votar: no tan f acil com sembla, per o podr em fer-ho...

MAT 2MATerials MATematicsVolum 2010 treball no 1 35 pp ISSN 1887-1097Publicacio electronica de divulgacio del Departament de Matematiquesde la Universitat Autonoma de Barcelonawwwmatuabcatmatmat

Votar no tan facil com semblapero podrıem fer-ho millor

Xavier Mora

El problema de lrsquoeleccio social

En practicament qualsevol tipus drsquoactivitat soci-al sorgeix la conveniencia de combinar diverses pre-ferencies individuals en una decisio collectiva Perexemple suposem que un cert grup social ha dedesignar una persona que representi aquest grup encerts afers tıpicament hi haura diversos candidatsels quals poden ser objecte de preferencies molt va-riades per part dels electors pero cal adoptar unadecisio comuna per a tots En altres casos les opci-ons que hi haura sobre la taula no seran candidatsa un carrec sino propostes drsquoactuacio o altres tipus drsquoobjectes En lloc deseleccionar una sola opcio com la mes preferida de vegades pot interessarseleccionar-ne mes drsquouna o be ordenar-les totes de millor a pitjor o pot-ser combinar-les en unes proporcions adients En qualsevol cas el problemasorgeix des del moment que hi pot haver una diversitat de preferencies indi-viduals a partir de les quals convingui definir una sola preferencia collectiva

Per a molta gent aquest problema no te cap dificultat nomes cal ldquoferuna votaciordquo Amb aixo srsquoenten tıpicament que cada individu doni a coneixerla seva opcio preferida i que cada opcio sigui valorada segons el nombre drsquoin-dividus que la recolzin En general srsquoadmet com a obvi que tal procedimentresol el problema de manera prou satisfactoria o si mes no que no hi ha

2 Votar no tan facil com sembla pero podrıem fer-ho millor

manera de fer-ho millor Pel que fa al paper de les matematiques no semblaque pugui ser mes trivial ja que nomes es tracta de comptar

Aquesta sensacio de simplicitat es correcta quan nomes hi ha dues op-cions Pero quan nrsquohi ha mes de dues llavors el problema es bastant mescomplex del que srsquoacostuma a creure1 Si es rebutja el dogma i srsquoadopta unesperit crıtic de seguida es descobreixen paradoxes o en tot cas situacionson metodes aparentment raonables donen lloc a resultats que clarament noho son Aixo obliga a definir amb precisio que entenem per ldquoraonablerdquo i aanalitzar amb rigor quins metodes compleixen o no certes propietats de ldquora-onabilitatrdquo A aquest efecte resulta molt util el raonament matematic Totplegat dona lloc a una disciplina cultivada especialment pels economistesque es coneix com a teoria de lrsquoeleccio social Aquesta disciplina te ja unssegles drsquohistoria pero avui dia encara es objecte drsquoavancos prou significa-tius Val a dir que aquests avancos recents connecten amb certs movimentsinternacionals de reforma de la democracia (vegirsquos per exemple [1 10])

Aquest article te un doble objectiu Drsquouna banda volem fer veure comefectivament el problema no es pas una trivialitat sino que te molt de sentitadoptar un punt de vista matematic amb definicions precises i demostracionsrigoroses Drsquoaltra banda tambe volem incidir en les implicacions practiquesdrsquoaquesta analisi En particular veurem com els metodes de votacio messenzills tenen defectes importants que podrien ser corregits mitjancant la uti-litzacio drsquoaltres metodes mes elaborats Un tema relacionat que no tocaremaquı es la problematica especial que sorgeix en les eleccions parlamentaries acausa de lrsquoagrupacio dels candidats en partits i de lrsquoestructuracio de lrsquoelecto-rat en circunscripcions Per a aquest tema referim el lector a [2 3] aixı com[18 cap 15] i [5 cap 4ndash6]

Malgrat el punt de vista matematic intentarem mantenir-nos el mes aprop possible del llenguatge ordinari amb la intencio de poder arribar a unaaudiencia el mes amplia possible Drsquoaltra banda cal avisar que alguns delstermes que usarem no son estandard Aixo es deu senzillament a que enmolts casos no hi ha pas una terminologia estandard (la qual cosa srsquoha detenir en compte sempre que es llegeixin obres sobre el tema)

1Inclus en el cas en que formalment la votacio nomes contempla dues opcions devegades pot haver-hi una abstencio que respongui a terceres opcions no plantejades demanera que encara poden ser rellevants algunes de les idees que es discuteixen en el presentarticle

Xavier Mora 3

1 Vot uninominal tradicional i senzill pero

insatisfactori

La manera tradicional drsquoabordar el problema que ens ocupa consisteix en de-manar a cada individu que es pronunciı per una sola opcio Per a distingir-lo drsquoaltres possibilitats que considerarem mes avall en el que segueix ensreferirem a aquest tipus de vot com a vot uninominal Un cop recollits elsvots es compta quants nrsquoha obtingut cada opcio i el nombre resultant o elcorresponent percentatge srsquoadopta com a mesura del grau drsquoacceptacio col-lectiva drsquoaquella opcio Per tant si el collectiu en questio ha drsquooptar per unasola drsquoelles llavors correspon prendre la que hagi obtingut mes vots Aquestacondicio de tenir un suport superior a qualsevol altra opcio srsquoacostuma adenominar majoria simple o be majoria relativa 2

El metode que acabem de descriure es extremadament senzill i forca na-tural Pero quan hi ha mes de dues opcions el seu resultat pot ser moltdesencertat Per exemple suposem que tenim set opcions ab c de f g i que la primera drsquoelles ha obtingut el 40 dels vots mentre que les altresnrsquohan obtingut cadascuna un 10 Segons el que hem dit la victoria cor-respon clarament a lrsquoopcio a Imaginem pero que els votants expressessinno solament lrsquoopcio que els agrada mes sino tambe la que els agrada menysDoncs be podria donar-se el cas que els votants que han repartit els seusvots entre les opcions bndashg que formen un 60 estiguessin tots ells drsquoacorden considerar que lrsquoopcio a es la pitjor Aixı doncs la majoria relativa potdonar perfectament la victoria a una opcio que tingui mes detractors quepartidaris Aquesta observacio es coneix com a paradoxa de Borda perJean-Charles de Borda un matematic i enginyer frances que va fer aquestaobservacio en 1770ndash1784 [13 cap 5]

Evidentment aixo no pot passar quan lrsquoopcio mes votada te un suportsuperior al 50 de lrsquoelectorat (ja que x gt 12 implica x gt 1minus x) En aquestcas diem que lrsquoopcio en questio te el suport drsquouna majoria absoluta delrsquoelectorat3 Degut a aixo tot sovint els reglaments pertinents estableixen

2Cal tenir en compte que la terminologia anglesa presenta certes diferencies que espresten a confusio Aixı majority ja significa tot sovint majoria absoluta i simple majo-rity tambe (en contraposicio a qualified majorities o supermajorities es a dir llindarssuperiors al 50) Per a expressar el que nosaltres en diem majoria simple srsquousa el termeplurality Aixı el que nosaltres hem anomenat vot uninominal es tradueix per pluralitymethod o mes classicament first-past-the-post

3El terme majoria absoluta vol dir un suport superior al 50 pero per a ser precisos

MAT 2MATerials MATematicsVolum 2006 treball no 1 14 ppPublicacio electronica de divulgacio del Departament de Matematiquesde la Universitat Autonoma de Barcelonawwwmatuabcatmatmat

Trigonometria esferica i hiperbolicaJoan Girbau

Lrsquoobjectiu drsquoaquestes notes es establir de forma curta i elegant les formulesfonamentals de la trigonometria esferica i de la trigonometria hiperbolicaLa redaccio consta doncs de dues seccions independents una dedicada a latrigonometria esferica i lrsquoaltra a la hiperbolica La primera esta adrecada aestudiants de primer curs de qualsevol carrera tecnica La segona requereixdel lector coneixements rudimentaris de varietats de Riemann

1 Trigonometria esferica

Aquells lectors que ja sapiguen que es un triangle esferic i com es mesuren elsseus costats i els seus angles poden saltar-se les subseccions 11 i 12 i passardirectament a la subseccio 13

11 Arc de circumferencia determinat per dos punts

A cada dos punts A i B de la circumferencia unitat no diametralment opo-sats els hi associarem un unic arc de circumferencia de longitud menor que (vegeu la figura 1) tal com explicarem a continuacio

A

B

O

figura 1


un requisit de majoria absoluta per a poder adoptar decisions Ara bequan hi ha mes de dues opcions llavors pot passar facilment que cap drsquoellesassoleixi la majoria absoluta Segons el tema de que es tracti de vegadespot tenir sentit no prendre cap decisio pero altres vegades sera necessariadoptar alguna de les alternatives plantejades En tal cas si no disposem decap informacio addicional llavors no hi ha mes remei que conformar-se amblrsquoopcio mes votada

Malgrat la paradoxa de Borda el vot uninominal es forca utilitzat inclusen decisions tan importants com lrsquoeleccio del cap de govern de bastants paısosincloent els Estats Units drsquoAmerica Tal com hem vist mes amunt per a fer-ho millor cal obtenir mes informacio sobre les preferencies dels votants Enaquest sentit una possibilitat prou coneguda es el procediment de doblevolta que Franca ve utilitzant des de 1789 per a elegir el president de larepublica si en la primera volta no hi ha cap candidat que assoleixi unamajoria absoluta llavors es fa una segona volta entre els dos candidats mesvotats Aixo certament pallia el problema pero no el soluciona completa-ment no costa gaire drsquoimaginar exemples que mostren com a la segona voltapodem estar triant ldquoentre el foc i les brasesrdquo

Val a dir que aquestes paradoxes no son simples especulacions teoriquesDe tant en tant es donen casos reals on encara que no hi hagi informacio so-bre les preferencies detallades dels electors srsquoentreveuen situacions anomalesde lrsquoestil que hem descrit Aixı per exemple en les eleccions presidencialsfranceses de 2002 els vots de la primera volta van quedar molt repartits entreels setze candidats presentats i segons una opinio molt estesa que va quedarplenament confirmada a la segona volta el segon candidat mes votat teniabastants mes detractors que partidaris malgrat aixo en la primera volta elsdos primers candidats nomes diferien en un 2 dels vots de manera que unsistema drsquouna sola volta que ja hem dit que srsquoutilitza en bastants paısos ha-gues estat molt a prop de donar la victoria a un candidat amb mes detractorsque partidaris

Tambe es de notar que en el cas de collectius molt nombrosos les segonesvoltes suposen una despesa molt elevada la qual es pot estalviar facilmentmitjancant el vot preferencial que considerem en la seccio que segueix

Un altre defecte important del vot uninominal es el fenomen del ldquovot utilrdquoQuan un votant es troba en la situacio que (a) el seu candidat mes preferit

cal especificar el conjunt a que es refereix aquest percentatge tıpicament es tracta o be detot lrsquoelectorat o be nomes del conjunt de vots valids

Xavier Mora 5

te poques perspectives drsquoexit i al mateix temps (b) ell el votant te unespreferencies marcades entre els candidats que sı tenen perspectives drsquoexitllavors aquest votant es veu conduıt a no votar el seu candidat mes preferitsino un altre amb mes perspectives drsquoexit I quan es dona (a) pero no (b)es facil que el votant en questio opti per lrsquoabstencio Com es sabut aquestfenomen afavoreix el bipartidisme i fa difıcil que prosperin noves iniciativesEn qualsevol cas el fet es que el vot util falseja el missatge dels votants

2 Aprovacions i puntuacions

El problema del vot util es pot eliminar facilment permetent que cada votantdoni una llista de totes les opcions que ell considera acceptables Cada op-cio es valora llavors pel nombre de votants que lrsquohan considerat acceptableAquest procediment srsquoanomena vot drsquoaprovacio

Una altra possibilitat que de fet es pot veure com una generalitzacio delvot drsquoaprovacio es demanar a cada votant que puntuı totes les opcions enuna escala prefixada com ara els valors enters del 0 al 10 Cada opcio espot valorar llavors per la seva puntuacio total o el que es equivalent per laseva puntuacio mitjana Obviament el vot drsquoaprovacio correspon al casespecial en que lrsquoescala de puntuacio es redueix als valors 0 i 1

De tota manera aquests metodes no eliminen pas la paradoxa de Bordaes a dir la possibilitat que guanyi una opcio que es considerada la pitjorper una majoria absoluta de votants Aixo es obvi des del moment que elsvotants encara poden concentrar la seva aprovacio o puntuacio en una solaopcio la qual cosa es equivalent a un vot uninominal Drsquoaltra banda no costagaire de trobar la paradoxa en altres exemples on els vots no es concentrencadascun drsquoells en una sola opcio

3 Vot preferencial i posicions mitjanes

Per tal drsquoevitar la paradoxa dalt assenyalada i obtenir resultats mes en-certats Borda va proposar que cada votant expresses les seves preferenciesmitjancant una ordenacio completa de totes les opcions des de la mes pre-ferida fins la mes rebutjada Aquesta forma de votar es un cas especial delque avui srsquoanomena vot preferencial Un vot preferencial consisteix enuna llista drsquoopcions ordenades per ordre de preferencia pero en general no








A

B

O

figura 1


cal que la llista sigui completa i drsquoaltra banda srsquoadmet la possibilitat drsquoex-pressar la indiferencia entre dues o mes opcions Aixı entes el concepte devot preferencial inclou la possibilitat que el votant opti per escollir una solaopcio Tanmateix el que importa es que el votant no estigui obligat a proce-dir drsquoaquesta manera sino que si vol pugui destacar i comparar multiplesopcions

Per no allargar-nos massa per regla general en aquest article limitarem lanostra atencio a vots preferencials consistents en ordenacions completes i sen-se empats altrament dites ordres totals Mentre no especifiquem el contrarien el que segueix una ldquoordenaciordquo o un ldquoordrerdquo voldra dir automaticamentun ordre total

Per a especificar una ordenacio podem fer-ho indicant la posicio o numerodrsquoordre de cada opcio la mes preferida tindra assignat el numero 1 la seguentel numero 2 i aixı successivament A partir drsquoaquesta informacio la idea deBorda consisteix essencialment en mesurar el grau drsquoacceptacio collectivade cada opcio mitjancant la seva posicio mitjana es a dir la mitjanaaritmetica dels numeros drsquoordre que li han estat assignats pels diferents elec-tors evidentment com mes petit sigui el resultat mes acceptada srsquoha deconsiderar aquella opcio

Per exemple suposem que hi ha set opcions ab c de f g i cinc vo-tants ABCDE Si es vol en lloc de cinc votants sersquon poden considerar cincmilions en el qual cas cadascuna de les lletres AndashE representa un milio de vo-tants que expressen tots ells la mateixa ordenacio En qualsevol cas suposemque les cinc ordenacions expressades pels votants son les que srsquoespecifiquenen la taula seguent mitjancant els corresponents numeros drsquoordre

VotsId A B C D E r k

a 1 1 7 7 7 4600 5

b 4 2 3 3 1 2600 1

c 2 6 2 4 2 3200 3

d 3 3 1 2 5 2800 2

e 6 4 5 6 4 5000 6

f 7 5 6 1 3 4400 4

g 5 7 4 5 6 5400 7

Taula 1 Exemple A posicions mitjanes

Xavier Mora 7

Les columnes r i k donen respectivament la posicio mitjana de cada opcio iel seu numero drsquoordre final en ordenar segons r Notirsquos que lrsquoopcio a hauriaestat la guanyadora en una votacio uninominal (que nomes contempla lesprimeres posicions) pero les posicions mitjanes no li donen pas la victoriasino que la deixen en cinque lloc Segons les posicions mitjanes la victoriacorrespon a lrsquoopcio b

Tot aixo sembla prou raonable Sobretot ja esta be que no guanyi lrsquoop-cio a ja que hi ha una majoria absoluta de votants que la posen en ultim llocPero lrsquoexemple precedent nomes es un cas particular dins drsquouna varietat moltgran de possibilitats (per a 7 opcions i 5 votants el nombre de possibilitats di-ferents es de lrsquoordre de 1014 es a dir cent milions de milions ) iquestPodem estarrealment segurs de que les posicions mitjanes no donaran mai la victoria a unaopcio que sigui considerada la pitjor per una majoria absoluta de votantsBe la resposta es que sı (sempre que els votants donin ordres complets)pero per a arribar a aquesta conclusio de caracter general cal una demostra-cio es a dir una argumentacio rigorosa En aquest cas no es gaire difıcil deconstruir-ne una i invitem el lector a que srsquohi posi4

Borda no va ser pas el primer en proposar el metode que estem consi-derant Bastant abans concretament en 143334 Nicolau de Cusa ja haviaproposat la mateixa idea dins drsquoun pla de reforma del Sacre Imperi Roma-nogermanic [13 cap 4] Val a dir que tant el de Cusa com Borda i la majorpart drsquoautors posteriors formulen el metode no en termes de les posicions onumeros drsquoordre r sino en termes dels seus ldquocomplementarisrdquo N minus r + 1

Malauradament lrsquous de les posicions mitjanes per a definir la preferenciacollectiva encara dona lloc a paradoxes En els apartats que segueixen veu-rem tres aspectes concrets on aquest metode resulta criticable i millorable

4 Independencia respecte a alternatives irre-

llevants

Per comencar considerem la taula 1 i suposem que el conjunt drsquoopcions esredueix a les tres millors en termes de les seves posicions mitjanes es a dir lesopcions b c d Si es vol podem imaginar que els altres candidats preveuenun mal resultat i decideixen retirar-se Suposem que els votants mantenen

4Indicacio A mes de sumar la taula de numeros drsquoordre en sentit horitzontal de caraa obtenir les posicions mitjanes r tambe resulta interessant sumar-la en sentit vertical








A

B

O

figura 1


Figura 1 Una butlleta de vot preferencial

les seves preferencies sobre les opcions que resten en peu Tot i aixı el fet quehagin desaparegut algunes opcions comporta certes variacions en els numerosdrsquoordre de les que subsisteixen Doncs be tal com mostra la taula seguenten lrsquoexemple concret que estem considerant aixo fa variar el resultat final enlloc de b ara guanya lrsquoopcio d


b 3 1 3 2 1 2000 2

c 1 3 2 3 2 2200 3

d 2 2 1 1 3 1800 1

Taula 2 Exemple Aprime posicions mitjanes

Xavier Mora 9

O sigui que sense que els votants modifiquin les seves preferencies el gua-nyador pot dependre de la presencia o absencia drsquoaltres candidats encara queaquests obtinguin pitjors resultats Certament tals inconsistencies son forcaindesitjables

Aquesta crıtica al metode de les posicions mitjanes va ser formulada en1785ndash88 per Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat marques de Condorcet[13 cap 1 sect55] un matematic frances que citarem repetidament en aquestarticle ja que va fer diverses aportacions fonamentals a la teoria matematicade lrsquoeleccio social Aquestes aportacions van ser realitzades en el contextde la Revolucio Francesa i de fet es pot dir que la mort de Condorcet queva tenir lloc en 1794 va ser motivada almenys parcialment per les sevesdivergencies amb Robespierre en el tema dels metodes electorals [12 13]

Per a anar be srsquohauria de definir lrsquoordre de preferencia collectiva mit-jancant un metode que tingues la seguent propietat de consistencia suposemque apliquem aquest metode a un determinat conjunt drsquoopcions fet aixo con-siderem el subconjunt format per totes aquelles opcions que aquest metodeha classificat per sobre drsquoun cert nivell drsquoacceptacio collectiva doncs be enaplicar el mateix metode a aquest subconjunt el resultat hauria de concordarsempre amb lrsquoordre abans obtingut Junt amb aquesta condicio tambe esraonable demanar una condicio analoga on el subconjunt drsquoopcions en con-sideracio estigui format per totes aquelles que hagin quedat classificades persota drsquoun cert nivell drsquoacceptacio collectiva En el que segueix aquestes duescondicions seran considerades conjuntament com a dos components drsquounacondicio mes general la qual rep el nom drsquo independencia local respectea alternatives irrellevants

Aquesta condicio es una variant drsquouna altra encara mes general (una micamassa segons veurem mes endavant) on el subconjunt drsquoopcions que es consi-dera es totalment arbitrari En tal cas es parla simplement drsquo independenciarespecte a alternatives irrellevants

5 Principi classic de la majoria

Lrsquoexemple de la taula seguent illustra un altre aspecte indesitjable del metodede les posicions mitjanes En aquest exemple tambe hi ha set opcions peroper al nostre proposit nomes cal mostrar-ne dues








A

B

O

figura 1



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1

Taula 3 Exemple B posicions mitjanes

Com es pot veure les posicions mitjanes donen la victoria a lrsquoopcio b tot ique una majoria absoluta de votants considera que lrsquoopcio a es la millor detotes

Aixı doncs el metode de les posicions mitjanes viola el seguent principifonamental (que ja hem acceptat com a tal en la sect1 ) Si una majoria absolu-ta de votants coincideix en assignar la primera posicio a una mateixa opciollavors aquesta ha de ser la guanyadora En el que segueix ens referirem aaquesta condicio com a principi classic de la majoria La idea generaldel principi de la majoria es que lrsquoopinio drsquouna majoria absoluta ha de pre-valer sobre la drsquouna minoria Lrsquoenunciat de mes amunt es una interpretacioconcreta drsquoaquesta idea general si nrsquohem dit principi ldquoclassicrdquo es perque mesendavant veurem altres interpretacions que no son exactament equivalents aaquesta

Quan nomes hi ha dues opcions llavors no costa gaire de veure (es a dirdemostrar) que les posicions mitjanes sempre estaran drsquoacord amb el principiclassic de la majoria

Tal com acabem de veure pero amb mes de dues opcions pot passarque una drsquoelles tingui una majoria absoluta de primeres posicions i en canvila seva posicio mitjana no la faci guanyadora

6 Estrategies de vot i robustesa

El mateix mecanisme que fa que les posicions mitjanes puguin infringir elprincipi classic de la majoria tambe dona lloc a un tercer problema a sa-ber la possibilitat drsquoestrategies de vot que desvirtuen el resultat Aixı enlrsquoexemple B podria estar passant que en principi lrsquoopinio sincera del votant E

consistıs en posar lrsquoopcio a en segona posicio just despres de b tanmateixaixo donaria la victoria a a i no a b que es la seva opcio mes preferida encanvi posant lrsquoopcio a en sete lloc contra la seva opinio sincera aquest vo-tant aconsegueix que guanyi b Evidentment davant drsquoaixo els altres quatrevotants podrien optar per una estrategia analoga i situar lrsquoopcio b en setena

Xavier Mora 11

posicio Ara be llavors pot arribar a ocorrer que la victoria no vagi a pararni a a ni a b sino a una tercera alternativa que inicialment passava mesdesapercebuda Tot plegat el resultat final pot ser bastant diferent del quesrsquoobtindria a partir dels vots sincers

Tals problemes es van fer evidents en la utilitzacio practica del metodeque ens ocupa per lrsquoInstitut National des Sciences et Arts de France queel va usar des de 1796 fins a 1804 A aquest respecte Borda de seguida vareconeixer que ldquoel seu metode nomes servia per a persones honestesrdquo Entreels autors que van estudiar aquesta questio cap esmentar lrsquoillustrat andalusJose Isidoro Morales que el 1797ndash1805 va publicar una interessant memoriamatematica sobre el metode utilitzat per lrsquoesmentat institut [11]

Aixı doncs una altra propietat que conve demanar a un bon metode devotacio es que no es presti facilment a estrategies de vot que puguin desvirtuarels resultats Si mes no seria bo que el resultat fos el mes estable possibledavant de variacions voluntaries o involuntaries en els vots expressats pelsvotants Aquesta ultima propietat rep el nom de robustesa

7 Posicions medianes

Alguns dels problemes de la posicio mitjana es poden evitar mitjancant unalleugera variacio que consisteix en considerar la posicio mediana Per acalcular la mediana drsquouna serie de quantitats cal ordenar aquestes quantitatsde menor a major si el nombre de quantitats que estem combinant es senarllavors la mediana es el valor que ocupa la posicio central en aquesta ordena-cio si el nombre de quantitats es parell llavors srsquoacostuma a prendre com amediana la mitjana aritmetica dels dos valors centrals Aixı la mediana de(2 6 2 4 2) es el valor mes central en (2 2 2 4 6) es a dir 2

La taula seguent aplica el metode de les posicions medianes a lrsquoexemple ALes columnes macrr i k donen respectivament la posicio mediana i el numero drsquoor-dre final que srsquoobte en ordenar segons macrr en cas drsquoempats k es converteix en uninterval (mes endavant ens referirem breument a certs criteris de desempat)Com es pot veure segons aquest metode lrsquoopcio guanyadora no es ni a (laque hauria guanyat en una votacio uninominal) ni b (la guanyadora segonsles posicions mitjanes) sino c








A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E macrr k

a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6

Taula 4 Exemple A posicions medianes

A partir de les definicions es dedueix facilment que les posicions medianessempre estan drsquoacord amb el principi classic de la majoria En efecte per ladefinicio de mediana es clar que si una opcio es posada en primera posicioper mes de la meitat dels votants llavors la seva posicio mediana sera iguala 1 mentre que per a qualsevol altra aquest parametre sera superior o iguala 2 (ja que els votants que puguin situar aquesta segona opcio en primeraposicio seran sempre menys de la meitat) Aixı en lrsquoexemple B les posicionsmedianes donen la victoria a lrsquoopcio a sense deixar-se influir com els passa ales posicions mitjanes per la posicio extremadament dolenta que el votant E

assigna a aquesta opcio En general es pot dir que la posicio mediana drsquounaopcio no es veu afectada per una radicalitzacio de les seves posicions mesdolentes (ni tampoc de les mes bones) En altres paraules la posicio medianaes mes robusta que la posicio mitjana

Aquestes bones propietats han fet que les posicions medianes srsquohagin obertcamı en diversos cercles com a criteri basic de decisio collectiva Un drsquoaquestscercles es el ball esportiu on cada competicio compta amb diversos jutgesque ordenen els participants cada jutge segons el seu criteri i es tractade combinar aquestes ordenacions en un resultat final De fet el criteri deles posicions medianes es pot reconeixer dins drsquoun metode que Condorcetproposava el 179293 per a una nova constitucio francesa [12 cap 10ndash12vegirsquos especialment pp 249ndash250] i [13 cap 8] Tal com veurem en la seccio quesegueix en anys anteriors Condorcet havia introduıt un altre punt de vistames fonamental pero en el cas drsquoun gran nombre de candidats aquest puntde vista presentava certs inconvenients que el van portar a idear un metodemes practic Val a dir que la proposta de Condorcet sobre la constituciofrancesa no va tenir exit sino tot el contrari de fet va progressar una altra

Xavier Mora 13

versio la qual va ser criticada per Condorcet i aixo va fer que aquest fosdeclarat traıdor i morıs a la preso [12 sect16] i [13 p 37] De totes maneres elmetode practic de Condorcet srsquoutilitzava poc despres a la ciutat de Ginebrai mes tard a principis del segle xx en alguns estats de Nord-America onaquest metode es atribuıt a James W Bucklin [18 p 203ndash206]

Els empats en les posiciones medianes es poden resoldre mdashfins a certpuntmdash de diverses maneres Condorcet i Bucklin ho fan atenent al nombrede votants que situen lrsquoopcio en questio en una posicio igual o millor quela mediana (com mes gran aquest nombre millor) Una altra possibilitatconsisteix en usar les posicions mitjanes retallades Una mitjana retalladaes una mitjana obtinguda despres de descartar un nombre predeterminatde valors extrems a banda i banda Amb un moment de reflexio es veu deseguida que la mediana no es altra cosa que la mitjana mes retallada detotes Drsquoacord amb aixo resulta natural resoldre els empats en les posici-ons medianes basant-se en posicions mitjanes cada vegada menys retalladesAplicat a lrsquoexemple A aquest criteri dona com a resultat el seguent ordrec b d f e g a

8 Comparacio per parelles

Pero les posicions medianes tampoc son la panacea En particular lrsquoorde-nacio segons les posicions medianes tampoc te la propietat drsquoindependencialocal respecte a alternatives irrellevants Si insistim en mirar de compliraquesta condicio facilment ens veiem conduıts a comparar dues opcions se-gons el nombre de votants que prefereixen lrsquouna a lrsquoaltra independentmentde quines siguin les posicions concretes que cada votant hagi assignat a aque-lles opcions dins de tot el conjunt Aquest punt de vista condueix a resultatsdiferents dels metodes anteriors Aixı en lrsquoexemple A les posicions medianesdonen la victoria a lrsquoopcio c pero quan aquesta es confrontada amb lrsquoopcio dveiem que aquesta ultima es preferida a lrsquoanterior per una majoria absolutade votants a saber els votants BCD De fet podem veure que des drsquoaquestpunt de vista lrsquoopcio d guanya a qualsevol altra de manera que mereix serconsiderada com la mes preferida pel collectiu

El punt de vista de la comparacio per parelles consisteix doncs en con-frontar cada opcio amb totes les altres La informacio obtinguda en aquestesconfrontacions dona lloc a una matriu com la que es mostra a la dreta de lataula seguent que correspon a lrsquoexemple A








A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6

Alternativesa b c d e f g

- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -

Taula 5 Exemple A comparacions per parelles

Cada casella de la matriu compara les dues opcions que encapcalen respecti-vament la fila i columna corresponents a aquella casella concretament cadacasella dona el nombre de votants que prefereixen la primera a la segonaPer exemple quan comparem b amb f veiem que hi ha 4 votants que afa-voreixen b sobre f i nomes un a saber D que opina a lrsquoinreves aixı lacasella situada en la fila b i la columna f conte un 4 mentre que la casellasituada en la fila f i la columna b conte un 1 Si el nombre de votants queprefereixen una opcio a una altra constitueix una majoria absoluta (cosa quenosaltres indiquem mitjancant lrsquous de lletra negreta) llavors es forca raona-ble admetre que la primera opcio es collectivament preferida a la segonaEn consonancia amb aixo resulta natural adoptar el seguent principi queanomenarem principi de la majoria segons Condorcet Si una opcioes collectivament preferida a qualsevol altra en el sentit precedent llavors hade ser la guanyadora Tal com ja hem indicat en lrsquoexemple A el principi deCondorcet dona la victoria a lrsquoopcio d en efecte en la matriu de compara-cions per parelles les caselles de la fila corresponent son totes elles majoriesabsolutes

A partir dels enunciats es veu de seguida que el principi de la majoriasegons Condorcet constitueix una extensio del principi classic Quan unaopcio es la guanyadora segons el principi de Condorcet en general el conjuntmajoritari de votants que la consideren millor que una altra pot dependre dequina es aquesta altra opcio quan no hi tal dependencia llavors tenim unguanyador segons el principi classic Aixı en lrsquoexemple A lrsquoopcio d guanyaa cadascuna de les altres en el sentit de Condorcet pero nomes hi ha unvotant a saber C que la considera millor que totes les altres de manera queaquesta opcio no assoleix la victoria en el sentit del principi classic

Xavier Mora 15

El punt de vista de la comparacio per parelles es la idea fonamental pro-pugnada per Condorcet des de 1785 [13 cap 1 sect54] Uns cent anys mestard la mateixa idea va ser considerada sembla ser que independentmentper Charles Lutwidge Dodgson mes conegut pel sobrenom de Lewis Carroll[13 cap 12] Drsquoaltra banda de fet aquesta idea fonamental es remunta alsegle xiii en que el mateix Ramon Llull proposava ja metodes drsquoeleccio basatssistematicament en aquest punt de vista [8] i [13 cap 3] En vista drsquoaixodrsquoara en endavant ens referirem a la matriu de comparacio per parelles coma matriu de Llull

Figura 2 Inici de lrsquo Artificium electionis personarum escrit perRamon Llull abans del 1283 Copia del segle xv conservada a laBiblioteca Apostolica Vaticana (Codex latinus 9332 fol 11rndash12v)

En el marc de la comparacio per parelles la situacio no es tan diferentdrsquoun torneig on cada opcio srsquoenfronta amb cadascuna de les altres i cadaenfrontament dona un resultat concret Aixı en lrsquoexemple A podem dir queb guanya a f per 4 a 1 mentre que d guanya a b per 3 a 2 Malauradamentaquesta similitud amb un torneig esportiu arriba mes lluny del que hom








A

B

O

figura 1


voldria de vegades els resultats dels diferents enfrontaments no son coherentsamb una relacio drsquoordre En una terminologia mes matematica encara que lespreferencies dels votants siguin relacions transitives la relacio de preferenciacollectiva que en resulta no te perque ser transitiva Aixı en lrsquoexemple Aveiem que e guanya a f i f guanya a g pero e perd davant de g Aquestfenomen es coneix com a paradoxa de Condorcet i els cicles com el queacabem drsquoassenyalar srsquoanomenen cicles de Condorcet

En particular aquests cicles poden fer que no hi hagi cap opcio queguanyi a totes les altres es a dir que no hi hagi cap guanyador en el sentitde Condorcet Per exemple si prenem lrsquoexemple A i ens restringim a lesopcions e f g srsquoobte una situacio drsquoaquest tipus A continuacio donem dosaltres exemples del mateix estil Lrsquoexemple C es drsquoalguna manera el cas messenzill possible Al seu costat donem un altre exemple on el cicle no es tanldquosimetricrdquo Aquest ultim exemple considera 100 votants 49 dels quals donenlrsquoordre A 33 donen lrsquoordre B i els altres 18 donen lrsquoordre C

VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D

La paradoxa de Condorcet tambe fa veure que la condicio general drsquoinde-pendencia respecte a alternatives irrellevants es massa exigent Mes concre-tament aquesta condicio es incompatible amb altres condicions fonamentalscom ara el principi classic de la majoria Per exemple suposem que tenimun metode que aplicat a lrsquoexemple D dona la victoria a lrsquoopcio a segons lacondicio general drsquoindependencia respecte a alternatives irrellevants si supri-mim lrsquoopcio b hauria de seguir guanyant a pero aixo contradiu el principiclassic de la majoria ja que 51 votants sobre 100 prefereixen c a a Unargument similar es pot adduir contra la tesi de donar la victoria a b o dedonar-la a c O sigui que si volem donar la victoria a algu hem de renunciaro be a la condicio general drsquoindependencia respecte a alternatives irrellevantso be al principi classic de la majoria Pero un metode que violes aquest ultimprincipi no tindria res a veure amb el que tothom espera drsquoun metode devotacio Aixı doncs ens veiem conduıts a renunciar a la condicio general

Xavier Mora 17

drsquoindependencia respecte a alternatives irrellevants Aquestes observacionsestan associades al nom de Kenneth J Arrow un economista nord-americaque pels volts de 1950 va demostrar matematicament certs resultats drsquoin-compatibilitat drsquoaquest tipus i que posteriorment el 1972 va rebre el premiNobel drsquoeconomia Val a dir pero que la condicio drsquoindependencia localrespecte a alternatives irrellevants sı que resulta compatible amb el principide la majoria De fet mes avall veurem metodes concrets que combinenaquestes dues propietats

Tornant al problema de fons el cas es que el principi de la majoria segonsCondorcet no es suficient per a resoldre casos com ara lrsquoexemple D Per aavancar mes convindria donar resposta a les preguntes seguents

bull Questio 1 iquestCom podrıem estendre el principi de Condorcet per talde determinar el guanyador en una situacio el mes general possible

bull Questio 2 iquestCom podrıem obtenir un ordre que representi la relaciode preferencia collectiva

bull Questio 3 iquestCom podrıem quantificar amb mes precisio el grau drsquoac-ceptacio collectiva de cada opcio

Notirsquos que aquestes questions estan relacionades entre elles una resposta a laquestio 2 implica automaticament una resposta a la questio 1 i una respostaa la questio 3 implica automaticament una resposta a les questions 1 i 2

9 El paper de les matematiques

Despres del que hem vist en els apartats anteriors es relativament logic teniruna sensacio mes aviat pessimista sobre la possibilitat de donar una respostasatisfactoria a les questions que acabem de plantejar Certament tot apuntaen la direccio de que ldquocap metode no es perfecterdquo Ara be encara que no hihagi cap metode ldquoperfecterdquo aixo no treu que alguns metodes siguin millorsque altres en certs aspectes concrets El problema es que hom no es potfiar de les aparences tal com hem pogut comprovar el tema es un laberintde paradoxes o si mes no de situacions on metodes aparentment raonablesdonen lloc a resultats que clarament no ho son Aixı doncs per tal de poderdonar alguna resposta fiable a aquelles questions cal ser especialment precisos








A

B

O

figura 1


en el llenguatge i curosos de la validesa logica dels raonaments aixo fa queresultin molt adients les matematiques

Si pretenem garantir que un metode concret compleix determinades propi-etats drsquoentrada cal que tant el metode com les propietats en questio estiguinespecificats de manera inequıvoca i a partir drsquoaquı cal sustentar lrsquoafirmacioen questio mitjancant una demostracio matematica es a dir una argumen-tacio de logica ldquoescrupulosardquo Algunes vegades aquesta demostracio pot serrelativament senzilla pero tot sovint pot ser bastant mes complicada delque podia semblar a primera vista Malauradament aquesta complicaciocomporta un aparell tecnic (terminologia especialitzada notacio simbolicamdashles formulesmdash i invocacio de resultats mes abstractes) que te com a con-sequencia inevitable un cert distanciament entre les matematiques i les sevesaplicacions practiques Tot i aixı en el cas dels metodes de votacio el pro-blema no es tan greu ja que drsquouna banda tothom coneix lrsquoaspecte practic idrsquoaltra banda els objectes matematics adients son forca elementals

Des drsquoun punt de vista practic lrsquounic que interessa son les conclusions drsquoa-questa analisi matematica especialment en el sentit de saber si un metodeconcret te garantida o no una determinada propietat Drsquoacord amb aixoen aquest article no entrarem en els detalls de les demostracions mes intrica-des la qual cosa ens permetra drsquoevitar tecnicismes i apropar-nos al llenguatgeordinari tot mantenint la precisio necessaria

Per a representar matematicament les preferencies dels votants i tambeles preferencies collectives resulta molt adient el concepte matematic derelacio (binaria) i especialment el cas particular de les relacions drsquoordreEquivalentment tambe podem representar aquests objectes mitjancant ma-trius o grafs A continuacio introduim breument aquests conceptes i la sevarelacio amb el problema que ens ocupa

Per comencar tenim un conjunt drsquoopcions A el qual suposem finitUn sistema de preferencies qualitatives sobre A es pot identificar amb unarelacio sobre A es a dir un conjunt ρ format per parelles ordenades drsquoele-ments de A A partir de dos elements diferents x y de A es poden formardues parelles ordenades diferents xy i yx Si el conjunt ρ inclou xy perono yx llavors entendrem que lrsquoopcio x es preferida a y Si ρ inclou a lavegada xy i yx llavors entendrem que les opcions x i y tenen el mateix graudrsquoacceptacio Finalment si ρ no inclou ni xy ni yx llavors entendrem queno hi ha informacio al respecte de la comparacio entre x i y Les parellesde la forma xx no son rellevants per als nostres proposits de manera que

Xavier Mora 19

nomes les tindrem en compte quan aixo agilitzi el llenguatge Equivalent-ment un sistema de preferencies qualitatives es pot representar mitjancantuna matriu de Llull elemental es a dir una taula del mateix estil que lesde la sect8 on cada parella ordenada xy te assignada una puntuacio ρxy igual a0 1 o 12 drsquoacord amb la regla seguent

ρxy =

1 si xy isin ρ i yx isin ρ12 si xy isin ρ i yx isin ρ

0 si xy isin ρ(1)

Finalment un sistema de preferencies qualitatives es pot representar tambemitjancant un graf dirigit Aquest terme fa referencia a una representaciografica on els elements de A estan representats per punts i les parelles xy queformen el conjunt ρ estan representades per segments o arcs orientats que vande x a y Per exemple a continuacio es donen aquestes tres representacionsdiferents per a un mateix sistema de preferencies qualitatives sobre el conjuntA = a b c d

ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d

Figura 3 Tres maneres de representar un sistema de preferenciesqualitatives

Una ordenacio (completa) o ordre (total) es una classe especial de re-lacio que compleix les tres propietats seguents transitiva si ρ inclou a lavegada xy i yz llavors tambe inclou xz antisimetrica ρ no pot incloure ala vegada xy i yx amb x 6= y total o completa si ρ no inclou xy llavors hadrsquoincloure forcosament yx Per exemple les tres representacions que donema continuacio corresponen totes elles a lrsquoordre a b c d








A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c

Figura 4 Tres maneres de representar un ordre

La matriu associada a un ordre ρ pren una forma especialment senzilla quanordenem les seves files i columnes segons ρ tal com illustra la figura prece-dent llavors tenim el valor 1 en les caselles situades per sobre de la diagonali 0 en les de sota

La matriu de Llull drsquouna votacio preferencial no es mes que la suma de lesmatrius elementals corresponents a les relacions de preferencia expressadespels votants En sımbols

vxy =sumk

ρkxy (2)

on vxy denota el nombre de votants que posen x per davant de y mdashnotacioque mantindrem a partir drsquoaramdash k recorre el conjunt de votants i (ρkxy)es la matriu de Llull elemental corresponent a ρk la relacio de preferenciaexpressada pel votant k

Aixı doncs en el marc de la comparacio per parelles les preferencies indi-viduals son agregades en el sentit mes propi de la paraula es a dir mitjancantuna suma Tal com hem vist el problema es que de vegades mdashcom ara en elsexemples C i Dmdash la matriu resultant no es presta facilment a ser interpretadacom un sistema de preferencies

10 El criteri de coincidencia maxima

Suposem que cada votant expressa les seves preferencies mitjancant un ordrei que el resultat el busquem tambe en forma drsquoun ordre (en la terminologia dela sect8 ens estem plantejant doncs la questio 2) A no ser que tots els votantsdonin exactament el mateix ordre es obvi que qualsevol ordre concret que po-guem proposar com a resultat tindra algunes discrepancies amb els votantsDrsquoaltra banda es obvi que hi haura algun ordre que reduira el nombre de

Xavier Mora 21

discrepancies a un mınim o el que es equivalent maximitzara el nombre decoincidencies amb els votants Certament sembla forca raonable adoptar talordre com a representatiu de la relacio de preferencia collectiva En el que se-gueix aquesta proposta rebra el nom de criteri de coincidencia maxima Notirsquos que en principi no estem parlant pas del grau de coincidencia entre elsvotants sino del grau de coincidencia amb ells per part de lrsquoordre que volemadoptar com a resultat (encara que tambe te sentit mesurar la primera cosaen funcio de la segona)

Per suposat cal que estigui ben clar com es compta el grau de coin-cidencia Donats dos ordres entendrem que el nombre de coincidencies entreells es el nombre de parelles no ordenades drsquoopcions on ambdos ordres estandrsquoacord en quina de les dues opcions es mes preferida que lrsquoaltra Per exem-ple el nombre de coincidencies entre els ordres a b c i c a b es 1ja que de les tres parelles possibles a b a c b c els dos ordres nomesestan drsquoacord en la parella a b

En termes de les respectives matrius de Llull elementals el nombre decoincidencies entre dos ordres ρ i ξ ve donat per C(ρ ξ) =

sumx 6=y ρxy ξxy

Quan reemplacem ρ per multiples ordres ρk un per cada votant llavors elnombre total de coincidencies amb ξ es la suma

sumk C(ρk ξ) que en termes

de la matriu de Llull es pot reescriure com

C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)

Tenint present que ξxy val 1 o 0 segons que la parella xy estigui ordenada ono segons ξ no costa gaire de veure que C(v ξ) es la suma de les caselles quequeden per sobre de la diagonal quan les files i columnes de la matriu de Llull(vxy) srsquoordenen segons ξ El criteri de coincidencia maxima consisteix doncsen trobar un ordre ξ que maximitzi aquesta suma En el cas de lrsquoexemple Des veu facilment que el maxim srsquoaconsegueix amb lrsquoordenacio a b c

Tal com mostra lrsquoexemple C de vegades la coincidencia maxima es potaconseguir mitjancant diversos ordres diferents en aquest cas tenim tressolucions a saber a b c b c a i c a b En consequenciasembla bastant inevitable concloure que les tres opcions estan empatadesEn lrsquoexemple A ens trobem tambe amb tres solucions a saber lrsquoordre d b c e f g a i dos mes que srsquoobtenen a partir de lrsquoanterior canviantla part e f g per f g e i per g e f Aixı doncs en generalel criteri de coincidencia maxima pot donar lloc a multiples resultats Evi-








A

B

O

figura 1


dentment quan lrsquoelectorat es molt nombros aquestes situacions son altamentimprobables

No costa gaire de veure que el criteri de coincidencia maxima constitueixuna extensio del principi de Condorcet Dit drsquouna altra manera si hi ha unaopcio u que guanya a qualsevol altra en les comparacions per parelles llavorsaquesta opcio encapcalara qualsevol ordre que maximitzi la coincidencia ambels votants Per a demostrar aquesta afirmacio nomes cal considerar un ordreque no estigui encapcalat per u i constatar que si traslladem u cap amuntaugmenta el nombre de coincidencies amb els votants En efecte la hipotesique u guanya a qualsevol x en les comparacions per parelles vol dir que siguiquina sigui x sempre hi ha mes votants que posen u per davant de x que noa lrsquoinreves

De manera similar podem veure tambe que el criteri de coincidenciamaxima compleix la condicio drsquoindependencia local respecte a alternativesirrellevants Dit drsquouna altra manera si ξ es un ordre de A que maximitzala coincidencia amb els votants i A es un interval de ξ llavors la restricciode ξ a A diguem-ne ξ tambe maximitza la coincidencia amb els votants(pel que fa a les opcions de A) Per a demostrar aquesta afirmacio nomes calsuposar lrsquoexistencia drsquoun altre ordre de A diguem-ne σ que tingues majorcoincidencia amb els votants que ξ i constatar que una subtitucio de ξ per σdins de ξ donaria un nou ordre de A que tindria major coincidencia amb elsvotants que ξ

Finalment tambe es pot veure facilment que el criteri de coincidenciamaxima compleix la seguent propietat de consistencia respecte als votantsSi es considera una divisio del conjunt de votants en dues parts i hi ha unordre que maximitza la coincidencia amb cadascuna drsquoaquestes dues partsper separat llavors aquest ordre maximitza tambe la coincidencia amb tot elconjunt sencer de votants

La formulacio precisa del criteri de coincidencia maxima data dels anys1950ndash60 en que aquest criteri va ser considerat independentment per diver-sos autors Avui dia se lrsquoacostuma a associar a un drsquoells en concret JohnGeorge Kemeny un matematic drsquoorigen hongares que va ser ajudant drsquoAl-bert Einstein i que posteriorment va collaborar en lrsquoinvencio del llenguatgeBASIC de computacio Kemeny es va ocupar del problema de lrsquoeleccio socialen un interessant article titulat Mathematics without numbers

El 1978 H Peyton Young i Arthur Levenglick van demostrar que el criteride coincidencia maxima es lrsquo unic criteri de combinacio drsquoordenacions quea mes de tractar per igual a tots els votants i a totes les opcions (la qual cosa

Xavier Mora 23

estem donant per suposat en tot moment) compleix les seguents propietats(a) si hi ha unanimitat en posar x per davant de y llavors lrsquoordre collectiutambe ho fa aixı (b) independencia local respecte a alternatives irrellevantsi (c) consistencia respecte als votants en el sentit descrit mes amunt Aixıdoncs si estem segurs que ens interessen aquestes propietats y no altresllavors hem drsquoadoptar el criteri de coincidencia maxima El problema es quemes avall veurem altres metodes que compleixen altres propietats diferentstambe molt interessants

A tot aixo encara no hem dit com determinar lrsquoordre que aconsegueixla coincidencia maxima En principi aquest problema te una solucio obvianomes cal provar tots els ordres possibles i veure quin drsquoells dona el millorresultat Tanmateix a no ser que el nombre drsquoopcions sigui molt petit aixode seguida comporta molt de temps de calcul inclus per a un ordinadorAquest problema es pot palliar lleugerament mitjancant lrsquoaplicacio de certesestrategies mes elaborades pero tot i aixı el temps de calcul encara creix moltde pressa amb el nombre drsquoopcions de fet els medis actuals no permeten anargaire mes enlla drsquounes 25 opcions

Figura 5 Ramon Llull (ca1233ndash1315) Les seves idees sobre vota-cions van ser redescobertes cinc segles mes tard








A

B

O

figura 1


11 Lrsquoalgorisme drsquoordenacio de comparacions 5

Recordem que vxy dona el nombre de votants que estan drsquoacord en considerarque x es millor que y Aixı doncs com mes gran sigui vxy mes rao hi ha pera que la relacio de preferencia collectiva inclogui aquesta opinio es a dirque inclogui la proposicio x y Aquesta idea porta a definir la relaciode preferencia collectiva mitjancant el seguent algorisme Considerem lesdiverses proposicions x y per ordre decreixent de vxy en cada pas laproposicio corresponent es adoptada sempre que no contradigui les que jahan estat adoptades fins llavors es a dir sempre que no tanqui un cicleel proces continua fins que les proposicions adoptades determinen un ordretotal

En general pot ocorrer que dues o mes proposicions tinguin el mateixsuport vxy En aquests casos el resultat pot dependre de lrsquoordre en que esconsiderin les proposicions empatades Per simplificar les coses drsquoara enendavant evitarem sistematicament aquest cas que es pot considerar unacomplicacio tecnica pero no essencial Quan convingui suposarem que elsvalors de vxy son tots ells diferents i per tant no hi ha empats Obviamentaquesta hipotesi es compleix amb una alta probabilitat quan lrsquoelectorat esmolt nombros En altres moments admetrem empats pero amb la condicioque el resultat no depengui de lrsquoordre en que es considerin les proposicionsempatades

Lrsquoalgorisme drsquoordenacio de comparacions es bastant mes rapid que elsalgorismes a que ens referiem en lrsquoapartat anterior per a obtenir un ordre decoincidencia maxima Cap preguntar-se si potser hem descobert una manerarapida drsquoobtenir tals ordres Pero la resposta es negativa no costa gairede trobar exemples on aquests dos metodes donen resultats diferents Acontinuacio donem un exemple drsquoaquest tipus que de pas servira per a il-lustrar lrsquoaplicacio de lrsquoalgorisme que estem considerant En aquest exempletenim quatre opcions ab c d i 100 votants els quals especifiquen certsordres que resulten en la seguent matriu de Llull

5El terme ordenacio de comparacions lrsquoutilitzem com a traduccio de lrsquoangles rankedpairs Obviament no ho podiem traduir per parelles ordenades ja que aquest ultim termesrsquoutilitza regularment amb un altre significat ben diferent

Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E

Lrsquoaplicacio de lrsquoalgorisme drsquoordenacio de comparacions porta a adoptar suc-cessivament les seguents proposicions on els superındexs indiquen el suportassociat a cada proposicio (1) b 57 d (2) d 54 a que combinada amb lrsquoan-terior ens dona b d a (3) c 53 d (pero no a 53 b que formaria un cicle)i (4) b 52 c (pero no a 52 c que tambe formaria un cicle) aixo completalrsquoordre b c d a Les coincidencies drsquoaquest ordre amb els votants son52 + 57 + 47 + 53 + 48 + 54 = 311 Pero aquest no es pas el maxim valorpossible De fet la coincidencia maxima la dona lrsquoordre a b c d quetotalitza 53 + 52 + 46 + 52 + 57 + 53 = 313 coincidencies Certament estracta drsquouna diferencia mınima pero amb les definicions que hem donat nohi ha mes remei que admetre que els resultats son diferents I segons com esmiri son ben diferents ja que en un cas guanya a mentre que en lrsquoaltre casaquesta opcio queda en ultima posicio

Malgrat aquestes possibles divergencies amb el criteri de coincidenciamaxima lrsquoalgorisme drsquoordenacio de comparacions tambe respecta sempreel principi de Condorcet A mes drsquoaixo a continuacio veurem que te altrespropietats forca interessants Per a les corresponents demostracions remetemel lector a [18 p 219ndash223]

12 Consistencia respecte a clons

Una propietat molt interessant de lrsquoalgorisme drsquoordenacio de comparacionses lrsquoanomenada consistencia respecte a clons Per a explicar en que consisteixi fer veure el seu interes sera millor comencar per un exemple Suposem queun grup drsquoestudiants esta planejant un viatge de fi drsquoestudis i te sobre la taulatres opcions pel que fa al mitja de transport a autocar b ferrocarril c avioImaginem que aquestes tres opcions tenen respectivament els seguents per-centatges de partidaris 40 35 25 i que aquestes quantitats ja flotenen lrsquoambient abans de votar Davant drsquoaixo a un dels partidaris de b se li








A

B

O

figura 1


ocorre una idea per a fer que guanyi la seva opcio preferida aprofitant quehi ha dues companyies diferents drsquoautocars que fan el recorregut planejat enunes condicions molt similars nomes cal aconseguir que la votacio consideriquatre opcions a1 autocar de la companyia 1 a2 autocar de la companyia 2b ferrocarril c avio Els percentatges de partidaris drsquoaquestes quatre opci-ons seran ara semblants a 20 20 35 25 En una votacio uninominalaquesta estratagema aconseguiria el seu objectiu de fer que guanyes b (i lesopcions a tampoc tindrien cap oportunitat encara que es fes una segona voltaentre les dues mes votades) Si considerem vots preferencials llavors el quepassi dependra drsquoaltra informacio que no hem especificat pero la idea es queun bon metode hauria de ser resistent a aquest tipus drsquoestratagemes

Mes exactament un conjunt de clons vol dir un subconjunt drsquoopcionsque tots els votants posen en posicions consecutives I un metode que de-termina un ordre collectiu diem que es consistent respecte a clons quancompleix les dues condicions seguents (a) sempre que hi ha un conjunt declons els seus membres ocupen posicions consecutives tambe en lrsquoordre col-lectiu i (b) quan srsquoafegeixen o se suprimeixen clons el resultat nomes potcanviar en lrsquoordre intern del corresponent conjunt de clons Aixı en lrsquoexem-ple del viatge de fi drsquoestudis les opcions a1 i a2 constituiran o no un conjuntde clons segons sigui cert o no que tots els votants les posen en posicionsconsecutives Si estem realment en aquest cas i el metode que utilitzem esconsistent respecte a clons llavors lrsquoestratagema que hem descrit mes amuntno te cap possibilitat drsquoexit si en el primer plantejament guanyava a en elsegon plantejament guanyara a1 o a2 pero no pas b

Doncs be es pot demostrar que lrsquoalgorisme drsquoordenacio de comparacionses consistent respecte a clons En canvi el criteri de la coincidencia maximano te pas aquesta propietat

De fet lrsquoobjectiu drsquoassolir la consistencia respecte a clons va ser el quevers 198687 va portar Thomas M Zavist i T Nicolaus Tideman a idearlrsquoalgorisme drsquoordenacio de comparacions Drsquoaltra banda la idea essencialdrsquoaquest algorisme es pot trobar ja en certs passatges de lrsquoobra fonamentalpublicada per Condorcet lrsquoany 1785 [12 p 129]

En lrsquoexemple que hem posat mes amunt els clons apareixien com a resultatdrsquouna estratagema ordida per una de les parts a fi de dividir un altre sectorde lrsquoelectorat A la practica tambe es frequent el cas drsquouna divisio mesespontania deguda senzillament a una profusio de candidats relativamentsimilars En el marc del vot uninominal tals situacions formen part de la raode ser dels partits i de les coalicions Hom pot arribar a preguntar-se doncs

Xavier Mora 27

fins a quin punt podria canviar el paper drsquoaquestes entitats si srsquouses el votpreferencial junt amb un metode consistent respecte a clons

13 Suport indirecte middot Primera part

Malgrat la interessant propietat que acabem de veure el criteri de coin-cidencia maxima encara te un atractiu especial ja que deixa ben clar que espreten aconseguir de la solucio En canvi lrsquoalgorisme drsquoordenacio de compa-racions apareix com una idea practica mes o menys afortunada que no sabemexactament a que respon Doncs be una altra propietat notable de lrsquoalgoris-me drsquoordenacio de comparacions es que tambe es possible caracteritzar-lo entermes drsquoun criteri clar i raonable

Una vegada mes sera millor comencar per un exemple Suposem quetenim el cas de lrsquoexemple E i que decidim donar com a resultat lrsquoordre decoincidencia maxima a saber a b c d Els partidaris de d podrien pro-testar dient que d ha de quedar per davant de a ja que la proposicio d ate el suport drsquouna majoria absoluta de votants i en particular te mes suportque la proposicio contraria a d De seguida es veu que el problema es deguta lrsquoexistencia de cicles de Condorcet de manera que no costa gaire drsquoargu-mentar en sentit contrari tambe tenen el suport drsquouna majoria absoluta lesproposicions a b i b d de les quals sersquon deriva que a d Ara be elspartidaris de d encara podrien replicar que les magnituds concretes drsquoaques-tes ultimes majories son respectivament a 53 b i b 57 d i que la manera mesraonable de mesurar la forca de la proposicio derivada a d es prendre elmınim drsquoaquells dos nombres es a dir 53 en canvi la proposicio d a estarecolzada de manera directa per 54 votants Davant drsquoaixo podriem posar-nos a buscar altres cadenes de comparacions drsquoon sersquon derivi que a d aveure si en podem trobar alguna que tingui una forca superior a 54 pero laveritat es que no nrsquohi ha cap de manera que ens veiem incapacos de rebatrela protesta

Certament no estaria malament poder evitar sistematicament tals situ-acions A continuacio formulem aquesta idea drsquouna manera mes precisa igeneral Suposem que tenim una matriu de Llull i estem considerant la pos-sibilitat de donar com a resultat un determinat ordre ξ Aquest ordre no esmes que una manera especial drsquoespecificar una preferencia dins de cada pare-lla drsquoopcions En principi ens agradaria que aquestes preferencies estiguessindrsquoacord amb les majories absolutes de la matriu de Llull A continuacio ho








A

B

O

figura 1


formulem drsquouna manera lleugerament diferent la qual es equivalent a lrsquoan-terior en el cas complet es a dir quan cada vot es pronuncia sobre totes lesparelles possibles drsquoopcions (pero no en el cas incomplet que per regla gene-ral deixem fora drsquoaquest article) En principi ens agradaria que es complıs laseguent condicio

(cd) xy isin ξ si i nomes si la proposicio x y te mes suport que laproposicio contraria y x

El problema es que aquesta condicio pot ser impossible de satisferDrsquounabanda pot passar que una proposicio i la seva contraria estiguin empatadesPero ja hem dit que els empats son una complicacio tecnica no essencialper tal drsquoevitar-los drsquoara en endavant suposarem que els valors de vxy sontots ells diferentsEl problema realment greu es la possibilitat de cicles deCondorcet els quals son incompatibles amb la condicio precedent des delmoment que ξ es un ordreDavant drsquoaixo resulta interessant demanar nomesel seguent

(cs) xy isin ξ si i nomes si la proposicio x y te un ldquosuport indirecte dinsde ξrdquo superior al suport directe en favor de la proposicio contrariay x

Aquı el suport indirecte dins de ξ vol dir el maxim suport que es potobtenir ldquoa traves drsquoun camırdquo que segueixi lrsquoordre ξ Aixı en lrsquoexemple E elsuport directe a la proposicio a b es 53 i el suport directe a la proposiciocontraria b a es 47 pero dins de lrsquoordre ξ = b c d a la proposiciob a te un suport indirecte igual a 54 degut al camı b 57 d 54 a Tal com il-lustra aquest exemple el suport a traves drsquoun camı es el valor mınim delssuports directes a les proposicions intermedies (per tant el suport indirectedins drsquoun ordre es el maxim drsquoun mınim)

En el que segueix ens referirem a les condicions (cd) i (cs) respectivamentcom a condicions de comparacio directa i de comparacio semidirectaEn lloc de ldquocomparaciordquo potser nrsquohaurıem de dir ldquobicomparaciordquo ja quede fet estem comparant (la forca de) dues comparacions (a saber x y iy x)

Doncs be es pot demostrar que (en absencia drsquoempats) lrsquoordre que srsquoobtemitjancant lrsquoalgorisme drsquoordenacio de comparacions es exactament lrsquounic or-dre que compleix la condicio de comparacio semidirecta

A partir drsquoaquest resultat es dedueix facilment que lrsquoalgorisme drsquoordena-cio de comparacions tambe compleix la condicio drsquoindependencia local respec-te a alternatives irrellevants El lector pot comprovar facilment la presencia

Xavier Mora 29

drsquoaquesta propietat en el cas particular de lrsquoexemple E

14 Suport indirecte middot Segona part

A hores drsquoara el lector no se sorprendra si diem que el metode drsquoordena-cio de comparacions tambe es criticable Seguint amb lrsquoexemple E on hemvist que aquest metode resulta en lrsquoordre b c d a els partidaris dec poden argumentar que posats a considerar suports indirectes el camıc 53 d 54 a 53 b dona a la proposicio c b un suport indirecte igual a 53mentre que la proposicio b c arriba com a maxim a 52 tant directamentcom a traves del camı b 57 d 54 a 52 c El problema de fons es que la con-dicio de comparacio semidirecta (cs) no usa les mateixes regles de joc alrsquohora drsquoassignar un suport a una proposicio x y i la seva contraria y xDrsquoaquestes dues proposicions la que esta drsquoacord amb lrsquoordre ξ es mesuramitjancant el suport indirecte dins de ξ mentre que lrsquoaltra es mesura mit-jancant el suport directe Drsquoalguna manera aixo constitueix un tracte defavor per a la proposicio que esta drsquoacord amb lrsquoordre ξ En lloc drsquoaixo pot-ser seria mes adient que ambdues proposicions es mesuressin amb un mateixcriteri

Aquestes consideracions porten a considerar la seguent alternativa a lescondicions (cd) i (cs) que en direm condicio de comparacio indirecta

(ci) xy isin ξ si i nomes si la proposicio x y te un suport indirectesuperior al suport indirecte de la proposicio contraria y x

Aquı el suport indirecte drsquouna proposicio vol dir simplement el maximsuport que aquesta pot obtenir a traves drsquoun camı arbitrari (en lloc de caminsrestringits a seguir lrsquoordre ξ)

Aquesta condicio va ser introduıda lrsquoany 1997 per Markus Schulze queinicialment la veia com una reformulacio del metode drsquoordenacio de compa-racions pero despres sersquon va adonar que no era pas equivalent [15 a] Enel cas de lrsquoexemple E on ja hem vist que hi havia diferencies la condicio decomparacio indirecta la compleix nomes lrsquoordre c b d a La preguntaque de seguida es planteja es si sempre hi ha un ordre total ξ que compleixila condicio de comparacio indirecta (ci) (recordirsquos que aixo no es cert per ala condicio de comparacio directa) Dit drsquouna altra manera si prenem (ci)com a definicio de la relacio ξ iquestpodem estar segurs que ξ es sempre un ordretotal En aquest sentit es obvi que la relacio ξ es antisimetrica i tambe es








A

B

O

figura 1


facil de veure que en absencia drsquoempats llavors es total El quid de la questioes la transitivitat es a dir lrsquoabsencia de cicles Schulze no va tardar gaire endemostrar que ξ te sempre aquesta propietat [15 b] Aquestes descoberteses van realitzar i publicar en el marc de la Election Methods Mailing Listuna llista de correu molt activa i interessant

El resultat es un nou metode el metode dels camins que tambe respec-ta el principi de Condorcet i que mante la propietat de consistencia respectea clons

Una altra propietat forca interessant del metode dels camins es que potser complementat amb una mesura quantitativa de lrsquoacceptacio collectiva decada opcio Aquesta mesura la proporciona un algorisme que ha estat pro-posat a [6] amb el nom de metode CLC (per ldquoContinuous Llull-Condorcetrdquo)El caracter quantitatiu ve donat per la combinacio de certes propietats queespecifiquen els valors que srsquohan drsquoobtenir en certs casos extrems i una pro-pietat de variacio contınua del resultat en funcio de la frequencia relativa decada vot (la qual cosa esdeve especialment significativa quan hi ha un grannombre de votants) Des drsquoaquest punt de vista quantitatiu no es gens es-trany que petites variacions en el contingut dels vots o en el metode aplicatpuguin donar lloc a grans variacions en lrsquoordre de preferencia collectiva (comara que una opcio salti de la primera posicio a lrsquoultima) En tals casos el queesta passant es simplement que hi ha graus molt similars drsquoacceptacio col-lectiva de manera que petites pertorbacions poden resultar en ordres moltdiferents

15 La dimensio practica

Lrsquoaplicacio del metode dels camins requereix calcular els suports indirectesde totes les proposicions Aixo significa considerar totes les parelles possiblesaixı com tots els camins possibles entre les dues opcions que formen cada pa-rella Tot i que el problema srsquoacaba reduint a un nombre finit de possibilitatsquan el nombre drsquoopcions comenca a ser una mica gran el temps de calculsrsquoallarga apreciablement inclus per a un ordinador Com en el cas del criteride coincidencia maxima aixo limita lrsquoaplicabilitat del metode dels camins ide la valoracio CLC a conjunts no massa grans drsquoopcions diguem que finsa un nombre de lrsquoordre de dues dotzenes

Drsquoaltra banda aquest nombre es mes que suficient en molts ambits iactualment hi ha diverses entitats que usen el metode dels camins per a de-

Xavier Mora 31

Figura 6 Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat marques de Con-dorcet (1743ndash1794) figura cabdal de la teoria de lrsquoeleccio social

terminar el resultat de les seves votacions [16 sect1] Moltes drsquoelles pertanyenal mon de la programacio informatica on lrsquoalgorisme drsquoaplicacio del metodedels camins es un simple exercici Una drsquoaquestes entitats es el collectiu dedesenvolupadors de Debian una coneguda variant del sistema operatiu Li-nux (vegirsquos [7]) Val a dir que a mes de determinar el resultat mitjancant elmetode dels camins les votacions drsquoaquesta entitat tambe tenen cura drsquoaltresaspectes importants com ara la inclusio sistematica drsquouna opcio de rebuig atotes les altres (de manera que perdi sentit lrsquoabstencio a causa drsquoopcions noplantejades) i la publicacio dels vots amb els votants identificats mitjancantcodis secrets de manera que cada votant pugui comprovar el seu vot i qual-sevol persona pugui aplicar el metode establert i comprovar el resultat de lavotacio Una altra entitat que tambe ha adoptat el metode dels camins esla fundacio Wikimedia de la qual en depen la coneguda Wikipedia (vegirsquos[19])

De tota manera i tornant al metode de votacio propiament dit la veritates que el metode dels camins es mes aviat complex Aixo no deixa de ser uninconvenient En efecte un metode de votacio que els votants no entenenprou be tendeix a ser acusat de defectes que realment no te i inclus potdonar peu a que els votants no acceptin els seus resultats En aquest sentitel metode dels camins pot ser adient en certs ambits pero no en altres

Aixı doncs una altra propietat desitjable que rivalitza amb les que hem








A

B

O

figura 1


vist es la simplicitat del metode Tot prioritzant aquesta propietat darrera-ment srsquohan revaloritzat i en certa mesura redescobert metodes com ara elvot drsquoaprovacio [5] o les puntuacions mitjanes [17] Tal com hem comentata la sect3 en principi aquests metodes poden caure en la paradoxa de Bor-da es a dir donar la victoria a una opcio que sigui considerada la pitjorper una majoria absoluta de lrsquoelectorat Tanmateix es pot argumentar quetals problemes desapareixen en un escenari que es habitual en les eleccionspolıtiques a saber quan els electors es mantenen informats sobre la intenciogeneral de vot La idea es que en tal situacio els votants aniran ajustantel seu vot de manera que srsquoevitin resultats contraris al desig drsquouna majoriaAquesta afirmacio es pot fonamentar mdashen la mesura que es compleixin cer-tes hipotesis idealitzadoresmdash mitjancant una analisi basada en la celebradateoria de jocs (vegirsquos [14])

Drsquoaltra banda quan un vot consisteix en puntuar totes les opcions llavorses interessant valorar cadascuna drsquoelles no tant per la seva puntuacio mitjanasino per la seva puntuacio mediana La mediana drsquouna serie de quantitatsha estat definida a la sect7 on aplicavem aquesta nocio a les posicions o numerosdrsquoordre drsquouna mateixa opcio en les diverses ordenacions que alla donaven elselectors Els avantatges de la mediana respecte la mitjana indicats a la sect7valen tambe quan parlem de puntuacions en lloc de posicions la qual cosa hadonat lloc a que recentment alguns autors defensin especialment el metodede les puntuacions medianes [4]

Tanmateix els metodes de puntuacio (inclos el vot drsquoaprovacio) nomestenen sentit en la mesura que tots els votants vulguin dir el mateix per cadapossible valor de lrsquoescala de puntuacio Aquesta hipotesi pot ser raonableen alguns casos pero normalment les votacions tenen a veure amb qualitatsmorals psicologiques o estetiques dels candidats lrsquoapreciacio de les quals estan poc quantificable com poden ser-ho els sentiments de plaer o de dolorEn tals contextos una afirmacio com ara ldquoa mrsquoagrada en un grau 7 sobre 10rdquote un significat molt subjectiu En canvi una comparacio qualitativa es adir una afirmacio com ara ldquoprefereixo a a brdquo vol dir el mateix per a tothom

Aixı doncs per regla general conve basar-se en preferencies individualsde tipus qualitatiu Si es vol primar la simplicitat potser el mes apropiatsigui utilitzar les posicions medianes mdashtal com ja apuntava Condorcet en179293mdash junt amb algun dels procediments de desempat que hem descrita la sect7 En qualsevol cas el que no hem de fer es contentar-nos amb el votuninominal Tal com diu una famosa frase atribuıda a Einstein ldquoCal fer-hotot tan simple com sigui possible pero no mes simplerdquo

Xavier Mora 33

16 Conclusions

1 Votar es una questio mes complexa del que sembla a primera vista

2 La votacio uninominal te greus defectes

3 Hi ha altres metodes mes encertats

4 Les matematiques son essencials per a analitzar aquestes questions

Referencies

[1] Accurate Democracy middot Electoral and Legislative Voting Rules des de 1996httpaccuratedemocracycom

[2] Aureli Alabert 2001 Sistemes electorals Butlletı de la Societat Catalanade Matematiques 16 n 2 7ndash30

[3] Bartolome Barcelo 2007 Sistemes electorals MATerials MATematics2007 n 7 23 pp httpmatuabcatmatmatPDFv2007v2007n07pdf

[4] Michel Balinski Rida Laraki 2007ndash2010[a ] A theory of measuring electing and ranking Proceedings of the National

Academy of Sciences of the United States of America 104 8720ndash8725[b ] One-Value One-Vote Measuring Electing and Ranking (En preparacio)

[5] Steven J Brams 2008 Mathematics and Democracy middot Designing Better Vo-ting and Fair-Division Procedures Princeton Univ Press

[6] Rosa Camps Xavier Mora Laia Saumell 2009 (Enviat per a publicacio)[a ] A continuous rating method for preferential voting The complete case

httparxivorgabs09122190[b ] A continuous rating method for preferential voting The incomplete case

httparxivorgabs09122195[c ] Fraction-like rates for preferential voting httparxivorgabs1001

3931

[7] Debian Project 2006 Debian Project Leader Elections 2006httpwwwdebianorgvote2006vote_002

[8] M Drton G Hagele D Haneberg F Pukelsheim W Reif 2001ndash2009 TheAugsburg Web Edition of Llullrsquos Electoral Writingshttpwwwmathuni-augsburgdestochastikllull

[9] Electorama i Election Methods Mailing List des de 1996httpelectoramacom








A

B

O

figura 1


[10] FairVote middot The Center for Voting and Democracy des de 2002httpwwwfairvoteorg

[11] Miguel Martınez Panero Jose Luis Garcıa Lapresta 2002 Jose Isidoro Mo-rales precursor ilustrado de la teorıa de la eleccion social middot Edicion facsımilde la Memoria Matematica sobre el Calculo de la Opinion en las Elecciones(1797) y Apendice (1805) Univ de Valladolid

[12] Iain McLean Fiona Hewitt (eds) 1994 Condorcet Foundations of SocialChoice and Political Theory Edward Elgar

[13] Iain McLean Arnold B Urken (eds) 1995 Classics of Social Choice TheUniversity of Michigan Press Ann Arbor

[14] William Poundstone 2008 Gaming the Vote Why Elections Arenrsquot Fair(and What We Can Do About It) Hill and Wang

[15] Markus Schulze 1997ndash2003[a ] Publicat en la Election Methods Mailing List

httplistselectoramacompipermail

election-methods-electoramacom1997-October001545html

(4 oct 1997)(Vegirsquos tambe ibidem 1998-January001577html 1 ene 1998)

[b ] Ibidem 1998-August002045html (31 ago 1998)[c ] A new monotonic and clone-independent single-winner election method

Voting Matters 17 (2003) 9ndash19

[16] Markus Schulze 2003ndash2009 A new monotonic clone-independent reversalsymmetric and Condorcet-consistent single-winner election method En ela-boracio disponible a httpm-schulzewebhopnetschulze1pdf

[17] Warren D Smith Jan Kok des de 2005 RangeVotingorg middot The Center forRange Voting httprangevotingorg

[18] T Nicolaus Tideman 2006 Collective Decisions and Voting The Potentialfor Public Choice Ashgate Publishing

[19] Wikimedia Foundation 2009 Board Elections middot 2009 middot ResultshttpmetawikimediaorgwikiBoard_elections2009Resultsen

Xavier Mora 35

Departament de MatematiquesUniversitat Autonoma de Barcelonaxmoramatuabcat

Publicat el 11 de febrer de 2010








A

B

O

figura 1

Vot uninominal tradicional i senzill perograve insatisfactori

Aprovacions i puntuacions

Vot preferencial i posicions mitjanes

Independegravencia respecte a alternatives irrellevants

Principi clagravessic de la majoria

Estrategravegies de vot i robustesa

Posicions medianes

Comparacioacute per parelles

El paper de les matemagravetiques

El criteri de coincidegravencia magravexima

Lalgorisme dordenacioacute de comparacions

Consistegravencia respecte a clons

Suport indirecte Primera part

Suport indirecte Segona part

La dimensioacute pragravectica

Conclusions


manera de fer-ho millor Pel que fa al paper de les matematiques no semblaque pugui ser mes trivial ja que nomes es tracta de comptar

Aquesta sensacio de simplicitat es correcta quan nomes hi ha dues op-cions Pero quan nrsquohi ha mes de dues llavors el problema es bastant mescomplex del que srsquoacostuma a creure1 Si es rebutja el dogma i srsquoadopta unesperit crıtic de seguida es descobreixen paradoxes o en tot cas situacionson metodes aparentment raonables donen lloc a resultats que clarament noho son Aixo obliga a definir amb precisio que entenem per ldquoraonablerdquo i aanalitzar amb rigor quins metodes compleixen o no certes propietats de ldquora-onabilitatrdquo A aquest efecte resulta molt util el raonament matematic Totplegat dona lloc a una disciplina cultivada especialment pels economistesque es coneix com a teoria de lrsquoeleccio social Aquesta disciplina te ja unssegles drsquohistoria pero avui dia encara es objecte drsquoavancos prou significa-tius Val a dir que aquests avancos recents connecten amb certs movimentsinternacionals de reforma de la democracia (vegirsquos per exemple [1 10])

Aquest article te un doble objectiu Drsquouna banda volem fer veure comefectivament el problema no es pas una trivialitat sino que te molt de sentitadoptar un punt de vista matematic amb definicions precises i demostracionsrigoroses Drsquoaltra banda tambe volem incidir en les implicacions practiquesdrsquoaquesta analisi En particular veurem com els metodes de votacio messenzills tenen defectes importants que podrien ser corregits mitjancant la uti-litzacio drsquoaltres metodes mes elaborats Un tema relacionat que no tocaremaquı es la problematica especial que sorgeix en les eleccions parlamentaries acausa de lrsquoagrupacio dels candidats en partits i de lrsquoestructuracio de lrsquoelecto-rat en circunscripcions Per a aquest tema referim el lector a [2 3] aixı com[18 cap 15] i [5 cap 4ndash6]

Malgrat el punt de vista matematic intentarem mantenir-nos el mes aprop possible del llenguatge ordinari amb la intencio de poder arribar a unaaudiencia el mes amplia possible Drsquoaltra banda cal avisar que alguns delstermes que usarem no son estandard Aixo es deu senzillament a que enmolts casos no hi ha pas una terminologia estandard (la qual cosa srsquoha detenir en compte sempre que es llegeixin obres sobre el tema)

1Inclus en el cas en que formalment la votacio nomes contempla dues opcions devegades pot haver-hi una abstencio que respongui a terceres opcions no plantejades demanera que encara poden ser rellevants algunes de les idees que es discuteixen en el presentarticle

Xavier Mora 3


insatisfactori













A

B

O

figura 1








Xavier Mora 5















A

B

O

figura 1







a 1 1 7 7 7 4600 5

b 4 2 3 3 1 2600 1

c 2 6 2 4 2 3200 3

d 3 3 1 2 5 2800 2

e 6 4 5 6 4 5000 6

f 7 5 6 1 3 4400 4

g 5 7 4 5 6 5400 7


Xavier Mora 7






llevants










A

B

O

figura 1





b 3 1 3 2 1 2000 2

c 1 3 2 3 2 2200 3

d 2 2 1 1 3 1800 1


Xavier Mora 9














A

B

O

figura 1



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1









Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

Xavier Mora 3


insatisfactori













A

B

O

figura 1








Xavier Mora 5















A

B

O

figura 1







a 1 1 7 7 7 4600 5

b 4 2 3 3 1 2600 1

c 2 6 2 4 2 3200 3

d 3 3 1 2 5 2800 2

e 6 4 5 6 4 5000 6

f 7 5 6 1 3 4400 4

g 5 7 4 5 6 5400 7


Xavier Mora 7






llevants










A

B

O

figura 1





b 3 1 3 2 1 2000 2

c 1 3 2 3 2 2200 3

d 2 2 1 1 3 1800 1


Xavier Mora 9














A

B

O

figura 1



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1









Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions








Xavier Mora 5















A

B

O

figura 1







a 1 1 7 7 7 4600 5

b 4 2 3 3 1 2600 1

c 2 6 2 4 2 3200 3

d 3 3 1 2 5 2800 2

e 6 4 5 6 4 5000 6

f 7 5 6 1 3 4400 4

g 5 7 4 5 6 5400 7


Xavier Mora 7






llevants










A

B

O

figura 1





b 3 1 3 2 1 2000 2

c 1 3 2 3 2 2200 3

d 2 2 1 1 3 1800 1


Xavier Mora 9














A

B

O

figura 1



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1









Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions







a 1 1 7 7 7 4600 5

b 4 2 3 3 1 2600 1

c 2 6 2 4 2 3200 3

d 3 3 1 2 5 2800 2

e 6 4 5 6 4 5000 6

f 7 5 6 1 3 4400 4

g 5 7 4 5 6 5400 7


Xavier Mora 7






llevants










A

B

O

figura 1





b 3 1 3 2 1 2000 2

c 1 3 2 3 2 2200 3

d 2 2 1 1 3 1800 1


Xavier Mora 9














A

B

O

figura 1



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1









Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

Xavier Mora 7






llevants










A

B

O

figura 1





b 3 1 3 2 1 2000 2

c 1 3 2 3 2 2200 3

d 2 2 1 1 3 1800 1


Xavier Mora 9














A

B

O

figura 1



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1









Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions





b 3 1 3 2 1 2000 2

c 1 3 2 3 2 2200 3

d 2 2 1 1 3 1800 1


Xavier Mora 9














A

B

O

figura 1



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1









Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

Xavier Mora 9














A

B

O

figura 1



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1









Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions



a 1 1 1 1 7 2200 2

b 2 2 2 2 1 1800 1









Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

Xavier Mora 11














A

B

O

figura 1



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions



a 1 1 7 7 7 7 7

b 4 2 3 3 1 3 2ndash3

c 2 6 2 4 2 2 1

d 3 3 1 2 5 3 2ndash3

e 6 4 5 6 4 5 4ndash6

f 7 5 6 1 3 5 4ndash6

g 5 7 4 5 6 5 4ndash6





Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

Xavier Mora 13













A

B

O

figura 1


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions


VotsId A B C D E

a 1 1 7 7 7

b 4 2 3 3 1

c 2 6 2 4 2

d 3 3 1 2 5

e 6 4 5 6 4

f 7 5 6 1 3

g 5 7 4 5 6


- 2 2 2 2 2 2

3 - 3 2 5 4 5

3 2 - 2 4 3 5

3 3 3 - 4 3 5

3 0 1 1 - 3 2

3 1 2 2 2 - 3

3 0 0 0 3 2 -




Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

Xavier Mora 15











A

B

O

figura 1




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions




VotsId A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 2 1

1 - 2

2 1 -

Taula 6 Exemple C

49 33 18Id A B C

a 1 2 3

b 2 3 1

c 3 1 2

Alta b c

- 82 49

18 - 67

51 33 -

Taula 7 Exemple D


Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

Xavier Mora 17
















A

B

O

figura 1







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions







Xavier Mora 19


ρxy =


0 si xy isin ρ(1)


ab bcbd cacd da

a b c d

a - 1 0 0

b 0 - 1 1

c 1 0 - 1

d 1 0 0 -

a

b

c

d










A

B

O

figura 1


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions


ab acad bcbd cd

a b c d

a - 1 1 1

b 0 - 1 1

c 0 0 - 1

d 0 0 0 - d

a

b

c




vxy =sumk

ρkxy (2)





Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

Xavier Mora 21




sumx 6=y ρxy ξxy




C(v ξ) =sumx 6=y

vxy ξxy (3)










A

B

O

figura 1








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions








Xavier Mora 23











A

B

O

figura 1







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions







Xavier Mora 25

AltId a b c d

a - 53 52 46

b 47 - 52 57

c 48 48 - 53

d 54 43 47 -

Taula 8 Exemple E












A

B

O

figura 1







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions







Xavier Mora 27













A

B

O

figura 1










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions










Xavier Mora 29















A

B

O

figura 1








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions








Xavier Mora 31












A

B

O

figura 1






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions






Xavier Mora 33

16 Conclusions





Referencies










3931











A

B

O

figura 1

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

















Xavier Mora 35










A

B

O

figura 1







Posicions medianes









Conclusions

votar: no tan f acil com sembla, per o podr em fer-ho...

Documents