Ficha de trabajo 5 – Análisis de la dimensión fractal (DF), escala y modelos de crecimiento

Contenido de la Ficha1. Aspectos teóricos de la dimensión fractal...................................................1

1.1 Los problemas de escala en general............................................................1

1.2 La falacia de autocorrelación espacial.........................................................3

2. Algunos conceptos y referencias del Análisis de la Dimensión Fractal...6

2.1 Análisis de frecuencias basados en transformadas de Fourier y Wavelets:.6

2.2 Modelos de agregación en estudios urbanos...................................................7

3. El uso del software y el análisis de la DF...................................................10

4. Bibliografía citada.........................................................................................15

1. Aspectos teóricos de la dimensión fractal

1.1 Los problemas de escala en general

El análisis de la dimensión fractal (DF) está directamente vinculado con la consideración de la relevancia que los problemas de escala tienen en el estudio de cualquier fenómeno. De acuerdo al modo en que consideremos la escala del análisis, los resultados de cualquier medición pueden variar sustancialmente:

“En estadística geográfica, se conoce que este problema complica o impide cálculos bien establecidos, como las ecuaciones de regresión y el coeficiente de determinación, R2. Este efecto se presenta de manera invariable y no ha sido del todo bien explicado, aunque ha estado dando vuelta por décadas (Gehlke y Biehl 1934). Openshaw y Taylor (1979) han demostrado, además, que los mismos datos se pueden agregar de manera tal que sus correlaciones cubran todo el rango de valores posibles entre –1,0 y + 1,0. Los mismos efectos se han percibido en geofísica arqueológica por simple cambio de escala debido a factores de resolución (Campana y Piro 2009: 6-7). Se ha descubierto, asimismo, que estos dilemas se vinculan de maneras insospechadas con la autocorrelación espacial y la bien conocida falacia ecológica; conceptos fundamentales de diversidad ecológica o cultural también engranan directamente con estas cuestiones (Johnston, Gregory y Smith 1994: 393-394; King 1997; Fotheringham 2000; Johnston y Pattie 2001; O’Sullivan y Unwin 2003: 28-34)” (Reynoso 2010: 86-87)

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Imagen 1: El tipo de escala de la observación condiciona las conclusiones a obtener

Dependiendo de la escala de análisis, la estructura de un conjunto de puntos puede ser distinta. En el gráfico a la estructura es irregular, y en el b regular.1

Las cuestiones de escala impregnan también la medición de distancias, como puede verse en el siguiente gráfico que compara la misma distancia considerada con dos unidades de medida distintas:

Imagen 2: El tipo de unidad de medición condiciona el resultado

El truco es que la unidad utilizada en A mide el doble que la que se utiliza en B, pero la relación entre ambas mediciones no es esa, ya que en A contamos 7 segmentos y en B llegamos a 17.En este terreno, la denominada “falacia ecológica” obedece al efecto de la trasposición de los valores de una unidad de área a individuos de la población que existe en dicha área. Solo en el caso en que se verifique una absoluta homogeneidad en estos valores en toda el área esto sería cierto. Por ejemplo, trasladar las conclusiones del análisis de ocupación del espacio de la imagen 1.a a la imagen 1.b sería incurrir en una falacia de este tipo.

1 http://volaya.github.io/libro-sig/chapters/Analisis_espacial.html

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1.2 La falacia de autocorrelación espacial

Otra falacia usual en el estudio del espacio es no considerar las implicancias de la Primera Ley Geográfica de Tobler que establece que: «todo está relacionado con todo, pero las cosas próximas entre sí están más relacionadas que las distantes».Como sostiene Olaya:

“Supóngase que se estudian una serie de poblaciones cercanas en las cuales se mide el porcentaje de personas afectadas por una determinada enfermedad infecciosa. Cabe esperar que, puesto que los habitantes de esas poblaciones están relacionados entre sí de diversas formas, la distribución de los valores recogidos obedezca en parte a la existencia de dichas relaciones. Por ejemplo, si en una población contraen la enfermedad un número dado de habitantes, es más factible que estos puedan contagiar a los de las poblaciones cercanas que a los de otros núcleos más alejados.Por lo anterior, es probable que alrededor de una población con muchos casos de la enfermedad haya otras también con un elevado número de afectados, mientras que una población con pocos casos esté rodeada de otras también con escasa afección. Un comportamiento similar lo encontraríamos si midiéramos la concentración de un tóxico en distintos puntos de un embalse, ya que alrededor de un punto de alta concentración no parece lógico esperar concentraciones bajas.” (Olaya 2014: 245)

La autocorrelación espacial da cuenta de una correlación de la variable consigo misma, en la medida en que, en un área específica, es más probable encontrar valores similares de esa misma variable. Sin embargo, la autocorrelación puede tener diferentes valores y eso puede habilitar diferentes estrategias de análisis:

“En el caso de la enfermedad infecciosa o la concentración del producto tóxico, los valores altos suelen tener en su entorno valores también altos, y de modo similar sucede para valores bajos. Se dice que existe una autocorrelación espacial positiva. Puede, no obstante, existir una autocorrelación espacial negativa, si los valores altos se rodean de valores bajos y viceversa.En caso de no existir ningún tipo de autocorrelación espacial, se tiene que los datos recogidos en una serie de puntos son independientes entre sí y no se afectan mutuamente, sí que tenga influencia de la distancia.” (Olaya 2014: 246)

Aquí podemos visualizar tres diferentes tipos de autocorrelaciones en tres figuras sucesivas:

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Imagen 3: Tipos de autocorrelación espacial: a) Positiva b) Negativa c) Ausente

De nuevo, el problema de la escala incide en el procesamiento de esta información, y un cambio de escala puede hacer que el signo de la autocorrelación cambie si se varía correlativamente la escala:

“Sea un monte en el que los árboles grandes están separados una distancia dadapor el efecto de la competencia, y entre los cuales crecen los árboles más pequeños.Supongamos que la distancia media entre árboles grandes es de unos 20 metros. Sihacemos un muestreo en el que medimos la altura media de los árboles en parcelasseparadas aproximadamente cada 10 metros, es probable que midamos alternamente una parcela con un árbol grande y una con algunos pequeños, de forma que tendremos una marcada autocorrelación espacial negativa. Si por el contrario medimos parcelas de un metro de radio separadas a su vez un metro, mediremos muchas parcelas cercanas en las que solo entrarán árboles pequeños que se agrupan bajo los grandes, de tal forma que la autocorrelación espacial que obtendremos será positiva.” (Olaya 2014: 247)

Ahora bien, con mencionar la problematicidad de la escala la cuestión no se liquida y sigue pendiente de resolución. En los estudios espaciales, la homogeneidad sigue siendo la regla más que la excepción:

“La unidad de medida más usada, por ejemplo, es la densidad; ésta indica la distribución media de la población en un espacio dado, presuponiendo que todo en dicho espacio es proporcional y que todos los espacios son estructuralmente idénticos. Las limitaciones de este enfoque son bien conocidas: la densidad se presenta alta si se escoge una pequeña unidad administrativa pero desciende si se considera un área más grande. El valor obtenido para la densidad es por lo tanto dependiente de la superficie de referencia, y por ende de la escala con la cual se opera; entre las distintas escalas que se usan no hay proporción alguna, por lo que es imposible moverse de una a la otra.” (Reynoso 2010: 90)

Nuevamente, los problemas de escala y la asunción arbitraria de que ella no es relevante generan diferencias de apreciación que demandan al menos aclarar, en la obtención de cada resultado, cuál es la unidad de medida que se ha adoptado para producirlo. Paradójicamente, las técnicas de remote sensing, que aumentan la calidad de las datos reportados y que también trabajan en base a la lógica de los problemas inversos ya descriptos, de algún modo “empeoran” las taxonomías

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existentes, al modificar el pintado de los elementos básicos de cualquier composición de imágenes y cuestionar el resultado de los procesos de agregación de color implicados:

“La explicación es que la mejor resolución reduce el número de píxels mixtos, los cuales contribuirían a afinar la clasificación; también aumenta el número de la variación en el interior de las clases, lo cual contribuye a violar los supuestos de no pocos clasificadores estadísticos, como el de máxima probabilidad [maximum likelihood ] (Zhou 2006: 2)”. (Reynoso 2010:91)

La solución a este problema, el de la escala óptima para estimar las propiedades del espacio, de cualquier espacio, no es trivial e implica la inmersión en los dominios de la fractalidad:

“Cuando Benoît Mandelbrot se lanzó a buscar soluciones para una pregunta clásica formulada por el meteorólogo inglés Lewis Fry Richardson (¿cuánto mide la costa de Gran Bretaña?) volvió a encontrar que la medida depende de la relación entre las convoluciones de la línea de costa y la sensibilidad de la regla usada para la medición.44 Cuando la regla es de mayor sensibilidad la longitud que se obtiene es más larga y también la inversa; es fácil entender por qué. Richardson había descubierto además que la variación de la longitud que resulta de cambiar el tamaño de la regla linealmente a ½, ¼, 1/8, 1/16 no es lineal. Si se aumenta la resolución al doble, la longitud no aumentará en la misma proporción; puede que se incremente.” (Reynoso 2010:91)

A medida que se reduce la regla con la cual se mide, la longitud medida es mayor, lo cual se sintetiza en una medida como la anfractuosidad. Los objetos naturales, como las nubes o las montañas, no tienen dimensiones enteras sino fraccionarias en función de su irregularidad.

Imagen 4: Medición fractal de costas de distintos países

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En la figura, en el caso del círculo perfecto, la medida de su circunferencia es la misma aunque se usen diferentes reglas para medirlo. En el caso de la costa de Gran Bretaña, en cambio, cuanto más chico es el instrumento para medirla mayor es su longitud. El resto de las costas tienen una fractalidad menor que Gran Bretaña pero mayor que la del círculo.

2. Algunos conceptos y referencias del Análisis de la Dimensión Fractal

2.1 Análisis de frecuencias basados en transformadas de Fourier y Wavelets:

Como señala Reynoso: “El análisis que abordaremos a continuación deriva de las ideas de Joseph Fourier [1768-1830] y particularmente las que llevaron a la invención de lo que se conoce como transformada de Fourier, uno de los métodos más usados del llamado análisis espectral hasta los años ochenta. En la base de esta analítica subyace el descubrimiento de que toda señal periódica compleja es susceptible de ser transformada en una sucesión de senos y cosenos simples. Gran parte de las tecnologías de nuestro tiempo, desde la sintonía de los aparatos de radio hasta el tratamiento de imágenes, se basa en consecuencias y generalizaciones de esa brillante intuición.” (Reynoso 2010: 95)

Básicamente, al descomponer un proceso en distintas etapas temporales, una transformación “es particularmente apropiada para tratar los hechos de la vida real, dado que es capaz de diferenciar estacionalidades de distinta escala, de revelar quiebras estructurales y conglomerados de volatilidad, identificando propiedades dinámicas locales y globales a diferentes escalas de tiempo” (Reynoso 2010: 96)

El análisis de wavelets u ondículas, en cambio “ha surgido como una impetuosa corriente transdisciplinaria desde comienzos de los noventa y se ha convertido acaso en el método de análisis de datos por descomposición de tiempo/frecuencia de mayor desarrollo; otros métodos de tiempo-frecuencia también se han tornado populares: la transformada de Fourier de corta duración [STFT], los wavelet packets, el matching pursuit method [MP]), etcétera; pero el análisis por ondículas significa mucho más que el uso de una transformada o base en particular. Por empezar, los métodos son mucho más radicales y eficientes que en el análisis clásico de Fourier y el número de coeficientes requeridos es asimismo mucho menor. Algo del impulso de estos métodos ha estado a la sombra del análisis fractal, a pesar que éste comparativamente se ha elaborado mucho menos; pero una parte sustancial ha disfrutado de vida autónoma y más alto prestigio entre los especialistas de lo que los fractales gozaron jamás.”

Básicamente, el método de ondículas opera comparando fenómenos específicos, representados como series de datos, con distintos patrones de ondas para descubrir cuál es un régimen local aproximado de desempeño. En la medida en que la señal coincide en un valor alto con los patrones modelo, generando un valor alto de transformada como resultado, se busca aplicar esta comparación a otras regiones de la señal.

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Imagen 5: Distintos tipos de ondículas

2.2 Modelos de agregación en estudios urbanos

La aplicación de la geometría fractal al estudio de las ciudades no sería lo que es de no haber sido por el hoy clásico Fractal cities de Michael Batty y Paul Longley (1994) Aunque la tecnología que ellos despliegan en ese texto (con su MicroVax, sus monitores en modo carácter y sus cientos de horas de procesamiento) hoy luce superada, el texto sigue siendo una soberbia introducción a los fractales y a las razones que hacen a su uso científico en las ciencias humanas. Con claridad, los estudiosos demuestran con un despliegue de virtuosismo que no son unos advenedizos a la metodología del análisis y el diseño urbano que se han entusiasmado de pronto con la novedad del día, sino que dominan los modelos convencionales hasta la exhaución. Esto configura un valor agregado para su propuesta, que no por nada es y habrá de ser por algunas décadas más, malogrado sus pantallas pixeladas y la exaltada fealdad de sus cuadros de texto, el horizonte de referencia en este escenario.Más allá de las discusiones previsibles sobre las distribuciones de ley de potencia y sus relaciones con la DF, una de las observaciones más agudas tiene que ver con la puesta en dinámica del análisis geométrico. En efecto, Batty y Longley identifican la pauta de crecimiento de las plantas urbanas con el proceso fractal de agregación limitada por difusión [diffusion-limited aggregation, DLA]

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Imagen 6: Proceso de agregación limitada por difusión en la ciudad de Cardiff

¿Cómo opera este método de agregación?

“El procedimiento genera estructuras altamente ramificadas y autosimilares a partir de un punto fijo, centro de nucleamiento o partícula-simiente, o de un grupo de puntos si así se quiere. Se comienza con una o más partículasiniciales. Se define luego un área en torno de ella entre unas 100 y unas 500 veces más grande. Desde arriba o desde cualquier otro punto del borde del área se van soltando otras partículas que se mueven en el espacio circundante mediante un camino al azar o movimiento browniano. Esta es la parte de “difusión” del algoritmo. Si la partícula abandona el campo de interés se lanza otra; de no ser así, cuando la partícula está suficientemente cerca de la simiente o del agregado que se ha formado previamente, se satisface una condición de adhesión o agregado. La partícula se agrega al conglomerado con una cierta probabilidad. Luego se suelta una nueva partícula y se repite el ciclo” (Reynoso 2010:106)

A pesar de sus grandes méritos, ciertas predicciones del modelo a veces fallan:los datos cuantitativos a veces no soportan estrictamente el modelo de DLA. Éste establece, por ejemplo, que la densidad de población urbana p(r) a medida que uno se aleja del centro decrece en función de una ley de potencia:

p(r) ~ r D-2

donde r es la distancia radial del núcleo y D1,7 es la dimensión fractal de la DLA. Sin embargo, los datos urbanos encajan mejor con una caída exponencial (Makse y otros 1998). En estudios urbanos la distribución exponencial se conoce como la ley de Clark y la de ley de potencia inversa como la ley de Smeed; la primera describe adecuadamente la caída promedio de la densidad de población en ciudades monocéntricas; la segunda, que presume una

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estructura anisotrópica y ruptura de simetría, expresa no menos eficientemente la peculiar dinámica de las ciudades fractales (Batty y Kim 1992)

Uno de los rasgos característicos de la DLA es la multifractalidad, que es la existencia de una diferente dimensión fractal (DF ) para cada una de las unidades consideradas.Otro aspecto cuestionable de este primer modelo es la suposición de aleatoriedad en el patrón de movimiento de los conglomerados que se adhieren:

“Por otro lado, existen alternativas fractales al movimiento browniano de los caminos al azar, tales como los vuelos de Lévy estudiados en contextos urbanos de gran escala por Bin Jiang, Junjun Yin y Sijian Zhao (2009) y complementados brillantemente por un masivo relevamiento de Barabási y otros (2008). Más asidero tiene, en cambio, la observación de Batty y Longley respecto de que las secuencias de DLA son irreversibles, pero las ciudades pueden sin embargo contraerse.” (Reynoso 2010: 111)

A pesar de todo, no solo la teoría funciona y se puede comprobar que el desarrollo no planificado es predominantemente tentacular, sino que los mismos autores no son fundamentalistas respecto de sus propios supuestos:

“Un aspecto valioso del desarrollo del tratado de Batty y Longley concierne al hecho de que su actitud frente a la DF no es extremista. La consideran un buen indicador de autoorganización: las ciudades planificadas tendrán una estructura ortogonal y por ende una DF menguada, las periferias que se organizan sin control vertical ostentarán una DF más crecida. Pero “el concepto de DF no debe ser interpretado demasiado estrechamente.Estrictamente hablando, esta dimensión sólo existe como un límite matemático (Feder 1968) y su real importancia finca en la identificación de escalas de longitud y auto-similitudes que proporcionan caracterizaciones útiles pero contingentes y dependientes del contexto” (1994: 272). La forma en que ellos separan y articulan los constreñimientos entre la geografía y la geometría física del sistema con las idealidades de los procesos fractales (p. 297) sigue siendo magistral.” (Reynoso 2010: 112)

Como es de esperarse, los modelos DLA también tienen su implementación en NEtLogo, en el que hay 4 modelos programados: DLA, DLA Alternate, DLA Alternate Linear y DLA Simple.

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Imagen 7: Modelo de difusión de agregación limitada (DLA) modelizado en NEtLogo

3. El uso del software y el análisis de la DF

El análisis de la dimensión fractal puede hacerse recurriendo a diversos software entre los cuales recurriremos a HarFa, FracLab y Fractalyse.

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Imagen 8: Interfase de HarFa

La imagen 5 ilustra la interface de HarFA, un programa desarrollado en la Universidad de Tecnología de Brno en la República Checa que despliega análisis armónico por transformada de Fourier, análisis de wavelet y análisis fractal (cf. pág. 109). Incluye también diversas técnicas de reconocimiento de bordes, eliminación de márgenes y diversas opciones de filtrado, entre ellas el eficiente y prestigioso método de Kuwahara, un filtro atenuador no lineal que preserva los bordes. Es el programa más completo en formatos de entrada, aceptando series temporales en modo texto, música en formato WAV, videos y una amplia variedad de imágenes.

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Imagen 9: Interfase de FracLab

La imagen 5 muestra un ejemplo del mismo análisis corriendo en la interface del programa FracLab, un software que está siendo programado en Inria; antiguamente se lo implementó como componente de MatLab, pero ahora se puede correr independientemente. Su valor distintivo radica en un conjunto de opciones de simulación parametrizables tanto estocásticas como deterministas.El valor pedagógico de la herramienta para experimentar diversos aspectos de la algorítmica compleja es incuestionable. En algunos casos, el procedimiento para visualizar las simulaciones es sin embargo un poco tortuoso: primero se debe seleccionar el modo (pongamos por caso, movimiento browniano en dos dimensiones); se define entonces el exponente de Hölder (entre cero y uno) y el tamaño de la matriz; hecho esto, se computa.Por último se visualiza en la ventana de variables. El resultado es similar al de un fractal de plasma.

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Imagen 10: Interfase de Fractalyse

La figura 3.6, finalmente, representa una corrida de Fractalyse, programado por Gilles Vuidel, Pierre Frankhauser y Cécile Tannier (2002). El programa se caracteriza por la posibilidad de analizar regiones de cada imagen junto al análisis de la imagen en su conjunto.Incluye cálculo de box counting, dilación, lagunaridad, multifractalidad, tentacularidad y prestaciones de extracción de bordes. No ofrece en cambio información tabular de las medidas correspondientes a los diversos tamaños de caja. De los programas aquí reseñados es el más fácil de manejar, pero su funcionalidad es algo más limitada.

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Práctica 1

Objetivo: Familiarizarse con las herramientas de análisis de DF y medicionesanálogas. Procedimiento: Procesar una fotografía satelital de dos ciudades definidas(o dos barrios diferentes de la misma ciudad), implementar los filtros adecuados e interpretar la razón de ser de los parecidos y diferencias de sus respectivas dimensiones fractales y multifractales, tanto globales como locales.Software: Utilizar Fractalyse, HarFA o FracLab, en ese orden de preferencia.

Se puede probar, por ejemplo, con tres imágenes con alto contraste y diferente grado aparente de “anfractuosidad” para chequear los resultados

Imagen 11: Figuras con diferente fractalidad aparente para testear dimensión fractal

Práctica 2

Tomando como modelo un patrón de agregación urbano, generar simulacionesde DLA con el módulo de simulación de FracLab con diversas combinacionesde parámetros y medir todas las dimensiones correspondientes, interpretando losresultados en términos comparativos. Tener en cuenta que la generación de un agregado en gran escala puede demandar varias horas de procesamiento.

Dos módulos sumamente expresivos son “Percolation” y “Diffusion Limited Aggregation”

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Imagen 12: Proceso de difusión de agregación limitada (DLA) e imagen en FracLab

Imagen 13: Proceso de percolación con cuatro modelos e imagen en FracLab

4. Bibliografía citada

BARABÁSI, Albert-László, Marta González y César Hidalgo. 2008. “Understanding individual human mobility patterns”. Nature, junio, 435: 779-782.

BATTY, Michael y Kwang Sik Kim. 1992. “Form follows function: reformulating urban population density functions”. Urban Studies, 29(7): 1043-1069.

FEDER, Jens. 1988. Fractals. Nueva York, Plenum Press.

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FOTHERIGHAM, Stewart. 2000. “A bluffer’s guide to ‘A solution to the ecological inference problem’”. Annals of the Association of American Geography, 90(3): 582-586.

GEHLKE, C. E. y K. Biehl. 1934. “Certain effects of grouping upon the size of the correlation coefficient in census tract material”. Journal of the American Statistical Association, 29(185): 169-170.

JIANG, Bin, Junjun Yin y Sijian Zhao. 2009. “Characterizing human mobility patterns over a large street network”. http://arxiv.org/pdf/0809.5001v1.

JOHNSTON, R. J., Derek Gregory y David Smith (compiladores). 1994. The dictionary of human geography. 3a edición, Oxford (UK) y Cambridge (USA), Blackwell.

JOHNSTON, R. J. y C. Pattie. 2001. “On geographers and ecological inference”. Annals of the Association of American Geographers, 91(2): 281-2.

KING, Gary. 1997. A solution to the ecological inference problem: Reconstructing individual behavior from aggregate data. Princeton, Princeton University Press.

MAKSE, Hernán, José Andrade, Michael Batty, Shlomo Havlin y Eugene Stanley. 1998. “Modeling urban growth patterns with correlated percolation”. Physical Review E, 58: 7054-7062. http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/9809431. Consultado en enero de 2010.

OLAYA, V. Sistemas de Información Geográfica. 917pp. Bubok. Madrid, 2012.

OPENSHAW, Stan y P. J. Taylor. 1979. “A million or so correlation coefficients: Three experiments in the modifiable areal unit problem”. En: N. Wrigley (compilador), Statistical Applications in the Spatial Sciences. Londres, Pion, pp. 127-44.

O’SULLIVAN, David y David Unwin. 2003. Geographic information analysis. Hoboken, John Wiley & Sons.

REYNOSO, Carlos. 2010. Análisis y diseño de la ciudad compleja. Perspectivas desde la antropología urbana. Buenos Aires, Editorial Sb.

VUIDEL, Gilles, Pierre Frankhauser y Cécile Tannier. 2002. Fractalyse. Software disponible en http://fractalyse.org.

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