viga de madera ecuacion universal curva elastica

DATOS INFORMATIVOS

NOMBRE: Tanía Sánchez

CODIGO: 488

MATERIA:

DOCENTE:

TEMA:

FECHA:

V

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

MATERIA:

RESISTENCIA DE MATERIALES 2

Tema: VERIFICACION DE LA DEFORMACION REAL

RESPECTO A LA CALCULADA EN UNA VIGA DE

MADERA”

AUTORES

Rafael Quinllin

Cristian Salazar

Ayrton Llerena

Jhoan Flores

Fabricio Cajamarca

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

U RESISTENCIA

1. Introducción

n el presente artículo se presenta los criterios

básicos a aplicar en el caso del dimensionamiento

de una viga de madera a flexión.

Para ellos hemos introducido algunas características y

propiedades propias de la madera como material

estructural junto con el uso de la nomenclatura específica,

con el objeto de poder estudiar un caso lo más real

posible, se incide en la evaluación de acciones y el

desarrollo de las distintas combinaciones de hipótesis de

carga a considerar con un ejemplo de aplicación práctica.

Sin embargo considerando la complejidad de este

proyecto se ha tratado de desmenuzar en contenidos muy

básicos para el fácil entendimiento de los lectores de

cómo funciona la resistencia de materiales, sus

aplicaciones y comprobaciones frente a sus límites últimos

del material.

Básicamente en el desarrollo de este artículo se explica

detalladamente los pasos que se debe seguir y los

ensayos que se necesitan para poder observar el

comportamiento de la madera como material estructural a

flexión.

E


U RESISTENCIA

2. El TITULO

VERIFICACION DE LA DEFORMACION REAL

MADERA”

RESPECTO A LA CALCULADA EN UNA VIGA DE


U RESISTENCIA

3. EL RESUMEN

El objeto por el cual se va a desarrollar este artículo es

para poder mostrar el proceso de cálculo de la

deformación que sufre la madera al ser sometido a cargas

en el cual se fue desarrollando un dimensionamiento en

función de las cargas y el peso propio de la madera,

logrando así obtener una sección óptima para que la

madera pueda resistir a dicho peso, y así su deformación

este dentro de los parámetros establecidos ya que todo

los datos que se recopilaron algunos ya son propios de la

madera y vienen establecidos y otros se obtuvieron

mediante ensayos realizados para determinar esfuerzos,

limite elástico etc.

Con todos los datos ya descritos se desarrollaron los

cálculos, pero se debe tener muy en cuenta que son

aquellos que están dentro del límite elástico de la madera

de eucalipto. La resistencia de las vigas de madera

solicitadas fue a flexión.


U RESISTENCIA

4. LAS PALABRAS CLAVES

Propiedades de la madera de eucalipto, su deformación,

Ensayos realizados fue a flexión.

Esfuerzos, Limite Elástico y Dimensionamiento, los


U RESISTENCIA

5. LOS OBJETIVOS

Investigar un método para cálculo de

deformaciones en vigas, autores y deducción.

Elaborar una hoja electrónica para calcular la

deformación en cualquier punto en la longitud de la

viga.

Determinar experimentalmente las propiedades

mecánicas del material que se requieran para el

cálculo de la deflexión.

Llevar a cabo la prueba de carga, de carácter no

destructivo sobre el modelo a escala a construir,

para comparar con los resultados teóricos.


U RESISTENCIA

6. EL METODO

Ecuación Universal de la Curva Elástica

na consecuencia de aplicar un sistema de fuerzas

perpendiculares al eje de una viga, es que

inevitablemente y como todo el mundo sabe se

produce la deflexión de esta.

Pues bien, en este método que nosotros aplicamos vamos

a aprender a calcular una expresión y=f(x) que toma el

nombre de ecuación universal de la elástica y que nos

permite determinar la mencionada deflexión. Una vez

obtenida esta expresión, si la particularizamos para el

punto en el que experimenta el mayor desplazamiento,

obtendremos la flecha máxima.

Es obvio, que el cálculo de esta deflexión o flecha será

muy importante, puesto que algunas estructuras

presentan limitaciones en este aspecto.

Para estudiar este problema, necesitaremos primero

obtener algunas relaciones entre el momento y la tensión

que sufre una sección genérica. Para ello nos apoyaremos

en la siguiente figura:

U


U RESISTENCIA

Al flexionarse la viga, cada uno de sus puntos realiza dos

movimientos:

a) Se desplaza una cantidad ν según hemos visto.

b) Gira un cierto ángulo.

Llamaremos ángulo de rotación, θ, del eje de la viga al

ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión

en un punto1. Así, nuestro punto m1 tendrá un ángulo de

rotación θ. El punto m2 habrá girado un poco más, en

concreto una cantidad diferencial dθ 2, con lo que su

ángulo de rotación será θ+dθ. Por otro lado, si trazamos

las normales a las tangentes de los dos puntos, dichas

normales formarán un ángulo entre

sí de valor dθ y se cortarán en el punto O’, que se

denomina centro de curvatura. Asimismo, la distancia

desde O’ a la curva es el radio de curvatura ρ.

De esta manera, al ser el arco igual al ángulo por el radio,

podemos escribir:

ρdθ = ds

Donde ds es la distancia que separa los dos puntos,

recorrida a lo largo de la curva. Entonces, la curvatura κ,

que es la inversa del radio de curvatura, se expresa

mediante la ecuación:

Puesto que se trata de pequeñas deformaciones, el

ángulo se confunde con su tangente y podemos aproximar

el arco de la curva ds con el avance en el eje x, dx.

De igual modo, observando la geometría de la viga,

podemos escribir la tangente del ángulo de rotación como.


U RESISTENCIA

Entonces podemos volver a escribir la ecuación de la

curvatura como:

Hay que recordar que al hacer el estudio en el que

obtuvimos la ley de Navier, habíamos obtenido una

expresión para la curvatura:

Igualando ambas expresiones de la curvatura obtenemos

la ecuación diferencial de la elástica de una viga:

Una vez obtenido este resultado, vamos a ver qué sucede

con una viga de longitud L, cuando esta se comba

formando un ángulo muy pequeño con la horizontal, a

consecuencia de una fuerza P perpendicular a su eje:

Usando la definición de tangente y derivada para obtener

la pendiente de una recta obtenemos:


U RESISTENCIA

Y así obtenemos la expresión que nos permite determinar tras dos integraciones consecutivas, la ecuación general de la

elástica.

No debe olvidarse determinar las constantes resultantes de cada integral utilizando las condiciones de contorno disponibles.


U RESISTENCIA

CALCULO DEL PESO DE LA VIGA

3m

FORMULA:

PESO VOLUMEN AREA DATOS:

P=d*M V= L*A A= B*H

B= 0,05 m

H= 0,06 m

P(Kg)= 4,5 V(m^3)= 0,009 A(m^2)= 0,003

d= 500 kg/m^3

L= 3 m


U RESISTENCIA

7. LOS RESULTADOS

Datos Ensayos (Modulo de Elasticidad)


U RESISTENCIA

GRAFICA

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60 70 80

PROBETA N°01

PROBETA N°03

PROBETA N°02

PROBETA N°04

PROBETA N°05


U RESISTENCIA

CALCULO – CARGA (LIMITE ELASTICO)


U RESISTENCIA

GRAFICA [CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES]


U RESISTENCIA

CALCULO MODULO ELASTICO

1) TLP:

TLP significa el calculo del esfuerzo mediante la carga que se encuentra entre el limite de la zona elastica y el inicio de la zona proporcional. En la grafica se puede observar que es el inicio la linea donde se produce un ligera curva en la grafica .

FORMULA:

Datos= Tlim=

Mmax Mmax=

Plim*L w=

b*h^2

TLim= Carga Limite Elasti W 4 6

Mmax= Momento Maximo

W= Propiedad Geome Tlim(Kg/cm^2)= 506,25 Mmax(kg*cm)= 675 W(cm^3)= 1,33333333

2) MOR:

MOR significa calcular el Esfuerzo con la ultima carga donde la viga llega a la roptura y se la puede obrsevar en la grafica.

FORMULA:

Datos= Trox=

Mmax Mmax=

Prox*L w=

b*h^2

Trox= Carga Roptura W 4 6

Mmax= Momento Maximo Ropt

W= Propiedad Geome Trox(Kg/cm^2)= 1012,5 Mmax(kg*cm)= 1350 W(cm^3)= 1,33333333


U RESISTENCIA

3) Ef:

Ef significa calcular el Modulo de Elasticidad despejando mediante la formula de la deformacion, los datos se deben tomar dentro de la Zona Elastica donde los datos son proporcionales.

FORMULA:

Donde: Smax=

Pmax*L^3 Ef=

P*L^3 I=

b*h^3

Smax= Alargamiento 48*Ef*I 48*Smax*I 12

Ef= Modulo de Elastici

I= Inercia Ef(kg/cm^2)= 137081,4732 W(cm^4)= 1,33333333

Pmax= Carga max en el LE

CARGA(P)(Kg) DEFORMACION(max)(cm) LONGITUD(cm)

30 2,1 90

20 1,4


U RESISTENCIA

CALCULO – CARGA APLICADA (100 kg)


U RESISTENCIA


U RESISTENCIA

8. DISCUSION

La madera es muy material apto para la construcción, sin embargo se debe profundizar y conocer sus propiedades para su diseño y posterior ejecución en una obra civil. Mediante lo propuesto en cuanto a la viga que es de un material de madera de eucalipto, conocido las cargas a aplicarse y considerando el peso propio de la viga se mantuvo muchas consideraciones para el cálculo de su deformación máxima. Una vez ensayado las probetas de madera de eucalipto primero se procede a determinar mediante la gráfica su carga y deformación máxima para así con esos datos obtener el Limite Elástico de nuestra madera y este fue E=137081,4732 (Kg/cm2).

Una vez obtenido ese valor y comparando con otros valores nos damos cuenta que nuestra madera ensayada está normal y es aceptada. Nuestro propósito es poder encontrar nuestra flecha máxima que flejara nuestra viga mediante el método de cálculo de la Ecuación Universal de la Curva Elástica, con la misma que se ha llegado a determinar mediante doble integral y se obtuvo un valor de deformación máximo de 4.8cm. Lo cual se ha comprobado y se anexa y también sus fotografías.


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9. BIBLIOGRAFIA

Libros

Mecánica de Materiales – F. R. Shanley – 1ra Edición - Capítulo 7: Análisis por flexión. - Capítulo 8: Cortante y flexión. Resistencia de Materiales – N. Willems, J. Easley, S. Rolfe – 1ra Edición – CAP 4 Deformación, deformación unitaria y deformación de corte. - CAP 5 Propiedades mecánicas de los materiales; relaciones entre esfuerzo y deformación unitaria. Resistencia de Materiales (Schaum) – William A. Nash – 1ra Edición - Capitulo 9. Deformación de Vigas, Método de la Doble Integración.


U RESISTENCIA

10. ANEXOS


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viga de madera ecuacion universal curva elastica

Engineering