1. Un automóvil va a una velocidad constante en una carretera recta pero escarpada. Una

sección tiene una cresta y una depresión de 250 m de radio,

a. En el momento que pasa por la cresta la fuerza normal es la mitad del peso del

automóvil (16 kN), ¿Cuál será la fuerza normal en él cuando cruce el fondo de la

depresión?

La fuerza normal es la mitad del peso debido a que la fuerza radial “empuja” al coche hacia

arriba. Para la fuerza radial se tiene:

2

2 2

N r

r

wF w F

w wF w

Cuando la curvatura es opuesta (se cambia de convexa a cóncava) la fuerza radial debe actuar en

dirección opuesta pero con la misma magnitud, por lo tanto:

3 3

16 kN2 2

24 k2

NN r

w wF w F w

b. ¿cuál es la velocidad máxima que alcanza sin dejar la carretera en la cumbre de la

colina?

En el límite en el que el coche está por dejar el piso, la fuerza normal es nula, entonces:

0N r

r

F w F

F w

Para obtener la velocidad es necesario conocer la aceleración radial que actúa sobre el auto. A

partir de la fuerza radial:

r

r

F w mga g

m m m

Y la velocidad queda:

2

25 70.02 0 m s m

r

r

va

r

v r a rg g

c. Si se desplaza a la rapidez de (b), ¿cuál será la fuerza normal del automóvil

cuando cruce por el fondo de la depresión?

Por un razonamiento similar al del inciso (a):

32 kN2 2 16 kNN rF w F w w w

2. Cierta cuerda puede soportar una tensión máxima de 9.2 lb sin romperse. Un niño le ata

una piedra de 0.82 lb en un extremo y sosteniendo en las manos el otro, hace girar a la

piedra en un círculo vertical de 2.9 ft de radio, aumentando lentamente la velocidad hasta

que la cuerda se rompe,

a) ¿cuántas revoluciones describió la piedra hasta que se rompe la cuerda?

En esta situación, la piedra se encuentra sometida a las mismas fuerzas que en el péndulo simple,

es decir:

sin

cos

T

r

F mg

F T mg

Dado que la cuerda se encuentra en movimiento circular debe tener una aceleración radial de la

forma:

2

2

r

va r

r

Y por segunda ley de Newton debe cumplirse que:

2

cosmv

T mgr

Por lo tanto la tensión está dada por:

2

cosv

T m gr

Para que la cuerda se rompa es necesario que la tensión sea máxima, en función del ángulo esto

se logra cuando cosθ = 1, es decir en la parte más baja de su trayectoria, por lo tanto:

La piedra da una revolución completa.

b) ¿qué rapidez alcanza en el momento en el que se produce la ruptura?

En la situación anterior la tensión se expresa como:

2v

T m gr

De donde la rapidez queda como:

T

v r gm

Sustituyendo datos:

2

9.2 lb 9.2 lb 4602.9 ft 2.9 ft 2.9 ft 1

0.82 lb 0.82 lb 41

419 4192.9 ft 2.9 ft 32. 30.88 f17 t s 9.4 ft s

41 411 m s

f m

m m

v g g g g

g

3. Demuestra que si la deformación de un resorte se describe por la ecuación:

cos sinx A t B t

entonces, la amplitud del movimiento oscilatorio estará dada por:

2 2

maxx A B

Tendrás que derivar para encontrar los puntos estacionarios, luego usar la identidad

trigonométrica: sen2x + cos

2x = 1 para despejar el producto ωt. Una vez que reconozcas las

expresiones para el seno y el coseno en los puntos estacionarios, sustitúyelos en la ecuación

original y llega a la expresión requerida.

RESPUESTA:

Dado que lo que se quiere conocer es un máximo, es necesario derivar la ecuación de

desplazamiento, entonces se tiene:

0

cos sin 0

sin cos 0

sin cos 0

dx

dt

dA t B t

dt

A t B t

A t B t

Como ω no puede ser 0, entonces se tiene:

cos sinB t A t

Elevando al cuadrado y sustituyendo la identidad trigonométrica:

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin 1 cos cosB t A t A t A A t

Despejando el coseno:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

22

2 2

2 2

cos cos

cos

cos

cos

B t A t A

B A t A

At

B A

At

B A

Haciendo lo mismo pero del lado izquierdo de la primera igualdad se puede llegar a que:

2 2

sinB

tB A

Sustituyendo estos resultados en la ecuación de desplazamiento se tiene:

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

A Bx A B

A B A B

A B

A B A B

A

B

B

B

A

A

4. Estás jugando “The Mario Bros’ Chemical Experience” para Wii®. En el nivel 26 te

aparece como obstáculo un río de lava, el cual no puedes sortear con un simple salto de

Mario. Para lograrlo tienes a tu disposición un cañón que te proporcionará un impulso

extra. Sabemos que éste suministrará una rapidez inicial de 10 m/s y se encuentra en la

configuración de alcance máximo, de modo que tiene una inclinación de 20°.

Además de todo lo anterior (MAMMA MIA!), ni siquiera con el cañón se puede llegar

a la otra orilla. Sin embargo hay una plataforma soportada por un resorte horizontal a la

orilla a la que quieres llegar, cuya amplitud de oscilación está ajustada para coincidir con

el alcance del cañón a la elevación relativa que se encuentra. La deformación máxima que

experimenta el resorte es de 5.25 m. Y después de haber perdido tres vidas sabes que la

deformación del resorte en el momento idóneo para disparar el cañón es de -3.53 m.

HERE WE GO!!

a. Calcula el vector de posición, con respecto al punto de lanzamiento, del punto en

el que Mario puede caer sobre la plataforma oscilante.

A partir del ángulo:

2

0

2

0

2

0

2

0

2m

s

cos 2

cos 2

cos 2 1 cos 2

cos 2

cos 2 1

10 cos 404.42 m

cos 40 1

gh

v gh

v gh gh

gh v

vh

g

g

A partir de las ecuaciones de movimiento:

2

0 0sin ; cos2

gty t v t x t v t

El punto de caída se definirá por:

2

0

0

sin2

cos

cc

c

gtv t h

v t R

Despejando el tiempo de caída en la horizontal y sustituyendo en la vertical se tiene:

0

2

0

0 0

2

2 2

0

cos

sin2 cos cos

tan2 cos

c

Rt

v

g R Rv h

v v

gR R h

v

Se acomoda como una forma cuadrática:

2

2 2

0

2 2 2 2

0 0

tan 02 cos

2 cos sin 2 cos 0

gR R h

v

gR v R v h

Y resolviendo para el alcance R:

2 4 2 2 2 2

0 0 0

2 2 2

0 0 0

2 200 0

2 2

2 2

2 cos sin 4 cos sin 8 cos

2

cos sin cos sin 2

cossin sin 2

10 m s cos 20º10 m s sin 20º 10 m s sin 20º 2 4.42 m

10 m s cos 20º10 m s sin 20º 10 m s sin 20º 2 4.42 m

1

v v v ghR

g

v v v gh

g

vv v gh

g

gg

gg

2.78 m

6.23 m

Dado que Mario cayó a la derecha del punto de lanzamiento se toma la raíz positiva, por lo que el

punto de caída es:

ˆ ˆ12.78 m 4.42 mcx i j

b. Calcula el tiempo de la trayectoria de Mario desde el cañón hasta la plataforma.

Del despeje del tiempo que se hizo en el inciso anterior:

0

ms

cos

12.78 m

10 cos 201.36 s

c

Rt

v

c. ¿Cuál es la expresión que rige el movimiento del resorte, independientemente del

tiro parabólico, si en un tiempo local t = 0 estaba en su deformación máxima?

5.25cosrx t t

d. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación del resorte que soporta a la plataforma?

En el documento de tiempo de demora podemos encontrar:

0 cosr fx t Amp t

Por lo tanto:

0

0

s

0

rad

cos

arccos

1arccos

1 3.53 marccos

1.36 s 5.25

97.24

15.48 Hz

m

r

f

r

f

r

f

x tt

Amp

x tt

Amp

x t

t Amp

e. Ya conoces la deformación necesaria, pero, cuando el resorte se encuentra en esa

situación, ¿se debe estar estirando o contrayendo para que, al apretar A, Mario no

vuelva a caer en la lava?

Se necesita el signo de la velocidad de deformación en el tiempo del disparo; es decir:

0 0sinrx t Amp t

En el documento de tiempo de demora podemos encontrar que el periodo para el ciclo del resorte

está dado por:

0 ft tT

n

Por lo tanto la ecuación de deformación queda invariante si se escribe:

05.25cosr fx t t t t

Y como coseno es función par, entonces:

05.25cosr fx t t t t

Y la derivada

05.25 sinr fx t t t t

Evaluando en el momento del disparo:

0 0 0

rads

ms

5.25 sin

5.25 sin

5.25 m 14.54 Hz sin 91.34 1.45 s

38.03 0

r f

f

x t t t t

t

Así que debe estarse expandiendo.

5. Considera dos placas paralelas de longitud L y distancia de separación D:

Establecemos una diferencia de potencial eléctrico V entre

ellas. La fuerza ejercida sobre una carga q está dada por

F qE , en donde E es el campo eléctrico generado por V.

La relación entre V y E es ˆV

E uD

, en donde û es el

vector unitario perpendicular a las placas. Un electrón entra

por en medio de las placas con velocidad 0ˆv u .

En función de V, L, D, la masa (me) y la carga (e) del electrón, ¿qué debe cumplirse para

0v de forma que el electrón no choque con el ánodo?

La fuerza que actúa sobre el electrón es:

ˆV

F eE e uD

Como tanto la diferencia de potencial eléctrico como la distancia entre las placas y la carga del

electrón son constantes, entonces la fuerza eléctrica es también constante. Como resultado de

tener una fuerza constante se tiene un MUA en la dirección de û. Mientras que en la dirección de

la velocidad inicial no hay acción de fuerzas y se tiene un MRU. Estas son las condiciones de un

“tiro parabólico hacia arriba”.

Sabemos entonces que las ecuaciones de movimiento estarán dadas por:

2 2

0 0ˆ ˆ ˆ

2 2 2 2e e

Ft D D Vetr t v t u v tv u

m Dm

Donde se ha definido:

0

0

ˆv

vv

como el vector unitario perpendicular a û.

Para que el electrón no choque con la placa se debe cumplir que:

0v t L

cuando:

2

02 2 e

D Vet

Dm

Despejando al tiempo de la igualdad:

2

2 2

22

2 2e

e

e

e

Vet D

Dm

Vet D m

D mt

Ve

mt D

Ve

Y sustituyéndolo en la desigualdad:

0

0

e

e

L Vev

D

mv D L

Ve

m

6. Montaña rusa

(Recomendación, usa el programa para graficar que adquiriste a principio del curso)

Consideremos una montaña rusa cerrada cuyos rieles dibujan la siguiente curva:

0 100 200 300 400

0

200

400

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

x [m]y [m]

z [

m]

Su función de trayectoria es:

2 2

1 2 22 2 2

3 2 2 3 4 2 2 4 3 3

3 22 2

2 2 2

7.2 7.543.91 7.25, 55.4

1.72 3 1.18 3 6.96 6 3.96

x y xyx yz x y

x yx y

x xy x y y x x y y x y xy

x yx y

a. Demuestra que con el cambio de variable siguiente:

cos

sin

x r

y r

la función de trayectoria se reduce de tres a dos dimensiones:

z(x.y) → z(θ)

Aplicando el cambio de variable:

2 2 2 2 2

1 2 2 2 22 2 2 2 2

3 3 3 2 3 2 3 3

32 2 2 2 2

4 4 4 2 2 4 4

7.2 cos sin 7.54 cos sin3.91 cos 7.25 sin, 55.4

cos sincos sin

1.72 cos 3 cos sin 1.18 3 cos sin sin

cos sin

6.96 cos 6 cos sin sin 3.9

r r rr rz r

r rr r

r r r r

r r

r r r

4 3 4 3

22 2

2 2

3 2 2 3

4 2 2 4 3

2 2

3

55.4 3.91cos 7.25sin 7.2 cos sin 7.54cos sin

1.72 cos 3cos sin 1.18 3cos sin sin

6.96 cos 6cos sin sin 3.96 cos sin c

6 cos sin cos sin

cos si

s sin

n

o

r

r r

r r

b. Utiliza identidades trigonométricas para que todo quede en términos de senos y

cosenos lineales y sin multiplicar, de modo que en el argumento el ángulo esté

multiplicado por números enteros. Por ejemplo:

2

sin 2sin cos

2

cos 2 1cos

2

7.5455.4 3.91cos 7.25sin 7.2cos 2 sin 2

2

3.961.72cos 3 1.18sin 3 6.96cos 4 sin 4

4

r

Para que todo quede en unidades de longitud (metros), es necesario cambiar la

variable ángulo por la variable arco:

s = ρθ

donde ρ es el valor del radio del círculo que la trayectoria proyecta en el plano xy,

es decir:

2 2x y

Para esta montaña se tomará ρ = 200 m.

c. Una vez con el valor de ρ determinado, hay que aplicar el cambio de variable a los

argumentos de las funciones trigonométricas haciendo:

s

donde = 1/ρ y tiene como dimensiones [rad/m].

Escribe la nueva expresión con el cambio de variable y dibuja la gráfica z(s) vs. s.

Recuerda que el dominio de θ va de 0 a 2π.

55.4 3.91cos 7.25sin 7.2cos 2 3.77sin 2

1.72cos 3 1.18sin 3 6.96cos 4 0.99sin 4

z s s s s s

s s s s

d. Considera un vagón de 500 kg sobre los rieles. Si suponemos que sólo actúa un

potencial gravitacional

U r mgz

¿En qué punto de la trayectoria (valor de s) el potencial es el máximo? ¿Cuánto

vale?

Usando el graficador puede encontrarse que:

max 18.30 m 75.84 mz z s

Sustituyendo en el potencial:

max 500 kg 75. 371.88 kJ84 mU g

e. Ese valor de potencial es la energía mecánica total que el vagón tendrá a lo largo

de todo su recorrido. Si dicha energía es:

2

2

mvE U r K v mgz

Despeja la rapidez de esa expresión y, tomando en cuenta que z es función de s,

dibuja la gráfica de v(s) vs. s.

0 200 400 600 800 1000 120035

40

45

50

55

60

65

70

75

80

s [m]

z [

m]

La rapidez queda:

2

2

2

2

2

2

2

mvmgz E

mvE mgz

v E mgzm

Ev gz

m

Y la gráfica queda:

f. Compara las dos gráficas que dibujaste, ¿qué relaciones notas entre los puntos

estacionarios de ambas? ¿Qué significan estas relaciones en términos de la

energía?

Donde la altura tiene un máximo, la rapidez tiene un mínimo y vicieversa, la misma relación

se mantiene entre energía potencial y cinética.

0 200 400 600 800 1000 12000

5

10

15

20

25

30

s [m]

v [m

/s]

g. Si la primera gráfica es de posiciones, y la segunda de velocidades ¿Por qué

puedes usar tales gráficas para hacer conjeturas sobre la energía si ninguna está

explícitamente en términos de ésta?

Porque la energía potencial es directamente proporcional a la altura, de modo que su

comportamiento es completamente análogo. Por otro lado la rapidez va como la raíz cuadrada

de la energía cinética que, si bien no es proporcional, también guarda una relación directa, es

decir a mayor rapidez mayor energía cinética.

h. Supón que el vagón fue soltado del reposo en s = 89 m. ¿Cuál es la energía

potencial en este punto?

Usando el programa puede identificarse que:

89 m 68.65 mz s

Mientras que la energía potencial queda:

89 m 500 kg 68.65 m 336.60 kJU s g

i. Repite el punto (e) con este nuevo valor de energía potencial inicial.

Esta vez la gráfica queda:

0 200 400 600 800 1000 12000

5

10

15

20

25

s [m]

v [m

/s]

j. Explica las curiosidades o inconsistencias que encuentras en tu nueva gráfica para

la rapidez. Recuerda que como la rapidez es la magnitud del vector velocidad, ésta

no puede ser negativa.

En la gráfica puede notarse que hay varios valores del arco para los cuales la rapidez es cero, a

diferencia de la anterior en la que esto sólo ocurría en un punto. Esto se debe a que esos puntos

no corresponden a esta gráfica ya que como el sistema tiene menor energía que la necesaria para

que el vagón llegue a las altitudes en esos puntos, entonces no hay rapidez que reportar allí.

Podría decirse que el vagón queda “atrapado” en la región para la cual sí pudo graficarse la

rapidez sin problemas.

7. Considera una partícula que se mueve en el plano xy (2D):

a. Expresa su energía cinética total en términos de las componentes de la velocidad

en cada dirección.

2 2 2

2 2

x ym v vm vK v

b. Escribe la expresión que obtuviste ahora en términos de derivadas de las

componentes del vector posición.

2 2

,2

m dx dyK x y

dt dt

c. Transforma las componentes cartesianas del vector posición a coordenadas

polares.

2 2

, cos sin2

m d dK r r r

dt dt

d. Desarrolla las derivadas y obtén la energía cinética en términos de radio, ángulo y

sus derivadas temporales (toma en cuenta que ambas dependen del tiempo).

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

, cos sin2

cos cos sin sin2

sin cos cos sin2

sin 2 sin cos cos2

cos 2

m d dK r r r

dt dt

m d dr d drr r

dt dt dt dt

mr r r r

mr r r r

r r

2 2

2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

cos sin sin

sin cos cos

,2

sin2

r r

mK r r r

mr r

8. Un modelo para representar las interacciones de Van der Waals es el dado por el potencial

de Lennard-Jones:

12 6

4V rr r

Donde r es la distancia entre los átomos que se consideran. Averigüemos qué significan

los parámetros ε y σ.

a. Encuentra el valor de la distancia interatómica para el cual el potencial es mínimo.

En el mínimo:

0 0

2

20 : 0

r r

dV d V

dr dr

entonces

12 6

12 6

12 6

1

1

3

6

7

6

6

4 0

12

2

6

2 1

d d

dr r dr r

d d

dr r dr r

r r

r

r

b. ¿Cuánto vale el potencial evaluado en esta distancia?

m

12 6

1

61 1

6 6

12 6

1 1

6

n

6

i

2 4

2 2

1 14

2 2

1 14

4 2

14

4

V

V

c. ¿Cuánto vale el potencial a distancia infinita y cuánto cuando los átomos se

juntan?

A distancia infinita:

12 6 12 6

12 6

lim lim 4 4 lim

4 lim lim 4 0

lim 0

0

r r r

r

r

r

V rr r r

r

r

r

V

r

Cuando los átomos se juntan

12 6 12 6

0 0 0

12 6

0 0

lim lim 4 4 lim

4 lim lim

lim

r r

r

r

r

r

V

V rr r r r

r

r

r

d. Considera los 3 siguientes casos: r < σ, r = σ y r > σ. ¿Qué se puede decir del

potencial en cada caso?

Caso 1:

12 6

12 6

0

1

0

r

r

r r

V r

r

r

Caso 2

12 6

12 6

0

1

0

r

r

r r

V r

r

r

Caso 3:

12 6

12 6

0

1

0

r

r

r r

V r

r

r

e. ¿Qué puedes concluir sobre el significado físico de las dos constantes en la

expresión del potencial?

ε es la profundidad del pozo de potencial, es decir, la energía de estabilización del sistema.

σ es la distancia entre átomos antes del mínimo en la que el potencial entre ellos es el mismo que

si estuvieran infinitamente separados.

9. Un neutrón (mn = 1.675×10-27

kg) y un protón (mp = 1.673×10-27

kg) se mueven de

acuerdo a las siguientes ecuaciones de movimiento:

2

2

ˆˆ ˆ4 2 6 25 1

ˆˆ ˆ8 8

n

p

r t t i j t k

r t i t j k

Las unidades son angstroms (Å) para las distancias y femtosegundos (fs) para el tiempo.

a. ¿A qué tiempo chocan?

Para que ocurra una colisión los vectores de posición deben ser los mismos al mismo tiempo, por

lo tanto:

2 24 2 6 8

25

1 8

n pr r

t t t

t

t

Sólo la igualdad de las componentes en z puede ser evaluada, de modo que:

8 1 9 fst

b. ¿Cuánto valen los coeficientes α y β?

De las otras igualdades, y evaluando en el tiempo determinado:

2 24 81 18 6 8 814 9 2 9 6 8 9

25 925 9

324 12 648 648 312

16 16

960

16

c. ¿Cuál es la ecuación de movimiento para el centro de masa del sistema?

2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1673 8 960 16 8 1675 4 2 6 25 1

3348

p p n n

CM

p n

t i t j k t t i

m r m rr

m

k

m

j t

d. ¿Cuánto vale la masa reducida del sistema?

27

28

27 54

27 27 27

1.673 10 1.675 10 2.802 10

1.673 10 1.675 10 3.3488.

137 10 k

0g

p n

p n

m m

m m

e. ¿Es posible relacionar a la partícula virtual directamente con alguna de las

partículas reales que conforman al sistema? ¿por qué?

No, ya que las dos partículas involucradas tienen masas muy similares. Esto produce que el

centro de masa del sistema no se ubique preferentemente en la posición de alguna de las

partículas y que la masa reducida tampoco se aproxime a la de algún componente.

f. ¿Cuáles son las velocidades de cada partícula inmediatamente antes e

inmediatamente después de la colisión?

Dado que son partículas subatómicas se pude considerar un choque totalmente elástico.

Las velocidades antes del impacto vienen dadas por:

99

99

ˆ ˆˆ ˆ72 2 70 m s 1ˆ ˆˆ ˆ9 8 2 8 9 2

ˆ ˆ ˆ ˆ9 16 16 9

m s

ˆ ˆ144 m s 1 m s

nn

p

p

idr

v t i k i kdt

drv ti j i j

dt

k i k

i j

Para después del impacto hay que tomar en cuenta que la conservación de momento y de energía

cinética para un choque elástico arrojan:

2 22 2

2 2 2 2

p p n n p p n n

p p p pn n n n

m v m v m v m v

m v m vm v m v

La primera ecuación puede escribirse como:

p p p n n nm v v m v v

Mientras que la segunda:

2 2 2 2

2 2 2 2

2

p p n n p p n n

p p p n n n

p p p p p n n n n

m v m v m v m v

m v v m v v

m v v v v m v v v v

Sustituyendo estos dos resultados juntos

n n n p p n n n n n

p p n n

p n n p

m v v v v m v v v v

v v v v

v v v v

Sustituyendo esta expresión en el balance de momento y despejando para la velocidad final del

neutrón, se tiene:

2

2

p p n n p n n p n n

p n p p n n

p n n p p n n p n p

p p n p n

p p n p n

n

p n

m v m v m v v v m v

m v v m m v

m m v m v m v m v v

m v m m v

m v m m vv

m m

Con lo que se tiene para el neutrón:

25 27

27

28

2

ˆˆ ˆ ˆ2 144 m s 1 m s 70 m s 1 m s

ˆˆ ˆ ˆ288 m s 2 m s 70 m s 1 m s

1 ˆ ˆ4.82 10 kg m s 3.35 10 kg m s3.35 10 kg

1.61 10 kg

p p n p n

n

p n

p n p

p n

p n p

p n

m v m m vv

m m

m i j m m i k

m m

m i j m m i k

m m

i j

30

4 ˆˆ ˆ143.85 m

ˆˆm s 2.31 10 k

s 1.00 m s 6.89

g m

10 m

s

sn i

i k

v j k

Y para el protón

4 ˆˆ ˆ143.85 m s 1.00 m s 6.89 10 m s

ˆˆ ˆ ˆ70.00 m s 1.00 m s 144.00 m s

ˆ

1.00

ˆ70.15 m s 1.00 m s

m s

p n n p

p

v v v v

i j k

i k i j

v i k