7973 38.64185 122.8632 159.6780 17.671 16 1.6000 160.3115 158,8049 38,56179 122.1259 158.7986 17.03502 1.6500 159.9513 158.3198 38.52269 121.7655 158.3404 16.88404 1.7000 159.7797 158.0847 38.50374 121.5910 158.1092 16.86215 1.7500 159.6892 157.9649 38.49401 121.5017 157.9651 16.99884 I .?,O00 159.6483 157.9076 38.48940 121.4595 157.9089 16.99286 1.8500 159.6228 157.8766 38.48697 121.4363 157.8778 16.99306 1:9000 159.6173 157.8662 38.48611 121.4288 157.8653 17.00202 1.9500 159.61 l i 157.8582 38.48547 121.4230 157.8580 16.99984 2.0000 159.6045 157.8513 38.48486 121..4177 157.8513 16.99997 2.4500 159.5987 157.8464 38.48447 121.4138 157.8513 16.99997 2.1000 159.6004 157.8455 38.48441 121.4132 157.8513 16.9999;

1.9500 75.41619 54.04715 30.1 11 15 43.72686 61.44205 -24.5955

1.2000 186.1588 192.0921 41.24686 146.9278 209.0860 -78.5909

TARLA A.4 Du/m de presidii (ill de cO/rimfla de OglIU)

118 9 8 - 0 9 8 2