Mención :Educación MatemáticaTema : Ecuaciones diofanticasPresentado por :Víctor Z. Millán PechoCátedra :Teoría de Números para docentes

Mg. Fabio A. Contreras Ore

Huancayo – Perú - 2012

RESOLUCION Son necesarios 4 pasos para resolver una ecuación diofánticaax + by = c Paso 1: Calcular el MCD de los coeficientes: a y b (por el algoritmo de Euclides)Paso 2: Comprobar si d c para saber si la ecuación tiene soluciones enteras. -En caso negativo, entonces la ecuación no admite ninguna solución entera. -En caso afirmativo, continuamos con el siguiente paso. Calcular los valores enteros de “p” y “q” por Bezout,…Paso 3: Usamos las formulas anteriores para hallar la solución particular. Paso 4: Usamos estos valores encontrados para determinar la solución general.

4. Hallar la solución parcial y la solución general de la ecuación

diofántica:

91x – 61y = 45 ; x, y ϵ Z

Resolución:

2. Hallar la solución parcial y la solución general de la ecuación

diofántica: 30x + 12y = 1200

Resolución:

(i) Determinando el MCD de 30 y 12, luego:

2 2

30 12 6

6 0

(ii) Comprobamos: 6 1200 por tanto si tiene soluciones enteras. Luego los valores de “p”

y “q” 2 2

0 1 2 5 1(5) - 2(2) = 1

1 0 1 2 Luego, multiplicamos por 6:

1( 5x6) – 2(2x6) = 1x6

1(30) – 2(12) = 6

Ordenando, tenemos: 30(1) + 12(-2) = 6

P= 1 y q= -2

(iii) Solución particular:

Xo = cp/d = 1200(1)/6 = 200

Yo = cq/d = 1200(-2)/6 = -400

(iv) Solución general:

X = Xo + k b/d = 200 + 2k

Y = Yo – ka/d = -400 – 5k

Obtenemos por tanto que las soluciones de la ecuación

diofántica son:

X = 200 + k

Y = - 400 – 5k

Problema 4. Un granjero gasto S/. 100 000.00 en los 100 animales entre ovejas, caballos y terneras. Si las ovejas las compro a S/ 50.00;

A S/. 1000.00 los caballos y a S/. 5000.00 las terneras y adquirió animales de tres clases. ¿Cuántos animales compro de cada clase?

Procedimiento:

Sea x : Numero de ovejas

y : Numero de caballos

z : Numero de terneras

De acuerdo al enunciado, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 100……………………(I)

50x + 1000y + 5000z = 100 000 si ( : 50)

x +20y + 100z = 2000 …………..(II)

De la ecuación (II): x + y + 19y + z + 99z = 2000 x + y + z + 19y + 99z = 2000 100 + 19y + 99z = 2000 Por tanto: 19x + 99z = 1900(i) Hallamos el MCD por el algoritmo de Euclides: 5 4 1 3 99 19 4 3 4 3 1 0

Luego: d = 1 = (19; 99) (ii) Comprobamos si la ecuación tiene soluciones enteras: 1 1900, tiene soluciones enteras.

1

Ordenando : 19(-26) + 99(5) = 1

p = -26 ; q = 5(iii) Luego, hallamos una solución particular:

Yo = c.p/d Yo = 1900(-26)/1 Yo = -49 900

Zo = cq/d Zo = 9500

(iv) Solución general:

y = yo + kb/d y= -49 900 +99k

z = zo - ka/d z = 9500 – 19k, siendo k un numero entero

cualquiera.

(v) Finalmente, cuantos animales de cada clase adquirió, teniendo en

cuenta que adquirió animales de las 3 clases.

yo > 0, entonces -49900 +99k > 0, luego k > 498.9

Luego hallamos los valores de p y q: 5 4 1 3 0 1 5 21 26 99 5(99) – 26(19) = 1 1 0 1 4 5 19

Luego, z0 > 0 entonces: 9500 – 19k > 0 , luego: K< 500

498.9< k < 500, como “k” ϵ Z, se sigue que: k = 499

Luego: y = -49400 + 99(499)

y = 1

Análogamente z = 19, en la ecuación (I)

x + y + z = 100

x + 1 + 19, entonces: x = 80.

Respuesta: compro: 80 ovejas; 01 caballo y 19 terneras.

Problema 4. Un comerciante de frutas gasta s/. 4000.00 comprando 156 cajones de frutas entre, bananas, mangos y papayas. Si las bananas los compro a S/15.00; a S/. 20.00 los mangos y a S/ 40.00 las papayas, se sabe que ha adquirido los 3 tipos de frutas, ¿Cuántos cajones de frutas de cada clase compro?Procedimiento:

Sea: Sea x : Numero de cajones de bananas

y : Numero de cajones de mangos

z : Numero de cajones de papayas.

De acuerdo al enunciado, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y + z = 156……………………(I)

15x + 20y + 40z = 4000 si ( : 5)

3x +4y + 8z = 800 …………..(II)

De la ecuación (II): x + 2x + y + 3y + z + 7z = 800 x + y + z + 2x + 3y + 7z = 800 156 + 2x + 3y + 7z = 800 … Por tanto: 1.x + 5z = 332 ……………(III)(i) Hallamos el MCD : de 1 y 5 Luego: d = 1 = (1 ; 5) (ii) Comprobamos si la ecuación tiene soluciones enteras: 1 132, es cierto, luego tiene soluciones enteras.Luego hallamos “p” y “q” por el teorema de Bezout – Bachet, donde 1 puede expresarse como combinación lineal de a/d y b/d entonces existe: p, q que pertenecen al conjunto de los números enteros. MCD(a,b) = (a/d) .p + (b/d).qLuego: 1 = 1(p)/1 +5(q)/1Ordenando: 1(p) + 5(q) = 1, donde 1(-9) + 5(2) = 1, luego p= -9 y q= 2

(iii) Luego, hallamos una solución particular:

Yo = c.p/d Yo = 332(-9)/1 Yo = - 2988

Zo = cq/d Zo = 332(2)/1 Zo = 664

(iv) Solución general:

y = yo + kb/d y= - 2988 + 5k

z = zo - ka/d z = 664 – k, siendo k un numero entero

cualquiera.

(v) Finalmente, cuantos cajones de frutas de cada clase compro, teniendo en cuenta que adquirió frutas de las 3 clases.

yo > 0, entonces -2988 + 5k > 0, luego k > 597,6

Luego, z0 > 0 entonces: 664 – k > 0 , luego: K< 664

597,6< k < 664, y como “k” es un numero entero, se sigue que:

k = 598

Luego: y = -2988 + 5(598)

y = 2

Análogamente z = 664 - 598, z = 66 luego, en la ecuación (I)

x + y + z = 156

x + 2 + 66 156, entonces: x = 88.

Respuesta: compro: 88 cajones de bananas; 02 cajones de mangos y 66 cajones de papayas.

Muchas Gracias