vigas

Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina

PREDIMENSIONADO DE VIGAS

Introducción La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del

elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte.

En tal sentido el predimensionado de las vigas consiste en determinar las dimensiones necesarias para que el elemento sea capaz de resistir la flexión y el corte, así como también debe tener dimensiones tales que la flecha no sea excesiva. Así, el esquema para cumplir con los requisitos de una viga consiste en:

Determinar las cargas

Cuantificar las fuerzas de diseño

Predimensionar mediante criterio de resistencia

Comprobar las dimensiones por rigidez

Fuerzas de diseño Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y Momento

Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de la viga, siendo así el objetivo principal de determinar la magnitud de la fuerza cortante y el momento flector máximo aplicado en la viga (Vmax ; Mmax). El procedimiento básico para cuantificar las fuerzas de diseño consiste en:

1. Asilar el elemento del sistema estructural, 2. determinar las reacciones por las ecuaciones estáticas o de las condiciones de apoyos, 3. realizar un corte en la sección donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas internas con un

plano perpendicular al eje del elemento, 4. las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos porciones obtenidas por el

corte.

Figura 1. Fuerza cortante y momento flector.

V

V

M

M


Fuerza cortante

Definición

Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga en la Figura 1, se debe incluir la fuerza V, que actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo .

Por otra parte, se observa que la magnitud de V es variable, ya que, la magnitud depende del punto donde se realice el corte imaginario. Por lo tanto esta variabilidad es conveniente representarla gráficamente por diagramas. En el caso de la fuerza cortante, el diagrama se denomina Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) el cual se indica en la Figura 4.

∑=izqvertFV (Ec. 1)

Convenio de signos

Dado que el valor de V obtenido por la suma de la porción de la izquierda es igual pero de sentido contrario a la suma de las fuerzas de la porción de la derecha, para indicar cuando el valor de V es positivo o negativo, en la figura 2 se señala el convenio empleado según la tendencia que tiene la fuerza sobre el elemento.

Figura 2. Convenio de signos de V.

Momento flector

Definición

Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un equilibrio en los momentos hasta la sección evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la sección de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda.

Así como la fuerza cortante, el momento flector es variable y se representa por el Diagrama de Momento Flector (DMF).

∑∑ == secFizqizq dFMM (Ec. 2)

Convenio de signos

El convenio más extendido de momento flector positivo es cuando produce concavidad hacia arriba, tal como lo indica la figura 3.

Figura 3. Convenio de signos de M.

(+) (-)

(+) (-)


Figura 4. Diagrama de fuerza cortante y momento flector de vigas.

Relación de carga fuerza cortante y momento flector La carga se relaciona con la fuerza cortante y el momento flector, las cuales permiten un método

alternativo para dibujar los diagramas. Las relaciones están indicadas en la Ecuación 3 (Popov, 1996; Singer y Pytel, 1982).

dxdMV

dxdVw

areaMMMareaVVV

DFC

asc

=

=

=Δ=−

=Δ=−

12

arg12

(Ec. 3)

Vigas hiperestáticas Las vigas que poseen reacciones redundantes o un exceso de restricciones, aumentan el número de

incógnitas sin el consecuente aumento de ecuaciones disponibles de la estática, por ello se denominan vigas hiperestaticas o vigas estáticamente indeterminadas (véase figura 5). En todos estos problemas son válidas las ecuaciones de equilibrio estático, ecuaciones necesarias pero no suficientes para resolver los problemas hiperestáticos. Las ecuaciones complementarias se establecen partiendo de consideraciones de la geometría de la deformación. En sistemas estructurales, por necesidad física, ciertos elementos o partes deben flexionarse conjuntamente, torcerse juntos al mismo tiempo, alargarse juntos, etc., o bien, permanecer fijos. Formulando tales observaciones cuantitativamente se obtienen las ecuaciones adicionales requeridas (Popov, 1996).

Métodos Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas

hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga.

Una forma alternativa de añadir ecuaciones, es considerar como desconocido o hiperestático los momentos de los apoyos. Una vez determinados estos momentos también llamados momentos de continuidad, el cálculo de reacciones se hace sencillo. Uno de estos métodos se denomina tres momentos y la otra distribución de momentos o rigidez (Singer y Pytel, 1982).

w

DFC

DMF


Tres Momentos

Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase. Esto da suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma:

Figura 5. Tipos de vigas hiperestáticas

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+++++

2

3

1

1

2

22

1

112321211 L

hLhEI6

LbA6

LaA6LMLLM2LM

(Ec. 4)

Donde: M1≡ Momento primer apoyo; M2≡ Momento segundo apoyo; M3≡Momento tercer apoyo;

1

11

LaA6

≡ Término de cargas primer tramo;

2

22

LbA6

≡ Término de cargas segundo tramo; h1≡ Diferencia de altura entre el primer y segundo apoyo; h2≡ Diferencia de altura entre el segundo y tercer apoyo.

L1 L2

Figura 6. Esquema de viga de tres momentos

La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo indicado en la Figura 7.

En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones simultáneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de tramos contiguos (véase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos.

Número de reacciones = 4



Número de reacciones =2 * número de apoyos


Figura 7. Convenio de signos (Singer y Pytel, 1982, p. 251).

Figura 8. Aplicaciones del método de Tres Momentos en otro tipo de vigas

Predimensionado de vigas por resistencia El criterio de resistencia se basa en el empleo del concepto de esfuerzo, para el caso de la fuerza cortante

se produce el esfuerzo cortante y el momento flector produce el esfuerzo de flexión.

Esfuerzo de flexión La relación entre el momento flector y el esfuerzo de flexión se hace mediante la fórmula de la flexión,

señalada en la Ecuación 5.

Esta ecuación indica que el esfuerzo de flexión es proporcional a la distancia al eje neutro, esta relación se puede observar en la Figura 9. Asimismo, se observa que el esfuerzo es máximo en los bordes superiores e inferiores de la viga, el valor de y para los bordes coincide con el valor del centroide de la sección por lo que el esfuerzo es máximo para y=c. De esta manera el esfuerzo máximo se expresa según la Ecuación 6 (Singer y Pytel, 1982).

L1 L2 L3

L1 L2

L2 L3

+

=

L

LL=0

=

Caso 1

Caso 2


I

My=σ (Ec. 5)

Donde: σ ≡ Esfuerzo normal de flexión; M ≡ Momento flector aplicado en la sección; y ≡ distancia desde el eje neutro; I ≡ Momento de inercia centroidal.

Figura 9. Distribución del esfuerzo de flexión.

SM

cIS

IMc

=== maxmax tenemos si ; σσ (Ec. 6)

Donde: S ≡ Módulo de sección.

El módulo de sección es la propiedad geométrica que establece las dimensiones de la viga. Es por ello, que se determina el módulo de sección necesario para resistir la carga aplicada sobre la viga según la Ecuación 7, esta indica la sección mínima que debe ser empleada para un esfuerzo admisible establecido según el tipo de material a utilizar.

admreq

MSσ

≥ (Ec. 7)

Donde: Sreq ≡ Módulo de sección requerido; σadm ≡ Esfuerzo de flexión admisible del material.

Predimensionado por flexión para viga de Acero

Para el predimensionado de vigas de acero se emplea un diseño plástico que examina el comportamiento en todo el intervalo de carga, desde una carga pequeña hasta una carga que origina el colapso de la viga1.

En la Figura 10 se indica una viga donde se incrementa la carga, se observa en la Figura 10.a, la viga sigue un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente, en la Figura 10.b, el esfuerzo máximo es igual al de cedencia. A partir de este momento el diagrama deja de ser lineal2 y la cedencia avanza hasta el eje neutro. El colapso es cuando toda la sección tiene un esfuerzo de cedencia (véase Figura 10.d).

El diseño de una viga de acero se realiza para el punto de colapso y aplicado el criterio de estados límites, el momento de colapso o momento plástico Mp o Mn será el momento máximo resistente a flexión que debe ser mayor o igual al momento producido por la carga Mu. Así, la Ecuación 7 para el caso de acero, bajo la condición de colapso sería como la señala la Ecuación 8 y por lo tanto el tipo de sección a emplear en acero debe tener un módulo plástico mayor al determinado por la ecuación (Segui, 2000).

1 Se entiende por colapso de una viga de acero, el punto en el cual toda la sección alcanza el esfuerzo de

cedencia. 2 Por no poder obtener un esfuerzo mayor al de cedencia según el diagrama elastoplastico perfecto.

CGy

c

MEje neutro


Figura 10. Esquema de falla para una viga de acero (Segui, 2000, p. 147).

(Ec. 8)

Donde Zreq≡ Módulo de sección plástico requerido; Mu ≡ Momento mayorado; øb ≡ Factor de resistencia de viga; øb= 0,9; Fy ≡ Esfuerzo de cedencia del acero del perfil.

Predimensionado por flexión para viga de concreto armado

Las vigas solo de concreto no son eficientes para resistir la flexión, ya que el concreto no soporta la tracción generada por el momento flector, fallando antes de alcanzar la capacidad que tiene en compresión, por lo tanto se colocan barras de acero en el extremo sometido a tracción con una capa de concreto que protege el acero del fuego y la corrosión. Para garantizar el comportamiento de la viga hecha de dos materiales (concreto y acero) se debe impedir el desplazamiento relativo de las barras de acero respecto al concreto.

En la Figura 11 se indica una viga donde se incrementa la carga hasta la falla, en la Figura 11.c la viga sigue un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente para esfuerzos menores al de rotura del concreto a tracción, en 11.b. Cuando la carga aumenta, se sobrepasa la resistencia a tracción del concreto y se agrieta, por lo tanto el esfuerzo de tracción solo es soportado por las barras de acero al desaparecer la contribución de la resistencia del concreto por debajo de la línea neutra (véase Figura 11.e). Al seguir aumentando la carga desaparece la relación lineal del esfuerzo y la deformación por lo que se produce la falla (véase Figura 11.f).

El punto de colapso de una viga puede ser de dos formas, según la cantidad de acero a colocar. Si el acero es limitado, el acero cede antes del concreto alcanzar la falla por lo que la deformación es alta así como el tamaño de las grietas siendo visibles; el concreto por lo tanto falla por aplastamiento. Este tipo de falla es gradual y esta precedido por grietas visibles así como una flecha evidente.

yb

ureq F

MZφ

≥


Figura 11. Comportamiento de una viga de concreto armado (Nilson, 1999, p.65).

Por otra parte, cuando el acero es empleado en grandes cantidades, no se llega al punto de cedencia del acero cuando el concreto falla, en consecuencia no se observan grandes grietas ni deflexiones importantes. El concreto falla por aplastamiento repentino sin ningún tipo de aviso. Debido a la naturaleza súbita de este tipo de falla, es aconsejable colocar una cantidad de acero limitada para así tener una colapso que pueda ser anticipado y tomar medidas antes que esto ocurra.

2259,01 bdRMbdff

fM

MM

unc

yyn

nu

=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

−=

≤

ρρ

φ (Ec. 9)

Donde: fy≡ Esfuerzo de cedencia del acero de refuerzo; fc´≡ Resistencia del concreto de compresión a los 28 días; ø≡ Factor de minoración de resistencia a flexión, ø=0,9; b≡ Ancho de la sección transversal de la viga (véase Figura 11.b); d≡ Altura útil de la viga de concreto armado (véase Figura 11.b); R≡ Resistencia nominal a la flexión de la viga de concreto armado.

Debido a las particularidades3 del comportamiento en los elementos de concreto armado, el predimensionado es distinto al indicado en la Ecuación 7, principalmente debido a que las dimensiones de una viga de concreto armado son función de la cuantía de acero (ρ4). El predimensionado se basa en la ecuación fundamental de los estados límites5, donde los efectos de la carga (Mu) deben ser menores a la capacidad disminuida de la viga a flexión (øMn).

3 Elementos constituidos por dos materiales y las vigas deben fallar para deformaciones mayores a las de

la cedencia del acero. 4 La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la

sección (Ag), g

sA

A=ρ .

5 ∑ ≤ nii RQ φγ.


Al igualar los efectos de la carga con la capacidad a flexión, obtenemos la Ecuación 10 que proporciona las mínimas dimensiones de una viga de concreto armado capaz de resistir las cargas aplicadas (Nilson, 1999).

bRMd

bdRM

u

u

uu

φ

φ

=

= 2

(Ec. 10)

El propósito del predimensionado es obtener las dimensiones de la viga para una cuantía de acero (ρ6) predeterminada. A continuación se indican dos metodologías que ambas conducen al mismo resultado.

Método 1

Se selecciona una ρ7 apropiada que este entre ρmax y ρmin,

y

c

ycu

cub f

f ′+

=εε

εβρ 85,0;

si 280≤′cf kgf/cm2

003,085,0

==

cuεβ

Multiplicando el numerador y denominador por Es, tenemos

y

c

yb f

ff

′+

=6300

630085,0 2ρ,

bγρρ =max γ=0,5 zona sísmica,

γ=0,75 zona no sísmica,

yf14

min =ρ,

Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

−=c

yyu f

ffR

ρρ 59,01

,

Determinar la altura útil d, según: 2bdRM uu φ= ,

Recordar que 5+= dh ; [ ]bh 4;2= ,

Verificar αLh ≥

(Nilson y Winter, 1994).

6 La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la

sección (Ag),g

s

AAρ .

7 Esta cuantía debe estar cercana al valor máximo.


Método 2

Seleccionar q=0,20 o q=0,18 ( cy ffq ′= ρ),

Comprobar que el valor seleccionado de q se encuentre dentro del intervalo, maxmin qqq ≤≤ ,

yb f

q+

=6300

630085,0 β si 280≤′cf kgf/cm2,

bqq γ=max γ=0,5 zona sísmica,

γ=0,75 zona no sísmica,

cfq ′=14

min,

Calcular Ju qJu 59,01−= ,

Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru, ucu qJfR ′= ,

Determinar la altura útil d, según: 2bdRM uu φ= ,

Recordar que 5+= dh ; [ ]bh 4;2= ,

Verificar αLh ≥

(Arnal y Epelboim, 1985).

El método 2 es más práctico por la introducción de dos variables q y Ju, aunque estas carecen de sentido físico son herramientas para facilitar el cálculo, y q tiene la ventaja de ser invariable con respecto a la resistencia del concreto (f´c) tal como se observa en las tablas a continuación.

Tabla 1 Valores de φRu

f´c (kgf/cm2) φRu (kgf/cm2)

150 23,81

200 31,75

210 33,34

250 39,69

280 44,45

Esfuerzo cortante Al hacer una viga formada por varias capas, se observa que cada capa se desliza con respecto a las

contiguas, siendo la viga menos resistente que el caso de una viga maciza, porque la viga de la derecha posee mayor deflexión ante la misma carga que la viga de la izquierda (véase Figura 12). Esto se debe a que para compensar la resultante del esfuerzo de flexión se genera un esfuerzo cortante, solo es posible que se genere en las vigas macizas, por lo que en las vigas de capas, al no poder formarse el esfuerzo de corte se deslizan las capas.


Figura 12. Comparación entre viga formada por capas y viga maciza.

Para determinar el esfuerzo cortante se observa que es función de la fuerza cortante vertical, la razón de ello es que para conservar el equilibrio y la sección no tener una distorsión angular, se debe acompañar a un par de fuerzas horizontales un par de fuerzas verticales, esto se nota al realizar el equilibrio sobre un elemento diferencial de la viga. El esfuerzo cortante es máximo por lo general en el eje neutro, contrario a lo ocurrido por flexión (véase Figura 13).

Figura 13. Distribución del esfuerzo cortante.

bIVQ

=τ (Ec. 11)

Donde: τ ≡ Esfuerzo cortante; V ≡ Fuerza cortante; Q ≡ momento de primer orden; Q=Ay d; b ≡ ancho de la sección a una altura y; I ≡ Momento de inercia;

Corte en vigas de acero

Los perfiles de acero poseen gran resistencia al corte, por lo que el corte en los perfiles consiste solo en comprobar que le perfil calculado sea capaz de resistir el corte.

wvynu ACFVVV 6,0 ;n =≤ φ (Ec. 12)

Donde: Vu≡ Corte aplicado sobre el perfil; Vn≡ Corte resistente del perfil; Aw≡ Area del alma del perfil, Aw=htw; ø ≡ Factor de minoración de resistencia para vigas, ø=0,9; Cv≡ coeficiente de corte según la proporción del alma.

P

CG

CG

y bd

c

VEje neutro

Ay


261999,86

6,699,866,69

16,69

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=⇒<

=⇒≤<

=⇒≤

w

vw

w

vw

vw

th

Cth

thC

th

Cth

(Ec. 13)8

Donde: h≡ Altura del perfil; tw≡ espesor del alma del perfil.

Corte en viga de concreto armado

La resistencia de las vigas de concreto armado es producida por la suma de la resistencia al corte del concreto más la resistencia al corte del acero, el acero resistente al corte se proporciona mediante estribos que amarran las barras longitudinales y cubre el perímetro del núcleo de la sección9, de manera que el concreto en la parte exterior del estribo es solo de recubrimiento, además las especificaciones establecen la separación longitudinal de los estribos (s).

Figura 14. Esquema de un estribo en la sección transversal y sección longitudinal.

Partiendo de la filosofía de diseño de la norma, se establece la separación de los estribos según la fuerza cortante aplicada y el corte resistente del concreto.

nu VV φ≤ ; scn vvV += ; bdfv cc ′= 53,0 ; s

dfAv yv

s = (Ec. 14)

Donde: Vu≡ Corte aplicado en la sección; Vn≡ Corte resistente de la viga; ø ≡ Factor de minoración de resistencia al corte, ø= 0,75; vc≡ Corte resistente del concreto; vs≡ Corte resistente del acero; Av≡ Area de acero de los estribos; s≡ Separación de los estribos.

8 Ecuación válida para acero tipo PS-25. 9 Se denomian “núcleo de sección” a la porción de concreto encerrada por el estribo.

s

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Diseño por rigidez en vigas de concreto armado Para las vigas de concreto armado no es necesario determinar la flecha si se trata de elementos cuya

deformación no perjudique a elementos no estructurales, siempre y cuando se halla chequeado que αLh ≥ ; donde los valores de α se indican en la Tabla 1. En caso de emplear valores de h menores a lo indicado en la fórmula, se debe calcular la flecha para carga variable y comparar con la flecha admisible, el valor de I a emplear en el cálculo de flecha se obtiene al aplicar la Ecuación 15 ya que el momento de inercia es un valor que oscila entre el correspondiente a la sección completa y el de la sección completamente agrietada (González y Robles, 1997).

Tabla 1. Valores de α

Tipo de apoyo α

Simplemente apoyada 16

1 extremo continuo 18,5

2 extremos continuos 21

Volado 8

gagag

gag

e IIMM

IMM

I ≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

max

3

max

1

t

gcag y

IfM

′=

2 (Ec. 15)

Donde: Mag≡ Momento de agrietamiento; Mmax ≡ Momento máximo bajo cargas variable; Ie ≡ Momento de inercia efectivo ; Ig ≡ Momento de inercia de la sección completa; Iag ≡ Momento de inercia de la sección agrietada transformada.

Para vigas con ambos extremos continuos ( )2115,07,0 eece IIII ++=

Para vigas con un extremo continuo exce III 15,085,0 += (Ec. 16)

Donde: Ic ≡ Momento de inercia efectivo de la parte central; Ie1 , Ie2 , Iex ≡ Momento de inercia efectivo en los extremos.

Referencias − Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de Materiales. Santafé de Bogota, Colombia: McGraw-Hill

Interamericanam S.A.

− González, O. y Robles, F. (1997). Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.

− Nilson, A. (1999). Diseño de estructuras de concreto. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Interamericana, S.A.

− Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.


− Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V.

− Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Harla, S.A. de C.V.

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