ContenidoTEOREMA DE PITAGORAS............................................................................................................................3

TRIGONOMETRIA.........................................................................................................................................4

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS < NOTABLES (45º, 30º, 60º).................................................................5

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES.............................................................................................................5

P. REFLEXIVA............................................................................................................................................5

P. SIMETRICA...........................................................................................................................................6

P.TRANSITIVA..........................................................................................................................................6

FUNCION.....................................................................................................................................................6

FUNCIONES DE VARIABLE REAL...............................................................................................................7

INTERVALOS..............................................................................................................................................12

Intervalo abierto:...................................................................................................................................12

Intervalo cerrado:..................................................................................................................................12

Intervalo Semiabierto:...........................................................................................................................12

Infinito positivo:....................................................................................................................................13

Infinito negativo:...................................................................................................................................13

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION LINEAL RESTRINGIDA...................................................................16

RECTAS PARLELAS Y PERPENDICULARES....................................................................................................17

Paralelas:...............................................................................................................................................17

Perpendiculares:....................................................................................................................................18

ECUACION DE LA FORMA y= mx + b.........................................................................................................21

ECUACION DE LA RECTA PUNTO-PENDIENTE............................................................................................24

ECUACION DE UNA RECTA PUNTO – PUNTO (CARTESIANO).....................................................................26

ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA..........................................................................................................28

FUNCION CRECIENTE.................................................................................................................................32

FUNCION DECRECIENTE.............................................................................................................................32

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS................................................................................................................35

SISTEMA DE ECUACIONES..........................................................................................................................39

METODO GRAFICO................................................................................................................................39

Solución única....................................................................................................................................39

Infinitas soluciones............................................................................................................................40

Sin solución........................................................................................................................................41

METODO DE SUTITUCION......................................................................................................................43

METODO DE ADCION.................................................................................................................................57

METODO DE IGUALACION.........................................................................................................................58

INECUACION LINEAL..................................................................................................................................59

ECUACIONES CUADRÁTICAS......................................................................................................................63

METODO DE FACTORIZACION...................................................................................................................64

MÉTODO DE COMPLETACIÓN DEL CUADRADO.........................................................................................65

METODO POR FORMULA...........................................................................................................................66

NATURALEZA DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA................................................................68

PROPIEDAD DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA..................................................................70

ANALISIS DE LA FUNCION..........................................................................................................................71

FUNCION CUADRATICA..............................................................................................................................74

GRAFICADE DE LA FUNCIONCUADRATICA.............................................................................................76

TEOREMA DE PITAGORAS

c²=a²+b²

Hipotenusa Cateto

c=a²+b² a=c²-b²

b=c²-a²

A

b c=?

C a B

Ejercicios

A

B e=?

E a B

C= A B

C= BA

C= 3 2

C= 5

TRIGONOMETRIA

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

NOMBRE ABREVIACION DEFINICIONseno sen cat. op./hip.

coseno cos cat. adv./hip.tangente tan cat. op./cat. adv.

cotangente cot cat. adv. / cat. op.secante sec hip. /cat. adv.

cosecante csc hip. / cat. op.

A

B e=?

E a B

SEN F= F/G

COS F= E/G

TAN F= F/E

CAT F= E/F

SEC F= G/E

CSC F= G/F

Funciones:

A

B e=?

E a B

SEN A= 3/5

COS A= 4/5

TAN A= 3/4

CAT A= 4/3

SEC A= 5/4

CSC A= 5/3

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS < NOTABLES (45º, 30º, 60º)

Función 45º 30º 60ºSeno 2/2 1/2 /2Coseno 2/2 /2 1/2Tangente 1 Cotangente

1

Secante 2 /3 2Cosecante 2 2 /3

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

P. REFLEXIVA Se dice que una relación es un conjunto es reflexiva cuando cada elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.

AxA=”(11) (12) (13) (21) (22) (23) (31) (32) (33)”

1

2

3

1

2

3

R=”( 11)(22)(33)”

P. SIMETRICAUna relación es simétrica cuando cada ves que a esta relacionada con b, entonces lo esa con a.

aRb = bRa

EJEMPLO

P.TRANSITIVAUna relación es transitiva si cada vez que esta relacionado con b esta relacionado con c.

aRb^bRc aRc

FUNCION

Una relación f de A en B denota por f=a B es una función si y solo si a cada elemento x que pertenece al conjunto Ale corresponde un único elemento y que pertenece al conjunto B atreves de f.

Ejemplo:

A= {2, 4, 6} y B={1, 3, 5, 7}

R= {(x; y) E A*B / y=x+1}

1

2

3

4

2

4

6

1

3

5

7

R= {(2; 3), (4; 5), (6; 7), (8; 9)}

D= {2, 4, 6}

R= {3, 5 ,7}

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

f : R R

Y=X+2 También puede representarse como f(x) F(X)

Valor independiente

Valor dependiente

GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL

5=x+y

5-x=y

y=5-x

x y (x;y)

1 4 (1;4)

2 3 (2;3)3 2 (3;2)

-4 1 (-4;1)

y=3x+2

x y (x;y)

0 2 (0;2)

1 5 (1;5)-1 -1 (-1;-1)-2 -4 (-2;-4)

Graficar las siguientes funciones lineales.

1) f(x)=-x+2

Cuando x vale -1 Cuando x vale 2 Cuando x vale 4

f(-1)=-(-1)+2 f(2)=-2+2 f(4)=-4+2

f(-1)=3 f(2)=0 f(4)=-2

8

x y f(x)-1 3 A(-1,3)2 0 B(2,0)4 -2 C(4,-2)

2) y=3x−12

x Y f(x)

2 3 A(2,3)

4 6 B(4,6)

3) x+y=0

x y f(x)0 0 A(0,0)1 -1 B(1,-1)2 -2 C(2,-2)

INTERVALOS

Definición: Es un conjunto de números que se encuentran entre dos extremos.

-∞ +∞

Intervalo abierto: No incluye los extremos, se lo representa ( ).

Ejemplo:

(0,12)

-∞ +∞

0 < x< 9

Intervalo cerrado: Incluye los extremos, se lo representa [ ].

Ejemplo:

[5,8]

-∞ +∞

5 ≤ x ≤ 8

Intervalo Semiabierto: Combinación entre un abierto-cerrado o cerrado-abierto, se lo representa ( ] o [ ).

Ejemplo:

(0,15]

-∞ +∞

0 < x ≤ 15

Infinito positivo: Se lo representa [ ) o ( ).

Ejemplo:

[5, +∞) ^ (´5, +∞)

-∞ +∞

x ≥ 5

x > 5

Infinito negativo: Se lo representa ( ] o ( ).

(-∞,1) ^ (-∞,1]

-∞ +∞

Trabajo en clase

Realizar 2 ejemplos de cada Intervalo.

-Int. Abierto:

1) (2,4) 2<x<4

-∞ +∞

2) (3,10) 3<x<10

-∞ +∞

-Int. Cerrado.

1) [5,8] 5≤x≤8

-∞ +∞

2) [1,7] 1≤x≤7

-∞ +∞

-Int. Abierto-cerrado y Cerrado-abierto.

1) (3,9] 3<x≤9

-∞ +∞

2) [5,10) 5≤x<10

-∞ +∞

-Int. Con Extremo Infinito.

1) (6, +∞) x>6

-∞ +∞

2) ( -∞,3] x≤3

-∞ +∞

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION LINEAL RESTRINGIDA

1)f(x)=2x+1

Dominio: -4 ≤ x ≤ -3

Rango: -7≤ x ≤ 5

2) f(x)=x+2

Dominio: -1 ≤ x ≤ 3

Rango: 1 ≤ x ≤ 5

x y (x,y)

-4 -7 A(-4,-7)

2 5 B(2,5)

-3 -5 C(-3,-5)

x y (x,y)

-1 1 A(-1,1)

3 5 B(3,5)

RECTAS PARLELAS Y PERPENDICULARES

Paralelas: L1 // L2

Dos rectas son paralelas si y solo si son pendientes son iguales.

L1 // L2 = m1 = m2

Perpendiculares: L1 L2

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a 1.

DEBER

1.-Determinar si las rectas L1 y L2 son paralelas si se sabe que dichas rectas pasan por los siguientes puntos.

a) L1 [(-1,-6), (-5,-1)] y L2 [(3,-3),(-1,2)]

L1

m=−1+6−5+1

m= 5−4

L2 PERPENDICULAR: m1=m2 L1//L2

m= +2+3−1−3

x= 5−4

b) L1 [(-4,-5), (-2,0)] y L2 [(0,-4),(4,6)]

L1

m= 0+5−2+4

m=52

L2 PERPENDICULAR: m1=m2 L1//L2

m= 6+44−0

x=52

c) L1 [(-1,-4), (-4,-1)] y L2 [(2,-1),(-2,-4)]

L1

m= 1+4−4+1

m=−5−3

L2 PERPENDICULAR: m1=m2 L1//L2

m= 4+1−2−2

x=−5−4

d) L1 [(-2,-2), (-0,-5)] y L2 [(2,3),(4,10)]

L1

m=−5+20−2

m=72

L2 PERPENDICULAR: m1=m2 L1//L2

m=10−34−2

x=72

2.- Determinar si las rectas L1 y L2 son perpendiculares si se sabe que dichas rectas pasan por los siguientes puntos

a) L1 [(3,1) (1,7)] y L2 [(2,4),(-1,-3)]

L1

m=7−11−3

m=−31

L2 -3(1/3)=-1

m= 3−4−1−2

x=−13

b) L1 [(2,-7) (-6,3)] y L2 [(-2,-5),(3,-1)]

L1

m= 3−7−6−2

m=−54

L2 (-5/4) (4/5)= -1

m=−1+53+2

x=45

c) L1 [(6,-5) (2,5)] y L2 [(0,4),(5,6)]

L1

m= 5+52−6

m=−52

L2 (-5/2) (2/5)= -1

m=6−45−0

x=25

d) L1 [(-5,2) (3,4)] y L2 [(-1,3),(-3,7)]

L1

m=4−23+2

m=14

L2 (1/4) (-2)= -1

m= 7−3−3+1

x= 2−1

ECUACION DE LA FORMA y= mx + b

EJEMPLO

Y= 2x-1

m=3−12−1

m=2

x y (x,y)1 1 (1,1) 2 3 (2,)

1) Determinar la pendiente Y y la ordenada al origen de la siguiente función lineal.

Y= x-5 3x+2y=1

m= 1 2y=-3x+1

b=-5 y=(-3/2x) + (1/2)

m= -3/2

b=1/2

EJERCICIOS

Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes ecuaciones.

1) y= -3x + 7 m= 3b= 7P(0,7)

2) -3x+2y= -5

2y=3x-5y=3 x−52m=3/2

b=-5/2 P(0,-5/2)

3) 2y-x+2= 02y=x-2Y=x/2 – 2/2Y=x/2 – 1m=1/2b= -1 P (0, -1)

Encontrar la ecuación de la recta de la pendiente 1/3 y la ordenada al origen igualados

1) m=1/3b= 2y=1/3x + 2

La ecuación de la recta de pendiente es -4 y que pasa por el punto (0, -2)

2) m= -4P(0, -2) y=mx+by=-4x-2

Averiguar la ecuación de la recta que pasa por los puntos p1(2, -3) p2(0,4)

Y=mx + b

Y=-7/2x+ 4 m= 4+30−2

m= -7/2P (2,-3)P2(0,4)

Dadas las rectas L1 (2x+y-1=0, x€(-2,5) ) , L2 (x-2y+3=0, x€[-1,6))

a) Dominio y recorrido L1 y L2b) Determinar si L1 y L2 son perpendiculares o paralelas por medio del cálculo de las

pendientes c) Pendiente y la ordenada al origen d) Si son paralelas o perpendiculares

a) L1: 2X+Y-1

Y=-2x+1

D= -2< x >5 D= -1≤ x <6Rg= 5< y >-11 Rg= 6≤ y <3/2 2x+y-1=0 x-2y+3=0Y=-2x+1 -2y=-3-x(-2,5) y=3/2 + x/2(5,-11) m=1/2

b) Y=-2x+1m= -2

c) b=1 P (0,1)

d) m1.m2=-1-2*1/2= -2/2 = -1 Perpendicular

ECUACION DE LA RECTA PUNTO-PENDIENTE

m= y− y1x−x1

¿¿

m=(x-x) = y-y1

y-y1=m(x-x1)

x y (x,y)-2 5 (-2,5) 1 -1 (1.-1)

EJEMPLO

Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto P (-2,4) y tiene de pendiente 3

P= (-2,4) y-y1=m(x-x1)

m=3 y-4= 3(x+2)

y-4= 3x+6

-3x+6-4-6=0Y=3x+10 FORMA Y= mx+b-3x+y-10=0 FORMA GENERAL

Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto (2/7, -3) y tiene de pendiente (1/2)

P ( 2/7,-3) Y-Y1=m (x-x1)m=1/2 y+3= 1/2 (x-2/7)

y+3= 1/2x – 2/14y=1/2x – 2/14- 3y=1/2x – 22/7 FORMA Y=mx+b4y= 7x-44-7X+14Y+44=0 FORMA GENERAL

DEBER

1) m= 1/3 P (-3, 5 ) 3) m=-1 P (1/3, 1/4) y-5= 1/3 (x+3) y- 1/4 =-1 (x-1/3) y-5= 1/3x + 1 y-1/4= -1x+ 1/3 y=1/3x + 6 y= -1x+ 7/12

2) m= -3 P ( 1, 22) 4) m=2/3 P (0.3 , 0,7) y- 22 = -3x (x-1) y-0,7= 2/3 (x-0,7) y= 22-3x-3 y-0,7= 2/3- 0,2 y=-3x+18 y=2/3 + 0,5

ECUACION DE UNA RECTA PUNTO – PUNTO (CARTESIANO)

Y-Y1= m (x-x1) m= y 2− y 1x 2−x2 m= y 2− y 1

x 2−x2 (x-x1)

EJEMPLO

DETERMINAR LA ECUACION DE LA RECTA QUE POR LOS PUNTOS P (3,2) Y Q (-4,1)

P (3,2) Y-2 = 1−2

−4−3 (x-3)

Q (-4,1) y-2 =-1/7 (x-3)

y-2 = x/7- 3/7

7y-14=x-3 R= -x+7y-11= 0

-x+7y-14+3 = 0

Determinar la ecuación de la recta que pasa por P (-1, 7) Y Q (3,5)

P (-1,7) Y-7 =5−73+1 (x+1)

Q (3,5) y-7 = -2/4 (x+1)

y- 7 = -x/2 - 1/2 R= x+2y-13=0

2y- 14 = -x-1

x+2y-14+1= 0

DEBER

FECHA: 2012/11/29

EJERCICIOS

1) P (3/4, -1/2) Q (1/5, 2/3) 4) P (0,3 , 1,5) Q (1/2, 2)

Y+1/2 = 16/3 (x-3/4) Y-1,5 = 0,5/0,2 (x-0,3)30x-11y+11/2+10 y-1,5= 0.5/0,2x -2,230x-11y+31/2=0 -0,5x+0,2y+1,9= 0

2) P (2,7) Q (1,7) 5) P (-1,0) Q (-3, -5/2)

y- 7 = 7−71−2 (x-2) Y-0 =

−52

−0

−3+1 (x+1)

y- 7= (0/-1) (x-2) y-0 = -5/5 (x+1)y- 7 = x/1 y-0 = 5x/4 + 5/4-x-1y+7= 0 4y-0= 5x+5

-5x+4y-0-5 = 0 -5x+4y-5 = 0

3) P (-1,3) Q (0,7)

Y-3 = 7−30+1 (x+1

y-3 = 4/7(x+1)y-3= 4x/1 + 4-4x+1y-3-4= 0-4x+1y-7=0

ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA

FORMULAS

m=ba

y-y1 = m(x-x1)

Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 3y+2y-6= 0

3y+2y-6=0

3x/6 + 2y/6 = 6/6 (÷6)

x/2 + y/3 = 1

a= 2 P (2,0)

B=3 P (0,3)

Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 2x+3y-5= 0

2x+3y-5 = 0

2x+3y = 5 (÷5) a= 5/2 P (5/2, 0)

2x/5 +3y/5 = 1 B= 5/3 P (0, 5/3)

DEBER

FECHA: 2012/12/04

1) X+5y-3 = 0X+5y=3 (÷3)x/3 + 5y/3 = 3/3 a = 3 (3, 0)x/3 + 5/3 = 1 b= 3/5 (0, 3/5)

2) 2x-3y-7 = 02x-3y = 7 (÷7) a = 7/2 P (7/2, 0) 2x/7-3y/7 = 1 b= 7/3 P (0, 7/3)

3) 5x+2y-3 = 05x+2y = 3 (÷3)5x/3 + 2y/3 = 3/3 a = 3/5 P (3/5, 0)

5x/3 + 2y/3 = 1 b= 3/2 P (0, 3/2)

4) 3x-7y+2 = 03x-7y-2 (÷2)3x/2 – 7y/2 = -2/2 a = 2/3 P ( 2/3, 0)3x/2 – 7y/2 = -1 b = 2/7 P (0, 2/7)

5) 4x-8y-3 = 04x/3 – 8y/3 = 3 (÷3)4x/3 – 8y/3 = 3/3 a = 3/4 P (4/4, 0)

4x/3 – 8y/3 = 1 b = 3/8 P (0, 3/8)

FUNCION CRECIENTEX1, X2 € Dr

X1 < X2 f (x1) < f (x2)

X1 < x2

Una función se llama creciente para todo x1, x2 elementos del dominio de la función se cumple que : x1<x2 f (x1) < f (x2)

FUNCION DECRECIENTEX1, X2 € Dr

X1 > X2 f (x1) > f (x2)

X1 > x2

Una función se llama decreciente si para todo x1, x2 elementos del dominio de la función se cumple que: x1 < x2 f (x1) > f(x2)

DEBER Nº 3

1.-

f (x) = 3x – 2 decreciente

f(x) = 3 (2) – 2 = 4 f(x1) < f(x2) f(x) = 1

f(x2)= 3(3) -2= 7 f(x)=3(1)-2 x1=4

f(x1)=4 f(x2)=7 f(x)=3-2 x2=1

2.-

2y-3x+1=0 xE(-5,7) decreciente

y= (-3x+1)/2 x1=-4 -5<x<7 f(x)=-3(-4)+1 f(x)=-3(5)+1

F(x)= (-3x+1)/2 x2=3 f(x)=12+1 f(x)= -15+1

F(x)= 13 f(x)=-14

3.-

x-3x+5=0 xE[-3,2) creciente

3y0x+5 x=-2 -3≤x<2 f(x)=(-2+5)/3 f(x)=(1+5)/3

f(x)=(x+5)/3 x2=1 f(x)=4 f(x)=2

4.-

3x+2y-1=0 xER decreciente

-2y=-3x+1 x=1 f(x)=(3(1)-1)/2 f(x)=(3(3)-1)/2

f(x)=(-3x+1)/2 x2=3 f(x)=-1 f(x)=-4

5.-

2x+y+5=0 xE[-4,-6] creciente

2x-5=y x1=-3 -4≤x≤-6 f(x)=-2(-3)-5

-2x-5=f(x) x2=-7 f(x)=1

F(x)=-2(7)-5 f(x)=-19

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dp1p2=√(x 2−x1)2+( y 2− y1 )2

Determinar la distancia entre dos puntos A(-3,5) B(2,-2)

A=(x1,y1) B(x2,y2)

Dab=√(−3−2)2+ (−5−2 )2

Dab=√(5)2+(−7 )2

Dab=√25❑+49❑

Dab=√74

Determinar la distancia entre A(-2,3) y B(4,-5)

Dab=√(−2+4)2+(3−5 )2

Dab=√(2)2+ (−2 )2

Dab=√4❑+4❑

Dab=√8

2.-

A( ,8) B(5,-2)

Dab=2√41

2√41=√(5−x)2+(−10 )2

2√41=√(25−10 x+x∗x)2+100❑

164=25-10x+x*x+100

0=-164-10x+x*x+125

X*x-10x-39=0

(x-13)(x+3)=0

x-13=0 x+3=0

x1=13 x2=-3

Refuerzo mis conocimientos

Determinar que el cuadrilátero cuyos vértices:

A (-2;3) y B(4;4) ; C (5;-2) y (-1;-3)

Es un cuadrado:

Hallar la distancia entre los puntos A(-2,-1) B(2,2)

Dab=√(x 2+x1)2+ ( y 2+ y 1 )2

Dab=√(2+2)2+(2+1 )2

Dab=√(4)2+(3 )2

Dab=√16+9

Dab=√25

Dab=5

Hallar la distancia entre los puntos A(-1/2,√3) B(1/2,2√3)

Dab=√(1/2+1/2)2+ (2√3−√3 )2

Dab=√(1)2+ (1.7 )2

Dab=√1+2.9 Dab=√4 Dab=2

SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos variables ejemplo:

X+3y=8

2x+y=9

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores de las variables que hacen que se cumpla la igualdad

Los métodos de resolución de un sistema son:

1. método grafico2. método de adición3. método de sustitución4. método de igualación

METODO GRAFICO

Consiste en graficar en un plano cartesiano las dos ecuaciones lineales las posibilidades de solución son las siguientes

Solución única

Esta posibilidad se da cuando las dos rectas se intersecan y la solución esta dada por el punto de intersección de las dos rectas

Infinitas soluciones

Esta posibilidad se da cuando la una recta coincide con la otra

Sin soluciónEsta posibilidad se da cuando las dos rectas son paralelas

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método grafico

X+3y=8

2x-y=9

1. Paso Despejar “ y”

X+3y=8

3y=8-x

Y= (8-x)/3

2x-y=9

Y=2x+9

2. Paso Tabla de valores

x y (x;y)2 2 (2;2)

-1 3 (-1;3)

x y (x;y)0 -9 (2;2)1 -7 (-1;3)

3. Paso Grafico

X=5

Y=1

Verificar

Para comprobar que los valores obtenidos se debe reemplazar en las ecuaciones del sistema los resultados de x y de y y se debe mantener la igualdad

X+3y=8 2x-y=9

5+3(1) =8 2(5)-1=9

5+3=8 10-1=9

8=8 9=9

METODO DE SUTITUCION

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución se debe seguir el siguiente procedimiento

3x+2y=2

x-2y=6

1. Paso

Es conveniente que se despeje una variable con coeficiente 1

2. Paso

Sustituimos la otra ecuación el valor de la variable despejada en la primera obteniendo una ecuación de primer grado con una variable

3x+2y=2

3(6+2y)+2=2

3. Paso

Resolvemos la ecuación obteniendo en el paso anterior siendo este valor

18+6y+2y=2

18+8y=2

8y=2-18

8y=-16

Y=-16/8

Y=-2

4. Paso

Sustituimos el valor obteniendo en el paso anterior en cualquier ecuación del sistema ( de preferencia en la que se encuentra despejada) y luego hallamos el valor de la otra variable

X=6+2y

X=6+2(-2)

X=6-4

X=2

Ejemplo

x-y=-1 -2+3y=4=3y=4+2

2x+y=4 y=6/3=2

X=-1+y x-(2)=-1

2(-1+y)+y=4 x=2-1

-2+2y+y=4 x=1

EJEMPLOS

7/3x-2y=4/3

5/4x+3/2y=-7

(7x-6y)/3=4/3 (5x+6y)/4=-7

7x-6y=4 5x+6y=-28

-6y=-7x+4 6y=-5x-28

6y=7x-4 y=(-5x-28)/6

Y=(7x-4)/6

x y (x;y)4 4 (4;4)

-2 -3 (-2;-3)

x y (x;y)4 -8 (4;-8)

10 11 (10;11)

X=-2

Y=-3

Refuerzo mis conocimientos

Resuelve los siguientes ejercicios sobre ecuación de la recta

1.-

2x+y=4

x+y=3

2x+y=4 x+y=3

y=4-2x y=3-x

x y (x;y)2 1 (2;11 2 (1;2)

x y (x;y)2 0 (2;0)1 2 (1;2)

2.-

2x+3y=0

4x+3y=6

2x+3y=0 4x+3y=6

3y=-2x 3y=6-4x

y= (-2x)/3 y=(6-4x)/3

x y (x;y)3 -2 (3;-2)-3 2 (-3;2)

x y (x;y)3 -2 (3;-2)0 2 (0;2)

3.-

2x-y=-2

2x+y=6

2x-y=-2 2x+y=6

-y=-2-2x y=6-2x

y= 2+2x

x y (x;y)2 2 (2;2)1 4 (1;4)

x y (x;y)-2 -2 (-2;2)1 4 (1;4)

4.-

3x-y=-6

-3x+y=6

3x-y=-6 -3x+y=6

-y=-6-3x y=6+3x

y=6+3x

x y (x;y)-1 3 (-1;3)-2 0 (-2;0)

5.-

X+2y=4

x-y=1

x+2y=4 x-y=1

2y=4-x -y=1-x

y= (4-x)/2 y=-1+x

x y (x;y)2 4 (2;4)

8 -2 (8;-2)

x y (x;y)2 1 -2,13 2 (3;2)

6.-

3x-y=-6

x+y=2

3x-y=-6 x+y=2

-y=-6-3x y=2-x

y=6+3x

x y (x;y)1 1 (1;1)

4 -2 (4;-2)

x y (x;y)-1 3 (-1;3)-3 -3 (-3;-3)

7.-

3x+2y=-12

3x-y=-3

3x+2y=-12 3x-y=-3

2y=-12-3x -y=-3-3x

y=(-12-3x)/2 y=3+3x

x y (x;y)

1 6 (1;6)-2 -3 (-2;-3)

x y (x;y)-2 -3 (-2;-3)-6 2 (-6;-2)

8.-

X+4y=16

X+2y=-6

x+4y=16 x+2y=-6

4y=(16-x)/4 2y=(-6-x)/2

x y (x;y)4 -5 (4;-5)-2 -4 (-2;-4)

x y (x;y)8 2 (8;2)4 3 (4;3)

9.-

5y=-2(X+6)

7y=-2(10+3x)

5y=-2(x+6) 7y=-2(10+3x)

5y=-2x-12 7y=-20-6x

y= (-2x-12)/5 y= (-20-6x)/7

x y (x;y)4 -4 (4;-4)-8 1 (-8;1)

x y (x;y)-1 -2 (-1;-2)-3 4 (-3,4)

10.-

0.2x=0.1y+0.1

0.2y=0.3x+0.1

0.2x=0.1y+0.1 0.2y=0.3x+0.1

y=(0.2x-0.1)/0.1 y=(0.3x+0.1)/0.2

x y (x;y)1 1 (1;1)2 3 (2;3)

x y (x;y)1 2 (1;2)2 3,5 (2;3,5)

11.-

x/2+5y/6=1/3

5/8x-y/4=3

x/2+5y/6=1/3 5/8x-y/4=3

5/6y=1/3-x/2 -y/4=3-5/8x

y= (1/3-x/2)/5/6 -y/4=-3+5/8x

y= (-3+5/8x)/4

x y (x;y)3 -1,4 (3;-1,4)4 -2 (4;-2)

x y (x;y)3 -4,5 (3;-4,5)4 -2 (4;-2)

12.-

7y/3-2y=4/3

5x/4+3y/2=-7

(7x-6y)/3=4/3 (5x+6y)/4=-7

7x-6y=4 5x+6y=-28

-6y=-7x+4 6y=-5x-28

6y=7x-4 y= (-5x-28)/6

y= (7x-4)/6

x y (x;y)2 1 (2;1)4 2 (4;2)

x y (x;y)1 5,3 (1;5,3)2 -6,3 (2;-6,3)

METODO DE ADCION

Este método también con el método de eliminación o reducción, es el mas sencillo de todos los métodos si se aplica adecuadamente. Se fundamenta en eliminar una de las variables at raves de a adición de las ecuaciones. En la aplicación de este método podemos considerar el siguiente proceso:

1. Obtener coeficientes numéricos opuestos en una delas variables de las 2 ecuaciones del sistema.

2. Adicionar las 2 ecuaciones y eliminar dicha variable.3. Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor de la variable.4. Sustituir de la variable conocida en cualquiera e las ecuaciones del sistema y hallar e

valor de otra variable.5.

EJEMPLO:

2x+y=5

2x+3y=8

-2x-y=-5 2y=3 2x+3/2=5

2x+3y=8 y=3/2 2x=5-3/2

0+2y=3 2x=7/2

X=7/4

METODO DE IGUALACION

Un sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de igualación siguiendo este proceso:

1. Despejar la misma variable en las 2 ecuaciones.2. Igualar los resultados obtenidos.3. Resolver la nueva ecuación y encontrar el valor de la una variable.4. Sustituir el valor obtenido con el paso anterior en cualquier ecuación del sistema.

EJEMPLO:

2x-y=20

2x+y=48

y=2x-20

y =48-2x

2x-20=48-2x

2x+2x=48+20

4x=68

x=17

Sustituir:

y=2x-20

y=2(17)-20

y=34-20

y=14

R: x=17

y=14

INECUACION LINEAL

Una inecuación lineal con 2 variables se puede expresar de las siguientes formas:

1. Ax + By + C > 0 Ejemplo: 3x + 2y - 1 > 02. Ax + By + C < 0 Ejemplo: x + y < 03. Ax + By + C ≥ 0 Ejemplo: -2x + 4y - 5 ≥ 04. Ax + By + C ≤ 0 Ejemplo: 3/2x + 1/4y ≤ 0

La solución de una inecuación con2 variables corresponde al conjunto de pares ordenados que permiten que se cumpla la desigualdad.Por lo tanto l solución se observa en e gráfico con una región que se encuentra sombreada sobre o bajo una recta.

Ejemplo:

Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación lineal 3x + y ≤ 2:

3x + y ≤ 2

1. 1er Paso: Cambiar los signos de orden con un igual.

3x + y = 2

2. 2do Paso: Despejar "y"

3x + y = 2

y = 2 - 3x

3. 3er Paso: Tabla de valores

x y (x;y)0 2 (0;2)1 -1 (1;-1)-1 5 (-1;5)

4. 4to Paso: Graficar

5. 5to Paso: Determinar zona solución

Sobre la recta Bajo la recta

( 3 ; 5 ) ( -3; 1 )

3x + y ≤ 2 3x + y ≤ 2

3(3) + 5 ≤ 2 FALSO 3(-3) + 1 ≤ 2 VERDADERO

9 + 5 ≤ 2 (-9) + 1 ≤ 2

14 ≤ 2 (-8) ≤ 2

Observación:

Si la inecuación tiene los símbolos > o < la recta se grafica con líneas entrecortadas esto quiere decir que las partes que pertenecen a la recta no son parte de la solución. Si la inecuación tiene los símbolos > o < la recta se grafica con línea continua esto quiere decir que los puntos que pertenecen a la recta son parte de la solución.

Ejercicio

Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación lineal:

(-x + 3y > 4)(-x) + 3y =43y =4 + x

y= (4+x) 3

x y (x;y)5 3 (5;3)-1 1 (-1;1)2 2 (2;2)

(-2;5)

2+3(5)>4

2+15>4

17>4

2x - y ≤ 5

3 2

4x-3y ≤ 30

4x-3y=30

(-3x)=30-4x

x=30-4x

(-3)

x y (x;y)

3 -6 (3;-69-3 -14 (-3;-14)0 -10 (0;-10)

(2;-3)2(2) + 3 ≤ 5 3 24/3+3/2 ≤ 517/6 ≤ 5

ECUACIONES CUADRÁTICASUna ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar como:

ax² + bx + c = 0

En donde a, b y c son números reales y a ≠ o.

Ejemplo:

1) 3x² + 2x - 7 = 0

a b c

a=3 b=2 c=-7

2) x² - 9 = 0

a=1 b=0 c=-9

3) -x² -+7x = 0

a=-1 b=7 c=0

Factor Común

Diferencia de cuadrados

Trinomio: Cuadrados perfectos

Forma x² + bx + c

Forma ax² + bx + c

Ejemplo:

x² - 3x = x ( x -3 )

y² - 16 = (y + 4) (y - 4 )

x²- 4x + 4 = (x - 2)²

x² + 5x + 6 = ( x + 3)(x+ 2)

3x² + 13x + 12 = ( 3x + 4 ) ( x + 3)3x 4 = 4xx 3 = 9x

Resolver una ecuación cuadrática es encontrar el valor a los valores que puede tomar la variable para que la igualdad se mantenga. Entre los métodos de resolución de una ecuación cuadrática tenemos:

METODO DE FACTORIZACION

Este método consiste en descomponer en factores a la ecuación cuadrática y luego aplicar el teorema a*b = 0 ; entonces b= 0 o a=0, es decir para encontrar cada una de la raíces, cada uno de los factores se iguala a 0 y se despeja la variable.

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por el Método de Factorización

x² + 3x -10 = 0

Factorizar

(x + 5) (x -2) = 0

Teorema del factor 0

x + 5 = 0 x - 2 = 0

x=-5 x=2

Comprobación

x = - 5 x = 2

(-5)² + 3(-5)- 10 = 02² + 3(2)- 10 = 0

25 - 15 - 10 = 0 4 + 6 - 10 = 025 -25 = 0 10 - 10 = 00 = 0 0 = 0

MÉTODO DE COMPLETACIÓN DEL CUADRADO

Una ecuación cuadrática se puede resolver utilizando el método de completación del cuadrado que consiste en transformar a dicha ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. Para ella se debe sumar a los dos miembros de la ecuación. La expresión de ( b/2)², con el coeficiente numérico de la variable al cuadrado igual a 1.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación cuadrática.

2x² + 5x - 3 = 02x2

2+ 5 x2

−3=0

x+5 y2

−32=0

Pasar c al otro lado :

x+5 x2

=32

Calcular (b/2)² :

b=52

¿¿

Sumar (b/2)² a ambos lados:

x2+ 5 x2

+ 2516

=32+ 2516

Resolver:

¿¿

METODO POR FORMULA

Para resolver una ecuación cuadrática por este método se aplica la siguiente formula:

x=−b±√b2−4ac2a

En donde:

a= coeficiente numérico de x2

b= coeficiente numérico de x

c= termino independiente

Para resolver por medio de la formula se puede seguir el siguiente proceso:

Expresar la ecuación en la forma a x2+bx+c=0 Identificar los coeficientes a, b y c de la ecuación. Reemplazar los valores en la formula y determinar las raíces e la ecuación.

Ejemplo:

3 x2−8 x−3=0

a=3

b=-8

c=-3

x=8±√82−4 (3 )(−3)2(3)

x=8±√64+366

x=8±√1006

x1=8+106

x1=186

x1=3

x1=8−106

x1=−26

x1=−13

5 x2−4 x+4=0

a=5

b=-4

c=4

x=4±√42−4 (5 )(4)2(5)

x=4±√16−8010

x=8±√−646

NATURALEZA DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA

x=−b±√b2−4ac2a

Discriminante

b2−4 ac

D > 0 (positivo) D=0 D < 0 (negativo)

La ecuación tiene 2 raíces R y diferentes.

La ecuación tiene una solución R.

La ecuación no tiene solución en los R.

Ejercicio:

3 x2+11 x+6=0

a=3

b=11

c=6

D=121−4 (3 )(6)

D=121−72

D=49

D > 0 La ecuación va a tener 2 soluciones

2 x2+3 x+4=0

a=2

b=3

c=4

D=9−4(2)(4)

D=9−32

D=−23

D < 0 La ecuación no va a tener soluciones

9 x2−6 x+1=0

a=9

b=-6

c=1

D=36−4(9)(1)

D=36−36

D=0

D = 0 La ecuación va a tener 1 solución

PROPIEDAD DE LAS RAICES DE UNA ECUACION CUADRATICA

Ejemplo:

Dadas las raíces determinar la ecuación cuadrática

ax2+bx+c=0

Raíces x1; x2

Propiedades

Suma Producto

x1+x 2=−ba

x1∗x2= ca

x1=-1

x2=7

Suma:

x1+x 2=−ba

−1+7=6

Producto:

x1∗x2= ca

(−1 )∗7=−7

Ecuación = x2+6 x−7=0

ANALISIS DE LA FUNCION

Función lineal:

Dominio RECORRIDO Pendiente Punto de corte eje y Grafica Regiones de la función

Ejemplo:

Analizar la siguiente función lineal

3 x+2 y=3

Grafica

3 x+2 y=3

2 y=3−3 x

y=3−3x2

x y x ; y1 0 (1;0)-1 3 (-1;3

Dominio

Son todos los valores que puede tomar x para que se cumpla la función.

Ojo: el dominio en una función línea es el conjunto de los números reales.

Recorrido

Son todos los valores que puede tomar y

Punto de corte con el eje y

Se pasa a la forma y=mx+b

fx=−3 x+32

fx=−3 x2

+ 32

m=−32b=32

Signos de la función

y=−3 x2

+ 32

0=−3x2

+ 32

3x2

=32

x=( 32)(2)

3

x=1

1 fx= (-3x+3)/2 + -

FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática es de la forma fx=ax2+bx+c, en donde a, b, c son números reales (R) y a tiene q ser diferente a cera. La grafica de una ecuación cuadrática, y en donde el coeficiente a determina si l grafica se abre hacia arriba o se are hacia abajo.

SI el coeficiente a es positivo (a > 0) la parábola se abrirá hacia arriba.

SI el coeficiente a es negativo (a < 0) la parábola se abrirá hacia abajo.

El coeficiente c en una función cuadrática nos determina el punto de corte con respecto al eje y.

Ejemplo:

Dada la siguiente ecuación cuadrática determina hacia donde se abre la parábola y cual es su punto de corte en el eje de las y.

fx=3 x2+2x−3

a=3; a > 0

Se abre hacia arriba

c=-3

La parábola corta en -3 en el eje y

fx=−5 x2+2x−1

a=-5; a < 0

Se abre hacia abajo

c=-1

La parábola corta en -1 en el eje y

Vértice de la parábola:

El punto mas bajo de una parábola que se abre hacia arriba y el punto mas alto en una parábola que se abre hacia abajo aplicando la siguiente ecuación.

x=−b2a

GRAFICADE DE LA FUNCION CUADRATICA

Para graficar una función cuadrática podemos seguir el síguete procedimiento:

1. Cambiar el fx por y2. Determinar el vértice de la parábola3. Elaborar una tabla de valores para x y para y (de preferencia en x deben haber

valores positivos y negativos)4. Ubicar los respectivos puntos en el plano caresiano

Ejemplo:

fx=x2+3 x−2

y=x2+3 x−2

a=1

b=3

c=-2

a > 0 La parábola se abre hacia arriba.

Coordenada x

x=−b2a

x= −32(1)

x=−32

Coordenada y

y=(−32

)2

+3(−32

)−2

y= 94−92−2

y=−174

Vértice = (−32 ;−174

¿

x y x ; y1 2 (1;2)-1 -4 (-1;-4)2 8 (-1; 5)-2 -4 (-2;-4)-4 -2 (-4;-2)-6 16 (-6;16)