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RESPUESTAS DELTRABAJO DESARROLLADO EN CLASE DEL DIA LUNES 8 DE SEPTIEMBRE DE 2014

Nota: El tema tratado en este trabajo será evaluado en el primer previo

Archivos de referencia: Modelos matemáticos.

Formulación de modelos matemáticos.

1. El precio de adquisición de una máquina nueva es de $ 12 500.°° , y su valor decrecerá $ 850.°° por año. Encuentre el modelo matemático (ecuación lineal) que presente el valor de la

máquina V en función del tiempo t años después de la adquisición.

Encuentre el dominio y rango explícito de la ecuación anterior.

Dibuje el lugar geométrico de la función.

Encuentre el valor de la máquina después de 3 años de trabajo.

SOLUCIÓN:

El valor de la máquina en función del tiempo t en años de funcionamiento es:

Algunos valores de la máquina:

El valor de la máquina en el momento inicial de su adquisición, cuando ésta todavía no se

ha puesto en funcionamiento, o sea, el valor de V para t = 0, se calcula por:

V (0) = 12500 + 850*(0) = $ 12500.

El valor de la máquina después de 5 años de funcionamiento, o sea, el valor de V para t = 5,

se calcula por: V = 12500 + 850*(5) = $ 8250.

Dominio explícito de la ecuación.

El valor de la máquina decrecerá hasta llegar a cero, por lo tanto, la máquina tendrá valor

hasta 14.705 años, momento en el cual el valor de la máquina será cero.

Luego el dominio explícito de la ecuación será:

Rango de la ecuación.

El valor de V en la ecuación o rango será:

GRÁFICO DE LA ECUACIÓN

El grafico de la ecuación V(t) = 12500 - 850 * t , obtenido por matlab es:

V(t) = 12500 - 850 * t, $, con t en años

0 ≤ t ≤ 14.705 años

12500 ≥ V ≥ 0

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2. Un contratista adquiere un equipo por un valor de $ 36 500.°°.

El combustible y mantenimiento cuesta un promedio de $ 9.25 por hora.

Al operario que lo maneja se le paga 13.50 por hora.

A los clientes se les cobra $ 30.°° por hora.

Encuentre un modelo matemático que presente el costo del equipo C, en función del tiempo

t en horas de funcionamiento del equipo.

Encuentre una ecuación que presente los ingresos I percibidos, en función del tiempo t en

horas, por el funcionamiento del equipo.

Determine el punto de equilibrio, calculando el instante en el que los ingresos son iguales

al costo.

Determine el dominio y el rango de cada una de las ecuaciones anteriores

Dibuje los lugares geométricos.

SOLUCIÓN:

El costo del equipo C en función del tiempo t en horas de funcionamiento del equipo es:

C = 36500 + 9.25*t + 13.50*t = 36500 + 22.75 * t .

Luego,

0 5 10 150

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

X: 5

Y: 8250

Gráfico del valor de la máquina vs el tiempo

tiempo t

Valo

r de la m

áquin

a V

C(t) = 36500 + 22.75 * t, $, con t en horas

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Los ingresos I percibidos, en función del tiempo t en horas de funcionamiento del equipo

es: I = 30 * t,

Luego,

El punto de equilibrio se obtiene en el instante en la cual los ingresos son iguales al costo.

Por lo anterior, 36500 + 22.75 * t = 30 * t , por lo tanto: t = 5034 horas

El punto de equilibrio se obtiene para un tiempo igual a 5034 horas

3. Se corta un alambre de 24 metros de longitud en cuatro trozos para formar un rectángulo

cuyo lado más corto es x. que presente el área del rectángulo

Encuentre un modelo matemático que presente el área del rectángulo A en función del lado

x.

Determine el dominio y rango de la función anterior.

Dibuje el lugar geométrico de la función y encuentre el valor que debe tener x para que se

presente le área máxima.

0 1000 2000 3000 4000 5000 60000

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

4

X: 5030

Y: 1.509e+005

CURVAS DE COSTOS E INGRESOS

Tiempo t en horas

Costo

e I

ngre

sos

I = 30 * t, $, con t en horas

tpunto de equilibrio = 5034 horas

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Determine analíticamente el valor de x para que se presente el área máxima. ¿ cuál es esa

área máxima?

SOLUCIÓN:

Haciendo un bosquejo del rectángulo, tendremos:

El área del rectángulo estará dada por: A = X * l

El perímetro del rectángulo es igual a: 2X + 2 l = 24

Despejando uno de los lados del rectángulo, quedará: l = 12 – X

Por lo tanto, el área del rectángulo en función de la longitud X quedará expresada por:

A = X * (12 – X)

Luego, el modelo matemático que presente el área del rectángulo A(X) en función del lado

X, quedará expresado por:

Dominio de la función.

Mediante el siguiente razonamiento podremos calcular los valores que toma la variable X.

La variable X puede tomar el valor desde un valor ligeramente mayor a cero, hasta cuando l

sea casi igual a cero, o cuando X sea casi igual a 12, por lo tanto el dominio de la función

será:

Rango de la función.

Los valores que toma la función serán:

Cuando X sea casi cero, el área es casi 122 y cuando X sea casi 12, el área es casi cero, por

lo tanto el rango de la función quedará dado por

GRÁFICO DEL ÁREA A(X) VS LONGITUD X

El lugar geométrico de la ecuación A(X) = X * (12 – X), metros2, con X en metros, puede ser

obtenida por medio del programa matlab.

RECTÁNGULO

X

l

A(X) = X * (12 – X), metros2, con X en metros

0 < X < 12 mts

0 > A(X) > 36 mts2

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Método analítico para determinar el área máxima del rectángulo

A partir de la ecuación, A(X) = X * (12 – X), derivamos la ecuación con respecto a X.

Esto es:

= 12 – 2X, igualamos a cero y obtenemos el valor de X para la cual la primera

derivada es cero, o sea , para cuando el área es máxima.

Luego 12 – 2X = 0 ; X = 6 mts

Determinamos el valor del otro lado del rectángulo y encontramos l = 12 – X , o sea,

l = 6 mts.

Determinamos el área máxima: Amáxima = X * l = 6 * 6 = 36 mts2

0 2 4 6 8 10 120

5

10

15

20

25

30

35

40

X: 6

Y: 36

GRÁFICO DE AREA A(x) VS LONGITUD X

LONGITUD X

AR

EA

DE

L R

EC

TÁ

NG

ULO

A(x

)