vibraciones_cta_2014-2015_pe_2015-07-01
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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
VIBRACIONES 01/07/2015
Nombre:
Apellidos:
Tiempo 50 minutos
Problema #1 El sistema de la figura representa un modelo de la suspensión de un automóvil de dos grados de libertad. La masa Mv representa la masa equivalente del vehículo y la masa mn la equivalente del neumático. La rigidez y amortiguamiento viscoso del sistema de suspensión es Ks y Fs respectivamente y los del neumático Kn y Fn. Ambos amortiguamientos son menores que el crítico y el sistema se supone que puede desplazarse únicamente en la dirección vertical. La rugosidad del asfalto se toma como una amplitud vertical de valor r(t) en el punto de contacto. Para este sistema se pide:
1. Ecuaciones que describen los pequeños movimientos del sistema. (2 puntos)
2. Utilizando la matriz de transferencia [H(iΩ)] obtener la respuesta del sistema a una excitación armónica de frecuencia Ω. Para simplificar la notación denomine como Δ(iΩ) al determinante de la matriz de coeficientes. (3 puntos)
3. Determine la ecuación característica que permite obtener las frecuencias propias y los coeficientes de amortiguamiento del sistema en función de los
parámetros siguientes: , , , ,
. (2.5 puntos)
4. En el caso de que 42.2 , 5.2 , 0.4736, 0.012 ,
10 la ecuación característica se puede aproximar por una cuadrática. Determine en este caso la velocidad V a la que la amplitud del movimiento de la masa Mv es máxima cuando el asfalto es ondulado con una longitud de onda de 20 m. (2.5 puntos)
Mv
mn
Ks
Kn
Fs
Fn
V
SOLUCIÓN PROBLEMA #1
1. La energía cinética del sistema vale . La energía potencial
del sistema es . La función de disipación
vale . Aplicando las ecuaciones de Lagrange
se obtiene: 0
00
(2 puntos) 2. La matriz de transferencia del sistema vale
ΩΩ Ω Ω
Ω Ω Ω, llamando
Δ Ω al determinante de la matriz se obtiene
Ω1
Δ ΩΩ Ω Ω
Ω Ω Ω,
La respuesta del sistema a una excitación armónica en la irregularidad del pavimento vale entonces
Ω ΩΩ Ω Ω
(3 puntos)
3. La ecuación de las frecuencias propias se obtiene de la condición Δ Ω 0.
Desarrollando el determinante y dividiendo el resultado por y usando la notación que se define en el apartado se obtiene la ecuación
Ω2Ω
1Ω
1 41
2 1 0 (2.5 puntos)
4. Sustituyendo en la expresión anterior los valores numéricos se obtiene la
ecuación característica Ω
0.01518 2Ω
0.06036Ω
1.25463 2Ω0.07036 1 0
Despreciando los términos más pequeños la ecuación característica queda como
1.25463 1 y resolviendo se obtiene que en este caso la frecuencia propia vale
Ω 4.64243 / . La frecuencia de excitación por un asfalto ondulado de
longitud de onda y viajando a una velocidad V vale Ω , por lo tanto la
velocidad a la que el vehículo entra en resonancia y como consecuencia la amplitud del movimiento es máxima es 14.78 / . (2.5 puntos)
Nom
Ape
Prob
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VIBRACION
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EL ESPACIO
01/07/2015
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SOLUCIÓN PROBLEMA #2 1. Tomando las coordenadas absolutas y las energías cinética y potencial son
12
126
12
126
En forma matricial ante cargas externas son
00 6 11
(2 puntos)
2. La ecuación característica del sistema que determina las frecuencias propias es:
11 60 →
176
106
0
Cuyas soluciones son las frecuencias propias del sistema: y 2
Los modos propios no normalizados son 61 y
11 respectivamente.
La matriz modal una vez normalizados con la matriz de inercia resulta
Φ
6
√42
1
√71
√42
1
√7
(2 puntos)
3. Las ecuaciones del sistema en el espacio modal son
56
6
√42sin Ω
21
√7sin Ω
con condiciones iniciales nulas ya que 0 Φ 0 00 y 0
Φ 0 00.
La solución de cada modo será de la forma
cos sin
Así, los modos propios del sistema resultan:
6
√42
1Ω
sin ΩΩsin
1
√7
1Ω
sin ΩΩsin
El movimiento del motor es
1
√42
1
√7
71Ω
sin ΩΩsin
1Ω
sin ΩΩsin
(2.5 puntos)
4. En este caso la respuesta libre del sistema vendrá determinado por la respuesta homogénea de las ecuaciones modales aunque el sistema se puede plantear directamente mediante el teorema de expansión como:
cos sin 61
cos sin 11
00
61
11
11→ 6 1
1 111
→
12757
00
61
11
00
→ 6 11 1
00
→00
Por lo que el movimiento del sistema tras el fallo será:
727
cos57
cos
127
cos57
cos
(2.5 puntos)
5. Con la instalación del ensayo de fatiga se puede realizar un ensayo estático aplicando una carga P en la punta de ala y obtener el desplazamiento de la punta de ala y del motor . Por lo tanto es posible determinar el equilibrio estático del sistema que en general será:
P0
De este equilibrio pueden obtenerse el valor de las rigideces:
→
De la segunda ecuación, o del equilibrio de la sección entre el motor y el encastre se obtiene
(1 punto)