willian arroyo

7/25/2019 Willian Arroyo

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Willian Arroyo

CI: 26.461.435

1. UTILIZAR LA DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Y RESOLVER LA

SIGUIENTE FUNCION

( ) t t F 2cosh5

8

3

5+=

Solución:

L {t }=∫0

+∞5

3 e

−st dt =

5

3 limh−∞∫0

h

e−st

dt

e−st

dt =¿−1

s e

−st

∫ ¿

¿5

3 limh→∞

∫0

h

e−st

dt =5

3 limh→∞ (

−1

s e

−sh+1

s )= 5

3 s

L{53}= 5

3s

L {cosh (2 t ) }=∫0

∞

cosh (2 t ) e−st

dt

Luego, haciendo el prier ca!io de "aria!le por par#e$ $e #iene

u=cosh (2 t ) , du=2sinh (2 t )dt ,dv=e−st

d t , v=−1

s e

−st



∫cosh (2t ) e−st

dt =−1

s e

−st cosh (2t )+2

s∫ sinh (2 t ) e

−st dt

%l $egundo ca!io de "aria!le por par#e$ e$

u=sinh (2 t ) , du=2cosh (2 t )dt ,dv=e−st

d t , v=−1

s e−st

%n#once$,


dt =−1

s e

−st cosh (2t )+2

s (−1

s e

−st sinh (2 t )+ 2

s∫cosh (2 t ) e

−st dt )

∫cosh (2t ) e−st dt =

−1

s e

−st cosh (2t )− 2

s2e−st

sinh (2t )+ 4

s2∫ cosh (2 t )e−st

dt


dt −4

s2∫cosh (2 t ) e

−st dt =

−1

s e


s2 e−st

sinh (2 t )

s2−4

s2 ∫cosh (2t ) e

−st dt =

−1

s e

−st cosh (2 t )− 2

s2 e−st

sinh (2 t )

&or #an#o


dt = s

2

s2−4 (−1

s e

−st cosh (2 t )− 2

s2 e−st

sinh (2 t ))%n con$ecuencia,

∫0

∞

cosh (2t ) e−st dt ¿ lim

h→∞ [ s2

s2−4 (−1

s e


s2e−st

sinh (2t ))]h0

¿ s

2

s2−4

f ( s)= 5

3 s+8

5

s2

s2−4



2. UTILIZAR PROPIEDADES Y TABLA PARA DETERMINAR LA TRANSFORMADA

DE LAPLACE. ENUNCIE LAS PROPIEDADES ANTES DE RESOLVER.

SIMPLIFIQUE LOS RESULTADOS.

( ) ( ){ } ( ) 42"

4

343cos

5

8t et t F sit F t F t

+−== −

L

Solución:

F ' ( t )=−24

5 sin (3t )+8e−2 t +3 t 3

F ' ' ( t )=−72

5 cos (3 t )−16 e

−2 t +9t 2

'#ili(areo$ la$ $iguien#e$ )orula$

L {cos(kt )}= s

s2

+k 2

, L {eat }= 1

s−a

, L {t n }= n !

sn+1

Ahora !ien,

F ( s )= L {−72

5 cos (3 t )−16e

−2 t +9 t 2}

¿−72

5 L {cos (3 t ) }−16 L {e−2t }+9 L {t

2 }

¿−72

5

s

s2+9−16

1

s+2+92 !

s3



s

5(¿¿ 2+9)− 16

s+2+18

s3

F (s )=−72 s¿

3. Aplicar Tabla !i"pli#icaci$% & "'()*) c)rr+!p)%*i+%(+ para *+(+r"i%ar

( ){ } ( )t F s f L =−1

( )( )

+−++

−

+

+

+−

+−−−−

2

735

62

3

5

2

33

1688

742

2262

1

s s

s

s

s

s s

s L

Solución:

√ 2 ( s−4 )−7

8( s2−8s+16)3

=√ 2(s−4)

8 (s−4)6 −

7

8 (s−4 )6=√ 2

8

1

( s−4 )5−7

8

1

(s−4)6

L−1{ √ 2 (s−4 )−7

8 ( s2−8 s+16 )3 }=√ 2

8 L

−1 { 1

(s−4 )5 }+ 7

8 { 1

(s−4)6 }=√ 2

8e4 t t

4

4 !+7

8e4 t t

5

5 !( A)

* por o#ra par#e,

5s+3

s2−s+

7

2

= 5 s+3

(s−1

2 )2

+13

4

= 5 s

(s−1

2 )2

+13

4

+ 3

(s−1

2 )2

+13

4

¿5 s−

5

2+5

2

(s−1

2 )2

+13

4

+ 3

(s−1

2 )2

+13

4

=(5 s−

5

2 )(s−

1

2 )2

+13

4

+

5

2

(s−1

2 )2

+13

4

+ 3

(s−1

2 )2

+13

4



¿5(s−1

2 )

(s−

1

2

)

2

+13

4

+

11

2

(s−

1

2

)

2

+13

4

=5

(s−1

2 )

(s−

1

2

)

2

+13

4

+11

2

1

(s−

1

2

)

2

+13

4

%n#once$

L−1

{ 5s+3

s2−s+

7

2 }= L

−1

{5

(s−1

2 )

(s−

1

2

)

2

+13

4

+11

2

1

(s−

1

2

)

2

+13

4

}¿5 L

−1 { (s−1

2 )(s−

1

2 )2

+13

4 }+ 11

2 L

−1

{ 1

(s−1

2 )2

+13

4 }

¿5

e

1

2t

cos

(√ 13

2 t

)+11

2

2

√ 13 e

1

2t

sin

(√ 13

2 t

)=5

e

1

2t

cos

(√ 13

2 t

)+ 11

√ 13 e

1

2t

sin

(√ 13

2 t

)(B)

√ 3(s+32 )+5

(s+ 3

2 )2

−6

=√ 3(s+ 3

2 )(s+ 3

2 )2

−6

+ 5

(s+ 3

2 )2

−6

L−1

{ √ 3(

s+3

2 )(s+

3

2 )2

−6 }=√ 3cosh ( √ 6 t )



L−1

{ 5

(s+3

2 )2

−6 }= 5

√ 6sinh (√ 6 t )(C )

%n con$ecuencia co!inando +A , +- * +C #eneo$ lo $iguien#e

L−1{ √ 2 (s−4 )−7

8 ( s2−8s+16 )3+

√ 3(s+32 )+5

(s+ 3

2 )2

−6

− 5 s+3

s2−s+

7

2 }= L−1{ √ 2 ( s−4 )−7

8( s2−8 s+16)3 }− L−1{ √ 3(s+3

2 )(s+ 3

2 )2

−6 }− L−1

{ 5

(s+32

¿ √ 2

8 e

4 t t 4

4 !+7

8 e

4 t t 5

5!−√ 3cosh (√ 6 t )− 5

√ 6sinh (√ 6 t )+5e

1

2t

cos(√ 132 t )∓ 11

√ 13e

1

2t

sin (√ 132 t )

4. U(ili,ar +l (+)r+"a *+ C)%-)lci$% & *+(+r"i%+

( )

+−

16

52

231

s s

s L

Solución:

L−1{ 2√ 5

s3 ( s

2+16) }=2√ 5 L−1{1s3

1

s2+16}

¿2√ 5 L−1{1s3}∗ L

−1{ 1

s2+16}

¿2√ 5[ t 2∗14

sin (4 t ) ]

¿ √ 5

2 ∫

0

t

sin (4 τ )( t −τ )2dτ



¿ √ 5

2 ∫

0

t

sin (4 τ ) (t 2−2 tτ +τ

2 ) dτ

¿ √ 5

2 ∫

0

t

[t 2sin (4 τ )−2 tτ sin (4 τ )+τ

2sin (4 τ ) ]dτ

¿ √ 5

2 [ t 2 (−cos (4 τ ) )4

−2t ( 14 sin (4 τ )− τ

4( cos (4 τ ) ))+(−τ

2

4(cos ( 4 τ ) )+ 2

4 ( 14 (cos ( 4 τ ) )+ τ

4sin ( 4 τ )))]

0

t

¿−√ 5

8 t

2cos (4 t )−√ 5

4 t sin ( 4 t )+√ 5

4 t

2cos (4 t )−√ 5

8 t

2cos ( 4 t )+√ 5

16 cos (4 t )+ √ 5

32 t sin (4 t )

(4 t )−√ 5

8 t

2cos (4 t )+√ 5

16 cos (4 t )=¿ √

5

16 cos ( 4 t )− 7

32t sin (4 t )

¿√ 5

8 t

2cos (4 t )−

7

32t sin¿

&or #an#o,

L−1{ 2√ 5

s3 ( s2+16) }=√ 5

16 cos ( 4 t )− 7

32 t sin (4 t )

5. Solución:

Coo la )unción sin (n w0

t ) e$ una )unción ipar para #odo n y la

)unción cos(nw0 t ) e$ una )unción par para #odo n, e$ de e$perar ue

a./ Si f (t ) e$ par, $u $erie de 0ourier no con#endr #rino$ $eno y

por lo #an#o bn=0 para #odo n.

!./ Sif (t )

e$ ipar, $u $erie de 0ourier no con#endr #rino$ co$eno

y por lo #an#o an=0 para #odo n.

willian arroyo

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