España, Diciembre del 2016

Victoria Dominguez C.I. 16.669.954

Campo Eléctrico

Actividad Nro. 3

Ley de Gauss

UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”SISTEMA DE APRENDIZAJE INTERACTIVOS A DISTANCIA

(SAIA) – CABUDARE

Introducción

La ley de Gauss es útil para la obtención del campo eléctrico producido por distribuciones de carga que posean una alta simetría. Si la distribución de carga es muy simétrica, algunas características del campo como lo es su dirección se pueden dar mediante una simple inspección de la simetría, sin necesidad de realizar cálculo alguno. En estos casos se puede:

a. Seleccionar una superficie gaussiana que esté en consonancia con la simetría de la distribución de carga. 

b. Determinar el flujo de dicha superficie en función del campo eléctrico.  

c. Resolver la Ley de Gauss para obtener el campo.

Una carga eléctrica puntual q (carga de prueba) sufre, en presencia de otra carga q1 (carga fuente), una fuerza electrostática. Si eliminamos la carga de prueba, podemos pensar que el espacio que rodea a la carga fuente ha sufrido algún tipo de perturbación, ya que una carga de prueba situada en ese espacio sufrirá una fuerza.

La perturbación que crea en torno a ella la carga fuente se representa mediante un vector denominado campo eléctrico. La dirección y sentido del vector campo eléctrico en un punto vienen dados por la dirección y sentido de la fuerza que experimentaría una carga positiva colocada en ese punto: si la carga fuente es positiva, el campo eléctrico generado será un vector dirigido hacia afuera (a) y si es negativa, el campo estará dirigido hacia la carga (b):

Campo eléctrico creado en el punto P por una carga de fuente q1 positiva (a) y por una otra negativa (b).

Campo Eléctrico

El campo eléctrico E creado por la carga puntual q1 en un punto cualquiera P se define como:

Campo Eléctrico creado por una carga puntual q.

Donde q1 es la carga creadora del campo (carga fuente), K es la constante electrostática, r es la distancia desde la carga fuente al punto P y ur es un vector unitario que va desde la carga fuente hacia el punto donde se calcula el campo eléctrico (P). El campo eléctrico depende únicamente de la carga fuente (carga creadora del campo) y en el Sistema Internacional se mide en N/C o V/m.

Si en vez de cargas puntuales se tiene de una distribución contínua de carga (un objeto macroscópico cargado), el campo creado se calcula sumando el campo creado por cada elemento diferencial de carga, es decir:

Esta integral, salvo casos concretos, es difícil de calcular. Para hallar el campo creado por distribuciones contínuas de carga resulta más práctico utilizar la Ley de Gauss.

Una vez conocido el campo eléctrico E en un punto P, la fuerza que dicho campo ejerce sobre una carga de prueba q que se sitúe en P será:

Campo Eléctrico creado por una carga puntual q.

Por tanto, si la carga de prueba es positiva, la fuerza que sufre será paralela al campo eléctrico en ese punto, y si es negativa la fuerza será opuesta al campo, independientemente del signo de la carga fuente.

En la siguiente figura se representa una carga fuente q1 positiva (campo eléctrico hacia afuera) y la fuerza que ejerce sobre una carga de prueba q positiva (a) y sobre otra negativa (b):

El campo eléctrico cumple el principio de superposición, por lo que el campo total en un punto es la suma vectorial de los campos eléctricos creados en ese mismo punto por cada una de las cargas fuente.

Fuerza que un campo eléctrico E ejerce sobre una carga de prueba q positiva (a) y sobre otra negativa (b).

El concepto de líneas de campo (o líneas de

fuerza) fue introducido por Michael Faraday (1791-

1867). Son líneas imaginarias que ayudan a visualizar

cómo va variando la dirección del campo eléctrico al

pasar de un punto a otro del espacio. Indican las

trayectorias que seguiría la unidad de carga positiva

si se la abandona libremente, por lo que las líneas de

campo salen de las cargas positivas y llegan a las

cargas negativas:

Líneas de Campo

Las líneas de campo creadas por una carga positiva están dirigidas hacia afuera; coincide con el sentido que tendría la fuerza electrostática sobre otra carga positiva.

Además, el campo eléctrico será un vector tangente a la línea en cualquier punto considerado.

Líneas de Campo

Líneas de campo causadas por una carga positiva y una negativa.

El vector campo eléctrico es tangente a las líneas de campo en cada punto.

Las líneas de campo eléctrico son abiertas; salen siempre de las cargas positivas o del infinito y terminan en el infinito o en las cargas negativas.

El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a dicha carga.

La densidad de líneas de campo en un punto es proporcional al valor del campo eléctrico en dicho punto.

Las líneas de campo no pueden cortarse. De lo contrario en el punto de corte existirían dos vectores campo eléctrico distintos.

A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas están igualmente espaciadas y son radiales, comportándose el sistema como una carga puntual.

Las propiedades de las líneas de campo se pueden resumir en:

El flujo del campo eléctrico se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de masa a través de una superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo.

Flujo de Campo Eléctrico

Como se aprecia en la figura anterior, el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie depende de la orientación de esta última con respecto a las líneas de campo. Por tanto, el flujo del campo eléctrico debe ser definido de tal modo que tenga en cuenta este hecho.

El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias denominadas líneas de campo y, por analogía con el flujo de masa, puede calcularse el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie. Conviene resaltar que en el caso del campo eléctrico no hay nada material que realmente circule a través de dicha superficie.

Una superficie puede ser representada mediante un vector dS de módulo el área de la superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define mediante el producto escalar:

Flujo de Campo Eléctrico

Cuando la superficie es paralela a las líneas de campo (figura (a)), ninguna de ellas atraviesa la superficie y el flujo es por tanto nulo. E y dS son en este caso perpendiculares, y su producto escalar es nulo.

Cuando la superficie se orienta perpendicularmente al campo (figura (d)), el flujo es máximo, como también lo es el producto escalar de E y dS.

El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q contenida dentro de la superficie, dividida por la constante ε0.

La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana.

Viene dada por la expresión:

Ley de Gauss

La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell, y está relacionada con el teorema de la divergencia, conocido también como teorema de Gauss. Fue formulado por Carl Friedrich Gauss en 1835.

Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.

El campo eléctrico creado por un plano infinito cargado puede ser calculado utilizando la ley de Gauss. En la siguiente figura se ha representado un plano infinito cargado con una densidad superficial de carga σ (= q/S) uniforme y positiva. Las líneas de campo siempre salen de las cargas positivas, por lo que el campo creado por el plano será uniforme (ya que la densidad de carga lo es) y sus líneas irán hacia afuera de ambos lados del plano.

Ley de Gauss – Campo creado por un plano infinito

El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es siempre el mismo (ley de Gauss); en este caso, por simplicidad de cálculo, se ha elegido una superficie gaussiana cilíndrica (representada en rojo en la figura).

El flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo (ninguna línea de campo la atraviesa). Las únicas contribuciones no nulas al flujo son las que se producen a través de sus dos bases. El flujo del campo eléctrico a través del cilindro es entonces:

Como las dos bases del cilindro son iguales y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de su superficie, la integral anterior se simplifica, quedando:

Ley de Gauss – Campo creado por un plano infinito

Y q/S es la densidad superficial de carga σ:

El valor del flujo viene dado por la ley de Gauss:

1. Determine el campo E en magnitud y dirección en el centro del cuadrado de la figura. Considere que q =1,0 x 10-2 coul y a = 5,0 x 103 m.

Ejercicios

Solución:

2. Una varilla delgada no conductora se dobla en forma de arco de circunferencia de radio “a” y sustiende un ángulo en el centro del círculo. A lo largo de toda su longitud se distribuye uniformemente una carga total “q”. Encontrar la intensidad del campo eléctrico en el centro de circulo en función de : a , q , .

Ejercicios

Solución:

3. Calcular la magnitud del campo eléctrico en el centro de un anillo de radio R cargado con densidad lineal , al cual se le ha quitado un octavo de su perímetro.

Ejercicios

Solución:

4. Una carga está distribuida uniformemente en un cilindro macizo infinitamente largo de radio R. Demuestre que E a la distancia r del eje del cilindro (r < R) está dada por:

Ejercicios

Solución:

Siendo la densidad de carga volumétrica ( C / m3 ),¿Cuál será el resultado para los puntos donde r > R?

E = ( r / O ) r

5. Una esfera conductora descargada de radio R1 , tiene una cavidad central de radio R2 , en cuyo centro hay una carga puntual q.

a) Encontrar la carga sobre las superficies interna y externa del conductor.

b) Calcular el campo en puntos fuera de la esfera, en el interior de la esfera y en la cavidad.

c) Si la esfera conductora estuviera cargada con una carga Q c ,recalcule lo solicitado en las preguntas anteriores .

Ejercicios

Solución:

ENLACEhttps://www.youtube.com/watch?v=jyit565kgy

Video

El campo eléctrico no cambia en forma abrupta su dirección al pasar por una región del espacio libre de cargas. Así, en una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. En esta región podemos tomar un área pequeña que está orientada perpendicular a las líneas casi paralelas del campo. La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo y éste decrece en función de 1/r . por lo tanto, la relación entre la intensidad del campo y la densidad de las líneas de campo eléctrico es automática si éstas ni se crean ni se destruyen en regiones en las que no haya cargas.

La densidad de las líneas, que determina la magnitud del campo eléctrico, es una densidad por unidades de área.

El campo eléctrico tiene magnitud y dirección definidas en cualquier punto en el espacio.

Conclusión