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Vibraciones Mecánicas MC-571
Facultad de Ingeniería Mecánica
Universidad Nacional de Ingeniería
5) Método de la suma de
modos Las ecuaciones de movimiento de un sistema
amortiguado en coordenadas globales o físicas será:
Las cuales pueden llevarse a coordenadas modales
usando los autovectores reales del sistema sin
amortiguamiento.
Esto es posible siempre y cuando el amortiguamiento
es pequeño o puede considerarse como proporcional.
Donde las ecuaciones están desacopladas, tal que:
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5) Método de la suma de
modos Si el sistema es lineal, cualquier método de los
estudiados puede ser aplicado, para luego
transformar la solución a coordenadas físicas.
Este método permite hallar la solución de incluso
sistemas grandes, bajo casi cualquier excitación.
Es por tanto la primera opción a ser considerada.
En sistemas grandes muchas veces no es necesario
considerar todas las n ecuaciones.
Esto debido a que modos con frecuencias superiores
a todas las presentes en la excitación, no estarán
activos.
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5) Método de la suma de
modosProcedimiento
Considerando el siguiente problema:
Se hallan los autovalores, autovectores y matriz de
transformación [X] del sistema no amortiguado:
Siendo [X] una matriz cuadrada conformada por los
autovectores, se calcula:
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5) Método de la suma de
modos Se calcula la respuesta en el espacio modal {q}
haciendo uso de:
Se transforma la respuesta modal al espacio físico,
utilizando:
Si adicionalmente se desean las velocidades y
aceleraciones:
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5) Método de la suma de
modos
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Ejemplo
Considerando una
estructura consistente en
una viga de masa
despreciable que sostiene
dos masas concentradas.
Ensayos en una estructura similar sugieren que la razón de
amortiguamiento viscoso (ζ→γ) para ambos modos es 0.02.
1. Hallar la matriz de flexibilidad [K]-1 en coordenadas físicas.
2. Calcular los modos del sistema.
3. Hallar las ecuaciones en coordenadas modales.
4. Hallar la respuesta para F1=1000H1(t), F2=0.
5) Método de la suma de
modos La matriz de flexibilidad es calculada usando el método
de los coeficientes de influencia de flexibilidad:
Las ecuaciones de movimiento en coordenadas
globales serán:
Para hallar los autovalores y autovectores [C] y {F}
deben omitirse:
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5) Método de la suma de
modos Reescribiendo la ecuación anterior:
Siendo la matriz de masa:
La ecuación queda como:
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5) Método de la suma de
modos Donde Λ es uno de los dos autovalores dado por:
Considerando los siguientes valores:
Los dos autovalores provienen de las raíces de:
De donde obtendremos:
Las frecuencias naturales:
Cuyos autovectores son:
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5) Método de la suma de
modos Siendo su representación gráfica:
Para reescalar los autovectores de tal forma que se
conviertan en ortonormales, son multiplicados por:
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5) Método de la suma de
modos Los autovectores ortonormales serán:
La matriz modal [X] está conformada por:
Esta matriz permite las siguientes transformaciones:
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5) Método de la suma de
modos Verificando la diagonalización de [M]:
Las ecuaciones desacopladas sin amortiguamiento son:
Insertando la matriz de amortiguamiento, asumiendo
que no acopla los modos, sabiendo que:
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5) Método de la suma de
modos Sabiendo que:
Las fuerzas en coordenadas modales serán:
Considerando las ecuaciones desacopladas:
Donde, de datos del problema:
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5) Método de la suma de
modos La respuesta de un sistema de 1 GDL a una
excitación escalón de amplitud “a” es dada por:
Las respuestas en coordenadas modales serán:
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5) Método de la suma de
modos La respuesta de la masa m1 en coordenadas físicas
será:
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