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thomAs jeCh. Set theory. tercera edicin del milenio, revisada y expandida, 4ta reimpresin corregida, springer Monographs in Mathematics, springer, Berln, 2006, xiii + 769 pp, us$ 160.00, isBn: 978 -3- 540 -44085- 7

recibido: 05/06/10revisado: 21/06/10aprobado: 02/09/10

Por qu leer teora de conjuntos? Por qu leer a Jech? la teora de conjuntos tiene un siglo largo de existencia: se puede decir algo muy inusual en matemticas que esta rea naci el 7 de diciembre de 1873, si uno acepta considerar como el momento de nacimiento la fecha de la carta de cantor a Dedekind, donde demuestra mediante la famosa prueba diagonal que los reales no son enumerables.

Durante su tiempo de existencia, la teora de conjuntos se ha consolidado no slo como una de las (sub)reas ms importantes de la lgica matemtica sino como uno de los dos extremos de una polaridad losca bastante acentuada en la matemtica de los ltimos setenta aos: la dicotoma entre la fundamentacin conjuntstica y la categrica del resto de la matemtica, entre el representar todo objeto (funcin, operador, espacio, estructura) como un conjunto de conjuntos de conjuntos (etc.) en ltimas basado en el vaco (extremo conjuntstico) o enfatizar las conexiones entre distintos objetos, las mltiples echas, acciones (funtores, transformaciones naturales, adjunciones, etc.). Finalmente, la dicotoma matemtica entre el extremo conjuntista y el extremo categrico es una expresin ms de viejas dicotomas loscas (extremo analtico versus extremo sinttico, ser esttico versus devenir dinmico, etc.). No es excesivo decir que parte de la ms interesante losofa de la matemtica hoy en da surge en tensin contra la losofa analtica: la losofa sinttica de la matemtica que proponen F. Zalamea, Filosofa sinttica de las matemticas contemporneas, (Bogot: editorial universidad nacional de colombia), 2009; a. Badiou, Ltre et lvnement, (Pars: seuil), 1988; J. Petitot, Naturaliser

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la phnomnologie, (Pars: ditions cnrs), 2002; J. Baldwin, Model theoretic perspectives on the philosophy of mathematics, Workshop in Practice -Based Philosophy, amsterdam, 2009; etc., entre otros autores. en tensin contra el extremo conjuntstico, a favor del extremo (ms novedoso) categrico.

una lectura posible del estado actual de la matemtica con-tempornea hace nfasis en la tensin entre dos extremos que, simplicando, se podran llamar el extremo conjuntstico y el extremo categrico de la matemtica contempornea. esta vi-sin corresponde de manera intuitiva (y muy esquemtica) a la tensin entre lo endgeno (enDo) y lo exgeno (eXo), entre el anlisis y la sntesis, entre una ontologa esttica y una ontologa dinmica. De acuerdo con esa visin la teora de conjuntos sera el culmen del primer extremo, del extremo enDo, del extremo analtico de la matemtica. aunque tal tipo de lectura puede ser extremadamente simplista (y en la realidad hay toda una red, toda una espiral de caminos insospechados entre los dos extre-mos), es conveniente para ubicar momentneamente las dems disciplinas matemticas las unas con respecto a las otras.

en ese orden de cosas, el desarrollo de algunas reas de la matemtica en el siglo XX (distintas de la teora de conjuntos) pas por un primer momento (estructuralista aos 20 y 30) durante el cual muchas construcciones, muchas subreas que ve-nan de antes se organizaron en torno a la construccin de mul-tiplsimas estructuras todas ellas ancladas en ese paraso de cantor que era la teora de conjuntos. Durante las siguientes d-cadas, sucedi algo sorprendente una especie de explosin en dos caminos aparen temente opuestos y ubicados en los extremos enDo y eXo. en realidad la explosin no fue entre verdaderos opuestos, pero se requiere una formacin como la que puede dar la lectura del libro de Jech y de muchas otras obras en varias dis-ciplinas el ver por qu es ms complejo: por un lado la necesidad de lograr un mejor control de la tensin local global en partes de la geometra, la necesidad de tener herramientas de pegamen-to matemtico de estructuras bien controladas localmente en un

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todo global coherente lle v disciplinas enormes (geometra alge-braica, geometra diferencial, anlisis complejo) del lado de los esquemas y los haces; por otro lado, hacia la misma poca suce-di una verdadera revolucin en el otro extremo, en la teora de conjuntos.

Teora de conjuntos: de fundamentos a matemtica pura

con el tiempo, logran do trascender su primer rol cercano a los fundamentos de la matemtica, la teora de conjuntos se consolid como una componente central e ineludible de la lgica mate-mtica. el vaivn de ideas entre la teora de conjuntos y la teora de modelos ha sido sumamente fructfero, sobrepasando de lejos lo que inicialmente se hubiera podido sos pechar deniciones y construcciones fundamentales inspiradas en la otra disciplina (indiscernibles, modelos construidos como cubiertas de ehrenfeucht -Mostowski en torno a ordinales, lema de cubrimiento de Jensen, ultrapotencias genricas, etc.), tcnicas de teora de modelos tiles para la teora de conjuntos y viceversa han aparecido de manera natural a lo largo de toda su historia. Por otro lado, toda una red de conexiones entre la teora de conjuntos y la topologa y ms recientemente con la topologa algebraica y con las lgebras de operadores (paralelos entre cardinales invariantes del continuo y cardinales invariantes de c* lgebras, entre otros ejemplos de interaccin sorprendente) han sido expresiones de ese uir natural, sorprendente y enriquecedor entre la teora de conjuntos y el resto de la matemtica.

en 1963 cohen demostr la independencia de la Hiptesis del continuo. Pero ms all del resultado en s (que responda a trabajos iniciados ochenta aos antes por cantor, entronizados por Hilbert en su primer problema en 1900 y renados de manera extrema por Gdel hacia 1938, cohen y la generacin siguiente sobretodo silver, solovay, Martin en Berkeley), la demostracin de cohen introdujo un mtodo que cambi por completo toda la teora de conjuntos: el forcing.

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el forcing se ha convertido desde entonces en parte obligada de la paleta de cual quier especialista en teora de conjuntos. es una de esas tcnicas inmensas en variantes y alcance, en conexiones con otras reas, en versatilidad de variantes. la idea, muy escue-tamente, consiste en armar un sistema de aproximaciones sucientemente coherente de algn objeto matemtico que uno quisiera construir, pero que no puede construir directamente entre otras razones porque puede no existir en el universo base V. la fuerza de la tcnica radica en que permite determinar cundo en alguna extensin del universo bien controlada por un ltro genrico G (de manera tal que V V [G]) aparece el objeto ideal que se quera construir. Detrs de esto hay cantidad de sutilezas que ter minan ntimamente conectadas con la estructura topolgica y de teora de medida de los reales entre muchas otras cosas.

el otro tema grande dentro de la teora de conjuntos que ha vivido una revolucin durante los ltimos treinta aos es la teora descriptiva de conjuntos. los orgenes de sta se remontan a la escue-la de Mosc durante la dcada de 1910, en trabajos que buscaban extender el anlisis de subconjuntos denibles de los reales que surgi en Francia con los aportes de Baire, Borel y lebesgue. en dcadas recientes la teora descriptiva de conjuntos se ha centrado fuertemente en el estudio del modelo l() bajo hiptesis de gran-des cardinales.

Set theory - The third millenium edition, revised and expanded (que en adelante sealo mediante sttM) se ubica principalmente en ese punto, en lo que llamamos teora de conjuntos moderna y que consideramos que arranca con los trabajos de cohen y llega a partir de esos trabajos a desarrollos contemporneos de la disci-plina hacia 2003 (su fecha de edicin).

es, de manera muy radical, un libro dirigido a pblico princi-palmente matemtico: estudiantes de posgrado (o pregrado avan-zado en algunas partes) de lgica matemtica, investigadores que trabajan en teora de conjuntos o en topologa, teora de modelos, lgebra, etc. pero requieren usar forcing u otras tcnicas conjunts-ticas en su trabajo. Puede, incluso, ser una excelente referencia para

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diversos lsofos de la matemtica principalmente lsofos no analticos que requieran ir al grano de una disciplina que (an) se puede ver como gran fundamentacin de buena parte de la ma-temtica, estudiosos serios de los trabajos de Maddy o Badiou acudirn a sttM como una fuente de referencia o de estudio de temas obligatoria en este momento.

el libro es un libro de texto, pero no para ser seguido linealmente por completo en un curso, sino para ser estudiado por distintos pblicos, en distintas etapas de formacin, siguiendo distintas lneas a lo largo del libro. un semestre tpico de nivel maestra puede consistir en todos los temas de forcing del libro, o en los de teora de grandes cardinales, o en varios otros.

La edicin del tercer milenio

la historia de uso de sttM ha mostrado que realmente sirve como fuente muy til a la hora de escoger un libro de texto. cabe aclarar que disciplinas como Matemtica (o en general las ciencias o disciplinas estilo teora musical) dependen muy fuertemente de la calidad de los libros de texto, incluso a niveles muy avanzados (cursos de doctorado). esto puede sorprender un poco a quienes vengan de otras disciplinas, donde los cursos avanzados dependen mucho ms de textos, fragmentos, etc. originales. en Matemtica, un buen libro de texto rebasa de lejos el rol un poco escolar que alguien podra ver de manera un poco supercial. Algunos libros de texto han marcado maneras de pensar, maneras de enfocar disciplinas enteras. el rol epistemolgico de textos como Jacobson o lang en lgebra, spanier en topologa algebraica, o atiyah en lgebra conmutativa rebasa de lejos el rol primario pedaggico. el ejemplo extremo de este fenmeno es (naturalmente) los Elementos de euclides.

En este sentido el reto de Jech (reejado en el ttulo ambicioso del tercer milenio) es altsimo: intenta dar a estudiantes, estudio-sos, investigadores, lsofos o sencillamente curiosos un marco de pensamiento a travs de su libro.

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Jech no es novato en el tema: en 1978 haba sacado una prime-ra edicin de su Set theory. el libro sali en poca cercana al otro texto de referencia y uso en universidades, de Kenneth Kunen. Du-rante casi tres dcadas, las dos referencias esenciales eran Kunen y Jech. el contraste entre estos libros (Kunen breve, al grano, casi humorstico en la profundidad de algunos de sus ejercicios, que llevaban al estudiante casi por su cuenta a descubrir secretos de la teora de conjuntos Jech exhaustivo, extenso, detallado) dena estilos enteros de abordar inicialmente los temas. usualmente, se consideraba mejor pasar por Kunen primero y luego llenar vacos y detalles con Jech evitando (por ejemplo) el tratamiento algo engorroso de la denicin de las extensiones genricas en Jech, pero luego s usndolo para estudiar en detalle muchos temas que Kunen en su elegancia extrema juzgaba oportuno omitir.

en 1997 Jech sac una segunda edicin, an muy parecida a la primera (correcciones menores, poco material nuevo).

la tercera edicin (sttM) trae cambios profundos. estruc-turalmente, el libro ahora trae las tres partes bien distintas men-cionadas antes pero sobre todo trae consigo un enfoque que simultneamente cubre muchos temas nuevos o conexiones nuevas entre temas antes ms distantes. los ejercicios no son par-ticularmente difciles para alguien que haya absorbido el material del libro sirven principalmente para complementar temas, cons-trucciones, ejemplos.

es evidente que Jech intenta denir lo que cierto mainstream con-juntstico debe con siderar como bsico, lo que debe considerarse avanzado y nalmente nivel de especialista. Esta diferencia-cin ntida no aparece en ningn otro libro de teora de conjuntos, y tampoco apareca en las dos primeras ediciones de Jech.

el libro consta entonces de tres partes: la primera (Basic set theory) con temas generales y un desarrollo rpido a travs de la historia de la disciplina y con los temas que (a decir del autor) todo estudiante de teora de conjuntos debe aprender. es importante sealar aqu que sttM no pretende ser una fuente histrica exhaustiva del rea. Aunque en las referencias nales

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de cada captulo aparecen unas notas histricas muy tiles, con mencin a los autores de observaciones, ejercicios, teoremas y fuentes iniciales, el objetivo primordial del libro no es histrico. en esta parte todos los resultados contienen demostraciones detalladas. arranca desde la axiomtica de Zermelo Fraenkel, pasa por ordinales, cardinales, axioma de eleccin, ultraltros, algo de teora combinatoria de conjuntos, cardinales medibles, de ramsey, dbilmente compactos, etc., y un inicio de teora descriptiva de conjuntos (conjuntos borelianos y analticos). la segunda parte (Advanced set theory) consta de lo que todo especialista en teora de conjuntos debe manejar: forcing y forcing iterado, el universo construible y modelos internos, grandes cardinales, el ideal no estacionario, ultrapotencias iteradas y l(u), algo de teora pcf, etc. el tratamiento es menos detallado que en la primera parte aqu. Finalmente, en la tercera parte (Selected topics), el autor entra en muchos temas ms contemporneos que reejan de manera bastante el el estado del arte de la teora de conjuntos hacia el inicio del tercer milenio: trabajos de Woodin y la escuela de california, determinacin, modelos internos para grandes cardinales, el mximo de Martin, forcing propio, tower forcing, etc.

el libro hace justicia a la impresionante mezcla (contaminacin, diran algunos, ha blando de manera entusiasta sobre el tema, ver Zalamea, op. cit.) de temas que estamos atestiguando en matem-tica hoy en da aunque por razones obvias lo hace dentro del mbito de la teora de conjuntos. en ese sentido el libro hace justi-cia a la segunda parte de su nombre la edicin del tercer mile-nio. en 1978 (y en la edicin casi igual a la primera, de 1997) los temas estaban mucho ms separados en compartimientos. uno de los grandes logros de la edicin de 2003 es ser el primer rcord en forma de libro de texto de la genuina polinizacin cruzada que se vive en teora de conjuntos (al igual que en varias otras reas de la matemtica, y entre estas reas tambin). as, en ese impresio-nante Selected topics que constituye la tercera parte el forcing apa-rece como herramienta ubicua, la teora de grandes cardinales y de modelos internos aparecen mezcladas y la teora descriptiva de

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conjuntos es el estudio del modelo l() bajo hiptesis de grandes cardinales. en ese sentido muy preciso sttM es genuinamente la edicin para el (abrir del) tercer milenio.

en sntesis: en su tercera edicin, sttM es un verdadero ma-nual de consulta de teora de conjuntos, que sirve para un ampl-simo espectro de lectores: desde estudiantes de nivel licenciatura (avanzada) hasta investigadores en el rea pasando por estu-diantes de doctorado que se estn formando en teora de conjuntos o en disciplinas relaciona das con sta. Para el pblico losco, claramente es material de consulta (adems de las fuentes origi-nales) en temas frecuentemente mencionados, usados o criticados por lsofos (fenomenlogos como Badiou, Petitot; sintticos / ca-tegricos como Zalamea; o lsofos de la teora de conjuntos de la lnea de Maddy).

aunque es muy probable que el lema del tercer milenio que-de obsoleto muy pronto (como sucede siempre en estas discipli-nas), rebasado por textos que recojan desarrollos ms novedosos, o sencillamente mejor conectados con el resto de la matemtica (li-bros recientes de todorcevic o reas de trabajo que conectan teora de conjuntos con sistemas dinmicos trabajos de Pestov, Kechris y todorcevic vienen a la mente), es claro que por ahora Jech ha logrado un hito epistemolgico/pedaggico con su libro no solo en trminos de los temas y de su uso muy amplio en seminarios de investigacin o en cursos, sino por su denicin (ms incluyente, ms exhaustiva an que en las dos ediciones anteriores) ntida de qu es lo bsico que todo estudiante debe saber, qu es lo avan-zado y qu es lo de especialistas.

andrs Villaveces Departamento de Matemticas, Facultad de ciencias, universidad nacio-nal de co lombia, aK 30 # 45 07, Bogot D.c., colombia. correo electrnico: avillavecesn@unal.edu.co