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ANÁLISIS SÍSMICO DEL TABLERO DE UN PUENTE CON PILAS RÍGIDAS UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS CON MASA

UNIFORME DISTRIBUIDA Ing. Roberto Aguiar Falconí ­ Ing. Marcelo Romo Proaño ­ Ing. Adalberto Vizconde Campos (*)

(*) Ingeniero Civil por la Universidad de Piura. Investigador, Colaborador del Centro de Investigaciones Científicas Escuela Politécnica del Ejército Quito, Ecuador

RESUMEN Se obtienen la matriz de rigidez y de masa para un elemento finito tipo viga con masa uniforme distribuida; el mismo que es utilizado en el análisis sísmico del tablero de un puente de 108 m, de longitud que tiene dos estribos y una pila central, de manera que se tienen luces de 54 m. Las vigas de este tablero, están apoyadas sobre placas de neopreno, las mismas que son modeladas como resortes con rigideces horizontal y vertical. Se comparan las propiedades dinámicas del puente considerando 2, 4, 8, 16, 32 y 64 elementos finitos en cada tramo. Luego se encuentra la respuesta en el tiempo ante dos sismos uno de alta frecuencia y otro de tipo impulsivo. Los resultados hallados con los elementos con masa uniforme distribuida son comparados con los resultados que se encuentran al concentrar la masa en los nudos del elemento finito. Por otra parte, los resultados obtenidos son comparados con las respuestas en el tiempo que se obtuvo al analizar la estructura con aisladores de base FPS, en un modelo espacial de seis grados de libertad, tres para el sistema de aislación y tres para la superestructura. Este modelo considera cinemática y constitutiva no lineal para el FPS e incluye un elemento gap. Por este motivo, la sección transversal utilizada para modelar las vigas de acero con la losa de hormigón, en el caso de cuando está sobre aisladores FPS, es el mismo para cuando se tiene apoyos de neopreno.

1. INTRODUCCIÓN En el estuario del río Esmeraldas, en Ecuador, se están construyendo tres puentes con aisladores de base tipo FPS (Frictional Pendulum System), uno de los puentes tiene dos luces de 54 m, cada uno y en sus extremos está apoyado sobre dos estribos y en su parte central sobre una pila, en la figura 1 se presenta una vista lateral del puente, que está en construcción. Fotografía tomada en Junio de 2009. En el sentido de los apoyos se tienen 6 vigas de acero cada una de ellas está a 3.15 m, de tal manera que el ancho del puente es de 18.90 m. En este artículo se encuentra la respuesta de este puente ante dos eventos sísmicos pero considerando que no tienen aisladores de base sino que están apoyados sobre placas de neopreno. El objetivo del artículo es desarrollar un elemento finito, tipo viga con masa uniforme distribuida y comparar los resultados que se obtienen con este modelo con los que se hallan con otro modelo en el cual se concentra las masas en los nudos del elemento finito. También se compara la respuesta en el tiempo que se halla en el tablero del puente considerando que este se halla sobre aisladores de base FPS, como efectivamente lo está pero el planteamiento numérico no se lo detalla ya que está indicado en Aguiar (2009).

Figura 1: Vista lateral del puente que se halla en construcción en Junio de 2009

Los sismos de análisis son el de El Centro de 1940, cuya aceleración máxima del suelo fue de 0.31 g., siendo g., la aceleración de la gravedad y el registro de New Hall, del sismo de Northridge de 1994; este registro tuvo una aceleración máxima de 0.58 g. El sismo de El Centro es de alta frecuencia y tuvo una duración de 40 s., la magnitud de este evento fue de = w M 6.9 . En cambio el sismo de New Hall es de tipo impulsivo con una duración menor a los 10 s., la magnitud de este evento es M w =6.7

2. DESCRIPCIÓN DEL ELEMENTO FINITO

En la figura 2, se indica el elemento finito utilizado, es una barra de sección constante, de longitud L , con masa uniforme distribuida m , inicialmente se consideran tres grados de libertad en cada nudo pero luego se trabaja únicamente con las dos componentes de desplazamiento del nudo inicial y final, respectivamente.

Figura 2: Elemento Finito utilizado

2.1 Funciones de Forma

Para un elemento de sección constante las funciones de forma o de interpolación, son las siguientes. Aguiar (2004)

φ = −

φ = − +

φ = −

φ =

φ = −

φ = − −

1

2 3

2 2 3

2

3

4

2

5 2

2

6

X (x) 1 L X X (x) 1 3 2 L L X (x) X 1 L

X (x) L X X (x) 3 2

L L X X (x) 1 L L

(1)

Donde la ordenada X se mide a partir del nudo inicial y L es la longitud del elemento. Las ordenadas de la elástica de un punto cualquiera del elemento vienen dadas por:

= φ + φ

= φ + θ φ + φ +θ φ

θ = =

u(x) u (x) u (x) 1 1 2 4 v(x) v (x) (x) v (x) (x) 1 2 1 3 2 5 2 6

dv(x) (x) v ´(x) dx

(2)

Siendo u(x) la componente de desplazamiento axial; v(x) la componente de desplazamiento transversal y θ(x) la rotación del elemento.

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2.2 Matrices de rigidez y de masa del elemento

La matriz de rigidez k y de masas m del elemento finito de sección constante y con masa uniforme distribuida, indicado en la figura 1, se obtiene a partir de las siguientes ecuaciones. Aguiar (1981).

k = φ φ ∫ L

'' '' i j

0 (i, j) EI dx (3)

m = φ φ ∫ L

i j 0

(i, j) m dx (4)

Donde es la rigidez a flexión del elemento; es la masa por unidad de longitud; i, j definen la posición del elemento dentro de las matrices de rigidez y de masas. Luego de encontrar la segunda derivada de las funciones de forma e integrar la ecuación (3) se halla que la matriz de rigidez del elemento: La matriz de masas se obtiene con la ecuación (4). Estas matrices, resultan.

= − − − −

3

2

3 2 3

2 2

EA L 12EI 0 SIMÉTRICA L 6EI 4EI 0

L L k EA EA 0 0 L L

12EI 6EI 12EI 0 0 L L L

6EI 2EI 6EI 4EI 0 0 L L L L

(5)

= − − −

2

2 2

1400 156 SIMÉTRICA

0 22L 4L m L m 420 70 0 0 140

0 54 13L 0 156 0 13L 3L 0 22L 4L

(6)

3. MATRICES DE RIGIDEZ, MASA Y AMORTIGUAMIENTO

Los grados de libertad de la estructura se numeran de la siguiente manera, primero todos los desplazamientos horizontales de los nudos; luego los desplazamientos verticales y finalmente los giros. Con esta acotación se obtuvo las matrices de rigidez de la estructura K y de masas M por ensamblaje directo. Luego se condensaron estas matrices a los grados de libertad horizontal y vertical, de tal manera que para el análisis sísmico se trabaja únicamente con dos grados de libertad por nudo y son las componentes de desplazamiento horizontal y vertical. La matriz de amortiguamiento se obtuvo con la siguiente ecuación. Aguiar et al. (2008).

= Φ Φ % t C M C M (7) Donde C es la matriz de amortiguamiento de la estructura; Φ es la matriz modal cuyas columnas son los modos de vibración; % C es unamatriz diagonal cuyos elementos valen 2 ξ W n , siendoξ el factor de amortiguamiento en cada modo de vibración y W n la frecuencia natural de vibración en cada modo.

4. RIGIDEZ DEL NEOPRENO

En la figura 3 se presenta la sección transversal de una placa de Neopreno. Se ha denominado t i al espesor de la goma. Si se considera que las laminas de acero son infinitamente rígidas con relación a la goma, la rigidez vertical K v de la placa de Neopreno viene dada por.

= ∑

N V

i

A E K t (8)

Donde A es el área del Neopreno que está en contacto con la viga; E N es el módulo de elasticidad del material. Para un Neopreno de dureza A­60 se tiene E N = 0.63 kip/in 2 ; t i es el espesor de la goma, entre láminas de acero, la sumatoria se extiende a toda la altura del Neopreno. Romo (2008).

Figura 3: Sección transversal de una placa de Neopreno

Por otra parte la rigidez horizontal K H , se obtiene con la siguiente ecuación.

= ∑ H

i

G A K t (9)

Donde G es el módulo de corte, para un Neopreno A­60 se tiene, G = 0.15 kip/ in 2 . Las restantes variables fueron ya definidas.

5. MODELO NUMÉRICO DE CÁLCULO En la figura 4 se presenta el modelo numérico utilizado para el análisis sísmico del tablero del puente, el mismo que está apoyado sobre neopreno. Los resortes horizontales trabajan en sentido X, a los dos primeros se los ha dibujado en sentido perpendicular únicamente para que no se confunda con el eje de la viga, al último resorte si se lo colocó en sentido X. Se considera que el tamaño de la placa de neopreno es igual para los tres apoyos y mide 13.78 in x 15.748 in. Por otra parte se tiene que i t 4 0.3149 in = ∗ ∑

Figura 4: Modelo numérico de tablero de puente sobre apoyos de Neopreno

La sección transversal considerada en el estudio se indica en la figura 5 y está compuesta por dos vigas de acero tipo I, cuya alma tiene 2.42 m, y un espesor de 2 cm. El ala es de 62 cm de ancho y un espesor de 2.5 cm. Sobre las vigas se tiene una losa de hormigón de 25 cm, de alto. La rigidez EI = 9286249 Tm 2 ; la rigidez EA = 5340300 T; y la masa por unidad de longitud = 2 m 0.5087 T / s . Aguiar (2009).

Por otra parte la rigidez horizontal y vertical de los apoyos de neopreno son: K H = 460.7 T/m y K v = 1937.6 T/m.

Figura 5: Sección transversal considerada en el estudio

En la parte inferior de la figura 5 se ha representado con un cuadrado al aislador FPS pero ahora se está analizando como que la estructura no tiene aisladores FPS sino que está sobre apoyos de neopreno. En realidad en cada estribo y en la pila central se colocaron tres aisladores FPS.

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6. RESULTADOS OBTENIDOS SOBRE APOYOS DE NEOPRENO

En primer lugar se presentan las respuestas que se obtienen al trabajar con el elemento finito lineal con masa uniforme distribuida; luego se presentan los resultados para el caso en que se discretizan las masas en los nudos. Los dos casos es para la estructura sobre apoyos de neopreno y finalmente se presentan los resultados para cuando existen apoyos FPS.

6.1 Resultados con elementos de masa uniforme distribuida

En la figura 4 se han numerado los dos elementos que tiene el tablero del puente. Ahora bien en cada uno de estos elementos, se han encontrado los períodos de vibración, considerando 2, 4, 8, 16, 32 y 64 elementos finitos, todos ellos de la misma longitud. En la tabla 1 se indican los períodos obtenidos para los cinco primeros modos de vibración.

Tabla 1: Períodos encontrados en función del número de elementos finitos. Modelo de masa uniforme

Modo Número de elementos finitos considerados en cada vano 2 4 8 16 32 64

1 1.08 s. 1.08 s. 1.08 s. 1.08 s. 1.08 s. 1.08 s. 2 0.47 s. 0.54 s. 0.58 s. 0.59 s. 0.59 s. 0.59 s. 3 0.37 s. 0.45 s. 0.52 s. 0.56 s. 0.57 s. 0.57 s. 4 0.16 s. 0.19 s. 0.24 s. 0.27 s. 0.29 s. 0.29 s. 5 0.12 s. 0.12 s. 0.15 s. 0.18 s. 0.20 s. 0.21 s.

De la tabla 1 se desprende que los períodos de vibración tienden a converger cuando se consideran más elementos finitos. Al trabajar con 32 y 64 elementos en cada vano los resultados son prácticamente los mismos. La figura 6, corresponde al caso en que se consideran 16 divisiones en cada uno de los elementos. Nótese que el primer y último elemento de los apoyos tiene una longitud de 0.4 m, y los restantes 3.8 m. Se ha numerado también los grados de libertad, primero todos los horizontales y luego los verticales. Los horizontales llegan a 17 en el primer tramo de la viga, continúa su numeración en el segundo de la viga y es así como después se llega al grado de libertad 34 en el apoyo izquierdo hasta el grado de libertad 50 en la pila central, continúan los grados de libertad vertical en el segundo tramo de la viga.

Figura 6: Numeración de los grados de libertad para el primer tramo de la viga, con 16 elementos

En la figura 7 se indica la respuesta en el tiempo, ante la componente X, del sismo de El Centro, esta componente tiene una aceleración máxima de 0.4 g. En la parte superior de la figura se tiene la respuesta en los apoyos y en la parte inferior en L/4 y L/2. Se aprecia que horizontalmente todos los puntos se mueven lo mismo. El valor del desplazamiento máximo es 0.97 cm.

Figura 7: Respuesta en el tiempo ante sismo horizontal de El Centro de 1940

En la figura 8 se muestra la respuesta en los apoyos, en L/4 y L/2 del primer tramo del puente ante la componente vertical del sismo de El Centro de 1940. Se aprecia que la respuesta máxima en el estribo es 4.51cm, en la pila

7.38 cm, a un cuarto de la luz 7.19 cm, y en la mitad de la luz 8.78 cm. Mientras que en la figura 9 se presenta la respuesta ante la componente horizontal del registro de New Hall de 1994, se aprecia que el desplazamiento lateral máximo es 2.49 cm, y es igual en los cuatro puntos seleccionados.

Ante la componente vertical del registro de New Hall de 1994, los desplazamientos en los puntos anotados del primer vano, se indican en la figura 10. Los desplazamientos máximos en sentido vertical, son: 4.74 cm, en el estribo; 7.68 cm, en la pila central; 7.52 cm, en L/4 y 9.18 cm, en centro de luz. La respuesta en el tiempo se realizó mediante el método denominado Procedimiento de Espacio de Estado.

Figura 8: Respuesta ante componente vertical de sismo de El Centro de 1940

6.2

Figura 9: Respuesta ante componente horizontal de registro de New Hall de 1994

Figura 10: Respuesta ante componente vertical de registro de New Hall de 1994

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6.2 Resultados con masas concentradas

En la figura 11 se muestra el modelo de masas concentradas, para el caso en que se consideran 4 elementos en cada vano. En este caso la matriz de masas no se halla con la ecuación (6), sino que se halla directamente evaluando la energía cinética con lo que se obtiene una matriz diagonal, cuyos elementos son las masas concentradas en cada nudo. Las respuestas en el tiempo ante la acción de los dos sismos, son prácticamente las mismas, lo que difiere un poco son los períodos encontrados. Ahora son los indicados en la tabla 2, se nota que, en el período fundamental se obtienen los mismos resultados, independiente del número de divisiones consideradas pero en los restantes períodos se hay diferencias entre los dos modelos numéricos de análisis, el de masa uniforme distribuida y el de masa concentrada.

Figura 11: Modelo con masa concentradas para cuando se consideran 4 elementos por vano

Ahora bien en la medida que se aumenta el número de divisiones, los períodos hallados con el modelo de masa concentrada tienden a parecerse a los períodos encontrados con el modelo de masa uniforme. Así por ejemplo, para el caso en que se consideran 64 divisiones en cada elemento los valores de la tabla 1 son muy parecidos a los valores de la tabla 2.

Tabla 2: Períodos en función del número de elementos finitos. Modelo de masas concentradas

Modo Número de elementos finitos considerados en cada vano 2 4 8 16 32 64

1 1.08 s. 1.08 s. 1.08 s. 1.08 s. 1.08 s. 1.08 s. 2 0.57 s. 0.58 s. 0.59 s. 0.59 s. 0.59 s. 0.59 s. 3 0.55 s. 0.57 s. 0.58 s. 0.58 s. 0.58 s. 0.57 s. 4 0.40 s. 0.35 s. 0.33 s. 0.31 s. 0.31 s. 0.30 s. 5 0.32 s. 0.27 s. 0.24 s. 0.23 s. 0.22 s. 0.22 s.

Figura 12: Respuesta ante sismo de El Centro, en estructura con aisladores de base FPS.

6.3 Resultados con aisladores de base

Ahora, se presentan los resultados que se obtuvieron al considerar que la estructura está sobre aisladores de base FPS, como efectivamente lo está. Los resultados fueron obtenidos por Aguiar (2009). En la figura 12 se muestra la respuesta ante el sismo de El Centro. También se realizó la respuesta ante el sismo del registro de New Hall. En ambos casos actuaron las tres componentes sísmicas simultáneamente, se aprecia que la superestructura prácticamente no se mueve, son los aisladores los que se desplazan.

7 CONCLUSIONES

­ Los resultados hallados con el elemento finito de masa distribuida, son muy parecidos a los que se hallan cuando se concentran las masas en los nudos. Cuando se consideran 64 divisiones en cada vano del puente. Es decir cuando se trabajan con un número considerable de elementos finitos, esto en cuanto a la comparación de los períodos de vibración ya que la respuesta en desplazamientos de los dos modelos fue muy similar al considerar pocos elementos en cada vano del puente.

­ Al trabajar con elementos finitos de masa uniforme distribuida, se vio que los períodos de vibración son iguales para cuando se trabajó con 32 y 64 elementos. Por lo tanto mientras mayor sea el número de elementos finitos los períodos de vibración son iguales.

­ En el modelo con pilas rígidas los desplazamientos del tablero del puente sin aisladores de base, sobre apoyos de neopreno, son relativamente bajos. En efecto los desplazamientos laterales que se hallan son menores a los 3 cm, y los verticales menores a los 10 cm. Cuando se considera que el puente está sobre aisladores de base FPS, los desplazamientos laterales están en el orden de los milímetros y los verticales menores a los 5 cm. De tal manera y como era de esperarse la estructura sobre aisladores de base prácticamente no se desplaza lateralmente, se levanta ligeramente debido a la forma como funcionan los FPS.

REFERENCIAS

­ Aguiar R., (1981), Dinámica de Estructuras. Materia de Post Grado dictada por el Prof. Simón Lamar. Universidad Central de Venezuela, Caracas, Venezuela.

­ Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras. Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, Tercera Edición, 550 p., Quito, Ecuador.

­ Aguiar R., (2009), "Análisis sísmico de puente con FPS construido en el Ecuador ante dos sismos, uno de alta frecuencia y otro de tipo impulsivo", XVII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, 15 p., Puebla, México.

­ Romo M., (2008), Rediseño Estructural del puente Bahía ­ San Vicente, Cuerpo de Ingenieros del Ejército, 123 p., Quito, Ecuador.