plantel20matema.files.wordpress.com€¦ · web viewrevisión del material: guadalupe coello,...

COLEGIO DE BACHILLERES

CUADERNO DE TRABAJO

Matemáticas VI Estadística y Probabilidad

CUADERNO DE TRABAJOMatemáticas VI Estadística y Probabilidad

Elaboradores:Efraín Nava ÁlvarezJulio Alberto Ontiveros RodríguezLorena Mendoza GutiérrezClaudia Angélica Jiménez Ramírez

Coordinadores:David Simón Contreras Rivas José de Jesús Sánchez Vargas

Revisión del Material: Guadalupe Coello, Jefa del Departamento de Diseño Curricular.

Colegio de Bachilleres, México, 2012. Subdirección de Planeación Curricular.Coordinación de la Academia de Matemáticas

El presente material no persigue fin alguno de lucro, toda la información compilada tiene sólo fines educativos.

Este material está sujeto a modificaciones por parte del docente que lo use y puede ser copiado y reproducido por cualquier forma y medio, en su totalidad o en partes, según convenga tanto a profesores como a alumnos.

2

Contenido

Introducción.............................................................................................................................................5

Bloque temático I: Estadísica Descriptiva…............................................................................................6

¿Cuánto sabes?...................................................................................................................................6Ejercicio: sopa de letras.......................................................................................................................9Ejercicios:...........................................................................................................................................11Problemática: Todo por servir se acaba.............................................................................................12

Área entre dos curvas............................................................................................................................15

Sólidos de revolución.............................................................................................................................23

Problemática: La forma sí cuenta.......................................................................................................23Ejercicios............................................................................................................................................27Autoevaluación Bloque I.....................................................................................................................29Guía de observación..........................................................................................................................31Lista de cotejo....................................................................................................................................32

Anexo 1 Instalación del Geogebra..................................................................................................34Anexo 2 Uso básico........................................................................................................................38Anexo 3 Tabla de derivadas e integrales........................................................................................40

Bloque temático II: La indefinida............................................................................................................49

Integración por cambio de variable........................................................................................................51

Integración por partes............................................................................................................................60

Integración por descomposición de fracciones simples (parciales)......................................................69

Autoevaluación bloque II: la indefinida...............................................................................................72Guía de observación..........................................................................................................................73Fuentes de información......................................................................................................................74¿Cuánto sabes?.................................................................................................................................75

Eventos excluyentes..............................................................................................................................77

Eventos NO excluyentes.......................................................................................................................79

Probabilidad de eventos independientes...............................................................................................83

Distribución Binomial.............................................................................................................................85

Ejercicios.........................................................................................................................................85Anexo 4 Uso de la Binomial con Excel...........................................................................................89

Bloque temático IV: Estimación y contraste..........................................................................................91

¿Cuánto sabes?..............................................................................................................................91Distribuciones muestrales: t-student y normal.......................................................................................92

Distribución Normal............................................................................................................................92Ejercicios.........................................................................................................................................95

Problemática ¿Barriga llena, corazón contento?..............................................................................98Intervalo de confianza estimar la proporción poblacional..................................................................99

Ejercicios:......................................................................................................................................101Intervalo de confianza estimar la media poblacional........................................................................102

Ejercicios:......................................................................................................................................104Prueba de hipótesis para la proporción............................................................................................105

Ejercicios:......................................................................................................................................107Ejercicios de prueba de hipótesis para la media..........................................................................110

3

Inferencias para muestras chicas.....................................................................................................111Ejercicio.........................................................................................................................................111

Intervalos de confianza para la media (muestras chicas)................................................................112Distribución Ji-cuadrada...................................................................................................................114

Ejercicios:......................................................................................................................................118Anexo 5 Tabla de Distribución Normal Estándar..........................................................................121Anexo 6. Tabla de la distribución t de student..............................................................................122Anexo 7 Tabla de Distribución Ji cuadrada..................................................................................123

Fuentes de información....................................................................................................................124

4

BLOQUE II: TEORIA DE LA PROBABILIDAD

Propósito: El estudiante comprende espacios muestrales y eventos, utilizando los enfoques, leyes de probabilidad y cálculos probabilísticos, técnicas de conteo, variable aleatoria y valor esperado, organizando las actividades con base en el trabajo colaborativo, para solucionar problemas, tomar decisiones, analizar y explicar el comportamiento de fenómenos aleatorios en situaciones cotidianas.

Núcleo temático: las diferentes caras del azar

Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva.

Probabilidades de eventos excluyentes y no excluyentes.

Probabilidad de eventos independientes.

Probabilidad condicional.

Probabilidad de selección con y sin reemplazo.

Distribución binomial.

Qué debes saber, saber hacer y saber ser para que te evalúen:

Elaborar y elegir estrategias de solución a las problemáticas situadas.

Argumentar la solución de las problemáticas haciendo uso del lenguaje matemático.

Aplicar métodos y técnicas de integración en el cálculo de áreas y volúmenes.

Trabajar de manera colaborativa.

Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación.

Aprendizajes mínimos necesarios para abordar el bloque

Trabajo colaborativo y uso de TIC.

Operaciones con racionales y Leyes de los exponentes (potenciación).

Cálculo de probabilidades.

Tablas de frecuencias

Diagramas de árbol, histogramas.

¿Cuánto sabes?

Con la finalidad de conocer tus habilidades y conocimientos sobre el cálculo de las probabilidades de eventos, resuelve los siguientes ejercicios en forma colaborativa.

I. Resuelve las siguientes operaciones básicas de la aritmética y compara tus resultados con tus compañeros.

a)

b)

c)

d) ¿Se pueden realizar las siguientes operaciones tal como se muestran? Explica porque; y de acuerdo a tu respuesta plantea como se resolverían.

e)

f)

Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva

Investiga con tus compañeros, en internet o en libros de texto de probabilidad los siguientes conceptos:

a) Enfoque clásico de la probabilidad.

b) Interpretación frecuentista de la probabilidad.

c) Enfoque subjetivo de la probabilidad.

6

Eventos excluyentes

Investiga cómo se representan gráficamente las operaciones entre conjuntos mediante los diagramas de Venn.

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

1. Representa gráficamente dos eventos excluyentes

2. Investiga la fórmula para encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos excluyentes y escríbela en el recuadro siguiente

3. En una encuesta a alumnos del Colegio se encontró que el 40% tiene sangre tipo O+ y el 25% tipo A (es conveniente que utilices diagramas de Venn).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no tenga sangre tipo O+?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar tenga de alguno de estos dos tipos de sangre?

4. Un estudio revela que el 50% de los padres de los alumnos de una escuela son casados mientras que el 30% son divorciados.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no tenga padres divorciados?

7

U

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado en forma aleatoria no tenga padres casados ni divorciados (separados, fallecidos, etc.)?

5. En un grupo de personas, algunas están a favor del matrimonio homosexual (F) y otras en contra (C). Se pregunta a tres personas de este grupo y se registra su opinión, a favor o en contra.

a) Escribe el espacio muestral de las posibles respuestas (puedes utilizar un diagrama de árbol o un listado).

b) Escribe el evento A: "a lo más una persona está en contra de este tipo de matrimonios"

c) Escribe el evento B: "exactamente dos personas están a favor este tipo de matrimonios"

6. El profesor de matemáticas selecciono a 5 de sus mejores promedios de la clase de probabilidad, con el fin de darle a uno de ellos un incentivo como motivación y reconocimiento por su buen aprovechamiento, Sin embargo resulta imposible darle el incentivo a los 5, los nombres de cada uno de los alumnos: Alma, Javier, Estrella, Aimé y Juve, motivo por el cual el profesor ha decidido realizar un sorteo para seleccionar al azar a uno de ellos. El profesor ha colocado en una urna cinco papelitos idénticos con las iniciales de cada uno de los alumnos.

a) ¿Qué probabilidad tiene Alma de ser la afortunada?

b) ¿Qué probabilidad tiene Juve de ser el afortunado?

c) ¿Qué probabilidad tendrán Estrella o Aimé o Javier de ser los afortunados?

d) ¿Qué probabilidad tendrán Alma o Juve de ser los afortunados?

8

Eventos NO excluyentes

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

1. Iván y Ariadna tienen hambre, salen a la tienda que esta frente al Colegio de Bachilleres, para

comprarse una torta, la señora de la tienda ya sabe qué tortas son más vendidas, por lo que cierta

tarde solo dispone de las siguientes existencias:

Tortas Jamón Milanesa

Con quesillo 14 8

Sin quesillo 10 18

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la torta que compren sea de milanesa con quesillo?

b) Si compran una torta de milanesa, ¿cuál será la probabilidad de que no tenga quesillo?

c) Si compran una torta que tenga quesillo, ¿cuál será la probabilidad de que sea de jamón?

Para encontrar estas probabilidades, es necesario que completes la tabla, es decir debes obtener los totales por renglón y

columna y aplicar las fórmulas básicas de probabilidad para dar las respuestas correctas.

Tortas Jamón Milanesa Totales

Con quesillo

Sin quesillo

Totales

2. En un plantel del Colegio de Bachilleres 80 alumnos cursan Filosofía en dos grupos; el primero atiende al 60% de y el otro grupo al resto. En el primer grupo aprueba el 50% los alumnos y en el segundo grupo el porcentaje de aprobados es del 25%.

Con estos datos completa la tabla de frecuencias y con ella responde las siguientes preguntas.

9

Grupo Aprobados Reprobados Totales

Uno

Dos

Totales

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar apruebe el curso de filosofía?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar sea del grupo Uno?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar no apruebe y sea del grupo Dos?

3. Dado el siguiente espacio muestral y eventos

Ω= Usuarios de telefonía celular en la ciudad de México

A= Usuarios de la compañía Telcel en la ciudad de México

B= Usuarios de la compañía Movistar en la ciudad de México

Relaciona los eventos con su representación correcta en los diagramas de Venn.

a) Usuarios que no prefieren a ninguna de las dos compañías

b) Usuarios solo prefieren a Telcel

c) Usuarios que prefieren a Movistar pero no a Telcel

d) Usuarios que gustan de ambas compañías

e) Usuarios

que prefieren a

Telcel o a

Movistar (o

bien a ambas)

10

4. En una escuela de idiomas, el 60% de los alumnos estudia inglés, el 30% francés, el 15% ambos

idiomas y el resto algún otro idioma.

a) Define los eventos y sus probabilidades.

Eventos Probabilidades

__________________ ___________

__________________ ___________

__________________ ___________

b) Representa las probabilidades en el diagrama de Venn.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno

de dicha escuela, seleccionado al azar estudie francés pero no inglés?

11

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de dicha escuela, seleccionado al azar estudie

inglés o francés?

5. Una encuesta a los profesores del Colegio revela que el 25% se informan de las noticias por

medio de Internet, el 40% a través de los diarios y el 8% utiliza tanto Internet como los diarios

a) Define los eventos y sus probabilidades.

Eventos Probabilidades

__________________ ___________

__________________ ___________

__________________ ___________

b) Representa las probabilidades en el diagrama de Venn.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor del Colegio, seleccionado al azar no utilice

Internet para enterarse de las noticias?

12

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un profesor del Colegio, seleccionado al azar utilice solo uno

de estos dos medios para enterarse de las noticias?

Probabilidad de eventos independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).

Un caso típico de eventos independientes es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomado el elemento de la muestra, se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Existen tres tipos de probabilidad independiente: Marginal, Conjunta, Condicional

Probabilidad marginal o incondicional es la representación simple de un evento.

Probabilidades conjuntas bajo condiciones de independencia estadística es la probabilidad de dos o más eventos independientes que se presentan juntos y es el producto de sus probabilidades marginales.

Probabilidad Condicional P(A/B) representa el caso en que el segundo evento B ocurre luego que el evento A, ya ha tenido lugar, es decir, nos dice cuál será la probabilidad del evento B una vez que el evento A ya ocurrió.

Tipo de Probabilidad Símbolo Fórmula

Marginal P(A) P(A)

Conjunta P(AB) P(A) P(B)

Condicional P(A/B) P(B)

6. Alan es un alumno del Colegio de Bachilleres y es jugador de Básquetbol, casi siempre le comenten falta por lo que en cada partido tiene dos tiros libres por cada falta que le cometen. Si la probabilidad de que Alan enceste es de 0.8, independientemente del tiro que haga. Calcula la probabilidad de que el tirador:

a) Enceste en ambos tiros

b) Enceste sólo uno de los dos tiros

c) Enceste por lo menos un tiro

13

http://www.monografias.com/trabajos/explodemo/explodemo.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml

d) No enceste ninguno de los dos tiros

7. Un Profesor que se encarga de dar asesorías de contenido sabe que en promedio acuden a solicitarle asesorías: en el turno matutino 3 alumnos con problemas de álgebra, 8 con problemas de cálculo integral y 3 con problemas de geometría analítica. En el turno vespertino 2 con problemas de álgebra, 3 con problemas de cálculo integral y 1 con problemas de geometría analítica.

En la tabla se muestran las frecuencias absolutas tomados los datos del enunciado.

Asesorías Álgebra Cálculo Integral Geometría Analítica TOTAL T.M 3 8 3 T.V. 2 3 1

TOTAL

Con base en ella calcula la probabilidad de los siguientes eventos:

a) Que un alumno seleccionado al azar acuda a solicitar asesorías de contenido en el turno vespertino.

b) Que un alumno seleccionado al azar acuda a solicitar asesorías de cálculo integral.

c) Que un alumno seleccionado al azar acuda a solicitar asesorías de contenido de álgebra por la mañana.

BLOQUE III: DISTRIBUCIONES PROBABILISTICAS

Propósito: El estudiante aplica las distribuciones binomial y normal asociadas a experimentos aleatorios, utilizando sus parámetros y tablas, apoyándose en el uso de las TIC y el trabajo colaborativo, para incrementar su razonamiento matemático en el cálculo de probabilidades propio de la solución de ejercicios y problemas estadísticos y fortalecer su capacidad en la toma de decisiones.

Para abordar este bloque temático deberás conocer, manejar y aplicar los siguientes temas:

14

Cálculo de la media.

Conceptos básicos de estadística.

Conceptos y temas que debes aprender en este bloque:

Distribución Binomial

Distribuciones muestrales: t-student y normal.

Intervalos de confianza para la media y la proporción.

Prueba de hipótesis para la media y la proporción.

Distribución Ji-cuadrada. Pruebas de hipótesis para tablas de contingencia.

Qué debes saber, saber hacer y saber ser para que te evalúen:

Elaborar y elegir estrategias de solución a las problemáticas situadas.

Argumentar la solución de las problemáticas haciendo uso del lenguaje matemático.

Aplicar métodos y técnicas calcular probabilidades de una Distribución Binomial y Normal.

Trabajar de manera colaborativa.

Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación.

Aprendizajes mínimos necesarios para abordar el bloque

Trabajo colaborativo y uso de TIC.

Operaciones con racionales y Leyes de los exponentes (potenciación).

Cálculo de probabilidades.

15

¿Cuánto sabes?

1. Calcula la media con los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 9

2. Si a todos los datos anteriores los multiplicamos por 4, cuál será la nueva media.

3. A un conjunto de 8 números cuya media es 8.57 se le añaden los números 4.49 y 9.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

4. Investiga los siguientes conceptos y escribe en el espacio correspondiente su definición anotando al menos un ejemplo de cada concepto. Posteriormente, en equipos, compara tus definiciones y ejemplos con las de tus compañeros.

Concepto Definición

Variable discreta

Variable continua

Muestra

Varianza

Desviación estándar

Media

16

Distribución Binomial

Distribución de probabilidad que muestra las probabilidades relacionadas con valores posibles de una variable aleatoria discreta que se genera por un proceso de Bernoulli.

Proceso Bernoulli: secuencia de n ensayos idénticos de un experimento aleatorio tal que cada ensayo, (a) produce uno de dos resultados posibles complementarios que convencionalmente reciben el nombre de éxito y fracaso, y (b) es independiente de cualquier otro ensayo, de modo que la probabilidad de éxito o fracaso es constante de ensayo en ensayo.

Sólo tiene dos resultados, que llamaremos E (de éxito) y F (de fracaso) La probabilidad de que el resultado del suceso sea E es p y la de F es q, y además se cumple

que , o lo que es lo mismo, .

Si el suceso se repite n veces y queremos estudiar el número de veces que se tiene como resultado E, la probabilidad de que, repitiendo el experimento n veces aparezca x veces E será:

Se dice que este tipo de sucesos sigue una distribución Binomial.

Ejercicios

1. Un alumno resuelve un examen de 10 preguntas de falso o verdadero y contesta al azar. Las probabilidades asociadas al número de aciertos se muestran en la siguiente tabla:

Aciertos Probabilidad

0 0.0010

1 0.0098

2 0.0439

3 0.1172

4 0.2051

5 0.2461

6 0.2051

7 0.1172

8 0.0439

9 0.0098

10 0.0010

Comprueba estos resultados con ayuda de Excel. Ver anexo 4

¿Cuál es la probabilidad de acreditar el examen? ________________

17

¿Cuántos aciertos tendrá en promedio? __________________

2. Calcula ahora, con ayuda de Excel, la probabilidad de cada respuesta correcta si el examen consta de 10 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro opciones de respuestas y solo una es correcta. El alumno responde al azar.

0

1

3

4

5

6

7

8

9

10



18

3. Finalmente, de nuevo utiliza Excel para obtener la probabilidad asociada a cada respuesta correcta si el examen consta de 10 preguntas abiertas y ahora el alumno estudia, por lo que la probabilidad de que conteste correctamente cada pregunta es de 0.9

0

1

3

4

5

6

7

8

9

10



4. Calcula con ayuda de Excel las probabilidades asociadas al número de resultados acertados en una quiniela sencilla de futbol

19

La quiniela consta de 14 juegos, por lo que el número de ensayo es _______

Cada juego tiene 3 posibles resultados, local, empate o visita y sólo uno de ellos ocurre, por lo tanto

p = _______

0

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

20

Anexo 4 Uso de la Binomial con Excel

Da clic en Insertar función en la barra de herramientas

Después busca y da clic en Estadísticas que es el tipo de función al que pertenece la distribución Binomial

21

A continuación, busca y da clic en DISTR.BINOM.N que es la que proporciona las probabilidades del los experimentos aleatorios del tipo binomial

Por último aparece la ventana donde debes indicar los valores para el cálculo de probabilidades del tipo binomial, puedes teclearlos directamente o indicar la celda, dentro de la hoja de cálculo, donde se encuentra el dato. En el espacio de Acumulado, se coloca falso para la probabilidad de un solo valor de x y verdadero para la probabilidad acumulada

22

Distribución Normal

La distribución normal constituye el modelo probabilístico más importante, ya que constituye la base de la estadística inferencial; muchas técnicas estadística para la estimación y el pronóstico descansan en ella y aún en técnicas específicas, donde se estudian otros modelos probabilísticos, tales como la distribución “t” de Student, la distribución Ji-cuadrada o la distribución “F” de Fischer, descansan en la distribución normal y las relaciones matemáticas que mantienen con la distribución normal son importantes.

Al observar el comportamiento de muchas variables aleatorias, por ejemplo respecto al ingreso de las personas, encontramos lo siguiente:

Sea x = ingreso de las personas, entonces, resulta y es natural que:

Pocas personas tienen ingresos elevados. Un bajo porcentaje de personas perciben un ingreso muy bajo. La mayoría de las personas tienen un ingreso que se concentra alrededor del ingreso

promedio.

A la hora de construir el histograma asociado, invariablemente se llega a llega a las siguientes gráficas.

23

Ejemplo 1:

Si suponemos un ingreso una medio de 10 mil pesos con una desviación estándar de 3 mil, ¿cuál es

la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga en ingreso entre los 7 mil y los 15 mil

pesos?. Esta probabilidad se expresa en forma simbólica de la siguiente manera:

Se ubican los valores bajo la curva y se sombrean el área que se pide

Se estandariza el valor de cada variable

Se dibuja la curva con los valores estandarizados.

24

Se busca en la tabla de distribución normal (anexo 5) cada uno de estos valores

Como las áreas se encuentran al centro de la curva, se suman, por lo que el área es:

Interpretación: Existe un 79.38% de probabilidad de que el ingreso de la persona seleccionada al

azar, se encuentre entre $7 000 y $15 000.

Ejemplo 2:

El peso de las manzanas muestra una distribución normal con media de 180 gramos y desviación estándar de 11 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que al estudiante que sigue en la fila le toque una manzana con peso mayor a 195 gramos?

25

Como z > 1.241 para calcular el área bajo la curva es 1, cuando (z > 1,24) = 1 – p (z ≤ 1,24) =

1 – 0.9131 = 0.0869

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 Ver anexo 5Es decir, hay una probabilidad del 8.69% de que al siguiente alumno le toque una manzana que pese más de 195 gramos.

Ejercicios1. Con ayuda de la tabla de la distribución normal (Anexo 5 ) determina las probabilidades

asociadas al área sombreada de siguientes representaciones gráficas

1 http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm 26

http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm

2. Los egresados del Colegio suelen presentar examen de admisión en una universidad. El puntaje promedio del examen, en años pasados ha sido de 75 aciertos con una desviación estándar de 15 puntos.

a) Describe el significado de que la variable aleatoria x= puntaje obtenido en el examen, sea de tipo normal.

b) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar, que presente el examen de admisión, obtenga más de 90 puntos (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el área apropiada)

c) Calcula la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar, que presente el examen de admisión, obtenga menos de 100 puntos (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el área apropiada)

27

3. Ciertos paquetes de azúcar contienen en promedio 1000 gr. con una desviación estándar de 15 gr. Si la cantidad de azúcar en las bolsas es una variable aleatoria de tipo normal:

a) Describe el significado de que la variable aleatoria x= cantidad de azúcar en la bolsa, sea de tipo normal.

b) Calcula la probabilidad de que una bolsa seleccionada al azar, tenga más de 1020 gr. de azúcar (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el área apropiada)

c) En un lote de 80 bolsas aproximadamente ¿cuántas de ellas se espera que tengan menos de 1010 gramos de azúcar?, (debes ubicar los valores en la curva, sombrear, estandarizar la variable, buscar el valor en la tabla y dar el área apropiada y al final multiplicar esta área por 80)

4. Identifica un fenómeno aleatorio de la vida real:

a) Descríbelo a través de una variable aleatoria de tipo normal

28

b) Identifica una media y una desviación estándar, plausibles al fenómeno

c) Evalúa dos probabilidades con la media y la desviación estándar asignadas.

Problemática ¿Barriga llena, corazón contento?

El Instituto Mexicano del Seguro Social y la Confederación Nacional de Pediatría de México venían advirtiendo desde hace diez años del crecimiento de esta epidemia. El IMSS lanzó una campaña en los medios para la que la gente cuidara su dieta, hiciera ejercicio y acudiera al médico.

La comida rápida desplaza a la tradicional

Toda la dieta tradicional en México, que era muy nutritiva (el maíz y el frijol daban una proteína excelente), se está perdiendo con la urbanización y la comercialización Lo que gana mayor presencia son todos los productos procesados industrialmente. Hubo un desplazamiento y en catorce años cayó un 30% el consumo de frutas y verduras, en veinte años cayó un 50% el consumo de frijol que era el pilar de la alimentación junto con el maíz y en catorce años aumentó 40% el consumo de refrescos. Entre la población más pobre, el consumo de refresco en catorce años creció 60%. Esto tenía que impactar en algo y lo hizo en la salud.

Se aplicó una encuesta a una muestra de 200 alumnos del Colegio de Bachilleres, la cual reveló que 150 de ellos acostumbran acompañar sus alimentos con refrescos como bebida principal, ¿cuál es el intervalo que estima la proporción de alumnos de la escuela que acompañan con refrescos sus alimentos?

Los profesores de actividades deportivas creen que los alumnos no se alimentan adecuadamente y en particular afirman que el porcentaje de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentación es del 40%. ¿Es creíble esta afirmación si en una muestra de 80 alumnos 22 afirman comer regularmente frutas y verduras?

Se aplicó una encuesta a una muestra de 100 alumnos del Colegio de Bachilleres reveló que en promedio pasan 30 horas a la semana frente a la televisión, un videojuego o la computadora. El mínimo de horas es 14 y el máximo de 42, ¿Cuál será el promedio de horas de la población de alumnos de la escuela que dedican a la semana sentados frente a uno de estos medios electrónicos?

Para bajar la panza y no caer en la diabetes

Ya arrancó la campaña de los cinco pasos y estos son: “Muévete” para hacer ejercicio (correr, caminar, andar en bicicleta, nadar o bailar media hora diaria), Mídete tanto en el peso como en el consumo de alimentos y bebidas. Bebe agua y que se te vuelva un hábito. El cuarto paso es incorporar o aumentar el consumo de frutas y verduras a la dieta, y el quinto socializar el problema y la estrategia.

Se llevó a cabo una encuesta con una muestra de 200 miembros de la comunidad escolar (alumnos, profesores y autoridades) para determinar la acción principal que debía llevarse a cabo para enfrentar el problema de la obesidad. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Acciones contra la obesidad

Incrementar actividades deportivas

en la curricula

Construir comedores con venta de

alimentos nutritivos

Campañas de difusión sobre la obesidad

Restringir la venta de comida basura en la

periferia de la escuela

29

30 45 70 55

¿Indican estos datos que las campañas de difusión sobre la obesidad es la acción prioritaria que llevaría a cabo la población escolar?

Solución:

Se aplicó una encuesta a una muestra de 200 alumnos del Colegio de Bachilleres, la cual reveló que 150 de ellos acostumbran acompañar sus alimentos con refrescos como bebida principal, ¿cuál es el intervalo que estima la proporción de alumnos de la escuela que acompañan con refrescos sus alimentos?

Intervalo de confianza estimar la proporción poblacional

El intervalo es de la forma:

Los elementos incluidos son los siguientes:

Es la proporción de elementos de la muestra con la característica de interés.

Es la proporción de elementos de la muestra que no tienen la característica de interés.

Valor de la tabla asociado al nivel de confianza, por ejemplo, si se desea una estimación a un 95% de confianza, se ubica al centro de la curva un área de 95%.

Para calcular el valor de z que delimita esta área, se divide este nivel entre 2 y se busca en la tabla de distribución normal estándar (ANEXO 5) el área exacta o más cercana a 0.475.

30

En la tabla normal se busca el área exacta o más cercana a 0.475

La proporción muestral es

Por lo que el intervalo es:

Se estima con una probabilidad de 95% y un error de 5.54% que la proporción poblacional de alumnos que acompañan sus alimentos con refresco está entre un 74.45% y un 85.54%.

31

Ejercicios:

Anota en el espacio en blanco la respuesta apropiada para realizar la inferencia estadística pertinente.

1. Una encuesta a 120 alumnos del turno matutino de un plantel del Colegio revela que solo 30 acostumbran desayunar en sus hogares antes de ir a clases.

La proporción muestral de alumnos que desayunan en casa es ____________. Si se desea un nivel de confianza de 94%, los valores del área que debes buscar en la tabla

normal y el correspondiente valor de z son:

Por tanto, el intervalo de confianza que estima la proporción de alumnos del plantel que desayunan en casa es _________________.

2. Una encuesta a 150 alumnos del turno matutino de un plantel del Colegio revela que solo 20 practican deporte con regularidad.

La proporción muestral de alumnos que practican deporte con regularidad es ____________. Si se desea un nivel de confianza de 95%, los valores del área que debes buscar en la tabla


Por tanto, el intervalo de confianza que estima la proporción de alumnos del plantel que practican deporte regularmente es _________________.

Intervalo de confianza estimar la media poblacionalEjemplo

32

Se aplicó una encuesta a una muestra de 100 alumnos del Colegio de Bachilleres reveló que en promedio pasan 30 horas a la semana frente a la televisión, un videojuego o la computadora. El mínimo de horas es 14 y el máximo de 42, ¿cuál será el promedio de horas de la población de alumnos de la escuela que dedican a la semana sentados frente a uno de estos medios electrónicos?


cual la cual

= media muestral= desviación estándar poblacional = tamaño de muestra = valor de la tabla asociado al nivel de confianza o área central

Los elementos incluidos son los siguientes:

Si la desviación estándar poblacional se desconoce se puede usar la desviación estándar de una

muestra, o bien, se estima de la siguiente forma:

En este caso, para el nivel de confianza si se desea una estimación a un 90% de confianza, se ubica al centro de la curva un área de 90%.

33

Para calcular el valor de z que delimita esta área, se divide este nivel entre 2 y se busca en la tabla el área exacta o más cercana a 0.45

En la tabla normal se busca el área exacta o más cercana a 0.45

En este caso, existen 2 valores cuya diferencia es la misma, por lo cual el valor de z es el punto medio entre ellos, es decir:

Por lo tanto, el intervalo de confianza es:

Se estima con una probabilidad de 90% y un error de 1.15 horas que la población de alumnos de la escuela pasan en promedio entre 28.85 y 31.15 horas a la semana, en los medios de entretenimiento electrónicos.

34

Ejercicios:


1. Una encuesta a 300 alumnos del turno matutino de un plantel del Colegio indica en promedio gastan a la semana $ 120 en antojitos y botanas. El gasto mínimo que revela la encuesta es de $25 y el máximo es de $300.

La media muestral del gasto en antojitos es _____________. Si se desea un nivel de confianza de 96%, los valores del área que debes buscar en la tabla


El valor que estima a la desviación estándar poblacional es _____________.

Por tanto, el intervalo de confianza que estima el gasto promedio poblacional semanal, que realizan los alumnos, en botanas es _________________.

2. Un cuestionario aplicado a 100 padres de familia de alumnos nuevo ingreso contiene la pregunta ¿cuántas horas a la semana pasa su hijo frente a algún medio de entretenimiento (tv, internet o videojuego)? Las respuestas obtenidas son las siguientes:

15 10 23 20 30 30 15 12 10 2035 45 40 50 30 20 10 10 20 2540 30 25 30 25 30 25 30 40 2015 12 15 20 25 25 30 35 30 2013 15 25 20 20 30 20 15 8 105 10 25 30 25 30 25 30 20 1015 20 25 20 35 30 25 30 30 2010 15 15 25 20 22 30 33 35 4025 45 10 15 20 30 20 10 30 1520 35 40 25 25 30 15 30 20 10

Copia estos datos en Excel y calcula la media y la desviación estándar, los resultados obtenidos son:

35

Media _________________.

Desviación estándar: ______________.

Si se desea un nivel de confianza de 99%, los valores del área que debes buscar en la tabla normal y el correspondiente valor de z son:

Por tanto, el intervalo de confianza que estima el tiempo promedio poblacional semanal, que pasan alumnos frente a un medio de entretenimiento electrónico es ___________________.

Prueba de hipótesis para la proporciónEjemplo

Los profesores de actividades deportivas creen que los alumnos no se alimentan adecuadamente y en particular afirman que el porcentaje de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentación es del 40%. ¿Es creíble esta afirmación si en una muestra de 80 alumnos 22 afirman comer regularmente frutas y verduras?

Hipótesis nula:La afirmación de los profesores constituye la hipótesis nula, representada por Ho

Ho: La proporción de alumnos que incluyen frutas y verduras en su alimentación es del 40%

Numéricamente:

Por lo tanto

Estadística de prueba

El numerador compara la proporción muestral con la proporción poblacional y el denominador es el error estándar que permite la estandarización de este indicador y en consecuencia su comparación con un valor de la tabla.

36

Valor crítico

Con un nivel de significancia de 2.5% (probabilidad de rechazar Ho cuando es verdadera) se busca en tablas el valor crítico de z. Como la estadística de prueba es negativa, la región de rechazo se ubica del lado izquierdo de la distribución.

Se busca el valor en la tabla normal y resulta el valor critico z=-1.96

Decisión: Se compara la estadística de prueba con el valor crítico

La estadística de prueba se ubica en la región de rechazo, por lo tanto la evidencia muestral contradice la hipótesis nula, es decir, no es creíble que el 40% de los alumnos incluyan frutas y verduras en su alimentación, de hecho, el porcentaje de alumno que lo hacen es significativamente menor.

37

Ejercicios:


1. La profesora encargada del área de Orientación de un plantel del Colegio afirma que al menos el 60% de las alumnas han llevado a cabo alguna dieta. Se aplica una encuesta a 120 alumnas y 63 ellas llevan o han llevado alguna vez una dieta.

La hipótesis nula es: ________________. La proporción muestral es: ____________. La estadística de prueba es:______________. Si se desea un nivel de significancia de 1%, el área a buscar en la tabla y el correspondiente

valor crítico es:

Como la estadística de prueba es igual a ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la afirmación de la profesora. por lo que _______ ( es, no es) creíble que al menos el 20% de los egresados sean admitidos en una universidad pública, durante el primer año de su egreso.

2. El director de un plantel del Colegio afirma que al menos el 20% de los egresados logran ingresar a una universidad pública durante el primer año después del egreso. Se da un seguimiento a 50 egresados y al primer año 7 de ellos logran ingresar a una universidad pública.

La hipótesis nula es: ________________.

La proporción muestral es: ____________.

La estadística de prueba es:______________.

Si se desea un nivel de significancia de 10%, el área a buscar en la tabla y el correspondiente valor crítico es:

38

Como la estadística de prueba es igual a ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la afirmación de la directora, por lo que _______ (es, no es) creíble que al menos el 20% de los egresados sean admitidos en una universidad pública, durante el primer año de su egreso.

3. Se lanza un nuevo medicamento contra la gripe y la publicidad señala que solo el 5% de quienes lo tomen no verán un alivio inmediato. Se prueba el medicamento en 300 personas con gripe y en 24 no se ve un alivio inmediato.


La proporción muestral es: ____________.

La estadística de prueba es:______________


Como la estadística de prueba es ____________ y es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) el mensaje de la publicidad, por lo que _______ (es, no es) creíble que solo el 5% de los pacientes no vean un alivio inmediato a sus malestares de gripe.

39

Ejercicios de prueba de hipótesis para la media

1. El director de un plantel del Colegio afirma que en sus alumnos no presentan problemas de sobrepeso. Por la estatura y edad de los alumnos se considera que el peso promedio ideal es de 63 Kg. Se toma el peso a una muestra de 35 alumnos y en ellos se observa un peso promedio de 70 Kg, el peso mínimo es de 55 Kg y el máximo de 88 Kg.


La media muestral es: ____________.

El valor estimado de la desviación estándar es:______________.



Como la estadística de prueba es ____________ y es su valor numérico es __________

(menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la afirmación del director, por lo que _______ (es, no es) creíble que los alumnos no tengan problemas de sobrepeso.

2. Los alumnos del Colegio tienen asignados 240 minutos a la quincena de actividad deportiva. El coordinador de deportes indica que el tiempo efectivo de actividad física es de 180 minutos, suficientes para evitar problemas de sobrepeso en los alumnos. Se observa el tiempo efectivo de actividad deportiva de una muestra aleatoria de 80 alumnos y los resultados en minutos son los siguientes:

96 90 123 187 102 213 167 149185 175 143 147 148 109 157 82206 130 178 111 168 149 127 141154 202 172 144 139 197 165 163171 116 128 166 153 130 95 150


Inserta estos datos en Excel y calcula la media y la desviación estándar de estos datos:

La media muestral es: ____________.

La desviación estándar es: ____________.

40


Si se desea un nivel de significancia de 4%, el área a buscar en la tabla y el correspondiente valor crítico son:

Como la estadística de prueba es ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la afirmación del coordinador de actividades deportivas, por lo que _______ (es, no es) creíble que el tiempo promedio de actividad deportiva quincenal, sea de 180 minutos.

Inferencias para muestras chicas

Investiga las principales características de la distribución t así como las condiciones y supuestos en las cuales se utiliza y escríbelas a continuación

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Ejercicio

1. Consulta la tabla del anexo 6 y con ella determina los valores críticos asociados a las siguientes curvas de la distribución t de Student

41

Intervalos de confianza para la media (muestras chicas)


En la cual:

= media muestral = valor crítico de la distribución t de Student= desviación estándar de la muestra (esta medida descriptiva al igual que la media, las estudiaste en

tu curso de Matemáticas II, por lo que deberás recuperar esa información) = tamaño de muestra

Ejercicios

1. Pregunta a 10 de tus compañeros acerca del tiempo acerca del tiempo que emplean, aproximadamente en trasladarse de su casa a la escuela. Anota los resultados en la siguiente tabla:

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tiempo

(minutos)

Calcula:

a) La media de los datos: ________

b) La desviación estándar: = __________

c) Obtén el valor crítico de la tabla considerando un nivel de confianza de 90%: t = _______

d) Determina ahora el intervalo de confianza que estima en tiempo de traslado de la población de los alumnos de la escuela

_________________________________________

2. Pregunta a 20 de tus compañeros acerca promedio que llevan al 5° semestre. Anota los resultados en la siguiente tabla:

42

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Promedio

Alumno 11 12 13 14 15 16 17 19 19 20

Promedio

Calcula:

Te recomendamos hacer uso de Excel

a) La media de los datos: ________

b) La desviación estándar: = __________

c) Obtén el valor crítico de la tabla considerando un nivel de confianza de 95%: t = _______d) Determina ahora el intervalo de confianza que estima promedio poblacional de alumnos de la

escuela

_________________________________________

43

Distribución Ji-cuadrada

Hipótesis nula:Ho: “No hay preferencia por alguna de las estrategias contra la obesidad”

Estadística de prueba:

Para calcular la frecuencia esperada, se divide el total de datos entre el número de celdas

Acciones contra la obesidad

Incrementar actividades

deportivas en la curricula

Construir comedores con

venta de alimentos nutritivos

Campañas de difusión sobre la

obesidad

Restringir la venta de comida basura en la periferia de

la escuela

Fo 30 45 70 55

Fe 50 50 50 50

Valor crítico:

Con un nivel de significancia de 2.5% y con 3 grados de libertad(gl= 4-1=3), en la tabla de la distribución JI CUADRADA (ANEXO 5) se encuentra lo siguiente:

44

Decisión: se compara el valor crítico con la estadística de prueba

Ejemplo: Pruebas de hipótesis para tablas de contingencia.

La Sociedad Española de Diseñadores de Moda resolvió impedir desfilar a las modelos con un Índice

de Masa Corporal (IMC) menor a 18. Esta noticia tuvo repercusiones en los medios periodísticos

locales, que publicaron opiniones de agencias de modelos, productores de moda y también de

algunas modelos argentinas. 2 Se asevera que las estaturas de mujeres supermodelos varían menos

que las estaturas del resto de las mujeres. La desviación estándar de las estaturas de las mujeres es

de 6.35 cm. Eligiendo al azar a algunas celebres supermodelos entre ellas las mexicanas Columba

Díaz, Elsa Benítez, Edsa Ramírez y Valeria Calles:

Díaz

Columba

Benítez

Elsa

Ramírez

Edsa

Goff Evangelista Auermann Shiffer Mc

Phearson

Turlington

180 180 178 175 177 179 180 183 178

Hall Crawford Campbell Herzigov

a

Seymour Banks Calles

Valeria

Mazza Hume

178 175 177 175 178 178 165 178 180

Utilizaremos un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración:

H0: σ = 6.35

Ha:σ ˂ 6.35

2 http://www.espacionutricional.com.ar/index.php?option=com_content&task=view&id=55&Itemid=100 45

http://www.espacionutricional.com.ar/index.php?option=com_content&task=view&id=55&Itemid=100

|

Calculando la desviación estándar de la muestra de 18 supermodelos3

Nivel de significancia α = 0.05

Utilizando la distribución Chi cuadrada, grados de libertad n-1 = 18-1= 17

3 http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar-calculadora.html 46

http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/desviacion-estandar-calculadora.html

= 5.49

Los valores críticos de la tabla A14 renglón 17 (n-1) son:

En 17 grados de libertad con 0.95 se selecciona 8.672

La siguiente es la gráfica chi cuadrado.

Como el estadístico de prueba se encuentra en la región crítica, se rechaza la hipótesis nula. Ya

que existe suficiente evidencia al nivel de significación del 5% para sustentar la aseveración de

que las estaturas de las supermodelos varían menos que las estaturas de la mayoría de las

mujeres.

4 http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2010/eyp2/Tabla%20Chi-Cuadrado.pdf 47

http://www.mat.uda.cl/hsalinas/cursos/2010/eyp2/Tabla%20Chi-Cuadrado.pdf

Ejercicios:

1. ¿En qué ocupas tu tiempo libre? Se planteó esta pregunta a 150 alumnos y las respuestas que dieron se resumen en la siguiente tabla:

Ocupación del tiempo libre

Navegar en Internet

Ver t.v. Descansar Ayudar a las actividades de

la casa

Estar con los amigos

fo 55 20 20 30 50


Las frecuencias esperadas son:

fe

La estadística de prueba es:______________. Los grados de libertad son iguales a __________. Con un nivel de significancia el valor critico es:

Como la estadística de prueba es ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la hipótesis de las actividades en el tiempo libre sean igualmente preferidas por los alumnos.

2. Tiempo de elegir. Realiza una encuesta a 100 de tus compañeros para elegir alguna de las siguientes actividades que les gustaría se implementara en la escuela, a fin de llevar es petición a las autoridades. Si no hay preferencia, se esperaría que 20 alumnos eligieran cada opción

3.

Actividad sugerida

Formar una rondalla

Tener un equipo de futbol

americano

Que se construya una alberca a fin

de practicar natación

Tener un club de lectura

Contar un periódico estudiantil

48

fe 20 20 20 20 20


Con los datos obtenidos en la encuesta, anota las frecuencias observadas:

fo


Los grados de libertad son iguales a __________.

Con un nivel de significancia de 2.5% el valor critico es:

Como la estadística de prueba es ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la hipótesis de las actividades en el tiempo libre sean igualmente preferidas por los alumnos.

4. ¿En qué ocupas tu tiempo libre? Se planteó esta pregunta a 150 alumnos y las respuestas que dieron se resumen en la siguiente tabla

Ocupación del tiempo libre

Navegar en Internet

Ver t.v. Descansar Ayudar a las actividades de

la casa

Estar con los amigos

fo 55 20 20 30 50


Las frecuencias esperadas son:

fe

49


Los grados de libertad son iguales a __________.

Con un nivel de significancia 5 % el valor critico es:

Como la estadística de prueba es ____________ y su valor numérico es __________ (menor, mayor) que el valor crítico, entonces _________________ (se rechaza, no se rechaza) Ho, es decir, la evidencia muestral _______________ (apoya, contradice) la hipótesis de las actividades deseadas por los alumnos son igualmente preferidas por los alumnos.

50

Anexo 5 Tabla de Distribución Normal Estándar

Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.2257 0.22570.7 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.2580 0.25800.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

51

Anexo 6. Tabla de la distribución t de student

Anexo 7 Tabla de Distribución Ji cuadrada

52

1

r 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995

1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.6572 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.9253 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.8414 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.6045 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.0326 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.7077 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.4998 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.3559 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250

10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.16911 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.10612 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.05513 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.01214 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.97715 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.94716 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.92117 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.89818 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.87819 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.86120 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.84521 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.83122 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.81923 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.80724 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.79725 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.78726 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.77927 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.77128 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.76329 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.75630 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.75040 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.70460 0.679 0.848 1.046 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576

Fuentes de información

Graficadora gratuita curva normal.http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html

Autoevaluación:Prueba de hipótesis:http://www.google.com.mx/search?q=ejercicios+prueba+de+hipotesis+para+la+media&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:es-MX:official&client=firefox-a

Intervalos de confianza:http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/estimacion_por_intervalos/int_media.htm

Triola, Mario F. Probabilidad y estadística. Novena edición. Pearson Educación, México, 2004.

54

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/estimacion_por_intervalos/int_media.htm

http://www.google.com.mx/search?q=ejercicios+prueba+de+hipotesis+para+la+media&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:es-MX:official&client=firefox-a

http://www.google.com.mx/search?q=ejercicios+prueba+de+hipotesis+para+la+media&ie=utf-8&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:es-MX:official&client=firefox-a

http://davidmlane.com/hyperstat/z_table.html

plantel20matema.files.wordpress.com€¦ · web viewrevisión del material: guadalupe coello,...

Documents