VIBRACIONES Y ONDAS

Robert Hooke1635 - 1703 Cristiaan Huygens

1629 - 1695

Alexander Graham Bell1847 - 1922

Willebrord Snell (1591-1626

1.MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

1.1 Características generales

Antes de nada veamos una serie de definiciones necesarias en el estudio de este movimiento: Movimiento periódico: Un movimiento se dice periódicocuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variablesdel movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman elmismo valor.Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos enlos que la distancia del móvil al centro, pasaalternativamente por un valor máximo y un mínimo.Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio, detrayectoria rectilínea que tiene su origen en el punto medio,de forma que las separaciones a ambos lados, llamadasamplitudes, son iguales.

Movimiento vibratorio armónico simple (M.A.S.): es unmovimiento vibratorio con aceleración variable, producidopor una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separade su posición de equilibrio.Un resorte cuando lo separamos de su posición deequilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere unmovimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerzarecuperadora de ese resorte es la que genera unaaceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.

Observando el movimiento del resorte, vemos que sedesplaza entre dos puntos, desde la máximacompresión hasta la máxima elongación, pasando porun punto medio, de equilibrio.La distancia desde el punto medio a cualquiera de losextremos la llamamos amplitud y la representamospor A.

La posición que ocupa la bola roja en cada momento conrespecto al punto central la conocemos como elongación, y.El tiempo en realizar una oscilación completa es el período,representado por T y medido en segundos.La frecuencia es el número de oscilaciones por segundo querealiza y la representamos por f.Es la inversa del período:

Relación entre el M.A.S. y el M.C.U.

:

Cuando tenemos un punto que da vueltas uniformementealrededor de una circunferencia, la proyección sobre uneje (una sola dimensión) de ese punto describe un m.a.s., loque nos va a permitir deducir sus ecuaciones a partir delmovimiento circular (un movimiento auxiliar, bidimensional,que no es armónico simple). Puede verse el ejemplo en lafigura siguiente

El movimiento armónico es el delpunto que vemos moverse sobre eleje vertical (sube y baja). Elmovimiento circular es el de lapartícula que da vueltas alrededorde la circunferencia, aunque es unmovimiento periódico, no es unmovimiento armónico.

Sin embargo, ambos movimientos están directamenterelacionados, puesto que uno genera el otro. Estacircunstancia nos va a permitir encontrar fácilmente unaecuación para el m.a.s., simplemente relacionándolo con elmovimiento circular auxiliar.

La figura , representa lo que hemos visto en el gráficoanimado anterior. En ella pueden verse lo que significacada una de las variables que hemos definido.

Y = elongaciónA = amplitud Φo = fase inicial ω = pulsación Φ = ω.t + Φo fase

Φo. Representa la posición angular de la partícula para t = 0 en el m.c.u. auxiliar. ω. Representa la velocidad angular del m.c.u. auxiliar. Esuna constante del m.a.s.Φ. Representa la posición angular de la partícula, en elm.c.u. auxiliar, para tiempo t.

La elongación de la partícula para un tiempo t viene dadapor el seno del ángulo que nos da la posición de la partículadel m.c.u.

y = A . sen (ω.t + φ0)

Esta expresión recibe el nombre de ecuación general del m.a.s.La elongación es una función periódica del tiempo y elmáximo valor que puede tomar es A (la amplitud), ya queel valor del seno oscila entre los valores +1 y -1.

Relación de la pulsación, ω, con el período, T, y con lafrecuencia, f.Como en un m.c.u. Φ = ω.t, cuando t = T entonces Φ = 2πradianes, entonces: ω = 2π / TComo f = 1/T entonces: ω = 2π.f

1.2 Estudio cinemático, dinámico y energético del M.A.S.

•1.2.1 Magnitudes cinemáticas y ecuaciones:-Posición. Viene dada por la ecuación general:

y = A . sen (ω.t + Φo)

-Velocidad. Mide la variación instantánea de la posición con el tiempo. Su valor es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

v = dy/dt = A.ω cos (ω.t + Φo) donde observamos que la velocidad es también funciónperiódica del tiempo y que, al aparecer un coseno, lavelocidad toma su máximo valor, A.ω, cuando la fase escero. Por otra parte cuando, la partícula se encuentre en losextremos el ángulo de fase es 90º y 270º, la velocidad esnula.

-Aceleración. Mide la variación instantánea de la velocidadcon el tiempo. Su valor es la derivada de la velocidad conrespecto al tiempo.

a = dv/dt = - A.ω2 sen (w.t + Φo) que teniendo en cuenta el valor de la elongación, y, seconvierte en: a = - y.ω2

En un m.a.s. la aceleración es proporcional a laelongación, pero de sentido contrario.Cuando la fase es cero, sen 0º = 0 y por tanto laaceleración es nula. Para valores de 90º y 270º laaceleración es máxima en valor absoluto, los valores son-A.ω2 y +A.ω2 respectivamente.En los tramos en los que la velocidad y la aceleración tienenel mismo signo, el movimiento es acelerado y los que tienensentido contrario el movimiento es decelerado.

- Gráficas cinemáticas del m.a.s.

Como ω = 2π/T, ysuponiendo Φ0 = 0, laecuación del m.a.s. tomala forma:

y = A . Sen (2π/T . t)Dando valores a t: t = 0,t = T/4, t= T/2 … etc. Seobtiene la gráfica Y - t

Procediendo de formasimilar, la ecuación de lavelocidad toma la forma:Y = A.ω . cos (2π/T . t) yobtenemos la gráfica v - t

La ecuación de laaceleración tomaría laforma:a = -A.ω2 . sen (2π/T . t)y obtendríamos larepresentación gráficasituada a la izquierda.

Analizando las gráficas podemos decir que: Las tres magnitudes, y, v y a, varían periódicamente,pues vuelven a tener los mismos valores transcurrido unperíodo ya que como sabemos sen Φ = sen (Φ + 2π) ycos Φ = cos (Φ + 2π). Están desfasadas entre si, pues ni se anulan a la vez nialcanzan sus valores máximos en el mismo instante. Asícuando la elongación es máxima, la velocidad es nula y laaceleración es mínima.

La velocidad está adelantada en un cuarto de períodorespecto a la elongación, y la aceleración está desfasadamedio período respecto a la elongación.

•1.2.2 Dinámica del m.a.s.La ecuación dinámica de este movimiento se obtiene,lógicamente, sustituyendo la ecuación de la aceleración enla ley fundamental de la dinámica.

F = m . a = m . (-ω2 . y) = - m . ω2 . y = - k . yEsta expresión nos dice que la fuerza necesaria paraproducir un m.a.s. , en un cuerpo material, es directamenteproporcional al desplazamiento del cuerpo respecto a suposición de equilibrio, pero de sentido contrario.La constante k se mide en N/m.Cuando se trata de un resorte elástico, en el que secumple la Ley de Hooke, F = ke . Δx.La constante elástica coincide con la del osciladorarmónico: ke = m . ω2

Luego cada oscilador armónico se caracteriza por losvalores de su constante recuperadora, K, y de su masa deoscilación, m. A partir de estos valores pueden calcularse,ω, f y T:

ω =

√k/m T = 2π/ ω = 2π .

√m/k f = ω/ 2π =

√k/m / 2π

•1.2.3 Estudio energético del m.a.s.Un oscilador armónico tiene energía cinética por estar enmovimiento, y energía potencial porque la fuerzarecuperadora, que lo obliga a oscilar armónicamente es unafuerza conservativa. Energía cinética:

Ec = ½ mv2 = ½ k/ω2 . A2 ω2 cos2 (ω t + Φ0) = =½ k A2 cos2 (ω t + Φ0)

La expresión de la energía cinética suele expresarsepreferentemente en función de la posición del cuerpo.

Para ello veamos como es la relación entre la posición y lavelocidad:Y = A sen (ω t + Φ0) y v = A.ω cos (ω.t + Φo) ademásconocemos la expresión trigonométrica sen2Φ + cos2 Φ = 1Elevando al cuadrado las expresiones de Y e v, despejandode ellas los senos y cosenos cuadrados, obtendremos:

Y2 = A2 sen2 (ω t + Φ0) ; v2 = A2. ω2 cos2 (ω.t + Φo) sen2 (ω t + Φ0) = Y2/ A2 ; cos2 (ω.t + Φo) = v2/ A2. ω2

Sustituyendo en la expresión trigonométrica:Y2/ A2 + v2/ A2. ω2 = 1 v2 = ω2 (A2 – y2)

Entonces la expresión de la energía cinética será:Ec = ½ m . ω2 (A2 – y2) = ½ k (A2 – y2)

La energía cinética varía periódicamente, y depende de laelongación; es nula en los extremos y máxima en la posiciónde equilibrio.

Energía potencial)Como la fuerza productora del m.a.s. es una fuerzaconservativa, el trabajo realizado por ella entre dosposiciones A y B será igual a – ΔEp, es decir:

BWA B

= ∫ F. dr = ∫ -k . y dy = -[ ½ k . y2 ] =

A

-(½ k yB2 – ½ K yA

2) = -(EpB – EpA)

Entonces: EpB = ½ k yB2 y EpA = ½ k yA

2 y en generaltedremos que:

Ep = ½ k y2

La energía potencial que adquiere el osciladorarmónico varía periódicamente, y es proporcional alcuadrado de la elongación.Esta expresión puede también ponerse de otra forma:

Ep = ½ k A2 sen2 (ω t + Φ0)

La energía potencial es nula en la posición de equilibrio,x = 0, y alcanza el valor máximo en los extremos, x = ± A.

Energía mecánicaEs la suma de las energías cinética y potencias.

Em = Ec + Ep = ½ k v2 + ½ k y2

Si sustituimos las expresiones obtenidas anteriormente:Em = ½ k A2 cos2 (ω t + Φ0) + ½ k A2 sen2 (ω t + Φ0)

Em = ½ k A2 [cos2 (ω t + Φ0) + sen2 (ω t + Φ0) ]Y como sen2 Φ + cos2 Φ = 1, nos queda la expresión:

Em = ½ k A2

La energía mecánica de un oscilador armónico es siempreconstante y su valor es proporcional al cuadrado de laamplitud de las oscilaciones.Se cumple pues el principio de conservación de la energía.

En el gráfico se observa la representación gráfica delcomportamiento de la energía en el proceso delmovimiento armónico simple.

La energía total se encuentra representada por la rectaroja, que es horizontal, dado que se conserva.Dicha energía total como se ve en la figura coincide con elvalor de la energía potencial máxima en los extremos deldesplazamiento de la partícula y con la energía cinéticamáxima en el punto de equilibrio del movimiento

1.2.4 El resorte elástico. Cálculo de la constante elástica.• Método estático

Cuando se cuelgan pesas delextremo inferior de un muellemetálico helicoidal sujeto por suextremo superior, se puedeobservar que experimenta unalargamiento. Dicho alargamiento esproporcional a la fuerzarecuperadora del muelle queequilibra la fuerza de las pesas(peso), siempre que no se sobrepaseel límite elástico del muelle, ley deHooke.

Si l0 es la longitud antes de cargar ninguna pesa y l lalongitud cuando lo sometemos a una determinada carga,el alargamiento viene dado por Δl = l – l0. Según la leyde Hooke dicho alargamiento es proporcional a la fuerzade tracción a la que lo somete la carga: F = -k Δl. Laconstante k es la que llamamos constante elástica orecuperadora del muelle.Colgando del muelle diferentes pesas y determinando losalargamientos correspondientes a ellas, podemosdeterminar el valor de la constate k de forma gráfica sirepresentamos las fuerzas colocadas frente a losalargamientos (elongaciones) sufridos por el muelle.Debemos obtener una línea recta. K es la pendiente dela recta.

y

x

φ

tag φ = y / x = 1/k

Método dinámico

En la determinación de la constante elástica deun resorte por el método dinámico, lo quehacemos es dejar oscilar el resorte y medir superiodo de oscilación.Si colgamos distintas masas de un resorte ytiramos de ellas separándolas de su posición deequilibrio, al soltarlas oscilan con distintosperiodos.

Medimos los periodos del resorte para distintas masasoscilantes (teniendo en cuenta la masa del portapesas). Noimporta si estiramos más o menos antes de soltarlas.A partir de la relación de la masa y del periodo deoscilación podemos hallar la constante del resorte.

T = 2π

. √m/k T2 =4π2 . m/k k = 4π2m/T2

1.2.5 El péndulo simpleUn péndulo simple se define como una partícula de masam suspendida del punto O por un hilo inextensible delongitud l y de masa despreciable.Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo quehace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulocomienza a oscilar.

El péndulo describe un arco deuna circunferencia de radio l.Estudiaremos su movimiento enla dirección tangencial y en ladirección normal.Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos: •el peso mg •la tensión T del hilo

θ

Descomponemos el peso en la acción simultánea de doscomponentes, mg.senθ en la dirección tangencial ymg·cosθ en la dirección radial.• Ecuación del movimiento en la dirección radialLa aceleración centrípeta de la partícula es an=v2/ldirigida radialmente hacia el centro de su trayectoriacircular.Aplicando la segunda ley de Newton se escribe

m.an=T-mg·cosθ ; m.v2/l = T – mg.cosθ

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ podemos determinar la tensión T del hilo.

• Ecuación del movimiento en la dirección tangencialLa aceleración de la partícula es at=dv/dt.La segunda ley de Newton se escribe:

mat=-mg·senθ

Esta componente tangencial es la que actúa como fuerzarestauradora.El signo menos indica que la fuerza es siempre de sentidocontrario al desplazamiento.Si θ no es demasiado grande ≤ 15º entonces sen θ esaproximadamente θ si lo expresamos en radianes.

sen θ ≈ θPara estos pequeños ángulos puedeconsiderarse que el movimiento del péndulo es un m.a.s.La expresión del movimiento en la dirección tangencial toma la forma:

mat = - mgθY teniendo en cuenta que: θ = x/l entonces mat =-mg.x/l

at = -g.x/lComparando la expresión de la fuerza con la ley de Hooke: F = -k.x k = m.g/l = m.ω2 ω2 =g/l ω

= √g/l

(rad)

Teniendo en cuenta la relación entre la frecuenciaangular y el período: T = 2π/ωSustituyendo, nos queda:

T = 2π

/ √g/l = 2π

. √l/g

El período depende de g y de l pero no de la masa m del péndulo.

2. ONDAS ARMÓNICAS PLANAS.

2.1. Propagación de perturbaciones en mediosmateriales elásticos.

Los medios materiales reales son deformables, y portanto, dentro de determinados rangos son elásticos. Esesta propiedad es la que permite explicar que a travésde ellos se propaguen ondas mecánicas.

Podemos observar ejemplos de movimiento ondulatorio enla vida diaria: el sonido producido en la laringe de losanimales y de los hombres que permite la comunicaciónentre los individuos de la misma especie, las ondasproducidas cuando se lanza una piedra a un estanque, lasondas electromagnéticas producidas por emisoras deradio y televisión, etc.

Supongamos que arrojamos unobjeto a un estanque. Cuando elobjeto entra en contacto con lasuperficie del agua se produceuna perturbación de su estadofísico. Se forman ondas que sepropagan de manera uniforme apartir del punto en el que seprodujo la perturbación.

Si ponemos un corcho veremos que el mismo se muevehacia arriba y hacia abajo pero que no se traslada en ladirección que vemos se trasladan las ondas.Si fijamos el extremo de una cuerda y movemos el otroextremo hacia arriba y hacia abajo, vemos como a lo largode la cuerda se mueve una onda. Sin embargo los puntosque forman la cuerda no se desplazan a lo largo de ella, loque se propaga es, como en el caso del estanque, laperturbación producida.Según esto decimos que: En el movimiento ondulatoriohay un transporte de energía y de cantidad demovimiento de un punto a otro del espacio, sin existirtransporte de materia.En los dos casos indicados, las partículas del mediooscilan alrededor de su posición de equilibrio, debido a laacción de las fuerzas elásticas.

2.2. Tipos de ondas: ondas longitudinales ytransversales; ondas materiales y electromagnéticas.

Para facilitar su estudio, las ondas se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios.-Según la dirección de propagación:• Unidimensionales, como las que se propagan por una cuerda tensa.• Bidimensionales, como las que se propagan por la superficie de un estanque.• Tridimensionales, como las ondas acústicas.

-Según la naturaleza:• Mecánicas, necesitan de un medio material parapropagarse.• Electromagnéticas, no necesitan de ningún mediomateria para propagarse. Se propagan por el vacío.

-Según la forma de transmisión:• Longitudinales, cuando la dirección de propagación de

la onda coincide con la dirección de vibración de las partículas del medio. Por ejemplo el sonido.

• Transversales, cuando la dirección de propagación de la onda es perpendicular a la dirección de vibración de las partículas del medio. Por ejemplo las ondas de una cuerda o las electromagnéticas.

2.3. Magnitudes características: longitud de onda,frecuencia, amplitud y número de ondas.

En la figura se representauna onda armónicatransversal. Se producenalternativamente unaserie de "crestas" y de"valles".

Para describir a la onda se definen las siguientes magnitudes: • La longitud de onda, λ, es la distancia entre los centrosde dos crestas o dos valles consecutivos.• El periodo, T, que es el tiempo que tarda la perturbaciónen avanzar una longitud de onda.• La velocidad de propagación de la onda, c, que es larapidez con la que avanza la perturbación.Estas tres magnitudes cumplen la siguiente relación:

c = λ/T• La amplitud, A, es la máxima separación que alcanzacada partícula vibrante respecto de su posición deequilibrio.• La frecuencia, f, número de oscilaciones que realiza porunidad de tiempo.• La pulsación, ω, equivalente a la frecuencia, peroexpresada en radianes por segundo

• El número de ondas, k, es una magnitud de frecuenciaque es el cociente que indica cuantas longitudes de ondaexisten en una distancia 2π. Es entonces:

k = 2π /λ

2.4. Velocidad de propagación. Factores de los quedepende.

La velocidad de propagación de las ondas mecánicasdepende del tipo de onda concreto, pero, en general, secumplen las siguientes reglas:• Depende de las propiedades mecánicas del medio depropagación.• En los sólidos, que propagan ondas mecánicastransversales y longitudinales, su velocidad de propagaciónaumenta con la rigidez del medio y disminuye con ladensidad. Así las espiras de un muelle muy rígido y ligeropropagan ondas mas rápidamente que las de un muelle

blando y pesado.• En los fluidos ( líquidos y gases), solo se propagan ondaslongitudinales, la velocidad de propagación aumenta con lacompresibilidad y disminuye con la densidad del fluido

3.ECUACIÓNES DE ONDAS ARMÓNICAS

3.1 Ecuación de ondas unidimensionales.

Sea una onda transversal quese propaga con velocidadconstante en una soladimensión, sentido positivodel eje X. Si no hay perdidade energía en la propagación

Propagación de la onda

.Pxy

Todos sus puntos vibran con igual amplitud y frecuencia.Para obtener la ecuación de la onda tendremos en cuentaque todos los puntos repiten el movimiento y vibransiguiendo un m.a.s. según el eje Y:

y = A . sen (ωt + Φ0) = A . sen (2π/T . t + Φ0)

Siendo A la amplitud de la onda; ω, la pulsación ofrecuencia angular del m.a.s. y Φ0, la fase inicial delm.a.s.Un punto P, distante del origen una distancia x,comenzará a vibrar con cierto retraso, t’, con respecto ala vibración del punto O. La ecuación que describe elestado de vibración del punto P será:

y (x,t) = A . sen [2π/T . (t-t’) + Φ0]Si expresamos t’ en función de la velocidad depropagación, v, y de la distancia recorrida, x. Nos queda:

y (x,t) = A . sen [2π/T . (t-x/v) + Φ0]y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/Tv) + Φ0]

Sabiendo que λ = v . T, llegamos a la ecuación generaldel movimiento armónico de una onda transversalunidimensional:

y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ) + Φ0]

3.1.1 Doble periodicidad de la ecuación de onda• Periodicidad respecto al tiempoSupongamos una onda armónica que se propaga en elsentido positivo del eje X y queremos determinar elvalor de la elongación, y, de un punto situado a unadistancia x del origen de la perturbación, en función deltiempo.Las ecuaciones para t y t + n.T son:

y (x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ)]y (x,t) = A . sen [2π . (t + nT/T-x/λ)] =

= A.sen [2π . (t/T-x/λ) + 2πn]

Recordando que sen α = sen (α + 2πn), entonces:y(x,t) = y(x,t + nT)

Una onda armónica es periódica en el tiempo porque elvalor de la elongación de una partícula toma el mismo valoren los instantes t, t + T; t + 2T etc.• Periodicidad respecto a la posiciónSupongamos ahora la vibración de dos partículas, en elmismo tiempo, t, y en las posiciones x y x + n.λLas ecuaciones respectivas son:

y(x,t) = A . sen [2π . (t/T-x/λ)y(x + n.λ, t) = A . sen[2π . (t /T-x + n.λ /λ)] =

= A . sen [2π . (t /T-x/λ) - 2πn]Y como sen α = sen (α - 2πn)

y(x,t) = y(x + nλ, t)Una onda armónica es periódica en el espacio porque encualquier instante coincide el valor de la elongación de laspartículas situadas en las posiciones x, x + λ, x + 2λ etc.

3.2 Distintas expresiones de la ecuación de ondasLa ecuación de una onda armónica transversal puede

escribirse de varias formas equivalentes.

Forma de la ecuación de ondas Velocidad de propagación

En función de T y λ

y(x,t)=A.sen[2π.(t/T±x/λ)+θ0] v = λ/T

En función de f y λ

y(x,t)=A.sen[2π.(f.t±x/λ)+θ0] v = λ.f

En función de ω y k

y(x,t)=A.sen(ωt±xk+θ0) v = ω/k

El signo ± expresa los dos posibles sentidos de la velocidad,negativo si se propaga en el sentido positivo del eje X ypositivo si se propaga en el sentido negativo de dicho eje.

4. ENERGÍA E INTENSIDAD DELMOVIMIENTO ONDULATORIO. ATENUACIÓNE ABSORCIÓN POR EL MEDIO.

Como ya se ha dicho, cuando una onda avanza se propagaenergía sin que halla transporte de materia. Esta energía esuna energía mecánica, suma de sus energías cinética ypotencial elástica.Vamos a calcular la energía de la partícula en el caso massencillo, cuando pasa por la posición de equilibrio, dondetoda la energía es energía cinética.Obtenemos la velocidad de la partícula por medio de dy/dt

v = dy/dt = A. ω cos(ωt±kx + θ0), en la posición deequilibrio, la velocidad es máxima:

Vmáx = A. ω = 2π.f. AEc = ½ m.v2 = ½ m 4π2f2. A2 = 2 m π2f2. A2

Este valor máximo es el valor de la energía mecánicatotal, pues se cumple el principio de conservación de laenergía.Si dividimos esta energía por el tiempo, t, durante el cualtiene lugar el proceso de transferencia, obtenemos elvalor de la potencia que la onda transmite a la partícula.

P = Em/t = 2 m π2f2. A2/tDe estas expresiones deducimos que la energía y lapotencia transmitidas por una onda son directamenteproporcionales al cuadrado de su frecuencia y al cuadradode su amplitud.

Se define la intensidad de una onda, I, como lacantidad de energía que se propaga por unidad de tiempoa través de la unidad de superficie colocada de formaperpendicular a la dirección de propagación de la onda.

I = E/S.t = P/S = 2 m π2f2. A2/t. SP es la potencia de la onda y S la superficieperpendicular a la dirección de propagación de la onda.La unidad de intensidad en el S.I. es J. s-1. m-2 = W . m-2.También la intensidad de una onda es proporcional a loscuadrados de la frecuencia y de la amplitud.

La intensidad de una onda puede disminuir al alejarse delfoco emisor, aunque no exista absorción de energía porparte del medio, esta disminución se conoce con elnombre de atenuación de onda.Este fenómeno ocurre en los frentes de ondasesféricas.

A medida que la onda se desplaza, se va extendiendo y vaalcanzando mayor número de puntos delmedio, aumentando así la superficie dela onda pero no la energía total, que seconserva, entonces se produce ladisminución de la intensidad de la onda.Así para dos frentes de ondasesféricas, situadas a distancias r1 y r2del foco, las intensidades respectivas

son:I1 = E/4πr1

2 t = P/4πr12 ; I2 = E/4πr2

2 t = P/4πr22

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones:I1/I2 = r2

2/r12

La intensidad de un movimiento ondulatorio de frentes deondas esféricas es inversamente proporcional al cuadradode la distancia a la que se encuentre el foco.

r1

r2

Muchos movimientos ondulatorios presentan unadisminución de la intensidad de la onda mayor que la queprevé la atenuación. La causa de esta menor intensidad esque las partículas gastan parte de la energía en fenómenosde absorción por parte del medio.En este proceso si hay una disminución de la energía ypor tanto de la amplitud de la onda.En las ondas materiales, el efecto principal se debe alrozamiento, la energía mecánica se transforma en calor. Enlas ondas electromagnéticas no hay adsorción en el vacíopero si cuando hay interacción con la materia.

Para deducir la ley que rige estaabsorción de energía imaginamosla incidencia de una onda planasobre una lámina de grosor dx.La intensidad de la onda que sale

después de atravesar dicha lámina es menor que laincidente y la disminución que se

ha producido en la intensidad dI es mayor cuanto mayores el grosor dx y diferente según cual sea el material dela lámina, que caracterizamos mediante un coeficiente(β). Es decir, escribimos a modo de hipótesis, la siguienteexpresión para la disminución de intensidad durante lapenetración de la onda: dI = - I β·dx. Integrando estaexpresión diferencial, se obtiene la ley de absorción: ∫dI/I = - β.

∫dx ln I – ln I0 = - β x ln I/I0 = - β xI = I0 e- β x

Entre los muchos ejemplos deaplicación de esta ley mencionamos la pérdida de intensidad que experimentan las ondas sonoras alatravesar paredes y ventanas de diferentes materiales y grosores, y en

el interés práctico que tiene el estudio de este fenómeno para poder aislar acústicamente viviendas, salas de música, etc.

5. PRINCIPIO DE HUYGENS.Mucho antes de conocerse la ecuación del movimientoondulatorio, Huygens describió, de forma geométrica,como se propagan las ondas en el espacio.Cada punto de un frente de ondas puede considerarsecomo un foco emisor de nuevas ondas que se propagancon la misma velocidad y frecuencia que la onda inicial.Al cabo de un tiempo se crea un nuevo frente de ondas.

6. PROPIEDADES DE LAS ONDAS:

6.1. Reflexión.

La reflexión se produce cuando las ondas que viajan en unmedio alcanzan la superficie de separación con otromedio, cambiando la dirección de propagación en el primermedio.

La reflexión cumple dosleyes:• El rayo incidente, lanormal y el rayoreflejado están en elmismo plano.• El ángulo de incidenciai es igual al ángulo dereflexión r; i = r

6.2 Refracción

Es el cambio de dirección y velocidad que experimenta una onda al pasar de un medio a otro

Leyes de la refracción:– 1ª ley. La dirección de las ondasincidente y refractada y la normalestán en el mismo plano.

-2ª ley. La relación entre lossenos de los ángulos de incidenciay refracción es la misma que entrelas velocidades respectivas

sen i / sen r = v1 / v2Es la denominada ley de Snell

6.3 DifracciónEste fenómeno se produce cuando un obstáculo impide elavance de una parte de un frente de onda. Según elprincipio de Huygens, cada punto alcanzado por la onda secomporta como un nuevo punto emisor de ondas, de estaforma se explica que las ondas logran bordear elobstáculo y propagarse detrás.Para que se aprecie bien este fenómeno el tamaño delobstáculo debe ser del orden de la longitud de onda.

6.4 PolarizaciónEn las ondas transversaleses posible que todas laspartículas alcanzadas porla onda vibren en la mismadirección, entonces sedice que la onda estapolarizada y se llamaplano de polarización alplano formado por ladirección de vibración y ladirección de propagación.

En el caso de que las partículas alcanzadas por la ondatengan varias direcciones de vibración, es posible que alpasar por un filtro determinado solo se propaguen lasvibraciones de determinada dirección, es decir la onda sepolariza.

6.4.1. Principio de superposición. Interferenciaconstructiva e destructiva: descripción cualitativa

6.1 InterferenciasUna característica muy importante del movimientoondulatorio es el fenómeno de interferencia. Ocurrecuando dos o más ondas coinciden en el espacio y en eltiempo.

Cuando dos ondas se encuentran en un punto o una regióndel espacio, el resultado es una nueva onda cuyaperturbación es la suma de las perturbaciones de las dosondas originales.Principio de Superposición"La elongación resultante de la interacción de dos ondas esla suma algebraica de las elongaciones correspondientes alas ondas individuales".

Resultados de aplicar el principio de superposición a dos ondas en fase, primer dibujo, y a dos ondas desfasadas π radianes, segundo dibujo.

El caso mas sencillo de interferencia de ondas quepodemos estudiar es cuando interfieren dos ondasarmónicas coherentes, es decir, ondas decaracterísticas similares que están en fase, o endiferencia de fase que se mantiene constante con eltiempo.

Consideremos dos fuentespuntuales S1 y S2 que oscilan enfase con la misma frecuenciaangular ω , y que emiten ondasarmónicas. Las dos ondasinterfieren en le punto P, distanter1 y r2, respectivamente, de losfocos S1 y S2.

Si las dos ondas tienen la misma amplitud, A, susecuaciones serán:

y1 (r1,t) = A sen (ωt – kr1)y2 (r2,t) = A sen (ωt – kr2)

Según el principio de superposición, la onda resultante será:y = y1 + y2 = A [sen (ωt – kr1) + sen (ωt – kr2)]

Y recordando la relación trigonométricasen α + sen β = 2 sen α + β/2 . cos α – β/2

Obtenemos la expresiónY= 2 A sen[(ωt–kr1)+(ωt–kr2)/2] . cos[(ωt–kr1) - (ωt–kr2)/2]

y = 2 A cos [k ( r2 – r1)/2] . sen [ ωt – k (r1 + r2)/2]Los factores que no dependen del tiempo, son por tantoconstantes y se puede agrupar en nuevo factor, Ar,denominado amplitud resultante,

Ar = 2 A cos k (r2 – r1)/2 La expresión de la interferencia de las dos ondas es ahora:

y = Ar sen [ ωt – k (r1 + r2)/2]El punto P vibra armónicamente con la misma frecuencia

que los focos y con amplitud Ar.

Interferencias constructivas y destructivasAl superponerse la ondas en el punto P puede producirse unaumento en la amplitud de la onda resultante o unadisminución. Los dos casos extremos corresponden aamplitud máxima o amplitud mínima.La diferencia de fase que corresponde a las ondas en P es:

Δθ = θ1 – θ2 = (ωt – kr1) – (ωt – kr2) = k (r2 – r1) Δθ = 2π (r2 – r1)/λ

Sustituyendo en la expresión de ArAr = 2 A cos (Δθ/2)

De esta expresión se deduce que la amplitud resultante es:- máxima si: cos (Δθ/2) = ± 1 Δθ/2 = n π

Δθ = 2 π n = 2 π (r2 – r1)/λr2 – r1 = n λ donde n = 0, 1, 2. 3,…

Se produce una interferencia constructiva en aquellospuntos del medio en los cuales la diferencia entre lasdistancias a cada foco es un número entero de longitudes

de onda. Las ondas llegan a estos puntos en concordancia de fase. A los puntos donde se producen interferencias constructivas se les denominan vientres.

- Es mínima si: cos (Δθ/2) = 0 Δθ/2 = n π + π/2Δθ = 2 n π + π = π (2n + 1) = 2 π (r2 – r1)/λ

r2 - r1 = (2n + 1) λ /2 siendo n = 0, 1, 2, 3,…

Se produce una interferencia destructiva en aquellospuntos del medio en los cuales la diferencia entre lasdistancias a los focos es un número impar desemilongitudes de onda. La ondas llegan a estos puntos enoposición de fase. Estos puntos se denominan nodos.Las ondas de las figuras anteriores corresponde a estosdos tipos de interferencias, constructiva y destructiva,respectivamente.

6.4.2 Ondas estacionariasSe llaman ondas estacionarias a las que resultan de lainterferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud yfrecuencia que se propagan en la misma dirección pero ensentido contrario.

Es el caso de una onda quese encuentra con su ondareflejada.Las ecuaciones de ambasondas, considerando elorigen en la pared yteniendo en cuenta que lasondas se propagan ensentidos opuestos, son:

y1 = A sen (ωt - k x) y2 = A sen (ωt + k x + π) = -A sen (ωt + k x )

La ecuación de ondas resultante se obtiene sumando lasdos ecuaciones.

y = y1 + y2 = 2 A sen (-k x) . cos (ω t)Agrupando los factores que no dependen del tiempo

y = Ar cos (ω t) siendo Ar = 2 A sen (k x)

La amplitud resultante, Ar, con que oscila cada punto de laonda estacionaria depende de la posición, x.Habrá puntos donde la Ar será máxima, vientres, y puntosdonde Ar se anule, nodos.- El valor máximo de Ar será cuando sen (k x) = ± 1

k x = π/2 + n π ; x = 1/k ( π/2 + n π ) x = (2 n +1) λ/4para valores de n = 0, 1, 2, 3, …La amplitud máxima se produce en aquellos puntos cuya

distancia al origen es un número impar de cuartos delongitudes de onda.- El valor cero de Ar será cuando sen (k x) = 0k x = n π ; x = n π/4 =( n π/2 π ) . λ ; x = 2 n λ/4 ;

n = 0, 1, 2, 3, …

La amplitud Ar se anula en los puntos cuya distancia alorigen en un número par de cuartos de longitud de onda.

En la primera figura se muestra la interferencia de unaonda azul que viaja hacia la derecha con otra onda verdeque viaja hacia la izquierda. El resultado de lasuperposición de estas ondas es la onda estacionarianegra.En la segunda figura se muestra la onda estacionariaresultado de la interferencia. Observar como el punto Adel medio se mueve de arriba hacia abajo y viceversa altranscurrir el tiempo mientras que el punto B nunca semueve.

La distancia entre dos vientres consecutivos será:xn+1 – xn = [2 (n + 1) + 1] λ/4 – (2 n + 1) λ/4 = λ/2

Y la distancia entre dos nodos será:xn+1 – xn = 2 (n + 1) λ/4 - 2 n λ/4 = λ/2

7. EL SONIDO

7.1 Propagación del sonido. Velocidad de propagación.

El sonido es el ejemplo masrepresentativo de ondaslongitudinales, se desplaza porcualquier medio material elástico,sólido, líquido o gaseoso, con unavelocidad que depende de lascaracterísticas del medio.

La velocidad de una onda depende de la elasticidad delmedio y de la inercia de sus partículas. Los materialesmás elásticos permiten mayores velocidades de onda,mientras que los materiales más densos retardan elmovimiento ondulatoria.Velocidad del sonido en los sólidosPara las ondas sonoras longitudinales en un alambre ovarilla, la velocidad de onda está dada por:

donde Y es el módulo de Young para el sólido y ρ es sudensidad.El módulo de Young es una constante propia de cadamaterial que mide su elasticidad y que se expresa enN m-2

Velocidad del sonido en los líquidosLas ondas longitudinales transmitidas en un fluido tienenuna velocidad que se determina a partir de:

Donde B es el módulo de volumen para el fluido y ρ es sudensidad.Velocidad del sonido en los gasesLas ondas sonoras e propagan en los gases de formaadiabática, es decir, sin que exista cambio de calor conel contorno, para un gas ideal la velocidad depropagación viene dada por:

Donde γ = 1,4 es el coeficiente adiabático del gas.Para el aire queda: vaire = 20,1

√T

Las ondas sonaras pueden clasificarse en:Ondas audibles. Son las que estándentro del intervalo de frecuencia quegeneran una sensación sonora en el oídohumano. Está comprendidas entre 16Hz y 20.000 Hz.Ondas no audibles. Son las que no sonpercibidas por el oído humano. Si sufrecuencia es inferior a 20 Hz se

llaman infrasónicas, si su frecuencia es superior a20.000 Hz se llaman ultrasónicas.

7.1 Cualidades del sonido

La onda sonora al propagarse sufre cambios de presiónque son percibidos por el oído humano y que loscaracteriza y distingue unos de otros por una serie decualidades: intensidad, tono y timbre.

• Intensidad. Esta cualidad es lo que llamamos comúnmentevolumen sonoro, es decir, un sonido fuerte o un sonidodébil.Se define como la energía que se transporta a través deuna unidad de superficie en la unidad de tiempo. Se mide enW . m-2. El intervalo que puede percibir el oído humano,depende de la frecuencia, y va desde 1,0 .10-12 W . m-2

hasta 1 W . m-2 que produce sensación de dolor.

La intensidad se asocia a laamplitud de la onda sonora. Lafigura muestra dos ondas sonoras;una fuerte y otra débil.

• Tono: Es la cualidad de los sonidos que permite distinguirentre sonidos graves (o bajos) y agudos (o altos)

Los sonidos graves son los de frecuencia baja y lossonidos agudos son los de gran frecuencia.

Timbre. Es la cualidad qe nos permite distinguir dossonidos de la misma intensidad y la misma frecuenciaprocedentes de dos fuentes sonoras distintas. Porejemplo nos permite distinguir el sonido de unatrompeta y un violín aunque emitan la misma nota con lamisma intensidad.En general, los sonidos no son puros, de una solafrecuencia, los sonidos suelen tener una onda principalque va acompañada de otras ondas de menor amplitudllamadas armónicos cuya frecuencia es múltiplo de laonda principal.

la suma de esas ondas da lugar a una onda que tiene unaforma determinada. El timbre está relacionado con laforma de la onda.A continuación puedes ver dos representaciones deondas de la misma frecuencia principal pero que sediferencian por su forma, es decir se diferencian en losarmónicos y por ello si los escucháramos podríamosdistinguir los dos sonidos, pues tienen distinto timbre.

7.3 Percepción del sonido

La sonoridad o percepción fisiológica que percibe el oído,varía con la frecuencia y no es proporcional a suintensidad.

Así un sonido con una frecuencia de 100 Hz no se oye sisu intensidad es inferior a 10-8 W . m-2 y si es audible unsonido con mayor frecuencia y menor intensidad de onda.Por tanto como la intensidad sonora en el limite deaudición es distinta para cada frecuencia, se define unanueva magnitud llamada sensación sonora, S, querelaciona la intensidad de cada sonido con la intensidadlimite de referencia para la cual la sensación sonora delsonido de la misma frecuencia es cero, S0 = 0

S = log I/I0

La unidad de sensación sonora es el belio, B. Un sonidotiene la sensación sonora de 1 B cuando su intensidad esdiez veces superior a la intensidad limite.Es habitual tomar como intensidad limite de referencia,I0, la que corresponde a 1000 Hz, I0 = 1 . 10-12 W . m-2.

Se suele usar como unidad de medida de la sensaciónsonora un submúltiplo del belio, el decibelio, es la décimaparte del belio.

8. RESONANCIA: CONCEPTO Y DESCRIPCIÓNCUALITATIVA MEDIANTE EJEMPLOS.

Es el fenómeno que se produce cuando los cuerpos vibrancon la misma frecuencia, uno de los cuales se puso a vibraral recibir las frecuencias del otro.Supongamos un tubo con agua y muy cerca de él colocamosun diapasón, si golpeamos el diapasón con un metal,mientras echamos agua en el tubo, cuando el agua alcancedeterminada altura el sonido será mas fuerte; esto se debea que la columna de agua contenida en el tubo se pone avibrar con la misma frecuencia que la que tiene el diapasón,lo que evidencia por qué las frecuencias se refuerzan y enconsecuencia aumenta la intensidad del sonido.

Muchos instrumentos musicales se diseñan con cavidadesresonantes para producir una variedad de sonidos.http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Cajas_de_resonancia:_Instrumentos_musicaleshttp://www.youtube.com/watch?v=sxAqNMLH9Qchttp://web.educastur.princast.es/proyectos/jimena/pj_franciscga/cualison.htmLa resonancia eléctrica en los receptores de radiopermite al oyente percibir con claridad las señalesdébiles. Cuando se sintoniza la frecuencia de la estaciónelegida, la señal se amplifica por resonancia eléctrica.En auditorios mal diseñados o enormes salas de concierto,la música y las voces pueden tener un sonido profundo queresulta desagradable al oído.Se sabe que los puentes se destruyen debido avibraciones resonantes de gran amplitud producidas porráfagas de viento.