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UNIVERSIDAD DE PLAYA ANCHA

Vicerrectora Académica

Dirección de Estudios, Innovación Curricular y Desarrollo Docente

PROGRAMA FORMATIVO

CARRERA DE PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA

MÓDULO: Matemática Discreta

CONFORME A ARCHIVO ORIGINAL EN VRA

Timbre de recepción DEIC

Clave y Sigla

Timbre

Vicerrectoría Académica

Amplitud del archivo

Folio

CARRERA Pedagogía en Matemática / Licenciatura en

Educación

NOMBRE DEL

PROGRAMA FORMATIVO CPM 4331 Matemática Discreta

TOTAL DE CRÉDITOS 4 SCT UPLA = 108 Horas Cronológicas Semestrales Presencialidad (41,67%)

45 horas semestrales,

2 períodos semanales (2,5 hrs)

No presencialidad (58,33%)

63 horas semestrales

UNIDAD RESPONSABLE

DOCENTE RESPONSABLE Eduardo Cabrera de Arrizabalaga

DATOS DE CONTACTO

CORREO ELECTRÓNICO [email protected]

TELÉFONO

COMPLEJIDAD ACTUAL Y FUTURA DE LA DISCIPLINA (JUSTIFICACIÓN)

Es un curso teórico y de aplicación, destinado a alumnos y alumnas de Pedagogía en

Matemática, que deberá permitir a estos el desarrollo de competencias teóricas y de

aplicación en los tópicos relativos a: relaciones, correspondencia biunívoca entre

conjuntos, conjuntos ordenados, retículos, álgebra booleana, teoría de grafos y

algoritmos de optimización en grafos.

Este curso desarrolla una base conceptual de modo que a los y las estudiantes les permita

desarrollar un nivel de competencias disciplinares matemáticas de mayor complejidad,

reconociendo que este desarrollo le permiten resolver situaciones de problemas en

contextos diversos y generar procesos de aprendizaje coherentes con el perfil de egreso.

Este curso, además, entrega la suficiente información teórica sobre los tópicos

mencionados, que permita a los y las estudiantes emprender sus actividades

profesionales eficientemente y con un compromiso de investigación y perfeccionamiento

permanente.

UNIDAD COMPETENCIA GENERAL

Al finalizar –exitosamente- este curso los y las estudiantes estarán habilitados para

aplicar, argumentar y validar las estructuras discretas que subyacen en la matemática

enmarcada en los tópicos antes señalados de acuerdo a los Estándares Orientadores para

Carreras de Pedagogía en el área de Matemática.

N° SUB UNIDADES DE COMPETENCIA

1 Fortalecen el conocimiento y aplicación del vocabulario básico referente a

Correspondencia biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos,

Algebra booleana, Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en Grafos.

2 Comprenden y valoran los procesos relativos a los tópicos de Correspondencia

biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana,

Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en Grafos.

3 Resuelven situaciones aplicando los tópicos de Correspondencia biunívoca entre

conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana, Teoría de grafos y

Algoritmos de Optimización en grafos a situaciones teórico-prácticas

preestablecidas.

4 Argumentan y demuestran si un aserto dado sobre los tópicos de Correspondencia

biunívoca entre conjuntos, Conjuntos ordenados, Retículos, Algebra booleana,

Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización en grafos es o no tautología.

5 Fortalece una actitud positiva y propositiva frente a la aplicabilidad del

conocimiento matemático asociado a las estructuras discretas.

Unidades de Aprendizaje (Saberes)

Fecha I) Correspondencia Biunívoca entre conjuntos

Semana 1 1. Relación binaria

Concepto, ejemplos. Propiedades de una relación, caracterización de

una relación.

Semana 2 2. Función (o aplicación).

Concepto, ejemplos. Propiedades fundamentales. Relación entre

conjunto imagen directa, conjunto imagen recíproca.

Semana 3 3. Correspondencia biunívoca entre conjuntos,

Conjuntos equipotentes. Conjuntos finitos e infinitos. Propiedades.

Conjuntos numerables y a lo sumo numerables (contables).

Unión finita y unión numerable. Propiedades.

Fecha II) Conjuntos Ordenados y Algebra Booleana

Semana 4 II.1) Conjuntos Ordenados

1. Relación de orden

2. Representación de una relación de orden

2.1 Grafo dirigido o dígrafo

2.2 Diagrama de Hasse

Semana 5 3. Conjunto ordenado

3.1 Orden inverso o dual

3.2 Orden Producto

3.3 Orden Lexicográfico

3.4 Relación conexa

Semana 6

4. Conjunto totalmente ordenado

5. Elementos característicos de un conjunto ordenado

6. Conjunto ordenado acotado

Semana 7

II.2) Retículos

1. Retículo

2. Retículo inverso o dual

3. Retículo producto

4. Definición algebraica de retículo

5. Propiedades de los retículos

Semana 8

6. Subretículo

7. Homomorfismo de retículos

8. Monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo de retículo

9. Retículo acotado

10. Propiedades de retículo acotado

11. Retículo distributivo

12. Retículo complementario

Semana 9 Evaluación 1

Semana 9 II.3) Álgebra de Boole

1. Álgebra de Boole

2. Propiedades del Algebra de Boole

3. Proposiciones fundamentales del álgebra de Boole

4. Conjunto de átomos de un álgebra de Boole

5. Conjunto de súper-átomos de un álgebra de Boole

Semana 10 6. Las álgebras de Boole [0,1]𝑛

II.4) Funciones Booleanas

1. Funciones Booleanas

2. Representación de una función Booleana

2.1 Tabla de verdad

2.2 Expresiones Booleanas.

2.2.1 Forma normal disyuntiva (f.n.d)

2.2.2. Forma normal conjuntiva (f.n.c)

Semana 11 3. Diagramas Lógicos

4 Simplificación de expresiones Booleanas

4.1 Simplificación de expresiones booleanas mediante leyes del

álgebra de Boole.

Semana 12

4.2 Simplificación de expresiones Booleanas por Mapas de

Karnaugh

i. Mapa de Karnaugh de dos, tres y cuatro

variables.

ii. Mapa de Karnaugh de cinco o más variables.

4.3 Método de simplificación de expresiones Booleanas

mediante el algoritmo de Quine-McCluskey.

5 Aplicaciones del álgebra Booleana

Semana 13 Evaluación 2

Semana13 III) Teoría de grafos y Algoritmos de Optimización.

1. Grafos. Elementos de un grafo. Definición, ejemplos.

2. Grafos y subgrafos: grafo completo, bipartidos, n-partido, n-

partido completo. Complementarios. Matriz de adyacencia y

matriz de incidencia.

3. Operaciones entre grafos: unión, suma, producto cartesiano,

producto lexicográfico (composición), sustitución.

Semana 14 4. Realización de un grafo. Sucesión de grados, Teo de Havel-

Hakimi, Teo de Erdos y Gallai.

5. Homeomorfismo e Isomorfismo de grafos. Subgrafos inducidos;

por vértices, por líneas. Subgrafo gererador.

6. Distacia en grafo (simples y pesados), excentricidad de vértice,

radio de un grafo, diámetro y centro de un grafo.

Semana 15 7. Digrafos, multigrafos y grafos pesados.

Caminos, trayectorias y circuitos: eulerianos (algoritmo de Fleury),

hamiltonianos.

Caminos más cortos en grafos ponderados (pesados). Algoritmo de

Dijkstra. Problema del vendedor viajero.

Grafos planares, grafos planos. Teorema de Kuratowski.

Semana 16 Árboles. Definiciones, propiedades y ejemplos.

Árboles enraizados y su longitud de caminos.

Árboles pesados y prefijos codificados.

Árboles generados y conjuntos de corte.

Árboles generadores mínimos. Algoritmos de Kruskal y Prim.

Redes de transporte. Teorema del flujo máximo-corte mínimo

Semana 17 Síntesis y Evaluación 3

Semana 18 Síntesis, pruebas pendientes, examen final

Competencias I

Competencias Indicadores

Conocimiento y comprensión de los

fundamentos teóricos que sustentan la

correspondencia entre conjuntos

Clasifican las relaciones binarias según sus

características

Demuestran o refutan que una relación

binaria es o no aplicación

Empleo de diagramas para visualizar

definiciones, proposiciones y

propiedades referentes


Emplean pseudodigrafos y diagramas para

representar una relación.

Reconocen y distinguen los elementos

característicos de una relación y en especial

de una aplicación.

Discriminan si una relación entre

conjuntos es biunívoca o no basándose en su

definición y de manera visual utilizando

esquemas afines.

Habilidad para trabajar de forma

autónoma en la resolución de

ejercicios que involucren los

conceptos asociados a


Aplican teoremas, definiciones y

proposiciones en la resolución de ejercicios

como en la argumentación para demostrar

asertos dados.

Utilizan de manera precisa la terminología

matemática en la expresión escrita.

Competencias II.1

Competencias Indicadores


fundamentos teóricos que sustentan

los conjuntos ordenados.

Demuestran o refutan que una dupla

ordenada formada por un conjunto y una

relación definida en él, es un conjunto

ordenado.

Clasifican los conjuntos ordenados en

parcialmente ordenados y totalmente

ordenados.



propiedades referentes a los conjuntos

ordenados.

Emplean pseudodigrafos y diagramas de

Hasse para representar conjuntos ordenados.

Reconocen y distinguen los elementos

característicos de los conjuntos ordenados en

base a su definición y de manera visual

utilizando su representación en diagramas de

Hasse.

Discriminan si un conjunto ordenado es

acotado, acotado superiormente, acotado

inferiormente o no es acotado basándose en su

definición y de manera visual utilizando su

representación en diagrama de Hasse.




conceptos asociados a conjuntos

ordenados.

Aplican teoremas, definiciones y

proposiciones en la resolución de ejercicios.



Competencias II.2

Competencia Indicadores


fundamentos teóricos que sustentan

los retículos.

Usan las definiciones 1 y 2 de retículo.

Demuestran que ciertos conjuntos

ordenados son retículos.

Demuestran las propiedades de retículos.

Utilizan la definición de Homomorfismo

de retículos.

Definen monomorfismo, epimorfismo e

isomorfismo de retículo.

Discriminan si un Retículo es acotado y

demuestran sus propiedades.

Identifican los retículos distributivos

utilizando diferentes criterios y las

propiedades distributivas.

Identifican los retículos complementarios y

sus características.



propiedades referentes a los retículos.

Utilizan diagramas de Hasse para

visualizar las definiciones, proposiciones y

propiedades referentes a los retículos.

Esquematizan los monomorfismos,

epimorfismos e isomorfismos de retículo.




conceptos asociados a los retículos.

Crean, analizan y usan diferentes

estrategias y modelos para solucionar

problemas sobre homomorfismo de retículos.



Competencias II.3



fundamentos teóricos que sustentan el

álgebra Booleana.

Demuestran que ciertos retículos son

álgebras de Boole.

Comprenden las proposiciones

fundamentales del álgebra Booleana para

determinar si un conjunto ordenado es un

álgebra de Boole.

Utilizan las proposiciones

fundamentales del álgebra Booleana para

determinar si un conjunto ordenado es un

álgebra de Boole.

Demuestran las propiedades del álgebra

Booleana.



propiedades referentes al álgebra de

Boole.

Utilizan diagramas de Hasse para

visualizar las definiciones, proposiciones y

propiedades del álgebra Booleana.

Esquematizan la isomorfía de álgebras

Booleanas.


autónoma en la resolución de ejercicios

que involucren los conceptos asociados

al álgebra Booleana.

Aplican teoremas, definiciones,

proposiciones y propiedades del álgebra

Booleana en la resolución de ejercicios.

Crean y usan diferentes estrategias y

modelos para solucionar problemas sobre

el álgebra de Boole.

Analizan y usan diferentes estrategias y

modelos para solucionar problemas sobre

el álgebra de Boole.

Utilizan precisamente la terminología


Competencias II.4


Conocimiento y comprensión

de los fundamentos teóricos

que sustentan las funciones

Booleanas.

Determinan funciones Booleanas a partir de su

definición y reconocen la relación con el álgebra de

booleana.

Conocimiento y comprensión

de las formas de representar

una función Booleana.

Representan funciones Booleanas a través de

tablas de verdad.

Representan funciones Booleanas mediante

expresiones Booleanas.

Comprensión y empleo del

concepto de expresión

booleana.

Determinan la forma normal disyuntiva de una

expresión Booleana.

Determinan la forma normal conjuntiva de una

expresión Booleana.

Representan expresiones Booleanas mediante

diagramas lógicos.

Empleo de distintos métodos

de simplificación de

expresiones Booleanas.

Simplifican expresiones Booleanas mediante

leyes de álgebra de Boole.

Simplifican expresiones Booleanas mediante

mapas de Karnaugh.

Simplifican expresiones Booleanas utilizando el

método de Quine-McKluskey.

Habilidad para trabajar de

forma autónoma en la

resolución de ejercicios que

involucren los conceptos

asociados las funciones

Booleanas.

Aplican teoremas, definiciones, proposiciones y

propiedades del álgebra Booleana en la resolución

de ejercicios asociados a las funciones Booleanas.

Crean, analizan y usan diferentes estrategias y

modelos para solucionar problemas sobre funciones

booleanas.



Competencias II.5


Aplicación y relación de los

conocimientos matemáticos

asociados al álgebra Booleana

con otras áreas del saber,

como por ejemplo la

computación y la electrónica.

Diseñan circuitos lógicos que permitan simular

situaciones reales.

Implementan en un software diferentes circuitos

lógicos para visualizar su funcionamiento.

Implementan en una protoboard los circuitos

lógicos utilizando diferentes componentes

electrónicos.

Competencias III


Conocimiento y comprensión de

los fundamentos teóricos que

sustentan los Grafos y Digrafos

Determinan los elementos de un grafo y sus

relaciones a partir de su definición y reconocen la

relación de ellos.

Conocimiento y comprensión de

las formas de representar y operar

grafos.

Representan grafos asociados a la operación

entre ellos (unión, suma, producto, sustitución)..

Representan la matriz de adyacencia y de

incidencia de un grafo


concepto de Homeomorfismo e

Isomorfismo de grafos.

Determinan la relación (morfismo) existente

entre grafos.

Determinan susbgrafos inducidos y subgrafo

generado..


concepto de la Realización de un

grafo.

.

Caracterizan la sucesión de grados de un grafo.

Determinan si la sucesión es realizable en un

grafo o familia de grafos.

Aplican el Teorema de Havel-Hakimi para la

realización de un grafo




conceptos asociados a la teoría de

grafos.

Aplican teoremas, definiciones, proposiciones

y propiedades en la determinación de elementos

característicos de un grafo (excentricidad, radio,

diámetro, centro de un grafo)

Crean, analizan y usan diferentes estrategias y

modelos para determinar grafos Eulerianos y

grafos Hamiltonianos



Aplicación y relación de los

conocimientos matemáticos

asociados a la optimización en

grafo vía algoritmos, en grafos y

dígrafos.

Determinan caminos, trayectorias y circuitos .

Describen grafos planares y grafos planos vía

teorema de Kuratowski.

Determinan, vía algoritmo de Dijkstra,

caminos más cortos en grafos ponderados

(pesados).

Determinan, vía algoritmo de Kruskal y de

Prim, árboles generadores mínimos.

Bibliografía

Básica:

Abellanas, M., Lodares, D.

Matemática Discreta.

Editorial Macrobit Editores, Mexico, 1991.

Ross, Kenneth A.

Wright, Charlesm R.B.

Matemáticas Discretas.

Editorial Prentice-Hall Hispanoamérica, S. A., México, 1990.

Chartrand, G. & Lesniak, L.

Graphs and Digraphs.

Ed. Chapman and Hall. 3ª Edition, 1996.

Complementaria:

Brown, John W., Sherbert, Donald R.

Methods of Finite Mathematics.

Editorial John Wiley & Sons, Inc., U.S.A., 1989.

Grimaldi, Ralph P.

Matemáticas Discreta y Combinatoria.

Addison-Wesley Iberoamérica, México,1989.

Liu, C. L.

Elementos de Matemáticas Discretas. McGraw-Hill, segunda edición, México, 1995.

Mizrahi, Abe. & Sullivan, Michael.

Matemáticas Finitas - aplicaciones en ciencias sociales y administrativas. Editorial Limusa, México, 1978.

Johnsonbaugh, Richard.

Matemáticas Discretas.

Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1988.

Robledo, Alamiro.

Lecciones de Álgebra Elemental Moderna.

Editorial Universitaria S. A., Tomo I, Santiago, 1971.

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