FUNCIONES DE PROBABILIDAD

Funciones de probabilidadVariable aleatoria

Representamos por S un espacio muestra en el que se define una funcin de probabilidad, sea x una funcin de valores reales definida en S, la funcin X transforma puntos de S en puntos del eje de las x, se dice que X es una variable aleatoria.Sea S el espacio muestral asociado con un experimento una funcin X que asigna a cada uno de los elementos s S, un nmero real x(s) se llama variable aleatoria.

Dominio

Es el conjunto de valores de A.

Si cada elemento de un conjunto x se le asocia exactamente un elemento de un conjunto y entonces sta asociacin constituye una funcin de x en y, esto se escribe comnmente f(x)=y y se lee la funcin f de x en y.La asociacin puede estructurarse de muchas maneras distinta, generalmente se hace mediante una ecuacin como:

Una tabla de valores o una grfica, lo importante es que la funcin hace corresponder uno y solo uno de los elementos de y con cada elemento de x, en el ejemplo anterior el dominio es el conjunto;Dominio

Recorrido

Considere la funcin definida por la ecuacin; y=2x-6, para todos los enteros positivos menores que 10.

Una funcin (X en Y) es un conjunto de paredes ordenados tales que a cada x, x X le corresponde un nico y Y. En consecuencia podemos usar la notacin del conjunto para describir una funcin:

Si el par ordenado (a,b) pertenece a la funcin esto es; b=f(a) decimos que b es la imagen de a bajo f y en general el recorrido es la imagen del dominio de la funcin

Dominio de la funcin

-1 x 1Rango de la funcin

0 y 1

(recorrido)

funcin de valor absoluto

Lanzamiento de 4 monedas

1. AAAA

4 guilas (1)

2. AAAS

3. AASA

3 guilas (4)4. ASAA

5. SAAA

6. AASS

7. ASAS

8. ASSA

2 guilas (6)

9. SASA

10. SAAS

11. SSAA

12. ASSS

13. SASS

14. SSAS

1 guilas (4)

15. SSSA

16. SSSS

0 guilas (1)

x = nmero de guilas

xNo. EventoNo. Veces

0

1

2

3

416

12, 13, 14, 15

6, 7, 8, 9, 10, 11

2, 3, 4, 5

114

6

4

1

16Considrese el lanzamiento de un par de dado y sea X la sumatoria de los nmeros que muestran las caras hacia arriba del par de dados.

123456

1111213141516

2212223242526

3313233343536

4414243444546

5515253545556

6616263646566

x [=] Suma de las 2 cara de los dadosx23456789101112

No. veces12345654321

Discreta

Variable aleatoria

ContinuaVariable Aleatoria Discreta

Se dice que x es una variable aleatoria discreta uni-dimensional, si es una variable que toma slo un valor finito o infinito numerable de valores del eje de las x.

Supongamos que x toma los valores de x1,x2,,xn; con probabilidades f(x1), f(x2), , f(xn), e imaginamos que A es cualquier subconjunto de los puntos x1, x2, , xn, la probabilidad p(A) de suceso A (probabilidad de que x est en A) se define como;

Donde la representa la suma de f(x) para aquellos valores xi que pertenecen a A.Variable Aleatoria Continua

Se dice que x es una variable aleatoria continua uni-dimensional si existe una funcin f tal que f(x) 0 para toda x del intervalo tal que para cualquier evento la probabilidad;

Aqu A representa un evento y est definido como un intervalo dentro del intervalo de los valores que puede tomar la variable aleatoria.

Aqu se puede tomar cualquier valor

Variable Aleatoria Discreta

Ejemplo;Lanzamiento de 2 dados

x= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Lanzamiento de 4 monedas (No. guilas)

x=0,1,2,3,4 (No. de guilas)

Variable Aleatoria Continua

a < x < bIntervalo Cerrado

Intervalo Cerrado-Abierto

Intervalo Abierto-Cerrado

Intervalo Abierto

Denotemos por p(x=a) la probabilidad del evento correspondiente A que la variable aleatoria x tome el valor a, de forma anloga p(a < x b) representa la probabilidad de que el suceso x tome un valor perteneciente al intervalo a < x b, si conocisemos la probabilidad p(a < x b) para todos los valores de a y b, tendramos un conocimiento completo de las probabilidades con que la variable x tiende a tomar valores en diferentes intervalos del dominio de la variable.En aquellos casos donde esto no se verifique diremos que conocemos la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria x.

EjemploVariable Aleatoria Discreta

Lanzamiento de un par de dados

123456

1111213141516

2212223242526

3313233343536

4414243444546

5515253545556

6616263646566

x23456789101112

p(x=x)

a) p(x=10)= =

b)

c)

d)

e)

La funcin de distribucin de probabilidad del lanzamiento de un par de dados es;

Para que sea funcin de distribucin de probabilidad si se cumplen las siguientes condiciones:

Para Variable Aleatoria Discreta

1. f(x) 0

2.

Para Variable Aleatoria Continua

1. f(x) 0

2.

Una funcin f(x) se dice que es una funcin de de distribucin de probabilidad si cumple lo siguientes requisitosVariable Aleatoria Discreta1. f(x) 0

2.

Variable Aleatoria Continua

1. f(x) 0

2.

Supongamos que lanzamos 4 monedas y que registramos el nmero de guilas que aparecen, sea el resultado el valor de una variable aleatoria X, por lo tanto X tomar los valores (0, 1, 2, 3, 4); para calcular la funcin de probabilidad f(x), la probabilidad de que aparezcan x guilas observamos que el nmero de formas en que pueden caer las 4 monedas es 24, ya que cada moneda puede caer de 2 maneras distintas (el nmero de formas que pueden caer guilas).El nmero de guilas viene dado por;

Por lo tanto la funcin de distribucin de probabilidad sera la siguiente;

1234

1. AAAA }

2. AAAS

3. AASA

4. ASAA

5. SAAA

6. AASS

7. ASAS

8. ASSA

9. SASA

10. SAAS

11. SSAA

12. ASSS

13. SASS

14. SSAS

15. SSSA

16. SSSS }

x01234

p(x=x)

Variable Aleatoria Discreta

si x=5

f(x)=0

f(5)=0

f(-8)=0

f(2.4)=0

f(3)=

f(3)=

f(3)=

1. Cumple con f(x) 0

2. Para que cumpla

La grfica de esta funcin de distribucin de probabilidad en este casoVariable Aleatoria Discreta

A

B

f

O

x

y

f(x)

|x|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

11 12 13 14 15 16 26 36 46 56 66

21 22 23 24 25 35 45 55 65

31 32 33 34 44 54 63

41 42 43 53 63

51 52 62

61

A

B

S

x

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

7

8

9

10

11

12

7 8 9 10 11 12

01234

No. de guilas

Para f.d.p

Para x= 0, 1, 2, 3, 4

EMBED Equation.3

O 1 2 3 4 5

0.40

0.30

0.20

0.10

f(x)

x

_1149327181.unknown

_1149401967.unknown

_1149404393.unknown

_1149411201.unknown

_1149411477.unknown

_1149412071.unknown

_1149412301.unknown

_1149413733.unknown

_1149414085.unknown

_1149412324.unknown

_1149412284.unknown

_1149411772.unknown

_1149411234.unknown

_1149411242.unknown

_1149411214.unknown

_1149407270.unknown

_1149409360.unknown

_1149411178.unknown

_1149405508.unknown

_1149405972.unknown

_1149406386.unknown

_1149405411.unknown

_1149403214.unknown

_1149404318.unknown

_1149404356.unknown

_1149403606.unknown

_1149403044.unknown

_1149403080.unknown

_1149402175.unknown

_1149402893.unknown

_1149329263.unknown

_1149401934.unknown

_1149401953.unknown

_1149401737.unknown

_1149401897.unknown

_1149401718.unknown

_1149329183.unknown

_1149329227.unknown

_1149329089.unknown

_1149328015.unknown

_1149317563.unknown

_1149318897.unknown

_1149326903.unknown

_1149327101.unknown

_1149326894.unknown

_1149318578.unknown

_1149318604.unknown

_1149318559.unknown

_1149316697.unknown

_1149317006.unknown

_1149317026.unknown

_1149316750.unknown

_1149316501.unknown