VIBRACIONES FORZADAS

Si añadimos una fuerza más al sistema anterior, tendremos algo más próximo a lo que sucede en un altavoz, ya que el altavoz lo que hace es eso exactamente, es el sistema resonante que hemos estudiado, pero además existe un motor magnético que genera una fuerza que desplazará el cono. Fees la nueva fuerza añadida.

Podemos escribir la ecuación de esta forma, reuniendo todas las fuerzas presentes:

En el caso del altavoz, la fuerza de excitación es una suma de frecuencias puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda cosenoidal pura:

 (ec2)

Como ya hemos resuelto la parte homogénea, aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados para hallar la resolución, que será alguna de las tres posibles soluciones anteriores (soluciones homogéneas) más una solución particular. Tomaremos como solución:

Sustituimos en (ec2) y obtenemos el sistema

de donde otenemos A y B, que son:

Es decir, nuestra solución particular es la siguiente:

Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:

y nos queda la siguiente solución particular:

Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no homogénea es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp), y que tenemos tres posibles soluciones homogéneas que dependen de los parámetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante elástica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado.

Sobreamortiguado:

Críticamente amortiguado:

Submortiguado:

En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la única necesidad de que exista un mínimo amortiguamiento, tenemos una parte que decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibración) y una parte que es constante en el tiempo, consecuencia de la vibración forzada. A la primera parte se la denomina transitoria y a la segunda estacionaria, ya que con el transcurso del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.

¿de qué nos sirve esto?

Sirve para interpretar la respuesta temporal del sistema: Los sistemas sobreamortiguados son los que mejores características temporales poseen, mientras que los sistemas subamortiguados son los que peor se comportan.

Por decirlo de alguna manera, los tiempos de establecimiento (subida y bajada completa) de la onda (pensando más bien en valor abosluto, quizás en un valor RMS) son menores en los sistemas sobreamortiguados que en los subamortiguados. 

En la imagen de arriba a la derecha podemos ver la respuesta ante tres ciclos de onda de un sistema resonante críticamente amortiguado (por ejemplo: caja cerrada con Q=0,5, Bessel).

El tiempo de subida puede interpretarse como parte del comportamiento paso alto que tiene la onda, al final vemos que la onda desaparece dejando sólo una ligera sobreoscilación, que puede deberse a un error en la simulación.En la imagen central podemos ver un ejemplo de sistema subamortiguado, en el caso una caja cerrada con Q=0,707 (Butterworth). La respuesta es buena pero la sobreoscilación al final es mayor.

La última imagen no corresponde con lo estudiado porque se trata de una caja bass-freflex, que es un sistema resonante de 4º orden, no de 2º. Conocemos las ventajas de extensión de la respuesta de las BR, y también que se consigue a base de penalizar la respuesta temporal.

Aquí vemos el porqué. La respuesta es mala, con sobreoscilaciones al principio pero muy especialmente al final, y sin que se llegue a alcanzar el valor máximo que debía alcanzar.

Esto da una idea de que el orden también es un elemento tan importante como el coeficiente de amortiguamiento.

inicio

RESONANCIA

Nos quedamos con la solución particular del apartado anterior, las vibraciones forzadas, que es la parte estacionaria.

De ella, una parte es periódica y otra no, es su coeficiente, y éste coeficiente depende del la frecuencia.

El módulo depende de las condiciones de masa (M), amortiguamiento (c) y la constante elástica (k), y por supuesto de la frecuencia y de F0.

Cuando c es muy pequeño hemos observado antes que la frecuencia de resonancia del sistema

   tiende a

 

, y la gráfica del coseno modulada por la exponencial decreciente tarda mucho en decrecer, para intervalos de tiempo razonablemente pequeños, el movimiento descrito con poco amortiguamiento se asemejará la un simple coseno, como si no existiese amortiguamiento.

Esto quiere decir que el sistema vibra con gran libertad a su frecuencia, pero ¿qué pasará si forzamos la vibración con una fuerza cosenoidal de frecuencia próxima a Fs?

Cuando se excita el sistema con una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia

En uno de los términos del denominador sucede lo siguiente:

Y como hemos dicho que c tiene un valor muy pequeño, el denominador entero tiende a cero, sólo pudría serlo si c fuese cero (pero entonces la ecuación sería diferente). Esto hace que se obtengan valores del módulo muy altos, y lo que sucede en la realidad es que la amplitud de la vibración es muy alta, tanto mayor como menor sea el amortiguamiento.

A este fenómeno que consiste en que a una frecuencia se obtienen amplitudes de vibración muy altas con muy poca fuerza se le denomina resonancia, y está presente en todos los sistemas resonantes por alto que sea su amortiguamiento.

En la gráfica de la derecha podemos ver una simulación de un sistema resonante con amortiguaciones bajas sometido a un barrido de frecuencias. El eje Y marca la amplitud (1 metro en condiciones normales) y el eje x la frecuencia que se imprime al circuito

No es descabellado ver que se obienen amplitudes extremadamente grandes, 20 metros, pero se podían haber forzado más.

En el caso de altavoces es posible obtener ondas de salida que corresponden a valores varias veces mayores de lo que serían en otras condiciones, y como hemos visto en el caso anterior, se penaliza la respuesta temporal del sistema.

 

3) Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamiento:

Consideremos el sistema mecánico (masa-resorte) donde actúa sobre la masa una fuerza externa f(y,t).

La ecuación diferencial que describe el movimiento del sistema es:

           ó            (35)

Supongamos para simplificar las condiciones iniciale

                               (36)

Solución general de (35):

Consideremos la ecuación homogénea asociada:   

Su solución es: 

Ahora debemos determinar una solución particular de (35).

Si la fuerza externa es una función de ambas variables (espacial y temporal), el análisis matemático del problema se torna complejo en general, ya que resultaría un problema no lineal o de coeficientes variables. Ejemplos de esto son:

                        a) f(y,t) = Fo y t

                        b) f(y,t) = Fo y2 sen wt

                        c) f(y,t) = Fo y2

En el caso a) se tiene una ecuación diferencial con coeficientes variables, en b) la ecuación es no lineal con coeficientes variables y en c) es no lineal.

Si la ecuación diferencial no es lineal, la solución del problema se complica y aún para los casos más simples de la función f(y) es necesario recurrir a métodos aproximados.

Analicemos el caso en que la fuerza externa    aplicada al sistema, es una función cosenoidal (ver fig. a) en pág  (126):

Supongamos que sea: F(y,t) = Fo cos wf t

La fuerza externa sobre la masa es de amplitud Fo y frecuencia circular wf.

Sea:      (39)

Debemos hallar una solución particular de (39); para ello proponemos la solución:

                        

                        

                        

Reemplazando en (39)

           

Igualando coeficientes:

            

             

 

                        

Consideremos el caso más general de condiciones iniciales (36);

                        

 Resulta así:

                        

            

            

Así, la solución general del problema de condiciones iniciales:

                        

Resulta ser:

        

 

    (40)

 

Debe notarse que los tres primeros sumandos traen la frecuencia natural wn del sistema, mientras que el último la frecuencia de la fuerza externawf. En sistemas reales existe amortiguamiento y entonces el único movimiento que persiste es el descripto por el último sumando.

Por ello se lo denomina estado estacionario   mientras que a los restantes, transitorios. Debe tenerse en cuenta que los términos que representan al estado transitorio tienden a cero cuando t ® ¥ en el caso que c ¹ 0.

Vamos a dar una forma distinta a (40):

Sea:

              

Sabemos que los dos primeros sumandos pueden reemplazarse por

                        

  Entonces es:

                                                                       

Por lo tanto la respuesta del sistema viene dada por la superposición de dos oscilaciones armónicas. Una de ellas posee wn la frecuencia natural    del sistema y la otra la frecuencia wf de la entrada:

El Fenómeno de Resonancia:

Una situación muy importante para analizar la constituye el caso cuando 

Recordemos que   y entonces:   

                        

Cuando  resulta

                                                     

Es decir, las amplitudes de y(t) crecen indefinidamente. Este fenómeno se denomina resonancia y representa una situación muy peligrosa en la práctica. O sea que esta situación crítica se plantea cuando la frecuencia de la fuerza excitadora del sistema coincide con la frecuencia natural del mismo.

 Se denomina factor de multiplicación a  

y su gráfica en función de f es:

En el caso de resonancia, la ecuación (39) se transforma en:

                        

Dada 40:

   (42)

puede analizarse la condición de resonancia considerándola como caso límite de la

solución general de la ecuación (35). Si   entonces el último término de (42) se vuelve indeterminado. Usando el Teorema de L’Hospital, mediante

derivación del numerador y denominador con respecto a   , se obtiene:

                        

                           (43)

 Vemos que el movimiento de la masa se incrementa sin límite a medida que el tiempo transcurre.

Sin embargo, si hay un amortiguamiento, entonces puede demostrarse que las amplitudes no crecen indefinidamente.

En el caso de considerarse solamente el término correspondiente al estado estacionario 

                        

la gráfica de yp en función de t, será:

 

 Ejemplo de Aplicación:

El motor a explosión monocilíndrico de la figura está montado sobre un bloque de cimentación que está apoyado en resortes. Describir la vibración del estado permanente del sistema si el bloque y el motor tienen una masa total de m = 80 Kg. y el motor cuando está funcionando crea una fuerza de F = 50 sen 2t [N], donde t se mide en seg. Suponer que el sistema vibra solamente en la dirección vertical, con el desplazamiento positivo medido hacia abajo, y que la rigidez total de los resortes puede representarse como

k = 2000 N/m.

Expresar para qué velocidad rotacional del motor se producirá la resonancia del sistema.

 

                         

                        es: f = 2   ;   Fo = 50     ;    k = 2000

                        

a)

         

b)