El Granjero Matrices 6x6

Érase una vez un viejo granjero que vivía con su único hijo en unagranja que estaba a igual distancia de varios poblados dentro de lacomarca. En la granja que poseía habían varios animales, entre losestaban caballos, asnos, vacas, cerdos, aves de corral y conejos.

En cierta ocasión el granjero cayó enfermo y todos o casi todos loscultivos se echaron a perder por falta de atención, pues al muchacho nole alcanzaba el tiempo sino solo para atender a su padre enfermo y paracuidar los animales.

Cuando el granjero se recuperó, la llegada del invierno era yainminente, pues se sentía mucho frio y se havía hecho presente la nieveque lo cubre todo con su blanco manto.

Por la enfermedad del genjero las despensas y bodegas estabanbacias, carentes de alfalfa, forraje, maíz, cevada, zanahorias y chiriviaspoara poder alimentar a todos los animales durante toda la temporadade frio, así que decidió enviar a su hijo, una vez cada 15 días para quecompre lo necesario y poder subsistir y mantener a los animales.

El padre entregó a su hijo 20 monedas, para que compre 2 sacos dealfalfa, 1 saco de chirivias, 1 saco de maiz, 1 saco de cevada, 1 saco dezanahorias y 3 sacos de forraje, en el pueblo que está en dirección nortedesde la granja.

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El muchacho tomó el dinero y mientras transitava el sendero hacia elpueblo, pensaba: __no se que costo tiene cada saco de alfalfa, cada sacode chirivias, cada saco de maiz, cada saco de cevada, cada sacodezanahorias y cada sacode forraje, asi que en realidad puedo desisr que xes el costo de cada saco de alfalfa, y el costo de cada saco de chirivias, zel costo de cada sacode de maíz, w el costo de cada saco de cevada, t elcosto de cada saco de zanahorias y u el costo de cada saco forraje. Porlo que se puede decir que :

(1)2x + y + z + w + t + 3u = 20En efecto, luego de que el muchacho llegara al pueble de destino,

compró todo lo que su padre le habia pedido y emprendíó el retorno.Pasados los 15 días siguentes, el granjero nuevamente pidió a su hijo

que saliera a comprar alimento para los animales , pero esta vez endistinta cantidad a la anteriór y que dirigiera hacia el poblado que está al sur de la granja.

Esta vez el padre pidío que compre 3 sacos de alfalfa, 1 saco dechirivias, 1 saco de zanahorias y 2 sacos de forraje. En sta ocasión elmuchacho había llevado 12 monedas que le fueron entregadas antes desalis de la granja.

__Bueno,dijo el muchacho en este poblado, no se que costo tiene elsaco de cada cosa, por lo que se puede decir que :

(2)3x + y + t + 2u = 12Es decir deberé pagas las no más de 12 monedas por los 7 sacos.

Cuando hubo comprado todo lo que su padre le pidíó, emprendíó elretorno a casa donde su padre lo esperaba con mucha anciedad.

Nuevamente y cada 15 dias el granjero pidió a su hijo que fuera acomprar más alimento para los animales y cada vez a un pueblodiferente, así hacia el este una ocasión, hacia el oeste en otra , hacia elnoreste en otra y finalmente hacia el suroeste.

Cada salida de muchacho era con una cantidad distinta de monedas ypara camprar yna cantidad distinta de alimentos, asi:

La tercera vez, con 19 monedas le pidíó que comprara 2 sacos dechirivias, 1 saco de maíz, 1 saco de cevada, 2 sacos de zanahorias y 1

saco de forrajeLa cuarta vez, con 17 monedas le pidió que comprara 1 saco de

alfalfa, 1 saco de cevada, 2 sacos de zanahorias y 3 sacos de forraje. La quinta vez, con 14 monedas le pidíó que comprara 1 saco de

alfalfa, 2 sacos de chirivias, 1 sacos de zanahorias y 3 sacos de forraje.

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Por última vez, con 23 moneas le pidió que comprara 1 saco dealfalfa, 1 saco de chirivias, 3 sacos de cevada y 4 sacos de forraje.

Como en las dos primeras ocasiones el muchacho no sabía el costode cada saco de alimento en cada pueblo al que el iba, por lo que cadavez antes de realizar sus compras tenía el mismo razonamiento con elque se planteba en datalle la igualdad de la suma de los precios y lacantidad de monedas que llevaba, es decir su razonamiento en cada unade las cuatro ocasiónes finales era:

Para la tercera salida: (3)2y + z + w + 2t + u = 19

Para la cuarta salida: (4) x + w + 2t + 3u = 17

Para la quinta salida: (5)x + 2y + t + 3u = 14

Y para la sexta salida: (6)x + y + 3w + 4u = 23

Cuando el invierno terminó y una tarde en que el granjero y su hijoestaban sentados a la mesa , surgíó esta pregunta por parte del hijo.

__Sabes padre, creo que hemos debido comprar el alimento de losanimales en en un solo lugar, especificamnte en el pueblo que está alsur, pues alli solo hemos pagado 12 monedas, mientras que en el restode lugares para las compras se requirió mayor cantidad de diner.

El padre que lo escuchaba con atención, pensó por un momento enlo que su hijo le habia dicho y luego le contestó asi:

__No hijo mío, el costo de cada saco del mismo alimento paraanimales en cada pueblo es el mismo. La razón por la que pagamosdistintas cantidades de dinero es porque compramos distintascantidades de cada alimento en cada ocasión. Mira , te lo voy a mostrarenseguida.

Si tu recuerdas lo que compraste en cada salida, podremos escribirlocomo una ecuasíón lineal, así en realidad son 6 ecuaciónes y 6

incógnitas, lo que hace que se forme el sistema (1)2x + y + z + w + t + 3u = 20

(2)3x + y + 0z + 0w + t + 2u = 12 (3)0x + 2y + z + w + 2t + u = 19

(4)x + 0y + 0z + w + 2t + 3u = 17 (5)x + 2y + 0z + 0w + t + 3u = 14 (6)x + y + 0z + 3w + 0t + 4u = 23

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Donde:x es el costo de cada saco de alfalfa,.y es el costo de cada saco de chirivias.z es el costo de cada saco de de maíz.w es el costo de cada saco de cevada.t es el costo de cada saco de zanahorias y u es el costo de cada saco forraje.Ahora si resolvemos este sistema, entonces se tiene que al haccer

operaciones elementales entre las filas se van eliminando variables deuna misma columna así:

A la ecuación (2) le asignamos E2 −3E 1 + 2E2

A la ecuación (4) le asignamos E4 E 1 − 2E4

A la ecuación (5) le asignamos E5 E 1 − 2E5

A la ecuación (6) le asignamos E6 2E 1 − 4E6

El sistema de ecuaciones de transforma en un sistema equivalenteque es

2x + y + z + w + t + 3u = 20 (1)

0x − y − 3z − 3w − t − 5u = −36 (2)

0x + 2y + z + w + 2t + u = 19 (3)

0x + y + z − w − 3t − 3u = −14 (4)

0x − 3y + z + w − t − 3u = −8 (5)

0x − 2y + 2z − 10w + 2t − 10u = −52 (6)

Al aplicar nuevamente operaciones elementales entre filas para estesistema se tiene que

A la ecuación (2) le asignamos E2 −E2

A la ecuación (3) le asignamos E3 2E2 + E3

A la ecuación (4) le asignamos E4 E2 + E4

A la ecuación (5) le asignamos E5 −3E2 + E5

A la ecuación (6) le asignamos E6 −2E2 + E6

Entonces el sistema equivalente es

4

2x + y + z + w + t + 3u = 20 (1)

0x + y + 3z + 3w + t + 5u = 36 (2)

0x + 0y − 5z − 5w + 0t − 9u = −53 (3)

0x + 0y − 2z − 4w − 4t − 8u = −50 (4)

0x + 0y + 10z + 10w + 2t + 12u = 100 (5)

0x + 0y + 8z − 4w + 4t − 0u = 200 (6)

Al aplicar nuevamente operaciones elementales entre filas para estesistema se tiene que

A la ecuación (4) le asignamos E4 2E3 − 5E4

A la ecuación (5) le asignamos E5 10E3 + 5E5

A la ecuación (6) le asignamos E6 8E3 + 5E6

Entonces el sistema equivalente es

2x + y + z + w + t + 3u = 20 (1)

0x + y + 3z + 3w + t + 5u = 36 (2)

0x + 0y − 5z − 5w + 0t − 9u = −53 (3)

0x + 0y + 0z + 10w + 20t − 22u = 144 (4)

0x + 0y + 0z + 0w + 10t − 30u = −30 (5)

0x + 0y + 0z − 60w + 20t − 72u = −324 (6)

Al aplicar nuevamente operaciones elementales entre filas para estesistema se tiene que

A la ecuación (6) le asignamos E6 60E4 + 10E6

Entonces el sistema equivalente es

2x + y + z + w + t + 3u = 20 (1)

0x + y + 3z + 3w + t + 5u = 36 (2)

0x + 0y − 5z − 5w + 0t − 9u = −53 (3)

0x + 0y + 0z + 10w + 20t + 22u = 144 (4)

0x + 0y + 0z + 0w + 10t − 30u = −30 (5)

0x + 0y + 0z − 0w + 1400t + 600u = 5400 (6)

5

Al aplicar nuevamente operaciones elementales entre filas para estesistema se tiene que

A la ecuación (6) le asignamos E6 −140E5 + E6

Entonces el sistema equivalente es

2x + y + z + w + t + 3u = 20 (1)

0x + y + 3z + 3w + t + 5u = 36 (2)

0x + 0y − 5z − 5w + 0t − 9u = −53 (3)

0x + 0y + 0z + 10w + 20t + 22u = 144 (4)

0x + 0y + 0z + 0w + 10t − 30u = −30 (5)

0x + 0y + 0z − 0w + 0t + 4800u = 9600 (6)

De la ecuación número (6) se puede dspejar la variable u,obteniendose

, que es equivalente a u= 96004800 u = 2

Sustituyendo u en la ecuación 5 y luego despejando t, se tiene que

, es decirt= −30+30u10

, que es equivalente a t=−30+30(2)

10 t = 3

Sustituyendo u y t en la ecuación (4) para luego despejando w, setiene que

es decirw= 144−22u−20t10 ,

que es equivalente a w=144−22(2)−20(3)

10 w = 4

Sustituyendo u ,t y w en la ecuación (3) para luego despejando z, setiene que

es decirz= −53+9u+5w−5 ,

que es equivalente a z=3z=−53+9(2)+5(4)

−5

6

Sustituyendo u ,t , w y z en la ecuación (2) para luego despejando y,se tiene que

es deciry = 36 − 5u − t − 3w − 3z,

que es equivalente a y=2y = 36 − 5(2) − 3 − 3(4) − 3(3),

Finalmente en la ecuación (1) si se despeja la variable x y se sustituyelos valores ya conocidos de u, t, w ,y, z se obtiene.

, es decirx=20−3u−t−w−z−y

2

, que es equivalente a x=1x=20−3(2)−3−4−3−2

2

__Bueno, ahora que ya tenemos los valores para cada variable,podemos comprobar que en cada ciudad el costo de los sacos de cadatipo de alimento para animales no varía, es el mismo, asi, tenemos queen el sistema original, al sustituir los valores de las variables se tiene:

2(1) + 2 + 3 + 4 + 3 + 3(2) = 20 (1)

3(1) + 2 + 0 + 0 + 3 + 2(2) = 12 (2)

0 + 2(2) + 3 + 4 + 2(3) + 2 = 19 (3)

1 + 0 + 0 + 4 + 2(3) + 3(2) = 17 (4)

1 + 2(2) + 0 + 0 + 3 + 3(2) = 14 (5)

1 + 2 + 0 + 3(4) + 0 + 4(2) = 23 (6)

Operando los valores, dentro de cada renglón se tiene que

2 + 2 + 3 + 4 + 3 + 6 = 20 (1)

3 + 2 + 0 + 0 + 3 + 4 = 12 (2)

0 + 4 + 3 + 4 + 6 + 2 = 19 (3)

1 + 0 + 0 + 4 + 6 + 6 = 17 (4)

1 + 4 + 0 + 0 + 3 + 6 = 14 (5)

1 + 2 + 0 + 12 + 0 + 8 = 23 (6)

Ahora al sumar las cantidades de cada renglón se tiene la igualdadpara cada uno , lo que significa que el valor unitario de de cada saco de

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alimento de animales, en cada pueblo es el mismo, pot tanto no haydiferncia en haber comprado en uno u otro lugar.

20 = 20

12 = 12

19 = 19

17 = 17

14 = 14

23 = 23

pueblo 1

Pueblo 2

pueblo 3

pueblo 4

pueblo 5

pueblo 6

__Lo ves hijo mio, en realidad no importaba el lugar donde hayamoscomprado, los precios son los mismos, pu único que varío es lacantidad de cada una de las cosas que estabamos comprando, lo quedeterminó la variabilidaqd de los precios totales en cada poblado.

CONCLUSIÓN : ¿Qué es el número?

Con la invención de la escritura, un paso que define la línea deseparación entre lo prehistórico y lo histórico, tuvo que darse el pasosiguente: había que escribir los números, símbolos que se correspondencon la idea de cantidad o de contar.

Desde tiempos antiguos el hombre ha escrito los números de una uota forma , pero siempre con la misma idealización de relacionrla concantidad.

El estudio de ciertas propiedade que cumplen los números haproducido una enorme cantidad de tipos de números, como complejos,racionales, irracionales, enteros, reales e imaginarios. .

Sin embargo el hombre como ser que tiene un entorno que lo rodea,trata insistentemente de explicar ese entorno y recurre a los númerosque le proporcionan la manera de expresar magnitudes, proporciones,de establecer un orden y correspondencias, asi como también elordenamiento de números en filas y columnas puede proporcionar ladescripción de un fenómeno o acontecimiento.

Pero el número no solo es la idealización de cosas físicas ymensurables, sinó que es también la idealización de lo ifinito de nomensurable. Pues es propio de los números que formen conjuntos y sunconjuntos de los que se tiene conocimiento de inicio, pero no del fin oviceversa.

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